資源簡(jiǎn)介

8.6.3平面與平面垂直 教學(xué)設(shè)計(jì)
人教A版(2019) 必修第二冊(cè)
【授課內(nèi)容】 平面與平面垂直的判定
【課時(shí)和課型】 1 課時(shí) 新授課
【教學(xué)內(nèi)容分析】
本課時(shí)選自人教A版(2019)必修第二冊(cè)，第八章立體幾何初步，8.6.3平面與平面垂直（第一課時(shí)），是空間垂直關(guān)系的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的考查熱點(diǎn)，是“轉(zhuǎn) 化”、“降維”思想的又一重要體現(xiàn)。前一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間線面垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，以及線面角、異面直線的夾角等相關(guān)概念。 二面角定量地反映了兩個(gè)平面相交的位置關(guān)系， 但是如何來(lái)度量二面角的大小是一個(gè)難點(diǎn)。根據(jù)“異面直線所成角”和“直線與平面所成角”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)， 自 然想到用“平面化”的思想， 進(jìn)而通過(guò)給出動(dòng)手實(shí)驗(yàn)得到二面角的平面角的概念。面面垂直是面面相交的特殊情況，生活中面面垂直的例子大量存在，引導(dǎo)學(xué)生觀察、結(jié)合實(shí)例，再用直二面角作為理論依據(jù)，很容易歸納出使面面垂直的必備條件， 自然地就獲得了面面垂直的判定定理。
【學(xué)情分析】
高中階段的學(xué)生思維活躍，參與意識(shí)、語(yǔ)言表達(dá)和自主探究能力較強(qiáng)，故采用啟發(fā)探究、討論、實(shí)驗(yàn)多元結(jié)合的教學(xué)方法；通過(guò)一系列的問(wèn)題及 2 個(gè)主要 的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)的思考、探究。幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具體到抽象、從感性到理性的過(guò)度， 從而完成定義的建構(gòu)和定理的發(fā)現(xiàn)。在必修 2 中從前 面線面平行、面面平行、線面垂直等知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中， 學(xué)生已經(jīng)掌握了了學(xué)習(xí)研究立體幾何的一般方法——平面化，對(duì)線線、線面、面面間關(guān)系的轉(zhuǎn)化 也已經(jīng)比較熟練，但因本節(jié)內(nèi)容的抽象性，對(duì)學(xué)生抽象概括能力、空間想象能力的要求較高，故采用多媒體輔助教學(xué)，在 PPT 課件中，融入視頻、多個(gè)幾何畫(huà)板制作的動(dòng)畫(huà)， 可大幅降低學(xué)生在空間想象上的難度， 因此學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)不會(huì)有太大困難。
【教學(xué)目標(biāo)設(shè)定】
根據(jù)本課教材的特點(diǎn)，新課標(biāo)對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求，結(jié)合學(xué)生身心發(fā)展的合理需要，確定了以下教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)與技能： 理解二面角的概念與度量；掌握“平面與平面垂直的判定定理”；能應(yīng)用判定定理證明一些簡(jiǎn)單的面面垂直問(wèn)題 .
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(
活動(dòng)探究二面角
的平面角的概念
和做法
) (
活動(dòng)探究平面與
平面垂直的判定
定理
) (
判定定理的簡(jiǎn)單
應(yīng)用
) (
課堂小結(jié)和作業(yè)
布置
)
2.過(guò)程與方法： 直觀感知空間中二面角的平面角和面面垂直現(xiàn)象，動(dòng)手試驗(yàn)探究二面角的做法，經(jīng)歷平面與平面垂直的判定定理的形成過(guò)程；感受空間與
平面問(wèn)題的類比和轉(zhuǎn)化， 提升知識(shí)遷移能力； 親歷 “二面角的平面角”和“平面與平面垂直的判定定理”的探索過(guò)程， 提高抽象概括能力， 合作探究能力。
3.情感態(tài)度與價(jià)值觀
從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、總結(jié)數(shù)學(xué)定理， 提升發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力， 感受數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)文化的魅力， 激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣， 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
【學(xué)情分析】
【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】
教學(xué)重點(diǎn)： 二面角的相關(guān)概念和平面與平面垂直的判定定理
教學(xué)難點(diǎn)： 平面與平面垂直的判定定理的形成過(guò)程 .
