資源簡介

平面向量基本定理 教學設計
教學目標
1.通過觀察、猜想、實驗驗證、邏輯推理，知道平面向量基本定理是如何得來的，理解平面向量基本定理中關鍵詞的含義；
2.學生經歷從提出問題，到觀察猜想，再到驗證推理，然后概括總結，進而完善發展的數學研究過程，培養學生觀察、分析、類比、歸納的能力；通過與平行向量基本定理的比較，揭示知識之間的內在聯系，提高對知識體系的整體認識．
3.在概念的發生、發展和深化的過程中，感受數學的思維方式，體驗數學的嚴謹性和概括性，培養主動觀察、分析、探索的意識；在平面向量基本定理形成與理解的過程中，體會特殊與一般，對立與統一的辯證觀點．
教學重、難點：平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性．
教學過程
復習引入，鋪墊新課
引例 如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，點N為線段AB的中點，設，，用向量a，b的線性運算來表示向量、、．
設計意圖：
1．復習向量的線性運算；
2．使學生感受到用平面內兩個給定向量的線性運算，可以表示出許多不同的向量；
3．利用這個并不困難的引例，引出本節課要研究的問題．
(二) 逆向設問，形成猜想
通過活動1，我們發現通過平面內兩個給定向量的線性運算，可以表示出許多不同的向量．那么
問題1 想通過線性運算表示這些向量，必須給定兩個向量嗎？
設計意圖：
如果兩個給定向量就夠用了，那么再增加其他的向量就沒有必要了，體現數學的簡單化原則；
通過回憶數乘向量的幾何意義，說明一個非零向量只能表示與之共線的向量，無法表示與之不共線的向量，因此至少需要兩個向量；
通過回憶平行向量基本定理，說明一個非零向量可以表示與之共線的任意向量，同時為后面應用平行向量基本定理，以及兩個定理進行比較做知識上的復習．
在課堂教學中發現學生容易忽略特殊情況，如零向量．
問題2 通過平面內兩個給定向量的線性運算可以表示多少向量，是有限個、無數個還是任意一個？
設計意圖：
1．說明當給定的兩個不全為零的向量共線的時候，只能表示與他們共線的向量，從而形成定理中的“不共線”；
2．說明當給定的兩個向量不共線時，只能表示與他們共面的向量，從而形成定理中的“這一平面內”；
3．區別“無數個”與“任意一個”，從而猜想定理中的“任意”．
在課堂教學中：
學生甲認為兩個給定的向量可以表示無數個向量而非任意一個，此時可以引導學生思考哪些向量無法表示；
學生乙忽略“平面內”的限定，認為兩個給定的向量可以表示任意一個向量，這與此前學生數學學習中對三維空間研究較少有關，難以突破二維空間的思維局限，此時，教師可以給出反例，讓學生體會；
學生丙忽略共線的特殊情況，認為同一平面內兩個給定向量可以表示該平面內任意一個向量，此時可以追問學生丙“無論這兩個向量如何給定，都可以表示平面內任意一個向量嗎？”；
由問題1的討論，有些學生容易想到當一個向量是零向量時，無法表示平面內任意向量，有些學生會想到當兩給定向量共線時，無法表示平面內任意向量，教師需要引導學生認識到“不共線”的限定就排除了含零向量的可能．
活動1 請學生表述猜想：通過同一平面內兩個不共線向量的線性運算可以表示這一平面內任意一個向量．
設計意圖：
由猜想是否成立，引出課題；
猜想得到驗證之后，這就是定理文字語言的描述，也是用符號語言進行描述的基礎．
(三) 操作確認，定理雛形
活動2 操作確認，形成定理雛形
環節1 教師給定一組不共線向量e1、e2 (由向量的可平移性，不妨讓這兩個向量共起點) ，并給出待分解的向量a，請學生到黑板上作圖，并說明作圖過程及能夠用e1、e2的線性運算來表示的原因．
設計意圖：
基底給作共起點的情況，使學生更容易想到逆用平行四邊形法則進行分解；
由這種情況入手，是因為這種情況與學生物理課上學習過的矢量分解類似，學生比較容易上手；
逆用向量線性運算法則，構造平行四邊形或三角形，培養學生的邏輯推理能力；
通過較簡單情況下向量a的分解，體會將向量a用不共線向量e1、e2的線性運算進行表示的方法和依據；
通過對學生將向量a平移的追問，一方面再次明確向量只與大小、方向有關，與起點位置無關，即可以平移，另一方面說明平移至共起點是根據平行四邊形法則中三個向量的位置關系，目的是便于構造平行四邊形，從而說明可以將對平面內任意向量的驗證問題簡化為對以點O為起點的任意向量進行驗證．
在課堂教學中：學生丙逆用三角形法則對向量a進行分解，首先給予肯定，再詢問其它方法；如果學生沒有用三角形法則，那么在整個驗證活動結束后，提醒學生逆用三角形法則也是可以驗證的，可以課后進行嘗試．
環節2 當向量a可以用不共線向量e1、e2的線性運算進行表示時，不改變向量的方向，只改變向量的大小，驗證分解的存在性．
方案一：從形入手，可以先想象再配合幾何畫板直觀觀察分解的存在性．
方案二：從數入手，由平行向量基本定理，與向量a方向相同的向量一定可以寫成ma，既然a=λ1e1+λ2e2，那么ma=mλ1e1+mλ2e2．
設計意圖：
向量的兩個基本要素大小和方向同時變化不便于研究，我們可以分別研究；
從形理解更為直觀，從數理解更為嚴謹，同時也潛移默化地使學生體會到向量是有著數、形兩種屬性的數學對象；
由本環節的探究可知，只要向量a可以用不共線向量e1、e2的線性運算進行表示，那么與之同向的向量也可以用e1、e2的線性運算來表示，那么對猜想的驗證就只剩下說明任意方向的向量都可以用e1、e2的線性運算來表示了．
在課堂教學中：
學生想不到從數的角度進行證明，這就需要教師進行引導了；
