資源簡介

第三十二講　概率
知識要點 對點練習
1.確定性事件與隨機事件 (1)必然事件:在一定條件下重復進行試驗時,在每次試驗中__一定會__發(fā)生的事件. (2)不可能事件:在一定條件下重復進行試驗時,在每次試驗中__一定不會__發(fā)生的事件. (3)隨機事件:在一定條件下,__可能發(fā)生也可能不發(fā)生__的事件. (4)事件的分類: 1.(教材再開發(fā)·北師七下P138習題T1改編) 下列事件中,是隨機事件的是(D) A.太陽每天早晨從西邊升起 B.△ABC中,AB+AC>BC C.兩個負數相乘,積為正 D.兩個數相加,和大于其中的一個加數
2.事件的概率及求法 (1)隨機事件的概率:對于一個隨機事件A,我們把刻畫其發(fā)生__可能性大小__的數值,稱為隨機事件A發(fā)生的概率,記為P(A). (2)概率的求法:如果在一次試驗中,有n種可能的結果,并且它們發(fā)生的可能性都__相等__,事件A包含其中m種結果,那么事件A發(fā)生的概率P(A)= __. (3)事件A發(fā)生的概率的取值范圍是__0≤P(A)≤1__. 特別地,①當A為必然事件時,P(A)=__1__. ②當A為不可能事件時,P(A)=__0__. ③當A為隨機事件時,__03.用頻率估計概率 在大量重復試驗中,如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數p附近,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=__p__,其中 p滿足__0≤p≤1__. 3.擲一枚質地不均勻的骰子,做了大量的重復試驗,發(fā)現“朝上一面為1點”出現的頻率越來越穩(wěn)定于0.6,那么,擲一次該骰子,“朝上一面為1點”的概率為__0.6__.
【考點一】　確定事件與隨機事件
【例1】(2024·連云港)下列說法正確的是(C)
A.10張票中有1張獎票,10人去摸,先摸的人摸到獎票的概率較大
B.從1,2,3,4,5中隨機抽取一個數,取得偶數的可能性較大
C.小強一次擲出3顆質地均勻的骰子,3顆全是6點朝上是隨機事件
D.拋一枚質地均勻的硬幣,正面朝上的概率為,連續(xù)拋此硬幣2次必有1次正面朝上
【方法小結】考點“確定事件與隨機事件”,多見于選擇題,根據確定事件與隨機事件定義及性質作出判斷即可,學會區(qū)分確定事件及隨機事件.
【考點二】概率的求法
【例2】為了參加全市中學生“黨史知識競賽”,某校準備從甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任選2人代表學校參加比賽.
(1)如果已經確定女生甲參加,再從其余的候選人中隨機選取1人,則女生乙被選中的概率是________;
(2)求所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率.
【思路點撥】(1)由一共有3種等可能的結果,其中恰好選中女生乙的有1種,即可求得答案;
(2)先求出全部情況的總數,再求出符合條件的情況數目,二者的比值就是其發(fā)生的概率.
【解析】(1)∵已確定女生甲參加比賽,再從其余3名同學中隨機選取1名有3種結果,其中恰好選中女生乙的只有1種,∴恰好選中女生乙的概率為;
答案:
(2)分別用字母A,B表示女生,C,D表示男生,
畫樹狀圖如下:
4人任選2人共有12種等可能結果,其中1名女生和1名男生有8種,∴P(1女1男)==.
答:所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率是.
【方法小結】考點“概率的求法”是常考考點,基本上是每年必考,在填空、解答題均有可能.利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,再從中選出符合事件A或B的結果數目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.
【考點三】　用頻率估計概率
【例3】為了弘揚愛國主義精神,某校組織了“共和國成就”知識競賽,將成績分為:A(優(yōu)秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四個等級.小李隨機調查了部分同學的競賽成績,繪制了如下統(tǒng)計圖.
