資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題8.1 直線(xiàn)的方程
目錄
題型一： 直線(xiàn)傾斜角、斜率大小判斷 5
題型二： 直線(xiàn)的傾斜角和斜率關(guān)系 7
題型三： 線(xiàn)段公共點(diǎn) 9
題型四： 選擇合適的形式確定直線(xiàn)方程 12
題型五： 兩條直線(xiàn)的平行與垂直 14
題型六： 兩條直線(xiàn)相交 16
題型七： 距離問(wèn)題 17
題型八： 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 21
題型九： 直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用 24
直線(xiàn)的傾斜角
(1)定義：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)l向上的方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)l的傾斜角.
(2)規(guī)定：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.
(3)范圍：直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是[0°，180°)(或[0，π)).
直線(xiàn)的斜率
(1)定義：當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角不等于90°時(shí)，我們把這條直線(xiàn)的傾斜角α的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan_α. 傾斜角等于90°的直線(xiàn)沒(méi)有斜率．
(2)過(guò)兩點(diǎn)直線(xiàn)的斜率公式：過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線(xiàn)的斜率公式為k＝.
(3)直線(xiàn)的方向向量坐標(biāo)：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則直線(xiàn)P1P2的方向向量的坐標(biāo)為(x2－x1，y2－y1). 若直線(xiàn)l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝，特別地，(1，k)是l的一個(gè)方向向量.
斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系
圖示
傾斜角 (范圍) α＝0° 0°＜α ＜90° α＝90° 90°＜α ＜180°
斜率 (范圍) k＝0 k＞0 不存在 k＜0
直線(xiàn)方程的五種形式
名稱(chēng) 方程的形式 常數(shù)的幾何意義 局限性
點(diǎn)斜 式 y－y0＝ k(x－x0) (x0，y0)是直線(xiàn)上一定點(diǎn)，k為斜率 不垂直于x軸(k存在)
斜截 式 y＝kx＋b k為斜率，b是直線(xiàn)的縱截距，是點(diǎn)斜式的特例 不垂直于x軸(k存在)
兩點(diǎn) 式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直線(xiàn)上兩個(gè)定點(diǎn) 不垂直于x軸和y軸(x1≠x2，y1≠y2)
截距 式 ＋＝1 a為橫截距，b為縱截距，是兩點(diǎn)式的特例 不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)(ab≠0)
一般 式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) A，B，C為系數(shù) 任何位置的直線(xiàn)
特殊地，橫截式x＝my＋n表示直線(xiàn)橫截距為n，斜率不為零的直線(xiàn)．
兩條直線(xiàn)的特殊位置關(guān)系
(1)平行：對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2 k1＝k2，特別地，當(dāng)直線(xiàn)l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2的關(guān)系為l1∥l2.
(2)垂直：如果兩條直線(xiàn)l1，l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2 k1k2＝－1，特別地，若直線(xiàn)l1：x＝a，直線(xiàn)l2：y＝b，則l1與l2的關(guān)系為l1⊥l2.
兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)
一般地，將兩條直線(xiàn)的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線(xiàn)相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行.
三種距離公式
(1)兩點(diǎn)間的距離公式：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離為|P1P2|＝. 特別地，原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)間的距離為|OP|＝.
(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行直線(xiàn)間的距離：兩條平行直線(xiàn)l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)間的距離d＝.
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
1．過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直線(xiàn)方程
(1)若x1＝x2，且y1≠y2時(shí)，直線(xiàn)垂直于x軸，方程為x＝x1；
(2)若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線(xiàn)垂直于y軸，方程為y＝y(tǒng)1；
(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2時(shí)，直線(xiàn)即為y軸，方程為x＝0；
(4)若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2＝0時(shí)，直線(xiàn)即為x軸，方程為y＝0.
2．過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的直線(xiàn)系方程
過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的直線(xiàn)系方程：y－y0＝k(x－x0)和x＝x0，也可以表示為λ(y－y0)＋μ(x－x0)＝0(λ，μ為參數(shù)).
3．兩條直線(xiàn)平行、垂直的充要條件
設(shè)直線(xiàn)l1與l2的方程分別為A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)，則
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
4．常見(jiàn)直線(xiàn)系方程
(1)過(guò)定點(diǎn)(x1，y1)的直線(xiàn)系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.
