資源簡介

第八章 立體幾何初步
8.6.3平面與平面垂直
第1課時 平面與平面垂直的判定
1.通過實例讓學生直觀感知“二面角”概念的形成過程．
2.類比已學知識，歸納“二面角”的度量方法及兩個平面垂直的判定定理．
3.通過揭示概念的形成、發展和應用過程，使學生理會教學存在于觀實生活周圍，從中激發學生積極思維，培養學生的觀察、分析、解決問題能力．
重點：兩平面垂直的判定定理．
難點：兩平面垂直的判定定理的應用．
（一）創設情境
觀看視頻
想一想：如何從數學的觀點認識這些現象？為此，我們需要研究兩個平面所成的角.
師生活動：教師展示生活中給我們平面與平面成角的實例，引導學生思考如何將其數學化，用數學的語言表示.
設計意圖：通過實際的問題背景，讓學生感知研究兩個平面所成的角的必要性，為講解新知鋪墊．
（二）探究新知
任務1：探究兩個平面所形成的角.
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
提示1.直線上一點將直線分割成兩部分，每一部分叫什么？平面上的一條直線將平面分割成兩部分，每一部分叫什么名稱？
2.在平面幾何中，我們把“從一點出發的兩條射線所組成的圖形叫做角”，你認為二面角如何定義呢？
引入二面角的概念．
一個平面內的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為半平面．當其中一個半平面繞著這條直線旋轉時，兩個半平面就形成了一定的“角度”．
從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．如圖，以直線AB為棱、半平面，為面的二面角，記作二面角．有時為了方便，也可以在，內（棱以外的半平面部分）分別取點，，將這個二面角記作二面角．如果棱記作，那么這個二面角記作二面角，．
師生活動：教師引導學生結合之前所學，層層遞進，逐步探索，體會數學結論的發現過程，學生根據問題進行直觀感知，并逐步探索，認真思考，畫出相應圖形，進行觀察、感知、猜想. 直觀感知→操作確認→邏輯證明→形成經驗，要求用語言描述發現的結論.
設計意圖：通過對現象的直觀感受，并嘗試用數學的語言描述這個世界，能夠讓學生感受探究知識的過程，以及得到研究問題的一般方法.
任務2：探究二面角的大小.
常生活中，我們常說：“把門開大一些”是指哪個角大一些？你認為應該怎樣刻畫二面角的大小呢？
通過觀察可以得到，隨著門開口的增大，在逐漸的增大，當二面角確定時，也隨之確定．
在二面角的棱上任取一點，以點垂足，在半平面，內分別作垂直于棱的射線，，則射線，構成的叫做二面角的平面角．
追問：的大小與點在直線上的位置有關嗎？為什么？
答案：如圖，是二面角的平面角，在l上任取異于的點，分別作A′O′和B′O′與l垂直．
∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′．
又∠AOB與∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′．
故二面角的平面角的大小，與棱上點的選擇無關．
思考：二面角的棱與其平面角所在平面之間是什么關系？
答案：如圖，∠AOB是二面角的平面角，
∴AO⊥l，BO⊥l，
又AO∩BO=O，AO ，BO ，
∴l⊥平面ABO．
思考：二面角的平面角的取值范圍是多少？
答案：二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．我們約定，二面角的大小范圍是．
當平面角為時，兩半平面重合；當平面角為時，兩半平面共面，組成整個平面．
任務3：探究平面與平面垂直的定義.
請你舉出生活中面面垂直的例子，并嘗試給出平面與平面垂直的定義.
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報
例如墻角：教室的墻面與地面構成二面角，二面角的面：墻面和地面；二面角的棱：墻面與地面的交線；二面角的平面角：如圖，；的度數：．
一般地，兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．平面與垂直，記作⊥．
注意：畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成互相垂直的．
設計意圖：結合實際場景，引出二面角的概念，并進一步討論二面角的平面角及其取值范圍，并用二面角的平面角定義兩個平面互相垂直．
探究：除了根據定義外，還有其他方法判斷兩個平面互相垂直嗎？
小組討論：
1.先獨立思考,再以小組討論分享各自的方法；
2.以小組形式匯報展示,其他小組認證傾聽之后進行點評.