(1)本次抽樣調查的樣本容量是________,請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)已知調查對象中只有兩位女生競賽成績不合格,小李準備隨機回訪兩位競賽成績不合格的同學,請用樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率;
(3)該校共有2 000名學生,請你估計該校競賽成績“優(yōu)秀”的學生人數.
【解析】(1)25÷25%=100(人),B等級的人數為100×35%=35(人),
D等級的人數為:100-35-35-25=5(人),補全條形統(tǒng)計圖如圖:
答案:100
(2)列表如下:
男 男 男 女 女
男 男男 男男 女男 女男
男 男男 男男 女男 女男
男 男男 男男 女男 女男
女 男女 男女 男女 女女
女 男女 男女 男女 女女
P(恰好回訪到一男一女)==;
(3)2 000×35%=700(人).
【方法小結】考點“用頻率估計概率”是常考考點,常與統(tǒng)計圖相結合進行考查,在選擇、填空、解答題均有可能.
【考點四】　概率的應用
【例4】(2022·揚州)某超市為回饋廣大消費者,在開業(yè)周年之際舉行摸球抽獎活動.摸球規(guī)則如下:在一只不透明的口袋中裝有1個白球和2個紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后先從中任意摸出1個球(不放回),再從余下的2個球中任意摸出1個球.
(1)用樹狀圖列出所有等可能出現的結果;
(2)活動設置了一等獎和二等獎兩個獎次,一等獎的獲獎率低于二等獎.現規(guī)定摸出顏色不同的兩球和摸出顏色相同的兩球分別對應不同獎次,請寫出它們分別對應的獎次,并說明理由.
【解析】(1)畫樹狀圖如下:
共有6種等可能出現的結果;
(2)摸出顏色不同的兩球對應的獎次為二等獎,摸出顏色相同的兩球對應的獎次為一等獎,理由如下:
由樹狀圖可知,摸出顏色不同的兩球的結果有4種,摸出顏色相同的兩球的結果有2種,
∴摸出顏色不同的兩球的概率為=,摸出顏色相同的兩球的概率為=,
∵一等獎的獲獎率低于二等獎,<,
∴摸出顏色不同的兩球對應的獎次為二等獎,摸出顏色相同的兩球對應的獎次為一等獎.
1.(2022·廣東)書架上有2本數學書、1本物理書.從中任取1本書是物理書的概率為(B)
A. B. C. D.
2.(2023·廣東)某學校開設了勞動教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機選擇一門學習,每門課程被選中的可能性相等.小明恰好選中“烹飪”的概率為(C)
A. B. C. D.
3.(2024·廣東)長江是中華民族的母親河,長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化.若從上述四種區(qū)域文化中隨機選一種文化開展專題學習,則選中“巴蜀文化”的概率是(A)
A. B. C. D.
4.(2024·深圳)二十四節(jié)氣,它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自然現象發(fā)生的規(guī)律,二十四個節(jié)氣分別為:春季(立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨),夏季(立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑),秋季(立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降),冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒),若從二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣,則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為(D)
A. B. C. D.
5.(2023·深圳)小明從《紅星照耀中國》《紅巖》《長征》《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機挑選一本,其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為 __.
6.(2022·深圳)某工廠進行廠長選拔,從中抽出一部分人進行篩選,其中有“優(yōu)秀”“良好”“合格”“不合格”.
(1)本次抽查總人數為________,“合格”人數的百分比為________;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)扇形統(tǒng)計圖中“不合格”人數的度數為________;
(4)在“優(yōu)秀”中有甲、乙、丙三人,現從三人中抽出兩人,則剛好抽中甲、乙兩人的概率為________.
【解析】(1)本次抽查的總人數為8÷16%=50(人),
“合格”人數的百分比為1-(32%+16%+12%)=40%.
答案:50　40%
(2)補全圖形如圖:
(3)扇形統(tǒng)計圖中“不合格”人數的度數為360°×32%=115.2°;
答案:115.2°
(4)列表如下:
名稱 甲 乙 丙
甲 (乙,甲) (丙,甲)
乙 (甲,乙) (丙,乙)
丙 (甲,丙) (乙,丙)
由表知,共有6種等可能結果,其中剛好抽中甲、乙兩人的有2種結果,
所以剛好抽中甲、乙兩人的概率為=.
