資源簡介

微專題01　實(shí)　數(shù)
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　　
1. 實(shí)數(shù)的分類(2023.1)
(1)按定義分
(2)按大小分：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)(既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)是①　　　　；非負(fù)數(shù)包括②　　　　)
(3)正負(fù)數(shù)的意義
用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示一對具有相反意義的量，如規(guī)定“盈(＋)”則“虧(－)”，“上升(＋)”則“下降(－)”等
2. 實(shí)數(shù)的相關(guān)概念(6年5考)
表示方法及三要素：
數(shù)軸 性質(zhì)： ③　　　　與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的
絕對值 ｜a｜＝即｜a｜具有非負(fù)性 注：絕對值最小的實(shí)數(shù)是0 幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的⑤　　　，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的數(shù)的絕對值越⑥　　　
相反數(shù) 非零實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是⑦　　　　；特別地，0的相反數(shù)是0 實(shí)數(shù)a，b互為相反數(shù) a＋b＝⑧　　　 幾何意義：數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個點(diǎn)(除0外)在原點(diǎn)兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等
倒數(shù) 非零實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是⑨　　　.特別地，倒數(shù)是它本身的數(shù)為⑩　　　，0沒有倒數(shù) 實(shí)數(shù)a，b互為倒數(shù) ab＝ 　　　
3. 科學(xué)記數(shù)法(6年4考)
(1)定義：一般地，一個大于10的數(shù)可以表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法
(2)表示方法
①當(dāng)原數(shù)的絕對值≥10時，n為正整數(shù)，它等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；
②當(dāng)0＜原數(shù)的絕對值＜1時，n為負(fù)整數(shù)，｜n｜等于原數(shù)左起第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)(含小數(shù)點(diǎn)前面的零)
4. 近似數(shù)
定義：將一個數(shù)四舍五入后得到的數(shù)；一般地，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位
5. 平方根、算術(shù)平方根與立方根
考查點(diǎn) 定義
平方根 實(shí)數(shù)a(a＞0)的平方根為 　　　，其中 　　　為a的算術(shù)平方根.0的平方根為0
算術(shù)平方根
立方根 實(shí)數(shù)a的立方根為 　　　
6. 實(shí)數(shù)的大小比較(6年2考)
(1)數(shù)軸比較法：數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大
(2)類別比較法：正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小
(3)差值比較法：a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b
(4)平方比較法：a＞ a2＞b(b≥0)
7. 實(shí)數(shù)的運(yùn)算(6年4考)
(1)零次冪：a0＝1(a≠0)
(2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a－p＝(口訣：倒底數(shù)，反指數(shù))
(3)去絕對值符號：｜a－b｜＝
(4)－1的奇偶次冪：(－1)n＝
(5)乘方：an＝
練考點(diǎn)
1. 下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是(　　)
A. －　 B. 0　 C. 　 D. 1
2. 下列是無理數(shù)的是(　　)
A. B. 0.33
C. －1 D.
3. 若零上6 ℃記作＋6 ℃，那么零下4 ℃記作　　　　.
4. 如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)是　　　　.
第4題圖
5. 填空：
－5的相反數(shù)是　　　，絕對值是　 　　，倒數(shù)是　 　.
6. 將下列數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示：
(1)85 000 000＝　　　　　　　；
(2)0.000 004＝　　　　　　　；
(3)396萬＝　　　　　　　.
7. 將數(shù)據(jù)566.632精確到個位得到近似數(shù)是　　　　.
8. 64的平方根為　　　　；算術(shù)平方根為　　　　；立方根為　　　　.
9. 在2，－，0，－3，這組數(shù)中，最小的數(shù)是　　　　；最大的數(shù)是　　　　；比0小的數(shù)是　　　　.
10. 計(jì)算：
(1)(－2)2＝　　　　，
－22＝　　　　；
(2)(－1)2025＝　　　　；
(3)(－3.14)0＝　　　　；
(4)(3)－1＝　　　　，()－2＝　　　　；
(5)｜1－｜＝　　　　.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　實(shí)數(shù)的分類(6年2考)
例1　(人教七上習(xí)題改編)在實(shí)數(shù)－16，0.04，，－，0，，cos 30°，中.
(1)正數(shù)有　　　　　　　；
(2)負(fù)數(shù)有　　　　　　　　　；
(3)無理數(shù)有　　　　　　　；
(4)既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)的是　　　　.
例2　(2024佛山模擬)《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù).如果＋40 m表示向東走40 m，那么－100 m表示(　　)
A. 向東走60 m B. 向西走60 m
C. 向東走100 m D. 向西走100 m
考點(diǎn)2　實(shí)數(shù)的相關(guān)概念(6年5考)
例3　(人教七上習(xí)題改編)如圖，數(shù)軸上有A，B，C三個點(diǎn)，請回答下列問題：
(1)依次寫出點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)是　　　　；
(2)點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)是　　　　；
(3)點(diǎn)C表示的數(shù)的絕對值是　　　　.
例3題圖
變式1　(2024佛山南海區(qū)一模)如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D表示的數(shù)與－互為倒數(shù)的是(　　)
變式1題圖
A　　　　　　　　 B. B　　　　　　　　
C. C　　　　　　　　 D. D
考點(diǎn)3　科學(xué)記數(shù)法(6年4考)
例4　(2024珠海一模)著名的數(shù)學(xué)家蘇步青被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”.為紀(jì)念其卓越貢獻(xiàn)，國際上將一顆距地球約218 000 000公里的行星命名為“蘇步青星”，數(shù)據(jù)218 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為(　　)
A. 0.218×109 B. 2.18×108 C. 2.18×109 D. 218×106
變式2　(北師七上習(xí)題改編)2025年某市計(jì)劃重點(diǎn)工程建設(shè)項(xiàng)目投資總額為整數(shù)262 310…0元，用科學(xué)記數(shù)法表示為2.623 1×109，則原數(shù)中0的個數(shù)為(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
變式3　(2024佛山禪城區(qū)三模)佛山“桑基魚塘”文化精髓是蠶桑生產(chǎn)歷史的見證.產(chǎn)自佛山的蠶絲以其柔韌綿長的特性在紡織領(lǐng)域享有盛譽(yù).某種蠶絲的直徑大約是0.000 014米，0.000 014用科學(xué)記數(shù)法可表示為(　　)
A. 0.14×10－4 B. 1.4×10－4 C. 1.4×10－5 D. 14×10－4
考點(diǎn)4　平方根、算術(shù)平方根與立方根
例5　(人教七下習(xí)題改編)下列說法正確的是(　　)
A. ＝±4 B. 0.01的平方根是0.1
C. 1的立方根是1 D. 4的平方根是2
易錯警示
①正數(shù)的平方根有兩個，易漏掉“±”；②算術(shù)平方根只有一個；③立方根與原數(shù)的正負(fù)性一致.
變式4　(北師八上復(fù)習(xí)題改編)一個正數(shù)的平方根分別是x＋1和x－5，則x＝　　　　.
考點(diǎn)5　實(shí)數(shù)的大小比較(6年2考)
例6　(人教七上習(xí)題改編)實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則這四個數(shù)中最小的數(shù)是(　　)
A. a B. b C. c D. d
例6題圖
變式5　(2024煙臺)實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是(　　)
變式5題圖
A. b＋c＞3 B. a－c＜0 C. ｜a｜＞｜c(diǎn)｜ D. －2a＜－2b
考點(diǎn)6　實(shí)數(shù)的運(yùn)算(6年4考)
例7　(人教七上復(fù)習(xí)題改編)計(jì)算：
(1)(－1)×(－6)＋÷(7－5)；　　　　　　　(2)｜－2｜－；
－12＋－2×； (4)｜π－3｜＋2sin 30°－(－2)0.
方法解讀
實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的一般順序
(1)將包含的每個小項(xiàng)的值計(jì)算出來；
(2)先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減；有括號，先進(jìn)行括號內(nèi)的運(yùn)算；
(3)同級運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行.
真題及變式
命題點(diǎn)1　實(shí)數(shù)的相關(guān)概念(6年5考) 　
1. (2023廣東1題3分)負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中.如果把收入5元記作＋5元，那么支出5元記作(　　)
A. －5元 B. 0元 C. ＋5元 D. ＋10元
2. (2022廣東1題3分)｜－2｜＝(　　)
A. －2 B. 2 C. － D.
3. (2020廣東1題3分)9的相反數(shù)是(　　)
A. －9 B. 9 C. D. －
命題點(diǎn)2　科學(xué)記數(shù)法(6年4考) 　
4. (2024廣東3題3分)2024年6月6日，嫦娥六號在距離地球約384 000千米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會對接.數(shù)據(jù)384 000用科學(xué)記數(shù)法表示為(　　)
A. 3.84×104 B. 3.84×105 C. 3.84×106 D. 38.4×105
拓展訓(xùn)練
5. 根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2023年全國糧食總產(chǎn)量達(dá)到139 08.2億斤.數(shù)據(jù)139 08.2億用科學(xué)記數(shù)法表示為(　　)
A. 13.908 2×1011 B. 1.390 82×1012 C. 1.390 82×1013 D. 0.139 082×1013
命題點(diǎn)3　實(shí)數(shù)的大小比較(6年2考) 　
6. (2021廣東1題3分)下列實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是(　　)
A. π B. C. ｜－2｜ D. 3
7. (2019廣東7題3分)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子成立的是(　　)
A. a＞b
B. ｜a｜＜｜b｜
C. a＋b＞0
D. ＜0
　第7題圖
命題點(diǎn)4　實(shí)數(shù)的運(yùn)算(6年4考) 　
8. (2024廣東1題3分)計(jì)算－5＋3的結(jié)果是(　　)
A. －2 B. －8 C. 2 D. 8
9. (2022廣東2題3分)計(jì)算22的結(jié)果是(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 4
10. (2019廣東11題4分)計(jì)算：2 0190＋()－1＝　　　　.
11. (2024廣東16題7分)計(jì)算：20×｜－｜＋－3－1.
新考法
12. 如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是(　　)
第12題圖
13. 如圖，若數(shù)軸上的點(diǎn)A，B分別與實(shí)數(shù)－1，1對應(yīng)，用圓規(guī)在數(shù)軸上畫點(diǎn)C，則與點(diǎn)C對應(yīng)的實(shí)數(shù)是(　　)
第13題圖
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. 中國人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《九章算術(shù)注》中用不同顏色的算籌(小棍形狀的記數(shù)工具)分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)(紅色為正，黑色為負(fù)).如圖①表示的是(＋2)＋(－2)＝0，根據(jù)這種表示法，可推算出圖②所表示的數(shù)值為(　　)
第14題圖
A. 9 B. －9 C. 3 D. －3
考點(diǎn)精講
①0　②正數(shù)和0　③實(shí)數(shù)　④－a　⑤距離　⑥大
⑦－a　⑧0　⑨　⑩－1和1　 1　 ±　 　
練考點(diǎn)
1. A
2. D
3. －4 ℃
4. －1
5. 5；5；－
6. (1)8.5×107；(2)4×10－6；(3)3.96×106
7. 567
8. ±8；8；4
9. －3；；－，－3
10. (1)4，－4；(2)－1；(3)1；(4)，9；(5)－1
高頻考點(diǎn)
例1　(1)0.04，，，cos 30°，；(2)－16，－；(3)，cos 30°；(4)0
例2　D
例3　(1)2，－2，－3；(2)－2；(3)3
變式1　A　【解析】∵－的倒數(shù)是－3，∴表示的數(shù)與－互為倒數(shù)的是點(diǎn)A.
例4　B
變式2　C　【解析】2.6231×109＝2 623 100 000，即原數(shù)中0的個數(shù)為5.
變式3　C　
例5　C
變式4　2　【解析】∵一個正數(shù)的平方根分別是x＋1和x－5，∴(x＋1)＋(x－5)＝0，解得x＝2.
例6　D
變式5　B　【解析】由題圖，得－3＜a＜－2，－2＜b＜－1，3＜c＜4，∴｜c(diǎn)｜＞｜a｜＞｜b｜，故C選項(xiàng)不符合題意；∵－2＋3＜b＋c＜－1＋4，∴b＋c＜3，故A選項(xiàng)不符合題意；∵a＜c，∴a－c＜0，故B選項(xiàng)符合題意；∵a＜b，∴－2a＞－2b，故D選項(xiàng)不符合題意.
例7　解：(1)原式＝6＋4÷2
＝8；
(2)原式＝2－－(－4)
＝6－；
(3)原式＝－1＋(－3)－2×3
＝－10；
(4)原式＝π－3＋2×－1
＝π－3.
真題及變式
1. A　2. B　3. A　4. B　5. D
6. A　【解析】將四個實(shí)數(shù)按照從大到小的順序排列為π＞3＞｜－2｜＞，∴最大的數(shù)是π.
7. D　【解析】由數(shù)軸可知，－2＜a＜－1，0＜b＜1，從而可判斷A，B，C錯誤，D正確.
8. A　9. D
10. 4　【解析】原式＝1＋3＝4.
11. 解：原式＝1×＋2－
＝2.
12. A　【解析】∵－4＜－2＜－1＜0＜1，∴選項(xiàng)A的折線統(tǒng)計(jì)圖符合題意.
13. B　【解析】∵數(shù)軸上的點(diǎn)A，B分別與實(shí)數(shù)－1，1對應(yīng)，∴AB＝｜1－(－1)｜＝2，∴BC＝AB＝2，∴與點(diǎn)C對應(yīng)的實(shí)數(shù)是1＋2＝3.
14. D　【解析】由題意，可知圖②表示的是(＋3)＋(－6)＝－3.微專題02　二次根式
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　　
1. 二次根式的有關(guān)概念(2020.5)
(1)定義：表示算術(shù)平方根的代數(shù)式，形如(a≥0)的式子
(2)有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于零
(3)最簡二次根式：同時滿足以下兩個條件：①根號內(nèi)不含分母；②根號內(nèi)不含開得盡方的因數(shù)或因式
(4)同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式
2. 二次根式的性質(zhì)(6年2考)
(1)()2＝①　　　　(a≥0)
(2)＝｜a｜＝
(3)＝④　　　　(a≥0，b≥0)
(4)＝⑤　　　　(a≥0，b＞0)
(5)雙重非負(fù)性：二次根式滿足被開方數(shù)a≥0且≥0
3. 二次根式的運(yùn)算(6年6考，常在實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算中涉及考查)
(1)加減：先將各二次根式分別化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并
(2)乘法：·＝⑥　　　　(a≥0，b≥0)
(3)除法：＝⑦　　　(a≥0，b＞0)
4. 二次根式的估值(6年2考)
(1)確定無理數(shù)的值在哪兩個相鄰整數(shù)之間
①先對無理數(shù)平方，如()2＝7；
②找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個開得盡方的整數(shù)，如4和9；
③對以上兩個整數(shù)開方，如＝2，＝3；
④確定這個無理數(shù)的值在開方后所得的兩個整數(shù)之間，即2＜＜3
(2)確定無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分
要確定a±的整數(shù)部分和小數(shù)部分，先對a±進(jìn)行估值，如1＋的整數(shù)部分是3，則它的小數(shù)部分是1＋－3，即－2
練考點(diǎn)
1. 下列各式中，是最簡二次根式的是(　　)
A. 　　 B.
C. D.
2. 下列各數(shù)中，能與合并的是(　　)
A. 3 B.
C. D.
3. 若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　　　　.
4. 計(jì)算：
(1)(－)2＝　　　　；
(2)＝　　　　；
(3)＝　　　　；
(4)＝　　　　.
5. 計(jì)算：
(1)＋＝　　　　；
(2)－＝　　　　；
(3)×＝　　　　；
(4)÷＝　　　　.
6. 估計(jì)的值在(　　)
A. 1和2之間
B. 2和3之間
C. 3和4之間
D. 4和5之間
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　二次根式的有關(guān)概念(6年2考)
例1　(2024東莞三模)若有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為(　　)
A. x≥－2 B. x＞－2 C. x≠－2 D. x＞2
變式1　要使二次根式有意義，x的值可以是　　　　.
考點(diǎn)2　二次根式的化簡及運(yùn)算(6年5考)
例2　(人教八下習(xí)題改編)下列計(jì)算正確的是(　　)
A. ＝0.5 B. ＝－4
C. 2－2＝ D. ÷＝2
例3　(北師八上復(fù)習(xí)題改編)計(jì)算：
(1)＋×；　　　　　　　　　　　(2)(－)÷；
(3)2×－5÷； (4)(＋－3)×.
考點(diǎn)3　二次根式的估值(6年2考)
例4　(北師八上習(xí)題改編)根據(jù)下列要求，解決問題：
(1)如圖，在數(shù)軸上表示的點(diǎn)可能是(　　)
例4題圖
A. 點(diǎn)M B. 點(diǎn)N C. 點(diǎn)P D. 點(diǎn)Q
(2)與＋1最接近的整數(shù)是(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(3)(2024佛山南海區(qū)一模)若a－1＜＜a，且a為整數(shù)，則a的值是(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
(4)無理數(shù)a－(a＞1且為正整數(shù))的整數(shù)部分是b，小數(shù)部分是c，則下列關(guān)系式中一定成立的是(　　)
A. c－b＜0 B. a－b＞0 C. a＝b＋c D. a－c＝2
真題及變式
命題點(diǎn)1　二次根式有意義的條件(2020.5) 　
1. (2020廣東5題3分)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是(　　)
A. x≠2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠－2
命題點(diǎn)2　二次根式的運(yùn)算(6年6考，常在實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算中涉及考查) 　
2. (2019廣東8題3分·北師八上習(xí)題改編) 化簡的結(jié)果是(　　)
A. －4 B. 4 C. ±4 D. 2
3. (2023廣東12題3分)計(jì)算：×＝　　　.
命題點(diǎn)3　二次根式的估值(6年2考) 　
4. (2021廣東8題3分)設(shè)6－的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則(2a＋)b的值是(　　)
A. 6 B. 2 C. 12 D. 9
新考法
5. (2024鹽城)矩形相鄰兩邊長分別為 cm、 cm，設(shè)其面積為S cm2，則S在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間(　　)
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
6. 勾股定理在《九章算術(shù)》中的表述是：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦.”即c＝(a為勾，b為股，c為弦)，若“勾”為2，“股”為3，則“弦”最接近的整數(shù)是(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 為了比較＋1與的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1，通過計(jì)算可得＋1　　　(填“＞”或“＜”或“＝”).
第7題圖
考點(diǎn)精講
①a　②a　③－a　④·　⑤　⑥
⑦　
練考點(diǎn)
1. D
2. C
3. x≤5
4. (1)0.3；(2)3；(3)4；(4)
5. (1)3；(2)；(3)；(4)2
6. C
高頻考點(diǎn)
例1　B　【解析】要使式子有意義，則x＋2＞0，解得x＞－2.
變式1　2(答案不唯一)　【解析】由題意得2x－3≥0，∴x≥，故x的值可以是2.
例2　D　【解析】A.＝＝，故A選項(xiàng)不符合題意；B.＝4，故B選項(xiàng)不符合題意；C.2與2不能合并，故C選項(xiàng)不符合題意；D.÷＝＝2，故D選項(xiàng)符合題意.
例3　解：(1)原式＝2＋3
＝5；
(2)原式＝(4－)÷
＝4÷－÷
＝4－；
(3)原式＝3－5
＝－2；
(4)原式＝×＋×－3×
＝＋－3
＝＋10－15
＝－4.
例4　(1)D；(2)C；
(3)A；【解析】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，又∵a－1＜＜a，∴a＝4.
(4)B　【解析】∵1＜＜2，a＞1且為正整數(shù)，∴a≥2且為整數(shù)，當(dāng)a＝2時，2－的整數(shù)部分b＝0，c＝2－，∴c－b＝2－＞0，a－b＝2＞0，a－c＝2－(2－)＝2－2＋＝，b＋c＝2－≠a，當(dāng)a＞2時，c－b＜0，a－b＞0，a＝b＋c＋，a－c＝b＋≠2.
真題及變式
1. B　【解析】由題意得，2x－4≥0，∴x≥2.
2. B　【解析】∵＝｜a｜，∴＝4.
3. 6　【解析】原式＝＝＝6.
4. A　【解析】∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴－4＜－＜－3，∴2＜6－＜3，∴6－的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是6－－2＝4－，即a＝2，b＝4－，∴(2a＋)b＝(2×2＋)×(4－)＝6.
