資源簡介

第九章 統(tǒng)計
9.1.2 分層隨機抽樣
能理解分層隨機抽樣的概念，掌握分層隨機抽樣的步驟與適用范圍，區(qū)分簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣，并能選擇適當(dāng)正確的方法進(jìn)行抽樣.
能對現(xiàn)實生活中實際問題進(jìn)行分層隨機抽樣，感知應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的方法，體會“估計”與“精確”性的矛盾統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義的世界觀與價值觀.
重點：分層隨機抽樣的特點、步驟和適用范圍.
難點：用分層隨機抽樣的樣本均值估計總體平均值.
（一）創(chuàng)設(shè)情境
1936年的美國總統(tǒng)選舉前夕，為了預(yù)測兩位候選人蘭登和羅斯福誰將贏得大選，美國《文摘》雜志進(jìn)行了一項規(guī)模宏大的民意調(diào)查。他們通過電話和郵件向數(shù)百萬選民發(fā)送了問卷，試圖了解選民的投票意向。最終調(diào)查結(jié)果預(yù)測了蘭登將以壓倒性優(yōu)勢獲勝。
然而，實際的選舉結(jié)果卻與《文摘》雜志的預(yù)測大相徑庭。羅斯福以壓倒性的優(yōu)勢贏得了連任。造成這個結(jié)果有多種原因，包括問卷回應(yīng)率偏低、樣本中包含了過多的富人，以及沒有考慮到當(dāng)時經(jīng)濟大蕭條對選民心理的影響，這次失敗的預(yù)測成為了統(tǒng)計學(xué)史上的一個著名案例，它暴露了當(dāng)時民意調(diào)查方法的缺陷，尤其是抽樣偏差的問題。（學(xué)生討論）
想一想：有沒有更好的抽樣方法可以規(guī)避這種情況呢？
師生活動：教師展示生活中的隨機抽樣的實例，同時給出結(jié)果，從給出的結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽樣的不合理，引發(fā)學(xué)生對如何規(guī)避樣本極端情況的思考.學(xué)生相互討論.
設(shè)計意圖：通過視頻導(dǎo)入，提出生活中的實例，從問題出發(fā)，自然引出學(xué)習(xí)分層隨機抽樣的目的，再以具體例子為開端，引導(dǎo)學(xué)生自主成長.這樣設(shè)計讓學(xué)生會感到親切、生動、真實、易于接受. 同時能使他們體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，也能促進(jìn)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和認(rèn)識周圍的事物，有效的促進(jìn)知識的遷移.
（二）探究新知
任務(wù)1：探究如何規(guī)避“極端”樣本的隨機抽樣.
探究1：在樹人中學(xué)高一年級的712名學(xué)生身高的調(diào)查中，男生有326名、女生有386名.運用簡單隨機抽樣，抽取50名學(xué)生的身高作為樣本，是否會出現(xiàn)全是高個子或全是矮個子的樣本呢（全是男生或全是女生）？
答：會出現(xiàn)全是高個子或全是矮個子的樣本呢（全是男生或全是女生）.
思考：你認(rèn)為導(dǎo)致簡單隨機抽樣出現(xiàn)“極端”樣本的原因可能是哪些呢？
師生活動： 1.小組內(nèi)交流討論原因；2.以小組為單位進(jìn)行闡述.
答：第一，總體中個體之間差異較大.第二，樣本抽取具有隨機性.第三，通常總體中個體差異越小樣本均值估計總體均值效果越好.
總結(jié)：影響身高的因素有很多，性別是一個主要因素.高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性別的身高差異相對較小.
設(shè)計意圖:通過探討“極端樣本”出現(xiàn)的原因，提高學(xué)生對樣本隨機性的認(rèn)識，同時對總體的情況進(jìn)行分析，為改進(jìn)抽樣方法提供思路.
探究2：在樹人中學(xué)高一年級的712名學(xué)生身高的調(diào)查中，男生有326名、女生有386名，若要抽取50名學(xué)生的身高作為樣本，如何改進(jìn)抽樣方法減少“極端”樣本的出現(xiàn)呢？
提示：改進(jìn)抽樣方法：在男生和女生兩個群體中都抽取相應(yīng)的個體.