(2)平行于直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的直線(xiàn)系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
(3)垂直于直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的直線(xiàn)系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)過(guò)兩條已知直線(xiàn)A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線(xiàn)A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
5．對(duì)稱(chēng)常用結(jié)論
(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線(xiàn)y＝－x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－y，－x).
(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線(xiàn)x＝a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線(xiàn)y＝b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,2b－y).
(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a－x,2b－y).
直線(xiàn)傾斜角、斜率大小判斷
【要點(diǎn)講解】直接由斜率的定義判斷大小即可．
圖中的直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，則有　　
A． B． C． D．
【解答】解：由圖象可得，．
故選：．
如圖，已知直線(xiàn)、、的斜率分別為、、，則、、的大小關(guān)系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象得：，，
，
故選：．
已知直線(xiàn)，，的斜率分別是，，，如圖所示，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)直線(xiàn)，，的傾斜角分別為：，，．
則，
，即．
故選：．
直線(xiàn)的傾斜角和斜率關(guān)系
【要點(diǎn)講解】①任一直線(xiàn)都有傾斜角，但斜率不一定都存在，直線(xiàn)傾斜角的范圍是[0，π)，斜率的取值范圍是R，同時(shí)要知道正切函數(shù)在[0，π)上不單調(diào)；②求直線(xiàn)的傾斜角主要根據(jù)定義來(lái)求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類(lèi)討論．
直線(xiàn)的傾斜角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直線(xiàn)的方程可得直線(xiàn)的斜率，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，且，，
所以，
所以，即．
故選：．
已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，該直線(xiàn)的傾斜角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，
則，又，，
所以，
故選：．
已知直線(xiàn)的傾斜角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可知直線(xiàn)的斜率一定存在，
設(shè)直線(xiàn)傾斜角為，則斜率為，
由，得，因此．
故選：．
直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【解答】解：由于直線(xiàn)，即，故它的斜率為，．
設(shè)它的傾斜角為，則，．
或．
故選：．
直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由直線(xiàn)的方程可得斜率，
可得，，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，，，
即，，所以，，．
故選：．
已知直線(xiàn)的方程為，，則該直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直線(xiàn)的方程可得直線(xiàn)的斜率，，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，且，，
所以，，
當(dāng)，時(shí)，則，，
所以，，則，，
所以，，．
故選：．
線(xiàn)段公共點(diǎn)
已知，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以，即直線(xiàn)的傾斜角為0，
，即直線(xiàn)的傾斜角為，
若直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率的范圍為，，
所以直線(xiàn)傾斜角的范圍為，．
故選：．
已知點(diǎn)，，若直線(xiàn)與線(xiàn)段（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：直線(xiàn)，即，
則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
，，，
，，
直線(xiàn)與線(xiàn)段（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，
或，解得或，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：．
已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是　　
A． B．，，
C．， D．，，
【解答】解：點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，
直線(xiàn)的斜率或，
的斜率為，的斜率為，
直線(xiàn)的斜率或，
故選：．
已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍為　　
A．， B．， C．，， D．，
【解答】解：點(diǎn)，，，
的斜率為，的斜率為，
過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，
直線(xiàn)的斜率或，
直線(xiàn)的斜率或．
故選：．
已知兩點(diǎn)，，直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，即，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
，．
直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，
或．
則實(shí)數(shù)的取值范圍，，．
故選：．
選擇合適的形式確定直線(xiàn)方程
【要點(diǎn)講解】根據(jù)題目特征，恰當(dāng)選擇合適的直線(xiàn)方程的形式確定直線(xiàn)方程時(shí)，要注意每一種直線(xiàn)方程形式的“局限性”，以免得出不全面的結(jié)果．
求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程：
（1）過(guò)點(diǎn)，傾斜角為；
（2）過(guò)兩點(diǎn)，．