【教學(xué)方法與手段】
教學(xué)方法： 啟發(fā)式教學(xué)法、討論教學(xué)法、直觀演示法、 實(shí)驗(yàn)法、講練結(jié)合法；
教學(xué)手段： 投影儀， 多媒體音頻視頻、PPT 課件，幾何畫(huà)板、學(xué)案等
【教學(xué)基本流程】
生活實(shí)例引入二 面角的概念
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【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】
教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 學(xué)生活動(dòng) 教師活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
情景引入， 明確探究方向 由空間位置關(guān)系的學(xué)習(xí)主線引出本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容——面面垂直的判 定； 引導(dǎo)對(duì)于新知識(shí)的學(xué)習(xí)要追求本質(zhì)， 通過(guò)視頻實(shí)例展示， 獲得平面 相交的直觀感受。 類比線面垂直的學(xué)習(xí)，明確本節(jié)課的重要內(nèi)容是定 義、并判定兩平面垂直。 回憶上節(jié)內(nèi)容 構(gòu)建知識(shí)體系 觀看視頻 回答問(wèn)題 用實(shí)例視頻調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣， 引導(dǎo)學(xué)生梳理前面的知識(shí)內(nèi)容 和學(xué)習(xí)路徑，使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu) 更完整、知識(shí)體系更清晰，為本 節(jié)課的課堂探究埋好伏筆并指 明方向，引入的最后提出問(wèn)題： 平面和平面可否定義成角 列舉豐富的生活實(shí)例， 能增強(qiáng)課堂 的趣味性， 也為后面的探究活動(dòng)打 伏筆； 梳理前繼知識(shí)，讓學(xué)生感受 到空間位置關(guān)系學(xué)習(xí)的“連貫性”、 研究方法的“相似性”，情景引入的 目的是使課堂探究活動(dòng)有章可循、 有據(jù)可依、有的放矢。
因 勢(shì) 利 導(dǎo) ， 構(gòu) 建 二 面 角 定 義 二面角的 相關(guān)概念 和表示 選取視頻中三個(gè)經(jīng)典實(shí)例（門(mén)、書(shū)、電腦），借助多媒體課件，將實(shí)物 圖型抽象成數(shù)學(xué)圖形并清晰展示， 教師引導(dǎo)， 學(xué)生思考并回答出構(gòu)成二 面角的要素， 通過(guò)多媒體課件， 動(dòng)態(tài)演示平面內(nèi)角的生成和空間里二面 角的生成過(guò)程， 在類比的情景下， 由學(xué)生自然的概括出二面角的定義 和其它相關(guān)概念，教師補(bǔ)充二面角的作圖規(guī)范和符號(hào)表示。 二面角： 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面構(gòu)成的空 間圖形， 叫做二面角。這條直線叫做二面角的 棱，兩個(gè)半平面為二面角的面。 圖形表示：平臥式、直立式； 符號(hào)表示：面—棱—面.