5. C　【解析】由題可知，矩形的面積S＝×＝，∵9＜10＜16，∴＜＜，即3＜S＜4.
6. C　【解析】由題意得，“弦”為＝，∵9＜13＜16，13－9＝4，16－13＝3，∴13更接近16，∴最接近的整數(shù)是4.
7. ＞　【解析】CD＝BC－BD＝3－1＝2，在△ACD中，∠C＝90°，由勾股定理得AD＝＝＝，在△ACB中，∠C＝90°，由勾股定理得AB＝＝＝，在△ABD中，∵AD＋BD＞AB，∴＋1＞.微專題03　代數(shù)式、整式與因式分解
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　
1. 代數(shù)式(6年6考)
代數(shù)式的概念 用加、減、乘、除及乘方等運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式
列代數(shù)式 找出問題中的數(shù)量關(guān)系及公式，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示
代數(shù)式求值 (1)直接代入法：把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來的運(yùn)算順序計(jì)算求值 (2)整體代入法(整體思想)：①觀察已知條件和所求代數(shù)式的關(guān)系； ②將所求代數(shù)式變形后與已知代數(shù)式成倍數(shù)關(guān)系，一般會用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式
2. 整式的有關(guān)概念(6年2考)
(1)整式有關(guān)概念
單項(xiàng)式 概念：由數(shù)字與字母或字母的①　　　　所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.單獨(dú)一個數(shù)字或字母也是單項(xiàng)式； 單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)； 單項(xiàng)式的次數(shù)：一個單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)之和
多項(xiàng)式 概念：幾個單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式； 多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，如2x＋x2y的次數(shù)是②　　　
(2)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的③　　　也相同的項(xiàng).所有常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)
3. 整式的運(yùn)算(6年4考)
(1)冪的運(yùn)算
運(yùn)算 文字表達(dá) 符號表示
同底數(shù)冪相乘 底數(shù)不變，指數(shù)相加 am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))
同底數(shù)冪相除 底數(shù)不變，指數(shù)相減 am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n)
冪的乘方 底數(shù)不變，指數(shù)相乘 (am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))
積的乘方 積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘 (ab)n＝anbn(n為正整數(shù))
(2)整式的運(yùn)算
①整式的加減，可歸結(jié)為去括號與合并同類項(xiàng)
②單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為積的因式
③多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；
(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
(3)乘法公式
4. 因式分解(6年2考)
(1)概念：把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式
(2)方法：①提取公因式法：ma＋mb＝m(a＋b)；
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2
5. 非負(fù)數(shù)(6年2考)
(1)常見的非負(fù)數(shù)類型有a2，｜b｜，(c≥0)
(2)若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每個非負(fù)數(shù)的值均為0，如：若a2＋｜b｜＋＝0，則有a2＝0，｜b｜＝0，＝0，即a＝b＝c＝0
練考點(diǎn)
1. 下列對代數(shù)式－3x的意義表述正確的是(　　)
A. －3與x的和
B. －3與x的差
C. －3與x的積
D. －3與x的商
2. (1)已知x＝－1，則x2＋2x＝　　　　；
(2)已知2a－b＝1，則代數(shù)式8a－4b＋2的值為　　　　.
3. 已知一個單項(xiàng)式的系數(shù)是2，次數(shù)是3，則這個單項(xiàng)式可以是(　　)
A. 3x2　　　　 B. 2 m3n
C. －2x2y D. 2a3
4. x3y2是　　　　次單項(xiàng)式.
5. 計(jì)算：
(1)－2x＋x＝　　　　；
2x3－x3＝　　　　；
(2)x·x3＝　　　　；
x8÷x2＝　　　　；
(3)(－2x2)3＝　　　　；
(4)2x2·(x－1)＝　　　　；
(5)(x－1)(2x＋1)＝　　　　　　　；
(6)(x＋2)2＝　　　　；
(x＋2)(x－2)＝　　　　　　　.
6. 分解因式：
(1)x2－xy＝　　　　；
(2)2x2－8＝　　　　；
(3)x2＋4x＋4＝　　　　.
7. (1)若｜x－1｜＋＝0，則x＋2y的值為　　　　；
(2)若x2＋1＋＝1，則xy的值為　　　　；
(3)＋＝0，則x的值為　　　　.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　列代數(shù)式及求值(6年6考)
例1　(人教七上習(xí)題改編)根據(jù)題意列代數(shù)式：
(1)原量a增加10％為　　　　；比原量a的n倍多m為　　　　；
(2)原價a的8折為　　　　；
(3)x個單價為a元的商品與y個單價為b元的商品總價為　　　　元；
(4)每天完成的工作量為a，則要完成m的工作量所需天數(shù)為　　　　；
(5)一月份的產(chǎn)值為a萬元，二月份的產(chǎn)值比一月份減少了m％，三月份的產(chǎn)值比二月份增加了n％，則三月份的產(chǎn)值為　　　　萬元.
例2　求下列代數(shù)式的值：
(1)已知x2＋x－2＝0，則2x2＋2x的值　　　　；
(2)已知x＋y＝3，xy＝2，則(x－y)2的值為　　　　；
(3)(2024成都)若m，n為實(shí)數(shù)，且(m＋4)2＋＝0，則(m＋n)2 的值為　　　　.
考點(diǎn)2　整式的有關(guān)概念(6年2考)
例3　(2024佛山南海區(qū)一模)單項(xiàng)式πr3表示球的體積，其中π表示圓周率，r表示球的半徑，下列說法正確的是(　　)
A. 系數(shù)是，次數(shù)是3 B. 系數(shù)是π，次數(shù)是3
C. 系數(shù)是，次數(shù)是4 D. 系數(shù)是π，次數(shù)是4
變式1　(2024廣元)如果單項(xiàng)式－x2my3與單項(xiàng)式2x4y2－n的和仍是一個單項(xiàng)式，則在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)(m，n)在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
考點(diǎn)3　整式的運(yùn)算(6年4考)
例4　(2024煙臺)下列計(jì)算結(jié)果為a6的是(　　)
A. a2 ·a3 B. a12÷a2 C. a3＋a3 D. (a2)3
例5　(人教七上習(xí)題改編)計(jì)算：
(1)(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)；
已知y2－xy－5＝0，求(3xy3－6x3y)÷3xy＋x(2x－y)的值.
考點(diǎn)4　因式分解(6年2考)
例6　(北師七上習(xí)題改編)因式分解：
(1)4ax2－ay2＝　　　　　　　　　；
(2)4xy2－4x2y－y3＝　　　　　　　　　；
(3)(p－4)(p＋1)＋3p＝　　　　　　　　　.
變式2　(2024中山模擬)下列因式分解正確的是(　　)
A. x2－x＝x(x＋1) B. a2－3a－4＝a(a－3)－4
C. a2＋b2－2ab＝(a＋b)2 D. x2－y2＝(x＋y)(x－y)
考點(diǎn)5　規(guī)律探索(2019.16)
例7　根據(jù)下列數(shù)式規(guī)律，回答問題：
(1)等差類有一列數(shù)1，3，5，7，9，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是　　　　；
(2)等比類有一列數(shù)3，9，27，81，243，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是　　　　；
(3)遞增類有一列數(shù)1，2，4，7，11，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是　　　　；
(4)周期類有一列數(shù)－1，1，－1，1，－1，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是　　　　；
(5)平方類按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a2，4a3，9a4，16a5，…，則第n個單項(xiàng)式是　　　　.
例8　根據(jù)下列圖形規(guī)律，回答問題：
(1)圖形個數(shù)固定累加把白色正方形按圖①所示的規(guī)律拼圖案，則第5個圖案中白色正方形的個數(shù)是　　　　；
例8題圖①
(2)圖形個數(shù)遞增累加如圖②都是由同樣大小的圓點(diǎn)按一定規(guī)律組成，則第8個圖形中圓點(diǎn)的個數(shù)是　　　　；
例8題圖②
(3)圖形個數(shù)為兩種變化之和如圖③都是由同樣大小的正三角形按照一定規(guī)律組成，則第n個圖形中正三角形的個數(shù)是　　　　.
例8題圖③
真題及變式
命題點(diǎn)1　代數(shù)式求值(6年5考) 　
1. (2021廣東5題3分)若｜a－｜＋＝0，則ab＝(　　)
A. B. C. 4 C. 9
2. (2020廣東13題4分)若＋｜b＋1｜＝0，則(a＋b)2 020＝　　　　.
3. (2020廣東14題4分·人教八上習(xí)題改編)已知x＝5－y，xy＝2.計(jì)算3x＋3y－4xy的值為　　　　.
4. (2021廣東15題4分·北師八下習(xí)題改編)若x＋＝且0＜x＜1，則x2－＝　　　　.
變式
4.1 變思維方式——直接平方變?yōu)榛喓笳w帶入
已知－＝，那么＋的值為　　　　.
命題點(diǎn)2　整式的有關(guān)概念(6年2考) 　
5. (2022廣東12題3分)單項(xiàng)式3xy的系數(shù)為　　　　.
6. (2020廣東12題4分)如果單項(xiàng)式3xmy與－5x3yn是同類項(xiàng)，那么m＋n＝　　　　.
命題點(diǎn)3　整式的運(yùn)算(6年4考) 　
7. (2024廣東5題3分)下列計(jì)算正確的是(　　)
A. a2·a5＝a10 B. a8÷a2＝a4
C. －2a＋5a＝7a D. (a2)5＝a10
8. (2021廣東4題3分·人教八上習(xí)題改編)已知9m＝3，27n＝4，則32m＋3n＝(　　)
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
9. (2020廣東18題6分·人教八上習(xí)題改編)先化簡，再求值：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2，其中x＝，y＝.
命題點(diǎn)4　因式分解(6年2考) 　
10. (2023廣東11題3分)因式分解：x2－1＝　　　　.
11. (2020廣東11題4分)分解因式：xy－x＝　　　　.
命題點(diǎn)5　規(guī)律探索(2019.16) 　
12. (2019廣東16題4分)如圖①所示的圖形是一個軸對稱圖形，且每個角都是直角，長度如圖所示，小明按圖②所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個這樣的圖形(圖①)拼出來的圖形的總長度是　　　　(結(jié)果用含a，b代數(shù)式表示).
第12題圖
拓展訓(xùn)練
13. (2024東莞模擬)如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…，在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…，在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A2019B2019A2020的邊長為　　　　.
第13題圖
新考法
14. [代數(shù)推理](2024珠海模擬)杰杰是一位密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分別對應(yīng)下列六個字：海、愛、我、珠、麗、美，現(xiàn)將(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是(　　)
A. 我愛美 B. 珠海美麗 C. 愛我珠海 D. 美我珠海
15. [數(shù)形結(jié)合](北師七下復(fù)習(xí)題改編)如圖①，有兩個正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部如圖②所示，將A，B并排放置后構(gòu)造新的正方形如圖③所示.若圖②和圖③中陰影部分的面積分別為1和12，則正方形A，B的面積之和為(　　)
第15題圖
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
16. [跨信息技術(shù)學(xué)科] 日常生活中我們常使用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，而計(jì)算機(jī)程序使用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)(只有數(shù)碼0和1)，它們兩者之間可以互相換算，如將二進(jìn)制數(shù)1 001記為(1 001)2，換算成十進(jìn)制數(shù)應(yīng)為：(1 001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝9，按此方式，將二進(jìn)制(101)2換算成十進(jìn)制數(shù)為　　　　.
考點(diǎn)精講
①乘積　②3　③指數(shù)　④a2－b2　⑤a2±2ab＋b2　
練考點(diǎn)
1. C
2. (1)－1；(2)6
3. D
4. 5
5. (1)－x；x3；(2)x4；x6；(3)－8x6；(4)2x3－2x2；(5)2x2－x－1；(6)x2＋4x＋4；x2－4
6. (1)x(x－y)；(2)2(x－2)(x＋2)；(3)(x＋2)2
7. (1)3；(2)0；(3)2
高頻考點(diǎn)
例1　(1)a(1＋10％)；an＋m；
(2)0.8a；(3)(ax＋by)；(4)；
(5)a(1－m％)(1＋n％)
例2　(1)4；　【解析】∵x2＋x－2＝0，∴x2＋x＝2，∴2x2＋2x＝2(x2＋x)＝2×2＝4.
(2)1；　【解析】∵(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝(x＋y)2－4xy，∴當(dāng)x＋y＝3，xy＝2時，原式＝32－4×2＝9－8＝1.
(3)1　【解析】∵(m＋4)2＋＝0，∴m＋4＝0且n－5＝0，解得m＝－4，n＝5，∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝1.
例3　B　【解析】πr3的系數(shù)是π，次數(shù)是3.
變式1　D　【解析】∵單項(xiàng)式－x2my3與單項(xiàng)式2x4y2－n的和仍是一個單項(xiàng)式，∴單項(xiàng)式－x2my3與單項(xiàng)式2x4y2－n是同類項(xiàng)，∴2m＝4，2－n＝3，解得m＝2，n＝－1，∴點(diǎn)(m，n)在第四象限.
例4　D　【解析】A.a2·a3＝a2＋3＝a5，故A選項(xiàng)不符合題意；B.a12÷a2＝a12－2＝a10，故B選項(xiàng)不符合題意；C.a3＋a3＝2a3，故C選項(xiàng)不符合題意；D.(a2)3＝a2×3＝a6，故D選項(xiàng)符合題意.
例5　解：(1)原式＝1－x2＋x2＋2x
＝1＋2x；
(2)原式＝y(tǒng)2－2x2＋2x2－xy＝y(tǒng)2－xy，
∵y2－xy－5＝0，∴原式＝5.
例6　(1)a(2x＋y)(2x－y)；
(2)－y(2x－y)2；
(3)(p＋2)(p－2)
【解析】(1)原式＝a(4x2－y2)＝a(2x＋y)(2x－y)；(2)原式＝－y(4x2－4xy＋y2)＝－y(2x－y)2；(3)原式＝p2－3p－4＋3p＝p2－4＝(p＋2)(p－2).
變式2　D　【解析】A.原式＝x(x－1)，故本選項(xiàng)不符合題意；B.原式＝(a－4)(a＋1)，故本選項(xiàng)不符合題意；C.原式＝(a－b)2，故本選項(xiàng)不符合題意；D.原式＝(x＋y)·(x－y)，故本選項(xiàng)符合題意.
例7　(1)2n－1；(2)3n；(3)n2－n＋1；(4)(－1)n；(5)n2an＋1
例8　(1)18；(2)36；(3)3n＋2
真題及變式
1. B　【解析】∵｜a－｜＋＝｜a－｜＋＝0，∴，解得，∴ab＝×＝.
2. 1　【解析】∵＋｜b＋1｜＝0，∴，解得，∴(a＋b)2 020＝(2－1)2 020＝1.
3. 7　【解析】∵x＝5－y，∴x＋y＝5，又∵xy＝2，∴原式＝3(x＋y)－4xy＝3×5－4×2＝15－8＝7.
4. －　【解析】∵x＋＝，∴(x－)2＝(x＋)2－4＝()2－4＝，∵0＜x＜1，∴x－＜0，∴x－＝－，∴x2－＝(x＋)(x－)＝×(－)＝－.
變式4.1　3　【解析】∵－＝，∴＝，∴xy＝(x－y)2，∴＋＝＝＝＝3.
5. 3
6. 4　【解析】∵單項(xiàng)式3xmy與－5x3yn是同類項(xiàng)，∴m＝3，n＝1，∴m＋n＝3＋1＝4.
7. D　【解析】逐項(xiàng)分析如下：
選項(xiàng) 逐項(xiàng)分析 正誤
A a2·a5＝a2＋5＝a7≠a10
B a8÷a2＝a8－2＝a6≠a4
C －2a＋5a＝3a≠7a
D (a2)5＝a2×5＝a10 √
8. D　【解析】32m＋3n＝32m·33n＝9m·27n＝3×4＝12.
9. 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2
＝2xy，
當(dāng)x＝，y＝時，
原式＝2××＝2.
10. (x－1)(x＋1)
11. x(y－1)
12. a＋8b　【解析】觀察圖形可知，2個基礎(chǔ)圖形拼接時，總長度是2a－(a－b)，3個基礎(chǔ)圖形拼接時，總長度是3a－2(a－b)，4個基礎(chǔ)圖形拼接時，總長度是4a－3(a－b)，…，∴9個基礎(chǔ)圖形拼接時，總長度是9a－8(a－b)＝a＋8b.
13. 22018　【解析】∵△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，均為等邊三角形，OA1＝1，∴△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，邊長分別為20，21，22，…，∴△A2019B2019A2020的邊長為22018.
14. C　【解析】原式＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)，由題意可知，(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)可以表示為愛我珠海.
15. C　【解析】設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，則題圖②中陰影部分的面積為(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝1，在題圖③中陰影部分的面積為(a＋b)2－a2－b2＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab＝12，∴a2＋b2＝13.
16. 5　【解析】(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝5.微專題04　分　式
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　
1. 分式的基本概念
(1)概念：一般地，用A、B表示兩個整式，A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母，那么稱為分式，其中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母.對于任意一個分式，分母都不能為零
(2)最簡分式的概念：①　　　　　　　　　
(3)分式有意義的條件：②　　　
(4)分式的值為0的條件：③　　　
2. 分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值④　　　；
即＝ 通分(C≠0)，＝ 約分(C≠0)，其中A，B，C是整式
3. 分式的運(yùn)算(6年4考)
(1)加減運(yùn)算
①同分母：分母不變，把分子相加減，即±＝⑤　　　；
②異分母：先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算，即±＝⑥　　　　　⑦　　　　　　(關(guān)鍵是通分)；
③通分的關(guān)鍵是找最簡公分母：分母中能分解因式的先分解因式；取各分母所有因式的最高次冪的積(數(shù)字因式取它們的最小公倍數(shù))作為公分母
(2)乘除運(yùn)算
①乘法：·＝⑧　　　　(關(guān)鍵是約分)；
(5)(x－1)÷(x－)＝　　　　　　　.
②除法：÷＝⑨　　　⑩　　　　；
③約分的關(guān)鍵是找公因式：分子、分母中能分解因式的，先分解因式；取分子、分母中的相同因式的最低次冪(數(shù)字因式取它們的最大公約數(shù))作為公因式
(3)乘方運(yùn)算：把分子、分母分別乘方，即()n＝
練考點(diǎn)
1. 下列分式中，是最簡分式的是(　　)
A. 　　 B.
C. D.
2. 已知分式.
(1)要使該分式有意義，則x的取值范圍為　　　　；
(2)要使該分式的值為0，則x的值為　　　　.
3. 下列分式變形從左到右一定成立的是(　　)
A. ＝　　 B. ＝
C. ＝－ D. ＝
4. 計(jì)算：
(1)＋＝　　　　；
(2)1＋＝　　　　；
(3)＋＝　　　　；
(4)·＝　　　　；
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　分式的概念及性質(zhì)
例1　(人教八上習(xí)題改編)若分式的值為0，則a的值為(　　)
A. ±1 B. 0 C. －1 D. 1
變式1　(人教八上習(xí)題改編)若將分式中的x，y同時擴(kuò)大為原來的10倍，則該分式的值(　　)
A. 縮小為原來的 B. 擴(kuò)大為原來的10倍
C. 縮小為原來的 D. 不變
考點(diǎn)2　分式的運(yùn)算(6年4考)
例2　(北師八下習(xí)題改編)先化簡：(－)÷，再從－1，0，2，4四個數(shù)中，選擇一個合適的數(shù)代入求值.
【答題模板】
解：原式＝①　　　　　÷(通分，通分的依據(jù)是②　　　　　　　　　　)
＝÷③　　　　　(因式分解)
＝·④　　　　　(除法變乘法)
＝⑤　　　　　，(約分)
要使分式有意義，則x≠0，x－2≠0，⑥　　　　　≠0，即不能選擇0，2，4，
∴當(dāng)x＝－1時，代入⑦　　　　　中，得原式＝⑧　　　　　.
易錯警示
(1)一定要“先”化簡為最簡分式或整式，“再”代入求值；
(2)通分時，不含分母的項(xiàng)也要乘以最簡公分母；
(3)分?jǐn)?shù)線有括號的作用；
(4)代入的數(shù)值需使原分式及化簡過程中的分式分母不為0.
變式2　(2024北京)已知a－b－1＝0，求代數(shù)式的值.
變式3　(2024中山二模)先化簡÷(－x＋1)然后從－3＜x≤1中選取一個合適的整數(shù)作為x的值代入求值.
真題及變式
命題點(diǎn)　分式化簡及求值(6年4考) 　
1. (2024廣東14題3分)計(jì)算：－＝　　　　.
2. (2022廣東17題8分)先化簡，再求值：a＋，其中a＝5.
3. (2019廣東18題6分)先化簡，再求值：(－)÷，其中x＝.
新考法
4. [綜合與實(shí)踐](2023鹽城改編)
【主題】應(yīng)用分式的大小比較
【問題提出】課堂上，老師提出了下面的問題：
已知3a＞b＞0，M＝，N＝，試比較M與N的大小.
【類比思考】
整式的大小比較可采用“作差法”.
比如：比較x2＋1與2x－1的大小.
∵(x2＋1)－(2x－1)＝x2＋1－2x＋1＝(x－1)2＋1＞0，
∴x2＋1＞2x－1.
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？
…
【實(shí)踐探索】
(1)請用“作差法”完成老師提出的問題；
(2)比較大小：　　　(填“＞”“＝”或“＜”).
考點(diǎn)精講
①分子和分母沒有公因式的分式　②B≠0
③A＝0且B≠0　④不變　⑤　⑥±
⑦　⑧　⑨·　⑩
練考點(diǎn)
1. B
2. (1)x≠1；(2)－1
3. D
4. (1)；(2)；(3)－1；(4)；(5)
高頻考點(diǎn)
例1　C　【解析】∵分式的值為0，∴a2－1＝0且a－1≠0，解得a＝－1.
變式1　A　【解析】根據(jù)題意，得＝·，∴如果把分式中的x和y同時擴(kuò)大為原來的10倍，該分式的值縮小為原來的.
例2　解：①[－]；②分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變；③；④；⑤；⑥4－x；⑦；⑧3
變式2　解：原式＝
＝
＝
＝，
∵a－b－1＝0，∴a－b＝1，
∴原式＝3.
變式3　解：原式＝÷(－)
＝÷
＝·
＝－，
∵(x＋1)(x－1)≠0且x(x－1)≠0，∴x≠±1且x≠0，
∵－3＜x≤1，∴取x＝－2，
∴原式＝.
