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第八章 立體幾何初步
8.6.1直線與直線垂直
1.會(huì)用圖形表示兩條直線異面，理解并掌握異面直線所成角的定義，熟記異面直線所成角的范圍.
2.會(huì)用平移轉(zhuǎn)換法求異面直線所成的角，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力、邏輯推理的能力，學(xué)生初步掌握將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的數(shù)學(xué)思想.
重點(diǎn)：異面直線的判定與異面直線所成的角的概念．
難點(diǎn)：求兩異面直線所成的角．
（一）創(chuàng)設(shè)情境
觀看視頻，你能舉例出生活中可以抽象成異面直線的例子嗎？(學(xué)生舉例)
想一想：如何刻畫兩條直線的位置關(guān)系呢？
師生活動(dòng)：教師展示生活中給我們異面直線的實(shí)例，讓學(xué)生也例舉生活中的實(shí)例. 之后提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將其數(shù)學(xué)化，用數(shù)學(xué)的量來(lái)表示.
設(shè)計(jì)意圖：通過直觀觀察，結(jié)合身邊的事物引出數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生會(huì)感到親切、生動(dòng)、真實(shí)、易于接受. 同時(shí)，能使他們體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，我們生活在充滿數(shù)學(xué)信息的現(xiàn)實(shí)世界中. 能促進(jìn)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和認(rèn)識(shí)周圍的事物，有效的促進(jìn)知識(shí)的遷移.
（二）探究新知
任務(wù)1：請(qǐng)用結(jié)構(gòu)圖梳理空間中兩直線的位置關(guān)系.
合作探究：1.先獨(dú)立梳理結(jié)構(gòu)圖2分鐘
2.小組內(nèi)交流討論補(bǔ)全完善自己的結(jié)構(gòu)圖
3.以小組為單位進(jìn)行展示匯報(bào)
師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并匯報(bào)展示.
設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)之前知識(shí)的梳理，明確這節(jié)課要突破和學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容.
任務(wù)2：探究異面直線所成的角的定義
探究：在正方體ABCD A′B′C′D′中，E為BC的中點(diǎn)，直線A′C′、A′D′、C′E與直線AB的位置關(guān)系分別是什么？直線A′C′、A′D′、C′E相對(duì)于直線AB的位置相同嗎 如果不同，如何表示這種差異呢
要求：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào)
答：觀察圖形，不難判斷：直線、、與直線均異面．
雖然直線、、都與直線異面，但它們各自與直線的相對(duì)位置不同，這說明，僅用“異面”不足以描述異面直線的相對(duì)位置．
我們知道，平面內(nèi)兩條直線相交形成4個(gè)角，其中不大于的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角），它刻畫了一條直線相對(duì)于另一條直線傾斜的程度．類似地，我們也可以用“異面直線所成的角”來(lái)刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系．
說一說：類比兩相交直線所成的角，你能給出異面直線所成角的定義嗎？如何用圖形語(yǔ)言來(lái)表示異面直線所成的角？
如圖，已知兩條異面直線，，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)分別作直線∥，∥，我們把直線與所成的角叫做異面直線與所成的角（或夾角）．
思考：直線，所成角的大小與點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？
答：無(wú)關(guān)，因?yàn)槠揭撇桓淖儍蓷l直線所成的角．因此，求異面直線，所成的角時(shí)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)常取在兩條異面直線中的一條上．例如：取在直線上，然后經(jīng)過點(diǎn)作直線∥，那么直線與所成的角就是異面直線與所成的角．
思考：兩條異面直線與所成角的范圍是多少？異面直線所成的角有哪些特殊的角？空間任意兩條直線，所成的角的范圍是多少？
答：由異面直線的定義可得，異面直線，所成角的范圍是，．.
