資源簡介

第八章 立體幾何初步
8.6.2直線與平面垂直
第1課時 直線與平面垂直的判定
1.學生通過實例直觀感知、探作確認，抽象、歸納出直線與平面垂直的定義；知道點到平面的距腐，直線和平面所成的角的概念，會在具體情境中找出并表示.
2.學生能通過直觀感知、操作確認發現直線與平面垂查的判定定理，能在直線與平面垂直的情境中利用定義與判定定理證明直線與平面垂直，能結合直線與平面垂直的判定定理和直線與平面所成角的概念在具體情境中求直線和平面所成的角.
3.學生能理解證明直線與平面內的所有直線垂直，只需證明該直線與這個平面內的兩條相交直線垂直即可，了解其中兩條相交直線在確定平面中的作用；知道求直線與平面所成的角可轉化為求兩條特殊直線所成的角等；能認識到 “直線與平面垂直的判定，與 “直線與平面平行的判定〞在知識結構、學習方法等方面的邏輯一致性，體會研究空間位置關系的判定的一般恩路和方法.
重點：直線與平面垂直定義的抽象與歸納，以及直線與平面垂直判定定理的發現與驗證．
難點：發現并驗證直線與平面垂直的判定定理．
（一）創設情境
觀看視頻，你能舉例出生活中可以抽象成直線與平面垂直的例子嗎？(學生舉例)
想一想：直線與平面垂直是如何定義的呢？能否把直觀的形象數學化？用確切的數學語言刻畫直線與平面垂直？
師生活動：教師展示生活中給我們以直線與平面垂直的實例，讓學生也例舉生活中的實例.之后提出問題，引導學生思考如何將其數學化，用數學的語言表示.
設計意圖：通過生活中線面垂直的實例，給學生以線面垂直的直觀印象，為后面的學習作鋪墊．
（二）探究新知
任務1：探究直線與平面垂直的定義
思考：在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子．隨著時間的變化，影子的位置在不斷地變化，旗桿所在直線與其影子所在直線是否保持垂直？旗桿所在直線是否與平面內所有直線垂直？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報
答：事實上，隨著時間的變化，盡管影子的位置在不斷地變化，但是旗桿所在直線始終與影子所在直線垂直．也就是說，旗桿所在直線與地面上任意一條過點的直線垂直．對于地面上不過點的任意一條直線，總能在地面上找到過點的一條直線與之平行，根據異面直線垂直的定義，可知旗桿所在直線與直線也垂直．因此，旗桿所在直線與地面上任意一條直線都垂直．
說一說：如何定義一條直線與平面垂直呢？
答：一般地，如果直線與平面內的任何一條直線都垂直，那么稱直線與平面互相垂直．記作⊥．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點叫做垂足．
師生活動：教師提出問題，（可以借助信息技術呈現旗桿影子隨時間變化的位置變化），學生容易得出旗桿所在直線與其影子所在直線保持垂直，這也就說明旗桿所再直線和地面所在平面內的無數條直線垂直.對于直線AB與地面上所有直線都垂直，需要將其中的“所有直線”轉化為“任意直線”，教師可以引導學生結合頭腦中已有的“任意一個數”“任意一個人”等來理解其中“任意”與“所有”的關系.由于對于地面上的任意一條直線，總能找到旗桿的一個影子與之平行，從而其與旗桿所在直線垂直.這樣就可以歸納出直線與平面垂直的定義.
思考：如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？
答：不一定.
設計意圖：開門見山引入如何用數學語言刻畫生活中的直線與平面垂直的問題，既激發學生的學習興趣，又引導學生通過觀察、對比與思考，把直觀、模糊的感知抽象化、確切化.接下來“順勢引導”，引導學生抽象概括出直線與平面垂直的定義.再通過正反兩方面情況的辨析，讓學生直觀感知直線與平面垂直時，“任意”不能改為“無數”，即便直線與平面內無數條直線垂直，但只要平面內存在一條直線與之不垂直，就不能說直線與平面垂直，從而加深對直線與平面垂直的定義的理解.
說一說：你能舉出生活中可以抽象成直線與平面相交但不垂直的例子嗎？
師生活動：讓學生舉出不垂直的例子.
設計意圖：加深對直線與平面垂直定義的理解.
任務2：探究直線與平面垂直的相關結論.
