資源簡介

第8部分第13節(jié)《圓錐曲線中探索性及綜合性問題》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【題型展示】
題型一　探索性問題
例1　已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，點M(2，m)在拋物線C上，且|MF|＝2.
(1)求實數(shù)m的值及拋物線C的標準方程；
(2)不過點M的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若直線MA，MB的斜率之積為－2，試判斷直線l能否與圓(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此時直線l的方程；若不能，請說明理由．
跟蹤訓練1　已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，且過點().
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設Q為雙曲線C右支第一象限上的一個動點，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，在x軸的負半軸上是否存在定點M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
題型二　圓錐曲線的綜合問題
例2　如圖，過拋物線E：y2＝2px(p>0)焦點F的直線l交拋物線于點A，B，|AB|的最小值為4，直線x＝－4分別交直線AO，BO于點C，D(O為原點)．
(1)求拋物線E的方程；
(2)圓M過點C，D，交x軸于點G(t,0)，H(m,0)，證明：若t為定值時，m也為定值．并求t＝－8時，△ABH面積S的最小值．
跟蹤訓練2 如圖，O為坐標原點，拋物線C1：y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓C2：＋＝1(a>b>0)的右焦點，A為橢圓C2的右頂點，橢圓C2的長軸長為|AB|＝8，離心率e＝.
(1)求拋物線C1和橢圓C2的方程；
(2)過A點作直線l交C1于C，D兩點，射線OC，OD分別交C2于E，F(xiàn)兩點，記△OEF和△OCD的面積分別為S1和S2，問是否存在直線l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
基礎夯實
1．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，離心率為.設點M(m,0)(m≠0，m≠±a)是x軸上的定點，直線l：x＝，設過點M的直線與橢圓相交于A，B兩點，A，B在直線l上的射影分別為A′，B′.
(1)求橢圓C的方程；
(2)判斷|AA′|·|BB′|是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．
2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點E，F(xiàn)分別為其下頂點和右焦點，坐標原點為O，且△EOF的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在直線l，使得l與橢圓C相交于A，B兩點，且點F恰為△EAB的垂心？若存在，求直線l的方程，若不存在，請說明理由．
3. 已知拋物線C：x2＝－2py(p>0)經(jīng)過點(2，－1).
(1)求拋物線C的方程及其準線方程.
(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y＝－1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.
4. 設中心在原點，焦點在x軸上的橢圓E過點()，且離心率為，F(xiàn)為E的右焦點，P為E上一點，PF⊥x軸，圓F的半徑為PF.
(1)求橢圓E和圓F的方程；
(2)若直線l：y＝k(x－)(k＞0)與圓F交于A，B兩點，與橢圓E交于C，D兩點，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由.
優(yōu)化提升
5.如圖，拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，準線為l，A為C上的一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點，準線l與y軸交于點S.
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程；
(2)若直線y＝kx＋b與拋物線C交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，若點S關于直線PQ的對稱點為T，求|FT|的取值范圍．
6．已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F且傾斜角為的直線交拋物線于M，N兩點，|MN|＝8.
(1)求拋物線E的方程；
(2)在拋物線E上任取與原點不重合的點A，過A作拋物線E的切線交x軸于點B，點A在直線x＝－1上的射影為點C，試判斷四邊形ACBF的形狀，并說明理由．
7. 如圖，圓C與x軸相切于點T(2，0)，與y軸正半軸相交于兩點M，N(點M在點N的下方)，且|MN|＝3.
(1)求圓C的方程；
(2)過點M任作一條直線與橢圓＋＝1相交于兩點A，B，連接AN，BN，求證：∠ANM＝∠BNM.
8. 橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，且滿足向量·＝0.
(1)若A(2，0)，求橢圓的標準方程.
(2)設P為橢圓上異于頂點的點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，則是否存在過點F2的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，請說明理由.
參考答案：
基礎摸查
【題型展示】
例1 解　(1)由題意得，
因為點M(2，m)在拋物線上，
所以22＝2pm，
由拋物線的定義，得m＋＝2，
則解得
所以拋物線C的標準方程為x2＝4y.
(2)由(1)得M(2,1)，
設點A，B，
則kMA＝，kMB＝，
所以kMAkMB＝×＝－2，
得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；
設直線AB方程為y＝kx＋b，
由得x2－4kx－4b＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，
所以直線AB的方程為
y＝kx＋2k＋9，
即直線AB恒過拋物線內(nèi)部的定點
N(－2,9)，
又圓M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好經(jīng)過點N(－2,9)，
當且僅當直線AB與半徑MN垂直時直線AB與圓M相切，
此時k＝－＝，
所以直線AB的方程為y＝x＋10.
跟蹤訓練1 解　(1)依題意
結合c2＝a2＋b2，
解得a＝1，b＝，c＝2.
所以雙曲線C的標準方程為
x2－＝1.
(2)假設存在點M(t,0)(t<0)滿足題設條件．
由(1)知雙曲線C的右焦點為
F(2,0)．
設Q(x0，y0)(x0≥1)為雙曲線C右支上一點．
當x0＝2時，
因為∠QFM＝2∠QMF＝90°，
所以∠QMF＝45°，
于是|MF|＝|QF|＝3，
所以t＝－1.即M(－1,0)．
當x0≠2時，tan∠QFM＝－kQF
＝－，
tan∠QMF＝kQM＝.
因為∠QFM＝2∠QMF，
所以－＝.
將y＝3x－3代入并整理得
－2x＋(4＋2t)x0－4t
＝－2x－2tx0＋t2＋3，
所以
解得t＝－1.即M(－1,0)．
綜上，滿足條件的點M存在，其坐標為(－1,0)．
例2 解　(1)當直線AB的斜率不存在時，此時A，B，∴|AB|＝2p，
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k，聯(lián)立拋物線方程得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝＝＋p，此時|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p>2p，顯然當直線AB的斜率不存在時，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，
∴拋物線E：y2＝4x.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，則直線OA的方程：y＝x，直線OB的方程：y＝x，
由(1)知，x1x2＝，∴y1y2＝－2p＝－4，∴y3＝，y4＝＝＝4y1，
設圓心M(x0，y0)，
則y0＝＝2y1－.
若G(t,0)(t為定值)，H(m,0)，
則x0＝.
由|MD|＝|MG|，
得(x0＋4)2＋(y0－y4)2
＝(x0－t)2＋y，
∴4t＋4m＋80＝－tm，
由于t≠－4，
∴m＝也為定值．
∴H也為定點．
若t＝－8，則m＝12，
S＝|FH||y1－y2|＝|y1－y2|＝≥×4＝22，
當且僅當y1＝±2時取到最小值．
故△ABH的面積的最小值為22.
跟蹤訓練2 解　(1)由題意知，a＝4，＝，
所以c＝2，
所以b＝＝2，p＝4.
所以拋物線C1的方程為y2＝8x，
橢圓C2的方程為＋＝1.
(2)由題設知直線l的斜率不為0，
設直線l的方程為x＝my＋4.
則聯(lián)立
得y2－8my－32＝0.
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，
則y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.
所以＝
＝＝
＝，
因為直線OC的斜率為＝＝，
所以直線OC的方程為y＝x.
由
得y2＝1，
則y＝1，
同理可得y＝1，
所以y·y·＝1，
所以y·y＝，
要使S1∶S2＝3∶13，
只需＝2，
解得m＝±1，
所以存在直線l：x±y－4＝0符合條件．
基礎夯實
1．解　(1)由題意可知b＝1，＝，
又a2－b2＝c2，∴a＝2，b＝1，c＝.
∴橢圓C的標準方程為＋y2＝1.
(2)當直線AB的斜率為0時，A，B分別為橢圓的左、右頂點，A′，B′均為，
則|AA′|·|BB′|＝·
＝
＝＝，
當直線AB的斜率不為0時，設直線AB的方程為x＝ky＋m，
聯(lián)立方程組
消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則Δ>0時，x1＋x2＝，
x1x2＝，
∴|AA′|·|BB′|＝·
＝
＝＝.
綜上，|AA′|·|BB′|為定值.
2．解　(1)由題意可知
解得
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)假設滿足條件的直線l存在，
由E(0，－2)，F(xiàn)(，0)，
得kEF＝，
因為點F為△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，
所以kAB＝－，
設直線l的方程為y＝－x＋t，
代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－記A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
由AF⊥BE得
·＝－1，
所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0，
將y1＝－x1＋t，
y2＝－x2＋t代入上式，
得3x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，
所以3×－(t＋2)·＋(2t2＋4t)＝0，
所以5t2＋t－18＝0，
解得t＝ (t＝－2舍去)，
滿足Δ>0，
所以直線l的方程為
y＝－x＋.
3.(1)解　由拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(2，－1)得p＝2.
所以拋物線C的方程為x2＝－4y，其準線方程為y＝1.
(2)證明　拋物線C的焦點為F(0，－1).
設直線l的方程為y＝kx－1(k≠0).
由得x2＋4kx－4＝0.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＝－4.
直線OM的方程為y＝x.
令y＝－1，得點A的橫坐標xA＝－，
同理得B的橫坐標xB＝－.
設點D(0，n)，則＝，
＝，
·＝＋(n＋1)2
＝eq \f(x1x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,4))))＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.
綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0，1)和(0，－3).
4.解　(1)由題意可設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，
∵橢圓的離心率e＝，∴＝，
∵a2＝b2＋c2，∴a＝2b，
將點代入橢圓的方程得＋＝1，
聯(lián)立a＝2b，解得a＝2且b＝1.
∴橢圓E的方程為＋y2＝1.
∴F(，0)，∵PF⊥x軸，∴P，
∴圓F的半徑為，圓心為(，0)，
∴圓F的方程為(x－)2＋y2＝.
(2)不存在滿足題意的k，理由如下：
由A，B在圓上得
|AF|＝|BF|＝|PF|＝.
設點C(x1，y1)，D(x2，y2).
|CF|＝eq \r(（x1－\r(3)）2＋y)＝2－x1，
同理|DF|＝2－x2.
若|AC|＝|BD|，
則|AC|＋|BC|
＝|BD|＋|BC|，
即|AB|＝|CD|＝1，
4－(x1＋x2)＝1，
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋12k2－4＝0，
∴x1＋x2＝，∴4－＝1，
得12k2＝12k2＋3，無解，故不存在.
優(yōu)化提升
5．解　(1)由∠BFD＝90°知，
|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，
設A(xA，yA)，
則yA＋＝|FA|＝|FD|＝p，
S△ABD＝·|BD|·
＝×2p×p＝4，
解得p＝2(負值舍去)．F(0,1)，
所以圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8.
(2)由題意得，直線PQ的斜率一定存在，
其中S，
設S關于直線PQ的對稱點為T(m，n)，
則
解得
聯(lián)立y＝kx＋b與x2＝2py，得x2－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p2k2＋8pb>0，
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2pb，
則y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)
＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，
則x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
＝－2pb(1＋k2)＋2pk2b＋b2
＝－2pb＋b2＝0，
解得b＝0(此時O與P或Q重合，舍去)或b＝2p，
所以|FT|＝
＝p∈(p,4p]．
6．解　(1)設過點F且傾斜角為的直線方程為y＝x－，
代入y2＝2px(p>0)，
得x2－3px＋＝0，若M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝3p，
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，
則p＝2，
即拋物線E的方程為y2＝4x.
(2)設A(x0，y0)，則過A作拋物線E的切線為y－y0＝k(x－x0)，
即x＝＋x0，
代入y2＝4x，
整理得ky2－4y＋4y0－ky＝0，
因為此直線與拋物線相切，
所以Δ＝4(4－4ky0＋k2y)＝0，
即(ky0－2)2＝0，解得k＝，
所以過A的切線為
y－y0＝(x－x0)，
令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，
又AC∥BF，所以四邊形ACBF有一組對邊平行且相等，且鄰邊也相等，
所以四邊形ACBF為菱形．
7.(1)解　設圓C的半徑為r(r>0)，依題意知，圓心C的坐標為(2，r).
因為|MN|＝3，所以r2＝＋22＝，
所以r＝，圓C的方程為
(x－2)2＋＝.
(2)證明　把x＝0代入方程(x－2)2＋＝，解得y＝1或y＝4，
即點M(0，1)，N(0，4).
①當AB⊥x軸時，可知∠ANM＝∠BNM＝0.
②當AB與x軸不垂直時，可設直線AB的方程為y＝kx＋1.
聯(lián)立方程消去y得，
(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.
Δ＝16k2＋24(1＋2k2)＞0恒成立.
設直線AB交橢圓于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1＋x2＝，x1x2＝，
所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝
＝＝0，
所以∠ANM＝∠BNM.
綜合①②知∠ANM＝∠BNM.
8.解　(1)易知a＝2，因為·＝0，
所以△BF1F2為等腰直角三角形，所以b＝c，
由a2－b2＝c2，可知b＝.
故橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)由已知得b2＝c2，a2＝2c2.
設橢圓的標準方程為＋＝1，P的坐標為(x0，y0).
因為F1(－c，0)，B(0，c)，
所以＝(x0＋c，y0)，＝(c，c).
由題意得·＝0，
所以x0＋c＋y0＝0.
又點P在橢圓上，所以eq \f(x,2c2)＋eq \f(y,c2)＝1.
由以上兩式消去y0可得，3x＋4cx0＝0.
因為點P不是橢圓的頂點，所以x0＝－c，y0＝c，故P.
設圓心為(x1，y1)，則x1＝－c，y1＝c，
所以圓的半徑r＝＝c.
假設存在過F2的直線滿足題設條件，并設該直線的方程為y＝k(x－c).
由該直線與圓相切可知，＝r，
所以＝c，即20k2＋20k－1＝0，解得k＝－±.
故存在滿足條件的直線，
其斜率為－±.第8部分第1節(jié)《直線的方程》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．已知點A(2,0)，B(3，)，則直線AB的傾斜角為(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知直線l過點(1,1)，且傾斜角為90°，則直線l的方程為(　　)
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．y＝1 D．x＝1
3．過點P(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________________________．
【知識歸納】
1．直線的方向向量
設A，B為直線上的兩點，則 就是這條直線的方向向量．
2．直線的傾斜角
(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準， 與直線l 的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為 .
3．直線的斜率
(1)定義：把一條直線的傾斜角α的 叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝ (α≠90°)．
(2)過兩點的直線的斜率公式
如果直線經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
4．直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 不含直線x＝x0
斜截式 不含垂直于x軸的直線
兩點式 不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1
截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用
常用結論：
1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；
遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．
2．“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù)．應注意過原點的特殊情況是否滿足題意．
3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個方向向量a＝(－B，A)．
【題型展示】
題型一　直線的傾斜角與斜率
例1　(1)直線2xcosα－y－3＝0()的傾斜角的變化范圍是(　　)
A. B.
C. D.
(2)若直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是(　　)
A．[－，1] B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C. D.(]∪[1，＋∞)
跟蹤訓練1　(1)若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________.
(2)直線x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的傾斜角的最小值是________．
題型二　求直線的方程
例2　求符合下列條件的直線方程：
(1)直線過點A(－1，－3)，且斜率為－；
(2)直線過點(2,1)，且橫截距為縱截距的兩倍；
(3)直線過點(5,10)，且原點到該直線的距離為5.
跟蹤訓練2　(1)已知直線l的一個方向向量為n＝(2,3)，若l過點A(－4,3)，則直線l的方程為(　　)
A．y－3＝－(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)
(2)在△ABC中，已知點A(5，－2)，B(7，3)，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則MN所在直線的方程為(　　)
A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0
C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0
題型三　直線方程的綜合應用
例3　已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程．
延伸探究
1．在本例條件下，當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程．
2．本例中，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程．
跟蹤訓練3　(1)已知直線l過點M(1,1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為坐標原點．當|MA|2＋|MB|2取得最小值時，則直線l的方程為________．
(2)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直線l過定點________，若直線l不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)a的取值范圍是________．
基礎夯實
1．在x軸與y軸上截距分別為－2,2的直線的傾斜角為(　　)
A．45° B．135° C．90° D．180°
2.若過點P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(－2，1)
B.(－1，2)
C.(－∞，0)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
3.若直線y＝ax＋c經(jīng)過第一、二、三象限，則有(　　)
A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0
C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0
4.直線2xcos α－y－3＝0()的傾斜角的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
5．直線l：x－y＋2＝0與x軸交于點A，把l繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得直線m，m的傾斜角為α，則cos α等于(　　)
A．－ B.
C. D.
6．設A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是(　　)
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
7．若直線l的方程y＝－x－中，ab>0，ac<0，則此直線必不經(jīng)過(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8.過點(0，1)且與直線2x－y＋1＝0垂直的直線方程是(　　)
A.x＋2y－1＝0 B.x＋2y－2＝0
C.2x－y－1＝0 D.2x－y－2＝0
9.過函數(shù)f(x)＝x3－x2圖象上一個動點作函數(shù)圖象的切線，則切線傾斜角的取值范圍為(　　)
A. B.[)∪[)
C.[) D.(]
10.在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點P(1，1)的直線l與x軸交于點A，與y軸交于點B.若＝－2，則直線l的方程是(　　)
A.x＋2y－3＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.2x－y－1＝0
11.傾斜角為120°且在y軸上的截距為－2的直線方程為(　　)
A.y＝－x＋2 B.y＝－x－2
C.y＝x＋2 D.y＝x－2
12．已知直線l1：x＋y＝0與直線l2：kx－y＋1＝0，若直線l1與直線l2的夾角是60°，則k的值為(　　)
A.或0 B．－或0
C. D．－
13．若將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，再沿y軸負方向平移2個單位長度，又回到了原來的位置，則l的斜率是(　　)
A．－ B. C．－ D.