歸納二面角要素 回答問(wèn)題 觀看動(dòng)圖演示 概括二面角定義 啟發(fā)學(xué)生從構(gòu)成要素上理性分 析圖形， 將學(xué)生對(duì)二面角的直觀 認(rèn)知引向理性認(rèn)知， 鼓勵(lì)學(xué)生自 己概括定義， 給與肯定， 并補(bǔ)充 二面角的圖形表達(dá)和符號(hào)語(yǔ)言 表達(dá)。 二面角概念不難，但要做到合理、 自然的生成并不簡(jiǎn)單， 為此有了如 下處理： 多媒體課件展示直觀圖形到數(shù)學(xué) 圖形的抽象過(guò)程、二面角圖形的生 成過(guò)程， 激發(fā)學(xué)生的理性思維， 協(xié) 助學(xué)生循序漸進(jìn)的構(gòu)建二面角及 其相關(guān)定義。 選擇平面上“角”的概念做類比， 削弱學(xué)生在概念抽象上的思維難 度。通過(guò)類比和遷移使得概念的生 成更覺(jué)合理和不突兀。
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(
β
) (
α
) (
A
) B (
P
)A Q
(
B
) P AB Q
a l β a AB β
二面角的 平面角及 做法探究 二面角是空間圖形，結(jié)合線面角的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可采取降維處理， 空間問(wèn) 題平面化， 即找一個(gè)平面角（相交直線成角）來(lái)代替二面角。 探究活動(dòng) 1：4 人一組， 用空白紙折出一個(gè)二面角，討論后畫(huà)出一個(gè)平 面角來(lái)表示二面角的大小，并匯報(bào)小組討論結(jié)果. 折二面角 繪制平面角 小組討論 匯報(bào)結(jié)果 分析錯(cuò)因 巡視小組討論情況 發(fā)現(xiàn)典型的做角方法 邀請(qǐng) 2-3 個(gè)小組代表進(jìn)行匯報(bào) 啟發(fā)學(xué)生分析錯(cuò)因 對(duì)此問(wèn)題中常出現(xiàn)的兩種典型 的錯(cuò)誤做法給出其不合理性的 說(shuō)明，并用課件演示 統(tǒng)一做法后， 總結(jié)二面角平面角 的做法， 并提醒一些注意事項(xiàng)并 得到面面垂直的定義 二面角平面角的做法的合理性是 這一環(huán)節(jié)的重點(diǎn)，因此一定要由學(xué) 生完成， 通過(guò)學(xué)生與學(xué)生之間的合 作、討論等互助學(xué)習(xí)過(guò)程， 可使知 識(shí)生成的更合理， 學(xué)生之間的交流 甚至爭(zhēng)論，加深對(duì)平面角的理解， 同時(shí)更能提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。將空 間問(wèn)題平面化， 再度體現(xiàn)降維思想 在立體幾何中的重要性。
二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半 平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線 所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角. 二面角的平面角的大小即是二面角的大小. (
α
) (
A
) (
O
) (
β
B
Q
) (
M
)P l
如圖， AOB即為二面角a l β 的平面角.
提醒注意： （1）二面角的平面角必須滿足： ①角的頂點(diǎn)在棱上； ②角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)； ③角的邊都要垂直于二面角的棱； (
α
) (
O
A
) (
β
B
) l
（2）二面角的平面角大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān).
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(
β
) (
“
) (
l
) (
“
)（3）二面角的范圍： 0 < θ < 180 當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小為 0 ； 當(dāng)兩個(gè)半平面展開(kāi)成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小為180 ； 面面垂直： 平面角是直角的二面角叫做直二面角——此時(shí)，稱兩平面互相 垂直，記為a 」β . 垂直平面的畫(huà)法，如下圖： β
例題為橋， 開(kāi)啟定理發(fā)現(xiàn)之旅 在正方體中設(shè)置四個(gè)二面角的問(wèn)題（課件上， 各個(gè)二面角問(wèn)題連同圖形 會(huì)逐一出現(xiàn)， 待學(xué)生答完一題后， 圖形揭示答案），學(xué)生通過(guò)搶答的方 式找二面角的平面角， 借此鞏固二面角及其平面角的相關(guān)概念， 并通過(guò) 后面兩個(gè)直二面角的問(wèn)題， 引發(fā)對(duì)判定定理的期待. 例 1：在正方體 ABCD - A1B1C1D1 中， 找出下列二面角的平面角. （1）二面角 D1 - AB - D和 C1 - BD - C ； （2）二面角 A1 - AD - C 和 C - A1B - B1 .