思考：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．將這一結論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？
師生活動：教師提出問題，師生共同討論，直觀感知和操作確認“過一點垂直與已知平面的直線有且只有一條”進而給出垂線段、點到平面的距離的概念.順勢介紹在棱錐的體積公式中，棱錐的高就是棱錐的頂點到底面的距離.
設計意圖：類比平面幾何有關性質，結合直線與平面垂直的定義，給出空間類似的性質，既呼應前面棱錐的高的概念，也為后面“平面與平面垂直的性質”定理后的“探究”做必要的鋪墊.
任務3:探究直線與平面垂直的判定.
思考：根據定義，判斷直線與平面垂直，需要驗證一條直線與一個平面內的所有直線都垂直．類比平面與平面平行的判定定理，有沒有判定直線與平面垂直的簡單、易行的方法？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
提示：1.如果一條直線和一個平面內的一條直線垂直，此直線是否和平面垂直？
2.如果一條直線和一個平面內的兩條直線垂直，此直線是否和平面垂直？
師生活動：教師提出問題，引發學生思考，并類比與直線與平面平行的判定，直接去找平面的直線，給出一條，給出兩條，逐一探究，借助長方體，得出最簡單易行的辦法，并引導學生進行如下探究.
探究：如圖，準備一塊三角形的紙片，過△的頂點翻折紙片，得到折痕，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（，與桌面接觸）．
（1）折痕與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕與桌面垂直？為什么？
合作探究：
1.先獨立思考，動手操作，再小組內討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間2分鐘.
答：不一定；
容易發現，所在直線與桌面所在平面垂直的充要條件是折痕是邊上的高，這時，由于翻折之后垂直關系不變，所以直線與平面內的兩條相交直線，都垂直．
由此，我們可以得出直線與平面垂直的判定定理：
如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與平面垂直．
符號語言：若，，，，，則．
注意：此定理共三個條件，在應用時缺一不可，即：①兩線面內，“，”；②線線垂直，“，”；③兩線相交，“” ．口訣：一垂，二垂，三相交.
作用：在空間中，常用此定理來由“線線垂直”來證明“線面垂直”．
思考：你能結合向量知識解釋直線與平面垂直的判定定理嗎？
答：如圖：兩相交直線，確定平面，，
結合平面向量基本定理可知，平面內的任意一個向量可以由兩相交直線，的方向向量，線性表示，
可得直線垂直于平面內任意一個向量，
進而垂直于平面內任意一條直線，
由直線與平面垂直的定義可得．
師生活動：教師引導學生從基本事實的推論2和平面向量基本定理出發，思考兩條相交直線可以確定一個平面，并且這兩條相交直線可以表示這個平面內的所有直線，因此，一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直時，這條直線就垂直于這個平面，從而對直線和平面垂直的判定定理進一步作出解釋.
思考：兩條相交直線可以確定一個平面，兩條平行直線也可以確定一個平面，那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎？你能從向量的角度解釋原因嗎？如果改為“無數條直線”呢？
師生活動：教師提出問題，引導學生進行探究，可以舉出反例說明，也可以結合平面向量基本定理說明.
設計意圖：引導學生有條理地進行探究.通過實踐操作，提出直線和平面垂直的判定定理的猜想.按照課標要求，這一定理在本章不要求證明，二十在選擇性必修課程“空間向量于立體幾何”中進行證明.但在此處，可以結合實踐操作舉出反例，以及通過平面向量基本定理基本定理對此判定定理的正確性進行說明.為此，可以在學生探索出判定定理的猜想后，通過追問，提出對此定理進一步解釋的問題，以使學生確認此定理的正確性.結合判定定理的得出過程，可以讓學生進一步體會直線于平面垂直向直線于直線垂直轉化，體會直觀感知、操作確認、思辨論證的研究立體幾何的一般過程，發展直觀想象素養.
任務4：探究直線與平面所成的角.
探究：請你嘗試給出直線與平面所成角的定義.
一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫作這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．
師生活動：教師提出問題，給出斜線的概念.引導學生利用發現，斜線于平面相交的位置關系的不同在于他們對于平面的“傾斜程度不同”.進而給出直線于平面所成角的概念，并用它來刻畫斜線和平面的位置關系.