建筑工人在砌墻時，常用鉛錘來檢測所砌的墻面與地面是否垂直．如果系有鉛錘的細線緊貼墻面，工人師傅就認為墻面垂直于地面，否則他就認為墻面不垂直于地面，這種方法說明了什么道理？
答案：這種方法告訴我們，如果墻面經過地面的垂線，那么墻面與地面垂直．
類似的結論也可以在長方體中發現，如上圖，在長方體中，平面經過平面的一條垂線，此時，平面垂直于平面．
由此，我們就得到了：
兩個平面互相垂直的判定定理：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．
符號語言：若，則．
這個定理說明，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直．
思考：你能解釋為什么教室的門轉到任何位置時，門所在的平面都與地面垂直嗎？
答案：不管門如何旋轉，門所在的平面始終經過地面的垂線(門軸所在的直線)，由面面垂直的判定定理可得，門所在的平面始終與底面垂直．
設計意圖：通過觀察生活實例及常見的長方體，讓學生理解兩個平面互相垂直的判定定理，并用其解釋生活中的現象，加深理解．
（三）應用舉例
例1 如圖，在正方體中，求證：平面平面．
分析：證明面面垂直的突破口是什么？把面面垂直轉化為線面垂直
證明：∵ABCD A′B′C′D′是正方形，
∴AA′⊥平面ABCD，
∴AA′⊥BD．
又BD⊥AC，且AC∩AA′=A，
∴BD⊥平面ACC′A′．
∴平面A′BD⊥平面ACC′A′ ．
【總結】
證明面面垂直
方法：定義法；面面垂直判定定理
步驟： 找線線垂直 再證線面垂 最后證面面垂直
例2 如圖，是⊙的直徑，垂直于⊙所在的平面，是圓周上不同于，的任意一點．求證：平面平面．
分析：證明面面垂直找哪條直線垂直于平面？垂直于平面
證明：∵平面，平面，∴．
∵點是圓周上不同于，的任意一點，是⊙的直徑，
∴，即．
又 ，平面，平面，
∴平面．
又平面，
∴平面平面．
總結：證明平面與平面垂直的兩種常用方法
(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：
①找出兩相交平面的平面角；②證明這個平面角是直角；③根據定義，這兩個相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直．即在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是：
①定思路：分析題意，根據題目條件選擇證明哪個平面的垂線；
②證線面：選擇恰當的方法證明線面垂直；
③證面面：根據面面垂直的判定定理證明．
設計意圖：通過例題，考查學生對兩個平面互相垂直的判定定理的應用，加深對知識的理解．
例3 已知正三棱錐的高為，側棱長為，那么側面與底面所成的二面角的余弦值是
解：方法一：如圖，正三棱錐的頂點在底面上的射影為，連接，取的中點，連接，，則，，所以為側面與底面所成的角因為平面，所以，，又，，所以，所以，所以，即側面與底面所成的二面角的余弦值是．
方法二：因為正三棱錐V ABC的三個側面在底面上的射影完全相同，都是底面正三角形面積的，由方法一知，，又，，所以，所以，所以，即，射影面積為，側面面積為，由，即側面與底面所成的二面角的余弦值是．
【總結】
求二面角的大小
求法：定義法
步驟：
作：作出二面角的平面角
證：證明所作的角滿足定義
求：放在三角形中計算求出角的大小
關于二面角的一個結論：
設二面角的大小為，是內任一平面圖形的面積，它再平面內的射影的面積為，則
（四）課堂練習
1.已知直線、，平面、，給出下列命題：
若，，且，則 若，，且，則
若，，且，則 若，，且，則
其中正確的命題是( )
A. B. C. D.
解：若 ，且，可得出或，又，故可得到，故正確；
若，，且，兩個面平行于同一直線時，兩平面有可能相交，故錯誤；
若且，可得出或，又，故不能得出，故錯誤；
若且，可得出，又，故得出，故錯誤．
其中正確的命題是．
故選D．
2.正方形中，邊長為為正方形中心，為的中點，為中點，將沿著對角線緩慢折起，當的余弦值為時，二面角的余弦值為( )
A. B. C. D.
解：由已知可得，
， ， ，
所以， ， 均為直角三角形， 即為二面角 的平面角．
又 分別是 的中點，
所以， ， ，
且 ，
所以， ， ， ．
由 可得， ．
同理可得， ．
所以，
，
所以， ．
故選：．
3.已知二面角的大小為，且平面，的面積為，則的面積為( )
