資源簡介

15.1.1 從分數到分式
一、教學指導思想
分式是不同于整式的另一類有理式,是代數式中重要的基本概念;借助對分數 的認識學習分式的內容,是一種類比的認識方法,這在本章學習中經常使用.通過
類比分數,從具體到抽象,從特殊到一般地認識分式.
二、內容解析
本課是人教版八年級上第十五章的第一節內容.
分式的概念與整式是緊密相聯的.學生掌握了分式的意義后，為進一步學習 分式、函數、方程等知識作好鋪墊；本節課的主要內容是分式的概念，分式有 意義、無意義的條件，是以分數為基礎，類比引出分式的概念，把學生從對式 的認識從整式擴展到有理式.學好本章不僅能提高學生的運算能力、運算速度； 讓學生在自主探索的學習過程中享受成功的喜悅，形成良好的學習氛圍，提高
學生學習數學的興趣.
三、學情分析
教學對象是八年級學生，已有的知識儲備：小學學習了分數定義、分數的 性質、分數的運算、分數應用；中學學習了整式及整式運算.學生有一定的自主
學習能力.這節內容是學生在學習了整式知識及分數知識的基礎上來進行教學
的，雖然本節內容較為簡單,授課班級一部分學生學習數學的熱情不高、代數運 算能力弱,所以本節課采用類比的教學方法.分式的特點和概念形成，理解和操作 有一定困難.學生可能有星星點點的認知，但是不能轉化到理論并表達出來.讓 學生說一說，不斷補充，使得定義完整化.充分發揮舊知，也就是小學學習的分 數，全面類比，使得代數式擴展，體會從具體到抽象，特殊到一般認識事物的
規律，從而真切的讓學生掌握知識，學會認識新事物.
四、教學目標
(1)了解分式概念．探索并掌握分式概念、分式有意義條件.
(2)類比分數學習，經歷分式概念的建構過程及用分式描述數量關系的過
程.
(3)使學生了解分式與分數的區別與聯系，能用分式概念進行相關的判斷.
能類比分數所研究的問題—研究分式表示、組成元素及意義；會利用分式有義的條件進行取舍結果；從具體到抽象.
(4)能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，經歷對具體問題的探索過 程，進一步培養符號感； 學會與人合作，并獲得代數學習的一些常用方法：合情推理、抽象概括等.
五、教學重難點
重點： 分式的定義；分式有意義的條件；
難點：分式定義、分式與分數之間的關系。
六、教學過程設計
(一)溫故知新引入課題
問題 1 任意兩個整數的四則運算結果一定整數嗎？
【設計意圖】任意兩個整數做加、減、乘得到的結果仍然為整數，說明加 法、減法、乘法對于整數是封閉的，而任意兩個整數做除法有的結果是整數， 有的不是整數，說明除法對于整數不封閉，所以用分數表示商，讓學生體會數
的產生,為后面類比學習分式的產生做鋪墊.
問題 2 任意選擇兩個整式進行四則運算，結果一定整式嗎？請說一說.
【設計意圖】通過具體的計算，發現任意兩個整式做加、減、乘得到的結 果仍然為整式，說明加法、減法、乘法對于整式是封閉的，而任意兩個整式做 除法有的不是整式，說明除法對于整式不封閉，所以需要用新的式子表示商.發 現問題，現有知識無法解決，必須進一步學習知識，類比分數，猜測這個新的
式子是分式，為進一步探究提供可能性和方法支持。
(二)類比理解形成概念
問題 3
（1）長方形的面積為 10cm ,長為 7cm.寬應為 cm
長方形的面積為 Scm2 ，長為 acm，寬應為（） cm.
（2）把體積為 200cm 的水倒入底面積為 33cm 的圓柱形容器中,水面高度
為 cm;
把體積為 Vcm3 的水倒入底面積為 Scm2 的圓柱形容器中，水面高度為()
cm.
（3）船在靜水中的最大航速為 30km/h,江水的流速為 vkm/h
①若船順流航行 90 千米，所用時間為（） h.
②若船逆流航行 60 千米，所用時間為（） h.