設計意圖：引出直線與平面所成的角的概念，同時建立平面的一條斜線在平面上的射影的概念．
追問：直線與平面所成角的取值范圍是多少？
答：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是．直線與平面所成的角的取值范圍是．
思考：如圖，是平面內一條不與直線重合的直線，那么直線與直線所成的角和直線與這個平面所成的角的大小關系是什么？
答：解：作于點，連接．
∵是平面的垂線，∴．
又，∴平面．∴．
于是，，．
顯然，，所以．
而，都是銳角，所以．
結論：直線與平面相交時(不包含垂直)，直線與平面所成的角，是直線與平面內經過斜足的直線所成角中最小的角．
（三）應用舉例
例1 求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.
追問1：你能根據條件于結論畫出示意圖，寫出已知、求證嗎？
答：已知
求證：．
追問2：結合所畫的圖形，你認為證明此問題的思路是什么？
證明：在平面內取兩條相交直線．
∵直線
∵,
又是兩條相交直線，
∴.
師生活動：教師要求學生寫出已知、求證，并與學生共同分析證明思路：根據直線與平面垂直的判定定理知，只需證明另一條直線垂直于這個平面內的兩條相交直線即可.在此問題中，需要構造出平面內的兩條相交直線.教師可請一名學生板書，其他學生自己在本上書寫證明過程.學生交流，教師反饋，共同完成證明.
追問3：你還有不同的證明方法嗎？用直線與平面垂直的定義證明這個例題
師生活動：學生嘗試用直線于平面垂直的定義證明這個例題，然后交流.
設計意圖：通過例題，鞏固直線與平面垂直的判定定理，并結合例題讓學生把我判定定理中“兩條相交直線”這一關鍵.通過引導學生從線面垂直的定義出發進行證明的不同證法，讓學生在運用不同方法證明的過程中提高思維的靈活性.在這個過程中使學生認識到證明直線與平面垂直一般有兩種方法.一種方法是利用直線與平面垂直的定義直接證明，一種方法是利用直線與平面垂直的判定定理證明.
例2 如圖所示，所在平面外一點，，點為斜邊的中點，求證：直線平面．
證明：連接，
∵，點為的中點，∴．
在中，∵點為斜邊的中點，∴．
在與中
∴≌（），∴∠∠，
∴，
又，，、都在平面中，
∴平面．
總結：應用判定定理證明線面垂直的步驟
①找：在平面內找到或作出兩條與已知直線垂直的直線；
②證：證明已知直線垂直于找到(作出)的直線；
③結論：由判定定理得出結論．
例3如圖所示，Rt△BMC中，斜邊BM=5，它在平面ABC上的射影AB長為4，MBC＝60°，求MC與平面CAB所成角的正弦值．
解：由題意知，A是M在平面ABC內的射影，
∴MA⊥平面ABC．∴MC在平面CAB內的射影為AC．
∴∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BM·sin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝．
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3．
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝．即MC與平面CAB所成角的正弦值為．
總結：求斜線和平面所成的角的步驟
①尋找過直線上一點與平面垂直的直線；
②由垂足和斜足出射影，確定出所求角；
③把該角放入三角形中計算
例4 如圖在正方體中，求直線和平面所成的角．
分析：關鍵是找出直線在平面上的射影．
解：連接，，與相交于點，連接．
設正方體的棱長為．
∵，，，
∴平面．
∴．
又，
∴平面．
∴為斜線在平面上的射影，為和平面所成的角．
在中，，，
∴，
∴．
∴直線和平面所成的角為．
設計意圖：通過例題，考查學生對直線與平面垂直的判定定理的理解即應用，并會求直線與平面所成的角．
總結：求斜線和平面所成的角的步驟
①尋找過直線上一點與平面垂直的直線；
②證明某平面角就是斜線和平面所成角；
③把該角放入三角形中計算．
例5 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值．
解：取AA1的中點M，連接EM，BM．因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD．又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，
從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角．
設正方體的棱長為2，則EM＝AD＝2，BE＝＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為．
總結：求斜線和平面所成的角的步驟
