資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.7.1 二元一次方程組的應用
學習目標與重難點
學習目標：
1. 掌握用二元一次方程組解決簡單實際問題的基本步驟，能用二元一次方程組解決實際問題。
2. 經歷用二元一次方程組解決實際問題的過程，發展學生邏輯思維和解決問題的能力
3. 感受數學建模的過程，體會數學知識在實際生活中的應用，發展用數學解決實際問題的意識
學習重點：掌握用二元一次方程組解決簡單實際問題的基本步驟
學習難點：正確找出兩個等量關系，列出二元一次方程組，能用二元一次方程組解決實際問題
預習自測
一、單選題
1．在3月12日是植樹節這天，小剛和小敏積極踴躍地參加植樹活動，小剛平均每小時比小敏多植1棵樹，小剛植樹3小時，小敏植樹2小時，兩人一共植樹18棵樹．設小剛平均每小時植樹x棵，小敏平均每小時植樹y棵，那么根據題意，下列所列方程組中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．小劉同學用10元錢買兩種不同的賀卡共8張，單價分別是1元和2元，設1元的賀卡為x張，2元的賀卡為y張，那么x與y所適合的方程組是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
3．用二元一次方程組解決實際問題的步驟：
（1） ：弄清題意和題目中的數量關系；
（2） ：用字母表示題目中的未知數；
（3） ：根據兩個等量關系列出方程組；
（4） ：利用代入消元法或加減消元法解出未知數的值；
（5） ：檢驗所求的解是否符合實際意義，然后作答．
4．桌子上堆了兩堆碗，每個碗大小完全相同，如圖是這兩堆碗的主視圖，兩堆碗的高度分別是和，那么把這兩堆碗堆在一起的高度是 ．

教學過程
一、問題提出、導入新課
小楠收集的中國郵票和外國郵票共有335張，其中中國郵票的張數比外國郵票的張數的3倍少17. 小楠收集的中國郵票和外國郵票各有多少張？
本題的等量關系是：
嘗試解這個問題：
二、合作交流、新知探究
探究一：二元一次方程組的應用
教材第111頁
練一練：例1：某業余運動員針對自行車和長跑項目進行專項訓練 . 某次訓練中，他騎自行車的平均速度為10 m/s，跑步的平均速度為 m/s，自行車路段和長跑路段共5 km，共用時15 min. 求自行車路段和長跑路段的長度.
本題的等量關系是：
嘗試解這個問題：
例2：甲、乙兩種商品原來的單價和為100元，因市場變化，甲商品降價15%，乙商品提價10%，調價后兩種商品的單價和比原來的單價和降低了5%.求甲、乙兩種商品原來的單價.
本題的等量關系：
嘗試解這個問題：
做一做：用流程圖表示利用二元一次方程組解決有關實際問題的思路，與同學交流.
三、自主檢測
一、單選題
1．現有兩種禮包，甲種禮包里面含有4個毛絨玩具和1套文具，乙種禮包里面含有3個毛絨玩具和2套文具．現在需要37個毛絨玩具，18套文具，設需要采購甲種禮包的數量為x件，乙種禮包的數量為y件，則可列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
2．現用95張紙板制作一批盒子，每張紙板可做4個盒身或做11個盒底，而一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子．問用多少張紙板制盒身、多少張紙板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，設用x張紙板做盒身，y張紙板做盒底，可以使盒身與盒底正好配套，則可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空題
3．根據下列情境中的等量關系列出一個等式：
（1）比a的3倍大5的數是： ；
（2）練習本每本a元，筆記本每本b元，買5本練習本、3本筆記本總共付了元： ．
三、解答題
4．已知書店中文學類書籍的售價為20元/本，科技類書籍的售價為30元/本．若書店銷售兩類書籍共90本，銷售額為2100元，求這兩種書籍各銷售多少本．
5．甲、乙兩個玩具的成本共300元，商店老板為獲取利潤，并快速出售玩具，決定將甲玩具按的利潤率標價出售，乙玩具按的利潤率標價出售，在實際出售時，應顧客要求，兩個玩具均按標價的九折出售，這樣，商店共獲利114元．
(1)若甲玩具的成本為元，則甲玩具的標價是________元，甲玩具的售價是________元，若乙玩具的成本是元，則乙玩具的標價是________元，乙玩具的售價是________元；（用含的式子填空）
(2)在（1）的條件下，求甲、乙兩個玩具的成本各是多少元；
(3)在（1）的條件下，商店老板決定投入1 000元購進這兩種玩具，且為了吸引顧客，每種玩具至少購進1個，那么可以怎樣安排進貨？
知識點總結
用二元一次方程解決實際問題的基本步驟：
分析實際題目找出兩個等量關系
列出二元一次方程組
解方程組
檢查解是否符合實際問題的需要，如果符合，它就是實際問題的解
預習自測參考答案：
1．D
【分析】本題考查了列二元一次方程組，根據題意找到等量關系是解題的關鍵．
【詳解】解：設小剛平均每小時植樹x棵，小敏平均每小時植樹y棵，
由題意可得：，
故選：D．
2．D
