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第九講　方程與不等式的綜合應用
考點一 設置求結果的問題考查方程與不等式的有關概念
【例1】(2024·廣州期末)已知關于x,y的方程組,滿足x+3y≥0,則k的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【思路點撥】觀察方程系數特點,用整體的思想求出x+3y的值,再求出不等式的解集,從而得出答案.
考點二 設置具體的情境考查構建方程(不等式)模型的能力
【例2】(2024·威海)《九章算術》是我國古老的數學經典著作,書中提到這樣一道題目:以繩測井.若將繩三折測之,繩多四尺;若將繩四折測之,繩多一尺.繩長、井深各幾何 題目大意是:用繩子測量水井的深度.如果將繩子折成三等份,一份繩長比井深多4尺;如果將繩子折成四等份,一份繩長比井深多1尺.繩長、井深各是多少尺 若設繩長x尺,井深y尺,則符合題意的方程組是( )
A. B. C. D.
考點三 考查綜合運用方程(組)與不等式(組)解決數學問題的能力
【例3】(2023·懷化)某中學組織學生研學,原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛,則有30人沒有座位;若租用可坐乘客60人的B種客車,則可少租6輛,且恰好坐滿.
(1)求原計劃租用A種客車多少輛 這次研學去了多少人
(2)若該校計劃租用A,B兩種客車共25輛,要求B種客車不超過7輛,且每人都有座位,則有哪幾種租車方案
(3)在(2)的條件下,若A種客車租金為每輛220元,B種客車租金為每輛300元,應該怎樣租車才最合算
【方法小結】決策型問題在考查學生運用知識解決實際問題能力方面具有較好的效果,因而決策型問題成為近年來較為常見的考查學生運用“方程與不等式”思想和知識解決實際問題能力的題目.解決此種題型,首先利用方程、不等式的相關知識,建立相應的數學模型,求出方程(組)和不等式(組)的解集,確定未知數的具體數值,未知數有幾個值,即有幾種方案,再根據實際情況進行方案選擇.
1.(2023·深圳)某商場在世博會上購置A,B兩種玩具,其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元,且購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元.
(1)求A,B玩具的單價;
(2)若該商場要求購置B玩具的數量是A玩具數量的2倍,且購置玩具的總額不高于20 000元,則該商場最多可以購置多少個A玩具
2.(2024·深圳)數學項目小組為解決某超市購物車從1樓到2樓的轉運問題,進行了實地調研,獲得如下信息:
信息1 購物車的尺寸如圖1所示.為節省空間,工作人員常將購物車疊放在一起形成購物車列.如圖2所示,3輛購物車疊放所形成的購物車列,長度為1.6米.
信息2 購物車可以通過扶手電梯或直立電梯轉運.為安全起見,該超市的扶手電梯一次最多能轉運24輛購物車,直立電梯一次性最多能轉運2列長度均為2.6米的購物車列.
如果你是項目小組成員,請根據以上信息,完成下列問題:
(1)當n輛購物車按圖2的方式疊放時,形成購物車列的長度為L米,則L與n的關系式是________;
(2)求該超市直立電梯一次最多能轉運的購物車數量;
(3)若該超市需轉運100輛購物車,使用電梯總次數為5,則有哪幾種使用電梯次數的分配方案 請說明理由.第九講　方程與不等式的綜合應用
考點一 設置求結果的問題考查方程與不等式的有關概念
【例1】(2024·廣州期末)已知關于x,y的方程組,滿足x+3y≥0,則k的最大值是(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
【思路點撥】觀察方程系數特點,用整體的思想求出x+3y的值,再求出不等式的解集,從而得出答案.
考點二 設置具體的情境考查構建方程(不等式)模型的能力
【例2】(2024·威海)《九章算術》是我國古老的數學經典著作,書中提到這樣一道題目:以繩測井.若將繩三折測之,繩多四尺;若將繩四折測之,繩多一尺.繩長、井深各幾何 題目大意是:用繩子測量水井的深度.如果將繩子折成三等份,一份繩長比井深多4尺;如果將繩子折成四等份,一份繩長比井深多1尺.繩長、井深各是多少尺 若設繩長x尺,井深y尺,則符合題意的方程組是(C)
A. B. C. D.
考點三 考查綜合運用方程(組)與不等式(組)解決數學問題的能力
【例3】(2023·懷化)某中學組織學生研學,原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛,則有30人沒有座位;若租用可坐乘客60人的B種客車,則可少租6輛,且恰好坐滿.