讀題 思考 搶答 發(fā)現(xiàn)垂直平面 感受用定義法判 定垂直的繁瑣之 處并思考解決辦 法 展示問(wèn)題 組織搶答 答案和評(píng)價(jià) 二面角的平面角， 因其頂點(diǎn)的任意 性， 給學(xué)生的認(rèn)知帶來(lái)阻礙， 因此 必須及時(shí)的練習(xí)鞏固； 針對(duì)面面垂 直的情況， 學(xué)生切身感受到用定義 法，要找面、做角、計(jì)算得到直角， 操作性有待改善， 聯(lián)想其它位置關(guān) 系都有判定定理， 因而激發(fā)學(xué)生對(duì) 平面與平面垂直的判定定理的思 考和期待， 至此， 學(xué)生的自主探究 意識(shí)被激發(fā)， 思維方向也自然的轉(zhuǎn) 變?yōu)榕卸ǘɡ硎鞘裁?這樣的設(shè)
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解析： 平面角為 D1AD ， C1OC；（2）均為直角 計(jì)，最大程度上藏匿了教師的導(dǎo)向 作用， 體現(xiàn)學(xué)生在課堂教學(xué)中的主 體地位， 學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題， 自己 去找解決之法， 教師似乎只是順?biāo)?推舟就能開(kāi)啟下一個(gè)內(nèi)容， 也就是 難點(diǎn)內(nèi)容， 使得教學(xué)過(guò)程更流暢自 然。
(
B
1
) (
A
1
) (
C
) (
D
)D1 C1 (
B
)A (
A
1
) (
C
) (
A
)D1 C1 (
B
1
) D (
O
)
B
(
D
) (
B
1
)D1 C1 A1 C (
B
)A D1 C1 (
A
B
B
1
A
1
M
N
D
C
)
乘 勝 追 擊 ， 斬 獲 判 定 探 究 面 面 垂 直 的 判 定定理 對(duì)于面面垂直， 每次都找角、計(jì)算才能發(fā)現(xiàn)垂直， 顯然太過(guò)麻煩， 我們 需要更具有操作性的判定定理。開(kāi)展探究活動(dòng)， 形成面面垂直的判定定 理，學(xué)生概括定理后， 教師補(bǔ)充該定理的圖形表示、符號(hào)表示和結(jié)構(gòu)說(shuō) 明，與學(xué)生一起簡(jiǎn)單證明判定定理。 探究活動(dòng) 2：找到一個(gè)面面垂直的實(shí)例， 指出實(shí)例中哪兩個(gè)平面互相垂 直，說(shuō)明使得該組平面垂直的原因，并嘗試總結(jié)判定兩平面垂直的一 般方法， 4 人一組開(kāi)展討論. 小組討論 舉例并說(shuō)理 總結(jié)判定定理所 需的條件 小組匯報(bào) 同教師一起完成 定理證明 巡視各個(gè)小組的討論情況 引導(dǎo)學(xué)生從選擇實(shí)例、找到垂 面、說(shuō)明原理、總結(jié)結(jié)論幾個(gè)環(huán) 節(jié)開(kāi)展討論 發(fā)現(xiàn)討論中貼切的實(shí)例 組織小組匯報(bào) 匯總學(xué)生成果并形成判定定理 強(qiáng)化對(duì)定理圖形、符號(hào)、結(jié)構(gòu)的 理解。 判定定理的發(fā)現(xiàn)是本節(jié)課的難點(diǎn) 內(nèi)容， 如何自然而然水到渠成的突 破難點(diǎn)是個(gè)難題。本節(jié)課教師將大 膽的將這個(gè)任務(wù)交給這個(gè)課堂的 主任—— 學(xué)生， 有前面例題的鋪 墊，學(xué)生的探究熱情高漲， 引課時(shí) 的視頻也剛好做了一些兩平面垂 直的鋪墊， 結(jié)合該階段學(xué)生的思維 特征， 必然可以舉出精彩、貼切的
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之 法 平面與平面垂直的判定定理： 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直. 圖形表示 符號(hào)表示 實(shí)例； 前面花了較多時(shí)間刻畫(huà)相關(guān) 定義，給學(xué)生備充足的理論基礎(chǔ)， 可以透過(guò)垂直現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)本質(zhì)原 因，并能用定義去證明垂直成立. 通過(guò)探究活動(dòng)， 學(xué)生的抽象概括能 力、空間想象能力、邏輯推理能力 都將得到訓(xùn)練和提升。
如下圖片
結(jié)構(gòu)特征：線面垂直 牽面面垂直； 垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線線垂直 牽 線面垂直 牽 面面垂直 定理證明：