真題及變式
1. 1　【解析】原式＝＝1.
2. 解：原式＝a＋ (3分)
＝a＋a＋1
＝2a＋1， (6分)
當(dāng)a＝5時，原式＝2×5＋1＝11. (8分)
3. 解：原式＝÷
＝·
＝， (4分)
當(dāng)x＝時，
原式＝＝＝1＋. (6分)
4. 解：(1)M－N＝－
＝－
＝
＝，
∵3a＞b＞0，
∴3a－b＞0，b(b＋3)＞0，
∴＞0，
∴M＞N；
(2)＜　【解法提示】－＝＝－＜0，∴＜.微專題05　一次方程(組)及其應(yīng)用
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　
1. 等式的基本性質(zhì)
(1)性質(zhì)1：同加減：等式兩邊加(或減去)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等，即如果 a＝b，那么 a±c ＝①　　　　 解方程中的移項(xiàng)
(2)性質(zhì)2：同乘除：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，即如果a＝b，那么②　　　　＝bc解方程中的去分母；如果a＝b(c≠0)，那么③　　　　＝ 解方程中的系數(shù)化為1
2. 一元一次方程及其解法
(1)一元一次方程：兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程
(2)解題步驟：去分母→去括號→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1
3. 二元一次方程組及其解法(6年2考)
(1)基本思想：二元一次方程組一元一次方程
(2)解法：①代入消元法：當(dāng)方程組中某個方程中的未知數(shù)的系數(shù)是1或－1時，選用此方法較簡單；
②加減消元法：當(dāng)方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)時，選用此方法較簡單
4. *三元一次組方程及其解法
通過“代入”或“加減”進(jìn)行消元，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這與解二元一次方程組的思路相同
5. 一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用(6年2考)
(1)利潤問題：售價＝標(biāo)價×折扣；銷售額＝④　　　×銷量；利潤＝⑤　　　－成本；利潤率＝×100％
(2)行程問題：①基本量間的關(guān)系：⑥　　　　＝速度×?xí)r間；
②相遇問題：總路程＝甲走的路程⑦　　　　乙走的路程；
③追及問題：同地不同時出發(fā)：前者走的路程⑧　　　　追者走的路程；
同時不同地出發(fā)：前者走的路程＋兩地間的距離⑨　　　　追者走的路程
(3)列方程(組)解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答
練考點(diǎn)
1. 下列判斷正確的是(　　)
A. 若a＝b，則a－2＝b＋2
B. 若＝，則2a＝3b
C. 若a＝b，則＝
D. 若ac＝bc，則a＝b
2. 解方程：2(x－1)－3＝x.
3. 解方程組.
4. 若共有x名學(xué)生，分成y個學(xué)習(xí)小組.若每組10人，則還差5人；若每組9人，還余下3人.若求冬令營學(xué)生的人數(shù)，所列的方程組為　　　　.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　解一次方程(組)(6年2考)
例1　(人教七上例題改編)解方程：－＝1.
【答題模板】
解：去分母，得　　　　，
去括號，得　　　　，
移項(xiàng)，得　　　　，
合并同類項(xiàng)，得　　　　，
系數(shù)化為1，得　　　　.
例2　(北師七上習(xí)題改編)用下列方法解方程組.
方法一(代入消元法)：　　　　　　　　　方法二(加減消元法)：
變式1　(人教七上習(xí)題改編)關(guān)于x的一元一次方程3x＋m＝7的解為x＝2，則m的值為(　　)
A. 1 B. －1 C. 6 D. －6
變式2　(2023朝陽改編)已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x－y＝3，則a的值為　 　　.
考點(diǎn)2　一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用(6年2考)
例3　 端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.某超市在端午節(jié)前計(jì)劃購進(jìn)A，B兩種品牌粽子進(jìn)行銷售.
(1)該超市采購員發(fā)現(xiàn)，2盒A品牌粽子和1盒B品牌粽子共需97元，1盒A品牌粽子和2盒B品牌粽子共需86元，求A，B兩種品牌粽子每盒進(jìn)價各為多少元？
該超市購進(jìn)A，B兩種品牌粽子若干盒進(jìn)行銷售，若A品牌粽子的售價比B品牌粽子的售價貴15元，且7盒A品牌粽子和10盒B品牌粽子售價相同，求A，B兩種品牌粽子每盒售價各為多少元？
該超市按照(1)中的進(jìn)價購進(jìn)A，B兩種品牌粽子共200盒，再按照(2)中的售價全部售出，共獲利2 500元，求購進(jìn)A，B兩種品牌粽子各多少盒？
(4)端午節(jié)當(dāng)天超市開展促銷活動，A，B兩種品牌粽子按(2)中的售價打相同的折扣銷售，節(jié)日當(dāng)天購買20盒A品牌粽子和20盒B品牌粽子一共只需1 360元，求A，B兩種品牌粽子是按原價的幾折銷售？
真題及變式
命題點(diǎn)1　一次方程(組)及其解法(6年2考) 　
1. (2021廣東11題4分)二元一次方程組的解為　　　　.
2. [2020廣東21(1)題4分]已知關(guān)于x，y的方程組與的解相同，求a，b的值.
命題點(diǎn)2　一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用(6年2考) 　
3. (2022廣東19題9分)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，幾名學(xué)生要湊錢購買1本.若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元.問學(xué)生人數(shù)和該書單價各是多少？
拓展訓(xùn)練
4. (2024陜西)星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進(jìn)行一次家庭衛(wèi)生大掃除.根據(jù)這次大掃除的任務(wù)量，若小峰單獨(dú)完成，需4 h；若爸爸單獨(dú)完成，需2 h.當(dāng)天，小峰先單獨(dú)打掃了一段時間后，去參加籃球訓(xùn)練，接著由爸爸單獨(dú)完成了剩余的打掃任務(wù)，小峰和爸爸這次一共打掃了3 h，求這次小峰打掃了多長時間.
新考法
　第5題圖
5. “九宮圖”傳說是遠(yuǎn)古時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”.觀察圖①，我們可以歸納出“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，即九宮圖中每行、每列及對角線上的3個數(shù)之和都相等.同圖①的規(guī)律，那么在圖②中，mn＝　　　　.
6. 如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成.
(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；
(2)求電視背景墻的面積.
第6題圖
請完成分層作業(yè)本第8～9頁
考點(diǎn)精講
①b±c　②ac　③　④單價　⑤銷售收入
⑥路程　⑦＋　⑧＝　⑨＝
練考點(diǎn)
1. C
2. 解：2x－2－3＝x，
2x－x＝2＋3，
x＝5.
3. 方法一：代入消元法
解：令，
由①得x＝4－y③，
將③代入②中，得2(4－y)－y＝5，
化簡得8－3y＝5，
解得y＝1，
將y＝1代入③中，得x＝3，
∴方程組的解為.
一題多解法
方法二：加減消元法
解：令，
①＋②得3x＋y－y＝9，
解得x＝3，
將x＝3代入①中，解得y＝1，
∴方程組的解為.
4.
高頻考點(diǎn)
例1　解：3(2x＋1)－2x＝6，6x＋3－2x＝6，6x－2x＝6－3，4x＝3，x＝.
例2　解：方法一：
令，
由①得，y＝3－5x③，
將③代入②中，得3x－2(3－5x)＝7，
解得x＝1，
將x＝1代入③中，得y＝－2，
∴原方程組的解為；
方法二：
令，
①×2，得10x＋2y＝6③，
②＋③，得3x＋10x＝7＋6，
解得x＝1，
將x＝1代入①中，得5×1＋y＝3，
解得y＝－2，
∴原方程組的解為.
變式1　A　【解析】∵x＝2是關(guān)于x的一元一次方程3x＋m＝7的解，∴3×2＋m＝7，解得m＝1.
變式2　3　【解析】∵x－y＝3，∴y＝x－3.令，將y＝x－3分別代入①，②中，得，6×④－③，得12a－a＝30＋3，解得a＝3.
例3　解：(1)設(shè)A品牌粽子的進(jìn)價為x元/盒，B品牌粽子的進(jìn)價為y元/盒，
根據(jù)題意可得，
解得，
答：A品牌粽子的進(jìn)價為36元/盒，B品牌粽子的進(jìn)價為25元/盒；
(2)設(shè)A品牌粽子的售價為a元/盒，B品牌粽子的售價為b元/盒，
根據(jù)題意可得，
解得，
答：A品牌粽子的售價為50元/盒，B品牌粽子的售價為35元/盒；
(3)設(shè)購進(jìn)A品牌粽子m盒，則購進(jìn)B品牌粽子(200－m)盒，
根據(jù)題意可得(50－36)m＋(35－25)(200－m)＝2 500，
解得m＝125，
∴200－125＝75，
答：購進(jìn)A品牌粽子125盒，購進(jìn)B品牌粽子75盒；
(4)設(shè)A，B兩種品牌粽子按原價的n％銷售，
根據(jù)題意可得20×(50＋35)×n％＝1 360，
解得n＝80，
答：A，B兩種品牌粽子是按原價的八折銷售.
真題及變式
1. 　【解析】令，①×2得2x＋4y＝－4③，③－②得3y＝－6，解得y＝－2，將y＝－2代入①中，得x＋2×(－2)＝－2，解得x＝2，∴方程組的解為.
2. 解：由題意得，
解得.
把代入ax＋2y＝－10，
得3a＋2＝－10，
解得a＝－4， (2分)
把代入x＋by＝15，得3＋b＝15，
解得b＝12. (4分)
3. 解：設(shè)學(xué)生人數(shù)有x人，該書單價為y元，
由題意可得， (4分)
解得，
答：學(xué)生人數(shù)有7人，該書單價為53元. (9分)
一題多解法
解：設(shè)學(xué)生人數(shù)有x人，
由題意得8x－3＝7x＋4， (3分)
解得x＝7， (5分)
則該書單價為8×7－3＝53(元)， (8分)
答：學(xué)生人數(shù)有7人，該書單價為53元. (9分)
4. 解：設(shè)這次小峰打掃了x h，則爸爸打掃了(3－x)h，
根據(jù)題意，得x＋(3－x)＝1，
解得x＝2，
答：這次小峰打掃了2 h.
5. －1　【解析】∵九宮圖中每行、每列及對角線上的3個數(shù)之和都相等，，解得，∴mn＝(－1)5＝－1.
6. 解：(1)設(shè)一塊長方形墻磚的長為x m，寬為y m.
依題意得，
解得，
答：一塊長方形墻磚的長為1.2 m，寬為0.3 m；
(2)電視背景墻的面積為2×1.2×1.5＝3.6(m2)，
答：電視背景墻的面積為3.6 m2.微專題06　分式方程及其應(yīng)用
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　
1. 分式方程的有關(guān)概念
(1)分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程
(2)增根：使分式方程的分母為零的根叫做增根
(3)產(chǎn)生增根的原因：分式方程本身隱含分母不為0的條件，將其化為整式方程后沒有此條件限制了
2. 分式方程的解法(2024.9)
(1)解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程
(2)解法：方程兩邊同乘各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程，再求根驗(yàn)根
3. 分式方程的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)
(1)常見類型及關(guān)系式：
①行程問題：＝時間；
②工程問題：＝工作時間(當(dāng)題干中沒有給出具體的工作總量時，默認(rèn)工作總量為1)；
③購買問題：＝數(shù)量；
④航行問題：順?biāo)俣龋届o水船速＋水流速度；逆水速度＝靜水船速－水流速度
(2)一般步驟：
(3)雙檢驗(yàn)：①檢驗(yàn)是否是分式方程的根；②檢驗(yàn)是否符合實(shí)際問題
練考點(diǎn)
1. 下列方程中不是分式方程的是(　　)
A. －x＝0　　 B. ＝1
C. ＝x D. ＋y＝2
2. 解下列方程：
(1)＝；
(2)－＝1.
3. 小明在一家便利店買了若干瓶酸奶，結(jié)賬時共計(jì)48元，收銀員告訴他滿50元打八折，于是小明又拿了一瓶相同的酸奶，共花費(fèi)了44.8元.設(shè)該酸奶單價為x元/瓶，則可列方程為　　　　.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　分式方程及其解法(2024.9)
例1　 已知關(guān)于x的分式方程＝.
(1)若分式方程的解為x＝3，則m的值為　　　　；
(2)若m＝1，則該方程的解為　　　　；
(3)若分式方程有增根，則m的值為　　　　；
(4)若分式方程無解，則m的值為　　　　.
易錯警示
分式方程的增根與無解并非同一概念.
(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母為0的根；
(2)分式方程無解的原因有兩個：一是去分母后的整式方程無解；二是整式方程的解使得最簡公分母為0.
變式1　(2024遂寧)分式方程＝1－的解為正數(shù)，則m的取值范圍(　　)
A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2 C. m＜3 D. m＜3且m≠－2
考點(diǎn)2　分式方程的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)
例2　 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”，是我們必須世代傳承的文化根脈、文化基因.為傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校園內(nèi)掀起了傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)的熱潮.為滿足同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情，該校特派兩名學(xué)生代表小偉和小聰去采購相關(guān)書籍.
(1)兩人要去距離學(xué)校10 km的圖書批發(fā)市場購買圖書，因小偉有事耽擱，故小聰騎自行車先走，過了20 min后，小偉乘汽車出發(fā)，結(jié)果兩人同時到達(dá).已知汽車的平均速度是自行車平均速度的2倍，求小聰騎自行車的平均速度；
(2)兩人決定購買《三國演義》和《水滸傳》連環(huán)畫若干套，其中每套《三國演義》連環(huán)畫的價格比每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格貴60元，用4 800元購買《水滸傳》連環(huán)畫的套數(shù)是用3 600元購買《三國演義》連環(huán)畫套數(shù)的2倍，則每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格為多少元？
(3)將書全部運(yùn)回學(xué)校后，小偉和小聰開始整理所買書籍，小聰和小偉兩人共同整理5 min后，因小聰有事退出，小偉需再單獨(dú)整理7 min才能完成任務(wù)，若小聰單獨(dú)整理所買書籍需要15 min，求小偉單獨(dú)整理所買書籍需要多長時間？
真題及變式
命題點(diǎn)1　解分式方程(2024.9) 　
1. (2024廣東9題3分·人教八上例題改編)方程＝的解是(　　)
A. x＝－3 B. x＝－9 C. x＝3 D. x＝9
命題點(diǎn)2　分式方程的實(shí)際應(yīng)用(6年3考) 　
(2023廣東17題7分·人教八上習(xí)題改編)某學(xué)校開展了社會實(shí)踐活動，活動地點(diǎn)距離學(xué)校12 km.甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10 min，求乙同學(xué)騎自行車的速度.
變式
2.1 變情景——將同向出發(fā)變?yōu)橄嘞虺霭l(fā)
A，B兩地相距200千米，甲車從A地出發(fā)勻速開往B地，乙車同時從B地出發(fā)勻速開往A地，兩車相遇時距A地80千米.已知乙車每小時比甲車多行駛30千米，求甲、乙兩車的速度.
拓展訓(xùn)練
(2024綏化改編)一艘貨輪在靜水中的航速為40 km/h，它以該航速沿江順流航行120 km所用時間，與以該航速沿江逆流航行80 km所用時間相等，則江水的流速為多少？
新考法
4. [跨物理學(xué)科](人教八上例題改編)照相機(jī)成像應(yīng)用了一個重要原理，用公式＝＋(v≠f)表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片(像)到鏡頭的距離.已知f，v，則u＝(　　)
A. B. C. D.
5. [新定義運(yùn)算](北師八下復(fù)習(xí)題改編)對于實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“ ”為：a b＝，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算.例如：1 3＝＝－.則方程x (－2)＝－1的解是(　　)
A. x＝7 B. x＝6 C. x＝5 D. x＝4
6. [與數(shù)軸結(jié)合](人教八上習(xí)題改編)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為，王老師讓同學(xué)們在數(shù)軸上再標(biāo)出一點(diǎn) B.點(diǎn)B表示數(shù)，且AB比OA大2.若點(diǎn)A與點(diǎn)B的位置如圖所示，求x的值.
第6題圖
練考點(diǎn)
1. A
2. 解：(1)方程兩邊同乘x(x＋1)，得2x＝3(x＋1)，
去括號，得2x＝3x＋3，
系數(shù)化為1，得x＝－3，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－3時，x(x＋1)≠0，
∴x＝－3是原分式方程的解；
(2)方程兩邊同乘(x－2)，得－3－1＝x－2，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x＝－2，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－2時，x－2≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解.
3. －＝1
高頻考點(diǎn)
例1　解：(1)－　(2)x＝
(3)－　【解析】去分母得，2－x＝2mx，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得(2m＋1)x＝2，系數(shù)化為1，得x＝.∵分式方程有增根，∴，解得m＝－.
(4)－或－　【解析】由(3)得分式方程的解為x＝.∵分式方程無解，∴分兩種情況，當(dāng)整式方程無解時，即2m＋1＝0，解得m＝－，當(dāng)整式方程有解，分式方程無解時，即，解得m＝－，∴m的值為－或－.
變式1　B　【解析】方程兩邊同時乘以x－1得，2＝x－1－m，解得x＝m＋3，∵分式方程＝1－的解為正數(shù)，∴m＋3＞0，∴m＞－3，∵x≠1，即m＋3≠1，∴m≠－2，∴m的取值范圍為m＞－3且m≠－2.
例2　解：(1)設(shè)小聰騎自行車的平均速度為x km/h，則汽車的平均速度為2x km/h，
由題意得－＝，
解得x＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原分式方程的解，且符合題意，
答：小聰騎自行車的平均速度為15 km/h；
(2)設(shè)每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格為x元，則每套《三國演義》連環(huán)畫的價格為(x＋60)元，
由題意得＝2×，
解得x＝120，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝120是原分式方程的解且符合題意，
答：每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格為120元；
(3)設(shè)小偉單獨(dú)整理所買書籍需要x min，
由題意得(＋)×5＋7×＝1，
解得x＝18，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝18是原分式方程的解且符合題意，
答：小偉單獨(dú)整理所買書籍需要18 min.
真題及變式
1. D　【解析】＝，2x＝3(x－3)，解得x＝9，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝9時，x(x－3)≠0，∴x＝9是原分式方程的解.
2. 解：設(shè)乙同學(xué)騎自行車的速度為x km/h，則甲同學(xué)騎自行車的速度為1.2x km/h，
由題意得－＝，
解得x＝12，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原分式方程的解，且符合實(shí)際，
答：乙同學(xué)騎自行車的速度為12 km/h.
變式2.1　解：設(shè)甲車的速度是x千米/時，乙車的速度為(x＋30)千米/時，
由題意，得＝，
解得x＝60，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原分式方程的解，且符合實(shí)際，
∴x＋30＝90.
答：甲車的速度是60千米/時，乙車的速度是90千米/時.
3. 解：設(shè)江水的流速為x km/h，則沿江順流航行的速度為(40＋x) km/h，沿江逆流航行的速度為(40－x) km/h，
根據(jù)題意得＝，
解得x＝8，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是原分式方程的解，且符合題意.
答：江水的流速為8 km/h.
4. C　【解析】∵＝＋，∴＝－，∴＝，∴u＝ .
5. C　【解析】已知等式整理，得＝－1，去分母得1＝2－x＋4，解得x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是分式方程的解.
6. 解：根據(jù)題意，得－－＝2，
解得x＝，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是原分式方程的解.
∴x的值為.微專題07　一元二次方程及其應(yīng)用
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　
1. 一元二次方程的相關(guān)概念
(1)概念：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是①　　　　的整式方程
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a②　　　　0)
2. 一元二次方程的解法(6年4考)
解法 適用情況或步驟
直接開 平方法 (1)當(dāng)方程缺少一次項(xiàng)時，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)； (2)形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
因式分 解法 (1)常數(shù)項(xiàng)為0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)； (2)一元二次方程的一邊為0，而另一邊是易于分解成兩個一次因式的乘積 注：方程求解過程中，等式兩邊不能同時約去含有相同未知數(shù)的因式
公式法 適用于所有一元二次方程，求根公式為③　　　　(b2－4ac≥0) 步驟：(1)使用求根公式時要先把原一元二次方程化為一般形式，方程的右邊一定要化為0； (2)判斷b2－4ac的正負(fù)：若b2－4ac④　　　　0，則原方程無實(shí)數(shù)解；若b2－4ac⑤　　　　0，則原方程有實(shí)數(shù)解 注：將a，b，c代入公式時應(yīng)注意其符號
配方法 適用于：(1)二次項(xiàng)系數(shù)化為1后，一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程； (2)各項(xiàng)的系數(shù)比較小且便于配方的情況 步驟：以2x2－8x＋4＝0為例 (1)變形：將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2－4x＋2＝0； (2)移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得x2－4x＝－2； (3)配方：方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2－4x＋4＝－2＋4，即(x－2)2＝2； (4)求解：用直接開平方法求解，得x1＝2＋，x2＝2－
3. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系(6年2考)
(1)根的判別式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式
(2)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：
①b2－4ac＞0 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
②b2－4ac＝0 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
③b2－4ac＜0 方程沒有實(shí)數(shù)根
(3)根與系數(shù)的關(guān)系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1·x2＝(2022年版課標(biāo)調(diào)整為考查內(nèi)容)
4. 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
平均 變化 率問題 (1)變化率＝×100％； (2)設(shè)a為原來量，當(dāng)m為平均增長率，增長次數(shù)為2，b為增長后的量時，則⑥　　　＝b； (3)設(shè)a為原來量，當(dāng)m為平均下降率，下降次數(shù)為2，b為下降后的量時，則⑦　　　＝b
利潤 問題 (1)利潤＝售價－成本； (2)利潤率＝×100％； (3)每每問題：單價每漲a元，少賣b件.若漲價y元，則少賣的數(shù)量為·y件
面積 問題 S陰影＝(a－2x)(b－2x) S陰影＝(a－x)(b－x) S陰影＝(a－x)(b－x)
練考點(diǎn)
1. 若關(guān)于x的方程(k－3)x2－8x－10＝0是一元二次方程，則k的取值范圍是　　　　.