【解答】解：（1）直線(xiàn)的傾斜角為，則直線(xiàn)的斜率為，
所以直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為；
（2）直線(xiàn)的斜率為，
所以直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為．
求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)方程．
（1）過(guò)點(diǎn)，；
（2）在軸、軸上的截距分別為4，；
（3）過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．
【解答】解：（1）由兩點(diǎn)式得，化簡(jiǎn)得．
（2）由直線(xiàn)方程的截距式得，化簡(jiǎn)得．
（3）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，所求直線(xiàn)方程為；
當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)方程 為．
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，
所以所求直線(xiàn)方程為，即．
所以所求直線(xiàn)方程為 或．
已知直線(xiàn)的傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的5倍，分別求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的方程：
（1）過(guò)點(diǎn)；
（2）在軸上的截距為；
（3）在軸上的截距為3．
【解答】解：直線(xiàn)的斜率為，其傾斜角為，
則直線(xiàn)的傾斜角為，即直線(xiàn)的斜率為，
（1）直線(xiàn)的斜率為，過(guò)點(diǎn)，
則直線(xiàn)的方程為，即．
（2）直線(xiàn)的斜率為，在軸上的截距為，
則直線(xiàn)的方程為，即．
（3）直線(xiàn)的斜率為，在軸上的截距為3，
則直線(xiàn)的方程為．
兩條直線(xiàn)的平行與垂直
【要點(diǎn)講解】1．當(dāng)含參數(shù)的直線(xiàn)方程為一般式時(shí)，若要表示出直線(xiàn)的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．
2在判斷兩直線(xiàn)的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線(xiàn)方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
若，2，，，，，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則　　
A． B． C． D．2
【解答】解：因?yàn)椋?，，，，，，，，
所以，，
因?yàn)椋c(diǎn)共線(xiàn)，所以向量共線(xiàn)，即，解得，，所以．
故選：．
已知直線(xiàn)，，若，則的值為　　
A． B．6 C．4 D．
【解答】解：因?yàn)椋裕?br/>故選：．
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則它們之間的距離是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，
所以，解得，
直線(xiàn)可變形為，
所以?xún)善叫芯€(xiàn)之間的距離．
故選：．
已知直線(xiàn)與互相平行，則它們之間的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)椋裕遥獾茫?br/>此時(shí)直線(xiàn)，即，
直線(xiàn)，
所以它們之間的距離．
故選：．
已知直線(xiàn)，，，若且，則值為　　
A． B．10 C． D．2
【解答】解：且，
，，
解得，．
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證滿(mǎn)足條件，
則．
故選：．
已知直線(xiàn)，，，若，且，則的值為　　
A．4 B． C．2 D．0
【解答】解：直線(xiàn)，，，
若，則，解得；
若，則，解得；
所以．
故選：．
已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)的一般式方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，
則可設(shè)直線(xiàn)為，
直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
，解得，
．
故選：．
兩條直線(xiàn)相交
【要點(diǎn)講解】求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般思路就是解由這兩條直線(xiàn)方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)．同時(shí)，亦可以采用過(guò)兩條已知直線(xiàn)A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線(xiàn)A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0，通過(guò)待定系數(shù)法確定．
設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，則到直線(xiàn)的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：聯(lián)立，解得，．可得，
直線(xiàn)，化為：，
因此到直線(xiàn)的距離．
故選：．
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則到直線(xiàn)的距離的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且，互相垂直，
則點(diǎn)的軌跡是以，為半徑的圓，圓心為，半徑為，
圓心到直線(xiàn)的距離為：，
故，即．
故選：．
已知兩條直線(xiàn)和的交點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，即，
因?yàn)橹本€(xiàn)與垂直，
所以，解得，
所以直線(xiàn)的方程為，即．
故選：．
距離問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】特別注意的是兩點(diǎn)間距離公式的“幾何特征”，從而將問(wèn)題化為幾何最值問(wèn)題，所以必須能夠在復(fù)雜的題目情境中識(shí)別出來(lái)，并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝，若給兩點(diǎn)坐標(biāo)我們用此公式很容易得到兩點(diǎn)間的距離，若給了能夠聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式，這里就提醒我們要掌握知識(shí)的“直用”也要會(huì)“逆用”．
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，可直接利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線(xiàn)方程必須為一般式．兩平行線(xiàn)間的距離，利用“化歸”法將兩條平行線(xiàn)間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離；或利用兩平行線(xiàn)間的距離公式d＝.
