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第八章 立體幾何初步
8.5.3 平面與平面平行
1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理,達到直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的要求.
2.能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號語言、文字語言、圖形語言表述平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，進一步培養(yǎng)學(xué)生的表達能力.
3.能夠利用平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理解決幾何綜合問題，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維.
重點：平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用.
難點：平面與平面平行的性質(zhì)定理的探索.
創(chuàng)設(shè)情境
觀看視頻：
想一想：如何判定平面與平面平行呢？
（二）探究新知
任務(wù)1：探究利用定義判定平面與平面的平行
思考1：兩個平面的位置關(guān)系有哪些情形呢？
思考2：若兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線與另一個平面有交點嗎？
思考3：當(dāng)一個平面內(nèi)的所有直線與另一個平面都沒有交點時，這兩個平面平行嗎
【小組討論】
1.先獨立思考
2.小組內(nèi)交流討論，進行展示匯報
答：
思考1：位置關(guān)系有2種：平行、相交
思考2：沒有交點
思考3：這兩個平面平行
師生活動：小組內(nèi)交流，并匯報展示.
設(shè)計意圖：通過對之前知識的梳理，明確這節(jié)課要突破和學(xué)習(xí)的重點知識內(nèi)容.
任務(wù)2：探究平面與平面平行的判定定理
活動1：如何判定一個平面內(nèi)的任意直線都平行于另一個平面呢 有沒有更簡便的方法
答：因為平面內(nèi)有無數(shù)條直線，所以判斷全部直線與另一個平面平行不太可能.
可以判斷一組平行直線或相交直線與另一個平面平行.
活動2：a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片所在平面和桌面平行嗎
答：不一定平行
活動3：c和d分別是三角板相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角板所在平面和桌面平行嗎
答：平行
師生活動：小組內(nèi)交流，并匯報展示.
設(shè)計意圖：通過生活實踐引導(dǎo)學(xué)生探究面面平行的判定定理，加深對判定定理的理解．
【總結(jié)】
平面與平面平行的判定定理
如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.
思考：在定理的條件中，需要注意哪些關(guān)鍵點呢？如何用數(shù)學(xué)符號表示判定定理呢？
答：
關(guān)鍵點：
(1)一個平面內(nèi)的兩條相交直線，
(2)且這兩條相交直線都與另一個平面平行.
符號表示：
說一說：已知長方體-，相交于點P，相交于點Q；如圖，平面平行嗎？為什么？
答：平行，利用平面與平面平行的判定定理可以解釋.
線線平行 →線面平行 → 面面平行
思考：在探究如何判定平面與平面平行時，我們采用了怎樣的數(shù)學(xué)思想與方法？
答：
轉(zhuǎn)化思想
(1) 面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，再轉(zhuǎn)化為線線平行
(2)所有直線與平面平行轉(zhuǎn)化為一組相交直線與平面平行
師生活動：先獨立思考，再組內(nèi)討論分享，最后小組展示匯報.
設(shè)計意圖：通過總結(jié)定理內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)概括能力，通過說一說和設(shè)置多個思考問題，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識.
任務(wù)三：探究面面平行的性質(zhì)定理
思考1：如圖， α∥β，β內(nèi)任意直線a與平面α有交點嗎？直線a與平面α內(nèi)的直線有怎樣的位置關(guān)系呢？
答：沒有交點；異面或平行
思考2：如何能確定出兩個平行平面內(nèi)互相平行的直線呢？
答：作出這兩個平面的相交平面，這兩條交線互相平行
說一說：根據(jù)任務(wù)三的內(nèi)容，你能得到怎樣的結(jié)論呢？
猜想：兩個平行平面同時與第三個平面相交，所得的兩條交線平行.
已知：平面//，平面分別與平面，相交于直線, .
求證： //.
∵ ∩= ，∩=
∴ .
又//，
∴公共點.
又同在平面內(nèi)，
∴ //
【總結(jié)】
要證明兩直線平行，就可以用此方法先去構(gòu)造線線平行.
兩個平面平行的性質(zhì)定理：
兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.