A. B. C. D.
解：如圖，過點作于，連接，
因平面，又平面，則，
而，平面，于是得平面，
顯然，平面，從而有，
因此，是二面角的平面角，即，
在中，，則有，
所以，
所以的面積是．
故選：．
4.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，為的中點．
求證：平面平面；
求二面角的平面角的正弦值．
解：由題意，因為四邊形 為菱形，所以 ．
連接．
因為 ，
所以 為等邊三角形，從而 ．
在 中， 是 的中點，
所以 ．
因為 平面 ， 平面 ，
所以 ．
， 面 ， 平面 ， 面 ，
平面 ．
又 平面 ，
平面平面
由題意及得，
在平面 中，過點 作 ，垂足為 ，連接 ．
因為 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ，
從而 是二面角 的平面角．
在 中， ， ，
所以 在 中， ， ，
所以 ．
在 中，
，
所以二面角 的平面角的正弦值為 ．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固平面與平面垂直的判定定理，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
【課堂小結】回顧本節課的內容，你都學到了什么？
1.如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．
2.判定兩個平面垂直的方法：①利用定義，證明二面角為直角；②利用判定定理．
設計意圖：讓學生回顧本節課知識點，建立知識與知識之間的聯系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認識.第八章 立體幾何初步
8.6.3平面與平面垂直
第2課時 平面與平面垂直的性質
1.理解并掌握平面與平面垂直的性質定理；并能用文字、符號和圖形語言描述定理，并能運用其證明有關的垂直問題．
2.在發現、推導和應用平面與平面垂直的性質定理的過程中，發展學生的數學抽象素養、邏輯推理素養和直觀想象素養．
重點：平面與平面垂直的性質定理．
難點：平面與平面垂直的判定定理和性質定理的綜合應用．
（一）創設情境
觀看視頻
想一想：平面與平面垂直時會得到哪些結論呢？
師生活動：教師展示生活中給我們平面與平面垂直的實例. 之后提出問題，引導學生探究面面垂直時能得到哪些結論，用數學的語言表示.
設計意圖：通過直觀觀察，操作確認得出面面垂直的位置關系及其性質. 結合身邊的事物引出數學知識，學生會感到親切、生動、真實、易于接受. 同時，能使他們體會到生活中處處有數學，數學就在我們身邊，我們生活在充滿數學信息的現實世界中. 能促進學生會用數學的眼光去觀察和認識周圍的事物，有效的促進知識的遷移.
（二）探究新知
任務1：探究平面與平面垂直的性質.
思考：如下圖，設，．則內任意一條直線與有什么位置關系？
相應地，與有什么位置關系？為什么？當時，如圖，直線與有什么位置關系？為什么？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：顯然，與平行或相交．當時，；當與相交時，與也相交．
當時，如上（右）圖，設與的交點為，過點在內作直線，則直線，所成的角就是二面角的平面角，由知，．又因為，和是內的兩條相交直線，所以．
由此我們得到平面與平面垂直的性質定理：
兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．
符號語言：若，則．
注意：運用定理時三個條件缺一不可：①“面面垂直”，；②“線在面內”，；③“線線垂直”，.
作用：此定理揭示了由“面面垂直”可以推出“線線垂直”．這個性質定理可以用于解決現實生活中的問題．例如：裝修房子時，要在墻壁上畫出與地面垂直的線段，只需在墻面上畫出地面與墻面的交線的垂線即可．
我們知道，可以通過“線線垂直”判定“線面垂直”；可以通過“線面垂直的定義”得到“線線垂直”；可以通過“線面垂直”判定“面面垂直”；同時“面面垂直的性質”得到“線面垂直”．這種直線、平面之間的位置關系的相互轉化，是解決空間圖形問題的一種重要的思想方法．
師生活動：教師引導學生結合之前所學，層層遞進，逐步探索，體會數學結論的發現過程，學生根據問題進行直觀感知，并逐步探索，認真思考，畫出相應圖形，進行觀察、感知、猜想. 直觀感知→操作確認→邏輯證明→形成經驗，要求用語言描述發現的結論.
設計意圖：通過問題引導學生感知在兩個相互垂直的平面中，有哪些特殊的直線、平面的位置關系．然后通過操作，確認兩個平面垂直的性質定理的合理性，進而提出猜想，最后進行邏輯推理，證明性質定理成立．這個過程采用的思路仍然是“直觀感知、操作確認、推理證明”，這是符合學生學習立體幾何知識，培養空間觀念、直觀想象素養以及邏輯推理能力的基本規律的．
說一說：已知兩個平面垂直，下列命題錯誤的有 .
①一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線；
②一個平面內的任意一條直線必垂直于另一個平面的無數條直線；
③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面；
④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．
答：①③④，理由如下：
一個平面內只有垂直于交線的直線和另一平面垂直，才和另一個平面內的任意一條直線垂直，故①③錯誤；因為另一個平面內有無數條平行直線垂直于該平面，都與該直線垂直，故②正確；過一個平面內任意一點作交線的垂線，若點在交線上時，作交線的垂線，則垂線不一定在平面內，此垂線不一定垂直于另一個平面，故④錯誤．
任務2：探究平面與平面垂直的相關結論.