若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離不大于3，則的取值范圍是　　
A． B．， C．， D．
【解答】解：直線(xiàn)可化為，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離不大于3，
，解得，
故的取值范圍為，．
故選：．
若實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足，，則的最小值為 　　．
【解答】解：，，
令，，
轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)與的點(diǎn)之間的距離的最小值，
，設(shè)與直線(xiàn)平行且與曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)為，，
則，，解得，可得切點(diǎn)，
切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．
的最小值為．
故答案為：．
已知實(shí)數(shù)、、、滿(mǎn)足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的最小值為　　
A．2 B． C． D．8
【解答】解：看作直線(xiàn)上的點(diǎn)與函數(shù)的圖象的點(diǎn)的距離，轉(zhuǎn)化為平行線(xiàn)之間的距離．
的斜率是，
由，可得，解得．當(dāng)時(shí)，，
的最小值為：看作直線(xiàn)，
與之間的距離：．
故選：．
設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為 　　．
【解答】解：由題可設(shè)，，，，
則，則，
即，
即的最小值為，到，距離平方的最小值，
其中點(diǎn)在曲線(xiàn)上，在直線(xiàn)上，
的最小值為在曲線(xiàn)上與直線(xiàn)平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
設(shè)切點(diǎn)為，，因?yàn)榍€(xiàn)導(dǎo)數(shù)，
則，解得，所以切點(diǎn)為，
所以，所以．
故答案為：．
直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，那么該兩平行線(xiàn)之間距離是　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：且，解得，
兩直線(xiàn)方程為與直線(xiàn)，
即與，
故兩平行線(xiàn)之間的距離為．
故選：．
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則與之間的距離為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，
可得，直線(xiàn)化為，即，
所以與之間的距離：．
故選：．
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則它們之間的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，
，求得，
故兩條平行直線(xiàn)與直線(xiàn)，
則它們之間的距離為，
故選：．
若平面內(nèi)兩條平行線(xiàn)與間的距離為，則實(shí)數(shù)　　
A． B．2 C．或2 D．或
【解答】解：當(dāng)時(shí)，可得，，由，則此時(shí)不符合題意；
當(dāng)時(shí)，可得直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，
由，整理可得，則，解得或，
當(dāng)時(shí)，可得，，整理的方程可得，
由兩平行直線(xiàn)之間的距離，所以此時(shí)符合題意．
當(dāng)時(shí)，可得，，整理的方程可得，
由兩平行直線(xiàn)之間的距離，所以此時(shí)不符合題意；
綜上可得．
故選：．
對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的處理方法：①若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得②求直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程，其主要方法是：在已知直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用兩直線(xiàn)平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線(xiàn)方程，當(dāng)然，斜率必須存在.
已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為　　
A． B． C． D．
【解答】解：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
即：，解得，
故；
由于點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
故對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：．
已知直線(xiàn)，直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為，則必過(guò)點(diǎn)　　
A． B． C． D．
【解答】解：直線(xiàn)，整理得，故，解得，即直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)；
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故，解得，即直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)．
故選：．
不論實(shí)數(shù)取何值時(shí)，直線(xiàn)都過(guò)定點(diǎn)，則直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由可得：，
令，解得：，，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程為，其中，
因?yàn)榈街本€(xiàn)與的距離相等，
所以，解得，即（舍去）或，
故直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程為．
故選：．
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的值為　　
A．2 B．6 C． D．
【解答】解：設(shè)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，解得，故所求的直線(xiàn)方程為，整理得；
即與直線(xiàn)是同一條直線(xiàn)，
故，．
故選：．
已知點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，在中，，則面積的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)的坐標(biāo)為，，則，則的坐標(biāo)為，
設(shè)，，
即．
所以．
故選：．
已知直線(xiàn)：與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，與平行，則　　
A． B． C． D．2
【解答】解：直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)，即是交換，位置所得，
即，，相互平行，的斜率為，
，
故．
故選：．
直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用
已知的頂點(diǎn)，，．
（1）求邊上的高所在直線(xiàn)的方程；
（2）求的外接圓的方程．
【解答】解：（1），，
直線(xiàn)的斜率，
邊上的高所在直線(xiàn)的斜率為2，
邊上的高所在直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
邊上的高所在直線(xiàn)的方程為，即．
（2），
，
即為以角為直角的直角三角形，
故的外接圓以中點(diǎn)為圓心，為半徑，
的外接圓的方程為．
在菱形中，對(duì)角線(xiàn)與軸平行，，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)．
【解答】解：（1）四邊形為菱形，軸，軸，可設(shè)，
，，
解得：（舍或，．
，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
由于，且是，中點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，
（2），，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
又，，
則過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)斜率為：6，
所求直線(xiàn)方程為：，即．
已知的頂點(diǎn)，邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，邊上的高所在的直線(xiàn)方程為．求：
（1）直線(xiàn)的一般式方程；
（2）求的邊的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）邊上的高所在的直線(xiàn)方程為，斜率，故，
直線(xiàn)方程為，即；
（2）設(shè)，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，解得，即，
故．
直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)．
（1）若，求的直線(xiàn)方程；
（2）若，求的直線(xiàn)方程．
【解答】解：（1）設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)為，
因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，．
所求直線(xiàn)方程為．
（2）設(shè)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為，
因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得．
所求直線(xiàn)方程為．
已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，．
（1）求邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；
（2）求的面積．
【解答】解：（1），，
中點(diǎn)為，
所以中線(xiàn)斜率為，
所以邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為即．
（2），
邊所在的直線(xiàn)方程為，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以．專(zhuān)題8.1 直線(xiàn)的方程
目錄
題型一： 直線(xiàn)傾斜角、斜率大小判斷 5
題型二： 直線(xiàn)的傾斜角和斜率關(guān)系 7
題型三： 線(xiàn)段公共點(diǎn) 8
題型四： 選擇合適的形式確定直線(xiàn)方程 9
題型五： 兩條直線(xiàn)的平行與垂直 10
題型六： 兩條直線(xiàn)相交 11
題型七： 距離問(wèn)題 12
題型八： 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 14
題型九： 直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用 15
直線(xiàn)的傾斜角
(1)定義：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)l向上的方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)l的傾斜角.
