資源簡(jiǎn)介

第九章 統(tǒng)計(jì)
9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
1.結(jié)合實(shí)例，理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)），培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).
2.在典型例題中，學(xué)會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).
3.通過(guò)對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的學(xué)習(xí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
重點(diǎn)：求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．
難點(diǎn)：理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．
（一）創(chuàng)設(shè)情境
想象你是市中心一家新開(kāi)咖啡店的老板.為了吸引顧客，你想根據(jù)周圍辦公區(qū)工作人員的喜好來(lái)調(diào)整咖啡的種類和價(jià)格.你進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查，收集了一周內(nèi)顧客購(gòu)買咖啡的數(shù)量和花費(fèi)。現(xiàn)在，你擁有一堆數(shù)據(jù)，包括各種不同種類的咖啡銷量以及不同顧客的消費(fèi)額.
1.如何從這些數(shù)據(jù)中找到一個(gè)典型的消費(fèi)模式？
2.你認(rèn)為使用哪種數(shù)值可以概括你的顧客對(duì)咖啡喜好的普遍情況？
3.為什么了解數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)對(duì)你制定營(yíng)銷策略很重要？
想一想：如何進(jìn)行數(shù)據(jù)的總體集中趨勢(shì)的估計(jì)呢？
師生活動(dòng)：教師展示生活中極端數(shù)據(jù)的出現(xiàn)導(dǎo)致的數(shù)據(jù)不能正確說(shuō)話的案例，讓學(xué)生也例舉生活中的實(shí)例. 之后提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將其數(shù)學(xué)化，用數(shù)學(xué)的量來(lái)表示.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)直觀觀察，結(jié)合身邊的事物引出數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生會(huì)感到親切、生動(dòng)、真實(shí)、易于接受. 同時(shí)，能使他們體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，我們生活在充滿數(shù)學(xué)信息的現(xiàn)實(shí)世界中. 能促進(jìn)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和認(rèn)識(shí)周圍的事物，有效的促進(jìn)知識(shí)的遷移.
（二）探究新知
任務(wù)1：請(qǐng)用結(jié)構(gòu)圖梳理數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的知識(shí)內(nèi)容
師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并匯報(bào)展示.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)之前知識(shí)的梳理，明確這節(jié)課要突破和學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容.
任務(wù)2：探究平均數(shù)和中位數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別
探究：利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)
（1）請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù).
（2）假設(shè)有2000戶，你能估計(jì)該小區(qū)的月均用水總量嗎？
（3）小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100 戶居民月用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但錄入數(shù)據(jù)時(shí)把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請(qǐng)計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較.哪個(gè)量變化更大？請(qǐng)說(shuō)明理由.
師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并匯報(bào)展示.
解：（1）根據(jù)節(jié)中戶居民用戶月均用水量的數(shù)據(jù)，由樣本平均數(shù)的定義，可得 ，即戶居民的月均用水量的平均數(shù)為．
將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得第個(gè)數(shù)和第個(gè)數(shù)分別為，，由中位數(shù)的定義，可得，即戶居民的月均用水量的中位數(shù)是．
（2）假設(shè)有2000戶，該小區(qū)月均用水總量為.
（3）因?yàn)閿?shù)據(jù)是抽自全市居民戶的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，所以我們可以據(jù)此估計(jì)全市居民用戶的月均用水量約為，其中位數(shù)約為． 平均數(shù)由原來(lái)的8.79t變?yōu)?.483t，變化更大，中位數(shù)還是6.6t，沒(méi)有變化.
樣本平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起中位數(shù)的改變.
總結(jié)：與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感.
思考：平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趁勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系
師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并匯報(bào)展示.
答：(1)平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；（對(duì)稱）
(2)平均數(shù)大于中位數(shù)；（右邊“拖尾”)
(3)平均數(shù)小于中位數(shù).（左邊“拖尾”)
總結(jié)：在直方圖中，平均數(shù)總在“長(zhǎng)尾巴”那邊.
任務(wù)3：探究眾數(shù)
某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示.
（1）如果用一個(gè)量來(lái)代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適
（2）試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性.
師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并匯報(bào)展示.
解：（1）為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖表示表中的數(shù)據(jù)(如右圖).可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適.
由于全國(guó)各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異，所以用一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合理.
總結(jié)：一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對(duì)分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)的描述,可以用眾數(shù).
任務(wù)4：探究在頻率分布直方圖中估計(jì)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)
說(shuō)一說(shuō)：我們?cè)趫?bào)紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖.
是否可以估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)
你能以圖中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計(jì)方法嗎
可以估算，在頻率分布直方圖中,我們無(wú)法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的.此時(shí)，通常假設(shè)它們?cè)诮M內(nèi)均勻分布,這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).
思考：下方頻率分布直方圖中，如何估算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)？
樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和.所以樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
平均數(shù)為
根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.
由于
因此中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)；設(shè)中位數(shù)為，由,
得到因此，中位數(shù)約為6.71.
平均數(shù)為8.96大于中位數(shù)6.71，符合右邊“拖尾”的特點(diǎn)，即平均數(shù)大于中位數(shù).
在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計(jì)值.
眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo).