①作出一點與平面垂直的直線；
②連接垂足和斜足得出射影，確定出所求角；
③把該角放入三角形中計算．
（四）課堂練習
1.過所在平面外一點，作，垂足為，連接，，．
（1）若，則點是的 心．
（2）若，，則點是邊的 點．
（3）若，，，垂足都為，則點是的 心．
解：因為斜線長相等，則根據勾股定理可得射影長相等，故是的外心；
因為斜線長相等，則根據勾股定理可得射影長相等，故是的外心，
再根據直角三角形的外心是斜邊的中點，可得為的中點；
連結、，
由，，，、平面，
得平面，平面，
于是，
又平面，平面，故，
又，，平面，故BC平面，
由平面，可得；
同理可證，故是的垂心．
故答案為外心；中；垂心．
2.如圖，在正方形中，，分別是，的中點，是的中點．若沿，及把這個正方形折成一個四面體使，，三點重合，重合后的點記為，則在四面體中，哪些棱與面互相垂直？
解：因為在折疊過程中，始終有，
即，且、平面，
所以平面．
同理有平面，平面．
3.如圖，是的直徑，點是上的動點，過動點的直線垂直于所在平面，，分別是，的中點．判斷直線與平面的位置關系，并說明理由．
解：直線與平面垂直，
理由如下：是的直徑，
，
又垂直于所在平面，且在所在平面上，
，
又，、平面，
平面，
又、分別是，的中點，
，
平面．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固直線與平面垂直的判定定理，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
【課堂小結】回顧本節課的內容，你都學到了什么？
1.研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉化為相交直線．這是研究空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉化為平面圖形問題，體會了轉化與化歸的思想．
2.類比平面內兩條相交直線所成的角的定義，對空間中兩條異面直線所成的角進行定義，進而得出空間兩條直線所成的角，理解了知識之間的相互聯系．
3.引入異面直線所成的角的概念后，空間中兩條直線垂直又可分為相交垂直、異面垂直．
設計意圖：讓學生回顧本節課知識點，建立知識與知識之間的聯系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認識.第八章 立體幾何初步
8.6.2直線與平面垂直
第2課時 直線與平面垂直的性質
1.通過觀察探究，進行合情推理發現直線與平面平行的性質定理，并能準確地用數學語言表述該定理；能夠對直線與平面平行的性質定理作出嚴密的邏輯論證，并能進行一些簡單的應用．
2.通過直觀感知和操作確認的方法，培養和發展學生的幾何直覺、運用圖形語言進行交流的能力；體會和感受通過自己的觀察、操作等活動進行合情推理發現并獲得數學結論的過程．
3.通過自主學習、主動參與、積極探究的學習過程，激發學生學習數學的自信心和積極性，培養學生良好的思維習慣，滲透化歸與轉化的數學思想，體會事物之間相互轉化和理論聯系實際的辯證唯物主義思想方法．
重點：直線與平面垂直的性質定理．
難點：直線與平面垂直的性質定理的應用．
（一）創設情境
觀看視頻，你能舉例出生活中可以抽象成多條直線與同一平面垂直的例子嗎？(學生舉例)
想一想：這些直線會有什么樣的位置關系呢？
師生活動：教師展示生活中給我們多條直線與同一平面垂直的實例，讓學生也例舉生活中的實例. 之后提出問題，引導學生思考如何將其數學化，用數學的語言表示.
設計意圖：通過直觀觀察，操作確認得出線面垂直的位置關系及其性質. 結合身邊的事物引出數學知識，學生會感到親切、生動、真實、易于接受. 同時，能使他們體會到生活中處處有數學，數學就在我們身邊，我們生活在充滿數學信息的現實世界中. 能促進學生會用數學的眼光去觀察和認識周圍的事物，有效的促進知識的遷移.
（二）探究新知
任務1：探究直線與平面垂直的性質
思考：長方體ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線與底面ABCD是什么關系？四條側棱AA′、BB′、CC′、DD′之間是什么關系？垂直于同一直線的兩條直線平行．此性質能推廣到空間嗎？
小組討論：1.你的猜想是什么？
2.先獨立思考證明你的猜想，再以小組討論分享各自的證明方法.
3.以小組形式匯報展示,其他小組認證傾聽之后進行點評.
師生活動：教師引導學生結合直觀感知，層層遞進，逐步探索，體會數學結論的發現過程，學生根據問題進行直觀感知，進而提出合理猜想，并逐步探索，認真思考，畫出相應圖形，進行觀察、感知、猜想. 直觀感知→操作確認→邏輯證明→形成經驗，要求用語言描述發現的結論，并給出證明，證明方法有多種，在小組中交流分享自己的做法，最后展示匯報.