(2)規(guī)定：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.
(3)范圍：直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是[0°，180°)(或[0，π)).
直線(xiàn)的斜率
(1)定義：當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角不等于90°時(shí)，我們把這條直線(xiàn)的傾斜角α的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan_α. 傾斜角等于90°的直線(xiàn)沒(méi)有斜率．
(2)過(guò)兩點(diǎn)直線(xiàn)的斜率公式：過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線(xiàn)的斜率公式為k＝.
(3)直線(xiàn)的方向向量坐標(biāo)：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則直線(xiàn)P1P2的方向向量的坐標(biāo)為(x2－x1，y2－y1). 若直線(xiàn)l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝，特別地，(1，k)是l的一個(gè)方向向量.
斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系
圖示
傾斜角 (范圍) α＝0° 0°＜α ＜90° α＝90° 90°＜α ＜180°
斜率 (范圍) k＝0 k＞0 不存在 k＜0
直線(xiàn)方程的五種形式
名稱(chēng) 方程的形式 常數(shù)的幾何意義 局限性
點(diǎn)斜 式 y－y0＝ k(x－x0) (x0，y0)是直線(xiàn)上一定點(diǎn)，k為斜率 不垂直于x軸(k存在)
斜截 式 y＝kx＋b k為斜率，b是直線(xiàn)的縱截距，是點(diǎn)斜式的特例 不垂直于x軸(k存在)
兩點(diǎn) 式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直線(xiàn)上兩個(gè)定點(diǎn) 不垂直于x軸和y軸(x1≠x2，y1≠y2)
截距 式 ＋＝1 a為橫截距，b為縱截距，是兩點(diǎn)式的特例 不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)(ab≠0)
一般 式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) A，B，C為系數(shù) 任何位置的直線(xiàn)
特殊地，橫截式x＝my＋n表示直線(xiàn)橫截距為n，斜率不為零的直線(xiàn)．
兩條直線(xiàn)的特殊位置關(guān)系
(1)平行：對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2 k1＝k2，特別地，當(dāng)直線(xiàn)l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2的關(guān)系為l1∥l2.
(2)垂直：如果兩條直線(xiàn)l1，l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2 k1k2＝－1，特別地，若直線(xiàn)l1：x＝a，直線(xiàn)l2：y＝b，則l1與l2的關(guān)系為l1⊥l2.
兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)
一般地，將兩條直線(xiàn)的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線(xiàn)相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行.
三種距離公式
(1)兩點(diǎn)間的距離公式：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離為|P1P2|＝. 特別地，原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)間的距離為|OP|＝.
(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行直線(xiàn)間的距離：兩條平行直線(xiàn)l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)間的距離d＝.
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
1．過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直線(xiàn)方程
(1)若x1＝x2，且y1≠y2時(shí)，直線(xiàn)垂直于x軸，方程為x＝x1；
(2)若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線(xiàn)垂直于y軸，方程為y＝y(tǒng)1；
(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2時(shí)，直線(xiàn)即為y軸，方程為x＝0；
(4)若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2＝0時(shí)，直線(xiàn)即為x軸，方程為y＝0.