2. 解方程：x2－3x＋2＝0.
3. 一元二次方程x2－x＋4＝0的根的情況為(　　)
A. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
B. 有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個實(shí)數(shù)根
D. 沒有實(shí)數(shù)根
4. 關(guān)于x的一元二次方程x2－mx＋3＝0的一個根是1，則該方程的另一個根為　　　　　　　.
5. 為了滿足師生的閱讀需求，某校園圖書館的藏書從2022年至2024年兩年內(nèi)由5萬冊增加到7.2萬冊，則這兩年藏書的年平均增長率為　　　　.
6. 某商場銷售某種冰箱，每臺進(jìn)貨價為2 500元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售價為2 900元時，平均每天能售出8臺.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若銷售價每降低50元，則平均每天能多售出4臺.
(1)若銷售價降低1元，則平均每天能多售出　　　臺；
(2)已知商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5 000元，設(shè)每臺冰箱降價x元，可列方程為　　　　.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　一元二次方程及其解法(6年4考)
例1　(人教九上習(xí)題改編)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>(1)5(x－3)2＝45；　　　　　　　　　　　(2)x2＋4x＝12；
x2－4x＋3＝0； (4)x2＋3x＋1＝0.
變式1　(2024東莞一模改編)用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0時，將它化為(x＋a)2＝b的形式，則a＋b的值為(　　)
A. B. C. 2 D.
考點(diǎn)2　一元二次方程根的判別式(2024.13)
例2　 已知關(guān)于x的一元二次方程(k－2)x2＋4x－1＝0，請回答下列問題：
(1)若原方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　　　　；
(2)若原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　　　　；
(3)若原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　　　　；
(4)若原方程沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　　　　.
易錯警示
本題容易出現(xiàn)的錯誤是忽略“一元二次方程中二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”這個條件.
變式2　 若方程(x－1)2＝m＋2無實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為(　　)
A. m＜－2 B. m≤－2 C. m＞－2 D. m＞－2且m≠0
變式3　(2023廣州)已知關(guān)于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則－()2的化簡結(jié)果是(　　)
A. －1 B. 1 C. －1－2k D. 2k－3
考點(diǎn)3　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(2019.9)
例3　(人教九上習(xí)題改編)設(shè)x1，x2是方程x2－6x＋2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則：
(1)＋＝　　　　；
(2)＋＝　　　　；
(3)x2＋x1＝　　　　.
變式4　(2024佛山二模)若一個關(guān)于x的一元二次方程的兩根互為相反數(shù)，請你寫出一個滿足條件的方程：　　　　　　　.
考點(diǎn)4　一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
例4　 根據(jù)市場需求，某公司的業(yè)務(wù)規(guī)模快速擴(kuò)大，如圖是該公司用來生產(chǎn)一種無蓋長方體容器的矩形原料，該矩形原料的長為20 cm，寬為16 cm.
(1)隨著技術(shù)逐年更新，該矩形原料的成本不斷下降，前年一張矩形原料的成本是50元，今年一張矩形原料的成本是32元，求這種矩形原料成本的年平均下降率；
　例4題圖
將該矩形原料的四角剪去四個相同的小正方形，然后把剩余部分(陰影部分)沿虛線折起可做成一個無蓋長方體容器.若該無蓋長方體容器的底面積為140 cm2，求剪去的小正方形的邊長；
若該無蓋長方體容器的成本是50元/個，如果以100元/個銷售，每天可以售出200個，為盡可能大地讓利購買者，同時減少產(chǎn)品庫存積壓，公司決定降低售價，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，銷售數(shù)量就增加20個，則當(dāng)該公司將銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤為16 000元？
真題及變式
命題點(diǎn)1　一元二次方程及其解法(6年4考) 　
1. (2022廣東14題3分)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，則a＝　　　　.
2. (2021廣東14題4分)若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c為常數(shù))的兩根x1，x2滿足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，則符合條件的一個方程為　　　　.
命題點(diǎn)2　一元二次方程根的判別式(2024.13) 　
3. (2024廣東13題3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則c＝　　　　.
命題點(diǎn)3　一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(2019.9) 　
4. (2019廣東9題3分)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩個實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯誤的是(　　)
A. x1≠x2 B. －2x1＝0 C. x1＋x2＝2 D. x1·x2＝2
4.1 變思維——結(jié)合兩根關(guān)系求系數(shù)
(2024樂山改編)若關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋p＝0兩根為x1，x2，且＋＝3，則P的值為(　　)
－　　　　　 B. 　　　　　
C. －6　　　　　　　D. 6
新考法
5. [數(shù)學(xué)文化] 我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑.內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一.”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn).如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計(jì)算水平就是第一了.如圖，設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是　　　　.
　第5題圖
6. [綜合與實(shí)踐]
【主題】探究日歷中的奧秘.
【素材】2024年10月1日是我國成立75周年紀(jì)念日，本月日歷如圖所示.
步驟一：在本月的日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)(如圖所示)；
步驟二：設(shè)這四個數(shù)從小到大依次為a，b，c， C.
【觀察】小方框中的4個數(shù)a，b，c，d，總存在著某種數(shù)量關(guān)系.
【猜想與應(yīng)用】(1)請用含a的式子表示b，c，d；
(2)若圈出的4個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為128，求這個最大數(shù).
第6題圖
考點(diǎn)精講
①2　②≠　③x＝　④＜　⑤≥
⑥a(1＋m)2　⑦a(1－m)2
練考點(diǎn)
1. k≠3
2. 解：Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1，
∴x＝或x＝，
∴x＝2或x＝1；
一題多解法
(x－1)(x－2)＝0，
x－1＝0或x－2＝0，
解得x＝1或x＝2.
3. D　【解析】∵a＝1，b＝－1，c＝4，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×4＝－15＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根.
4. 3　【解析】∵a＝1，c＝3，且x1·x2＝，由題可知，x1＝1，∴x2＝3，即另一個根為3.
5. 20％
6. (1)；(2)(2 900－x－2 500)(8＋)＝5 000
高頻考點(diǎn)
例1　解：(1)等式兩邊同除以5，得(x－3)2＝9，
開平方，得x－3＝±3，
解得x1＝6，x2＝0；
(2)等式兩邊同加上4，得x2＋4x＋4＝16，
即(x＋2)2＝16，
∴x＋2＝±4，
∴x1＝2，x2＝－6；
(3)原方程可變形為(x－3)(x－1)＝0，
∴x－3＝0或x－1＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
(4)∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
變式1　B　【解析】∵3x2＋6x－1＝0，∴3x2＋6x＝1，x2＋2x＝，則x2＋2x＋1＝＋1，即(x＋1)2＝，∴a＝1，b＝，∴a＋b＝.
例2　(1)k≥－2且k≠2　【解析】由題意得，42－4×(k－2)×(－1)≥0，且k－2≠0，解得k≥－2且k≠2.
(2)k＝－2　【解析】由題意得，42－4×(k－2)×(－1)＝0，且k－2≠0，解得k＝－2.
(3)k＞－2且k≠2　【解析】由題意得，42－4×(k－2)×(－1)＞0，且k－2≠0，解得k＞－2且k≠2.
(4)k＜－2　【解析】由題意得，42－4×(k－2)×(－1)＜0，且k－2≠0，解得k＜－2.
變式2　A　【解析】∵方程(x－1)2＝m＋2無實(shí)數(shù)根，∴m＋2＜0，∴m＜－2.
變式3　A　【解析】∵關(guān)于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有兩個實(shí)數(shù)根，∴Δ＝[－(2k－2)]2－4×1×(k2－1)≥0，整理得－8k＋8≥0，∴k≤1，∴k－1≤0，2－k＞0，∴－()2＝－(k－1)－(2－k)＝－1.
例3　(1)3　【解析】∵x2－6x＋2＝0，∴x1＋x2＝－＝6，x1x2＝＝2，∴＋＝＝3.
(2)32　【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴＋＝(x1＋x2)2－2x1x2＝36－4＝32.
(3)12　【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴x2＋x1＝x2x1(x1＋x2)＝2×6＝12.
變式4　x2－4＝0(答案不唯一)　【解析】設(shè)所求方程式x2＋bx＋c＝0，∵方程的兩根互為相反數(shù)，∴－＝－b＝x1＋x2＝0，＝c＝x1·x2＜0，∴所求方程為x2＋c＝0(c＜0)，∴滿足條件的方程可以為x2－4＝0(答案不唯一).
例4　解：(1)設(shè)這種矩形原料成本的年平均下降率為x，
由題意得50(1－x)2＝32，
解得x1＝1.8(舍去)，x2＝0.2＝20％.
答：這種矩形原料成本的年平均下降率為20％；
(2)設(shè)剪去的小正方形的邊長是x cm，則長方體容器底面的長為(20－2x) cm，寬為(16－2x) cm，
由題意得(20－2x)(16－2x)＝140，
解得x1＝3，x2＝15，
∵當(dāng)x＝15時，16－2x＜0，∴x＝15不符合題意，舍去，
答：剪去的小正方形的邊長為3 cm；
(3)設(shè)該公司將銷售單價定為x元，
由題意得(x－50)[200＋20(100－x)]＝16 000，
整理，得x2－160x＋6 300＝0，
解得x1＝70，x2＝90.
∵要盡可能大地讓利購買者，同時減少產(chǎn)品庫存積壓，
∴x＝70.
答：當(dāng)該公司將銷售單價定為70元時，每天的銷售利潤為16 000元.
真題及變式
1. 1　【解析】將x＝1代入方程x2－2x＋a＝0中，得1－2＋a＝0，解得a＝1.
2. x2－4＝0(答案不唯一)　【解析】設(shè)x1＝－2，x2＝2，∴(x＋2)(x－2)＝0，即x2－4＝0.
3. 1　【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝22－4c＝0，解得c＝1.
4. D　【解析】由x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2，則x1≠x2；無論x1為0或2時，均滿足－2x1＝0；x1＋x2＝0＋2＝2；x1·x2＝0×2＝0，從而可判斷選項(xiàng)A，B，C正確，選項(xiàng)D錯誤.
變式4.1　B　【解析】∵x1，x2為一元二次方程x2－2x＋p＝0的兩個根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝p，∴＋＝＝＝3，解得p＝.
5. π(＋3)2－x2＝72　【解析】由題圖易得，圓的直徑為x＋6，半徑則為＋3，圓的面積為π(＋3)2，可得方程是π(＋3)2－x2＝72.
6. 解：(1)b＝a＋1，c＝a＋7，d＝a＋8；
(2)依題意，得ad＝128，
∴a(a＋8)＝128，
整理得a2＋8a－128＝0，解得a1＝8，a2＝－16(不合題意，舍去)，
∴d＝8＋8＝16，
即這個最大數(shù)為16.微專題08　一次不等式(組)及不等式的應(yīng)用
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　　
1. 不等式的基本性質(zhì)
(1)定義：用不等號(如：“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”)連接而成的數(shù)學(xué)式子叫做不等式
(2)基本性質(zhì)1：若a＞b，b＞c，則①　　　
(3)基本性質(zhì)2：若a＞b，則a±c＞b±c；若a＜b，則a±c②　　　　b±c
(4)基本性質(zhì)3：若a＜b，c＞0，則ac③　　　bc，④　　；若a＜b，c＜0，則ac⑤　　　　bc，⑥　　　　
2. 一元一次不等式的解法及解集表示
(1)解法步驟
去分母→去括號→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1
(2)解集的表示
解集 在數(shù)軸上的表示 總結(jié)
x＜a 在數(shù)軸上表示解集時，要注意：“＞”或“＜”是空心圓圈，“≥”或“≤”是實(shí)心圓點(diǎn)；小于向左，大于向右
x＞a
x≤a
x≥a
3. 一元一次不等式組的解法及解集表示(6年6考)
類型(a＞b) 在數(shù)軸上的表示 口訣 解集
同大取大 x≥a
同小取小 x≤b
大小、小大取中間 b≤x≤a
大大、小小取不了 無解
4. 一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)
(1)列不等式解應(yīng)用題的基本步驟：審題→設(shè)未知數(shù)→列不等式→解不等式→檢驗(yàn)→作答
(2)解決不等式的實(shí)際應(yīng)用問題時，常見的關(guān)鍵詞與不等號的對應(yīng)表：
常見關(guān)鍵詞 不等號
大于，多于，超過，高于 ＞
小于，少于，不足，低于 ＜
至少，不低于，不小于，不少于 ⑦　　　
至多，不高于，不大于，不超過 ⑧　　　
練考點(diǎn)
1. 若x＞y，則下列結(jié)論中不一定成立的是(　　)
A. x－1＞y－1
B. x＋2＞y＋2
C. x2＞y2
D. －＜－
2. 解不等式＜x－2.
3. 解不等式組：，并將解集在數(shù)軸上表示出來.
第3題圖
4. 品茗茶園要劃分一片長方形土地種植龍井茶，若要給這塊地圍一圈柵欄，且柵欄的總長度不超過10 km，已知此長方形土地寬比長少1 km，設(shè)寬為x km，則可列不等式為　　　　.
5. 小真用100元錢去購買筆記本和鋼筆共20件.已知每本筆記本3元，每支鋼筆8元.則小真最多能買　　　　支鋼筆.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　不等式的基本性質(zhì)
例1　(2024廣州)若a＜b，則(　　)
A. a＋3＞b＋3 B. a－2＞b－2 C. －a＜－b D. 2a＜2b
變式1　(2024佛山模擬)若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，則a的取值范圍是(　　)
A. a＞3 B. a＜3 C. a≥3 D. a≤3
考點(diǎn)2　一元一次不等式(組)的解法及解集表示(6年6考)
例2　(2024河南)下列不等式中，與－x＞1組成的不等式組無解的是(　　)
A. x＞2 B. x＜0 C. x＜－2 D. x＞－3
變式2　(2024浙江)不等式組的解集在數(shù)軸上表示為(　　)
考點(diǎn)3　一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用(6年5考)
例3　 某商店銷售筆記本和筆袋兩種文具.
(1)若商店計(jì)劃購進(jìn)兩種文具共10個，若要求購買的筆記本的數(shù)量至少是筆袋的4倍，則購買筆記本的數(shù)量至少為多少本？
張老師準(zhǔn)備用200元購買筆記本、筆袋共30個，并將這些文具獎給期末進(jìn)步的學(xué)生.已知筆記本每本5元，筆袋每個8元，則張老師最多能購買多少個筆袋？
(3)筆記本的進(jìn)價為2元，出售時標(biāo)價為5元，后來由于該文具積壓，商店準(zhǔn)備打折出售，但要保證利潤率不低于5％，則至多可打幾折？
真題及變式
命題點(diǎn)1　一元一次不等式(組)的解法及解集表示(6年6考) 　
1. (2023廣東8題3分)一元一次不等式組的解集為(　　)
A. －1＜x＜4 B. x＜4 C. x＜3 D. 3＜x＜4
2. (2020廣東8題3分)不等式組的解集為(　　)
A. 無解 B. x≤1 C. x≥－1 D. －1≤x≤1
3. (2024廣東12題3分)關(guān)于x的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則這個不等式組的解集是　　　　.
　第3題圖
(2021廣東18題6分)解不等式組.
命題點(diǎn)2　一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用(6年3考) 　
5. (2023廣東14題3分·北師八下隨堂練習(xí)改編)某商品進(jìn)價4元，標(biāo)價5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10％，則最多可打　　　　折.
5.1 變設(shè)問——將最多可打折變?yōu)樽疃嗫山祪r
某商品的進(jìn)價為4元，標(biāo)價6元出售.商店準(zhǔn)備降價銷售，但其利潤率不能少于20％，則最多可降價　　　　元.
6. (2019廣東21題7分)某校為了開展“陽光體育運(yùn)動”，計(jì)劃購買籃球、足球共60個，已知每個籃球的價格為70元，每個足球的價格為80元.
(1)若購買這兩類球的總金額為4 600元，求籃球、足球各買了多少個？
(2)若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，求最多可購買多少個籃球？
新考法
7. [真實(shí)問題情境](2024江西)如圖，書架寬84 cm，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚0.8 cm，每本語文書厚1.2 cm.
(1)數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本？
(2)如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本？
　第7題圖
8. [注重過程性](人教七下閱讀與思考改編)閱讀感悟：
代數(shù)證明題是數(shù)學(xué)中常見的一種題型，它要求運(yùn)用邏輯推理和代數(shù)知識來證明某個數(shù)學(xué)命題的正確性，如下例題：
例：已知實(shí)數(shù)x、y滿足x＞y＞0，證明：x2＞y2.
證明：∵x＞y且x，y均為正數(shù)，
∴x2＞　　　　，xy＞　　　　，(不等式的兩邊都乘以同一個正數(shù)，不等號的方向不變)
∴x2＞y2.(不等式的傳遞性)
解決問題：
(1)請將上面的證明過程填寫完整；
(2)嘗試證明：若a＜b，則＜b.
考點(diǎn)精講
①a＞c　②＜　③＜　④＜　⑤＞　⑥＞　⑦≥　⑧≤
教材改編題練考點(diǎn)
1. C
2. 解：去分母，得x－1＜3(x－2)，
去括號，得x－1＜3x－6，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得－2x＜－5，
系數(shù)化為1，得x＞.
3. 解：解不等式x－1＜2，得x＜3，
解不等式－3x－1≤2，得x≥－1，
∴該不等式組的解集為－1≤x＜3，
將解集在數(shù)軸上表示如解圖.
第3題解圖
4. 2x＋2(x＋1)≤10　【解析】∵此長方形土地寬比長少1 km，∴長為(x＋1) km，又∵柵欄的長度不超過10 km，∴可列不等式為2x＋2(x＋1)≤10.
5. 8　【解析】設(shè)小真購買x支鋼筆，則購買(20－x)本筆記本，根據(jù)題意，得8x＋3(20－x)≤100，解得x≤8，∴x的最大值為8，即小真最多能買8支鋼筆.
高頻考點(diǎn)
例1　D　【解析】由題知，a＜b，兩邊同時加上3，得a＋3＜b＋3，則A不符合題意；兩邊同時減去2，得a－2＜b－2，則B選項(xiàng)不符合題意；兩邊同時乘－1，得－a＞－b，則C選項(xiàng)不符合題意；兩邊同時乘2，得2a＜2b，則D選項(xiàng)符合題意.
變式1　D　【解析】∵若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，∴a－3≤0，∴a≤3.
例2　A　【解析】∵－x＞1，∴x＜－1，∴選項(xiàng)中的與x＜－1組成的不等式組無解的是x＞2.
變式2　A　【解析】解不等式2x－1≥1，得x≥1，解不等式3(2－x)＞－6，得x＜4，∴不等式組的解集為1≤x＜4，解集在數(shù)軸上表示如選項(xiàng)A所示.
例3　解：(1)設(shè)購買筆記本的數(shù)量為x本，則購買筆袋的數(shù)量為(10－x)個，
根據(jù)題意可得x≥4(10－x)，解得x≥8，
∴購買筆記本的數(shù)量至少為8本；
(2)設(shè)購買筆袋的數(shù)量為x個，則購買筆記本的數(shù)量為(30－x)本，
根據(jù)題意可得8x＋5(30－x)≤200，解得x≤，
∵x為正整數(shù)，
∴張老師最多能購買筆袋16個；
(3)設(shè)打x折出售，
根據(jù)題意可得5×－2≥2×5％，解得x≥4.2，
∴至多可打4.2折.
真題及變式
1. D　【解析】令，解不等式①得x＞3，∴該不等式組的解集為3＜x＜4.
2. D　【解析】解不等式2－3x≥－1得x≤1，解不等式x－1≥－2(x＋2)得x≥－1，∴不等式組的解集是－1≤x≤1.
3. x≥3
4. 解：令，
解不等式①，得x＜2， (2分)
解不等式②，得x＞－1， (4分)
∴原不等式組的解集為－1＜x＜2. (6分)
5. 8.8　【解析】設(shè)這種商品打x折銷售，根據(jù)題意可列不等式5×0.1x－4≥4×10％，解得x≥8.8，∴該商品最多可以打8.8折.
變式5.1　1.2　【解析】設(shè)該商品可降價x元，根據(jù)題意，得×100％≥20％，解得x≤1.2，∴最多可降價1.2元.
6. 解：(1)設(shè)買了x個籃球，y個足球， (1分)
由題意得， (2分)
解得. (3分)
答：籃球買了20個，足球買了40個； (4分)
(2)設(shè)購買了a個籃球，則購買了(60－a)個足球，
由題意得70a≤80×(60－a)， (5分)
解得a≤32， (6分)
答：最多可購買32個籃球. (7分)
7. 解：(1)設(shè)書架上數(shù)學(xué)書有x本，語文書有y本，
由題意，得，
解得，
答：書架上數(shù)學(xué)書有60本，語文書有30本；
一題多解法
設(shè)書架上數(shù)學(xué)書有x本，則語文書有(90－x)本，
由題意，得0.8x＋1.2(90－x)＝84，
解得x＝60，
∴90－x＝30(本).