設計意圖：通過對現象的直觀感受，得出猜想并用嚴謹的邏輯語言證明猜想的正確性，最終得到結論，能夠讓學生感受完成的探究知識的過程，以及得到研究問題的一般方法.
下面我們證明此猜想是否成立．
已知：
求證：∥．
方法一
證明：假設與不平行，且．顯然點不在直線上，
所以點與直線可確定一個平面，在該平面內過點作直線，則直線與是相交于點的兩條不同直線，
所以直線與可確定平面，設，則．
因為所以．
這樣在平面內，經過直線上同一點就有兩條直線，與垂直，顯然不可能．
因此∥．
方法二
證明：如圖已知a⊥α，b⊥α，b∩α=O，若a與b不平行，
∴設點O與直線a確定平面β，在平面β內過點O作直線b′∥a，
則b′⊥α.
這與過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條矛盾．
∴a∥b．
這樣，我們得到了直線與平面垂直的一條性質定理：
直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一平面的兩條直線平行．
符號語言：若，則∥．
作用：此定理揭示了“平行”與“垂直”間的一種聯系，可以用此定理判定兩直線平行.
思考1：在的條件下，如果平面外的直線與直線垂直，你能得到什么結論？
答：∥．
思考2：在的條件下，如果平面與平面平行，又能得到什么結論？
答案：．
思考3：在證明直線與平面垂直的性質定理時，用到了“平面內，過直線上的一點只有一條直線與已知直線垂直”，那么，在空間內，過直線上的任意一點有多少條直線與已知直線垂直？這些直線之間有什么關系？
答：在空間內，過直線上的任意一點有無數條直線與已知直線垂直，這些直線都在同一平面內，且相交于一點．
師生活動：學生展示后，繼續引導學生思考，得到更過垂直與平行之間的聯系.加深對性質定理的理解.
設計意圖：能夠讓學生加深對性質定理的理解，從不同的情況得到垂直與平行的關系.
任務2：前面我們已經學習了點到平面的距離，即從平面外一點作一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離稱為點到平面的距離．那么，直線與平面的距離如何定義呢？
追問：如果一條直線平行于一個平面，那么這條直線上各點到這個平面的距離有什么關系？為什么？
猜想：如果一條直線平行于一個平面，那么這條直線上各點到這個平面的距離均相等．
下面對猜想進行驗證：
探究 已知：直線l與平面α平行．
求證：直線l上各點到平面α的距離相等．
解：過直線上任意兩點，分別作平面的垂線，，垂足分別為，．
∵，，∴∥．
設直線，確定的平面為，則．
∵∥，∴∥．
∴四邊形是平行四邊形．
∴，由，是直線上任取的兩點，即直線上各點到平面的距離相等．
由上述結論，我們可以進一步得出，如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．
師生活動：教師提出問題，師生共同討論，直觀感知和操作確認“如果一條直線平行于一個平面，那么這條直線上各點到這個平面的距離均相等”進而給出兩個平行平面間的距離的概念.
設計意圖：類比平面幾何有關性質，結合直線與平面垂直的性質定理，給出空間類似的性質.
（三）應用舉例
例1 如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為BC的中點，AD⊥平面ABC，D為FG的中點，且AF＝AG，EF＝EG．求證：BC∥FG．
證明：連接DE，AE，因為AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC．
因為AB＝AC，E為BC的中點，所以AE⊥BC，
又AD＝A，所以BC⊥平面ADE．
因為AF＝AG，D為FG的中點，所以AD⊥FG，
同理ED⊥FG，又ED＝D，
所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG．
總結：利用線面垂直的性質證明線線平行的步驟：
①找到這兩條直線垂直的平面；
②證明直線與該平面垂直；
③得出結論．
例2 如圖，平面平面，，垂足分別為，，直線平面， .求證：.
證明：，，.
同理.
，, 平面，
平面.
又，，.
，，, 平面，
平面.
.