答案:
7.(2024·廣州)善于提問是應用人工智能解決問題的重要因素之一.為了解同學們的提問水平,對A,B兩組同學進行問卷調查,并根據結果對每名同學的提問水平進行評分,得分情況如下(單位:分):
A組 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
B組 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
(1)求A組同學得分的中位數和眾數;
(2)現從A,B兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談,求這2名同學恰好來自同一組的概率.
【解析】(1)將10名A組同學的得分按照從小到大的順序排列,排在第5和第6名的成績?yōu)?4,86,∴A組同學得分的中位數為(84+86)÷2=85(分).
由題中表格可知,A組同學得分的眾數為82分.
(2)將A組的兩名同學分別記為甲、乙,將B組的兩名同學分別記為丙,丁,
畫樹狀圖如下:
共有12種等可能的結果,其中這2名同學恰好來自同一組的結果有:甲乙,乙甲,丙丁,丁丙,共4種,
∴這2名同學恰好來自同一組的概率為=.第三十二講　概率
知識要點 對點練習
1.確定性事件與隨機事件 (1)必然事件:在一定條件下重復進行試驗時,在每次試驗中__ __發(fā)生的事件. (2)不可能事件:在一定條件下重復進行試驗時,在每次試驗中__ __發(fā)生的事件. (3)隨機事件:在一定條件下,__ __的事件. (4)事件的分類: 1.(教材再開發(fā)·北師七下P138習題T1改編) 下列事件中,是隨機事件的是( ) A.太陽每天早晨從西邊升起 B.△ABC中,AB+AC>BC C.兩個負數相乘,積為正 D.兩個數相加,和大于其中的一個加數
2.事件的概率及求法 (1)隨機事件的概率:對于一個隨機事件A,我們把刻畫其發(fā)生__ __的數值,稱為隨機事件A發(fā)生的概率,記為P( ). (2)概率的求法:如果在一次試驗中,有n種可能的結果,并且它們發(fā)生的可能性都__ __,事件A包含其中m種結果,那么事件A發(fā)生的概率P( )= __. (3)事件A發(fā)生的概率的取值范圍是__ __. 特別地,①當A為必然事件時,P( )=__ __. ②當A為不可能事件時,P( )=__ __. ③當A為隨機事件時,__ __. (4)求概率的方法:用頻率估計概率、列舉法、列表法、畫樹狀圖法. 2.(1)某班級計劃舉辦手抄報展覽,確定了“5G時代”“北斗衛(wèi)星”“高鐵速度”三個主題,若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題,則他們恰好選擇同一個主題的概率是( ) A. B. C. D. (2)(教材再開發(fā)·北師七下P153T3改編)如圖,任意將圖中的某一白色方塊涂黑后,能使所有黑色方塊構成的圖形是軸對稱圖形的概率是( ) A. B. C. D.
3.用頻率估計概率 在大量重復試驗中,如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數p附近,那么事件A發(fā)生的概率為P( )=__ __,其中 p滿足__ __. 3.擲一枚質地不均勻的骰子,做了大量的重復試驗,發(fā)現“朝上一面為1點”出現的頻率越來越穩(wěn)定于0.6,那么,擲一次該骰子,“朝上一面為1點”的概率為__ __.
【考點一】　確定事件與隨機事件
【例1】(2024·連云港)下列說法正確的是( )
A.10張票中有1張獎票,10人去摸,先摸的人摸到獎票的概率較大
B.從1,2,3,4,5中隨機抽取一個數,取得偶數的可能性較大
C.小強一次擲出3顆質地均勻的骰子,3顆全是6點朝上是隨機事件
D.拋一枚質地均勻的硬幣,正面朝上的概率為,連續(xù)拋此硬幣2次必有1次正面朝上
【方法小結】考點“確定事件與隨機事件”,多見于選擇題,根據確定事件與隨機事件定義及性質作出判斷即可,學會區(qū)分確定事件及隨機事件.
