資源簡介

第九章 統計
9.2.2用樣本估計總體
總體百分位數的估計
1.結合實例，理解百分位數的概念，發展數據分析素養.
2掌握求一組數據的百分位數的基本步驟，體會樣本估計總體的統計思想，提高分析和解決問題的能力.
3.通過具體實例，體會百分位數在實際生活中的應用，引導學生用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界，并且培養學生用數學知識解決實際生活的能力.
重點：用樣本估計百分位數．
難點：求一組數據的百分位數．
（一）創設情境
階梯收費，是一種根據用戶消費數量或使用程度的不同，對價格進行分檔的收費方式。通過設定不同的價格檔次，當用戶的消費量超過一定標準時，價格會相應提高，從而促使用戶減少不必要的消費，達到節約資源的目的。這種收費方式在水、電、燃氣等公共事業領域以及一些服務行業中得到廣泛應用。例如，在水資源緊張的地區，通過實施階梯收費政策，可以有效減少水資源的浪費，保護生態環境。那如何確定這個階梯費用，既能使大部分的消費者不受影響，又能夠節約資源呢？
想一想：什么是階梯計費呢，它有什么意義呢？
師生活動：教師展示生活中階梯計費的實例，讓學生也例舉生活中的實例.之后提出問題，引導學生思考如何將其數學化，用數學的量來表示.
設計意圖：通過實際生活中的問題引出數學知識，使學生易于接受.同時，讓他們體會到生活中處處有數學，數學就在我們身邊，我們生活在充滿數學信息的現實世界中.能促進學生會用數學的眼光去觀察和認識周圍的事物，有效的促進知識的遷移.
（二）探究新知
任務1：回顧上節課我們采用了哪些方法進行數據分析.
師生活動：教師可以先讓學生獨立思考，然后分組交流討論，最后選出小組代表匯報展示.
設計意圖：通過對之前知識的梳理，明確這節課要突破和學習的重點知識內容.
任務2：探究第p百分數的概念
探究：如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費支出不受影響，根據上節中100戶居民用戶的月均用水量數據，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標準的建議嗎？
要求：以小組為單位進行討論交流。
答：根據市政府的要求確定居民用戶月均用水量標準，就是要尋找一個數a，使全市居民用戶月均用水量中不超過a的占80%，大于a的占20%．
思考：（1）從整體看我們需要怎么找這個數？
（2）我們如何處理這些樣本數據找到這個數呢？
（3）在找這個數的過程中遇到了什么困難？我們該如何解決這個問題呢？
答：要想找到這個數，我們需要把這100個樣本數據按從小到大排序，得到第80個和第81個數據分別為13.6和13.8，我們遇到的困難就是這兩個數究竟該選擇哪一個。
追問：這兩個數都行嗎？13.6-13.8之間的任何一個數行嗎？
答：第80個數(13.6)、第81個數(13.8)及在區間(13.6，13.8)內任意一個數都能把樣本數據分成符合要求的兩部分.
一般地，取這兩個數的平均數，稱此數為這組數據的第80百分位數，或80%分位數.
思考：這個標準一定能夠保證80%的居民用水不超標嗎？如果不一定，那么哪些環節可能會導致結論的差別？
要求：以小組為單位進行討論交流，打開思路，暢所欲言。
答：不一定，抽樣的方法和樣本的隨機性可能會導致有誤差.
說一說：通過剛才的探究過程，你能給出第p百分位數的定義嗎？
答：一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值.
追問：求一組數據的第p百分位數需要注意什么？
答：求百分位數時，一定要將數據按照從小到大的順序排列.
任務3：探究第p百分數的計算方法和步驟.
探究1：一個容量為20的樣本，其數據按照從小到大的順序排列為1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.則該組數據的第0百分位數、第75百分位數、第82百分位數、第86百分位數、第100百分位數分別是多少？
答：由0%×20=0，所以第0百分位數是第1位數1（數據中最小的數）；由100%×20=20，所以第100百分位數是第20位數18（數據中最大的數）；由75%×20=15，所以第75百分位數4.5(非這組數據中的數)；由于82%×20=16.4，所以第82百分位數為第17個數據17(是這組數據中的數)；由于86%×20=17.2，所以第86百分位數為第18個數據17(是這組數據中的數).
說一說：百分位數有哪些特點？
答：1.第0百分位數是數據組中的最小數，第100百分位數是數據組中的最大數；2.一組數據的第p百分位數可能是這組數據中的數，也可能不是這組數據中的數；3.一組數據中的某些百分位數可能是同一個數.
探究2：根據以上的求解過程，嘗試總結第p百分位數的求解步驟.
答：計算一組n個數據的第p百分位數的步驟：
第1步，按從小到大排列原始數據.
第2步，計算
第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數.
思考：中位數與第p百分位數有關系嗎？
答：1.第50百分位數就是中位數，中位數是百分位數的特例.
2.百分位數是中位數的推廣.
想一想：還有哪些常用的第p百分位數？
答：中位數外，常用的分位數還有第25百分位數，第75百分位數.這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數等，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數等.
設計意圖：以本題為例，通過計算一組數據的第p百分位數，引導學生總結得出計算第p百分位數的步驟和以及第p百分位數的特點，既學習了知識，又培養學生抽象概括和邏輯思維能力．
（三）應用舉例
例1 以下是樹人中學高一年級抽取27名女生的樣本數據：
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0
162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0
155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0．請估計樹人中學高一年級女生的第25，50，75百分位數.