答：書架上數(shù)學(xué)書有60本，語文書有30本；
(2)設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，
由題意，得10×1.2＋0.8m≤84，
解得m≤90.
答：數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本.
8. (1)解：補(bǔ)全證明過程如下：
證明：∵x＞y且x，y均為正數(shù)，
∴x2＞xy，xy＞y2，(不等式的兩邊都乘以同一個正數(shù)，不等號的方向不變)
∴x2＞y2；(不等式的傳遞性)
(2)證明：∵a＜b，
∴a＋b＜b＋b，∴＜b.微專題09　平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　
1. 平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征(6年3考)
各象 限內(nèi)
坐標(biāo) 軸上 點(diǎn)P(a，b)在坐標(biāo)軸上，則有： 在x軸上 ③　　　　； 在y軸上 ④　　　　； 在原點(diǎn)上 a＝⑤　　　，b＝⑥　　　 注：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任一象限
各象限 角平分 線上 第一、三象限角平分線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)⑦　　　　； 第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為⑧　　
平行于 坐標(biāo)軸 的直線上 平行于x軸的直線上的點(diǎn)的⑨　　　　相等； 平行于y軸的直線上的點(diǎn)的⑩　　　　相等
點(diǎn)的對 稱變換 P(x，y)P1 　　　； P(x，y)P2 　　　； P(x，y)P3 　　 口訣：關(guān)于誰對稱，誰不變，另一個變號，關(guān)于原點(diǎn)對稱都變號
點(diǎn)的 平移 (m＞0) P(x，y)P 　　　； P(x，y)P(x＋m，y)； P(x，y)P 　　　； P(x，y)P(x，y－m) 口訣：左減右加，上加下減
2. 平面直角坐標(biāo)系中的距離
點(diǎn)到坐標(biāo)軸及 原點(diǎn)的距離 點(diǎn)P(x，y)到x軸的距離是 　　　； 點(diǎn)P(x，y)到y(tǒng)軸的距離是 　　　； 點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是 　　
平行于坐標(biāo)軸 的直線上兩點(diǎn) 間距離 已知點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)為平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)，則： (1)若PQ∥x軸 y1＝y(tǒng)2，PQ＝｜x1－x2｜； (2)若PQ∥y軸 x1＝x2，PQ＝｜y1－y2｜
3. 函數(shù)的概念及表示方法(2022.10)
概念 (1)函數(shù)：一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有 　　　　的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量； (2)函數(shù)值：如果當(dāng)x＝a時，y＝b，那么b叫做當(dāng)自變量為a時的函數(shù)值
表示方法 列表法、解析式法和圖象法
畫函數(shù)圖象的步驟 列表—描點(diǎn)—連線
4. 函數(shù)自變量的取值范圍
函數(shù)解析式的形式 自變量的取值范圍
含有分式 使 　　　　　的實(shí)數(shù)
含有二次根式 使 　　　　　　　　　的實(shí)數(shù)
含有分式與二次根式 使分母不為0且被開方數(shù)大于等于0的實(shí)數(shù)
練考點(diǎn)
1. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－3，－1)，填空：
(1)點(diǎn)P在第　　　象限；
(2)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為　　　　，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為　　　　；
(3)將點(diǎn)P向上平移2個單位長度得到點(diǎn)P3的坐標(biāo)為　　　.
2. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－3，4)，
(1)點(diǎn)A到x軸的距離是　　　　，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離是　　　　，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是　　　　；
(2)線段AB與x軸平行，且AB＝3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　.
3. 下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是　　　　.
4. 函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍為　　　　.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征(6年3考)
例1　 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a＋1，2a－4).
(1)若點(diǎn)B位于第四象限，則a的取值范圍為　　　　；
(2)若點(diǎn)B在x軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　，若點(diǎn)B在y軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　；
(3)若點(diǎn)B在第一、三象限的角平分線上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　；
(4)若點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C(－4，－2)，則a的值為　　　　；
(5)若將點(diǎn)B向上平移3個單位長度得到點(diǎn)D(2，1)，則a的值為　　　　；
(6)已知點(diǎn)E(－1，3)，且直線BE∥y軸，則線段BE的長為　　　　.
考點(diǎn)2　函數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)(2022.10)
例2　(2024佛山順德區(qū)二模)要使式子有意義，則x的取值范圍是　　　　.
變式1　(2024齊齊哈爾改編)在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是　　　　　.
例3　(人教八下復(fù)習(xí)題改編)如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接CD，設(shè)△BDE的面積為y，CE＝x，求y與x之間的函數(shù)解析式.
例3題圖
變式2　 在△ABC中，AC＝5 m，BC＝3 m，∠ABC＝90°，D是AC邊上一動點(diǎn)，動點(diǎn)P以1 m/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A→B→C運(yùn)動，且PD⊥A C. 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為x s時，點(diǎn)P到AC的距離PD為y m，求y與x的函數(shù)關(guān)系式并注明自變量x的取值范圍.
變式2題圖
考點(diǎn)3　函數(shù)圖象的分析與判斷
例4　(2024武漢)如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實(shí)心圓柱體，向水槽勻速注水.下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數(shù)關(guān)系的是(　　)
例5　(2024珠海香洲區(qū)三模)如圖①，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動點(diǎn)P，Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE－ED－DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是1 cm/s，設(shè)P，Q同時出發(fā)t s時，△BPQ的面積為y cm2，已知y與t的函數(shù)關(guān)系如圖②所示(曲線OM為拋物線的一部分)，則下列結(jié)論錯誤的是(　　)
例5題圖
A. AE＝3 cm
B. 當(dāng)5＜t＜7時，△BPQ的面積是10 cm2
C. 當(dāng)0＜t≤5時，y＝t2
D. 當(dāng)t＝時，＝
方法解讀
分析判斷函數(shù)圖象的解題方法：
(1)弄清楚橫軸與縱軸所表示的函數(shù)變量；
(2)結(jié)合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，在圖象中找相對應(yīng)的點(diǎn)；
(3)拐點(diǎn)：圖象上的拐點(diǎn)既是前一段函數(shù)圖象的終點(diǎn)，又是后一段函數(shù)圖象的起點(diǎn)，反映函數(shù)圖象在這一時刻開始發(fā)生變化；
(4)水平線：函數(shù)值隨自變量的變化而保持不變；
(5)交點(diǎn)：表示兩個函數(shù)的自變量與函數(shù)值分別對應(yīng)相等，這個交點(diǎn)是函數(shù)值大小關(guān)系的“分界點(diǎn)”.
真題及變式
命題點(diǎn)1　平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征(6年3考) 　
1. (2020廣東3題3分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(3，2)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A. (－3，2) B. (－2，3) C. (2，－3) D. (3，－2)
2. (2022廣東6題3分)在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)(1，1)向右平移2個單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)
A. (3，1) B. (－1，1) C. (1，3) D. (1，－1)
命題點(diǎn)2　函數(shù)的概念(2022.10) 　
3. (2022廣東10題3分·源于人教八下習(xí)題)水中漣漪(圓形水波)不斷擴(kuò)大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關(guān)系式為C＝2πr.下列判斷正確的是(　　)
A. 2是變量 B. π是變量 C. r是變量 D. C是常量
新考法
4. [真實(shí)問題情境](2024貴州)為培養(yǎng)青少年的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)思維，某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團(tuán).小紅將“科”“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標(biāo)系，使“創(chuàng)”“新”的坐標(biāo)分別為(－2，0)，(0，0)，則“技”所在的象限為(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
第4題圖
5. [新定義概念](2024河北)在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點(diǎn)的“特征值”.如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個頂點(diǎn)中“特征值”最小的是(　　)
第5題圖
A. 點(diǎn)A B. 點(diǎn)B C. 點(diǎn)C D. 點(diǎn)D
6. [代數(shù)推理](2024綏化)如圖，已知A1(1，－)，A2(3，－)，A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，－)，…，依此規(guī)律，則點(diǎn)A2 024的坐標(biāo)為　　　　.
第6題圖
考點(diǎn)精講
①(－，＋)②(＋，－)③b＝0　④a＝0　⑤0　⑥0
⑦相等　⑧相反數(shù)　⑨縱坐標(biāo)　⑩橫坐標(biāo)　 (x，－y)
(－x，y)　 (－x，－y)　 (x－m，y)　 (x，y＋m)
｜y｜　 ｜x｜　 　 唯一確定　 分母不為0
被開方數(shù)大于等于0
練考點(diǎn)
1. (1)三；(2)(－3，1)，(3，－1)；
(3)(－3，1)
2. (1)4，3，5；(2)(－6，4)或(0，4)
3. ③
4. x≠－3
高頻考點(diǎn)
例1　(1)－1＜a＜2　【解析】∵點(diǎn)B位于第四象限，∴，解得－1＜a＜2；
(2)(3，0)，(0，－6)　【解析】∵點(diǎn)B在x軸上，∴2a－4＝0，解得a＝2，∴a＋1＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)；∵點(diǎn)B在y軸上，∴a＋1＝0，解得a＝－1，∴2a－4＝－6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－6).
(3)(6，6)　【解析】∵點(diǎn)B在第一、三象限的角平分線上，∴a＋1＝2a－4，解得a＝5，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，6).
(4)3　【解析】∵點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C(－4，－2)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，2)，即a＋1＝4，解得a＝3(或2a－4＝2，解得a＝3).
(5)1　【解析】∵將點(diǎn)B向上平移3個單位長度得到點(diǎn)D(2，1)，∴點(diǎn)B，D的橫坐標(biāo)相同，∴a＋1＝2，解得a＝1(或2a－4＋3＝1，解得a＝1).
(6)11　【解析】∵E(－1，3)，直線BE∥y軸，∴a＋1＝－1，解得a＝－2.∴2a－4＝－8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，－8)，∴BE＝3－(－8)＝11.
例2　x≥4　【解析】∵式子有意義，∴x－4≥0，∴x≥4.
變式1　x≥－3且x≠－2　【解析】由題意可得，，解得x≥－3且x≠－2.
例3　解：∵△ABC是等邊三角形，DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∵CE＝x，∴BE＝2－x，
在Rt△BDE中，∵DE＝BE·tan B，
∴DE＝(2－x)，
∴y＝S△BDE＝BE·DE＝(2－x)2.
變式2　解：當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動時，
∵AC＝5，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴AB＝4，
∵PD⊥AC，
∴sin A＝＝＝，即＝，
∴y＝x，0≤x≤4；
當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動時，
則AB＋BP＝x，PC＝AB＋BC－x＝7－x，
∵sin C＝＝＝，
即＝，
∴y＝－x＋，4＜x≤7，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝.
例4　D　【解析】下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面上升更慢，所以對應(yīng)圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩.
例5　C　【解析】當(dāng)t＝5時，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E，當(dāng)5＜t＜7時，點(diǎn)P在ED上運(yùn)動，y＝10 cm2，當(dāng)t＝7時，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D，故選項(xiàng)B正確；BE＝BC＝1×5＝5 cm，當(dāng)5＜t＜7時，S△PBQ＝BQ·AB＝×5AB＝10 cm2，解得AB＝4 cm，∴AE＝＝＝3 cm，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)0＜t≤5時，點(diǎn)P在線段BE上，則BP＝BQ＝t cm，如解圖①，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，易得△PBH∽△BEA，∴＝，∴PH＝.∴y＝BQ·PH＝×t×t＝t2，故選項(xiàng)C錯誤；∵BE＋ED＝7 cm，∴當(dāng)t＝時，點(diǎn)P在線段CD上，如解圖②，BQ＝BC＝5 cm，PQ＝BE＋ED＋CD－1×＝，＝＝.故選項(xiàng)D正確.
例5題解圖
真題及變式
1. D
2. A　【解析】將點(diǎn)(1，1)向右平移2個單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1＋2，1)，即(3，1).
3. C　【解析】在C＝2πr中，r為變量，2和π為常數(shù)，C為r的一次函數(shù)，C隨r的變化而變化.
4. A　【解析】根據(jù)題意，“新”的坐標(biāo)為(0，0)，其位置是坐標(biāo)原點(diǎn)，“創(chuàng)”的坐標(biāo)為(－2，0)，其位置在x軸負(fù)半軸上，∴以“新”為原點(diǎn)，向右為x軸正方向，向上為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，由解圖得“技”字坐標(biāo)是(1，1)，∴“技”在第一象限.
第4題解圖
5. B　【解析】設(shè)A(a，b)，AB＝m，AD＝n，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，∴D(a，b＋n)，B(a＋m，b)，C(a＋m，b＋n)，∵＜＜，而＜，∴該矩形四個頂點(diǎn)中“特征值”最小的是點(diǎn)B.
6. (2 891，－)　【解析】由題知，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1，－)，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(3，－)，點(diǎn)A3的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)A4的坐標(biāo)為(6，0)，點(diǎn)A5的坐標(biāo)為(7，)，點(diǎn)A6的坐標(biāo)為(9，)，點(diǎn)A7的坐標(biāo)為(10，0)，點(diǎn)A8的坐標(biāo)為(11，－)，點(diǎn)A9的坐標(biāo)為(13，－)，點(diǎn)A10的坐標(biāo)為(14，0)，點(diǎn)A11的坐標(biāo)為(16，0)，點(diǎn)A12的坐標(biāo)為(17，)，點(diǎn)A13的坐標(biāo)為(19，)，點(diǎn)A14的坐標(biāo)為(20，0)，…，由此可見，每隔七個點(diǎn)，點(diǎn)An的橫坐標(biāo)增加10，且縱坐標(biāo)按－，－，0，0，，，0循環(huán)出現(xiàn)，又∵2 024÷7＝289……1，∴1＋289×10＝2 891，則點(diǎn)A2 024的坐標(biāo)為(2 891，－).微專題10　一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　
1. 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考，常在函數(shù)綜合題中涉及考查)
表達(dá)式 y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)(特別地，當(dāng)b＝0時，y＝kx為正比例函數(shù))
圖象 (草圖) k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
①畫出草圖 ②畫出草圖
經(jīng)過的 象限 一、二、三 一、三 ③ ④ 二、四 二、三、四
增減性 y隨x的增大而⑤ y隨x的增大而⑥
與坐標(biāo)軸 的交點(diǎn) 與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為⑦　　　　(即令y＝0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為⑧　　　(即令x＝0)
2. 一次函數(shù)表達(dá)式的確定(6年5考，常在解答題中涉及考查)
(1)方法：待定系數(shù)法
(2)步驟：①先設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b(k≠0)；
②將圖象上的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)代入y＝kx＋b中，得到方程組；
③解方程組可得k，b的值；
④將k，b代入所設(shè)解析式
3. 一次函數(shù)圖象的平移
平移前的 解析式 平移方式(m＞0) 平移后的解析式 規(guī)律
y＝kx＋b (k≠0) 向左平移m個單位 y＝k(x＋m)＋b x左加右減
向右平移m個單位 y＝k(x－m)＋b
向上平移m個單位 y＝kx＋b＋m 等號右邊整 體上加下減
向下平移m個單位 y＝kx＋b－m
4. 一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系(2024.10)
(1)與一元一次方程的關(guān)系
如圖①，方程kx＋b＝0的解是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸交點(diǎn)(點(diǎn)A)的橫坐標(biāo)
圖①
(2)與二元一次方程組的關(guān)系
如圖②，方程組的解是一次函數(shù)y1＝k1x＋b1與y2＝k2x＋b2圖象交點(diǎn)(點(diǎn)A)的橫縱坐標(biāo)的值
圖②
(3)與一元一次不等式的關(guān)系
①從“數(shù)”上看
(ⅰ)kx＋b＞0的解集是在函數(shù)y＝kx＋b中，當(dāng)y＞0時x的取值范圍；
(ⅱ)kx＋b＜0的解集是在函數(shù)y＝kx＋b中，當(dāng)y＜0時x的取值范圍；
②從“形”上看
(ⅰ)kx＋b＞0的解集是函數(shù)y＝kx＋b的圖象位于x軸上方部分對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；
(ⅱ)kx＋b＜0的解集是函數(shù)y＝kx＋b的圖象位于x軸下方部分對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合
教材改編題練考點(diǎn)
1. 已知一次函數(shù)y＝2x－1.
(1)該函數(shù)的圖象經(jīng)過　　象限；
(2)該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　；
(3)已知點(diǎn)A(－1，y1)，B(3，y2)在該函數(shù)的圖象上，則y1　　y2.(填“＞”“＝”或“＜”)
2. 已知直線y＝kx(k≠0)經(jīng)過點(diǎn)(3，6)，則該直線的解析式為　　　　.
3. 已知一次函數(shù)y＝2x－5，將該函數(shù)的圖象向左平移3個單位長度，得到的函數(shù)表達(dá)式為　　　　.
4. 如圖，已知一次函數(shù)y＝x＋1的圖象分別與x，y軸交于A，B兩點(diǎn).
(1)方程x＋1＝0的解為　　　　；
(2)關(guān)于x的不等式0＜x＋1的解為　　　　.
第4題圖
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考)
例1　 已知一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)，請解答下列問題：
(1)若b＝3，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，且y隨x的增大而減小，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以為(　　)
A. (－1，2) B. (1，－2) C. (2，3) D. (3，4)
(2)若b＝k2，則一次函數(shù)y＝kx＋k2與y＝k2x＋k的圖象可能是(　　)
(3)若點(diǎn)(－2，－1)，(1，－7)是該一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則下列各點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上的是　　　　.
①(－2，－5)，②(－1，－3)，③(0，－1)，④(1，－5)
(4)若k＞0，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y1－2)是一次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則x1　　　　x2(填“＞”“＜”或“＝”).
變式1　(2024長沙)對于一次函數(shù)y＝2x－1，下列結(jié)論正確的是(　　)
A. 它的圖象與y軸交于點(diǎn)(0， －1) B. y隨x的增大而減小
C. 當(dāng)x＞時，y＜0 D. 它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限
變式2　 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝－3x＋b和y＝bx－3(b為常數(shù)，且b≠0)的圖象可能是(　　)
考點(diǎn)2　一次函數(shù)解析式的確定(6年5考)
例2　(待定系數(shù)法求解析式)已知一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象經(jīng)過(1，－1)，(2，1)兩點(diǎn)，該一次函數(shù)的解析式為　　　　.
例3　(平移求解析式)已知一次函數(shù)y＝－2x＋5.
(1)將該函數(shù)的圖象向上平移4個單位長度，得到的函數(shù)圖象的解析式為　　　　；
(2)將該函數(shù)的圖象向左平移m(m＞0)個單位后，經(jīng)過點(diǎn)(－1，1)，則m的值為　　　　.
例4　(利用k、b的幾何意義求解析式)如圖，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0)，直線y＝x＋b與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，連接AB，α＝75°，則b的值為　　　　.
例4題圖
方法解讀
一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，
b的幾何意義：直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
k的幾何意義：k＞0時，y隨x的增大而增大；k＜0時，y隨x的增大而減小.｜k｜＝tan α(α為直線與x軸所夾銳角).
注：直線y＝k1x＋b(k≠0)與直線y＝k2x平行，則k1＝k2.
考點(diǎn)3　一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系(2024.10)
例5　(2024珠海模擬)如圖，已知直線l1：y＝3x＋1和直線l2：y＝mx＋n交于點(diǎn)P(1，b)，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是　　　　.
例5題圖
變式3　為了了解關(guān)于x的不等式－x＋2＞mx＋n的解集，某同學(xué)繪制了y＝－x＋2與y＝mx＋n(m，n為常數(shù)，m≠0)的函數(shù)圖象如圖所示，通過觀察圖象發(fā)現(xiàn)，該不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是(　　)
變式3題圖
真題及變式
命題點(diǎn)1　一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考，常在函數(shù)綜合題中涉及考查) 　
拓展訓(xùn)練
1. 在正比例函數(shù)y＝(k＋2)x中，y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝(k－1)x－k的圖象不經(jīng)過(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. (2024長春)已知直線y＝kx＋b(k、b是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，且y隨x的增大而減小，則b的值可以是　　　　.(寫出一個即可)
命題點(diǎn)2　一次函數(shù)解析式的確定(6年5考，常在解答題中涉及考查) 　
3. (2023廣東16(2)題5分)已知一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，1)與點(diǎn)(2，5)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式.
拓展訓(xùn)練
4. (2024陜西)一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，m)和點(diǎn)B(n，－6)，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個正比例函數(shù)的表達(dá)式為(　　)
A. y＝3x B. y＝－3x C. y＝x D. y＝－x
命題點(diǎn)3　一次函數(shù)的圖象與不等式的關(guān)系(2024.10) 　
5. (2024廣東10題3分)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，則一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象大致是(　　)
拓展訓(xùn)練
6. (2024通遼)如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x＋b1與y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2為常數(shù))的圖象分別為直線l1，l2.下列結(jié)論正確的是(　　)
A. b1＋b2＞0 B. b1b2＞0 C. k1＋k2＜0 D. k1k2＜0
第6題圖
新考法
7. [真實(shí)問題情境](2024中山三模)如圖是某臺階的一部分，每一級臺階的寬度和高度之比為2∶1，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－10，1)，若直線y＝kx＋b同時經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，D，E，則k與b的乘積為(　　)
第7題圖
A. －3 B. 3 C. －5 D. 5
考點(diǎn)精講
①　②　③一、三、四
④一、二、四　⑤增大　⑥減小　⑦(－，0)
⑧(0，b)
練考點(diǎn)
1. (1)第一、三、四　(2)(，0)，(0，－1)　(3)＜
2. y＝2x
3. y＝2x＋1
4. (1)x＝－2　(2)x＞－2
高頻考點(diǎn)
例1　(1)B
(2)D
(3)②
(4)＞
變式1　A　【解析】A.令x＝0，則y＝－1，∴一次函數(shù)y＝2x－1的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0，－1)，故A選項(xiàng)符合題意；B.∵k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大，故B選項(xiàng)不符合題意；C.令y＝0，則2x－1＝0，解得x＝，∵k＝2＞0，∴當(dāng)x＞時，y＞0，故C選項(xiàng)不符合題意；D.∵k＝2＞0，b＝－1＜0，∴一次函數(shù)y＝2x－1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故D選項(xiàng)不符合題意.