總結：利用線面垂直的性質證明線線平行的步驟：
①找到這兩條直線垂直的平面；
②證明直線與該平面垂直；
③得出結論．
例3 在正方體ABCD - A1B1C1D1中，點E，F分別在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1．
證明：如圖所示，連接A1C1，C1D，B1D1，BD．
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1．
又EF⊥A1D，A1D＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D　①．
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1．
∵四邊形A1B1C1D1為正方形，∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1．同理DC1⊥BD1．
又DC1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D　②．
由①②可知EF∥BD1．
設計意圖：讓學生靈活運用直線與平面垂直的性質，順帶著復習上一節課的內容直線與平面垂直的判定，在這里也涉及了一條重要的結論，在正方體中，體對角線和不相交的面對角線形成的平面垂直.
總結：線面垂直的性質定理是證明兩直線平行的重要依據，證明兩直線平行的常用方法：
(1)， ．
(2)，， ．
(3)，，=b ．
(4)， ．
例4 推導棱臺的體積公式：，其中，分別是棱臺的上、下底面面積，是高．
解：如圖，延長棱臺各側棱交于點，得到截得棱臺的棱錐，過點作棱臺的下底面的垂線，分別與棱臺的上、下底面交于點，，則垂直于棱臺的上底面，從而．
設截得棱臺的棱錐的體積為，去掉的棱錐的體積為、高為，則．
于是，．
所以棱臺的體積．①
由棱臺的上、下底面平行，可以證明棱臺的上、下底面相似，并且，
所以．
代入①，得．
設計意圖：通過例題，考查學生對直線與平面垂直的判定定理和性質定理的綜合應用，并在此基礎上推導之前學習過的棱臺的體積公式．
例5 如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，求點到平面的距離.
解：如圖所示，作，交延長線于，
由直四棱柱的特征易知底面，面，
所以，又平面，
故面，因為底面為菱形，，
所以，則，
易知到平面的距離相等，設點到平面的距離為，
則，解之得.
總結：求點面距離的方法：
①直接法：求垂線段長度；
②轉移法：求與平面平行的直線上的某一特殊點到平面的距離；
③體積法：利用換底法求三棱錐的體積找到高對應的點面距離.
（四）課堂練習
1.已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是( )
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
解：若，，則，相交或平行或異面，故A錯誤；
若，，則，故B正確；
若，，則或，故C錯誤；
若，，則或或或與相交，故D錯誤．
故選：．
2.已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列結論中正確的是( )
A. 若，，則
B. 若，，，則
C. 若，，且，，則
D. 若，，則
解：對于，，，則、平行或異面，故A錯誤；
對于，若，，，則，或與相交不一定垂直，故B錯誤；
對于，若，，且，，則、平行或相交，故C錯誤；
對于，若，，則，故D正確．
故本題選D．
3.所在的平面，是的直徑，是上的一點，，分別是點在，上的射影，給出下列結論：
；；；平面
其中正確命題的序號是 ．
解：所在的平面，所在的平面，
，而，，
平面．
又平面，
，故正確；
，，
平面，而平面，
，故正確
，，
平面，而平面，
，故正確
平面，假設平面，
，顯然不成立，故不正確．
故答案為．
4.如圖，在三棱錐中，，，平面，，則點到的距離是 ．
解：如圖所示，作于點，連接．
因為平面，平面，
所以．
因為，平面，平面，
所以平面，
因為平面，
所以．
在中，，，
所以．
在中，，，
所以，
即點到的距離為．
故答案為．
5.已知正三角形的邊長為，是邊上的高，，分別是，的中點，現將三角形沿翻折至的位置，使平面平面，如圖所示．
（1）試判斷翻折后直線與平面的位置關系，并說明理由；
（2）若三棱錐的體積為，求實數的值；
（3）在線段上是否存在一點，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）平面理由如下：
在中，，分別是，的中點，
，
又平面，平面，
平面；
（2）由題意，得，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
取的中點，連接，則，
平面，且，
易得，
三棱錐的體積為，
，解得；
（3）在線段上存在一點，使得，理由如下：
易知三角形為正三角形，過作交于點，連接，過作交于點，連接，則點即所求，
平面，，
平面，
又平面，
，
又，，、平面，
平面，
又平面，
，
因為，，
故，從而．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固直線與平面垂直的判定定理，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
1.垂直于同一平面的兩條直線平行.
2.如果一條直線平行于一個平面，那么這條直線上各點到這個平面的距離均相等.
設計意圖：讓學生回顧本節課知識點，建立知識與知識之間的聯系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認識.

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