思考：如圖，設平面，點在平面內，過點作平面的垂線，直線與平面具有什么位置關系？
答案：如圖，設，過點在平面內作直線．
∴根據平面與平面垂直的性質定理，．
∵過一點有且只有一條直線與平面垂直，
∴直線，重合，因此，即．
結論：如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內．
思考：兩個平面互相垂直的性質告訴我們，可以在一個平面內作另一個平面的垂線．如果直線不在兩個平面內，如圖，已知平面，直線，，直線與平面是什么位置關系呢？
答案：在內作垂直于與交線的直線．
∵，
∴．
又，
∴．
又，
∴．
即直線與平面平行．
結論：如果一條直線垂直于兩個互相垂直的平面中的一個，則這條直線要么在另一平面內，要么與另一平面平行．
（三）應用舉例
例1 如圖，已知平面，平面平面，求證：平面．
分析：題目給出面面垂直能給我們提供什么條件？
找兩個平面的交線，作垂直出線面垂直
證明：如圖，過點作．
∵平面平面，平面平面，
∴．
∵,
∴．
∵平面，,
∴．
又，
∴平面．
例2 如圖，為正三角形，平面，∥，且，是的中點，求證：
（1）；
（2）平面平面；
（3）平面平面．
提示：證明線段相等的方法有哪些？
證明：（1）取的中點，連接，，
則∥，且．
因為∥，，
所以∥，．
所以四邊形是平行四邊形．
所以∥．
因為平面，
所以．
又，，所以平面．
所以平面．
又平面，
所以，
又是的中點，所以△是等腰三角形，即．
總結：證明線段相等的方法：
①等腰三角形②垂直平分線的性質③全等
（2）由（1）知，平面．
因為平面，
所以平面平面，
即平面平面．
（3）由（1）知，平面．
又平面，
所以平面平面．
總結：證明面面垂直
方法：定義法；面面垂直判定定理
步驟：①找線線垂直②再證線面垂③最后證面面垂直
設計意圖：通過例題，考查學生對兩個平面互相垂直的判定定理和性質定理的綜合應用，加深對知識的理解．
例3 如圖，在多面體ABCDEF 中，四邊形ABCD 是菱形，AC,BD 相交于點O，EF//AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面 ABCD，點G 為BC 的中點.
(1)求證：直線OG// 平面EFCD (2)求證：直線AC⊥平面ODE .
證明：（1）
∵四邊形ABCD 是菱形，AC ∩ BD = O
∴點O是BD的中點
∵點G為BC的中點，∴OG//CD
又∵OG平面EFCD，CD 平面EFCO
∴直線OG//平面EFCD .
提示：證明線面垂直的突破口是什么？找到線線垂直
（2）∵BF=CF，G 為BC 中點∴FG⊥BC
∵平面BCF⊥平面ABCD 平面BCF ∩平面 ABCD=BC
FG平面BCF，FG⊥BC
∴FG⊥平面ABCD
∵ AC平面ABCD，∴FG⊥ AC
∥,,∥,
∴ OG//EF，OG=EF
∴四邊形EFGO 為平行四邊形，∴FG//EO
∵ FG⊥AC，FG//EO，∴AC⊥EO
∵四邊形ABCD 是菱形，∴AC⊥DO
∵ AC⊥EO AC⊥DO EO∩DO=O，EO,DO 在平面ODE 內
∴AC⊥平面ODE .
（四）課堂練習
1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“”，錯誤的畫“”
如果平面平面，那么平面內所有直線都垂直于平面( )
如果平面平面，那么平面內一定存在直線平行于平面( )
如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面( )
解：
根據面面垂直的性質定理，如果兩個面相互垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面所以，平面與平面垂直，平面內不是所有直線都垂直于平面，故該括號內畫；
當平面內的直線與交線平行時，該直線平行于平面．
所以，平面與平面垂直，平面內一定存在直線平行于平面，故該括號內畫
由線面垂直證明面面垂直知，“如果一條直線垂直于另一平面，那么這條直線所在平面垂直于另一平面 反推，如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面是正確的，故該括號內畫 .
2.點是直角斜邊上一動點，將直角沿著翻折，使與構成直二面角，則翻折后的最小值是 ．
解：如圖，過點作于，連結，，
設，
則有，， ，
在中，由余弦定理得：

，
在中，由勾股定理得：
，
當 時，取得最小值．
故答案為：．
3.如圖，已知平面四邊形是矩形，，，將四邊形沿翻折，使平面平面，再將沿著對角線翻折，得到，設頂點在平面上的投影為．

如圖，當時，若點在上，且，，證明：平面，并求的長度．
如圖，當時，若點恰好落在的內部不包括邊界，求二面角的余弦值的取值范圍．
解：點在平面上的投影為且點在上，
點恰好落在邊上，
平面平面，
又，平面平面，平面，
平面，又平面，
，
又，，平面，平面，
平面，平面，
設，，則，
，
，
，
在中，，解得，
．
作，交于，交于，如圖：

當點恰好落在的內部不包括邊界時，點恰好在線段上，
又，，
為二面角的平面角，
當時，由，可得，且，，
故二面角的余弦值的取值范圍為
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固平面與平面垂直的性質定理，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：讓學生回顧本節課知識點，建立知識與知識之間的聯系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認識.

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