2．過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的直線(xiàn)系方程
過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的直線(xiàn)系方程：y－y0＝k(x－x0)和x＝x0，也可以表示為λ(y－y0)＋μ(x－x0)＝0(λ，μ為參數(shù)).
3．兩條直線(xiàn)平行、垂直的充要條件
設(shè)直線(xiàn)l1與l2的方程分別為A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)，則
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
4．常見(jiàn)直線(xiàn)系方程
(1)過(guò)定點(diǎn)(x1，y1)的直線(xiàn)系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.
(2)平行于直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的直線(xiàn)系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
(3)垂直于直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的直線(xiàn)系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)過(guò)兩條已知直線(xiàn)A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線(xiàn)A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
5．對(duì)稱(chēng)常用結(jié)論
(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線(xiàn)y＝－x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－y，－x).
(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線(xiàn)x＝a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線(xiàn)y＝b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,2b－y).
(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a－x,2b－y).
直線(xiàn)傾斜角、斜率大小判斷
【要點(diǎn)講解】直接由斜率的定義判斷大小即可．
圖中的直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，則有　　
A． B． C． D．
如圖，已知直線(xiàn)、、的斜率分別為、、，則、、的大小關(guān)系為　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)，，的斜率分別是，，，如圖所示，則　　
A． B． C． D．
直線(xiàn)的傾斜角和斜率關(guān)系
【要點(diǎn)講解】①任一直線(xiàn)都有傾斜角，但斜率不一定都存在，直線(xiàn)傾斜角的范圍是[0，π)，斜率的取值范圍是R，同時(shí)要知道正切函數(shù)在[0，π)上不單調(diào)；②求直線(xiàn)的傾斜角主要根據(jù)定義來(lái)求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類(lèi)討論．
直線(xiàn)的傾斜角為　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，該直線(xiàn)的傾斜角為　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)的傾斜角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為　　
A． B． C． D．
直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是　　
A．，， B．，，
C．，， D．
直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
已知直線(xiàn)的方程為，，則該直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是　　
A． B． C． D．
線(xiàn)段公共點(diǎn)
已知，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是　　
A． B． C． D．
已知點(diǎn)，，若直線(xiàn)與線(xiàn)段（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B．
C． D．
已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是　　
A． B．，，
C．， D．，，
已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍為　　
A．， B．， C．，， D．，
已知兩點(diǎn)，，直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
選擇合適的形式確定直線(xiàn)方程
【要點(diǎn)講解】根據(jù)題目特征，恰當(dāng)選擇合適的直線(xiàn)方程的形式確定直線(xiàn)方程時(shí)，要注意每一種直線(xiàn)方程形式的“局限性”，以免得出不全面的結(jié)果．
求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程：
（1）過(guò)點(diǎn)，傾斜角為；
（2）過(guò)兩點(diǎn)，．
求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)方程．
（1）過(guò)點(diǎn)，；
（2）在軸、軸上的截距分別為4，；
（3）過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．
已知直線(xiàn)的傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的5倍，分別求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的方程：
（1）過(guò)點(diǎn)；
（2）在軸上的截距為；
（3）在軸上的截距為3．
兩條直線(xiàn)的平行與垂直
【要點(diǎn)講解】1．當(dāng)含參數(shù)的直線(xiàn)方程為一般式時(shí)，若要表示出直線(xiàn)的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．
2在判斷兩直線(xiàn)的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線(xiàn)方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
若，2，，，，，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則　　
A． B． C． D．2
已知直線(xiàn)，，若，則的值為　　
A． B．6 C．4 D．
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則它們之間的距離是　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)與互相平行，則它們之間的距離為　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)，，，若且，則值為　　
A． B．10 C． D．2
已知直線(xiàn)，，，若，且，則的值為　　
A．4 B． C．2 D．0
已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)的一般式方程為　　
A． B． C． D．
兩條直線(xiàn)相交
【要點(diǎn)講解】求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般思路就是解由這兩條直線(xiàn)方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)．同時(shí)，亦可以采用過(guò)兩條已知直線(xiàn)A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線(xiàn)A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0，通過(guò)待定系數(shù)法確定．
設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，則到直線(xiàn)的距離為　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則到直線(xiàn)的距離的取值范圍是　　
A． B． C． D．
已知兩條直線(xiàn)和的交點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
距離問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】特別注意的是兩點(diǎn)間距離公式的“幾何特征”，從而將問(wèn)題化為幾何最值問(wèn)題，所以必須能夠在復(fù)雜的題目情境中識(shí)別出來(lái)，并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝，若給兩點(diǎn)坐標(biāo)我們用此公式很容易得到兩點(diǎn)間的距離，若給了能夠聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式，這里就提醒我們要掌握知識(shí)的“直用”也要會(huì)“逆用”．
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，可直接利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線(xiàn)方程必須為一般式．兩平行線(xiàn)間的距離，利用“化歸”法將兩條平行線(xiàn)間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離；或利用兩平行線(xiàn)間的距離公式d＝.