【分析】此題的等量關系為：①1元的賀卡張數元的賀卡張數張； ②1元的賀卡錢數元的賀卡錢數元．根據這兩個等量關系列出方程組即可．
【詳解】解：根據1元的賀卡張數元的賀卡張數張，得方程；
根據1元的賀卡錢數元的賀卡錢數元，得方程為．
∴所列方程組為．
故選D．
【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出的二元一次方程組的知識點，解答本題的關鍵是理解題意，找到關鍵描述語，進而找到等量關系是解決問題的關鍵．
3． 審題 設元 列方程組 解方程組 檢驗并答
【解析】略
4．
【分析】設每個碗的高度為 ，兩個碗堆起來時上一個碗露出來的高度為 ，根據兩堆碗的高度分別是和，列出方程組并解答．
【詳解】解：設一個碗的高度為，,兩個碗堆起來時上一個碗露出來的高度為，依題意得：
解得：
把這兩堆碗堆在一起的高度是
（）．
故兩堆碗堆在一起時的高度是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用．解二元一次方程組的應用的題目關鍵是弄清題意，合適的等量關系，列出方程組．
自主檢測參考答案：
1．C
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，找出等量關系是解題的關鍵．設需要采購甲種禮包的數量為x件，乙種禮包的數量為y件，根據甲種禮包的數量4乙種禮包的數量3，甲種禮包的數量1乙種禮包的數量2，列方程組即可．
【詳解】解：設需要采購甲種禮包的數量為x件，乙種禮包的數量為y件， 根據題意得
，
故選：C．
2．D
【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出二元一次方程組，根據“制作盒身和制作盒底的紙板共95張，每張紙板可做4個盒身或做11個盒底，且一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子（即制作的盒底的總數量是制作盒身總數量的2倍）”，即可列出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】解：∵制作盒身和制作盒底的紙板共95張，
∴；
∵每張紙板可做4個盒身或做11個盒底，且一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子，
∴．
∴根據題意可列方程組．
故選：D．
3．
【分析】本題考查了一元一次方程、二元一次方程的應用．根據題意正確的列方程是解題的關鍵．
根據題意中的等量關系列方程即可．
【詳解】（1）解：由題意得，，
故答案為：；
（2）解：由題意得，，
故答案為：．
4．書店銷售60本文學類書籍，30本科技類書籍
【詳解】解：設書店銷售本文學類書籍，本科技類書籍，
根據題意得：解得
答：書店銷售60本文學類書籍，30本科技類書籍．
5．(1)
(2)甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元
(3)共有4種進貨方案，方案1：購進8個甲玩具，1個乙玩具；方案2：購進6個甲玩具，2個乙玩具；方案3：購進4個甲玩具，3個乙玩具；方案4：購進2個甲玩具，4個乙玩具
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、列代數式以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）根據各數量之間的關系，用含x，y的代數式表示出各量；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（3）找準等量關系，正確列出二元一次方程．
（1）利用標價=成本價×（1+利潤率）及售價=標價×折扣率，即可用含x，y的代數式表示出甲、乙玩具的標價及售價；
（2）根據“甲、乙兩個玩具的成本共300元，兩個玩具打折銷售后共獲利114元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（3）設購進m個甲玩具，n個乙玩具，利用總價=單價×數量，即可得出關于m，n的二元一次方程，結合m，n均為正整數，即可得出各進貨方案．
【詳解】（1）解：∵甲玩具的成本為x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按的利潤率標價出售，乙玩具按的利潤率標價出售，
∴甲玩具的標價為 (元)，乙玩具的標價為 (元)．
又∵在實際出售時，應顧客要求，兩個玩具均按標價的九折出售，
∴甲玩具的售價為 (元)，乙玩具的售價為 (元)．
（2）解：依題意，得
解得
答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元．
（3）解：設購進m個甲玩具，n個乙玩具，
依題意，得，化簡得．
又∵m，n均為正整數，
∴或或或
∴共有4種進貨方案，方案1：購進8個甲玩具，1個乙玩具；方案2：購進6個甲玩具，2個乙玩具；方案3：購進4個甲玩具，3個乙玩具；方案4：購進2個甲玩具，4個乙玩具．
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