資源簡介

第八章 立體幾何初步
8.5.2 直線與平面平行
1.掌握直線與平面平行的判定定理與性質定理，并能準確使用數學符號、圖形語言表示定理.
2.理解直線與平面平行的判定定理和性質定理的互逆關系.
3.通過對判定定理和性質定理的探究學習，進一步培養學生發現問題和解決問題的能力，逐步提升學科素養．
重點：直線與平面平行的判定定理和性質定理.
難點：直線與平面平行的判定定理的推導.
創設情境
觀看視頻
想一想：如何判定直線與平面平行呢？
師生活動：利用情景視頻導入新課，教師引導學生善于發現數學知識在生活中的應用．
設計意圖：通過情境視頻導入，讓學生感受到數學知識來源于生活，啟發學生善于觀察，發現生活中的數學，激發學習興趣，降低學習難度．
（二）探究新知
任務1：通過實踐活動探究直線與平面平行的判定定理
活動1：如圖，門扇的兩邊是平行的.當門扇繞著邊AB轉動時，另一邊與墻面有公共點嗎？此時門扇轉動的一邊與墻面平行嗎？
活動2：如圖，在翻書過程中，邊AB與桌面有交點嗎？與桌面平行嗎？
【小組討論】
1.先獨立思考，再小組內進行討論分享.
2.以小組形式匯報展示組內觀點與結論,其他小組認真傾聽之后進行點評.
答：思考1：沒有公共點；平行
思考2：沒有公共點；平行
師生活動：在學生思考、討論的基礎上，引導學生理解線面平行的三個前提條件．
設計意圖：讓學生從具體的實際情境中抽象出幾何知識，培養學生的空間想象能力與抽象能力．
說一說：通過任務一的學習，你能說說如何判定直線與平面平行嗎？
線面平行的判定定理
如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
圖形語言：
符號語言：
表示為：；其中，三個條件缺一不可.
定理理解：
將空間問題轉化為平面問題研究
空間內的線面平行關系轉化平面內的線線平行關系
師生活動：教師引導學生準確畫圖，并用數學符號表示出定理內容，歸納總結出定理的內涵．
設計意圖：幫助學生從自然描述、圖形表示、符號表示三個維度理解線面平行的判定定理，提升數學素養．
任務2：探究直線與平面平行的判定定理的證明過程
【小組討論】
1.先獨立思考，提出你的猜想，再小組討論整理.
2.以小組形式匯報證明思路,其他小組認真傾聽之后進行點評.
如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
已知：如圖，
求證：
證明：假設a與平面α相交，設
設a與b確定的平面為β，則A是平面α與β的公共點，b是平面α與β的交線，
則A一定在交線b上，說明a與b相交.
這和a//b矛盾，故a//α.
師生活動：教師分析證明思路，學生板演．
設計意圖：利用反證法證明直線與平面平行的判定定理，幫助學生順利掌握定理，并體會反證法的推理價值．
思考：請結合直線與平面平行的判定定理，完成以下練習.
1.下列說法正確的是（ ）
A．如果一條直線和一個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．
B．若直線l平面α，直線a平面α，則la.
C．若直線l平面α，則l與平面α內的任意一條直線都不相交．
D．若直線m平面α，n平面α，則mn.
2.對于直線m，n和平面α，下面敘述正確的是(　　)
A．如果mα，nα，m，n是異面直線，那么nα
B．如果mα，n與α相交，那么m，n是異面直線
C．如果mα，nα，m、n共面，那么mn
D．如果mα，nα，m、n共面，那么mn
答：1.C；2.C
師生活動：通過思考題的設置，再次幫助學生理解直線與平面平行的判定定理．
設計意圖：幫助學生辨析判定定理，提升邏輯推理能力．
任務3：探究直線與平面平行的性質定理
思考1：觀察桌面上放置的臺歷，臺歷的上邊緣與桌面平行，觀察臺歷的其余邊緣，也與上邊緣平行嗎？這些平行關系會隨著臺歷張開的角度不同而變化嗎？
思考2：臺歷所在平面與桌面的位置關系是怎樣的？根據這些信息，你能猜想直線與平面平行的性質定理嗎？
【小組討論】
1.先獨立思考，再小組內討論分享.
2.以小組形式匯報,其他小組認真傾聽之后進行點評.
答：
思考1：臺歷的下邊緣和上邊緣平行；不會變化
思考2：臺歷所在的平面與桌面相交；
猜想：一條直線和一個平面平行，則過該直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.
師生活動：通過觀察不同的臺歷的上邊緣與桌面平行，引導學生思考由線面平行能推導出怎樣的結論，從而猜想出線面平行的性質定理．
設計意圖：幫助學生感受性質定理的探究過程，提升學生的數學素養．
說一說：通過任務三的學習，關于直線與平面平行，你能得到怎樣的性質呢？
線面平行的性質定理
一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.
圖形語言：
符號語言：
表示為：；其中，三個條件缺一不可.
定理理解：
①空間中平行關系的相互轉化，性質定理與判定定理互逆
②由線面平行得到線線平行
師生活動：教師引導學生準確畫圖，并用數學符號表示出定理內容，歸納總結出定理的內涵．
設計意圖：幫助學生從自然描述、圖形表示、符號表示三個維度理解性質定理，提升數學素養．
思考：對于直線與平面平行的性質定理，能夠有哪些證明方法呢？
定理：一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.