14.(多選)若直線過點A(1，2)，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線l的方程為(　　)
A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0
C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0
15．(多選)下列說法正確的有(　　)
A．若直線y＝kx＋b經(jīng)過第一、二、四象限，則(k，b)在第二象限
B．直線y＝ax－3a＋2過定點(3,2)
C．過點(2，－1)，斜率為－的直線的點斜式方程為y＋1＝－(x－2)
D．斜率為－2，在y軸上截距為3的直線方程為y＝－2x±3
16．(多選)若直線過點A(1,2)，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線l的方程為(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
17.把直線x－y＋－1＝0繞點(1，)逆時針旋轉(zhuǎn)15°后，所得直線l的方程是________.
18.已知三角形的三個頂點A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，則BC邊上中線所在的直線方程為________.
19.設直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直線l的斜率為－1，則k＝________；若直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0，則k＝________.
20.若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的斜率為________.
21．已知直線y＝(3－2k)x－6不經(jīng)過第一象限，則k的取值范圍為________．
22．已知直線l的傾斜角為α，sin α＝，且這條直線l經(jīng)過點P(3,5)，則直線l的一般式方程為_____________．
23．已知點A(2,4)，B(4,2)，直線l：y＝kx－2, 則直線l經(jīng)過定點________，若直線l 與線段AB有公共點，則k的取值范圍是________．
24．過點P(－1,0)且與直線l1：x－y＋2＝0的夾角為的直線的一般式方程是______________．
優(yōu)化提升
25．設m∈R，過定點A的動直線x＋my＋1＝0和過定點B的動直線mx－y－2m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|＋|PB|的最大值為(　　)
A．2 B．3 C．3 D．6
26.設P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為(　　)
A. B.[－1，0]
C.[0，1] D.
27.(多選)已知直線xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，則下列命題正確的是(　　)
A.直線的傾斜角是π－α
B.無論α如何變化，直線不過原點
C.直線的斜率一定存在
D.當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積不小于1
28．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．不經(jīng)過原點的直線都可以表示為＋＝1
B．若直線l與x，y軸的交點分別為A，B且AB的中點為(4,1)，則直線l的方程為＋＝1
C．過點(1,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為y＝x或x＋y＝2
D．直線3x－2y＝4的截距式方程為＋＝1
29．若直線l經(jīng)過A(2,1)，B(1，m2)兩點，則l斜率的取值范圍為________；其傾斜角的取值范圍為____________________．
30．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點共線，則ab的最小值為________．
31.已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當a＝________時，四邊形的面積最小，最小值為________.
32.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線y＝x上時，則直線AB的方程是________.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．B　2.D
3．3x－2y＝0或x＋y－5＝0
【知識歸納】
1.
2．(1)x軸正向　向上　(2)0°≤α<180°
3．(1)正切值　tan α　(2)
4．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　＝(x1≠x2，y1≠y2)
＋＝1
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
【題型展示】
例1 (1)B　(2)B
跟蹤訓練1 (1)　－3　(2)
例2 解　(1)∵所求直線過點A(－1，－3)，且斜率為－，
∴y＋3＝－(x＋1)，
即x＋4y＋13＝0.
(2)當橫截距與縱截距都為0時，
可設直線方程為y＝kx，
又直線過點(2,1)，
∴1＝2k，解得k＝，
∴直線方程為y＝x，
即x－2y＝0；
當橫截距與縱截距都不為0時，可設直線方程為＋＝1，
由題意可得解得
∴直線方程為＋＝1，
即x＋2y－4＝0；
綜上，所求直線方程為x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
(3) 當直線的斜率不存在時，所求直線方程為x－5＝0，滿足題意；
當直線的斜率存在時，設斜率為k，
則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
∴原點到直線的距離
d＝＝5，
解得k＝，
∴所求直線方程為3x－4y＋25＝0.
綜上，所求直線方程為
x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
跟蹤訓練2 (1)C
(2)A
例3 解　方法一　設直線l的方程為
y－1＝k(x－2)(k<0)，
則A，B(0,1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝
≥×(4＋4)＝4，
當且僅當－4k＝－，
即k＝－時，等號成立．
故直線l的方程為
y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
方法二　設直線l：＋＝1，
且a>0，b>0，
因為直線l過點M(2,1)，
所以＋＝1，
則1＝＋≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值為
×ab＝×8＝4，
當且僅當＝＝時取等號，
此時a＝4，b＝2，
故直線l的方程為＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1．解　由本例方法二知，
＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b
＝(a＋b)·
＝3＋＋≥3＋2，
當且僅當a＝2＋，b＝1＋時，等號成立，
所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為x＋y＝2＋.
2．解　方法一　由本例方法一知
A，
B(0,1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝·
＝2×＝2≥4.
當且僅當－k＝－，
即k＝－1時取等號．
此時直線l的方程為x＋y－3＝0.
方法二　由本例方法二知A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＋＝1.
所以|MA|·|MB|＝||·||
＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5
＝2≥4，
當且僅當a＝b＝3時取等號，此時直線l的方程為x＋y－3＝0.
跟蹤訓練3 (1)x＋y－2＝0
(2)(1，－4)　[3，＋∞)
基礎夯實
1．A　
2.A
3.A
4.B
5.C　
6.A
7.C　
8.B
9.B
10.A
11.B
12.A　
13.C　
14.ABC
15．ABC
16．ABC　
17.y＝x
18.x＋13y＋5＝0
19.5　1
20.－
21.
22．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0
23．(0，－2)　[1,3]
24．x＋1＝0或x－y＋1＝0
優(yōu)化提升
25．D
26.A
27.BD
28．BCD
29．(－∞，1]　∪
30．16
31.　
32.(3＋)x－2y－3－＝0第8部分第2節(jié)《兩條直線的位置關系》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為(　　)
A．2 B. C. D.
2．若直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，則m等于(　　)
A．4 B．－4 C．1 D．－1
3．直線x－2y－3＝0關于x軸對稱的直線方程為________．
【知識歸納】
1．兩條直線的位置關系
直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關系如下表：
位置關系 l1，l2滿足的條件 l3，l4滿足的條件
平行
垂直
相交
2.三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結論：|P1P2|＝ .
③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝ .
(2)點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝ .
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝ .
常用結論：
1．直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五種常用對稱關系
(1)點(x，y)關于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．
(2)點(x，y)關于x軸的對稱點為(x，－y)，關于y軸的對稱點為(－x，y)．
(3)點(x，y)關于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．
(5)點(x，y)關于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．
【題型展示】
題型一　兩條直線的平行與垂直
例1　(1)已知直線l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值是(　　)
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
(2)若l1：3x－my－1＝0與l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是兩條不同的直線，則“m＝1”是“l(fā)1∥l2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
跟蹤訓練1　(1)已知兩直線l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，則m＝________；若l1∥l2，則m＝________.
(2)設a，b，c分別為△ABC中角A，B，C所對邊的邊長，則直線xsin A＋ay＋c＝0與bx－ysin B＋sin C＝0的位置關系是(　　)
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
題型二　兩直線的交點與距離問題
例2　(1)(多選)已知直線l經(jīng)過點P(3,1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，則直線l的方程為(　　)
A．y＝1 B．x＝3
C．y＝0 D．x＝2
(2)兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0間的距離為d，則a，d分別為(　　)
A．a(chǎn)＝6，d＝
B．a(chǎn)＝－6，d＝
C．a(chǎn)＝－6，d＝
D．a(chǎn)＝6，d＝
跟蹤訓練2　(1)若點(m，n)在直線l：3x＋4y－13＝0上，則(m－1)2＋n2的最小值為(　　)
A．3 B．4 C．2 D．6
(2)經(jīng)過兩直線l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點，且平行于直線3x＋2y＋7＝0的直線方程是(　　)
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
題型三　對稱問題
命題點1　點關于點的對稱問題
例3　直線3x－2y＝0關于點()對稱的直線方程為(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
命題點2　點關于直線的對稱問題
例4　已知兩點A(－4,8)，B(2,4)，點C在直線y＝x＋1上，則|AC|＋|BC|的最小值為(　　)
A．2 B．9 C. D．10
命題點3　直線關于直線的對稱問題
例5　兩直線方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關于l2對稱的直線方程為(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
跟蹤訓練3　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：
(1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l對稱的直線m′的方程；
(3)直線l關于點A的對稱直線l′的方程．
基礎夯實
1．已知直線l1經(jīng)過點A(2，a－1)，B(a,4)，且與直線l2：2x＋y－3＝0平行，則a等于(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
2.已知直線l過點(0，7)，且與直線y＝－4x＋2平行，則直線l的方程為(　　)
A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7
C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7
3.若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則PQ的最小值為(　　)
A. B.3 C. D.4
4.若直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則實數(shù)n的值為(　　)
A.－12 B.－2 C.0 D.10
5．直線y＝x關于直線x＝1的對稱直線為l，則直線l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0
6．設直線l1：x－2y＋1＝0與直線l2：mx＋y＋3＝0的交點為A，P，Q分別為l1，l2上任意一點，M為PQ的中點，若|AM|＝|PQ|，則m的值為(　　)
A．2 B．－2 C．3 D．－3
7．已知a2－3a＋2＝0，則直線l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直線l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置關系為(　　)
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．垂直或重合
8．在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于(　　)
A．2 B．2 C．2 D．4
9.已知點A與點B(1，2)關于直線x＋y＋3＝0對稱，則點A的坐標為(　　)
A.(3，4) B.(4，5)
C.(－4，－3) D.(－5，－4)
10.過點P(1，2)作直線l，若點A(2，3)，B(4，－5)到它的距離相等，則直線l的方程為(　　)
A.4x＋y－6＝0或x＝1
B.3x＋2y－7＝0
C.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0
D.3x＋2y－7＝0或x＝1
11.如果直線l1的斜率為a，l1⊥l2，則直線l2的斜率為(　　)
A. B.a
C.－ D.－或不存在
12．若直線ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，垂足為(1，b)，則a＋b＋c等于(　　)
A．－6 B．4 C．－10 D．－4
13．(多選)已知直線l過點P(1,2)，且點A(2,3)，B(4，－5)到直線l的距離相等，則l的方程可能是(　　)
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
14．(多選)設直線l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，則下列說法正確的是(　　)
A．直線l1或l2可以表示平面直角坐標系內(nèi)任意一條直線
B. l1與l2至多有無窮多個交點
C．l1∥l2的充要條件是p＝k且q≠b
D．記l1與l2的交點為M，則y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示過點M的所有直線
15.(多選)已知直線l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，則下列說法正確的是(　　)
A.當a＝－1時，直線l與直線x＋y＝0垂直
B.若直線l與直線x－y＝0平行，則a＝0
C.直線l過定點(0，1)
D.當a＝0時，直線l在兩坐標軸上的截距相等
16.(多選)已知直線l：x－y＋1＝0，則下列結論正確的是(　　)
A.直線l的傾斜角是
B.若直線m：x－y＋1＝0，則l⊥m
C.點(，0)到直線l的距離是2
D.過(2，2)與直線l平行的直線方程是x－y－4＝0
17.直線3x－4y＋5＝0關于x軸對稱的直線方程是________.
18.已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點，若點A(5，0)到直線l的距離為3，則l的方程為________.
19.在△ABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x－2y＋1＝0，∠A的平分線所在直線的方程為y＝0，若點B的坐標為(1，2)，則點A的坐標為________，點C的坐標為________.
20.設光線l從點A(－4，)出發(fā)，經(jīng)過x軸反射后經(jīng)過點B()，則光線l與x軸的交點為________，若該入射光線l經(jīng)x軸發(fā)生折射，折射角為入射角的一半，則折射光線所在直線的縱截距為________.
21．過直線3x－y＋5＝0與2x－y＋6＝0的交點，且垂直于直線x－2y＋1＝0的直線方程是________．
22．已知直線l1：2x＋y＋1＝0和直線l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為________；若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為________．
23．點P(2,7)關于直線x＋y＋1＝0的對稱點的坐標為________．
24．已知兩直線l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直線l3：ax＋2y－6＝0與l1，l2不能構成三角形，則實數(shù)a＝________.
優(yōu)化提升
25.將一張坐標紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，點(7，3)與點(m，n)重合，則m＋n等于(　　)
A. B. C. D.
26.(多選)已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下結論正確的是(　　)
A.不論a為何值時，l1與l2都互相垂直
B.當a變化時，l1與l2分別經(jīng)過定點A(0，1)和B(－1，0)
C.不論a為何值時，l1與l2都關于直線x＋y＝0對稱
D.如果l1與l2交于點M，則|MO|的最大值是
27．(多選)已知兩條直線l1，l2的方程分別為3x＋4y＋12＝0與ax＋8y－11＝0，下列結論正確的是(　　)
A．若l1∥l2，則a＝6
B．若l1∥l2，則兩條平行直線之間的距離為
C．若l1⊥l2，則a＝
D．若a≠6，則直線l1，l2一定相交
28.設m∈R，若過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________.
29.已知點A(4，－1)，B(8，2)和直線l：x－y－1＝0，動點P(x，y)在直線l上，則|PA|＋|PB|的最小值為________.
30．設△ABC的一個頂點是A(－3,1)，∠B，∠C的角平分線方程分別為x＝0，y＝x，則直線BC的方程為__________.
31．已知光線從點A(6,1)射出，到x軸上的點B后，被x軸反射到y(tǒng)軸上的點C，再被y軸反射，這時反射光線恰好經(jīng)過點D(4,4)，則CD所在直線的方程為________．
32. 如圖，已知直線l1∥l2，點A是l1，l2之間的定點，點A到直線l1，l2的距離分別為3和2，點B是l2上的一動點，作AC⊥AB，且AC與l1交于點C，則△ABC的面積的最小值為__________.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．C　2.A　3.x＋2y－3＝0
【知識歸納】
1．k1＝k2且b1≠b2　A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0　k1·k2＝－1　A1A2＋B1B2＝0　k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2．(1)②
③　(2)
(3)
【題型展示】
例1 (1)A　(2)C
跟蹤訓練1 (1)3或－2　　(2)B
例2 (1)AB
(2)D
跟蹤訓練2 (1)B　(2)D
例3 B
例4 C
例5 C
跟蹤訓練3 解　(1)設A′(x，y)，
由已知條件得
解得∴A′.
(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，
則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上．
設對稱點為M′(a，b)，則
得M′.
設直線m與直線l的交點為N，
由得N(4,3)．
又m′經(jīng)過點N(4,3)，
∴由兩點式得直線m′的方程為
9x－46y＋102＝0.
(3)方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，
如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關于點A(－1，－2)的對稱點P′，Q′均在直線l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由兩點式可得l′的方程為
2x－3y－9＝0.
方法二　∵l∥l′，
∴設l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，
∴由點到直線的距離公式，
得＝，
解得C＝－9，
∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.
基礎夯實
1．C　
2.D
3.C
4.A
5.C　
6.A
7.D　
8.B　
9.D
10.C
11.D
12.D　
13．AC　
14．BC
15.AC
16.CD
17.3x＋4y＋5＝0
18.x＝2或4x－3y－5＝0
19.(－1，0)　(5，－6)
20.(－1，0)　－
21．2x＋y－10＝0　
22.－2　
23．(－8，－3)
24．－1或或－2
優(yōu)化提升
25.A
26.ABD
27．AD
28.5
29.
30．2x－y－5＝0
21．x－2y＋4＝0
32．6第8部分第3節(jié)《圓的方程》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
2．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．(多選)下列各點中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的內(nèi)部的是(　　)
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
【知識歸納】
1．圓的定義和圓的方程
定義 平面上到 的距離等于 的點的集合叫做圓
方程 標準 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C_______
半徑為_______
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圓心C_______
半徑r＝_______
2.點與圓的位置關系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：
(1)|MC|>r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圓外；
(2)|MC|＝r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圓上；
(3)|MC|常用結論：
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圓心在過切點且與切線垂直的直線上．
3．圓心在任一弦的垂直平分線上．
【題型展示】
題型一　圓的方程
例1　(1)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________．
(2)過四點(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三點的一個圓的方程為________________________________.
跟蹤訓練1　(1)若圓C經(jīng)過坐標原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，當半徑最小時，圓的方程為____________．
(2)圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1,2)的圓的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
題型二　與圓有關的軌跡問題
例2　已知定點M(1,0)，N(2,0)，動點P滿足|PN|＝|PM|.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)已知點B(6,0)，點A在軌跡C上運動，求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程．
跟蹤訓練2　已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角頂點C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．
題型三　與圓有關的最值問題
命題點1　利用幾何性質(zhì)求最值
例3　已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
命題點2　利用函數(shù)求最值
例4　設點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)．則·的最大值為________．
延伸探究　若將本例改為“設點P(x，y)是圓(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0,2)，B(0，－2)”，則|＋|的最大值為________．
跟蹤訓練3　(1)若點P(x，y)在圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，則的最大值為________．
(2)設P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)
A．6 B．25 C．26 D．36
基礎夯實
1．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
2.圓(x－3)2＋(y－1)2＝5關于直線y＝－x對稱的圓的方程為(　　)
A.(x＋3)2＋(y－1)2＝5
B.(x－1)2＋(y－3)2＝5
C.(x＋1)2＋(y＋3)2＝5
D.(x－1)2＋(y＋3)2＝5
3.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是(　　)
A.(－∞，－)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－)
D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4.點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是(　　)
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
5．點M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點，且點M，N關于直線l：x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于(　　)
A. 2 B. C．3 D．9
6．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為(　　)
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
7.圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標和半徑分別是(　　)
A.(2，3)，3 B.(－2，3)，
C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
8．已知點M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為(　　)
A．－6
C．k>－6 D．k<
9．若△AOB的三個頂點坐標分別為A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，則△AOB外接圓的圓心坐標為(　　)
A．(1，－1) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－2,1)
10．圓C：x2＋y2－2x－3＝0關于直線l：y＝x對稱的圓的方程為(　　)
A．x2＋y2－2y－3＝0 B．x2＋y2－2y－15＝0
C．x2＋y2＋2y－3＝0 D．x2＋y2＋2y－15＝0
11.已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點，且在x軸上截得的弦長為6，則圓C的方程為(　　)
A.x2＋y2－2x－4y－8＝0
B.x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C.x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D.x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
12.(多選)已知直線l與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M(0，1)，則實數(shù)a的取值可以為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標為________，半徑為________．
14．已知等腰△ABC，其中頂點A的坐標為(0,0)，底邊的一個端點B的坐標為(1,1)，則另一個端點C的軌跡方程為______________________.