各抒已見(jiàn)：假設(shè)你到人力市場(chǎng)去找工作,有一個(gè)企業(yè)老板告訴你,“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬(wàn)元”，你該如何理解這句話
這句話是真實(shí)的，但它可能描述的是差異巨大的實(shí)際情況.下方以10人公司為例說(shuō)明：
思考：觀察兩組數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？
師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并匯報(bào)展示.
答：上組數(shù)據(jù)這個(gè)企業(yè)的工資水平普遍較高.也就是員工年收入的中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)差不多.下組數(shù)據(jù)年收入的平均數(shù)為20萬(wàn)元，就比中位數(shù)9萬(wàn)元大得多.用中位數(shù)或眾數(shù)比用平均數(shù)更合理些.但這個(gè)企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數(shù).
總結(jié)：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的比較
設(shè)計(jì)意圖：利用問(wèn)題情境探究得出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的各自特點(diǎn)，在具體問(wèn)題中，學(xué)生感受反映樣本數(shù)字集中趨勢(shì)量在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．
（三）應(yīng)用舉例
例1根據(jù)如圖所示的頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).
解：在中的數(shù)據(jù)最多，取這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)約為125.5.
中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，設(shè)中位數(shù)為x，
則由圖可知x，
則
解得，即中位數(shù)約為125.75.
使用組中值求平均數(shù)，
則
即平均數(shù)約為125.8.
例2某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名，將其物理成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖中的信息，回答下列問(wèn)題：
(1)估計(jì)這次考試的物理成績(jī)的眾數(shù)m與中位數(shù)n(結(jié)果保留一位小數(shù))；
(2)估計(jì)這次考試的物理成績(jī)及格率(60分及以上為及格)和平均分.
思考：樣本平均數(shù)如何表示？
答：樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
解：Ⅰ眾數(shù)是最高小矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以眾數(shù)為分；
前三個(gè)小矩形面積為，
中位數(shù)要平分直方圖的面積，．
Ⅱ依題意，及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，
頻率和為，
所以，這次考試的及格率約是，
利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分，
估計(jì)這次考試的平均分是分．
總結(jié)：頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法.
(1)眾數(shù)：取最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)．
(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分的分界線與"x"軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù)．
(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
利用頻率分布直方圖或頻率分布表求出的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，讓學(xué)生掌握反映樣本數(shù)字集中趨勢(shì)量：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法，并熟悉的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)．
課堂練習(xí)
1.為了鼓勵(lì)學(xué)生鍛煉身體，強(qiáng)健體魄，增強(qiáng)抵抗病毒能力，某校決定加強(qiáng)體育活動(dòng)并對(duì)體育成績(jī)進(jìn)行定期統(tǒng)計(jì)，下表是該校高三年級(jí)某次體育測(cè)試成績(jī)的樣本頻率分布表：名高三學(xué)生體育成績(jī)的頻率分布表
分組
頻率
該次高三年級(jí)體育測(cè)試成績(jī)中位數(shù)的估計(jì)值位于區(qū)間( )
A. B. C. D.
解：設(shè)中位數(shù)為，
因?yàn)椋?br/>所以中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，
則，解得，
所以該次高三年級(jí)體育貶試成績(jī)中位數(shù)的估計(jì)值位于區(qū)間．
故選：．
2.某城市戶居民的月平均用電量單位：度，以， ， ， ， ，分組的頻率分布直方圖如圖．
求直方圖中的值；
求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
該市有戶居民，請(qǐng)估計(jì)月平均電量為的用戶有多少戶？
解：由直方圖的性質(zhì)可得，
得：，所以直方圖中的值是．
月平均用電量的眾數(shù)是．
因?yàn)椋栽缕骄秒娏康闹形粩?shù)在內(nèi)，
設(shè)中位數(shù)為，由得：，
所以月平均用電量的中位數(shù)是．
人．
3.某校高二年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)考核成績(jī)單位：分的頻率分布直方圖如圖所示：
求頻率分布直方圖中的值；
根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表．
解：，
由圖可知眾數(shù)的估計(jì)值為．
平均數(shù)的估計(jì)值：
．
4.統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入情況調(diào)查了人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖，每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在元．
為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@人中用分層抽樣方法抽出人作進(jìn)一步分析，則月收入在元的應(yīng)抽取多少人？
根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
解：月收入在的頻率為
，
對(duì)應(yīng)的頻數(shù)為人，
又抽取的樣本容量為．
抽取比例為，
月收入在的這段應(yīng)抽取人；
由可得，
從左數(shù)第一組的頻率為；
第二組的頻率為；
第三組的頻率為；
，，
中位數(shù)位于第三組，設(shè)中位數(shù)為，
則，解得，
中位數(shù)為元；
根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算平均數(shù)為：
，
樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為元．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)），能夠靈活運(yùn)用.
（五）歸納總結(jié)
【課堂小結(jié)】回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
1.理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)）．
2.會(huì)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，用樣本估計(jì)總體的思想解決問(wèn)題．
3.掌握反映樣本數(shù)字集中趨勢(shì)量：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法，并熟悉的應(yīng)用．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)之前知識(shí)的梳理，提高學(xué)生總結(jié)概括能力，明確這節(jié)課要突破和學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容.

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