變式2　A　【解析】若b＞0，則函數(shù)y＝－3x＋b的圖象過第一、二、四象限，函數(shù)y＝bx－3的圖象過第一、三、四象限；若b＜0，則函數(shù)y＝－3x＋b的圖象過第二、三、四象限，函數(shù)y＝bx－3的圖象過第二、三、四象限.故選項(xiàng)A符合題意.
例2　y＝2x－3　【解析】∵一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象經(jīng)過(1，－1)，(2，1)，∴解得∴一次函數(shù)的解析式為y＝2x－3.
例3　(1)y＝－2x＋9；(2)3.
例4　　【解析】令y＝x＋b中x＝0，則y＝b，∴B(0，b)，令y＝x＋b中y＝0，則x＝－b，∴C(－b，0)，∴∠BCO＝45°，∵α＝∠BCO＋∠BAO＝75°，∴∠BAO＝30°，∵點(diǎn)A(5，0)，∴OA＝5，∴OB＝b＝OA·tan ∠BAO＝.
例5　　【解析】∵直線y＝3x＋1經(jīng)過點(diǎn)P(1，b)，∴b＝3＋1，解得b＝4，∴P(1，4)，∴關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是.
變式3　C　【解析】以兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為分界，直線y＝mx＋n(m≠0)在直線y＝－x＋2的下方時不等式－x＋2＞mx＋n，此時x＜－1.故該不等式的解集在數(shù)軸上表示如選項(xiàng)C所示.
真題及變式
1. C　【解析】∵正比例函數(shù)y＝(k＋2)x中，y隨x的增大而減小，∴k＋2＜0，即k＜－2，∴－k＞0，k－1＜－3，∴一次函數(shù)y＝(k－1)x－k的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴該一次函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限.
2. 2(答案不唯一)【解析】∵直線y＝kx＋b(k≠0)經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，∴1＝k＋b.∵y隨x的增大而減小，∴k＜0，當(dāng)k＝－1時，1＝－1＋b，解得b＝2，∴b的值可以是2.
3. 解：將點(diǎn)(0，1)，(2，5)代入y＝kx＋b中，
得，解得， (4分)
∴該一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x＋1. (5分)
4. A　【解析】∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴2＝－n，m＝－(－6)，∴n＝－2，m＝6，∴A(2，6)，B(－2，－6).設(shè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝kx(k≠0)，將A(2，6)代入y＝kx中，得6＝2k，解得k＝3，∴這個正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝3x.
5. B　【解析】由題意得，x＜2時，一次函數(shù)的圖象應(yīng)在x軸下方，故B選項(xiàng)符合題意.
6. A　【解析】由圖象可得，b1＝2，b2＝－1，k1＞0，k2＞0，∴b1＋b2＞0，故選項(xiàng)A正確，符合題意；b1b2＜0，故選項(xiàng)B錯誤，不符合題意；k1＋k2＞0，故選項(xiàng)C錯誤，不符合題意；k1k2＞0，故選項(xiàng)D錯誤，不符合題意.
7. B　【解析】如解圖，設(shè)y＝kx＋b(k≠0)與x，y軸的交點(diǎn)分別為G，F(xiàn)，BH⊥AH于點(diǎn)H，∵每一級臺階的寬度和高度之比為2：1，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－10，1)，∴G(－12，0)，將點(diǎn)A(－10，1)，G(－12，0)代入y＝kx＋b，得，解得，∴kb＝×6＝3.
第7題解圖微專題11　反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　
1. 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考)
表達(dá)式 y＝(k為常數(shù)，k≠0)
k的符號 k①　　　　0 k②　　　　0
圖象(草圖)
所在象限 第③　　　　象限(x，y同號) 第④　　　　象限(x，y異號)
增減性 在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而⑤ 在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而⑥
對稱性 關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；關(guān)于直線y＝x，y＝－x成軸對稱
2. 反比例函數(shù)表達(dá)式的確定(6年3考)
待定系 數(shù)法 (1)設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為y＝(k≠0)； (2)找出圖象上的一點(diǎn)P(a，b)； (3)將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝中，得k＝⑦　　　　； (4)確定反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝
利用k 的幾何 意義 k的幾 何意義 過反比例函數(shù)y＝(k≠0)圖象上任一點(diǎn)P(x，y)作x軸，y軸的垂線PM，PN，垂足分別為M，N，則所得的矩形PMON的面積S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝｜xy｜＝⑧　　　　.
利用k 的幾何 意義 基本 圖形 S△AOP＝⑨　　 S△ABP＝⑩　　　S△APP'＝2｜k｜ 　　　　 S△ABC＝ 　　　 　S ABCD＝
練考點(diǎn)
1. 關(guān)于反比例函數(shù)y＝，下列結(jié)論正確的是(　　)
A. 圖象位于第二、四象限
B. 圖象與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)
C. 圖象所在的每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小
D 圖象經(jīng)過點(diǎn)(a，a＋2)，則a＝1
2. 已知反比例函數(shù)y＝(k≠0)，請回答下列問題：
(1)若點(diǎn)(2，4)在該反比例函數(shù)的圖象上，則該函數(shù)解析式為　　　　；
第2題圖
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝(x＜0)圖象上的一點(diǎn)，分別過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，若四邊形PAOB的面積為6，則k的值為　　　　.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年5考)
例1　 已知反比例函數(shù)y＝(k≠0).
(1)若點(diǎn)A(1，－3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'在該函數(shù)圖象上，則k的值為　　　　；
(2)核心設(shè)問 若點(diǎn)(－2，3)，(1，n)在該反比例函數(shù)的圖象上，則n的值為　　　　；[2022廣東9題考查]
(3)若點(diǎn)(a，－1)，(b，－4)在該反比例函數(shù)的圖象上且在第三象限內(nèi)，則a　　b(填“＞”“＜”“＝”)；
(4)核心設(shè)問 若k＝4，點(diǎn)(x1，4)，(x2，－1)，(x3，2)都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是　　　　；(用“＜”連接)[2021廣東21(1)題考查]
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數(shù)y＝(k＞0)圖象上兩點(diǎn)，且x1＜x2，y1＜y2，則點(diǎn)A位于第　　　　象限，點(diǎn)B位于第　　　　象限；
(6)已知反比例函數(shù)y＝與直線y＝mx相交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，6)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　　　　.
變式1　(2024佛山一模)已知點(diǎn)A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上，下列結(jié)論正確的是(　　)
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜c＜a D. c＜b＜a
變式2　 已知反比例函數(shù)y＝(a為常數(shù)，且a≠0)和一次函數(shù)y＝x＋2b－1(b為常數(shù))，若a＝2b，則它們在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(　　)
考點(diǎn)2　反比例函數(shù)的幾何意義(6年3考)
例2　 已知點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上一點(diǎn).
(1)如圖①，若OA＝AB，且△AOB的面積為4，則k的值為　　　　；
(2)如圖②，若四邊形OABC是平行四邊形，且點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為(－3，3)，(－4，0)，則k的值為　　　　；
(3)核心設(shè)問 如圖③，若矩形ABCD的面積為3，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上且AB∥x軸，C，D在x軸上，則k＝　　　　.[2020廣東24(1)題考查]
例2題圖
變式3　(2024佛山模擬)如圖，矩形ABCD的邊AB與x軸平行，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，點(diǎn)B與點(diǎn)D都在反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上，若矩形ABCD的面積為8，則該反比例函數(shù)的解析式為　　　　.
變式3題圖
真題及變式
命題點(diǎn)　反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考) 　
1. (2022廣東9題3分)點(diǎn)(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函數(shù)y＝圖象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是(　　)
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
拓展訓(xùn)練
2. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝k1x(k1≠0)與雙曲線y＝(k2≠0)相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)
A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)
3. (2024北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若函數(shù)y＝(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，y1)和(－3，y2)，則y1＋y2的值是　　　　.
考點(diǎn)精講
①＞　②＜　③一，三　④二，四　⑤減小　⑥增大
⑦ab　⑧｜k｜　⑨｜k｜　⑩｜k｜　 ｜k｜　 ｜k｜
練考點(diǎn)
1. C　【解析】反比例函數(shù)y＝，圖象在第一、三象限，與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)錯誤；反比例函數(shù)y＝，在每一個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，故C選項(xiàng)正確；反比例函數(shù)y＝圖象經(jīng)過點(diǎn)(a，a＋2)，∴a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3，故D選項(xiàng)錯誤.
2. (1)y＝；(2)－6
高頻考點(diǎn)
例1　(1)3　【解析】∵點(diǎn)A(1，－3)和點(diǎn)A'關(guān)于x軸對稱，∴A'(1，3)，∵A'在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝1×3＝3.
(2)－6　【解析】∵點(diǎn)(－2，3)在該反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝－2×3＝－6，∴該反比例函數(shù)的解析式為y＝－，將(1，n)代入，得n＝－6.
(3)＜　【解析】∵點(diǎn)(a，－1)，(b，－4)在該反比例函數(shù)的圖象上，且在第三象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，－1＞－4，∴a＜b.
(4)x2＜x1＜x3　【解析】∵k＝4，∴y＝，把點(diǎn)(x1，4)，(x2，－1)，(x3，2)分別代入y＝，得x1＝1，x2＝－4，x3＝2，∴x2＜x1＜x3.
(5)三，一；
(6)(－1，－6)　【解析】∵反比例函數(shù)y＝與直線y＝mx相交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C與D關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－6).
變式1　B　【解析】∵反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象分布在第一、三象限，∴在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上，且－2＜0＜1＜3，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b.
變式2　B　【解析】∵a＝2b，∴代入y＝可得y＝，與一次函數(shù)y＝x＋2b－1聯(lián)立，可得＝x＋2b－1，整理得(x－1)(x＋2b)＝0，∴方程有一個根為x＝1，∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.∵一次函數(shù)y＝x＋2b－1的一次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，∴一次函數(shù)圖象過一、三象限，故選B.
例2　(1)4　【解析】如解圖①，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C.∵OA＝AB，∴OC＝BC，∴S△OAC＝S△AOB＝2.∴＝2.∵k＞0，∴k＝4.
例2題解圖①
(2)3　【解析】如解圖②，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)E，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB＝OC，AB∥OC，∵點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為(－3，3)，(－4，0)，∴AB＝OC＝4，AE＝1，OE＝3，∴｜k｜＝2S△AEO＝3.∵k＞0，∴k＝3.
例2題解圖②
(3)2　【解析】如解圖③，延長BA交y軸于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD為矩形，∴S矩形AHOD＝S矩形HBCO－S矩形ABCD＝｜k｜，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴S矩形HBCO＝5，∵S矩形ABCD＝3，∴S矩形AHOD＝5－3＝2，∴｜k｜＝2，由圖象可知k＞0，∴k＝2.
例2題解圖③
變式3　y＝　【解析】∵點(diǎn)A(2，1)，四邊形ABCD為矩形，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，∴B(k，1)，D(2，)，∴AB＝k－2，AD＝－1，∴(k－2)(－1)＝8，解得k＝6或k＝－2，∵k＞0，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝.
真題及變式
1. D　【解析】∵點(diǎn)(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∴y1＞y2＞y3＞y4，∴最小的是y4.
2. A　【解析】由題意得，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，－2).
3. 0　【解析】∵函數(shù)y＝(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，y1)和(－3，y2)，∴y1＝，y2＝－，∴y1＋y2＝0.微專題12　反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何結(jié)合
高頻考點(diǎn)突破
考點(diǎn)1　反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合(6年3考)
方法解讀
求幾何圖形面積：通常將坐標(biāo)軸上的邊或與坐標(biāo)軸平行的邊作為底邊，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得底邊上的高，最后利用面積公式求解.
常見求三角形面積的示例如下：
①S△AOB＝OB·AD；
②S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；
③S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝S△ADO＋S△BDO.
例1　 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x＋b1(k1≠0)的圖象與反比例函數(shù)y＝(k2≠0)的圖象分別交于點(diǎn)A(－1，－2)，B(，n).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
(2)如圖①，點(diǎn)C是反比例函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)D，交一次函數(shù)圖象于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)C恰好是DE的中點(diǎn)時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
　例1題圖①
(3)核心設(shè)問 如圖②，連接OA，OB，求△AOB的面積；[2019廣東23(2)題考查]
　例1題圖②
(4)核心設(shè)問 如圖③，點(diǎn)M是一次函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，當(dāng)AM＝3BM時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).[2021廣東21(2)題考查]
　例1題圖③
考點(diǎn)2　反比例函數(shù)與幾何結(jié)合(6年2考)
方法解讀
一、坐標(biāo)法
　　由y＝得到xy＝k，如：點(diǎn)A(xA，yA)，B(xB，yB)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則xA·yA＝xB·yB＝k①，即反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)積相等，都等于k；①式變形為＝②，即反比例函數(shù)圖象上兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值與縱坐標(biāo)的比值互為倒數(shù).
二、面積法
　　面積法的本質(zhì)即利用“k”的幾何意義，由xy＝k可以得到；反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)向x，y軸作垂線，得到的矩形面積都相等，均為｜k｜；進(jìn)而得到下圖中：S△AOB＝S△COD＝｜k｜.
例2　(北師九上習(xí)題改編)如圖，已知雙曲線y＝(x＞0)經(jīng)過Rt△OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C，DE⊥OA于點(diǎn)E，連接OC，若△OBC的面積為3，則k等于　　　　.
例2題圖
例3　(2024東莞一模改編)如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上任意一點(diǎn)，AB∥x軸并交反比例函數(shù)y＝－(x＜0)的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作菱形ABCD，其中C，D在x軸上，則菱形ABCD的面積為　　　　.
例3題圖
例4　(人教九上習(xí)題改編)如圖，△ABC的邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點(diǎn)E，AE∶EC＝1∶2，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象過點(diǎn)C，且交線段BC于點(diǎn)D，BD∶DC＝1∶3，連接AD，若S△ABD＝，則k的值為　　　　　　　.
例4題圖
真題及變式
命題點(diǎn)1　反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合(6年3考) 　
1. (2021廣東21題8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx＋b(k＞0)的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y＝圖象的一個交點(diǎn)為P(1，m).
(1)求m的值；
(2)若PA＝2AB，求k的值.
2. (2019廣東23題9分)如圖，一次函數(shù)y＝k1x＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，n).
(1)根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x＋b＞的x的取值范圍；
(2)求這兩個函數(shù)的表達(dá)式；
(3)點(diǎn)P在線段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
　第2題圖
命題點(diǎn)2　反比例函數(shù)與幾何結(jié)合(6年2考) 　
3. (2020廣東24題10分)如圖，點(diǎn)B是反比例函數(shù)y＝(x＞0)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)B分別向坐標(biāo)軸作垂線，垂足為A， C.反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經(jīng)過OB的中點(diǎn)M，與AB，BC分別相交于點(diǎn)D，E.連接DE并延長交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)G與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對稱，連接BF，BG.
(1)填空：k＝　　　　；
(2)求△BDF的面積；
(3)求證：四邊形BDFG為平行四邊形.
　第3題圖
高頻考點(diǎn)
例1　解：(1)將點(diǎn)A(－1，－2)代入y＝(k2≠0)中，得＝－2，
解得k2＝2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，
將點(diǎn)B(，n)代入y＝中，得n＝，
∴點(diǎn)B(，)，
將點(diǎn)A(－1，－2)，B(，)分別代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，
得，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x－；
(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，)，
∵點(diǎn)C是DE的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2x，)，
將點(diǎn)E(2x，)代入y＝x－中，
得·2x－＝，
整理得4x2－x－3＝0，
解得x＝1或x＝－，
當(dāng)x＝1時，y＝＝2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，2)，
當(dāng)x＝－時，y＝＝－，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－，－).
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，2)或(－，－)；
(3)由(1)可知點(diǎn)A(－1，－2)，點(diǎn)B(，)，
在一次函數(shù)y＝x－中，令y＝0，得x＝，
∴S△AOB＝××(＋2)＝；
(4)設(shè)點(diǎn)M(a，b)，當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長線上時，
∵AM＝3BM，∴AB＝AM，
如解圖①，過點(diǎn)M作x軸的垂線，過點(diǎn)A作y軸的垂線，兩線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥AP于點(diǎn)Q，則BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
解得a＝，b＝3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，3)；
當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時，
∵AM＝3BM，∴AB＝AM，
如解圖②，過點(diǎn)M作x軸的垂線，過點(diǎn)A作y軸的垂線，兩線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥AP交AP的延長線于點(diǎn)Q，則BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
解得a＝，b＝，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，).
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，3)或(，).
圖①
圖②
例1題解圖
例2　2　【解析】∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∵D是OB中點(diǎn)，∴OE＝OA，DE＝AB，∴＝＝2，又∵點(diǎn)C，D都在y＝上，∴＝＝2，即DE＝2AC，∴AB＝4AC，∴BC＝3AC，∴S△OBC＝BC·OA＝·3AC·OA＝k＝3，∴k＝2.
一題多解法
∵點(diǎn)C，D都在y＝上，∴S△ODE＝S△OCA＝，由題意得△ODE∽△OBA，且相似比＝，∴＝，∴S△OBA＝4S△ODE＝2k，又∵S△OBA＝S△OBC＋S△OCA＝3＋k，∴2k＝3＋k，∴k＝2.
例3　9　【解析】設(shè)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為b，∴－＝b，解得x＝－，∵AB∥x軸，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為b，∴b＝，解得x＝，∴AB＝－(－)＝，∴S菱形ABCD＝·b＝9.
例4　4　【解析】設(shè)A(－a，0)(a＞0)，∵AE∶EC＝1∶2，∴點(diǎn)C(2a，)，∵BD∶DC＝1∶3，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為×＝，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8a，)，∴B(10a，0)，∴AB＝11a，∵BD∶DC＝1∶3，∴S△ABC＝4S△ABD＝4×＝11，∴S△ABC＝×11a×＝11，解得k＝4.
真題及變式
1. 解：(1)∵P(1，m)為反比例函數(shù)y＝圖象上一點(diǎn)，
∴當(dāng)x＝1時，m＝＝4； (2分)
(2)如解圖，過點(diǎn)P分別作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，
由(1)得P(1，4)，
∴PM＝4，PN＝1.
①當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸時，
∵PA＝2AB，
∴＝，
易證△A1OB1∽△A1MP，
∴＝＝，
∴OB1＝2，
∴B1(0，2)，
將P(1，4)，B1(0，2)分別代入y＝kx＋b中，
得，解得； (5分)
②當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸時，
∵PA＝2AB，
∴＝，
易證△B2A2O∽△B2PN，
∴＝＝，
∴OA2＝，
∴A2(，0)，
將P(1，4)，A2(，0)分別代入y＝kx＋b中，
得，解得.
綜上所述，k的值為2或6. (8分)
第1題解圖
2. 解：(1)x＜－1或0＜x＜4； (2分)
(2)∵點(diǎn)A(－1，4)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴4＝， (3分)
解得k2＝－4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝－. (4分)
∵點(diǎn)B(4，n)在反比例函數(shù)y＝－的圖象上，
∴n＝－＝－1，
∴B(4，－1).
∵一次函數(shù)的圖象過A，B兩點(diǎn)，
∴， (5分)
解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x＋3； (6分)
(3)如解圖，連接OP，OA，OB，設(shè)一次函數(shù)y＝－x＋3與x軸交于點(diǎn)C，
第2題解圖
∵當(dāng)y＝0時，x＝3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0).
∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，
∴S△AOB＝×3×4＋×3×1＝. (7分)
∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，
∴S△BOP＝S△AOB＝×＝5.
∵點(diǎn)P在線段AB上，
∴設(shè)P的坐標(biāo)為(m，－m＋3)，－1＜m＜4，
∵S△POB＝S△POC＋S△BOC，
∴S△BOP＝×3×(－m＋3)＋×3×1＝5， (8分)
解得m＝，
∴－m＋3＝－＋3＝，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，). (9分)
3. (1)2； (2分)
【解法提示】如解圖①，過點(diǎn)M分別向坐標(biāo)軸作垂線，垂足為P，Q.由題意得S矩形ABCO＝8，S矩形PMQO＝｜k｜.∵M(jìn)是OB的中點(diǎn)，∴S矩形PMQO＝S矩形ABCO＝×8＝2，即k＝2 .
第3題解圖①
(2)解：如解圖②，連接OD，
∴S△BDF＝S△BDO＝S△BAO－S△DAO＝S矩形ABCO－S△DAO＝×8－＝4－1＝3； (6分)
第3題解圖②
(3)證明：如解圖③，過點(diǎn)D作DH⊥OG于點(diǎn)H.