15.若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相異兩點P，Q關于直線kx＋2y－4＝0對稱，則k的值為________.
16.已知兩點A(0，－3)，B(4，0)，若點P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動點，則△ABP的面積的最小值為________.
17.已知P，Q分別為圓M：(x－6)2＋(y－3)2＝4與圓N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的動點，A為x軸上的動點，則|AP|＋|AQ|的最小值為________.
18.已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值.
19.已知點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點.
(1)求M的軌跡方程；
(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積.
20．已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和點B(2，－2)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上．線段PQ的端點P的坐標是(5,0)，端點Q在圓C上運動，求線段PQ的中點M的軌跡方程．
21．已知圓C1經(jīng)過點A(1,3)和B(2,4)，圓心在直線2x－y－1＝0上．
(1)求圓C1的方程；
(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的點，點P是直線x＋y＝0上的點，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此時點P的坐標．
優(yōu)化提升
22．阿波羅尼斯(約公元前262－190年)證明過這樣一個命題：在平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0，k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足＝，則△PAB面積的最大值是(　　)
A. B．2 C．2 D．4
23．若直線ax－by－6＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x＋4y＝0的周長，則＋的最小值為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
24．(多選)已知圓x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且僅有兩個點到直線3x－4y－15＝0的距離為1，則實數(shù)a的可能取值為(　　)
A．－12 B．－8 C．6 D．－1
25．(多選)已知圓M與直線x＋y＋2＝0相切于點A(0，－2)，圓M被x軸所截得的弦長為2，則下列結論正確的是(　　)
A．圓M的圓心在定直線x－y－2＝0上
B．圓M的面積的最大值為50π
C．圓M的半徑的最小值為1
D．滿足條件的所有圓M的半徑之積為8
26.(多選)設有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是(　　)
A.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上
B.所有圓Ck均不經(jīng)過點(3，0)
C.經(jīng)過點(2，2)的圓Ck有且只有一個
D.所有圓的面積均為4π
27.已知直線l：3x＋4y＋m＝0，圓C：x2＋y2－4x＋2＝0，則圓C的半徑r＝________；若在圓C上存在兩點A，B，在直線l上存在一點P，使得∠APB＝90°，則實數(shù)m的取值范圍是________.
28.設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．B　2.D　3.AD
【知識歸納】
1．定點　定長　(a，b)　r
　
2．(1)圓外　(2)圓上　(3)圓內(nèi)
【題型展示】
例1 (1)(x－1)2＋(y＋1)2＝5
(2)(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝
跟蹤訓練1 (1)2＋2＝
(2)A
例2 解　(1)設動點P的坐標為(x，y)，
因為M(1,0)，N(2,0)，
且|PN|＝|PM|，
所以
＝·，
整理得x2＋y2＝2，
所以動點P的軌跡C的方程為
x2＋y2＝2.
(2)設點Q的坐標為(x，y)，點A的坐標為(xA，yA)，
因為Q是線段AB上靠近點B的三等分點，
所以＝2，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，
解得
又點A在軌跡C上運動，
由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，
化簡得(x－4)2＋y2＝，
即點Q的軌跡方程為
(x－4)2＋y2＝.
跟蹤訓練2 解　(1)方法一　設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.
因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點C的軌跡方程為
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二　設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)．
所以直角頂點C的軌跡方程為
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)設M(x，y)，C(x0，y0)，
因為B(3,0)，且M是線段BC的中點，
所以由中點坐標公式得
x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點C的軌跡方程為
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入得
(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此動點M的軌跡方程為
(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
例3 解　(1)如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(2,0)為圓心，為半徑的圓．
設＝k，即y＝kx，則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
∴max＝，min＝－.
(2)設y－x＝b，則y＝x＋b，當且僅當直線y＝x＋b與圓相切于第四象限時，截距b取最小值，由點到直線的距離公式，得＝，
即b＝－2±，
故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圓上點與原點的距離的平方，設圓與x軸相交于點B和C′(點B在點C′左側(cè))，則(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2
＝7－4.
例4 12
延伸探究 10
跟蹤訓練3 (1)　(2)D
基礎夯實
1．D　
2.C
3.B
4.A
5.C　
6.D
7.D
8.A　
9.C　
10.A　
11.C
12.AB
13．(－2，－4)　5
14．x2＋y2＝2(除去點(1,1)和點(－1，－1))
15.2
16.
17.5－3
18.解　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圓心C的坐標為(2，7)，半徑r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直線MQ的斜率k，
設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直線MQ與圓C有交點，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值為2＋，最小值為2－.
(3)設y－x＝b，則x－y＋b＝0.
當直線y＝x＋b與圓C相切時，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值為9，最小值為1.
19.解　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4.
設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).
由題設知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心，為半徑的圓.由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.
因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－，
故l的方程為x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面積為.
20．解　設點D為線段AB的中點，直線m為線段AB的垂直平分線，
則D.
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直線m的方程為x－3y－3＝0.
由
得圓心C(－3，－2)，
則半徑r＝|CA|
＝＝5，
所以圓C的方程為
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
設點M(x，y)，Q(x0，y0)．
因為點P的坐標為(5,0)，
所以即
又點Q(x0，y0)在圓C：
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上運動，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.
即所求線段PQ的中點M的軌跡方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝.
21．解　(1)由題意知AB的中點坐標為，kAB＝＝1，
∴AB的垂直平分線為y＝5－x，
聯(lián)立
解得
即圓C1的圓心坐標為(2,3)，半徑r＝1，
其方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)注意到點C1(2,3)和點C2(－3，－4)在直線x＋y＝0的兩側(cè)，
直線x＋y＝0與兩圓分別相離，如圖所示．
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，
當且僅當M，N，P在線段C1C2上時取等號，
此時點P為直線C1C2與x＋y＝0的交點，
過C1，C2的直線方程為7x－5y＋1＝0，
聯(lián)立
解得
∴點P的坐標為.
優(yōu)化提升
22．C
23．D
24．ABD
25．AB
26.ABD
27.　[－16，4]
28.解　(1)由題意得F(1，0)，l的方程為
y＝k(x－1)(k>0).
設A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由題設知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程為y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中點坐標為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則
解得或
圓的半徑為x0＋＝4或12，
因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.第8部分第4節(jié)《直線與圓、圓與圓的位置關系》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相離 D．相切或相交
2．直線m：x＋y－1＝0被圓M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　)
A．4 B．2 C. D.
3．若圓C1：x2＋y2＝16與圓C2：(x－a)2＋y2＝1相切，則a的值為(　　)
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
【知識歸納】
1．直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)
相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點 Δ 0 Δ 0 Δ 0
幾何觀點 d r d r d r
2.圓與圓的位置關系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)
圖形 量的關系
外離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
3.直線被圓截得的弦長
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝ .
(2)代數(shù)法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝ .
常用結論：
1．圓的切線方程常用結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓與圓的位置關系的常用結論
(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．
(2)兩個圓系方程
①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．
【題型展示】
題型一　直線與圓的位置關系
命題點1　位置關系的判斷
例1　(1)直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關系為(　　)
A．相交、相切或相離 B．相交或相切
C．相交 D．相切
(2)(多選)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是(　　)
A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切
B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離
D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
命題點2　弦長問題
例2　(1)已知過點P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點，則當|AB|＝2時，直線l的方程為________．
(2)已知圓x2＋y2＝4截直線y＝k(x－2)所得弦的長度為2，那么實數(shù)k的值為(　　)
A．± B. C. D．±
命題點3　切線問題
例3　已知點P(＋1,2－)，點M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過點P的圓C的切線方程；
(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．
命題點4　直線與圓位置關系中的最值(范圍)問題
例4　已知點P(x0，y0)是直線l：x＋y＝4上的一點，過點P作圓O：x2＋y2＝2的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PAOB的面積的最小值為________．
跟蹤訓練1　(1)直線2x·sin θ＋y＝0被圓x2＋y2－2y＋2＝0截得的弦長的最大值為(　　)
A．2 B．2 C．3 D．2
(2)在平面直角坐標系中，直線xcosα＋ysinα＝1(α∈R)與圓O：x2＋y2＝的位置關系為(　　)
A．相切 B．相交
C．相離 D．相交或相切
題型二　圓與圓的位置關系
例5　(1)圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為______________，公共弦長為________．
(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16和兩點A(0，－m)，B(0，m)，若圓C上存在點P，使得AP⊥BP，則m的最大值為(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
跟蹤訓練2　(1)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________．
(2)已知圓M：x2＋y2－4y＝0與圓N：x2＋y2－2x－3＝0，則圓M與圓N的位置關系為(　　)
A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．外離
基礎夯實
1.直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關系是(　　)
A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定
2.圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關系是(　　)
A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切
3.過點(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　)
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
4.已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＝0關于直線3x－2ay－11＝0對稱，則圓C中以為中點的弦長為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5．若圓C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1,0)的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為(　　)
A．(－18,6] B．[－2,6] C．[－2,18] D．[4,18]
6．圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4與直線3x＋4y＋5＝0的位置關系為(　　)
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
7．在平面直角坐標系中，圓O1：(x－1)2＋y2＝1和圓O2：x2＋(y－2)2＝4的位置關系是(　　)
A．外離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切
8．已知圓C的圓心在直線l1：x＋2y－7＝0上，且與直線l2：x＋2y－2＝0相切于點M(－2,2)，則圓C被直線l3：2x＋y－6＝0截得的弦長為(　　)
A．2 B. C. D.
9.(多選)已知直線l與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M(0，1)，則下列結論正確的是(　　)
A.實數(shù)a的取值范圍為a＜3
B.實數(shù)a的取值范圍為a＜5
C.直線l的方程為x＋y－1＝0
D.直線l的方程為x－y＋1＝0
10.(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：y－1＝k(x－3).則以下幾個命題正確的有(　　)
A.直線l恒過定點(3，1)
B.圓C被y軸截得的弦長為4
C.直線l與圓C相交或相切
D.直線l被圓C截得弦長最短時，直線l的方程為2x－y－5＝0
11．(多選)在平面直角坐標系中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0.若直線y＝k(x＋1)上存在一點P，使過點P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的可能取值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．(多選)已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圓C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圓C1與圓C2內(nèi)切，則實數(shù)a的值是(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
13．若直線(m＋1)x＋my－2m－1＝0與圓x2＋y2＝3交于M，N兩點，則弦長|MN|的最小值為________．
14．過點P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，則△PAB外接圓的方程是________．
15.圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________.
16.已知點P(1，2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，過點P作圓C的切線有兩條，則實數(shù)k的取值范圍是________.
17.若A為圓C1：x2＋y2＝1上的動點，B為圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的動點，則線段AB長度的最大值是________.
18.已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程；
(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；
(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)過切點A(4，－1).
19.已知A(2，0)，直線4x＋3y＋1＝0被圓C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦長為4，且P為圓C上任意一點.
(1)求|PA|的最大值與最小值；
(2)圓C與坐標軸相交于三點，求以這三個點為頂點的三角形的內(nèi)切圓的半徑.
20．已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值時兩圓外切？
(2)當m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
21．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直線l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，證明：無論m為何值，直線l都與圓C相交；
(2)若過點P(1,0)的直線m與圓C相交于A，B兩點，求△ABC面積的最大值，并求此時直線m的方程．
優(yōu)化提升
22．若一條光線從點A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　)
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
23．設直線3x＋4y－5＝0與圓C1：x2＋y2＝9交于A，B兩點，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點在圓C1的劣弧AB上，則圓C2的半徑的最大值為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
24．(多選)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4,0)，B(0,2)，則(　　)
A．點P到直線AB的距離小于10
B．點P到直線AB的距離大于2
C．當∠PBA最小時，|PB|＝3
D．當∠PBA最大時，|PB|＝3
25.(多選)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4，0)，B(0，2)，則(　　)
A.點P到直線AB的距離小于10
B.點P到直線AB的距離大于2
C.當∠PBA最小時，|PB|＝3
D.當∠PBA最大時，|PB|＝3
26．已知圓O：x2＋y2＝4與圓C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B兩點，則sin∠AOB＝________.
27.在平面直角坐標系xOy中，若圓C1：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在點P，且點P關于直線x－y＝0的對稱點Q在圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，則r的取值范圍是________.
28.已知拋物線P：y2＝2px(p＞0)上的點到其焦點的距離為1.
(1)求p和a的值；
(2)設直線l：y＝x＋m交拋物線P于兩點A、B，線段AB的垂直平分線交拋物線P于兩點C、D，求證A、B、C、D四點共圓.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．A　2.B　3.D
【知識歸納】
1．<　＝　>　>　＝　<
2．d>r1＋r2　d＝r1＋r2
|r1－r2|d<|r1－r2|
3．(1)2
(2)·
【題型展示】
例1 (1)C
(2)ABD
例2 (1)x＝0或3x＋4y－4＝0
(2)D
例3 解　由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2
＝4，
∴點P在圓C上．
又kPC＝＝－1，
∴過點P的切線的斜率為－＝1，
∴過點P的圓C的切線方程是
y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴點M在圓C外．
當過點M的直線的斜率不存在時，
直線方程為x＝3，即x－3＝0.
又點C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，
∴直線x＝3是圓的切線；
當切線的斜率存在時，設切線方程為y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
由圓心C到切線的距離
d′＝＝r＝2，
解得k＝.
∴切線方程為y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
綜上，過點M的圓C的切線方程為
x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝
＝，
∴過點M的圓C的切線長為＝＝1.
例4 2
跟蹤訓練1 (1)D　(2)D
例5 (1)x－2y＋4＝0　2
(2)C
跟蹤訓練2 (1)x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需寫出上述三個方程中的一個即可)
(2)B
基礎夯實
1.A
2.B
3.B
4.D
5.C　
6．B　
7.B　
8.D　
9.AD
10.ABD
11.AB
12.BC　
13．2　
14.(x－2)2＋(y－1)2＝5
15.2
16.
17.8
18.解　(1)設切線方程為x＋y＋b＝0(b≠－4)，
則＝，∴b＝1±2，
∴切線方程為x＋y＋1±2＝0.
(2)設切線方程為2x＋y＋m＝0，
則＝，∴m＝±5，
∴切線方程為2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴過切點A(4，－1)的切線斜率為－3，
∴過切點A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
19.解　(1)∵直線4x＋3y＋1＝0
被圓C: (x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦長為4，∴圓心到直線的距離
d＝＝＝1.
∵m<3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值與最小值分別為
＋，－.
(2)由(1)可得圓C的方程為(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圓C與坐標軸相交于三點M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，∴△MON為直角三角形，斜邊|MN|＝2，∴△MON內(nèi)切圓的半徑為＝5－.
20．解　兩圓的標準方程分別為
(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2
＝61－m(m<61)，
則圓心分別為(1,3)，(5,6)，
半徑分別為和.
(1)當兩圓外切時，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的長為
2×
＝2.
21．(1)證明　轉(zhuǎn)化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，
可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，
由解得
所以直線l恒過點(2,3)，
由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，
得點(2,3)在圓內(nèi)，
即直線l恒過圓內(nèi)一點，
所以無論m為何值，直線l都與圓C相交．
(2)解　由C的圓心為(3,4)，半徑r＝2，
易知此時直線m的斜率存在且不為0，
故設直線m的方程為
x＝my＋1(m≠0)，
直線m的一般方程為my－x＋1＝0，
圓心到直線m的距離
d＝＝，
所以|AB|＝2
＝2，
所以S2＝2
＝·，
令t＝，可得S2＝4t－t2，
當t＝2時，S＝4，
所以△ABC面積的最大值為2，
此時由2＝，
得7m2－8m＋1＝0，
得m＝1或m＝，符合題意，
此時直線m的方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
優(yōu)化提升
22．D
23．B
24．ACD
25.ACD
26.
27.[－1，＋1]
28.(1)解　y2＝2px的準線為x＝－，因為點到其焦點的距離等于該點到準線距離，
所以＋＝1，故p＝，即y2＝x，又在y2＝x上，所以a＝±.
(2)證明　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得y2－y＋m＝0，
則y1＋y2＝1，y1·y2＝m，
且1－4m＞0，即m＜，
則|AB|＝|y1－y2|＝，
且線段AB中點的縱坐標為＝，
則x＝－m，
所以線段AB中點為M，
因為直線CD為線段AB的垂直平分線，直線CD的方程為y＝－x＋1－m，
聯(lián)立
得y2＋y＋m－1＝0，
設C(x3，y3)，D(x4，y4)，
則y3＋y4＝－1，y3·y4＝m－1，
故|CD|＝|y3－y4|＝，
線段CD中點為N，
因為＝(10－8m)＝，
|AN|2＝|AM|2＋|MN|2＝＋2＝，
所以|AN|＝|CD|，
所以點A在以CD為直徑的圓上，同理點B在以CD為直徑的圓上，所以A、B、C、D四點共圓.第8部分第5節(jié)《橢圓》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．橢圓＋＝1上點P到上焦點的距離為4，則點P到下焦點的距離為(　　)
A．6 B．3 C．4 D．2
2．若橢圓C：＋＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為(　　)
A．3 B．2＋
C．2 D.＋1
3．已知橢圓C：＋＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
【知識歸納】
1．橢圓的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于 (大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的 ．
2．橢圓的簡單幾何性質(zhì)
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范圍
頂點
軸長 短軸長為 ，長軸長為______
焦點
焦距 |F1F2|＝____
對稱性 對稱軸：________，對稱中心：______
離心率
a，b，c的關系
常用結論：
橢圓的焦點三角形
橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設∠F1PF2＝θ.