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應(yīng) 用 證 明 垂直 定 理 面 面 面面垂直定理的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)線面垂直， 并用嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給 與證明， 在得到定理并證明定理后， 設(shè)置例 2，改編自教材的一道題目 作為鞏固定理只用. 例 2：《九章算術(shù)》中， 將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉 臑”。如圖所示， 鱉臑P ABC 中， PA 平面ABC ，AC BC . （1）寫(xiě)出該幾何體各個(gè)面的直角？ （2）證明：平面 PAC 平面PBC . 解：（1） PAB PAC ACB PCB=90 （2）證明： PA 平面 ABC ，BC 平面 ABC ， PA BC P AC BC，且 AC PA A BC 平面PAC (
A
) (
C
)又 BC 平面PBC 平面PAC 平面PBC B
思考 回答 提問(wèn) 板演 鞏固定理的必要性無(wú)需贅述， 本題 改編自教材上的例題， 將原例題的 立題背景——“鱉臑”呈現(xiàn)給學(xué)生， 使學(xué)生感受到中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化 對(duì)今日所學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響。（1） 和（2）是遞進(jìn)的關(guān)系，通過(guò)（1） 的鋪墊， 引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中所有 的垂直關(guān)系， 自然證明（2）就簡(jiǎn)單 了，通過(guò)教師對(duì)證明步驟的演示， 給學(xué)生一個(gè)更加嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的證明 過(guò)程示范。
畫(huà)龍點(diǎn)睛， 綜述魚(yú)漁之得 學(xué)生自己回憶總結(jié)課堂主要內(nèi)容，教師給予評(píng)價(jià)， 并適當(dāng)補(bǔ)充，最后逐 條匯總在多媒體課件上. 1.知識(shí)收獲： 二面角、二面角的平面角的定義，面面垂直的判定定理； 垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化：線線 線面 面面； 2.方法收獲：
回憶 總結(jié) 作答 啟發(fā) 總結(jié) 補(bǔ)充 協(xié)助學(xué)生在學(xué)完本節(jié)知識(shí)后， 將其 納入已有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生正 確科學(xué)的構(gòu)建空間位置關(guān)系的知 識(shí)體系。
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判定面面垂直的兩種方法〈(①定義 ； l②面面垂直的判定定理 研究位置關(guān)系的基本策略：定義→判定→性質(zhì). 3.數(shù)學(xué)思想：類比、轉(zhuǎn)化→ 降維： ——院
分層作業(yè)， 促進(jìn)知能提升 (
面面垂直
) (
線面垂直
) (
線線垂直
一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)
平面的垂線則兩平面
垂直



) (
必做
)完成必修 2 第 73 頁(yè)，習(xí)題 2.3 的 A4, A6, B1； 選做
1.結(jié)合學(xué)習(xí)過(guò)的空間平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理，空間垂直的判定定理， 嘗試發(fā)現(xiàn)其它判定面面垂直的命題，給出你的 結(jié)論和證明. 2.“平行關(guān)系圖譜”已經(jīng)完成，任意二者間都可以轉(zhuǎn)化，你能嘗試完成“垂直關(guān)系圖譜”剩余的部分嗎？ (
平面內(nèi)兩相交直線
分別平行于另一個(gè)
) (
線面平行
) (
面面平行則一個(gè)平面內(nèi)任
意直線與另一個(gè)平面平行
) 線線平行
面面平行
必做內(nèi)容的作用就是幫助所有學(xué) 生鞏固當(dāng)堂所學(xué)， 可以檢測(cè)學(xué)習(xí)效 果。 選做 1 是對(duì)本節(jié)課的縱向延伸，選 做 2 是對(duì)后繼內(nèi)容的鋪墊， 也是對(duì) 空間位置關(guān)系的橫向整合。選做內(nèi) 容鼓勵(lì)學(xué)生合作探究完成。
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【板書(shū)設(shè)計(jì)】
面面垂直的判定 1. 二面角 2. 二面角的平面角： 3. 面面垂直的定義 4. 面面垂直判定定理： 例 2：證明： （略）
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