設(shè)B(m，)，則C(m，0)，G(2m，0)，D(，)，E(m，)，H(，0)，
∴DB＝m－＝，
易得△DHF∽△EBD， (8分)
∴＝，
∴HF＝＝＝m，
∵FG＝OG－OH－FH＝2m－－m＝，
∴FG＝DB， (9分)
由題意可得FG∥DB，
∴四邊形BDFG為平行四邊形. (10分)
第3題解圖③微專題13　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理　　　　　　　　　　
1. 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年6考)
表達(dá)式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)
a a＞0 a＜0
圖象(草圖)
對稱軸 (1)對稱軸為直線x＝①　　　 (2)利用x＝求解(其中x1，x2為關(guān)于對稱軸對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo))
頂點(diǎn) 坐標(biāo) (1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為②　　　　　 (2)將一般式配方化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為③　　　
增減性 在對稱軸左側(cè)，即當(dāng)x＜－時，y隨x的增大而減小；在對稱軸右側(cè)，即當(dāng)x＞－時，y隨x的增大而增大 在對稱軸左側(cè)，即當(dāng)x＜－時，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，即當(dāng)x＞－時，y隨x的增大而減小
最值 當(dāng)x＝－時，y取最小值 當(dāng)x＝－時，y取最大值
2. 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系(2020.10)
a的正負(fù) a＞0 開口④　　　
a＜0 開口⑤　　　
a，b的值 b＝0 對稱軸為y軸
a，b同號 對稱軸在y軸⑥　　　
a，b異號 對稱軸在y軸⑦　　　
c的正負(fù) c＝0 拋物線過原點(diǎn)
c＞0 拋物線與y軸交于⑧　　半軸
c＜0 拋物線與y軸交于⑨　　半軸
b2－4ac的值 b2－4ac＝0 與x軸有唯一的交點(diǎn)(頂點(diǎn))
b2－4ac＞0 與x軸有⑩　　　　交點(diǎn)
b2－4ac＜0 與x軸沒有交點(diǎn)
3. 二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式(6年3考)
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a，h，k為常數(shù)，a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)
(3)交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a，x1，x2為常數(shù)，其中x1，x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))
4. 二次函數(shù)圖象的平移(6年2考)
(1)將y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h(huán))2＋k
(2)平移規(guī)律
平移前的解析式 移動方向(m＞0) 平移后的解析式 簡記
y＝a(x－h(huán))2＋k 向左平移m個單位 y＝a(x－h(huán)＋m)2＋k 左“＋” 右“－”
向右平移m個單位 y＝a(x－h(huán)－m)2＋k
向上平移m個單位 y＝a(x－h(huán))2＋k＋m 上“＋” 下“－”
向下平移m個單位 y＝a(x－h(huán))2＋k－m
5. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
與x軸 交點(diǎn)坐 標(biāo)的確定 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解
與x軸交點(diǎn)個 數(shù)的判斷 (1)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn) 方程ax2＋bx＋c＝0有 　　　　的實(shí)數(shù)根 b2－4ac＞0； (2)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn) 方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根 b2－4ac 　　　0； (3)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn) 方程ax2＋bx＋c＝0 　　實(shí)數(shù)根 b2－4ac＜0
練考點(diǎn)
1. 已知二次函數(shù)y＝2(x－2)2＋5.
(1)二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線　　　　；頂點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　；
(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，y1)，(5，y2)，則y1　　y2.(填“＞”“＝”或“＜”)
2. 已知函數(shù)y＝x2－4x＋3.
(1)函數(shù)圖象的開口向　　，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　　　　；
(2)函數(shù)的圖象與x軸有　　個交點(diǎn)，交點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　.
3. (1)已知拋物線y＝x2＋bx＋c過點(diǎn)(0，1)和(1，0)，則拋物線的解析式為　　　　；
(2)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(3，0)和(2，3)，則這個二次函數(shù)的解析式為　　　　　　　.
4. 已知拋物線y＝x2－2x－3.
(1)將此二次函數(shù)的圖象先向上平移3個單位長度，得到的二次函數(shù)C1的解析式為　　　　，再向右平移1個單位長度，得到的二次函數(shù)C2的解析式為　　　　；
(2)若將拋物線經(jīng)過平移后得到拋物線y＝x2，則平移的方式是　　　　.
5. 已知拋物線y＝x2＋x－2，則一元二次方程x2＋x－2＝0與x軸有　　　　個交點(diǎn)，該一元二次方程的解為　　　　　　　.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年6考)
例1　 已知二次函數(shù)y＝x2－2x－3，根據(jù)要求回答下列問題.
(1)該二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式為　　　　；
(2)核心設(shè)問 該二次函數(shù)有最　　　　值(填“大”或“小”)，其最值為　　　　；[2021廣東9題考查]
(3)核心設(shè)問 當(dāng)－3≤x≤0時，y的最大值為　　　　，最小值為　　　　；[2021廣東22(2)題考查]
(4)當(dāng)－1≤x≤2時，y的最大值為　　　　，最小值為　　　　；
(5)若點(diǎn)A(5，12)為二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　；
(6)核心設(shè)問 若點(diǎn)A(－2，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)在該二次函數(shù)圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為　　　　；(用“＜”連接)[2024廣東8題考查]
(7)若(4，y1)，(m，y2)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且y2＝y(tǒng)1－5，則m的值為　　　　.
變式1　(2024珠海香洲區(qū)二模)對于拋物線y＝3(x－2)2－1，下列說法正確的是(　　)
y隨x的增大而減小
B. 當(dāng)x＝2時，y有最大值－1
C. 若點(diǎn)A(3，y1)，B(1，y2)都在拋物線y＝3(x－2)2－1上，則y1＞y2
D. 經(jīng)過第一、二、四象限
考點(diǎn)2　二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系(2020.10)
例2　 如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c，其對稱軸為直線x＝1.根據(jù)圖象，分析并判斷下列結(jié)論，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“＝”填空.
　例2題圖
(1)a　　　　0，b　　　　0，c　　　　0；
(2)b2－4ac　　　　0；
(3)2a＋b　　　　0；
(4)a＋b＋c　　　　0；
(5)4a－2b＋c　　　　0；
(6)c－a　　　　0；
(7)2c－3b　　　　0；
(8)a＋b　　　　m(am＋b)(m≠0).
方法解讀
1. 根據(jù)b2－4ac的符號觀察與x軸的交點(diǎn)個數(shù)：
(1)與x軸有兩個交點(diǎn)→b2－4ac＞0；
(2)與x軸有一個交點(diǎn)→b2－4ac＝0；
(3)與x軸沒有交點(diǎn)→b2－4ac＜0.
2. 二次函數(shù)圖象與特殊代數(shù)式之間的關(guān)系
(1)如遇見2a＋b，2a－b類的式子，可利用對稱軸與±1比較求解；
(2)如遇見a＋b＋c，a－b＋c類的式子，可利用x＝±1，求出y的大小求解；
(3)如遇見a，c或b，c關(guān)系的式子，可利用對稱軸(如：2a＋b)與x等于某個值時y的式子(如a＋b＋c)聯(lián)立求解；
(4)如遇見(a＋c)2＜b2形式的式子，先因式分解，再利用x等于某兩個值的式子聯(lián)立求解.
例3　 已知a＋b＝0(a≠0)，ac＞0，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)
考點(diǎn)3　二次函數(shù)解析式的確定(含平移)(6年3考)
例4　 如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于點(diǎn)A(－1，0)，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C(0，－3).
　例4題圖
若拋物線的對稱軸為直線x＝2，求該拋物線的解析式；
若拋物線向左平移3個單位后，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求該拋物線的解析式；
核心設(shè)問 若AO∶BO＝1∶2，求該拋物線的解析式；[2022廣東23(1)題，2020廣東25(1)題考查]
若直線y＝2x＋m經(jīng)過點(diǎn)B，C，求該拋物線的解析式.
變式3　(2024梅州梅縣一模)已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y＝－2x2＋9x相同，且它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，6)，則這條拋物線的解析式為　　　　　　.
考點(diǎn)4　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系(6年2考)
例5　已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有　　　　個實(shí)數(shù)根.
例5題圖
變式4　已知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＜0，b≠0)經(jīng)過點(diǎn)(－2，0)，(3，0)，則方程cx2＋bx＋a＝0的解為　　　　　　　.
真題及變式
命題點(diǎn)1　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年6考) 　
1. (2024廣東8題3分)若點(diǎn)(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，則(　　)
A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y1＞y2
2. (2023廣東10題3分)如圖，拋物線y＝ax2＋c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn) B在y軸上，則ac的值為(　　)
第2題圖
A. －1 B. －2 C. －3 D. －4
2.1 變思維——將利用對稱性變?yōu)槔谜叫蔚倪吔顷P(guān)系
(2024珠海模擬)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別是(－1，－2)，(1，2)，點(diǎn)C在拋物線y＝－x2＋bx的圖象上，則b的值是(　　)
－　　　　　　　 B. 　　　　　　　
C. －　　　　　　　 D.
變式2.1題圖
命題點(diǎn)2　二次函數(shù)圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系(2020.10) 　
3. (2020廣東10題3分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝1.下列結(jié)論：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋2c＞0，正確的有(　　)
第3題圖
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
3.1 變條件——與表格結(jié)合
(2024煙臺)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的y與x的部分對應(yīng)值如下表：
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
下列結(jié)論：①abc＞0；②關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有兩個相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)－4＜x＜1時，y的取值范圍為0＜y＜5；④若點(diǎn)(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2 ；⑤滿足ax2＋(b＋1)x＋c＜2 的x的取值范圍是x＜－2或x＞3.其中正確結(jié)論的序號為　　　　.
命題點(diǎn)3　二次函數(shù)圖象的平移(6年2考) 　
4. (2020廣東7題3分)把函數(shù)y＝(x－1)2＋2的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為(　　)
A. y＝x2＋2 B. y＝(x－1)2＋1
C. y＝(x－2)2＋2 D. y＝(x－1)2＋3
5. (2021廣東12題4分)把拋物線y＝2x2＋1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為　　　　.
5.1 變條件——將拋物線平移變?yōu)樽鴺?biāo)軸平移
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝(x－1)2＋2，若將x軸向上平移2個單位長度，將y軸向左平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式為(　　)
y＝(x＋2)2＋4　　　　 B. y＝(x＋2)2　　　　
C. y＝(x－4)2＋4　　　　 D. y＝(x－4)2
考點(diǎn)精講
①－　②(－，)　③(h，k)　④向上
⑤向下　⑥左側(cè)　⑦右側(cè)　⑧正　⑨負(fù)　⑩兩個
兩個不相等　 ＝　 無
練考點(diǎn)
1. (1)x＝2，(2，5)；(2)＜
2. (1)上，(0，3)；(2)兩，(1，0)和(3，0)
3. (1)y＝x2－2x＋1；
(2)y＝－3(x－1)(x－3)
4. (1)y＝x2－2x，y＝x2－4x＋3；
(2)先向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度(答案不唯一)
5. 兩；x1＝－2，x2＝1
高頻考點(diǎn)
例1　(1)y＝(x－1)2－4；
(2)小，－4；
(3)12，－3；
(4)0，－4；
(5)(－3，12)；
(6)y2＜y1＜y3；
(7)－1或3.
變式1　D　【解析】∵拋物線y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11，a＝3＞0，對稱軸為直線x＝2，∴當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大，故A選項(xiàng)錯誤，不符合題意；∵拋物線開口向上，∴當(dāng)x＝2時，y取最小值為－1，故B選項(xiàng)錯誤，不符合題意；由題意得拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越近函數(shù)值越小，∵拋物線的對稱軸是直線x＝2，｜3－2｜＝｜1－2｜，∴y1＝y(tǒng)2，故C選項(xiàng)錯誤，不符合題意；∵當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減小，且當(dāng)x＝0時，y＝11，∴當(dāng)x＜0時，y＞11，故圖象不經(jīng)過第三象限，故D選項(xiàng)正確，符合題意.
例2　(1)＞，＜，＜；
(2)＞；(3)＝；(4)＜；(5)＞；
(6)＜；　【解析】由圖象可知，a＞0，c＜0，c－a＜0.
(7)＜；　【解析】∵對稱軸為直線x＝1，∴－＝1，∴a＝－，將x＝－1代入二次函數(shù)解析式得y＝a－b＋c＜0，－－b＋c＜0，2c－3b＜0.
(8)≤　【解析】將x＝1代入二次函數(shù)解析式得y＝a＋b＋c，將x＝m代入得y＝am2＋bm＋c，當(dāng)m＝1時，a＋b＋c＝am2＋bm＋c，即a＋b＝m(am＋b)；當(dāng)m≠1時，∵當(dāng)x＝1時y取得最小值，∴a＋b＋c＜am2＋bm＋c，即a＋b＜m(am＋b)，綜上所述，a＋b≤m(am＋b).
例3　C　【解析】∵a＋b＝0，∴a＝－b，∴對稱軸為直線x＝－＝＝，∵ac＞0，∴a，c同號，∴選項(xiàng)C符合題意.
例4　解：(1)∵拋物線的對稱軸為直線x＝－＝2，
∴b＝－4a，
∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－4ax＋c，
將A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝ax2－4ax＋c中，
得，
解得，
∴b＝－，
∴拋物線的解析式為y＝x2－x－3；
(2)由題意，拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3，0)，
∵該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，
∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)，
將點(diǎn)C(0，－3)代入，得－3＝－3a，
解得a＝1，
∴拋物線的解析式為y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；
(3)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，
∴AO＝1，
∵AO∶BO＝1∶2，
∴BO＝2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，
將A(－1，0)，B(2，0)，C(0，－3)分別代入y＝ax2＋bx＋c中，
得，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2－x－3；
(4)將C(0，－3)代入y＝2x＋m中，
得m＝－3，
∴直線BC的解析式為y＝2x－3，
令2x－3＝0，解得x＝，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，0)，
將A(－1，0)，B(，0)，C(0，－3)分別代入y＝ax2＋bx＋c中，
得，
解得，
∴該拋物線的解析式為y＝2x2－x－3.
變式3　y＝－2(x＋1)2＋6　【解析】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，6)，∴拋物線解析式可設(shè)為y＝a(x＋1)2＋6，∵拋物線y＝a(x＋1)2＋6的形狀、開口方向均與拋物線y＝－2x2＋9x相同，∴a＝－2，∴這條拋物線的解析式為y＝－2(x＋1)2＋6.
例5　兩　【解析】∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第二象限，且開口向下，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝－1有兩個不同的交點(diǎn)，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有兩個實(shí)數(shù)根.
變式4　x1＝－，x2＝　【解析】∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)(－2，0)，(3，0)，∴對稱軸為直線x＝，即－＝，∴b＝－a，∴a＝－b.將點(diǎn)(－2，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，得4a－2b＋c＝0，∴－4b－2b＋c＝0，∴c＝6b，∴6bx2＋bx－b＝0，即6x2＋x－1＝0，解得x1＝－，x2＝.
真題及變式
1. A　【解析】∵二次函數(shù)的解析式為y＝x2，∴該二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為y軸，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵2＞1＞0，∴y3＞y2＞y1.
2. B　【解析】如解圖，連接AC交y軸于點(diǎn)D，當(dāng)x＝0時，y＝c，即OB＝c，∵四邊形OABC是正方形，∴AC＝OB＝2AD＝2OD＝c，AC⊥OB，∴A(，)，∴＝a×＋c，解得ac＝－2.
第2題解圖
變式2.1　D　【解析】如解圖，過點(diǎn)C作MN⊥x軸，作BM⊥MN于點(diǎn)M，DN⊥MN于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝DC，∴∠BCM＋∠DCN＝90°＝∠BCM＋∠CBM，∴∠DCN＝∠CBM，∵∠BMC＝∠CND＝90°，∴△CBM≌△DCN(AAS)，∴CN＝BM，DN＝CM，設(shè)C(a，b)，∵點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別是(－1，－2)，(1，2)，∴，解得，∴C(2，－1)，∵點(diǎn)C在拋物線y＝－x2＋bx的圖象上，∴－1＝－×4＋2b，∴b＝.
變式2.1題解圖
3. B　【解析】①∵拋物線開口向下且交y軸于正半軸，∴a＜0，c＞0，又∵拋物線的對稱軸為x＝－＝1，∴b＝－2a＞0，∴abc＜0，故①錯誤；②由拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，得b2－4ac＞0，故②正確；③由題圖知，當(dāng)x＝－2時，二次函數(shù)y＝4a－2b＋c＜0，又由①知b＝－2a.∴y＝4a－2b＋c＝8a＋c＜0，故③正確；④∵5a＋b＋2c＝(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)，結(jié)合圖象可知：當(dāng)x＝－1時，y＝a－b＋c＞0，當(dāng)x＝2時，y＝4a＋2b＋c＞0，∴(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)＝5a＋b＋2c＞0，故④正確.∴正確的結(jié)論有3個，故選B.
變式3.1　①②④　【解析】由題意，將點(diǎn)(－4，0)，(－3，5)，(1，5)代入二次函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c中，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y＝－x2－2x＋8，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，結(jié)論①正確；當(dāng)y＝9時，－x2－2x＋8＝9，解得x1＝x2＝－1，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論②正確；由表格知，當(dāng)－4＜x＜1時，0＜y＜9，結(jié)論③錯誤；∵二次函數(shù)y＝－x2－2x＋8的對稱軸為直線x＝－1，且＝－1，∴點(diǎn)(m，y1)，(－m－2，y2)關(guān)于對稱軸對稱，∴y1＝y(tǒng)2，結(jié)論④正確；由ax2＋(b＋1)x＋c＜2，得x2＋x－6＞0，∴x的取值范圍為x＜－3或x＞2，結(jié)論⑤錯誤.
4. C　【解析】y＝(x－1)2＋2向右平移1個單位后得到y(tǒng)＝(x－1－1)2＋2，即y＝(x－2)2＋2.
5. y＝2(x＋1)2－2
變式5.1　D　【解析】根據(jù)題意知，將拋物線y＝(x－1)2＋2向下平移2個單位長度，向右平移3個單位長度后所得拋物線解析式為y＝(x－4)2.微專題14　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
練考點(diǎn)
1. 汽車油箱中有汽油30 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(單位：L)隨行駛路程x(單位： km)的增加而減少，平均耗油量為0.1 L/km.當(dāng)0≤x≤300時，y與x的函數(shù)表達(dá)式是(　　)
A. y＝0.1x B. y＝－0.1x＋30 C. y＝ D. y＝－0.1x2＋30x
2. 阿基米德說：“給我一個支點(diǎn)，我就能撬動整個地球”，這句話精辟地闡明了一個重要的物理學(xué)知識杠桿原理，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”.若某杠桿的阻力和阻力臂分別為1000 N和0.6 m，則它的動力F和動力臂l之間的函數(shù)圖象大致是(　　)
3. 如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍一塊矩形的地.已知房屋外墻長40米，則可圍成的地的最大面積是　　　　平方米.
第3題圖
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(6年5考)
例　 某工藝品店銷售一款擺件，已知每件擺件的成本為30元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，在銷售單價不低于成本價且不高于40元的試銷期間，每周的銷售量y(件)與銷售單價x(元)滿足反比例函數(shù)關(guān)系；銷售單價高于40元正式售賣時，每周的銷售量y(件)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是部分銷售記錄.
銷售單價x(元) … 35 40 44 48 50 …
周銷售量y(件) … 96 84 80 76 74 …
(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)圖象，并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
　例題圖
若計(jì)劃每件擺件的利潤率不低于40％，求該擺件每周的最大銷售量；
在試銷期間，當(dāng)該擺件的銷售單價為多少元時周利潤最大？
根據(jù)當(dāng)?shù)匾?guī)定，該擺件銷售單價不得超過50元，若該店計(jì)劃下周該擺件的銷售單價高于40元，且一周內(nèi)銷售單價保持不變，預(yù)計(jì)下周利潤最多為多少？
易錯警示
利用函數(shù)的增減性解決實(shí)際問題中的最值時，要注意實(shí)際問題中自變量的取值范圍對最值的影響.特別地，在二次函數(shù)中若對稱軸的取值不在自變量的取值范圍內(nèi)，則最值在自變量取值的端點(diǎn)處取得.
真題及變式
命題點(diǎn)　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(6年5考) 　
類型一　利潤(費(fèi)用)最值問題(6年3考)
(2024廣東20題9分·北師九下習(xí)題改編)廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美.某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸.市場調(diào)查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸.該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值？(題中“元”為人民幣)
2. (2020廣東23題8分)某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟(jì)”，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的.
(1)求每個A，B類攤位占地面積各為多少平方米？
(2)該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍.求建造這90個攤位的最大費(fèi)用.
類型二　跨學(xué)科問題(6年2考)
3. (2023廣東13題3分·人教九下習(xí)題改編)某蓄電池的電壓為48 V，使用此蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)的函數(shù)表達(dá)式為I＝.當(dāng)R＝12 Ω時，I的值為　　　　A.
3.1 變條件——將一個電阻變?yōu)槿齻€串聯(lián)電阻
(2024廣州)如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1＋I(xiàn)R2＋I(xiàn)R3.當(dāng)R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時，U的值為　　　　.
變式3.1題圖
4. (2022廣東20題9分)物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)：在彈性限度內(nèi)，某彈簧長度y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)滿足函數(shù)關(guān)系y＝kx＋15.下表是測量物體質(zhì)量時，該彈簧長度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系.
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)彈簧長度為20 cm時，求所掛物體的質(zhì)量.