(1)當P為短軸端點時，θ最大，最大．
(2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦點三角形的周長為2(a＋c)．
【題型展示】
題型一　橢圓的定義及其應用
例1　(1)設點P為橢圓C：＋＝1(a>2)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．
延伸探究　若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．
(2)一動圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內(nèi)切，那么動圓的圓心P的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．雙曲線的一支
跟蹤訓練1　(1)若F為橢圓C：＋＝1的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為(　　)
A．4 B．8 C．10 D．20
(2)已知△ABC的周長為12，B(0，－2)，C(0,2)，則頂點A的軌跡方程為(　　)
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(y≠0)
題型二　橢圓的標準方程
命題點1　定義法
例2　已知橢圓的兩個焦點分別為F1(0,2), F2(0，－2)，P為橢圓上任意一點，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項，則此橢圓的標準方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
命題點2　待定系數(shù)法
例3　已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2(－，－)，則該橢圓的方程為________．
跟蹤訓練2　(1)已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F1(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，點C，F(xiàn)1是線段AB的三等分點，則該橢圓的標準方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)“1A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型三　橢圓的幾何性質(zhì)
命題點1　離心率
例4　(1)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
(2)設F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1且斜率為的直線交橢圓于點P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，則橢圓E的離心率為(　　)
A.＋1 B.－1
C. D.
命題點2　與橢圓有關的范圍(最值)問題
例5　(1)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1(b>0)的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________．
(2)已知F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，橢圓的離心率為，M為橢圓上一動點，則∠F1MF2的最大值為(　　)
A. B. C. D.
跟蹤訓練3　(1)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(c,0)，上頂點為A(0，b)，直線x＝上存在一點P滿足(＋)·＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為(　　)
A.[) B.[)
C.[) D.(]
(2)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，射線AF1 交橢圓E于點B，以AB為直徑的圓過F2，則橢圓E的離心率是(　　)
A. B. C. D.
基礎夯實
1．已知橢圓＋＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于M，N兩點，則△F1MN的周長為(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
2.若橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為(　　)
A. B. C. D.
3.已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
4.與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點，且滿足短半軸長為2的橢圓方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
5.橢圓＋＝1的焦點坐標為(　　)
A.(±3，0) B.(0，±3)
C.(±9，0) D.(0，±9)
6．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，A1，A2分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若·＝－1，則C的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上一點，且∠F1PF2＝30°，|PF1|＝|PF2|，則橢圓C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
8．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝kx(k>0)與C交于M，N兩點(其中M在第一象限)，若M，F(xiàn)1，N，F(xiàn)2四點共圓，則C的離心率e的取值范圍是(　　)
A.() B.()
C.[) D.(]
9.(多選)對于曲線C：＋＝1，下面四個說法正確的是(　　)
A.曲線C不可能是橢圓
B.“1＜k＜4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件
C.“曲線C是焦點在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件
D.“曲線C是焦點在x軸上的橢圓”是“1＜k＜2.5”的充要條件
10.(多選)設橢圓＋＝1的右焦點為F，直線y＝m(0＜m＜)與橢圓交于A，B兩點，則(　　)
A.|AF|＋|BF|為定值
B.△ABF的周長的取值范圍是[6，12]
C.當m＝時，△ABF為直角三角形
D.當m＝1時，△ABF的面積為
11．(多選)如圖所示，用一個與圓柱底面成θ角的平面截圓柱，截面是一個橢圓．若圓柱的底面圓半徑為2，θ＝，則下列結論正確的是(　　)
A．橢圓的長軸長等于4
B．橢圓的離心率為
C．橢圓的標準方程可以是＋＝1
D．橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為4－2
12．(多選)橢圓C：＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，以下四個命題中正確的是(　　)
A．若過點F2的直線與橢圓C交于A，B兩點，則△ABF1的周長為8
B．橢圓C上存在點P，使得·＝0
C．橢圓C的離心率為
D．若P為橢圓＋y2＝1上一點，Q為圓x2＋y2＝1上一點，則點P，Q的最大距離為3
13．已知B(－，0)是圓A：(x－)2＋y2＝16內(nèi)一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為________________．
14．已知橢圓C的一個焦點為F(0,1)，橢圓C上的點到F的距離的最小值為1，則橢圓C的標準方程為____________；若P為橢圓C上一動點，M(3,3)，則|PM|－|PF|的最小值為________．
15.若橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為________.
16.已知橢圓E的中心為原點，焦點在x軸上，橢圓上一點到焦點的最小距離為2－2，離心率為，則橢圓E的方程為________.
17.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為________.
18.如圖所示，已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若橢圓的焦距為2，且＝2，求橢圓的方程.
19.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標原點.
(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；
(2)如果存在點P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.
20．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，左頂點為A，點E的坐標為(0，c)，A到直線EF2的距離為b.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)若P為橢圓C上的一點，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為，求橢圓C的標準方程．
21．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓的離心率的取值范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關．
優(yōu)化提升
22.已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
23.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在直線x＝上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是(　　)
A.(] B.(]
C.[) D.[)
24．(多選)人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等．設橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c，下列結論正確的是(　　)
A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]
B．衛(wèi)星運行速度在近地點時最小，在遠地點時最大
C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓
D．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間
25．(多選)已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，M()為橢圓C上一點，則下列結論正確的是(　　)
A．△MF1F2的周長為6
B．△MF1F2的面積為
C．△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為
D．△MF1F2的外接圓的直徑為
26．已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，設線段PF1的中點為M，且|OF2|＝|OM|，則△PF1F2的面積為________．
27. 甲、乙兩名探險家在某山中探險，他們來到一個山洞，洞內(nèi)是一個橢球形，截面是一個橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的A，B兩點處，甲站在A處唱歌時，乙在與A處有一定距離的B處聽得很清晰，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個焦點，符合橢圓的光學性質(zhì)，即從一個焦點發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點．現(xiàn)已知橢圓C：＋＝1上一點M，過點M作切線l，A，B分別為橢圓C的左、右焦點，cos∠AMB＝－，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為________．
28.已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)，若橢圓上一點P與其中心及長軸一個端點構成等腰直角三角形.
(1)求橢圓E的離心率；
(2)如圖，若直線l與橢圓相交于A，B，且AB是圓(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一條直徑，求橢圓E的標準方程.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．A　2.A　3.C
【知識歸納】
1．常數(shù)　焦點　焦距
2．－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
2b　2a　F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)　2c
x軸和y軸　原點　e＝(0a2＝b2＋c2
【題型展示】
例1 (1)
延伸探究 解　∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)
＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1||PF2|＝4.
(2)A
跟蹤訓練1 (1)D　(2)A
例2 D
例3 ＋＝1
跟蹤訓練2 (1)B
(2)A
例4 (1)A
(2)B
例5 (1)4
(2)A
跟蹤訓練3 (1)C
(2)D
基礎夯實
1．D　
2.C
3.D
4.B
5.B
6.B　
7.B　
8.A
9.CD
10.ACD
11．CD
12．ABD
13.＋y2＝1　
14.＋＝1　1
15.
16.＋＝1
17.
18.解　(1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，
且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1，0)，設B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝2.
所以橢圓方程為＋＝1.
19.解　(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的離心率為e＝＝－1.
(2)由題意可知，滿足條件的點P(x，y)存在當且僅當|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
當b＝4，a≥4時，存在滿足條件的點P.
所以b＝4，a的取值范圍為[4，＋∞).
20．解　(1)由題意得，A(－a,0)，
直線EF2的方程為x＋y＝c，
因為A到直線EF2的距離為b，
即＝b，所以a＋c＝b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1(舍)，
所以橢圓C的離心率為.
(2)由(1)知離心率e＝＝，
即a＝2c，①
因為∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為，
則|PF1||PF2|sin 60°＝，
所以|PF1||PF2|＝4，
由方程組
得a2－c2＝3，②
聯(lián)立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以橢圓C的標準方程為
＋＝1.
21．(1)解　不妨設橢圓的方程為
＋＝1(a>b>0)，焦距為2c.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
cos 60°＝
＝，
即＝，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以|PF1|·|PF2|＝.
又因為|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
當且僅當|PF1|＝|PF2|＝a時，等號成立，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，
所以e≥.
又因為0所以所求橢圓的離心率的取值范圍是.
(2)證明　由(1)可知|PF1|·|PF2|＝，
所以＝|PF1|·|PF2|sin 60°
＝××
＝，
所以△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關．
優(yōu)化提升
22.B
23.D
24．ACD
25．AC
26.
27.
28.解　(1)由題意不妨設橢圓上的點P的坐標為，代入橢圓方程可得＋＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.
(2)由(1)得橢圓E的方程為＋＝1，易知直線l的斜率存在，設其方程為y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝，
x1x2＝.
又x1＋x2＝2，∴k＝，∴x1x2＝，
則|AB|＝
＝＝2，
∴b2＝，則a2＝10，
∴橢圓E的標準方程為＋＝1.第8部分第6節(jié)《雙曲線》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
2．已知曲線C的方程為＋＝1(k∈R)，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
3．設P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________.
【知識歸納】
1．雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的 等于非零常數(shù)( |F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的 ，兩焦點間的距離叫做雙曲線的 ．
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì) 焦點
焦距
范圍 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸： ；對稱中心：______
頂點
軸 實軸：線段 ，長： ；虛軸：線段B1B2，長： ，實半軸長： ，虛半軸長：_____
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝∈_________
a，b，c的關系 c2＝ (c>a>0，c>b>0)
常用結論：
1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.
4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則＝，其中θ為∠F1PF2.
5．與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為－＝t(t≠0)．
【題型展示】
題型一　雙曲線的定義及應用
例1 (1)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為__________．
(2)在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為(　　)
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(0D.＋＝1(0跟蹤訓練1　(1)已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是C的右支上的一點(不是頂點)，過F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點，則|MO|＝________.
(2)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
題型二　雙曲線的標準方程
例2　(1)在平面直角坐標系中，已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的標準方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
(2)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)過點(，)，且離心率為2，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
跟蹤訓練2　(1)江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永．現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左焦點到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
題型三　雙曲線的幾何性質(zhì)
命題點1　漸近線
例3　(1)若雙曲線經(jīng)過點(1，)，其漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線的方程是________．
(2)已知雙曲線y2＋＝1的漸近線方程為y＝±x，則m＝________.
命題點2　離心率
例4　(1)記雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值________．
(2)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
跟蹤訓練3　(1)已知F是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，過點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，且直線l與雙曲線C的左支交于點B，若3|FA|＝|AB|，則雙曲線C的漸近線方程為________．
(2)(多選)已知雙曲線C：＋＝1(0A．雙曲線C的焦點在x軸上
B．雙曲線C的焦距等于4
C．雙曲線C的焦點到其漸近線的距離等于
D．雙曲線C的離心率的取值范圍為()
基礎夯實
1．雙曲線－＝λ(λ>0)的離心率為(　　)
A. B. C.或 D.
2.雙曲線－＝1(a>0，b>0)過點(，)，離心率為2，則雙曲線的方程為(　　)
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3.點(3，0)到雙曲線－＝1的一條漸近線的距離為(　　)
A. B. C. D.
4.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos ∠F1PF2＝(　　)
A. B. C. D.
5.已知雙曲線－y2＝1(a>0)的離心率是，則a＝(　　)
A. B.4 C.2 D.
6. “mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
7．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，實軸長為4，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
8．方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲線不可能為(　　)
A．兩條直線 B．圓
C．橢圓 D．雙曲線
9.(多選)在平面直角坐標系中，有兩個圓C1：(x＋2)2＋y2＝r和C2：(x－2)2＋y2＝r，其中常數(shù)r1，r2為正數(shù)且滿足r1＋r2＜4，一個動圓P與兩圓都相切，則動圓圓心的軌跡可以是(　　)
A.兩個橢圓
B.兩個雙曲線
C.一個雙曲線和一條直線
D.一個橢圓和一個雙曲線
10.(多選)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點，點P是其一條漸近線上一點，且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點P，則(　　)
A.雙曲線C的漸近線方程為y＝±x
B.以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1
C.點P的橫坐標為±1
D.△PF1F2的面積為
11．(多選)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：－x2＝1的兩個焦點，P為雙曲線C上任意一點，則(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝2
B．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x
C．雙曲線C的離心率為
D．|＋|≥2
12．(多選)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是C右支上的一點，PF1與C的左支交于點Q.已知＝2，且|PQ|＝|PF2|，則(　　)
A．△PQF2為直角三角形
B．△PQF2為等邊三角形
C．C的漸近線方程為y＝±x
D．C的漸近線方程為y＝±x
13．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則該雙曲線C的漸近線方程為________．
14．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P在雙曲線的右支上，|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是________．
15.已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為________.
16.如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，A和B是以O為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.
17.已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點.若∠MAN＝60°，則C的離心率為________.
18.已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點P(4，－).
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0.
19.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(c，0).
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率.
20．已知雙曲線C：x2－＝1(b>0)．
(1)若雙曲線C的一條漸近線方程為y＝2x，求雙曲線C的標準方程；
(2)設雙曲線C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為9，求b的值．
21.如圖，已知雙曲線的中心在原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，焦距是實軸長的倍，雙曲線過點(4，－)．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上；
(3)在(2)的條件下，若點M 在第一象限，且直線MF2交雙曲線于另一點N，求△F1MN的面積．
優(yōu)化提升
22．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，右焦點為F，B為雙曲線在第二象限上的一點，B關于坐標原點O的對稱點為C，直線CA與直線BF的交點M恰好為線段BF的中點，則雙曲線的離心率為(　　)
A．2 B．3 C. D.
23．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1的左、右焦點，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于A，B兩點，若A，B兩點的橫坐標之比是∶，則該雙曲線的離心率為(　　)
A. B. C. D.
24．中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線C與橢圓＋＝1有相同的焦距，一條漸近線方程為x－y＝0，則C的方程為(　　)
A.－y2＝1或y2－＝1
B．x2－＝1或y2－＝1
C.－y2＝1或－x2＝1
D．x2－＝1或－x2＝1
25．(多選)設F1，F(xiàn)2為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過左焦點F1且斜率為的直線l與C在第一象限相交于一點P，則下列說法正確的是(　　)
A.直線l傾斜角的余弦值為
B.若|F1P|＝|F1F2|，則C的離心率e＝
C.若|PF2|＝|F1F2|，則C的離心率e＝2
D.△PF1F2不可能是等邊三角形
26.(多選)已知雙曲線E：－y2＝1(a>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過點F2作直線與雙曲線E的右支相交于P，Q兩點，在點P處作雙曲線E的切線，與E的兩條漸近線分別交于A，B兩點，則下列命題中正確的是(　　)
A．若|PF1|·|PF2|＝2，則·＝0
B．若＝，則雙曲線的離心率e∈(1，＋1]
C．△F1PQ周長的最小值為8
D．△AOB(O為坐標原點)的面積為定值
27.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，經(jīng)過點F2且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且≤∠F1AF2≤，則該雙曲線離心率的取值范圍為________.
28.已知曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的方程為y＝x，右焦點F到直線x＝的距離為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B、D兩點，已知A(1，0)，若·＝1，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．C　2.C　3.17
【知識歸納】
1．絕對值　小于　焦點　焦距
2．F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)　|F1F2|＝2c
x≤－a　x≥a　坐標軸　原點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)　A1A2　2a　2b　a　b　y＝±x　y＝±x　(1，＋∞)　a2＋b2
【題型展示】
例1 (1)2
(2)A
跟蹤訓練1 (1)4
(2)C
例2 (1)D
(2)A
跟蹤訓練2 (1)D
(2)A
例3 (1)4x2－y2＝1
(2)－3
例4 (1)2((1，]內(nèi)的任意值均可)
(2)A
跟蹤訓練3 (1)y＝±x
(2)ACD
基礎夯實
1．B　
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C　
7.D　
8.B
9.BC
10.ACD
11．CD
12．BC
13．y＝±x　
14.
15.x±y＝0
16.＋1
17.
18.(1)解　∵e＝，
∴可設雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0).
∵雙曲線過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴雙曲線的方程為x2－y2＝6，即－＝1.
(2)證明　法一　由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵點M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
法二　由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵點M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
19.解　(1)因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以雙曲線方程為－＝1.
(2)設點A的坐標為(x0，y0)，
所以直線AO的斜率滿足·(－)＝－1，
所以x0＝y(tǒng)0，①
依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，
將①代入圓的方程得3y＋y＝c2，
即y0＝c，所以x0＝c，
所以點A的坐標為，
代入雙曲線方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因為a2＋b2＝c2，
所以將b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3－8＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因為e>1，所以e＝，
20．解　(1)因為雙曲線C：x2－＝1(b>0)的漸近線方程為y＝±bx，而它的一條漸近線方程為y＝2x，
所以b＝2，
所以雙曲線C的標準方程為x2－＝1.
(2)因為PF1⊥PF2，
所以＝|PF1|·|PF2|，
因為△PF1F2的面積為9，
所以|PF1|·|PF2|＝18，
又因為||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，
又因為|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以c2＝10，
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，
所以b＝3.
21．(1)解　設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，
雙曲線焦距為2c，實軸長為2a，
則2c＝2a，即c＝a，
∴b2＝c2－a2＝a2，
∴雙曲線方程為x2－y2＝a2，
將(4，－)代入得，a2＝16－10＝6，
∴雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)證明　由(1)知，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，
∵M(3，m)在雙曲線上，
∴9－m2＝6，即m2＝3，
以F1F2為直徑的圓為x2＋y2＝12，
將M(3，m)代入得9＋3＝12，
∴M在以F1F2為直徑的圓上．
(3)解　由(2)知，點M坐標為(3，)或(3，－)，
∵點M在第一象限，
∴M的坐標為(3，)，直線MF2的方程為y－＝(x－3)＝－(2＋)(x－3)，
即y＝(－2－)x＋(6＋4)，
代入雙曲線方程整理可得(6－4)y2－4(2－)y＋6＝0，
∵M的縱坐標為，
∴N的縱坐標為＝＝－(＋2)，
∴△F1MN的面積為S＝|F1F2|·(＋＋2)＝2×(2＋2)＝12＋4.