(1)求原計劃租用A種客車多少輛 這次研學去了多少人
(2)若該校計劃租用A,B兩種客車共25輛,要求B種客車不超過7輛,且每人都有座位,則有哪幾種租車方案
(3)在(2)的條件下,若A種客車租金為每輛220元,B種客車租金為每輛300元,應該怎樣租車才最合算
【解析】(1)設原計劃租用A種客車x輛,則這次研學去了(45x+30)人,
根據題意得45x+30=60(x-6),
解得x=26,
∴45x+30=45×26+30=1 200(人).
答:原計劃租用A種客車26輛,這次研學去了1 200人;
(2)設租用B種客車y輛,則租用A種客車(25-y)輛,
根據題意得,
解得5≤y≤7,又∵y為正整數,
∴y可以為5,6,7,∴該學校共有3種租車方案,
方案1:租用5輛B種客車,20輛A種客車;
方案2:租用6輛B種客車,19輛A種客車;
方案3:租用7輛B種客車,18輛A種客車;
(3)選擇方案1的總租金為300×5+220×20=5 900(元);
選擇方案2的總租金為300×6+220×19=5 980(元);
選擇方案3的總租金為300×7+220×18=6 060(元).
∵5 900<5 980<6 060,
∴租用5輛B種客車,20輛A種客車最合算.
【方法小結】決策型問題在考查學生運用知識解決實際問題能力方面具有較好的效果,因而決策型問題成為近年來較為常見的考查學生運用“方程與不等式”思想和知識解決實際問題能力的題目.解決此種題型,首先利用方程、不等式的相關知識,建立相應的數學模型,求出方程(組)和不等式(組)的解集,確定未知數的具體數值,未知數有幾個值,即有幾種方案,再根據實際情況進行方案選擇.
1.(2023·深圳)某商場在世博會上購置A,B兩種玩具,其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元,且購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元.
(1)求A,B玩具的單價;
(2)若該商場要求購置B玩具的數量是A玩具數量的2倍,且購置玩具的總額不高于20 000元,則該商場最多可以購置多少個A玩具
【解析】(1)設A玩具的單價為x元,則B玩具的單價為(x+25)元,
根據題意得:2(x+25)+x=200,
解得:x=50,
可得x+25=50+25=75,
則A玩具的單價為50元,B玩具的單價為75元;
(2)設商場可以購置A玩具y個,
根據題意得:50y+75×2y≤20 000,
解得:y≤100,
則最多可以購置100個A玩具.
2.(2024·深圳)數學項目小組為解決某超市購物車從1樓到2樓的轉運問題,進行了實地調研,獲得如下信息:
信息1 購物車的尺寸如圖1所示.為節省空間,工作人員常將購物車疊放在一起形成購物車列.如圖2所示,3輛購物車疊放所形成的購物車列,長度為1.6米.
信息2 購物車可以通過扶手電梯或直立電梯轉運.為安全起見,該超市的扶手電梯一次最多能轉運24輛購物車,直立電梯一次性最多能轉運2列長度均為2.6米的購物車列.
如果你是項目小組成員,請根據以上信息,完成下列問題:
(1)當n輛購物車按圖2的方式疊放時,形成購物車列的長度為L米,則L與n的關系式是________;
(2)求該超市直立電梯一次最多能轉運的購物車數量;
(3)若該超市需轉運100輛購物車,使用電梯總次數為5,則有哪幾種使用電梯次數的分配方案 請說明理由.
【解析】(1)根據題意得:L=0.2n+1.
(2)當L=2.6時,0.2n+1=2.6,解得n=8,
2×8=16(輛),
答:直立電梯一次最多能轉運16輛購物車;
(3)設用扶手電梯轉運m次,直立電梯轉運n次,
根據題意得:,
解得m≥,
∵m為正整數,且m≤5,
∴m=3,4,5,
∴共有3種分配方案,
分別為扶手電梯轉運3次,直立電梯轉運2次;
扶手電梯轉運4次,直立電梯轉運1次;
扶手電梯轉運5次.

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