資源簡介

第九章 統(tǒng)計(jì)
9.2.4用樣本估計(jì)總體
總體離散程度的估計(jì)
1.熟悉極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，并理解極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義．
2.會(huì)求解極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并會(huì)用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差對數(shù)據(jù)進(jìn)行比較、分析和評價(jià)．
3.掌握用樣本的離散程度參數(shù)估計(jì)總體的離散程度的方法，體會(huì)樣本估計(jì)總體的思想，發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
重點(diǎn)：極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義的理解和計(jì)算，應(yīng)用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析．
難點(diǎn)：已知每組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和方差，獲得各組數(shù)據(jù)合并后全部數(shù)據(jù)的方法的計(jì)算方法，及計(jì)算中的遞推思想．
（一）創(chuàng)設(shè)情境
假設(shè)你是一名質(zhì)量控制分析師，工作于一個(gè)生產(chǎn)陶瓷餐具的公司。公司最近推出了一款新的餐盤系列，并希望確保它們在生產(chǎn)過程中的尺寸保持一致性，因?yàn)槊總€(gè)餐盤直徑越接近，則餐盤的整體美觀和功能性更好，你被要求分析餐盤直徑的數(shù)據(jù)集，并確定生產(chǎn)過程是否一致.那么，如何刻畫餐盤直徑的離散程度呢？
設(shè)計(jì)意圖：通過案例，給出生活中應(yīng)用方差解決實(shí)際問題的例子，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從生活中去感知數(shù)學(xué).
（二）探究新知
任務(wù)1：回憶和鞏固方差的概念和統(tǒng)計(jì)意義.
例：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
想一想：如果你是教練，你如何對兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況作出評價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？
師生活動(dòng)：學(xué)生提出評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，教師利用電子表格軟件進(jìn)行計(jì)算.
預(yù)設(shè)答案：學(xué)生可能先提出比較甲和乙10次射擊的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（通過計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均為7）.
次數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7 7 7
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 7 7 7
在發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均為7后，知道從集中位置的角度看，兩名運(yùn)動(dòng)員之間沒有差別.
結(jié)合初中知識(shí)，可能想到用方差進(jìn)行比較.
方差的定義：假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，我們稱
為這組數(shù)據(jù)的方差.
因?yàn)?br/>所以有時(shí)為了計(jì)算方差方便，也用上述表達(dá)式計(jì)算方差.
方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)程度，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
如果有學(xué)生回答用最大值或最小值，那么可以引導(dǎo)學(xué)生考慮成績的穩(wěn)定性.
思考：兩名運(yùn)動(dòng)員射靶環(huán)數(shù)的方差分別是多少？為什么可以運(yùn)用方差分析兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射擊成績？
預(yù)設(shè)答案：根據(jù)方差公式計(jì)算得，.2，由可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小，說明乙比甲的射擊成績穩(wěn)定.兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的平均成績一樣，比較他們的平均成績在所有參賽選手中的位置，如果兩人都排在前面，越穩(wěn)定越好，可以選擇成績穩(wěn)定的乙；如果兩人的成績抽排在后面，希望比賽時(shí)有突出表現(xiàn)，可以選擇成績方差大的甲.
設(shè)計(jì)意圖：通過案例，幫助學(xué)生回憶方差的概念和統(tǒng)計(jì)意義，并掌握應(yīng)用方差刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度.
任務(wù)2：探究其他刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量.
思考：除了方差，你還能想到其他刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論并分享，教師引導(dǎo)學(xué)生解釋這些量的合理性.
預(yù)設(shè)答案：（1）極差.極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差，即，可以反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍.在一定程度上，極差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；極差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
評價(jià)：極差是一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法.但因?yàn)闃O差只用到了數(shù)據(jù)中的最大值和最小值，對其他數(shù)據(jù)沒有涉及，所以極差包含的信息量很少.
平均偏差.平均偏差是每個(gè)數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的絕對值的平均數(shù)，假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).即
為這組數(shù)據(jù)的平均偏差.