若兩條異面直線，所成的角為直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．記作：．空間任意兩條直線，的位置關(guān)系有：平行，相交，異面．當(dāng)直線，平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為；當(dāng)直線，相交或異面時(shí)，它們所成的角的范圍均為，．
綜上可得，空間任意兩條直線，所成的角的范圍是，．
設(shè)計(jì)意圖：以長(zhǎng)方體為例，得出異面直線的判定定理，進(jìn)一步探究異面直線所成的角，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
（三）應(yīng)用舉例
例1 如圖，已知正方體．
（1）哪些棱所在的直線與直線垂直？
（2）求直線與所成的角的大小．
（3）求直線與所成的角的大小．
解：（1）棱，，，，，，，所在的直線分別與直線垂直．
思考：空間兩條直線垂直，一定相交嗎？
答：不一定，也可能是異面垂直.
空間中，兩條直線垂直包括：相交垂直（共面），異面垂直，都記作a⊥b．
（2）因?yàn)槭钦襟w，所以，因此為直線與所成的角．又因?yàn)椋灾本€與所成的角等于．
（3）如圖，連接．因?yàn)槭钦襟w，所以，，從而四邊形是平行四邊形，所以．于是為異面直線與所成的角．連接，易知是等邊三角形，所以．從而異面直線與所成的角等于．
【總結(jié)】異面直線所成角
求法：平移法
步驟： 平移作角, 求角
若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；
若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角是所求異面直線所成的角．
例2 如圖（1），在正方體中，為底面的中心．
求證．
提示：如何證明兩條異面直線垂直？要證兩條異面直線垂直即證所成的角為直角.
證明：如圖（2），連接．
∵是正方體，∴．∴四邊形是平行四邊形．
∴．所以直線與所成的角即為直線與所成的角．
連接，，易證．
又為底面的中心，∴為的中點(diǎn)，∴，∴．
例3已知三棱錐中，，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成的角大小為
解：取中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，
所以，，
所以與所成的角的平面角為或其補(bǔ)角，
由，，得，，
又，
則，
所以，
所以與所成的角大小為.
【總結(jié)】求兩條異面直線所成的角的一般步驟：
（1）構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法(常用三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等)作出異面直線所成的角．
（2）證明：證明作出的角就是要求的角．
（3）計(jì)算：求角度，常放在三角形內(nèi)求解．
（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角．
總結(jié)：研究異面直線所成的角，就是通過平移，使得空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題．這種解決問題的思想方法在后面解決問題中很常用．
設(shè)計(jì)意圖：通過例題，熟悉異面直線的相關(guān)解題方法，并體會(huì)將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想．
（四）課堂練習(xí)
1.若空間中四條不同的直線，，，滿足，，，則下面結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. ，既不垂直也不平行 D. ，的位置關(guān)系不確定
解：構(gòu)造如圖所示的正方體，
取為為為，
當(dāng)取為時(shí)，，
當(dāng)取為時(shí)，，故排除，，．
故選D．
2.如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為( )
A. B.
C. D.
解：如圖，連接，，，
，分別是，的中點(diǎn)，
，
又，
或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角，
是等邊三角形，
．
故選： ．
3.直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
解：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，，
則，為異面直線與所成的角或補(bǔ)角．
易求，，，
所以．
故選D．
4.如圖，長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
解：連接 ， ， ，
在長(zhǎng)方體 中，易知 ，
所以 為異面直線 與 所成角或其補(bǔ)角，
又在長(zhǎng)方體 中， ，
所以 ， ，
在 △ 中，由余弦定理得 ．
因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的取值范圍是 ，
所以異面直線 與 所成角的余弦值為 ．
故選：．
5.正四棱錐中，，，為棱，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為 ．
解：設(shè)為線段的中點(diǎn)，故E，
故異面直線，所成角為或其補(bǔ)角，
在中，，
則．
所以異面直線，所成角的余弦值為．
故答案為：．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固異面直線垂直和求異面直線所成角，能夠靈活運(yùn)用.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
1.研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．這是研究空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，體會(huì)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．
2.類比平面內(nèi)兩條相交直線所成的角的定義，對(duì)空間中兩條異面直線所成的角進(jìn)行定義，進(jìn)而得出空間兩條直線所成的角，理解了知識(shí)之間的相互聯(lián)系．
3.引入異面直線所成的角的概念后，空間中兩條直線垂直又可分為相交垂直、異面垂直．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，建立知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，形成自己的知識(shí)體系，加深對(duì)新知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí).

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