符號表示：
性質(zhì)定理的作用是什么
可以由平面與平面平行得出直線與直線平行，它是確定直線與直線平行的重要途徑.
師生活動：小組內(nèi)交流總結(jié)，并匯報.
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)面與平面平行的性質(zhì)定理，并剖析了知識的關(guān)鍵之處，加深理解．
（三）應(yīng)用舉例
例1 已知正方體，求證：平面//平面
分析：證明面面平行的關(guān)鍵是什么呢？
答：在平面內(nèi)找到兩條相交直線與該平面平行
證明：∵為正方體，
∴
∴且
∴四邊形四邊形.
∴//
又∵，平面
∴
同理
又
∴平面
例2：求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等.
已知：如圖//， ，且, , , .
求證：
證明：過平行線作平面,與平面和分別相交于和.
∵ // ,
∴.
又,
∴四邊形是平行四邊形.
所以.
例3 如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF//CM.
分析：證明線線平行的突破口是什么？
答：利用面面平行的性質(zhì)定理解決線線平行問題
證明：因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE//AB.
又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE//平面ABC，
同理DF//平面ABC，且DEDF＝D，DE，DF平面DEF，
所以平面DEF//平面ABC.
又平面PCM平面DEF＝NF，
平面PCM平面ABC＝CM，所以NF//CM.
【總結(jié)】
若平面與平面平行，可以得到第三個平面與它們的交線平行，這也是證明線線平行的重要方法.
例4：在如圖所示的幾何體中，底面ABCD是正方形，四邊形ADPM是直角梯形，D，且四邊形底面ABCD，E，G，F(xiàn)分別為MB，PB，PC的中點，AD=PD=2，PD=2AM．求證：平面平面ADPM.
證明：
又∵四邊形ABCD是正方形，∴
∵EG,GF平面ADPM，
又∵EG
∴平面.
【總結(jié)】
常用的與面面平行相關(guān)的性質(zhì)（補充）.
(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．
(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．
(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．
(5)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．
設(shè)計意圖：通過例題，熟悉平面與平面平行的相關(guān)解題方法，并體會將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想．
（四）課堂練習(xí)
1.如圖，在多面體中，平面平面，且，則( )
A. 平面 B. 平面
C. D. 平面平面
解：取的中點，連接，，如圖所示，
則由已知條件易證四邊形是平行四邊形，
，
平面平面，
平面平面，平面平面，
，
，
又，，
四邊形是平行四邊形，即，
又平面，平面，
平面．
故選A．
2.如圖，在正方體中，是的中點，分別是的中點，求證：平面；平面平面．
解：如圖，連接 ，
分別是 的中點， ．
又 平面 ， 平面 ，直線 平面 ．
連接， 分別是 的中點，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，由知， 平面 ，
且 平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 ．
3.如圖：在正方體中，為的中點．

求證：平面；
在線段上是否存在一點，使得平面平面，說明理由．
證明：連接交于，連接，
底面 為正方形，為的中點．
為 的中點，在 中，是 的中位線，∴ ．
又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
解：當(dāng)點為的中點時滿足平面 平面 ，
為 的中點，為 的中點，
，且 ，
四邊形 為平行四邊形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
由知 平面 ，
又 ，平面，
平面 平面
設(shè)計意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固平面與平面平行的平行定理和判定定理，能夠靈活運用.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問題：
（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？
（2）本節(jié)課我們掌握了哪些思想方法？
1.研究平面與平面平行的判定定理，就是通過轉(zhuǎn)化為直線與平面的平行關(guān)系來判定．即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．這也是研究空間圖形的基本思路.
2.類比直線與平面平行的學(xué)習(xí)，先學(xué)習(xí)平面與平面平行的判定，再探究性質(zhì)，這是學(xué)習(xí)性質(zhì)、定理類數(shù)學(xué)知識的一般思路.
3.深入體會線面平行、面面平行之間的轉(zhuǎn)化，提升解決綜合問題的能力.
設(shè)計意圖：讓學(xué)生回顧本節(jié)課知識點，建立知識與知識之間的聯(lián)系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認(rèn)識.

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