優(yōu)化提升
22．B
23．C　
24．A
25．AD
26.ACD
27.[，]
28.(1)解　依題意有＝，c－＝，
∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)證明　設直線l的方程為
y＝x＋m(m＞0)，
B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中點為M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，
又·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，
∴m＝0(舍)或m＝2，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M點的橫坐標為＝1，
∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，
∴AD⊥AB，∴過A、B、D三點的圓以點M為圓心，BD為直徑，
∵點M的橫坐標為1，∴MA⊥x軸.
∴過A、B、D三點的圓與x軸相切.第8部分第7節(jié)《拋物線》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．拋物線x2＝y(tǒng)的準線方程為(　　)
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(3，y)到焦點F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
3．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
【知識歸納】
1．拋物線的概念
把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離
的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的 ，直線l叫做拋物線的 ．
2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦點
準線方程
對稱軸
頂點
離心率 e＝_____
常用結論：
1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.
2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點F()的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑．
【題型展示】
題型一　拋物線的定義及應用
例1　((1)已知點M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．
2)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3,0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
跟蹤訓練1　(1)若P是拋物線y2＝8x上的動點，P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上動點Q的距離為d2，則d1＋d2的最小值為________．
(2)已知拋物線y＝mx2(m>0)上的點(x0,2)到該拋物線焦點F的距離為，則m等于(　　)
A．4 B．3 C. D.
題型二　拋物線的標準方程
例2　分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．
(1)準線方程為2y＋4＝0；
(2)過點(3，－4)；
(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．
跟蹤訓練2　(1)已知點F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，點P在拋物線上且橫坐標為8，O為坐標原點，若△OFP的面積為2，則該拋物線的準線方程為(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
(2)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
題型三　拋物線的幾何性質(zhì)
例3　(1)(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l的斜率為且經(jīng)過點F，與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線C的準線交于點D.若|AF|＝8，則以下結論正確的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
(2)在拋物線y2＝8x上有三點A，B，C，F(xiàn)為其焦點，且F為△ABC的重心，則|AF|＋|BF|＋|CF|等于(　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
跟蹤訓練3　(1)已知F是拋物線y2＝16x的焦點，M是拋物線上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若3＝2，則|FN|＝________.
(2)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為______．
基礎夯實
1.拋物線x2＝y(tǒng)的焦點到準線的距離是(　　)
A.2 B.1 C. D.
2.若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點是橢圓＋＝1的一個焦點，則p等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
3.設O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為(　　)
A.() B.() C.(1，0) D.(2，0)
4．設M是拋物線y2＝4x上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O是坐標原點，若∠OFM＝120°，則|FM|等于(　　)
A．3 B．4 C. D.
5.設F為拋物線y2＝2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若F為△ABC的重心，則||＋||＋||的值為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6．拋物線C：y2＝－x的準線方程為(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
7．已知拋物線x2＝2py(p>0)上的一點M(x0,1)到其焦點的距離為2，則該拋物線的焦點到其準線的距離為(　　)
A．6 B．4 C．3 D．2
8．在平面直角坐標系Oxy中，動點P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(－2,0)的距離小1，則P的軌跡方程為(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
9.(多選)已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則(　　)
A.C的準線方程為x＝－4
B.F點的坐標為(0，4)
C.|FN|＝12
D.三角形ONF的面積為16(O為坐標原點)
10.(多選)設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點.若△ABF的面積為9，則(　　)
A.|BF|＝3
B.△ABF是等邊三角形
C.點F到準線的距離為3
D.拋物線C的方程為y2＝6x
11．(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F到準線的距離為4，直線l過點F且與拋物線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是線段AB的中點，則下列結論正確的是(　　)
A．p＝4
B．拋物線方程為y2＝16x
C．直線l的方程為y＝2x－4
D．|AB|＝10
12．(多選)在平面直角坐標系Oxy中，點F是拋物線C：y2＝ax(a>0)的焦點，點A()，B(a，b)(b>0)在拋物線C上，則下列結論正確的是(　　)
A．C的準線方程為x＝
B．b＝
C.·＝2
D.＋＝
13. 如圖是拋物線形拱橋，當水面為l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．則水位下降1米后，水面寬________米．
14．已知拋物線C：y2＝4x，焦點為F，點M為拋物線C上的點，且|FM|＝6，則M的橫坐標是________，作MN⊥x軸于N，則S△FMN＝________.
15.如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米.水位下降1米后，水面寬________米.
16.已知直線l是拋物線y2＝2px(p＞0)的準線，半徑為3的圓過拋物線頂點O和焦點F與l相切，則拋物線的方程為________.
17.直線l過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F(1，0)，且與C交于A，B兩點，則p＝________，＋＝________.
18.已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點，且|AB|＝9.
(1)求該拋物線的方程；
(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值.
19.已知拋物線C：y2＝2px過點P(1，1)，過點()作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點.
(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；
(2)求證：A為線段BM的中點.
20．過拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，當點A的縱坐標為1時，|AF|＝2.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若拋物線C上存在點M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程．
21．已知在拋物線C：x2＝2py(p>0)的第一象限的點P(x,1)到其焦點的距離為2.
(1)求拋物線C的方程和點P的坐標；
(2)過點()的直線l交拋物線C于A，B兩點，若∠APB的角平分線與y軸垂直，求弦AB的長．
優(yōu)化提升
22.設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0，2)，則C的方程為(　　)
A.y2＝4x或y2＝8x
B.y2＝2x或y2＝8x
C.y2＝4x或y2＝16x
D.y2＝2x或y2＝16x
23．在平面直角坐標系Oxy中，點A(1,0)，B(9,6)，動點C在線段OB上，BD⊥y軸，CE⊥y軸，CF⊥BD，垂足分別是D，E，F(xiàn)，OF與CE相交于點P.已知點Q在點P的軌跡上，且∠OAQ＝120°，則|AQ|等于(　　)
A．4 B．2
C. D.
24.(多選)設F是拋物線C：y2＝4x的焦點，直線l過點F，且與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，則下列結論正確的是(　　)
A.|AB|≥4
B.|OA|＋|OB|＞8
C.若點P(2，2)，則|PA|＋|AF|的最小值是3
D.△OAB面積的最小值是2
25．(多選)拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線r：y2＝x，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線l1從點P()射入，經(jīng)過r上的點A(x1，y1)反射后，再經(jīng)r上另一點B(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點Q，則下列結論正確的是(　　)
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝
C．PB平分∠ABQ
D．延長AO交直線x＝－于點C，則C，B，Q三點共線
26．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，點M是拋物線C上一點，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，則拋物線C的方程為________．
27．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線C上的兩個動點，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，設線段AB的中點M在準線l上的射影為點N，則的值是________．
28.已知曲線C：y＝，D為直線y＝－上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.
(1)證明：直線AB過定點；
(2)若以E()為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．A　2.B　3.B
【知識歸納】
1．相等　焦點　準線
2.　　
　x＝－　x＝
y＝－　y＝　x軸　y軸
(0,0)　1
【題型展示】
例1 (1)42或22
(2)B
跟蹤訓練1 (1)－4
(2)D
例2 解　(1)準線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設其方程為x2＝2py(p＞0)．
又＝2，∴2p＝8，故所求拋物線的標準方程為x2＝8y.
(2)∵點(3，－4)在第四象限，
∴拋物線開口向右或向下，
設拋物線的標準方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
則2p＝，2p1＝.
∴所求拋物線的標準方程為
y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；
令y＝0得x＝－15.
∴拋物線的焦點為(0，－5)或(－15,0)．
∴所求拋物線的標準方程為
x2＝－20y或y2＝－60x.
跟蹤訓練2 (1)B
(2)D
例3 (1)ABC
(2)D
跟蹤訓練3 (1)16
(2)x＝－
基礎夯實
1.D
2.D
3.B
4.B
5.C
6．A　
7.D　
8.D　
9.ACD
10.BCD
11．ACD　
12．BD
13．2　
14.5　4
15.2
16.y2＝8x
17.2　1
18.解　(1)拋物線的焦點坐標為，則直線AB的方程是y＝2，
與y2＝2px聯(lián)立，化簡得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.又|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0得x2－5x＋4＝0.
又x1＜x2，
從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
從而A(1，－2)，B(4，4).
設＝(x3，y3)，所以(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1).
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
19.(1)解　把P(1，1)代入y2＝2px得p＝，
∴拋物線C的方程為y2＝x，
焦點坐標為，準線方程為x＝－.
(2)證明　∵BM⊥x軸，
∴設M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，
根據(jù)題意顯然有x1≠0.
若要證A為BM的中點，
只需證2yA＝y(tǒng)B＋y1即可，
左右同除以x1有＝＋，
即只需證明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON.
當直線MN斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線MN斜率存在且不為零.
設直線MN：y＝kx＋(k≠0)，
聯(lián)立消y得，k2x2＋(k－1)x＋＝0，
考慮Δ＝(k－1)2－4××k2＝1－2k，
由題可知有兩交點，所以判別式大于零，所以k<.
由根與系數(shù)關系可知：x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
kOB＋kOM＝kON＋kOM＝＋＝＋＝2k＋.
將①②代入上式，有2k＋＝2k＋＝2k＋2(1－k)＝2，
即kON＋kOM＝kOB＋kOM＝2＝2kOA，
∴2yA＝y(tǒng)B＋y1恒成立，
∴A為BM的中點，得證.
20．解　(1)拋物線C：x2＝2py(p>0)的準線方程為y＝－，
焦點為F.
當點A的縱坐標為1時，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴拋物線C的方程為x2＝4y.
(2)∵點M(－2，y0)在拋物線C上，
∴y0＝＝1，
M坐標為(－2,1)．
又直線l過點F(0,1)，
∴設直線l的方程為y＝kx＋1.
由
得x2－4kx－4＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝(x1＋2，y1－1)，
＝(x2＋2，y2－1)．
∵MA⊥MB，
∴·＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
當k＝0時，l過點M，不符合題意，
∴k＝2，
∴直線l的方程為y＝2x＋1.
21．解　(1)由1＋＝2，可得p＝2，
故拋物線的方程為x2＝4y，
當y＝1時，x2＝4，
又因為x>0，所以x＝2，
所以點P的坐標為(2,1)．
(2)由題意可得直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y＝k(x＋1)＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，
因為∠APB的角平分線與y軸垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
所以kPA＋kPB＝＋＝0，
即＋＝0，
即x1＋x2＋4＝0，
所以k＝－1，x1＋x2＝－4，
x1x2＝2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝4.
優(yōu)化提升
22.C
23．A
24.ACD
25．BCD
26．y2＝4x
27.
28.(1)證明　設D，A(x1，y1)，
則x＝2y1.
因為y′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
設B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.
所以直線AB過定點.
(2)解　由(1)得直線AB的方程為
y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝|x1－x2|
＝×＝2(t2＋1).
設d1，d2分別為點D，E到直線AB的距離，
則d1＝，d2＝.
因此，四邊形ADBE的面積
S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).
設M為線段AB的中點，則M.
因為⊥，而＝(t，t2－2)，與向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
當t＝0時，S＝3；當t＝±1時，S＝4.
因此，四邊形ADBE的面積為3或4.第8部分第8節(jié)《直線與圓錐曲線的位置關系》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的長是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
2．直線y＝kx＋2與橢圓＋＝1有且只有一個交點，則k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
3．已知點A，B是雙曲線C：－＝1上的兩點，線段AB的中點是M(3,2)，則直線AB的斜率為(　　)
A. B. C. D.
【知識歸納】
1．直線與圓錐曲線的位置判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交 Δ 0；直線與圓錐曲線相切 Δ 0；直線與圓錐曲線相離 Δ 0.
特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點．
②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點．
2．弦長公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，
則|AB|＝
＝|x1－x2|
＝___________________
或|AB|＝|y1－y2|
＝ .
【題型展示】
例1　(1)(多選)已知直線y＝x與雙曲線－＝1(a>0，b>0)無公共點，則雙曲線的離心率可能為(　　)
A．1 B. C. D.
(2)若直線mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點有(　　)
A．1個 B．至多1個
C．2個 D．0個
跟蹤訓練1　(1)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過雙曲線C的右焦點F，且傾斜角為60°的直線l與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲線離心率的取值范圍為________．
(2)拋物線C：y2＝4x的準線為l，l與x軸交于點A，過點A作拋物線的一條切線，切點為B，則△OAB的面積為(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
題型二　弦長問題
例2　已知焦點在x軸上的橢圓C：＋＝1(a>b>0)，短軸長為2，橢圓左頂點A到左焦點F1的距離為1.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設橢圓的右頂點為B，過F1的直線l與橢圓C交于點M，N，且S△BMN＝，求直線l的方程．
跟蹤訓練2　已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點為F(，0)，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2＋y2＝b2(x>0)相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|＝.
題型三　中點弦問題
例3　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，短軸頂點分別為M，N，四邊形MF1NF2的面積為32.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)直線l交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標為(－2,1)，求直線l的方程．
跟蹤訓練3　(1)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點到準線的距離為1，若拋物線C上存在關于直線l：x－y－2＝0對稱的不同的兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標為(　　)
A．(1，－1) B．(2,0)
C.() D．(1,1)
(2)已知傾斜角為的直線與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，相交于A，B兩點，M(1,3)是弦AB的中點，則雙曲線的漸近線方程為________．
基礎夯實
1．已知直線l：kx＋y＋1＝0，橢圓C：＋＝1，則直線l與橢圓C的位置關系是(　　)
A．相離 B．相切
C．相交 D．無法確定
2．直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于A，B兩點，若使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，則p等于(　　)
A. B. C．1 D．2
3．已知直線l的方程為y＝kx－1，雙曲線C的方程為x2－y2＝1.若直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A．(－，) B．[1，)
C．[－，] D．(1，)
4.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　)
A. B. C. D.2
5.橢圓＋＝1上的點到直線x＋2y－＝0的最大距離是(　　)
A.3 B. C.2 D.
6.直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關系為(　　)
A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定
7.已知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
8.設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為.P是C上一點，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則a＝(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
9．已知A，B分別是橢圓C：＋y2＝1的右頂點和上頂點，P為橢圓C上一點，若△PAB的面積是－1，則P點的個數(shù)為(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
10.(多選)已知雙曲線C過點(3，)且漸近線為y＝±x，則下列結論正確的是(　　)
A.C的方程為－y2＝1
B.C的離心率為
C.曲線y＝ex－2－1經(jīng)過C的一個焦點
D.直線x－y－1＝0與C有兩個公共點
11．(多選)已知直線l：x＝ty＋4與拋物線C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2，則(　　)
A．y1y2為定值
B．k1k2為定值
C．y1＋y2為定值
D．k1＋k2＋t為定值
12．(多選)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c.直線l：y＝k(x＋c)(k∈R)與橢圓交于A，B兩點，則下列說法中正確的是(　　)
A．△ABF2的周長為4a
B．若AB的中點為M，則kOM·k＝
C．若·＝3c2，則橢圓的離心率的取值范圍是[]
D．若|AB|的最小值為3c，則橢圓的離心率e＝
13．橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，斜率為的直線l過左焦點F1且交C于A，B兩點，且△ABF2內(nèi)切圓的周長是2π，若橢圓的離心率為，則|AB|＝________.
14．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過F作斜率為的直線l與C交于M，N兩點，若線段MN中點的縱坐標為，則F到C的準線的距離為________．
15.雙曲線－＝1的右焦點到直線x＋2y－8＝0的距離為________.
16.過雙曲線C：－＝1的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于A.若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(O為坐標原點)，則雙曲線C的方程為________.
17.已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為________.
18.已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為2，離心率e＝，過右焦點F的直線l交橢圓于P，Q兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
(3)若以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程.
19.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F(－2，0)，離心率為.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設O為坐標原點，T為直線x＝－3上一點，過F作TF的垂線交橢圓于P，Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積.
20．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，長軸長為4.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知直線l過定點E()，若橢圓C上存在兩點A，B關于直線l對稱，求直線l的斜率k的取值范圍．
21．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，點P(5，)在雙曲線C上．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)記O為坐標原點，過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，若△OAB的面積為2，求直線l的方程．
優(yōu)化提升
22．已知拋物線C：y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，直線l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1，M2，M3，M4四點，則下列各式結果為定值的是(　　)
A．|M1M2|·|M3M4| B．|FM1|·|FM4|
C．|M1M3|·|M2M4| D．|FM1|·|M1M2|
23．已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，則在橢圓上一點A(x0，y0)處的切線方程為＋＝1，試運用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓C1：＋y2＝1，O為坐標原點，點B為C1在第一象限中的任意一點，過B作C1的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，則△OCD面積的最小值為(　　)
A．1 B. C. D．2
24.(多選)已知橢圓C：＋＝1的左、右兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝kx(k≠0)與C交于A，B兩點，AE⊥x軸，垂足為E，直線BE與C的另一個交點為P，則下列結論正確的是(　　)
A.四邊形AF1BF2為平行四邊形
B.∠F1PF2＜90°
C.直線BE的斜率為k
D.S四邊形AF1BF2∈(0，4]
25．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與C交于A，B兩點(點A在x軸上方)，過A，B分別作l的垂線，垂足分別為M，N，連接MF，NF.若|MF|＝|NF|，則直線AB的斜率為________．
26．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，|DE|＝6，則△ADE的周長是________．
27.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為________.
28.在平面直角坐標系xOy中，已知點F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，點M滿足|MF1|－|MF2|＝2.記M的軌跡為C.
(1)求C的方程；
(2)設點T在直線x＝上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．C　2.C　3.D
【知識歸納】
1．>　＝　<
2.