評價(jià)：平均偏差與方差產(chǎn)生的思想一樣，都是運(yùn)用平均距離刻畫數(shù)據(jù)的離散程度.但平均偏差計(jì)算公式中含絕對值，計(jì)算不方便.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生主動(dòng)探索多個(gè)統(tǒng)計(jì)量刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，并認(rèn)識(shí)到每個(gè)統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)缺點(diǎn).
任務(wù)3：探究標(biāo)準(zhǔn)差的概念和統(tǒng)計(jì)意義.
思考：任務(wù)1中計(jì)算的兩名運(yùn)動(dòng)員的方差，其單位是什么？是否與原始數(shù)據(jù)的單位一致呢？如果不一致，又可以用什么來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度呢？
預(yù)設(shè)答案：方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方.，與原始數(shù)據(jù)的單位不一致.如果對方差求算術(shù)平方根，則單位和原始數(shù)據(jù)的單位一致.
因此用方差的算術(shù)平方根，即
我們稱之為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度.
標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)程度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
顯然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.
如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則稱
為總體方差，
為總體標(biāo)準(zhǔn)差.
與總體均值類似，總體方差也可以寫成加權(quán)的形式.如果總體的個(gè)變量值中，不同的值共有（）個(gè)，不妨記為，，，，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為（，，，），則總體方差為
追問：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？如果方差和標(biāo)準(zhǔn)差為0，這組數(shù)據(jù)有什么特征？
預(yù)設(shè)答案：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍為.標(biāo)準(zhǔn)差和方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，都等于樣本的平均數(shù)，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固對方差和標(biāo)準(zhǔn)差的理解.
任務(wù)4：探究分層隨機(jī)抽樣樣本方差的計(jì)算，并估計(jì)總體的方差.
在實(shí)際問題中，如果能獲得總體中所有個(gè)體的觀測值，可以用方差的公式直接計(jì)算總體的方差.比如，要了解某中學(xué)教師年工資差別，可以直接從學(xué)校財(cái)務(wù)出獲得所有教師的年工資收入數(shù)據(jù)，計(jì)算其方差即可判斷.如果要了解某市中學(xué)生教師年工資的差別，獲取所有教師的年工資數(shù)據(jù)就比較困難，可以用簡單隨機(jī)抽樣或分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本，取到樣本中所有個(gè)體的年工資數(shù)據(jù)，然后計(jì)算其方差，該方差是樣本的方差，利用樣本估計(jì)總體的思想，可以用樣本方差估計(jì)總體方差.
思考：在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，樣本的平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，樣本的平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本的方差嗎？并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生明確題目的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立計(jì)算多組數(shù)據(jù)匯總后的方差.
分析：把男生樣本記為，，，，其平均數(shù)記為，方差記為；把女生樣本記為，，，，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．
根據(jù)方差的定義，總樣本方差為


由，可得．
同理可得．
因此，
由，，根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平
均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為
．
把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得
．
我們可以計(jì)算出總樣本的方差為，并據(jù)此估計(jì)高一年級學(xué)生身高的總體方差為．
追問：比較總體樣本方差與男生組及女生組的方差，你能發(fā)現(xiàn)什么？你能解釋在估計(jì)全體學(xué)生平均身高時(shí)，按性別分層隨機(jī)抽樣的理由嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生可以看到總樣本方差既大于男生組的方差，也大于女生組的方差，教師解釋相同樣本量的條件下，總樣本方差越小，樣本均值估計(jì)總體均值效果越好.男、女生的均值相差越大，即兩組差別越大，總樣本方差比男、女生的方差均大得越多，分層隨機(jī)抽樣的效果越好.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行解釋，進(jìn)而更好地理解分層隨機(jī)抽樣的適用范圍.
思考：一般地，如果知道兩組數(shù)據(jù)各自的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和方差，如何計(jì)算全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差呢？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生由具體例子進(jìn)行一般化歸納.
分析：一般地，如果已知第一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是，平均數(shù)和方差分別是和，第二組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是，平均數(shù)和方差分別是和，那么，總樣本平均數(shù)
總樣本方差為
如果兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，那么總樣本均值與兩組數(shù)據(jù)的均值相同，總樣本方差計(jì)算公式中的和都等于0，總樣本方差是兩組方差的加權(quán)平均，即，不會(huì)同時(shí)大于每組的方差.