拓展類型
5. [圖象問題](2024陜西)我國新能源汽車快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動汽車從A市前往B市.他駕車從A市一高速公路入口駛?cè)霑r，該車的剩余電量是80 kW·h，行駛了240 km后，從B市一高速公路出口駛出.已知該車在高速公路上行駛的過程中，剩余電量y(kW·h)與行駛路程x(km)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的關(guān)系式；
(2)已知這輛車的“滿電量”為100 kW·h，求王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少.
　第5題圖
6. [拋物線型問題](2024東莞模擬)愛思考的小芳在觀看女子排球比賽時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：排球被墊起后，沿弧線運(yùn)動，運(yùn)動軌跡可以看作是拋物線的一部分，于是她和同學(xué)小華一起進(jìn)行了實(shí)踐探究.
經(jīng)實(shí)地測量，可知排球場地長為18 m，球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24 m.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A為擊球點(diǎn).記排球運(yùn)動過程中距地面的豎直高度為y(單位：m)，距擊球點(diǎn)的水平距離為x(單位：m).小華第一次發(fā)球時，測得y與x的幾組數(shù)據(jù)如下表：
水平距離x/m 0 4.5 6 7.5 12
豎直高度y/m 2 2.75 2.8 2.75 2
(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)，求排球運(yùn)動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點(diǎn)的水平距離x滿足的函數(shù)表達(dá)式；
(2)通過計(jì)算，判斷小華這次發(fā)球能否過網(wǎng)，并說明理由；
(3)小華第二次發(fā)球時，假設(shè)她只改變擊球點(diǎn)高度，排球運(yùn)動軌跡的形狀及對稱軸位置不變，在點(diǎn)O上方擊球，既要過球網(wǎng)，又不出邊界(排球壓線屬于沒出界)時，求小華的擊球點(diǎn)高度h(單位：m)的取值范圍.
第6題圖
新考法
7. [綜合與實(shí)踐]
科學(xué)探究
【主題】利用“浮力稱”測量浸入水的深度
【項(xiàng)目情境】“曹沖稱象”是家喻戶曉的經(jīng)典故事，某興趣小組模仿故事里曹沖的稱象思路，制作了一把“浮力稱”.
【項(xiàng)目探究】如圖①所示，將一個帶刻度的圓柱形狀的量杯浸入水中，小組成員通過在杯中放入不同質(zhì)量的物體，觀察杯子浸入水中的深度，得到了一組數(shù)據(jù)如下.
【實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)】
物體質(zhì)量/kg 0 0.3 0.6 0.9 1.2
浸入水中深度/m 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
【問題解決】設(shè)放進(jìn)杯中的物體質(zhì)量為x kg，杯子浸入水中的深度為 y m.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)網(wǎng)格中描出相應(yīng)的點(diǎn)，并在圖②中畫出函數(shù)圖象；
(2)求放入杯中物體質(zhì)量在0 kg～1.2 kg范圍內(nèi)時，杯子浸入水中的深度 y 與放入物體質(zhì)量x之間的函數(shù)表達(dá)式；
(3)若量杯的高度為0.15 m，此“浮力稱”可以稱質(zhì)量為2 kg的物體嗎？
第7題圖
練考點(diǎn)
1. B　【解析】利用油箱中的油量y＝總油量－耗油量，得出函數(shù)表達(dá)式是y＝－0.1x＋30(0≤x≤300).
2. B　【解析】∵阻力×阻力臂＝動力×動力臂，且阻力和阻力臂分別為1000 N和0.6 m，∴動力F關(guān)于動力臂l的函數(shù)表達(dá)式為1000×0.6＝Fl，即F＝，∴動力F和動力臂l之間的函數(shù)圖象是反比例函數(shù)圖象，又∵動力臂l＞0，∴反比例函數(shù)F＝的圖象在第一象限.
3. 450　【解析】設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為(60－2x)米，∴菜園的面積＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，由題意得0＜60－2x≤40，解得10≤x＜30，∴當(dāng)x＝15時，菜園的面積最大，最大面積為450平方米.
高頻考點(diǎn)
例　解：(1)畫出函數(shù)圖象如解圖；
∵當(dāng)銷售單價不低于成本價且不高于40元時，每周的銷售量y(件)與銷售單價x(元)滿足反比例函數(shù)關(guān)系，
∴設(shè)y1＝(30≤x≤40)，將(40，84)代入y1＝中，得84＝，
解得k1＝3 360，
∴y1＝(30≤x≤40).
∵當(dāng)銷售單價高于40元時，每周的銷售量y(件)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，
∴設(shè)y2＝k2x＋b(x＞40，k2≠0)，將(50，74)，(44，80)代入y2＝k2x＋b中，
得，解得，
∴y2＝－x＋124(x＞40)，
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝；
例題解圖
(2)∵每件擺件的成本為30元，計(jì)劃每件擺件的利潤率不低于40％，
∴×100％≥40％，
解得x≥42，
由(1)得y2＝－x＋124(x＞40)，
∵－1＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝42時，y2取得最大值，最大值為82.
答：該擺件每周的最大銷售量為82件；
(3)由(1)可知y1＝(30≤x≤40)，
設(shè)試銷期間每周總利潤為W1元，
則W1＝(x－30)y1＝(x－30)·＝－＋3 360，
當(dāng)－最大時，W1最大，
∵－100 800＜0，30≤x≤40，
∴當(dāng)x＞0時，－隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝40時，W1取得最大值，為－＋3 360＝840.
答：在試銷期間，當(dāng)該擺件的銷售單價為40元時，周利潤最大；
(4)設(shè)下周總利潤為W2元，
∵該店計(jì)劃下周該擺件的銷售單價高于40元，
∴銷售量與售價滿足關(guān)系式y(tǒng)2＝－x＋124(x＞40)，
∴W2＝(x－30)y2＝(x－30)(－x＋124)＝－x2＋154x－3 720＝－(x－77)2＋2 209，
∵根據(jù)當(dāng)?shù)匾?guī)定，該擺件銷售單價不得超過50元，
∴40＜x≤50，
∵－1＜0，
∴當(dāng)x＜77時，W2隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝50時，W2取得最大值，為1 480.
答：預(yù)計(jì)下周利潤最多為1 480元.
真題及變式
1. 解：選擇利潤最大：
設(shè)該果商定價為每噸x萬元，利潤為W萬元，
則銷量為100＋50(5－x)＝(350－50x)噸，∴W＝(x－2)·(350－50x)＝－50x2＋450x－700，
∵－50＜0，對稱軸為直線x＝－＝4.5，
∴當(dāng)x＝4.5時，W最大，此時W＝(4.5－2)×(350－50×4.5)＝312.5， (8分)
答：該果商定價為每噸4.5萬元時利潤最大，最大利潤為312.5萬元. (9分)
或選擇銷售收入最大：
設(shè)該果商定價為每噸x萬元，銷售收入為y萬元，
則銷量為100＋50(5－x)＝(350－50x)噸，∴y＝x(350－50x)＝－50x2＋350x，
∵－50＜0，對稱軸為直線x＝－＝3.5，
∴當(dāng)x＝3.5時，y最大，此時y＝3.5×(350－50×3.5)＝612.5， (8分)
答：該果商定價為每噸3.5萬元時銷售收入最大，最大銷售收入為612.5萬元. (9分)
2. 解：(1)設(shè)每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位的占地面積為(x＋2)平方米，
由題意得＝×， (2分)
解得x＝3，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的解且符合實(shí)際， (3分)
∴x＋2＝5.
答：每個A類攤位占地面積為5平方米，每個B類攤位占地面積為3平方米； (4分)
(2)設(shè)建A類攤位a個，則建B類攤位(90－a)個，
由題意得90－a≥3a，解得a≤22.5， (5分)
設(shè)建造這90個攤位的費(fèi)用為y元，
則y＝40a×5＋30(90－a)×3＝110a＋8 100， (6分)
∵110＞0，
∴y隨a的增大而增大，
∵a取整數(shù)，
∴a的最大值為22，
∴當(dāng)a＝22時，y取最大值，最大值為110×22＋8 100＝10 520.
答：建造這90個攤位的最大費(fèi)用為10 520元. (8分)
3. 4　【解析】當(dāng)R＝12 Ω時，I＝＝4(A).
變式3.1　220　【解析】∵U＝IR1＋I(xiàn)R2＋I(xiàn)R3，當(dāng)R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時，U＝2.2×20.3＋2.2×31.9＋2.2×47.8＝2.2×(20.3＋31.9＋47.8)＝220.
4. 解：(1)將x＝5，y＝25代入y＝kx＋15中，得25＝5k＋15，
解得k＝2，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x＋15(x≥0)； (4分)
(2)當(dāng)y＝20時，20＝2x＋15，
解得x＝2.5， (8分)
∴當(dāng)彈簧的長度為20 cm時，所掛物體的質(zhì)量為2.5 kg. (9分)
5. 解：(1)設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)，
將(0，80)，(150，50)代入y＝kx＋b中，
得，解得，
∴y與x之間的關(guān)系式為y＝－x＋80；
(2)當(dāng)x＝240時，y＝－×240＋80＝32，
∴該車的剩余電量占“滿電量”的百分比為×100％＝32％.
答：王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時，該車的剩余電量占“滿電量”的32％.
6. 解：(1)由表格可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，2.8)；
設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－6)2＋2.8.
將(0，2)代入，得2＝a(0－6)2＋2.8，解得a＝－.
經(jīng)檢驗(yàn)，表格中其他數(shù)據(jù)也滿足上述關(guān)系.
∴排球運(yùn)動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點(diǎn)的水平距離滿足的函數(shù)表達(dá)式為y＝－(x－6)2＋2.8；
(2)能，理由如下：
當(dāng)x＝9時，y＝－(9－6)2＋2.8＝2.6.
∵2.6＞2.24，
∴小華這次發(fā)球能過網(wǎng)；
(3)設(shè)只改變擊球點(diǎn)高度后拋物線的表達(dá)式為y＝－(x－6)2＋k，
把x＝9，y＝2.24代入y＝－(x－6)2＋k中，
解得k＝2.44，
∴y＝－(x－6)2＋2.44，
把x＝0代入y＝－(x－6)2＋2.44，解得y＝1.64.
把x＝18，y＝0代入y＝－(x－6)2＋k，解得k＝3.2，
∴y＝－(x－6)2＋3.2.
把x＝0代入y＝－(x－6)2＋3.2，解得y＝2.4.
∴小華的擊球點(diǎn)高度h的取值范圍是1.64＜h≤2.4.
7. 解：(1)描出相應(yīng)點(diǎn)及畫出函數(shù)圖象如解圖所示：
第7題解圖
(2)觀察函數(shù)圖象可知y與x為一次函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，
將x＝0，y＝0.02；x＝1.2，y＝0.10，代入y＝kx＋b(k≠0)，
得，解得，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝x＋0.02(0≤x≤1.2)；
(3)當(dāng)y＝0.15時，x＋0.02＝0.15，解得x＝1.95 kg，
∵2 kg＞1.95 kg，超過了此浮力稱的最大量程，
∴若量杯的高度為0.15 m，此“浮力稱”不可以稱質(zhì)量為2 kg的物體.微專題15　二次函數(shù)綜合題
類型一　二次函數(shù)與線段有關(guān)問題
一階　設(shè)問突破
方法解讀
1. 求線段長
(1)與x軸垂直的線段的長：縱坐標(biāo)相減(上減下)；
(2)與y軸垂直的線段的長：橫坐標(biāo)相減(右減左).
2. 線段數(shù)量關(guān)系問題
若兩條線段的長均可計(jì)算或表示出來，直接根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程即可求解，若兩條線段的長無法直接計(jì)算或表示出來，可通過x軸或y軸的平行線構(gòu)造相似三角形，將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程求解.
3. 利用二次函數(shù)性質(zhì)求線段最值
(1)求豎直線段的最值
第一步：設(shè)M(t，at2＋bt＋c)，則N(t，mt＋n)；
第二步：表示線段MN的長，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；
第三步：化簡MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值；
(2)求斜線段的最值
利用銳角三角函數(shù)化斜為直得：MP＝MN·sin∠MNP，再根據(jù)(1)的步驟解題即可.
4. 利用對稱性質(zhì)求線段和最值及點(diǎn)坐標(biāo)，即“將軍飲馬”問題(求PA＋PB的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo))；
(1)求點(diǎn)B關(guān)于對稱軸l對稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)連接AC交直線l于點(diǎn)P，此時點(diǎn)P滿足要求，從而可求出PA＋PB的最小值；
(3)用待定系數(shù)法求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
(4)將l對應(yīng)的x的值代入AC的函數(shù)表達(dá)式可得點(diǎn)P的坐標(biāo).
例1　 如圖①，已知二次函數(shù)y＝－x2－2x＋3的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn) C.點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
　例1題圖①
一、表示點(diǎn)坐標(biāo)
(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　，點(diǎn)D的坐標(biāo)為　　　，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為　　　　；
二、表示線段長
(2)PD的長為　　　　，QD的長為　　　　，PQ的長為　　　　；
(3)點(diǎn)P到對稱軸的距離為　　　，CQ的長為　　　　；
三、與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的計(jì)算
(4)如圖②，若PQ＝DQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
例1題圖②
(5)如圖③，若AQ＝2CQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；[2020廣東25(2)題考查]
例1題圖③
四、線段最值
(6)如圖④，過點(diǎn)P作x軸的平行線，交直線AC于M點(diǎn)，求MQ的最大值；
例1題圖④
(7)如圖⑤，點(diǎn)G是拋物線的對稱軸l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△GBC的周長最小時，求的值.
例1題圖⑤
二階　綜合訓(xùn)練
1. (2024佛山二模)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于點(diǎn)A(0，－4)，B(5，6)，直線AB與x軸相交于點(diǎn) C.
(1)求拋物線與直線AB的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)D是拋物線在直線AB下方部分上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥x軸交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥y軸交AB于點(diǎn)F，求DF－DE的最大值.
第1題圖
類型二　二次函數(shù)與面積有關(guān)問題
一階　設(shè)問突破
方法解讀
求幾何圖形面積
方法一：直接公式法
一邊在坐標(biāo)軸上(或平行于坐標(biāo)軸)，S△ABC＝AB·h.
方法二：分割法
三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸).
S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝BD·(AE＋CF)＝BD·(yC－yA).
方法三：補(bǔ)全法
三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸).
S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BC C.
注：對于四邊形面積計(jì)算，可連接一條對角線將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積之和求解.
例2　 如圖，拋物線y＝－x2＋3x＋4與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是第一象限拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t.
一、求三角形、四邊形面積
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D位于拋物線的頂點(diǎn)處時，連接OD，CD，求△OCD的面積；
　例2題圖①
(2)如圖②，若t＝2，連接AC，CD，BD，求四邊形ABDC的面積；
　例2題圖②
二、面積定值及最值
(3)如圖③，連接AD，BD，若△ABD的面積為15，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
　例2題圖③
方法解讀
利用二次函數(shù)性質(zhì)求面積最值：用同一未知數(shù)表示出動點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出所求圖形的面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值.
(4)核心設(shè)問 如圖④，連接BD，過點(diǎn)C作CP∥BD交x軸于點(diǎn)P，連接PD，求△BPD面積的最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；[2022廣東23(2)題考查]
　例2題圖④
三、面積等值、倍分關(guān)系
(5)如圖⑤，連接BD，CD，OD，若S△BOD＝S△COD，求點(diǎn)D的坐標(biāo).
　例2題圖⑤
二階　綜合訓(xùn)練
1. (2024福建)如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x 軸交于A，B兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C，其中A(－2，0)，C(0，－2).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
　第1題圖
類型一　二次函數(shù)與線段有關(guān)問題
一階　設(shè)問突破
例1　解：(1)(m，－m2－2m＋3)，(m，0)，(m，m＋3)；　【解法提示】令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴點(diǎn)A(－3，0)，點(diǎn)B(1，0)；令x＝0，得y＝3，∴點(diǎn)C(0，3)；設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，將點(diǎn)A(－3，0)，點(diǎn)C(0，3)代入y＝kx＋b中，得，解得，∴直線AC的表達(dá)式為y＝x＋3.∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為－m2－2m＋3，∵PQ⊥x軸，∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為m＋3，∵PD⊥x軸，∴點(diǎn)D橫坐標(biāo)為m，縱坐標(biāo)為0.
(2)－m2－2m＋3，m＋3，－m2－3m；
(3)｜m＋1｜，－m；
(4)由(2)可知QD的長為m＋3，PQ的長為－m2－3m，
∵PQ＝DQ，
∴－m2－3m＝m＋3，
解得m＝－1或m＝－3，
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，
∴m的值為－1，
∴P(－1，4)；
(5)∵PD∥y軸，
∴＝，
∵AQ＝2CQ，
∴＝，
∴＝，
∵A(－3，0)，
∴AO＝3，
∴AD＝2，OD＝1，
∴m＝－1，此時－m2－2m＋3＝4，
∴P(－1，4)，
(6)∵OA＝OC＝3，PM∥x軸，
∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，
∵PD⊥x軸，
∴∠ADQ＝∠QPM＝90°，
∴△PMQ為等腰直角三角形，
∴MQ＝PQ，
∵PQ＝－m2－3m＝－(m＋)2＋，－1＜0，－3＜m＜0，
∴PQ的最大值為.
∴MQ的最大值為.
(7)∵y＝－x2－2x＋3，∴拋物線對稱軸為直線x＝－＝－1.
如解圖，連接AC，交拋物線對稱軸l于點(diǎn)G，由拋物線的對稱性得GA＝GB，∴GB＋GC＝AG＋GC≥AC，即當(dāng)A，G，C三點(diǎn)共線時，GB＋GC取得最小值，此時△GBC周長最小.
由(1)得直線AC的表達(dá)式為y＝x＋3，
當(dāng)x＝－1時，y＝2，
∴G(－1，2).
∵B(1，0)，C(0，3)，
∴＝＝.
例1題解圖
二階　綜合訓(xùn)練
1. 解：(1)由題意，將點(diǎn)A(0，－4)，B(5，6)代入y＝x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－3x－4.
將點(diǎn)A(0，－4)，B(5，6)代入y＝kx＋m中，
得，解得，
∴直線AB的表達(dá)式為y＝2x－4；
(2)由題意，設(shè)D(a，a2－3a－4)(0＜a＜5)，
令2x－4＝ a2－3a－4，得x＝(a2－3a)，
∴E(a2－a，a2－3a－4).
令x＝a，則y＝2a－4，
∴F(a，2a－4).
∴DF－DE＝2a－4－(a2－3a－4)－[a－(a2－a)]
＝－a2＋a
＝－(a－)2＋.
∵－＜0，0＜a＜5，
∴當(dāng)a＝時，DF－DE取得最大值，最大值為.
類型二　二次函數(shù)與面積有關(guān)問題
一階　設(shè)問突破
例2　解：(1)令x＝0，得y＝4，
∴C(0，4)，
∴OC＝4，
∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋，
∴D(，)，
∴S△OCD＝OC·｜xD｜＝×4×＝3；
(2)如解圖①，連接BC，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交BC于點(diǎn)E，
令－x2＋3x＋4＝0，解得x＝－1或x＝4，
∴A(－1，0)，B(4，0)，
由(1)可知，C(0，4)，
∴AB＝5，OB＝OC＝4，
設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，
將B(4，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b中，
得，解得，
∴BC所在直線的表達(dá)式為y＝－x＋4，
∴當(dāng)t＝2時，－t2＋3t＋4＝6，－t＋4＝2，
∴D(2，6)，E(2，2)，
∴DE＝4，
∴S四邊形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×5×4＋×4×4＝18；
例2題解圖①
(3)由(2)可知，AB＝5，
∴S△ABD＝AB·yD＝×5×(－t2＋3t＋4)＝15，
解得t＝1或t＝2.
當(dāng)t＝1時，－t2＋3t＋4＝－12＋3×1＋4＝6；
當(dāng)t＝2時，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，6)或(2，6)；
(4)如解圖②，連接BC，CD，過點(diǎn)D作DQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，
∵CP∥BD，
∴S△BPD＝S△BCD＝S△BDQ＋S△CDQ＝DQ·OB，
由(2)可知，BC所在直線的解析式為y＝－x＋4，
∴Q(t，－t＋4)，
∴DQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，
∴S△BPD＝(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2＋8，
∵－2＜0，0＜t＜4，
∴當(dāng)t＝2時，S△BPD有最大值，最大值為8，
此時－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，6)；
例2題解圖②
(5)由(2)可知，OB＝OC＝4，
∵S△BOD＝OB·yD＝×4×(－t2＋3t＋4)，
S△COD＝OC·xD＝×4t，
∵S△BOD＝S△COD，
∴×4×(－t2＋3t＋4)＝×4t，
∴－t2＋3t＋4＝t，
解得t＝1＋或t＝1－，
∵0＜t＜4，∴t＝1＋，
此時－t2＋3t＋4＝t＝1＋，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1＋，1＋).
二階　綜合訓(xùn)練
1. 解：(1)將A(－2，0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中，
得解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2＋x－2；
(2)設(shè)P(m，n)，
∵點(diǎn)P在第二象限，
∴m＜0，n＞0.
依題意，得＝2，
即＝2，
∴＝2.
∵C(0，－2)，
∴CO＝2，
∴n＝2CO＝4.
∵P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，
∴m2＋m－2＝n，即m2＋m－2＝4，
解得m1＝－3，m2＝2(舍去)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，4).

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