【考點二】概率的求法
【例2】為了參加全市中學生“黨史知識競賽”,某校準備從甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任選2人代表學校參加比賽.
(1)如果已經確定女生甲參加,再從其余的候選人中隨機選取1人,則女生乙被選中的概率是________;
(2)求所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率.
【思路點撥】(1)由一共有3種等可能的結果,其中恰好選中女生乙的有1種,即可求得答案;
(2)先求出全部情況的總數,再求出符合條件的情況數目,二者的比值就是其發(fā)生的概率.
【方法小結】考點“概率的求法”是常考考點,基本上是每年必考,在填空、解答題均有可能.利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,再從中選出符合事件A或B的結果數目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.
【考點三】　用頻率估計概率
【例3】為了弘揚愛國主義精神,某校組織了“共和國成就”知識競賽,將成績分為:A(優(yōu)秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四個等級.小李隨機調查了部分同學的競賽成績,繪制了如下統(tǒng)計圖.
(1)本次抽樣調查的樣本容量是________,請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)已知調查對象中只有兩位女生競賽成績不合格,小李準備隨機回訪兩位競賽成績不合格的同學,請用樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率;
(3)該校共有2 000名學生,請你估計該校競賽成績“優(yōu)秀”的學生人數.
【方法小結】考點“用頻率估計概率”是常考考點,常與統(tǒng)計圖相結合進行考查,在選擇、填空、解答題均有可能.
【考點四】　概率的應用
【例4】(2022·揚州)某超市為回饋廣大消費者,在開業(yè)周年之際舉行摸球抽獎活動.摸球規(guī)則如下:在一只不透明的口袋中裝有1個白球和2個紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后先從中任意摸出1個球(不放回),再從余下的2個球中任意摸出1個球.
(1)用樹狀圖列出所有等可能出現的結果;
(2)活動設置了一等獎和二等獎兩個獎次,一等獎的獲獎率低于二等獎.現規(guī)定摸出顏色不同的兩球和摸出顏色相同的兩球分別對應不同獎次,請寫出它們分別對應的獎次,并說明理由.
1.(2022·廣東)書架上有2本數學書、1本物理書.從中任取1本書是物理書的概率為( )
A. B. C. D.
2.(2023·廣東)某學校開設了勞動教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機選擇一門學習,每門課程被選中的可能性相等.小明恰好選中“烹飪”的概率為( )
A. B. C. D.
3.(2024·廣東)長江是中華民族的母親河,長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化.若從上述四種區(qū)域文化中隨機選一種文化開展專題學習,則選中“巴蜀文化”的概率是( )
A. B. C. D.
4.(2024·深圳)二十四節(jié)氣,它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自然現象發(fā)生的規(guī)律,二十四個節(jié)氣分別為:春季(立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨),夏季(立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑),秋季(立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降),冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒),若從二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣,則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為( )
A. B. C. D.
5.(2023·深圳)小明從《紅星照耀中國》《紅巖》《長征》《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機挑選一本,其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為 __.
6.(2022·深圳)某工廠進行廠長選拔,從中抽出一部分人進行篩選,其中有“優(yōu)秀”“良好”“合格”“不合格”.
(1)本次抽查總人數為________,“合格”人數的百分比為________;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)扇形統(tǒng)計圖中“不合格”人數的度數為________;
(4)在“優(yōu)秀”中有甲、乙、丙三人,現從三人中抽出兩人,則剛好抽中甲、乙兩人的概率為________.
7.(2024·廣州)善于提問是應用人工智能解決問題的重要因素之一.為了解同學們的提問水平,對A,B兩組同學進行問卷調查,并根據結果對每名同學的提問水平進行評分,得分情況如下(單位:分):
A組 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
B組 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
(1)求A組同學得分的中位數和眾數;
(2)現從A,B兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談,求這2名同學恰好來自同一組的概率.

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