【題型展示】
例1 (1)BC
(2)C
跟蹤訓練1 (1)(1,2)
(2)A
例2 解　(1)由得
所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)由題意知，直線的斜率存在且不為0，F(xiàn)1(－1,0)，B(2,0)，
設直線l的方程為x＝my－1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
即y1＋y2＝，
y1y2＝.
又S△BMN＝|BF1|·|y1|＋|BF1|·|y2|
＝|BF1|·|y1－y2|
＝|BF1|·
＝＝，
解得m＝±1，
所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
跟蹤訓練2 (1)解　由題意得，
橢圓半焦距c＝且e＝＝，
所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明　由(1)得，曲線為x2＋y2＝1(x>0)，
當直線MN的斜率不存在時，直線MN：x＝1，不符合題意；
當直線MN的斜率存在時，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
必要性：
若M，N，F(xiàn)三點共線，
可設直線MN：y＝k(x－)，
即kx－y－k＝0，
由直線MN與曲線x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
聯(lián)立
可得4x2－6x＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
·
＝，
所以必要性成立；
充分性：設直線MN：
y＝kx＋m(km<0)，
即kx－y＋m＝0，
由直線MN與曲線x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，
所以m2＝k2＋1，
聯(lián)立
可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，
x1x2＝，
所以|MN|＝·
＝
＝·＝，
化簡得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直線MN：
y＝x－或y＝－x＋，
所以直線MN過點F(，0)，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立，所以M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是
|MN|＝.
例3 解　(1)因為離心率e＝＝，所以a＝c，
因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因為四邊形MF1NF2的面積為32，所以2bc＝32，
所以b＝c＝4，a＝4，
故橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)由題意得，直線l的斜率存在．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
兩式相減得＋＝0，
所以＝－·.
因為AB的中點坐標為(－2,1)在橢圓內(nèi)部，所以＝1，
所以直線l的斜率為1，
故直線l的方程為y－1＝x＋2，
即x－y＋3＝0.
跟蹤訓練3 (1)A
(2)y＝±x
基礎夯實
1．C　
2.C　
3.D
4.A
5.D
6.A
7.C
8.A
9．C
10.AC
11．ABD
12．AC
13．4　
14.5
15.
16.－＝1
17.8
18.解　(1)由已知，橢圓方程可設為
＋＝1(a＞b＞0).
∵長軸長為2，離心率e＝，
∴b＝c＝1，a＝.
所求橢圓方程為＋y2＝1.
(2)因為直線l過橢圓右焦點F(1，0)，且斜率為1，
所以直線l的方程為y＝x－1.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝－1，y2＝.
∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|
＝|y1－y2|＝.
(3)當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x＝1，此時∠POQ小于90°，以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形.
當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y＝k(x－1).
由可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
∴y1y2＝.
因為以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形 ·＝0，
由·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，得k2＝2，
∴k＝±.∴所求直線的方程為
y＝±(x－1).
19.解　(1)由已知可得，＝，c＝2，
所以a＝.
又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以橢圓C的標準方程是＋＝1.
(2)設T點的坐標為(－3，m)，則直線TF的斜率kTF＝＝－m.
當m≠0時，直線PQ的斜率kPQ＝，直線PQ的方程是x＝my－2.
當m＝0時，直線PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
因為四邊形OPTQ是平行四邊形，所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).
所以解得m＝±1.
此時，四邊形OPTQ的面積
SOPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝2＝2.
20．(1)解　因為橢圓的離心率為
e＝＝，長軸長為2a＝4，
解得a＝2，c＝1，則b2＝3，
所以橢圓C的標準方程是
＋＝1.
(2)易知直線的斜率存在，設直線l的方程為
y＝k，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
當直線l的斜率k＝0時，易得在橢圓C上有無數(shù)對A，B關于直線y＝0對稱；
當k≠0時，有kAB＝＝－，
AB中點的坐標為(x0，y0)，
則
兩式相減得3(x1＋x2)(x1－x2)
＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
即3kx0＝4y0，
又y0＝k，
解得x0＝1，y0＝，
因為線段AB的中點在橢圓內(nèi)部，
所以＋<1，
即＋<1，
解得－2綜上，直線l的斜率k的取值范圍為(－2,2)．
21．解　(1)依題意，c＝2，
所以a2＋b2＝4，
則雙曲線C的方程為－＝1(0將點P(5，)代入上式，
得－＝1，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
故所求雙曲線的方程為－＝1.
(2)依題意，可設直線l的方程為
y＝kx＋2，
代入雙曲線C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因為直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，
所以
解得(*)
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·＝·.
又原點O到直線l的距離
d＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝××·＝.
又S△OAB＝2，
即＝1，
所以k4－k2－2＝0，
解得k＝±，滿足(*)．
故滿足條件的直線l有兩條，
其方程分別為
y＝x＋2和y＝－x＋2.
優(yōu)化提升
22．A
23．C
24.ABC
25.
26．13
27.
28.解　(1)因為|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2，
所以點M的軌跡C是以F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點的雙曲線的右支.
設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，半焦距為c，則2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以點M的軌跡C的方程為
x2－＝1(x≥1).
(2)設T，由題意可知直線AB，PQ的斜率均存在且不為零，設直線AB的方程為y－t＝k1(k1≠0)，直線PQ的方程為y－t＝k2(k2≠0)，
由
得(16－k)x2－2k1x－－16＝0.
設A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由題意知16－k≠0，
則xAxB＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－k)，
xA＋xB＝eq \f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－k)，
所以|TA|＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))
＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))，
|TB|＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))
＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))，
則|TA|·|TB|
＝(1＋k)
＝(1＋k)＝
(1＋k)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－k)－\f(1,2)×\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－k)＋\f(1,4)))
＝eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16).
同理得|TP|·|TQ|＝eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16).
因為|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16)＝eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16)，
所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，
即k＝k，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.第8部分第9節(jié)《圓錐曲線壓軸小題》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【題型展示】
題型一　離心率范圍問題
例1　(1)已知雙曲線的方程是－＝1(a>0，b>0)，點F1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線相交于點P(點P在第一象限)，若∠PF1F2≤，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　)
A.[) B．[＋1，＋∞)
C.(] D．(1，＋1]
(2)已知F是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點，若直線x＝與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是(　　)
A.(] B.()
C．[－1,1] D.[)
跟蹤訓練1　(1)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，點P是C上任意一點，若圓O：x2＋y2＝b2上存在點M，N，使得∠MPN＝120°，則C的離心率的取值范圍是(　　)
A.(] B.[) C.(] D.[)
(2)設e1，e2分別為具有公共焦點F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足∠F1PF2＝，則e1e2的最小值為(　　)
A. B. C. D.
題型二　圓錐曲線中二級結論的應用
命題點1　橢圓、雙曲線中二級結論的應用
例2　(1)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，過原點O的直線交C于A，B兩點(點B在右支上)，雙曲線右支上一點P(異于點B)滿足·＝0，直線PA交x軸于點D，若∠ADO＝∠AOD，則雙曲線C的離心率為(　　)
A. B．2 C. D．3
(2)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其離心率e＝，點P為該橢圓上一點，且滿足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r＝，則該橢圓的長軸長為(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
跟蹤訓練2　(1)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點分別為A，B，直線AF2與該橢圓交于A，M兩點，若∠F1AF2＝90°，則直線BM的斜率為(　　)
A. B. C．－1 D．－
(2)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是(　　)
A. B.
C. D.
命題點2　拋物線中二級結論的應用
例3　(1)已知拋物線C：y2＝16x，傾斜角為的直線l過焦點F交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，則△ABO的面積為________．
(2)已知拋物線y2＝4x過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，則2|AF|＋|BF|的最小值為(　　)
A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2
跟蹤訓練3　已知A，B是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的直線與拋物線的交點，O是坐標原點，且滿足＝3，S△OAB＝|AB|，則|AB|的值為(　　)
A. B. C．4 D．2
題型三　圓錐曲線與其他知識的綜合
例4　(多選)油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1 000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術節(jié)．活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙傘在地面上形成了一個橢圓形的影子(春分時，該市的陽光照射方向與地面的夾角為60°)，若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點位置，則(　　)
A．該橢圓的離心率為
B．該橢圓的離心率為2－
C．該橢圓的焦距為
D．該橢圓的焦距為2－1
跟蹤訓練4　(多選)如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右支與直線x＝0，y＝4，y＝－2圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線C與坐標軸交于D，E兩點，則(　　)
A．雙曲線C的方程為－＝1
B．雙曲線－x2＝1與雙曲線C共漸近線
C．存在一點，使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個交點
D．存在無數(shù)個點，使它與D，E兩點的連線的斜率之積為3
優(yōu)化提升
1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，滿足·＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是(　　)
A．(0,1) B.(]
C.() D.[)
2．已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為F(－2,0)，過F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且AB的中點為N(－3，－1)，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
3．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y＝kx(k≠0)與C交于M，N兩點，且四邊形MF1NF2的面積為8a2.若點M關于點F2的對稱點為M′，且|M′N|＝|MN|，則C的離心率是(　　)
A. B. C．3 D．5
4．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，過點F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C相交于A，B兩點，直線l2與C相交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　)
A．16 B．14 C．12 D．10
5．(多選)設橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點分別為A1，A2，點P是C上異于A1，A2的一點，則下列結論正確的是(　　)
A．若C的離心率為，則直線PA1與PA2的斜率之積為－
B．若PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為b2
C．若C上存在四個點P使得PF1⊥PF2，則C的離心率的取值范圍是()
D．若|PF1|≤2b恒成立，則C的離心率的取值范圍是(]
6．(多選)已知雙曲線C：x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則下列命題正確的是(　　)
A．若θ＝60°，則S＝4
B．若S＝4，則|PF2|＝2
C．若△PF1F2為銳角三角形，則S∈(4,4)
D．若△PF1F2的重心為G，隨著點P的運動，點G的軌跡方程為9x2－＝1
7．直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F(1,0)且與拋物線交于A，B兩點，則|AF|－的最小值為________．
8．如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬4 cm，杯深8 cm，稱為拋物線酒杯．
(1)在杯口放一個表面積為36π cm2的玻璃球，則球面上的點到杯底的最小距離為_____ cm；
(2)在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為____________(單位：cm)．
參考答案：
基礎摸查
【題型展示】
例1 (1)D
(2)D
跟蹤訓練1 (1)C
(2)A
例2 (1)A
(2)D
跟蹤訓練2 (1)B
(2)D
例3 (1)64
(2)D
跟蹤訓練3 A
例4 BC
跟蹤訓練4 ABD
優(yōu)化提升
1．C　
2.B
3．B
4．A
5．BD
6．ACD
7．2－2
8．(1)6　(2)第8部分第10節(jié)《圓錐曲線中求值與證明問題》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【題型展示】
題型一　求值問題
例1　在平面直角坐標系Oxy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點()，焦距與長軸之比為，A，B分別是橢圓C的上、下頂點，M是橢圓C上異于A，B的一點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點P在直線x－y＋2＝0上，且＝3，求△PMA的面積；
(3)過點M作斜率為1的直線分別交橢圓C于另一點N，交y軸于點D，且點D在線段OA上(不包括端點O，A)，直線NA與直線BM交于點P，求·的值．
例1　已知點A(2,1)在雙曲線C：－＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.
(1)求l的斜率；[切入點：kAP＋kAQ＝0]
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面積．[關鍵點：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
題型二　證明問題
例2　若A()，B()，C(0,1)，D()四點中恰有三點在橢圓T：＋＝1(a>b>0)上．
(1)求橢圓T的方程；
(2)動直線y＝x＋t(t≠0)與橢圓交于E，F(xiàn)兩點，EF的中點為M，連接OM(其中O為坐標原點)交橢圓于P，Q兩點，證明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
跟蹤訓練2　已知拋物線C的焦點F在x軸上，過F且垂直于x軸的直線交C于A(點A在第一象限)，B兩點，且|AB|＝4.
(1)求C的標準方程；
(2)已知l為C的準線，過F的直線l1交C于M，N(M，N異于A，B)兩點，證明：直線AM，BN和l相交于一點．
基礎夯實
1．如圖，已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點為F，準線為l，O為坐標原點，A為拋物線Γ上一點，直線AO與l交于點C，直線AF與拋物線Γ的另一個交點為B.
(1)證明：直線BC∥x軸；
(2)設準線l與x軸的交點為E，連接BE，且BE⊥BF.證明：||AF|－|BF||＝8.
2．橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點P()，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一個正方形．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交C于A，B兩點，且＝2，求|AB|.
優(yōu)化提升
3．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(2,0)，漸近線方程為y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.過P且斜率為－的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
4．在平面直角坐標系Oxy中，已知離心率為的橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A，B，過右焦點F的動直線l與橢圓C交于M，N兩點，△ABM的面積最大值為2.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設直線AM與定直線x＝t(t>2)交于點T，記直線TF，AM，BN的斜率分別是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值．
5.已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點為F(，0)，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2＋y2＝b2(x>0)相切.證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|＝.
6.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過點A(2，1).
(1)求C的方程；
(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值.
7.如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率是，點P(0，1)在短軸CD上，且·＝－1.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點.是否存在常數(shù)λ，使得·＋λ·為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.
8.已知點A(1，－)在橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上，O為坐標原點，直線l：－＝1的斜率與直線OA的斜率乘積為－.
(1)求橢圓C的方程；
(2)不經(jīng)過點A的直線y＝x＋t(t≠0且t∈R)與橢圓C交于P，Q兩點，P關于原點的對稱點為R(與點A不重合)，直線AQ，AR與y軸分別交于兩點M，N，求證：|AM|＝|AN|.
參考答案：
基礎摸查
【題型展示】
例1 解　(1)由已知可得可得
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)設點M(x1，y1)，P(x0，x0＋2)，易知B(0，－1)，A(0,1)，＝(x0，x0＋3)，＝(x1，y1＋1)，
由＝3可得
解得
即點M，
因為點M在橢圓C上，
則＋2＝1，
可得x＝6，
因此，S△PMA＝S△PAB－S△MAB
＝|AB|·|x0|＝.
(3)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為y＝x＋t，其中0聯(lián)立
可得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，
Δ＝16t2－12(2t2－2)＝24－8t2>0，
由根與系數(shù)的關系可得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
kNA＝＝，
直線NA的方程為
y＝x＋1，
kMB＝＝，
直線BM的方程為
y＝x－1，
可得＝
＝
＝
＝·
＝·
＝，解得y＝，
即點P，
因此，·＝t·＝1.
例2 (1)解　由于A，B兩點關于原點對稱，必在橢圓上，
則＋＝1，且＋<1，
∴(0,1)必在橢圓上，即有＝1，
則b＝1，a2＝2，
∴橢圓T的方程為＋y2＝1.
(2)證明　設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，聯(lián)立
得x2＋tx＋t2－1＝0，
則x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－1，y1＋y2＝x1＋t＋x2＋t＝t，
∴M，則kOM＝－，
聯(lián)立
則可設P，Q，
∴|MP|·|MQ|＝··＝，
∵|ME|·|MF|＝|EF|2
＝(1＋k)(x1－x2)2
＝[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝，
∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
跟蹤訓練2 (1)解　由拋物線C的焦點F在x軸上，點A在第一象限，可知拋物線開口向右．
設拋物線C的標準方程為
y2＝2px(p>0)，
則F.
由題意知AF⊥x軸，則點A的橫坐標為，
將x＝代入y2＝2px，
可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，
得p＝2，
所以拋物線C的標準方程為y2＝4x.
(2)證明　由(1)可知A(1,2)，
B(1，－2)．
設直線l1的方程為x＝my＋1，
聯(lián)立
得y2－4my－4＝0.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
直線AM的方程為
y＝(x－1)＋2，
即y＝(x－1)＋2，
令x＝－1，解得y＝，
所以直線AM與準線的交點為，
直線BN的方程為
y＝(x－1)－2，
即y＝(x－1)－2，
令x＝－1，解得y＝.
所以直線BN與準線的交點為，
因為＝－
＝－＝1，
即＝，
所以直線AM，BN和l相交于一點．
基礎夯實
1．證明　(1)由拋物線的性質(zhì)可得焦點F(2,0)，準線方程為x＝－2，
設A，B，
所以直線AO的方程為y＝x，
由題意可得點C，
設直線AB的方程為x＝my＋2，
聯(lián)立
整理可得y2－8my－16＝0，
所以y1y2＝－16，可得y2＝－，
所以yC＝y(tǒng)2，
所以BC∥x軸．
(2)因為準線方程為x＝－2，
由題意可得E(－2,0)，
＝，
＝，
因為BE⊥BF，
所以·＝0，
即y＋＝0，
解得y＝－32＋16，x2＝2－4，
由(1)可得x1x2＝＝＝4，
所以x1＝2＋4，
|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，
所以可證||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.
2．解　(1)∵兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一個正方形，
∴b＝c，
∵橢圓過點P，
∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，
解得a2＝2，b2＝1，
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)∵F(1,0)，設lAB：x＝my＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立方程
得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
∴
∵＝2，∴y1＝－2y2，
∴
∴22＝，∴m2＝，
∴|AB|＝·|y1－y2|
＝·|－3y2|
＝3·＝.
優(yōu)化提升
3．(1)解　由題意得c＝2.①
因為雙曲線的漸近線方程為
y＝±x＝±x，
所以＝.②
又c2＝a2＋b2，③
所以聯(lián)立①②③得a＝1，b＝，
所以雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)證明　由題意知直線PQ的斜率存在且不為0，
設直線PQ的方程為
y＝kx＋t(k≠0)，
將直線PQ的方程代入C的方程，
整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
則x1＋x2＝，
x1x2＝－>0，
所以3－k2<0，
所以x1－x2＝
＝.