設(shè)計(jì)意圖：將總樣本均值和總樣本方差的計(jì)算公式在問題的推廣到一般，讓學(xué)生體會(huì)由具體到一般的思想.
拓展：平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)的波動(dòng)大小，那么將平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差綜合在一起呢
如：課本9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出樣本平均數(shù)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差.則
，，
，.
如圖可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間=內(nèi)，在區(qū)間=外的只有7個(gè)，也就是說，絕大部分的數(shù)據(jù)落在內(nèi).
通過平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，就可以得到大部分?jǐn)?shù)據(jù)的取值范圍.方差越大，則這個(gè)區(qū)間越大；方差越小，則這個(gè)區(qū)間也越小.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到利用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差也可以部分反映數(shù)據(jù)的取值規(guī)律.
（三）應(yīng)用舉例
例1 小明和小紅次考試數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如表：
姓名 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
小明
小紅
則成績較為穩(wěn)定的那個(gè)同學(xué)成績的方差為( )
A. B. C. D.
提示：根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)與方差的公式，即可求解.
解：觀察兩組數(shù)據(jù)可知，小明的成績較穩(wěn)定，
小明成績的平均數(shù)，
小明成績的方差．
故選：．
例2 現(xiàn)有，兩組數(shù)據(jù)，其中組有個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)為，方差為，組有個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)為，方差為若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為 ．
提示：根據(jù)題意，由分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)的計(jì)算公式
和方差的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.
解： 組有個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)為，方差為，組有個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)為，方差為，
則兩組數(shù)據(jù)混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
新數(shù)據(jù)的方差，
故答案為：．
例3有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中為非零常數(shù)，則( )
A. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
解：對于，，
， 錯(cuò)；
對于，設(shè)第一組中位數(shù)為，
則第二組中位數(shù)為， 錯(cuò)；
對于，第一組標(biāo)準(zhǔn)差，
第二組標(biāo)準(zhǔn)差，
C正確
對于，設(shè)第一組中最大值為， 最小值為， 極差，
則第二組中最大值為， 最小值為， 極差， D正確．
故選CD．
【反思感悟】
設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為.
由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中為非零常數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的方差也為，標(biāo)準(zhǔn)差也為，極差為.
由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，，其中為非零常數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為.
由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，，其中均為非零常數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為.
例4 在一組樣本數(shù)據(jù)中，，，，出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是( )
A. ，， B. ，
C. ，， D. ，
提示：根據(jù)方差的加權(quán)公式先求出方差，再得方差的算術(shù)平方根，即可求解.
解：中，平均數(shù)為，
標(biāo)準(zhǔn)差為，
同理可得中，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，
中，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，
中，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，
故選B．
設(shè)計(jì)意圖：通過例題，熟悉極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的公式，并增強(qiáng)對極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差及其統(tǒng)計(jì)意義的理解，掌握分層隨機(jī)抽樣樣本方差的計(jì)算．
（四）課堂練習(xí)
1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了塊地作試驗(yàn)田．這塊地的畝產(chǎn)量單位：分別為，，，，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是( )
A. ，，，的平均數(shù) B. ，，，的標(biāo)準(zhǔn)差
C. ，，，的最大值 D. ，，，的中位數(shù)
解：評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差
故選B．
2.已知一組數(shù)據(jù)，，，，，則該組數(shù)據(jù)的方差是 ．
解：數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為：
，
該組數(shù)據(jù)的方差：
．
故答案為：．
已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，且，平均數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 ．
解：一組樣本數(shù)據(jù)，，，，且，平均數(shù)，
則該組數(shù)據(jù)的方差為
，
則其標(biāo)準(zhǔn)差為．
故答案為：11．
4. 若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為( )
A. B. C. D.
解：設(shè)樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，即方差，而數(shù)據(jù)，，的方差，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為,
故選C．
5.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為( )
A. B. C. D.
解：根據(jù)題意，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
則兩組數(shù)據(jù)混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
則新數(shù)據(jù)的方差，
故選：．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的公式及其統(tǒng)計(jì)意義，并能夠靈活運(yùn)用.
（五）歸納總結(jié)
【課堂小結(jié)】回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？

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