思考：對男生、女生分別進(jìn)行簡單隨機抽樣，樣本量在男生、女生中應(yīng)如何分配？
答：等額分配；按男生、女生在全體學(xué)生中所占的比例分配.
方案一：等額分配.即：
所以，男生、女生被抽到的概率不一樣.
方案二：按男生、女生在全體學(xué)生中所占的比例分配.
所以，男生、女生中分別應(yīng)抽取的人數(shù)為23人與27人.
任務(wù)2：歸納分層隨機抽樣的概念，梳理抽樣步驟.
說一說：嘗試總結(jié)分層隨機抽樣的概念、特點與適用范圍.
答：概念：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進(jìn)行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.在分層隨機抽樣中，每一個子總體稱為層.如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.
特點：總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分成若干互不交叉的層（子總體）；每層都抽樣，且按比例抽樣；等可能抽樣，每個個體被抽到的概率都相等.
適用范圍：總體規(guī)模和樣本量都較大，總體是由差異明顯的幾部分組成的情況.
說一說：你能說說具體的抽樣步驟嗎？
合作探究：1.小組內(nèi)交流討論；2.在小組內(nèi)交流分享；3.以小組為單位進(jìn)行匯報；4.師小結(jié).
任務(wù)3：探究匯總的樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的關(guān)系.
說一說：嘗試計算樣本平均數(shù)、總體平均數(shù)以及它們關(guān)系.
合作探究：1.小組內(nèi)交流討論；2.在小組內(nèi)交流分享；3.以小組為單位進(jìn)行匯報；4.師小結(jié).
在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為層，第層和第層包含的個體數(shù)分別為和，抽取的樣本量分別和. 我們用表示第層各個個體的變量值，用表示第層樣本的各個個體的變量值；用表示第層各個個體的變量值，用表示第層樣本的各個個體的變量值，則第層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為 .第層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為 .總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為
由于用第層的樣本平均數(shù)可以估計第層的總體平均數(shù)，用第層的樣本平均樣本平均數(shù)可以估計第層的總體平均數(shù)，因此我們可以用估計總體平均數(shù).在比例分配的分層隨機抽樣中， .可得 .在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù).
任務(wù)4 探究不同抽樣方法估計總體的效果.
探究：若分別用簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣的方法，從高一年級學(xué)生身高的所有數(shù)據(jù)中抽取了50和100的樣本各10個，分別計算出樣本平均數(shù)，并繪制10次樣本平均數(shù)的散點圖，從多次抽取所得的結(jié)果中你有什么發(fā)現(xiàn)？
合作探究：1.以小組為單位進(jìn)行繪制；2.小組內(nèi)交流、討論、分享；3.以小組為單位進(jìn)行匯報.
答：如圖所示.
總結(jié)：第一，分層隨機抽樣的估計效果并不是每一次都優(yōu)于簡單隨機抽樣，而是從整體上或者從多數(shù)意義上優(yōu)于簡單隨機抽樣.第二，相對而言，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻，簡單隨機抽樣的樣本平均數(shù)偏離總體平均數(shù)的幅度比較大，例如第10個，即出現(xiàn)了比較“極端”的樣本，而分層隨機抽樣幾乎沒有出現(xiàn).第三，分層隨機抽樣的結(jié)果并不是每一次都優(yōu)于簡單隨機抽樣．例如，分層隨機抽樣的第7次抽樣結(jié)果就沒有簡單隨機抽樣的第7次抽樣結(jié)果的估計效果好.
設(shè)計意圖：通過四個任務(wù)，對新知進(jìn)行探究，從規(guī)避“極端”樣本的原因出發(fā)，層層深入，挖掘原因，總結(jié)改進(jìn)方法，探究分層隨機抽樣方法.接著概括概念、特點與適用范圍，自然形成抽樣步驟的框架，讓學(xué)生真實發(fā)生，自然引出新知識，新方法.問題啟發(fā)，思考新方法的不足，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生理解與掌握新知.
（三）應(yīng)用舉例
例1 在樹人中學(xué)高一年級的712名學(xué)生身高的調(diào)查中，男生有326名、女生有386名，若要抽取50名學(xué)生的身高作為樣本（如下表格），如何運用樣本估計高一年級學(xué)生的平均身高.