解：把27名女生的樣本數據按從小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
由，，，可知樣本數據的第25，50，75百分位數為第7，14，21項數據，分別為155.5，161，164.
據此可以估計樹人中學高一年級女生的第25，50，75百分位數分別約為155.5，161和164.
例2 根據下表估計月均用水量的樣本數據的80%和95%分位數.
分組 頻數 頻率
[1.2，4.2） 23 0.23
[4.2，7.2） 32 0.32
[7.2，10.2） 13 0.13
[10.2，13.2） 9 0.09
[13.2，16.2） 9 0.09
[16.2，19.2） 5 0.05
[19.2，22.2） 3 0.03
[22.2，25.2） 4 0.04
[22.2，25.2） 2 0.02
合計 100 1.00
解：月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%+13%+9%=77%，在16.2t以下的居民用戶所占比例為77%+9%=86%，因此，80%分位數一定位于[13.2，16.2)內，由
可以估計月均用水量的樣本數據的80%分位數約為14.2.
例3 某年級舉辦了一場百米測試，該年級120名學生在此次測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果分成5組[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，如果從左到右的5個小矩形的面積之比為1:3:7:6:3，求成績的第70百分位數.
解：設成績的第70百分位數為x，因為，，所以x∈[16，17)，則由，得x=16.5，故成績的第70百分位數約為16.5.
【總結】求解圖表和第p百分位數問題的一般步驟：
第一步：審讀題意，抓住問題本質；
第二步：根據圖表特點進行計算；
第三步：結合題目要求，得出正確結論.
設計意圖：通過例題，熟悉第分位數的相關解題方法，培養學生運算和邏輯思維能力．
（四）課堂練習
1.新時期黨史學習教育，是黨中央立足黨的百年歷史新起點、統籌中華民族復興戰略全局和世界百年末有之大變局，為動員全黨全國滿懷信心投身全面建設社會主義現代化國家而做出重大決策.某企業成立的黨史學習教育督查組為調研本單位的黨史學習情況，到某部門對10名成員進行了問卷測試，成績如下：90，92，92，93，93，94，95，96，99，100，則這組數據的第75百分位數是 ______ .
解：因為10×75％=7.5，不是整數，
所以這組數據的第75百分位數是第8位數，即96.
故答案為：96.
2.記錄并整理某車間10名工人一天生產的產品數量(單位：個)如表所示：
那么這10名工人一天生產的產品數量的第30百分位數為( ).
A 49.5 B 51 C 52 D 53
解：將10個數據按照從小到大的順序排列為：
46，48，51，53，53，56，56，56，58，71
∵10×30％=3，
∴所給數據的第30百分位數為第3個數據與第4個數據的平均數，
等于=52
故選：C.
3.為了解“雙減”政策實施后學生每天的體育活動時間，研究人員隨機調查了該地區1000名學生每天進行體育運動的時間，按照時長(單位：分鐘)分成6組：第一組[30，40)，第二組[40，50)，第三組[50，60)，第四組[60，70)，第五組[70，80)，第六組[80，90]，經整理得到如圖的頻率分布直方圖，則可以估計該地區學生每天體育活動時間的第70百分位數位于的區間為( )
A [50，60) B [60，70) C [70，80) D [80，90]
解：由(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)×10=1，
則a=0.015，
由于(0.01+0.02+0.03)×10=0.6< 0.7
(0.01+0.02+0.03+0.015)×10=0.75>0.7，
所以第70百分位數位于的區間為[60，70).
故選：B.
4. 《中國居民膳食指南 (2022)》 數據顯示， 6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達19.0％.為了解某地中學生的體重情況，某機構從該地中學生中隨機抽取100名學生，測量他們的體重(單位：千克)，根據測量數據，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.根據調查的數據，估計該地中學生體重的第75百分位數是( )
A 55 B 57.25 C 58.75 D 60
解：因為，，
所以該地中學生的體重的第75百分位數在[55，60)內，
設第75百分位數為m，則，解得m=58.75.
故選：C.
5.從某地隨機抽取100戶居民進行月用電量調查，每戶居民的月用電量都在50KW·h至300KW·h之間，分組后畫出頻率分布直方圖如圖，則根據直方圖估計該地居民月用電量的第80百分位數為 __________.
解：已知月用電量在[200，250)和[250，300]之間的頻率為50(0.004+0.0016)=0.28，
所以前三組的頻率之和為1-0.28=0.72<0.8，
不妨設第80百分位數為x，
此時，
解得x=220
故答案為：220.
6.從某地區抽取100戶居民進行月用電量調查，發現用電量都在50至350kW·h之間．將數據分組后得到如表所示的頻率分布表，估計此地區月均用電量的第80百分位數是( )
A 230 B 235 C 240 D 245
解：由頻率分表可知，數據均勻分布，
所以第80百分位數是，，
故選：C.
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固求第p百分位數的相關解題方法，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
1、第p百分位數的定義：一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值.
2.百分位數的特點：
（1）第0百分位數是數據組中的最小數，第100百分位數是數據組中的最大數；
（2）一組數據的第p百分位數可能是這組數據中的數，也可能不是這組數據中的數；
（3）一組數據中的某些百分位數可能是同一個數.
3.第p百分位數的求解步驟：
第1步，按從小到大排列原始數據.
第2步，計算i＝n*p%.
第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數.
4.幾個常用的百分位數：第25百分位數，第50百分位數(中位數)，第75百分位數.
這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.
設計意圖：通過對之前知識的梳理，提高學生總結概括能力，明確這節課要突破和學習的重點知識內容.
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