已知：a//α,a β,α∩β=b, 求證：a//b
證明：∵α∩β=b
∴b α
又∵ a//α,
∴a與b無公共點
又∵a β，b β
∴a//b
思考：如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線和這個平面內的直線有怎樣的位置關系呢？
答：平行或異面
師生活動：教師組織學生探索定理的證明方法，以及多次對定理進行辨析理解.
設計意圖：通過探索性質定理的證明方法，同時對定理進行二次辨析，加深對性質定理的理解.
（三）應用舉例
例1：求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊的平面.
已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB,AD的中點.
求證：EF//平面BCD
分析：證明線面平行的關鍵是什么呢？在平面內找到該直線的平行直線.
證明：如圖，連接BD，因為E為AB中點，F為AD中點，
所以EF//BD.
又BCD平面，BD平面BCD
所以EF//平面BCD
【總結】要證明一條直線與平面平行，只要在這個平面內找出一條與此直線平行的直線就可以了.
例2 如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′.
(1)要經過面A′C′內的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線？
(2)所畫的線與平面AC是什么位置關系？
分析：判定線面的位置關系的突破口是什么？判斷該直線與平面內的某直線的平行關系.
證明：(1)如圖，在平面A′C′內，
過點P作直線EF,使EF//BC，
并分別交棱A′B′，D′C′于點E，F.
連接BE，CF，
則EF，BE，CF就是應畫的線.
(2)因為棱BC平行于平面A′C′，
平面BC′與平面A′C′相交于B′C′，
所以BC//B′C′
由(1)知，EF//B′C′，
所以EF//BC.
而BC在平面AC內，EF在平面AC外，
所以EF //平面AC.
顯然，BE，CF都與平面AC相交.
【總結】判斷直線與平面之間的位置關系，一般轉化為研究該直線與平面內直線的位置關系.
例3 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，判斷BD1與平面AEC的位置關系，并說明理由.
分析：判定線面的位置關系的突破口是什么？確定該直線與平面內某直線的平行關系
證明：連接BD交AC于點O,連接EO，
∵E,O分別是，BD的中點，∴EO//；
又平面AEC,EO平面AEC，
∴//平面AEC.
【總結】利用三角形中位線證得線線平行，是判定線面平行常用的一種技巧.
例4 三棱柱ABC-A1B1C1中，M, N分別是BC和A1B1的中點，求證：MN//平面AA1C1C.
分析：判定線面的平行的突破口是什么？在平面內確定一條直線與該直線平行.
證明：設AC的中點是D，連接MD,.
∵M，D是AB，AC的中點，∴MD//BC,MD=；
∵N是的中點，∴；
由棱柱性質知，,,
∴四邊形MN為平行四邊形，∴MN//
又MN，
∴MN//.
【總結】利用平行四邊形的對邊平行得到線線平行，是判定線面平行的常用技巧.
設計意圖：通過例題，熟悉直線與平面平行的相關解題方法，并體會線面平行與線線平行的轉化思想．
課堂練習
1.如圖，在三棱錐中，，分別是，的中點．
求證：平面；
若三棱錐的各棱長均為，求它的表面積．
解：證明：因為，分別是，的中點，
所以是三角形的中位線，
所以，
因為平面，平面，
所以平面；
若三棱錐的各棱長均為，
則該三棱錐為正四面體，四個面是全等的等邊三角形，
故它的表面積為．
2.正三棱柱的底面正三角形的邊長為 ， 為的中點，．
證明：平面；
求該三棱柱的體積．
(1)證明：連接 ，設 ，連接
是正三棱柱的側面，
為矩形，
是 的中點，
又 為的中點，
是 的中位線，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
解：因為在正三棱柱中，底面正三角形的邊長為， 為 的中點，
所以 ，且 ， ，
故 ，
又 平面 ， ，
所以正三棱柱的體積 ．
3.如圖，四棱柱中，底面為平行四邊形，，分別為，的中點．證明：平面．
證明：連接，如圖所示
，分別為，的中點，，
在四棱柱中，底面為平行四邊形，
且，
四邊形為平行四邊形，有，，
平面，平面，
平面．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固直線與平面平行的判定定理與性質定理，并能夠靈活運用.
（五）歸納總結
【課堂小結】回顧本節課的內容，你都學到了什么？
本節課我們學習了哪些知識？
本節課我們掌握了哪些思想方法？
1.研究直線與平面的平行關系的思路，仍然是將空間問題轉化為平面問題來研究，線面平行關系是通過轉化為線線的平行關系來得到，反過來，由線面平行也可以得到線線平行，這就是線面平行的性質定理.
2.直線與平面平行的判定定理與性質定理，都有3個不可缺少的條件，二者不可混淆．
3.探究定理時，采用從特殊到一般的研究方法，先是觀察實物中蘊含的位置關系，再得到一般結論，形成判定定理與平行定理，這個過程體現了轉化思想、互逆思想等數學思想.
設計意圖：讓學生回顧本節課知識點，建立知識與知識之間的聯系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認識.

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