從數的角度進行說明的過程中，學生可能會發現向量ma可以表示與向量a共線的任意向量，也就是說如果向量a可以用不共線向量e1、e2的線性運算進行表示，那么與之共線的向量就都以用e1、e2的線性運算來表示，而不僅僅是與之同向的向量．如果學生發現這一點，是非常值得肯定的，這可以使得下一環節的驗證進一步得到簡化．但數乘向量可以表示與原向量方向相反的向量這件事，學生在認知上仍存在一定困難，為了分散難點，此處如果學生沒有發現，教師也不必提及．
環節3 使向量a繞其起點旋轉，隨著旋轉，向量a的分解方法會有什么不同嗎？都有哪些情況呢？請想好的學生在黑板上畫出代表不同情況的向量，對它們分別進行研究，提煉一般方法，驗證任意性．同時，利用幾何畫板進行動態演示，直觀確認任意性．
設計意圖：
通過對幾種情況的區別，培養學生分類討論的意識；通過對分類依據的交流，從分解出的向量與基底方向的關系，到線性運算中系數的符號，為后續課程中建立坐標系，劃分象限埋下伏筆；
通過對上圖中向量a1的分解方式與向量a分解方式的對比，將直接延長和反向延長有向線段的情況統一起來，提煉出相應的平行四邊形的一般構造方法：過向量a的起點和終點分別作與e1、e2平行的直線，這四條直線圍成所需平行四邊形；
對向量a與e1、e2其中一個共線情況的討論，為后面分析平面向量基本定理與共線向量基本定理之間的聯系做鋪墊；
利用幾何畫板動態演示使學生更加直觀地確定猜想中的“任意”．
在課堂教學中：
學生沒有理解老師的意圖，無從下手，教師可以使最初的向量a旋轉一個小角度，使學生發現此時分解的方法與原方法一致，那么向量a繼續旋轉，什么時候分解方式就不同了呢？從而使學生理解老師的意圖；
學生按照夾在兩給定向量所成的小于180°的角內和角外進行分類，那么可以先請學生對畫出的向量進行線性表示，并分析分解出的向量方向及線性表達式中系數的符號，從而從這個角度給出其余情況；
學生遺漏特殊情況，即與e1、e2其中一個共線的情況，可以由其他同學補充；
學生對向量a1、a3、a4不會分解，可以引導學生回憶非零向量共線的定義，即同向或反向．
活動3 經過上述活動的探究，猜想得到了驗證，試用符號語言總結得到的結論．
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a存在實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2．
設計意圖：學生對符號語言的表述有一定困難，但這也是培養學生數學表達能力的機會，需要教師幫助學生完善表述．
(四) 完善定理，理解辨析
問題3 我們定性地說明了滿足要求的實數λ1，λ2存在，那么到底存在多少組呢
設計意圖：
從定性研究到定量研究，使學生體會科學研究的一般思路；
對唯一性的論證，一方面從形的角度用作圖方法證明，貼近學生思維，培養論證表達能力，另一方面從數的角度用同一法、反證法證明，培養邏輯思維能力，同時使學生進一步體會向量是集數形于一身的數學概念；
理解當基底選定后，平面內的任意向量與有序實數對(λ1，λ2)一一對應，為后面向量的坐標表示做鋪墊．
在課堂教學中：
大部分學生會利用作圖過程進行分析，但學生證明的意識比較薄弱，容易想當然，缺乏從定義、公理、定理出發進行嚴謹邏輯推理的意識，這就需要教師抓住契機進行培養；
高一年級的學生還沒有學習反證法，同一法在課標當中也沒有涉及，所以從數的角度嚴格證明對學生來講是個難點，如果沒有課外的補充學習，學生很難想到這種證明方法，因此這里的處理方式是教師引導，且對證明不做規范性要求．
完善平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a存在唯一一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2．
設計意圖：將教材定理中的“有且只有”寫作“存在唯一”，減少理解障礙．
教師解釋定理的價值，深化學生對定理的認識：
阿基米德曾經說過：給我一個支點，我可以撬起地球．
通過平面向量基本定理，我們可以說：
給我兩個不共線的向量，我可以通過簡單的線性運算，構造出該平面內的所有向量；
給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內任意向量的問題都化歸為這兩個向量的問題，從而化任意為確定，化未知為已知；
給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內的向量與有序實數對建立一一對應，搭起數與形之間的橋梁，為用數的運算來刻畫形的問題創造了可能．
我只需要兩個不共線的向量！
設計意圖：
借用阿基米德名言的句式，引起學生興趣和注意；
通過排比，強調平面向量基本定理的重要價值；
說明這兩個不共線向量的重要地位，引出基底定義．
給出基底的定義：
我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的基底(base)．
設計意圖：給出基底的英文單詞，base有基礎的意思，更容易讓學生理解基底是構建平面內所有向量的基礎．我認為這也體現了平面向量基本定理中“基本”的含義．
問題4 這個定理與平行向量基本定理有什么聯系？
設計意圖：
使學生理解二者的聯系：平面向量基本定理是平行向量基本定理由一維到二維的推廣，平行向量基本定理是平面向量基本定理在一維時的特殊情形，這里體現了特殊與一般的辨證觀點，在這種視角下，平行向量基本定理中的“非零向量”也可以稱為一維空間上的一個基底，由它生成了與之共線的所有向量；
使學生體會聯系地看待事物，而非割裂地看待知識，將新知識納入到自己的知識網絡中，提高對知識體系的整體認識．

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