若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離不大于3，則的取值范圍是　　
A． B．， C．， D．
若實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足，，則的最小值為 　 ．
已知實(shí)數(shù)、、、滿(mǎn)足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的最小值為　　
A．2 B． C． D．8
設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為 　 　．
直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，那么該兩平行線(xiàn)之間距離是　　
A．0 B． C． D．
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則與之間的距離為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則它們之間的距離為　　
A． B． C． D．
若平面內(nèi)兩條平行線(xiàn)與間的距離為，則實(shí)數(shù)　　
A． B．2 C．或2 D．或
對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的處理方法：①若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得②求直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程，其主要方法是：在已知直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用兩直線(xiàn)平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線(xiàn)方程，當(dāng)然，斜率必須存在.
已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)，直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為，則必過(guò)點(diǎn)　　
A． B． C． D．
不論實(shí)數(shù)取何值時(shí)，直線(xiàn)都過(guò)定點(diǎn)，則直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的值為　　
A．2 B．6 C． D．
已知點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，在中，，則面積的最大值為　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)：與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，與平行，則　　
A． B． C． D．2
直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用
已知的頂點(diǎn)，，．
（1）求邊上的高所在直線(xiàn)的方程；
（2）求的外接圓的方程．
在菱形中，對(duì)角線(xiàn)與軸平行，，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)．
已知的頂點(diǎn)，邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，邊上的高所在的直線(xiàn)方程為．求：
（1）直線(xiàn)的一般式方程；
（2）求的邊的長(zhǎng)．
直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)．
（1）若，求的直線(xiàn)方程；
（2）若，求的直線(xiàn)方程．
已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，．
（1）求邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；
（2）求的面積．專(zhuān)題8.2 圓的方程
目錄
題型一： 圓的方程 3
題型二： 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 6
題型三： 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 8
圓的方程
(1)圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為圓的半徑.
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：我們把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2稱(chēng)為圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓.
(3)圓的一般方程：對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到：2＋2＝.
①當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，該方程表示以為圓心，為半徑的圓，該方程叫做圓的一般方程；
②當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，該方程表示點(diǎn)；
③當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，該方程不表示任何圖形.
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)d＝|PC|＝.
位置 關(guān)系 d與r的 大小關(guān)系 圖示 點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足條件
點(diǎn)在 圓外 d＞r (x0－a)2＋ (y0－b)2＞r2
點(diǎn)在 圓上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點(diǎn)在 圓內(nèi) d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
1．常見(jiàn)圓的方程的設(shè)法
標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法 一般方程的設(shè)法
圓心在原點(diǎn) x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
過(guò)原點(diǎn) (x－a)2＋(y－b)2 ＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圓心在x軸上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圓心在y軸上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
與x軸相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
與y軸相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
2.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則
3．圓的“直徑式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
4．圓的參數(shù)方程：圓心為(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為其中θ為參數(shù). 可用來(lái)設(shè)圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)．
圓的方程
【要點(diǎn)講解】充分把握題目的特征，標(biāo)準(zhǔn)方程形式更具“幾何特征”明確圓心和半徑即可；而一般方程形式則更具“代數(shù)方程特征”，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組即可，依據(jù)圓的“直徑式”方程可以直接寫(xiě)出圓的方程. 幾何法確定圓心的位置的方法一般有：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上；②圓心在圓的任意弦的垂直平分線(xiàn)上；③圓心在圓的任意兩條不平行的弦的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)上；④兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線(xiàn). 確定圓的半徑的主要方法是構(gòu)造直角三角形(即以弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑組成的三角形)，并解此直角三角形；代數(shù)法即設(shè)出圓的方程(標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程)，用“待定系數(shù)法”求解a，b，r或D，E，F(xiàn).