設點M的坐標為(xM，yM)，
則
兩式相減，得
y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，
又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)
＝k(x1－x2)，
所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，
解得xM＝；
兩式相加，得2yM－(y1＋y2)
＝(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)
＝k(x1＋x2)＋2t，
所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2t，
解得yM＝
＝xM.
因此，點M的軌跡為直線y＝x，其中k為直線PQ的斜率．
若選擇①②：
因為PQ∥AB，
所以直線AB的方程為y＝k(x－2)，
設A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令點A在直線y＝x上，
則由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
所以xA＋xB＝，
yA＋yB＝.
點M的坐標滿足
得xM＝＝，
yM＝＝，
故M為AB的中點，
即|MA|＝|MB|.
若選擇①③：
當直線AB的斜率不存在時，點M即為點F(2,0)，此時M不在直線
y＝x上，矛盾；
當直線AB的斜率存在時，易知直線AB的斜率不為0，
設直線AB的方程為
y＝m(x－2)(m≠0)，
A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令點A在直線y＝x上，
則由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，
yB＝－.
因為M在AB上，且|MA|＝|MB|，
所以xM＝＝，
yM＝＝，
又點M在直線y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若選擇②③：
因為PQ∥AB，
所以直線AB的方程為y＝k(x－2)，
設A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令點A在直線y＝x上，
則由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－.
設AB的中點為C(xC，yC)，
則xC＝＝，
yC＝＝.
因為|MA|＝|MB|，
所以M在AB的垂直平分線上，
即點M在直線
y－yC＝－(x－xC)，
即y－＝－上，
與y＝x聯(lián)立，
得xM＝＝xC，
yM＝＝y(tǒng)C，
即點M恰為AB的中點，
故點M在AB上．
4．解　(1)由題意可知
A(－a,0)，B(a,0)，
設M(x1，y1)，顯然－b≤y1≤b，
△ABM的面積為
·2a·≤ab，
因為△ABM的面積最大值為2，
所以ab＝2，
又因為橢圓的離心率為，
所以＝，
于是
所以橢圓C的標準方程為
＋＝1.
(2)由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，
B(2,0)，
由題意可知直線l的斜率不為零，
所以設直線l的方程為x＝my＋1，與橢圓方程聯(lián)立，得
(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
設N(x2，y2)，
所以y1＋y2＝，
y1y2＝，
直線AM的方程為＝，
把x＝t代入方程中，
得y＝，
所以T，
于是k0＝
＝，k1＝，
k2＝，
因為k1，k0，k2成等差數(shù)列，
所以2k0＝k1＋k2 2·＝＋，化簡得＝，
把x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入，化簡得
6my1y2＝(t＋5)(y1＋y2)＋(2t－8)y2，
把y1＋y2＝，y1y2＝代入，得
＝(2t－8)y2，因為m∈R，
所以即t＝4.
5.
(1)解　由題意得橢圓半焦距
c＝且e＝＝，
所以a＝.
又b2＝a2－c2＝1，
所以橢圓方程為＋y2＝1.
(2)證明　由(1)得，曲線為x2＋y2＝1(x>0)，
當直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為x＝1，顯然不合題意；
當直線MN的斜率存在時，
設M(x1，y1)，N(x2，y2).
必要性：若M，N，F(xiàn)三點共線，可設直線MN的方程為y＝k(x－)，即kx－y－k＝0.
由直線MN與曲線x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
聯(lián)立
可得4x2－6x＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝·＝，
所以必要性成立；
充分性：設直線MN：y＝kx＋b(kb<0)，即kx－y＋b＝0，
由直線MN與曲線x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以b2＝k2＋1，
聯(lián)立可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
其Δ＝(6kb)2－4(1＋3k2)(3b2－3)＝24k2>0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以|MN|＝·
＝
＝·＝，
化簡得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直線MN的方程為
y＝x－或y＝－x＋，
所以直線MN過點F(，0)，即M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立.
綜上，M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|＝.
6.
(1)解　由題設得＋＝1, ＝，
解得a2＝6，b2＝3，
所以C的方程為＋＝1.
(2)證明　設M(x1，y1)，N(x2，y2).
若直線MN與x軸不垂直，
設直線MN的方程為y＝kx＋m，
代入＋＝1，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x1＋x2＝－，x1x2＝.①
由AM⊥AN，得·＝0，
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
將①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0，
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因為A(2，1)不在直線MN上，
所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1，
所以直線MN的方程為
y＝k－(k≠1).
所以直線MN過點P.
若直線MN與x軸垂直，可得N(x1，－y1).
由·＝0，
得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1，所以3x－8x1＋4＝0.
解得x1＝2(舍去)，或x1＝.
此時直線MN過點P.
令Q為AP的中點，即Q.
若D與P不重合，則由題設知AP是
Rt△ADP的斜邊，
故|DQ|＝|AP|＝；
若D與P重合，則|DQ|＝|AP|.
綜上，存在點Q，使得|DQ|為定值.
7.
解　(1)由已知，點C、D的坐標分別為
(0，－b)，(0，b)，
又點P的坐標為(0，1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝，
所以橢圓E的方程為＋＝1.
(2)當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，
此時，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3，此時，λ＝1.
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
聯(lián)立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
從而，·＋λ·
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝
＝－－λ－2，
所以當λ＝1時，－－λ－2＝－3，
此時·＋λ·＝－3為定值.
故存在常數(shù)λ＝1，使得·＋λ·為定值－3.
8.
(1)解　由題意知，kOA·kl＝－·＝－＝－，
即a2＝4b2，①
又＋＝1，②
所以聯(lián)立①②，解得
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明　設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則R(－x1，－y1)，由
得x2＋tx＋t2－1＝0，所以Δ＝4－t2＞0，即－2＜t＜2，
又t≠0，所以t∈(－2，0)∪(0，2)，
x1＋x2＝－t，x1·x2＝t2－1.
法一　要證明|AM|＝|AN|，可轉(zhuǎn)化為證明直線AQ，AR的斜率互為相反數(shù)，即證明kAQ＋kAR＝0.
由題意知，kAQ＋kAR＝＋
＝＝
＝
＝＝0，
所以|AM|＝|AN|.
法二　要證明|AM|＝|AN|，可轉(zhuǎn)化為證明直線AQ，AR與y軸的交點M，N連線的中點S的縱坐標為－，即AS垂直平分MN即可.
直線AQ與AR的方程分別為
lAQ：y＋＝(x－1)，
lAR：y＋＝(x－1)，
分別令x＝0，得yM＝－，yN＝－，
所以yM＋yN＝＋－＝
－
＝－
＝－
＝－，
yS＝＝－，即AS垂直平分MN.
所以|AM|＝|AN|.第8部分第11節(jié)《圓錐曲線中范圍與最值問題》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【題型展示】
題型一　范圍問題
例1　已知拋物線E：y2＝2px(p>0)上一點C(1，y0)到其焦點F的距離為2.
(1)求實數(shù)p的值；
(2)若過焦點F的動直線l與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線的切線l1，l2，且l1，l2的交點為Q，l1，l2與y軸的交點分別為M，N.求△QMN面積的取值范圍．
跟蹤訓練1　已知F(，0)是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個焦點，點M()在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且kOA＋kOB＝－(O為坐標原點)，求直線l的斜率的取值范圍．
題型二　最值問題
例2　已知橢圓C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，直線x＝被C截得的線段長為.
(1)求C的方程；
(2)若A和B為橢圓C上在x軸同側(cè)的兩點，且＝λ，求四邊形ABF1F2面積的最大值．
跟蹤訓練2　已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)過點(2，1)，漸近線方程為y＝±x，直線l是雙曲線C右支的一條切線，且與C的漸近線交于A，B兩點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設點A，B的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值．
基礎夯實
1．已知O為坐標原點，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點P(，1)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)直線l與橢圓C交于A，B兩點，直線OA的斜率為k1，直線OB的斜率為k2，且k1k2＝－，求·的取值范圍．
2．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，右頂點為A(1,0)，離心率為2，
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)已知B(0，)，直線l：y＝kx＋m(km≠0)與雙曲線C相交于不同的兩點M，N，若|BM|＝|BN|，求實數(shù)m的取值范圍．
優(yōu)化提升
3．已知橢圓的兩個焦點是F1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2)，點P(，2)在橢圓上．
(1)求此橢圓的方程；
(2)過F2作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于A，B，C，D四點，求四邊形ACBD面積的取值范圍．
4．已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M(4，m)在拋物線E上，且△OMF的面積為p2(O為坐標原點)．
(1)求拋物線E的方程；
(2)過焦點F的直線l與拋物線E交于A，B兩點，過A，B分別作垂直于l的直線AC，BD，分別交拋物線于C，D兩點，求|AC|＋|BD|的最小值．
5.如圖所示，點A，B分別是橢圓＋＝1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.
(1)求點P的坐標；
(2)設M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.
6.已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，點F為拋物線C的焦點，點A(1，m)(m＞0)在拋物線C上，且|FA|＝2，過點F作斜率為k的直線l與拋物線C交于P，Q兩點.
(1)求拋物線C的方程；
(2)求△APQ面積的取值范圍.
7.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2.
(1)求C的方程；
(2)已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足＝9，求直線OQ斜率的最大值.
8.平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且點()在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求△ABQ面積的最大值.
參考答案：
基礎摸查
【題型展示】
例1 解　(1)因為點C(1，y0)到其焦點F的距離為2，
由拋物線的定義知1＋＝2，
解得p＝2.
(2)由(1)可知，拋物線E：y2＝4x，
設A，
B(y1≠0，y2≠0)，
設l：x＝ty＋1，聯(lián)立
得y2－4ty－4＝0，
判別式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，
y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
設l1：y－y1＝k()，
聯(lián)立方程組
消去x，整理得
ky2－4y＋4y1－ky＝0，
所以Δ＝16－4k(4y1－ky)
＝4(4－4ky1＋k2y)＝0，
所以k＝，
則l1：y－y1＝()，
即y＝x＋，
令x＝0，得M()，
同理l2：y＝x＋，N()，
聯(lián)立
得交點Q的橫坐標為
xQ＝＝－1，
∴S△QMN＝|MN|·|xQ|
＝×1
＝
＝≥1，
∴△QMN面積的取值范圍是[1，＋∞)．
例2 解　(1)∵e＝＝，
∴＝，∴c2＝a2，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴橢圓的標準方程為x2＋3y2＝a2，
由 y＝±，
由題可知2＝，
解得a2＝3，
∴C：＋y2＝1.
(2)由＝λ，
得AF2∥BF1，如圖，
延長BF1，AF2交橢圓于C，D兩點，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形ABCD為平行四邊形，且四邊形ABF1F2的面積為四邊形ABCD的面積的一半．
由題知，BF1的斜率不為零，
故設BF1的方程為x＝my－，
聯(lián)立
得(m2＋3)y2－2my－1＝0，
設B(x1，y1)，C(x2，y2)，
∵Δ>0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
故|BC|＝·|y1－y2|＝，
O到BF1的距離d＝，
＝S四邊形ABCD＝×4S△OBC
＝2××|BC|·d＝|BC|·d
＝·
＝2·＝2·
＝2·≤2×＝，
當且僅當＝，即m＝±1時取等號，
∴當m＝±1時，四邊形ABF1F2的面積最大，最大值為.
跟蹤訓練1 解　(1)由題意知，橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為(－，0)，
根據(jù)橢圓的定義，可得點M到兩焦點的距離之和為
＋＝4，
即2a＝4，所以a＝2，
又因為c＝，
可得b＝＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)當直線l的斜率不存在或斜率為0時，結合橢圓的對稱性可知，kOA＋kOB＝0，不符合題意．
故設直線l的方程為
y＝kx＋m(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立方程組
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，則x1＋x2＝，
x1x2＝，
所以kOA＋kOB＝＋
＝
＝2k＋＝2k＋
＝，
由kOA＋kOB＝－，
可得m2＝4k＋1，所以k≥－，
又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，
所以4k2－4k>0，
解得k<0或k>1，
綜上可得，直線l的斜率的取值范圍是∪(1，＋∞)．
跟蹤訓練2 解　(1)由題設可知
解得
則C：－y2＝1.
(2)設點M的橫坐標為xM>0，
當直線l的斜率不存在時，則直線l：x＝2，
易知點M到y(tǒng)軸的距離為xM＝2﹔
當直線l的斜率存在時，
設l：y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立整理得
(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)
＝0，
整理得4k2＝m2＋1，
聯(lián)立整理得
(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0，
則x1＋x2＝－
＝－＝－，
則xM＝＝－>0，
即km<0，
則x＝＝4＋>4，
即xM>2，
此時點M到y(tǒng)軸的距離大于2.
綜上所述，點M到y(tǒng)軸的最小距離為2.
基礎夯實
1．解　(1)由題意可得
又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
當直線l的斜率存在時，
設l：y＝kx＋t，
聯(lián)立
消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0，
則
又k1k2＝＝－，
故y1y2＝－x1x2且x1x2≠0，
即3t2－9≠0，則t2≠3，
又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，
所以＝
＝k2＋
＝k2＋
＝＝－，
整理得2t2＝9k2＋3≥3，
則t2≥且Δ>0恒成立．
·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2－x1x2＝x1x2
＝·＝3·
＝3，
又t2≥，且t2≠3，
故3∈[－3,0)∪(0,3)．
當直線l的斜率不存在時，x2＝x1，y2＝－y1，則k1k2＝－＝－，
又＋＝1，解得x＝，
則·＝x－y＝x＝3.
綜上，·的取值范圍為[－3,0)∪(0,3]．
2．解　(1)∵a＝1，＝2，
∴c＝2，b2＝3，
∴雙曲線C的標準方程為
x2－＝1.
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
線段MN的中點Q(x0，y0)，
聯(lián)立
得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依題意
即①
由根與系數(shù)的關系可得
x1＋x2＝，
x1·x2＝－，
則x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝，
∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，
∴kBQ＝＝
＝－，
∴3－k2＝m，②
又k2＝3－m>0，③
由①②③得
m<－或0優(yōu)化提升
3．解　(1)由題意知，c＝2，
因為焦點在y軸，設橢圓方程為
＋＝1(a>b>0)，
將點P的坐標代入上式得
＋＝1，
聯(lián)立方程
解得a2＝8，b2＝4，
所以橢圓方程為＋＝1.
(2)如圖，當過F2 的兩條互相垂直的直線的斜率都存在時，設直線AB的斜率為k，
則直線AB的方程為y＝kx＋2，直線CD的方程為
y＝－x＋2，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
聯(lián)立直線AB與橢圓方程
得x2＋kx－＝0，
由根與系數(shù)的關系得
x1＋x2＝－，x1·x2
＝－，
線段AB的長為
|AB|＝|x1－x2|
＝×
＝4×，
同理聯(lián)立直線CD與橢圓方程得到
|CD|＝×
|x3－x4|＝4×，
因為AB⊥CD，
所以四邊形ACBD的面積
S＝|AB|·|CD|
＝16×
＝8×，
令f(k)＝·，t＝，
則有0當0所以≤S<8；
當直線AB或CD有一條斜率不存在時，不妨設k＝0，
則直線AB的方程為y＝2，
將y＝2代入橢圓方程，
得x＝±，則|AB|＝2，|CD|＝2a＝4，四邊形ACBD的面積
S＝|AB|·|CD|＝8 ；
所以四邊形ACBD面積的取值范圍是.
4．解　(1)由題意可得
解得p＝2.
故拋物線E的方程為y2＝4x.
(2)由題意知直線l的斜率一定存在且不為0，F(xiàn)(1,0)，設直線l的方程為x＝ty＋1，t≠0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
易知x1＝ty1＋1>0，
x2＝ty2＋1>0，
聯(lián)立
消去x得y2－4ty－4＝0.
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
由AC垂直于l，得直線AC的方程為y－y1＝－t(x－x1)，
聯(lián)立
消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0.
所以y1＋y3＝－，
y1y3＝.
所以|AC|＝
＝
＝
＝
＝·|ty1＋2|
＝·(ty1＋2)．
同理可得
|BD|＝·(ty2＋2)，
所以|AC|＋|BD|
＝·[t(y1＋y2)＋4]
＝(t2＋1)
＝8，
令f(x)＝，x>0，
則f′(x)＝，x>0，
所以當x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．
所以當x＝2時，f(x)取得最小值，即當t＝±時，|AC|＋|BD|的最小值為12.
5.
解　(1)由已知可得點A(－6，0)，F(xiàn)(4，0)，
設點P的坐標是(x，y)，
則＝(x＋6，y)，＝(x－4，y).
∵PA⊥PF，∴·＝0，
則
可得2x2＋9x－18＝0，得x＝或x＝－6.
由于y＞0，故x＝，于是y＝.
∴點P的坐標是.
(2)由(1)可得直線AP的方程是x－y＋6＝0，點B(6，0).
設點M的坐標是(m，0).
則點M到直線AP的距離是，
于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.
由橢圓上的點(x，y)到點M的距離為d，
得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15，
由于－6≤x≤6，
由f(x)＝＋15的圖象可知，
當x＝時，d取最小值，且最小值為.
6.
解　(1)由拋物線的定義可得
|FA|＝xA＋＝1＋＝2，所以p＝2，
所以拋物線的方程為y2＝4x.
(2)設直線l的方程為y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯(lián)立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＞0恒成立，
由根與系數(shù)的關系得
x1＋x2＝，x1x2＝1，
因為AF⊥x軸，所以S△APQ＝×|AF|×|x1－x2|＝|x1－x2|＝
＝4＝4.
因為≤k≤2，令t＝，
所以S△APQ＝4，
所以≤S△APQ≤8，
所以△APQ的面積的取值范圍為[，8].
7.
解　(1)由拋物線的定義可知，焦點F到準線的距離為p，故p＝2，所以C的方程為y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2).
因為＝9，所以
可得
又點P在拋物線C上，所以y＝4x1，
即(10y2)2＝4(10x2－9)，
化簡得y＝x2－，
則點Q的軌跡方程為y2＝x－.