【設計意圖】用分式描述數量關系的過程，讓學生感受新式子表示實際問 題中的數量關系；從而理解分式是代數式中重要的基本概念．分式在實際生
活，應用廣泛，體現學習分式的必要性.
學生列式： , , , .
問題 4 下列式子有什么共同特點？
師生互動共同特點： 從形式上都具有分數形式；表示兩個都是整式相除;分母中含有字
母.
追問：滿足這些特點的式子其實就是分式，你能給分式下個定義嗎？
分式定義： 一般地，如果A、B 表示兩個整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
【設計意圖】分數難道與分式形式相同是巧合嗎？是否可以類比分數學
習，研究分式？分組討論時注意引導學生分數的分子、分母是什么？分式的分 子分母是什么？讓學生的思維從發現問題- 向解決問題逐步提升，最終總結概括
出分式概念.
練習1.判斷哪些是分式？哪些是整式？
(1) 1 ; (2); (3)5 ;
x 3b + 5 π
2a - 5 x c
3 x 2 y2 3(a b)
師生互動： ①學生獨立思考回答問題②其他同學補充說明并梳理判斷依據
【設計意圖】通過師生活動，使學生正確理解分式的概念，梳理辨別的依據和步驟。進而理解分式與整式的區別，關鍵是分式的分母含有字母.
活動：數學運動會--組合分式
規則：從以下式子中選一個作為分子，一個作為分母，組合成分式；相同時間內，看誰組合得多。
x, a+b, π, m2-n
探究： 探索分數與分式的聯系與區別？
分式是不同于整式的另一類式子. 由于字母可以表示不同的數，所以分式比
分數更具有一般性.
【設計意圖】從具體入手，當分式中字母取確定具體的數值時，分式即表
示具體的數.如：分數 僅表示 2÷3 的商，而分式則可以表示任意兩個整式
相除的商，其中包括 2÷3.所以分式比分數更具有一般性.感知數式通性。
追問： 上述分式中字母能取任何數嗎？為什么？
師生互動分式的分母表示除數，由于除數不能為 0，所以分式的分母不能
為 0，
當 B≠0 分式有意義
【設計意圖】分式有意義等價于分式的分母不為 0，在歸納的知識點部分 就顯示出是互逆的關系.另外分式有意義為后面學習分式方程根進行取舍奠定基
礎.
（四） 解決問題，發展能力
例題解析
例下列分式中的字母滿足什么條件時分式有意義？
(1) 2 ; (2) x ; (3) 1 ; (4)x + y .
3x x 1 5 - 3b x y
教師板書解題步驟，師生共同總結：
分式有意義，需要分母不為 0，需要解一個帶“≠”的不等式.
【設計意圖】在討論了分式的分母的字母的取值情況后，通過例題讓學生
進一步理解分式的分母中的字母的取值是受制約的，即：字母的取值不能使分母為零。
檢測反饋
練習4：下列分式中的字母滿足什么條件時分式有意義？
【設計意圖】口答和解答相結合，利用習題檢測，是對所學知識的鞏固提升是教學的一個重要 環節．考察學生對分式有意義則分母不等于0這一條件的理解和運用。 鍛煉學生數學語言表達能力和規范解題的能力，體驗老師評講練習的過程，增強對數學學習的熱愛。
問題：類比分式有意義的探索方法探索分式無意義和值為0的條件。
分式無意義，分母等于0.
分式值為0，則分子為0且分母不為0。
練習5：若分式 的值為0，則x的值是______.
變式：若分式 的值為0，則x的值是______.
【設計意圖】通過練習檢測和強化學生對分式值為0條件的理解和運用，變式練習中進一步強調分子為0，分母不為0兩個條件必需同時滿足。
六、課堂小結
（師生互動）
【設計意圖】帶領同學們一起回顧本節所學的知識，其他同學不斷補充，將本節知識與以前學過的知識，進行緊密聯結，完善認知結構．教師補充完善，使學生更加系統化掌握所學的知識及研究事物的一般規律，思維得到提升。
七、布置作業
1 必做題課本習題 15.1 第 1 題，第 2 題
2 選做題優化練習第 1—3 題
【設計意圖】學生課后鞏固、提高學生對知識的應用能力。

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