50名學(xué)生的身高樣本數(shù)據(jù)（單位：cm）
思考：可以用不同的方法來解決這個問題嗎？
答：方法一：運用所有樣本數(shù)據(jù)直接計算平均數(shù).運用所有樣本數(shù)據(jù)直接計算平均數(shù)，估計高一年級學(xué)生的平均身高.計算得出，男生、女生身高的樣本平均數(shù)分別為170.6人、160.6人.因此高一年級學(xué)生的平均身高在165.2cm左右.
方法二：運用樣本中男、女身高的平均數(shù)和樣本量計算總樣本平均數(shù).估計高一年級學(xué)生的平均身高：.因此高一年級學(xué)生的平均身高在165.2cm左右.
方法三：運用總體中男、女身高的平均數(shù)和各子總體的人數(shù)計算總體平均數(shù). 估計高一年級學(xué)生的平均身高：.因此高一年級學(xué)生的平均身高在165.2cm左右.
例2 為了解我國15歲女孩的平均身高，從北方抽取了300個女孩，平均身高為1.60 m；從南方抽取了200個女孩，平均身高為1.50 m．由此可估計我國15歲女孩的平均身高為 (　 　).
答：由題意得我國15歲女孩的平均身高為＝1.56 m.
例3 某幼兒園有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對幼兒園改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，請利用分層隨機抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．
答：抽樣過程如下：
第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為
第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取(人)；從教師中抽取(人)；從后勤人員中抽取(人)．
第三步，采用簡單隨機抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師人員14人，后勤人員4人．
第四步，把抽取的個體組合在一起構(gòu)成所需樣本．
設(shè)計意圖：通過例題具體數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生采用多種方法估計高一年級全體學(xué)生的平均身高，通過一題多解，總結(jié)用樣本來估計總體的計算方法.
（四）課堂練習(xí)
1.簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣的共同點是( ).
A. 都是從總體中逐個抽取 B. 都包含抽簽法和隨機數(shù)法
C. 抽樣過程中每個個體被抽取的機會相同 D. 都是將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取
解：兩種抽樣方法的共同點就是抽樣過程中每個個體被抽取的機會相同．
故選C．
2.從一個容量為的總體中抽取容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣兩種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為，，則 ( ).
A. B.
C. ，的大小不確定 D.
解：根據(jù)簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣的定義可知，對于兩種抽樣方法，總體中每個個體被抽中的概率均相等，概率為，即
故答案為．
3.某學(xué)校高一年級學(xué)生中對數(shù)學(xué)非常喜歡、比較喜歡和一般喜歡的人數(shù)分別為、、，為了了解數(shù)學(xué)興趣對數(shù)學(xué)成績的影響，現(xiàn)通過分層抽樣的方法抽取容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中非常喜歡的有人，則的值是( ).
A. B. C. D.
解：根據(jù)分層抽樣原理知，，
解得．
故選：．
4.某企業(yè)共有 名職工，其中青、中、老年職工的比例為：：若從所有職工中抽取一個容量為的樣本，則采用哪種抽樣方法更合理？青、中、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？每人被抽取的可能性相同嗎？
解：因為總體由差異明顯的三部分青、中、老年組成，所以采用分層抽樣的方法更合理．
由樣本容量為，總體容量為可知，抽樣比是，所以每人被抽到的可能性相同，均為．因為青、中、老年職工的比例是：：，所以應(yīng)分別抽取：
青年職工人；
中年職工人；
老年職工人．
設(shè)計意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固分層隨機抽樣相關(guān)知識，能夠靈活運用.
（五）總結(jié)歸納
回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問題：
思考題：除了隨機抽樣，是否還有其他獲取數(shù)據(jù)的方法
師生活動：學(xué)生回答上述問題，其他學(xué)生進(jìn)行點評補充．思考題留作課下探討.
設(shè)計意圖：通過對之前知識的梳理，提高學(xué)生總結(jié)概括能力，明確這節(jié)課要突破和學(xué)習(xí)的重點知識內(nèi)容.

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