設直線OQ的方程為y＝kx，易知當直線OQ與曲線y2＝x－相切時，斜率可以取最大.
聯(lián)立y＝kx與y2＝x－消y，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直線OQ斜率的最大值為.
8.
解　(1)由題意知＋＝1.
又＝，解得a2＝4，b2＝1.
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1.
(ⅰ)設P(x0，y0)，＝λ，
由題意知Q(－λx0，－λy0).
因為eq \f(x,4)＋y＝1，
又＋＝1，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋y))＝1，所以λ＝2，即＝2.
(ⅱ)設A(x1，y1)，B(x2，y2).
將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①
則有x1＋x2＝－，
x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.
因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0，m)，
所以△OAB的面積
S＝|m||x1－x2|＝
＝
＝2.
設＝t，
將y＝kx＋m代入橢圓C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0＜t≤1，
因此S＝2＝2，
故S≤2，
當且僅當t＝1，即m2＝1＋4k2時取得最大值2.
由(ⅰ)知，△ABQ面積為3S，
所以△ABQ面積的最大值為6.第8部分第12節(jié)《圓錐曲線中定點與定值問題》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優(yōu)化提升
基礎摸查
【題型展示】
題型一　定點問題
例1　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的上頂點和兩焦點構成的三角形為等腰直角三角形，且面積為2，點M為橢圓C的右頂點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若經(jīng)過點P(t,0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點，實數(shù)t取何值時以AB為直徑的圓恒過點M
跟蹤訓練1　已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A(0，－2)，B()兩點．
(1)求E的方程；
(2)設過點P(1，－2)的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足＝.證明：直線HN過定點．
題型二　定值問題
例2　已知點F(0,1)，直線l：y＝4，P為曲線C上的任意一點，且|PF|是P到l的距離的.
(1)求曲線C的方程；
(2)若經(jīng)過點F且斜率為k(k≠0)的直線交曲線C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點H，求證：為定值．
跟蹤訓練2　已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，過點T(2,0)的直線l交雙曲線C于點M，N(點M在第一象限)，記直線MA的斜率為k1，直線NB的斜率為k2，求證：為定值．
基礎夯實
1．已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，且過點P(3，)．
(1)求C的方程；
(2)設Q(1,0)，直線x＝t(t∈R)不經(jīng)過P點且與C相交于A，B兩點，若直線BQ與C交于另一點D，證明：直線AD過定點M.
2．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)與圓O：x2＋y2＝12相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2.F是拋物線C的焦點，過焦點的直線l與拋物線C相交于不同的兩點M，N.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點M，N作拋物線C的切線l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交點，求證：點P在定直線上．
優(yōu)化提升
3.如圖，已知橢圓C1：＋＝1，橢圓C2：＋＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P為橢圓C2上的動點且在第一象限，直線PA，PB分別交橢圓C1于E，F(xiàn)兩點，連接EF交x軸于Q點，過B點作BH交橢圓C1，C2于G，H點，且BH∥PA.
(1)證明：kBF·kBG為定值；
(2)證明：直線GF過定點，并求出該定點；
(3)若記P，Q兩點的橫坐標分別為xP，xQ，證明：xPxQ為定值．
4．在平面直角坐標系Oxy中，已知點A(－，0)，B(，0)，動點E(x，y)滿足直線AE與BE的斜率之積為－，記E的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)過點D(2,0)的直線l交C于P，Q兩點，過點P作直線x＝3的垂線，垂足為G，過點O作OM⊥QG，垂足為M.證明：存在定點N，使得|MN|為定值．
5.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為(1，0)，且經(jīng)過點A(0，1).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設O為原點，直線l：y＝kx＋t(t≠±1)與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N.若|OM|·|ON|＝2，求證：直線l經(jīng)過定點.
6.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P()滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，且S△PF1F2＝.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點M(4，0)的直線l與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，且y1y2≠0，問在x軸上是否存在定點N，使得直線NA，NB與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形？若存在，求出定點N的坐標；若不存在，請說明理由.
7.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標.
8.已知拋物線C的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點A(1，2)為拋物線C上一點.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若點B(1，－2)在拋物線C上，過點B作拋物線C的兩條弦BP與BQ，若kBP·kBQ＝－2，求證：直線PQ過定點.
9.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面積為1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN|·|BM|為定值.
10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A、B，已知|AB|＝4，且點()在橢圓上，其中e是橢圓的離心率.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設P是橢圓C上異于A、B的點，與x軸垂直的直線l分別交直線AP、BP于點M、N，求證：直線AN與直線BM的斜率之積是定值.
11.橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，P(m，0)為C的長軸上的一個動點，過P點且斜率為的直線l交橢圓C于A，B兩點，當m＝0時，·＝－.
(1)求橢圓C的方程；
(2)證明：|PA|2＋|PB|2為定值.
12.已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點P(1，2).過點Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.
(1)求直線l的斜率的取值范圍；
(2)設O為原點，＝λ，＝μ，求證：＋為定值.
參考答案：
基礎摸查
【題型展示】
例1 解　(1)由題意知解得b＝c＝，
又a2－b2＝c2，則a＝2，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由(1)知M(2,0)，
若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝t(－2此時A，
B，
由·＝0得
·
＝0，
解得t＝或t＝2(舍)，即t＝.
若直線l的斜率存在，不妨設直線l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立
得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.
所以x1＋x2＝，
x1x2＝.
由題意知·＝0，
即(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，
易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，
即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，
整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，
因為k不恒為0，
故解得t＝或t＝2(舍)，
綜上，當t＝時，以AB為直徑的圓恒過點M.
跟蹤訓練1 (1)解　設橢圓E的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
由橢圓E過A(0，－2)，
B兩點，
得解得
∴橢圓E的方程為＋＝1.
(2)證明　當直線MN的斜率不存在時，lMN：x＝1，
由得y2＝，
∴y＝±.
結合題意可知M，
N，
∴過M且平行于x軸的直線的方程為y＝－.
易知點T的橫坐標xT∈，
直線AB的方程為
y－(－2)＝×(x－0)，
即y＝x－2，
由得xT＝3－，
∴T.
∵＝，
∴H，
lHN：y－＝(x－1)，
即y＝x－2.
此時直線HN過定點(0，－2)．
當直線MN的斜率存在時，如圖，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
lMN：y＝kx＋m(由直線MN過點P(1，－2)可得k＋m＝－2)．
由
得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
Δ>0，
∴x1＋x2＝－，
x1x2＝.
過M且平行于x軸的直線的方程為y＝y(tǒng)1，
與直線AB的方程聯(lián)立，
得
得xT＝，
∴T.
∵＝，∴H(3y1＋6－x1，y1)，
lHN：y－y2＝·(x－x2)，
即y＝x＋y2－
·x2.
令x＝0，得y＝y(tǒng)2－
＝
＝.
∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝，
y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m)
＝k(x1＋x2)＋2m＝，
x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m)＝2kx1x2＋m(x1＋x2)
＝，
∴－(x1y2＋x2y1)＋3y1y2
＝＋
＝
＝，
－(x1＋x2)＋6＋3(y1＋y2)
＝＋6＋
＝
＝，
∴y＝＝－2，
∴直線HN過定點(0，－2)．
綜上，直線HN過定點(0，－2)．
例2 (1)解　設P(x，y)，由已知得＝|y－4|，整理得＋＝1，即為曲線C的方程．
(2)證明　設經(jīng)過點F且斜率為k(k≠0)的直線的方程為y＝kx＋1，與曲線C的方程聯(lián)立得消去y整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0，
Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)
＝144(1＋k2)>0恒成立，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則|MN|＝|x1－x2|
＝×＝，
x1＋x2＝－，
設線段MN的中點為T(x0，y0)，
則x0＝＝－，
y0＝kx0＋1＝，
線段MN的垂直平分線的斜率為
－，方程為
y－＝－，
令x＝0，解得y＝，
即為點H的縱坐標，
∴|FH|＝1－＝，
∴＝＝，
即為定值.
跟蹤訓練2 解　(1)∵虛軸長為4，
∴2b＝4，即b＝2，
∵直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線，
∴＝2，∴a＝1，
故雙曲線C的標準方程為
x2－＝1.
(2)由題意知，A(－1,0)，B(1,0)，
由題可知，直線l的斜率不能為零，故可設直線l的方程為x＝ny＋2，
設M(x1，y1)，
N(x2，y2)，
聯(lián)立
得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，
∴y1＋y2＝－，
y1y2＝，
∴ny1y2＝－(y1＋y2)，
∵直線MA的斜率k1＝，
直線NB的斜率k2＝，
∴＝＝＝＝＝－，為定值．
基礎夯實
1．解　(1)因為雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，
則可設雙曲線的方程為
－＝λ(λ≠0)，
將點P(3，)代入得－＝λ，
解得λ＝，
所以雙曲線C的方程為－y2＝1.
(2)顯然直線BQ的斜率不為零，
設直線BQ：x＝my＋1，B(x1，y1)，
D(x2，y2)，A(x1，－y1)，
聯(lián)立消去x，整理得
(m2－3)y2＋2my－2＝0，
依題意得m2－3≠0，
且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，
即m2>2且m2≠3，
y1＋y2＝－，y1y2＝－，
直線AD的方程為
y＋y1＝(x－x1)，
令y＝0，
得x＝＋x1
＝
＝
＝
＝＝＝3.
所以直線AD過定點M(3,0)．
2．(1)解　點A的橫坐標為2，代入圓O得y＝2，
所以A(2，2)，
代入解得p＝2，所以拋物線的方程為x2＝4y.
(2)證明　拋物線C：y＝，
則y′＝，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以切線PM的方程為
y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－，
同理切線PN的方程為
y＝x－，
聯(lián)立解得點P，
設直線MN的方程為y＝kx＋1，代入x2＝4y，
得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4，
所以點P在y＝－1上，結論得證．
優(yōu)化提升
3．(1)證明　設P(x0，y0)，
則＋＝1，可得y＝9－，
則kPA＝，kPB＝，
則kPA·kPB＝
＝＝－，
因為BG∥PA，
所以kBF·kBG＝kPA·kPB＝－.
(2)解　當直線GF的斜率存在時，設GF的方程為y＝k(x－t)(k≠0)，
則聯(lián)立消去y得(4k2＋3)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0.
則Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，
設G(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，
由kBF·kBG＝·＝＝－，
得＝－，
約去k2并化簡得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合題意，舍去)，此時直線GF過定點(1,0)；
當直線GF的斜率不存在時，
設GF的方程為x＝m，其中m≠2，
聯(lián)立
解得y＝±，
則F，
G，
所以kBF·kBG＝－＝－，解得m＝1.
綜上，直線GF過定點(1,0)．
(3)證明　設PA的方程為
y＝k1(x＋2)(k1>0)，
則解得E點的坐標為.
由(1)知P(x0，y0)，y＝9－，
由k1＝，則E點的坐標為.
同理，記PB的斜率為k2，則F點的坐標為，
由k2＝，則F點的坐標為，
則EF的斜率
kEF＝
＝，
所以直線EF的方程為y＋＝·.
令y＝0，得xQ＝，又xP＝x0，
故xPxQ＝x0·＝4.
4．(1)解　由A(－，0)，B(，0)，
E(x，y)可得kAE＝，
kBE＝，
由題意得×＝－，
化簡得＋＝1(|x|≠)，
所以曲線C是中心在原點，焦點在x軸上的橢圓(不含左右頂點)．
(2)證明　由(1)知直線l與x軸不重合，可設l：x＝my＋2，P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，
聯(lián)立
得(m2＋3)y2＋4my－2＝0.
Δ＝24m2＋24>0，
則y1＋y2＝－，
y1y2＝－，
故有m＝.
因為G(3，y1)，Q(my2＋2，y2)，
所以直線QG的斜率為＝＝2y1，
則直線QG的方程為
y－y1＝2y1(x－3)，
即y＝2y1，
故直線QG過定點H.
因為OM⊥QG，所以△OHM為直角三角形，
取OH的中點N，
則|MN|＝|OH|＝，
即|MN|為定值．
綜上，存在定點N，
使得|MN|為定值．
5.
(1)解　由題意，得b＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明　設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則直線AP的方程為y＝x＋1.
令y＝0，得點M的橫坐標xM＝－.
又y1＝kx1＋t，
從而|OM|＝|xM|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
則Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝16k2－8t2＋8＞0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|
＝·
＝＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.
解得t＝0，滿足Δ＞0，所以直線l經(jīng)過定點(0，0).
6.
解　(1)因為|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以點P在橢圓C上.
將代入＋＝1，得＋＝1.①
設橢圓C的焦距為2c，則S△PF1F2＝×2c·＝，求得c＝.
從而a2－b2＝3.②
由①②可得a2＝4，b2＝1.
所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.
(2)顯然直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y＝k(x－4).
設A(x1，y1)，B(x2，y2).
假設存在點N(t，0)，因為直線NA，NB與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形，
所以kNA＋kNB＝0，
即kNA＋kNB＝＋
＝＋
＝k·＝0，
即2x1x2－(t＋4)(x1＋x2)＋8t＝0.
由消去y并整理，得
(1＋4k2)x2－32k2x＋64k2－4＝0.
由Δ＝(－32k2)2－4(1＋4k2)(64k2－4)>0，求得0則x1＋x2＝，x1x2＝.
所以2×－(t＋4)×＋8t＝0，解得t＝1.
于是在x軸上存在定點N(1，0)，使得直線NA，NB與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形.
7.
解　(1)由題意，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，a＋c＝3，a－c＝1，a＝2，c＝1，b2＝3，
所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，3＋4k2－m2＞0.
x1＋x2＝－，x1·x2＝，
y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2，0)，kAD·kBD＝－1，
所以·＝－1，y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，＋＋＋4＝0，7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－，
且滿足3＋4k2－m2＞0.
當m＝－2k時，l：y＝k(x－2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾；
當m＝－時，l：y＝k，直線過定點.
綜上可知，直線l過定點，定點坐標為.
8.
(1)解　若拋物線的焦點在x軸上，設拋物線方程為y2＝ax，代入點A(1，2)，可得a＝4，所以拋物線方程為y2＝4x.
若拋物線的焦點在y軸上，設拋物線方程為x2＝my，代入點A(1，2)，可得m＝，所以拋物線方程為x2＝y(tǒng).
綜上所述，拋物線C的方程是y2＝4x或x2＝y(tǒng).
(2)證明　因為點B(1，－2)在拋物線C上，所以由(1)可得拋物線C的方程是y2＝4x.
易知直線BP，BQ的斜率均存在，設直線BP的方程為y＋2＝k(x－1)，
將直線BP的方程代入y2＝4x，消去y，得
k2x2－(2k2＋4k＋4)x＋(k＋2)2＝0.
設P(x1，y1)，則x1＝，
所以P.
用－替換點P坐標中的k，
可得Q((k－1)2，2－2k)，從而直線PQ的斜率為
＝
＝，
故直線PQ的方程是
y－2＋2k＝·[x－(k－1)2].
通過觀察，應有－k2＋2k＋2＝x－(k－1)2，得x＝3，y＝2，
所以直線PQ恒過定點(3，2).
9.
(1)解　由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
∴橢圓方程為＋y2＝1.
(2)證明　由(1)知，A(2，0)，B(0，1).
設橢圓上一點P(x0，y0)，則eq \f(x,4)＋y0＝1.
當x0＝0時，y0＝－1，
|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
當x0≠0時，直線PA方程為
y＝(x－2)，
令x＝0得yM＝.
從而|BM|＝|1－yM|＝.
直線PB方程為y＝x＋1.
令y＝0得xN＝.
∴|AN|＝|2－xN|＝.
∴|AN|·|BM|
＝·
＝·
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4y＋4x0y0－4x0－8y0＋4,x0y0－x0－2y0＋2)))
＝＝4.
故|AN|·|BM|為定值.
10.
(1)解　∵|AB|＝4，∴2a＝4，∴a＝2，
又點在橢圓上，∴＋＝1.
又b2＋c2＝a2＝4，聯(lián)立方程組解得b2＝3，
∴橢圓方程為＋＝1.
(2)證明　設點P的坐標為(s，t)，點M，N的橫坐標為m(m≠±2)，
則直線AP的方程為y＝(x＋2)，
故M，故直線BM的斜率k1＝，
同理可得直線AN的斜率
k2＝，
故k1k2＝·＝.
又點P在橢圓上，∴＋＝1，
∴t2＝－(s2－4)，
∴k1k2＝＝－.
即直線AN與直線BM的斜率之積為定值.
11.
(1)解　易知＝.
當m＝0時，P(0，0)，直線l的方程為y＝x，
代入＋＝1并整理得x2＝.
設A(x0，y0)，則B(－x0，－y0)，
·＝－x－y＝－x＝－·.
又因為·＝－，
所以a2＝25，b2＝16，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)證明　l的方程為x＝y(tǒng)＋m，
代入＋＝1，
并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2).
則y1＋y2＝－，y1y2＝，
則|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y(tǒng)，
同理|PB|2＝y(tǒng).
則|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)
＝[(y1＋y2)2－2y1y2]
＝·＝41.
所以|PA|2＋|PB|2為定值.
12.
(1)解　因為拋物線y2＝2px過點(1，2)，
所以2p＝4，即p＝2.故拋物線C的方程為y2＝4x.
由題意知，直線l的斜率存在且不為0.
設直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0).
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依題意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得k<0或0又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(1，－2).
從而k≠－3.
所以直線l斜率的取值范圍是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).
(2)證明　設A(x1，y1)，B(x2，y2).
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.
直線PA的方程為y－2＝(x－1).
令x＝0，得點M的縱坐標為yM＝＋2＝＋2.
同理得點N的縱坐標為yN＝＋2.
由＝λ，＝μ得λ＝1－yM，μ＝1－yN，
所以＋＝＋
＝＋
＝·
＝·＝2，
所以＋為定值.

展開更多......

收起↑