若圓的半徑為2，則實(shí)數(shù)的值為　　
A． B． C．9 D．8
【解答】解：由，得，
所以，解得．
故選：．
已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別為，，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因?yàn)閳A的一條直徑的端點(diǎn)分別為，，
所以圓的圓心，，
則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故選：．
若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn) 上，則圓的方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
可得線(xiàn)段的中點(diǎn)為，又，
所以線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的方程為，
即．
由，解得，
即，圓的半徑，
所以圓的方程為．
故選：．
若方程表示圓，則的范圍是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：根據(jù)題意，若方程表示圓，則有，
即，解可得，即的取值范圍為，
故選：．
經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為圓心的圓的一般方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意得，圓的半徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓的一般方程為．
故選：．
若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由得，解得．
故選：．
圓的圓心和半徑分別是　　
A．，3 B．，3 C．，1 D．，1
【解答】解：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，
圓心坐標(biāo)為，．
故選：．
設(shè)，，則以線(xiàn)段為直徑的圓的方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題設(shè)，所求圓的圓心為，半徑為，
所以以線(xiàn)段為直徑的圓的方程是．
故選：．
與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；②定義法：根據(jù)圓、直線(xiàn)等定義列方程；③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；還需注意是否有“特殊點(diǎn)”的需要“摳除”．
已知線(xiàn)段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：設(shè)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，
將代入中得．
故選：．
圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，
已知圓的圓心為，半徑．
所求的圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
所求圓的半徑也等于2，圓心為滿(mǎn)足與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
由，解出，，得，
所求圓的方程為．
故選：．
點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，
，
又點(diǎn)在圓上，
，
即．
故選：．
已知等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，求底邊的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么圖形．
【解答】解：由題可知，，
又因?yàn)槿切螢榈妊切危裕?br/>所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，且，
故軌跡為圓（去掉與在同一直線(xiàn)上的點(diǎn)）．
在平面內(nèi)，，，為動(dòng)點(diǎn)，若．
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，，求的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）設(shè)，，，
所以，，，
所以，
即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）由（1）可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，3為半徑的圓，
若曲線(xiàn)截直線(xiàn)所得的弦長(zhǎng)最小，則圓心到直線(xiàn)的距離最大，
又圓心到直線(xiàn)的距離為，
所以由弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為．
與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】求解與圓相關(guān)的最值問(wèn)題，基本思路是利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化.
(1)已知圓的半徑為r，則①圓O上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)P的距離d的最大值和最小值分別為dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；②圓上的點(diǎn)到與該圓相離的某條直線(xiàn)的距離d的最大值和最小值分別為dmax＝m＋r，dmin＝m－r，其中m為圓心到直線(xiàn)的距離.
(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類(lèi)型：
①形如u＝型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線(xiàn)的斜率的最值問(wèn)題；
②形如t＝ax＋by型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)的截距的最值問(wèn)題；
③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問(wèn)題；
④形如|ax＋by＋c|型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x，y)到直線(xiàn)ax＋by＋c＝0距離的倍的最值問(wèn)題.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線(xiàn)段最值問(wèn)題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線(xiàn)段之和轉(zhuǎn)化為同一直線(xiàn)上的兩線(xiàn)段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱(chēng)性解決.
已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn)，則的最大值為　　
A．12 B． C．10 D．6
【解答】解：設(shè)中點(diǎn)，則，，
所以，
即，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
所以，，
所以，
又，
所以的最大值為12．
故選：．
若直線(xiàn)始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為　　
A． B．5 C． D．10
【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
圓心坐標(biāo)為，半徑，
直線(xiàn)始終平分圓的周長(zhǎng)，
直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，
把代入直線(xiàn)得：
，即，
到直線(xiàn)的距離，
的最小值為．
故選：．
直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)的最小值為　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：由，可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以圓心為，半徑為，
因此當(dāng)圓心與連線(xiàn)垂直于直線(xiàn)時(shí)，
直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)最小，
此時(shí)最小值為．
故選：．
已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最大值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為2，
如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，
所以為中點(diǎn)，即，又，
所以，
故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
則點(diǎn)的軌跡方程為，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，
則，
所以的最大值為．
故選：．
點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，為圓的弦，且，為的中點(diǎn)．則的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根據(jù)題意，可得，解得，
所以點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，
由圖可知的最小值為．
故選：．
已知圓，則當(dāng)圓的面積最小時(shí)，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為　　
A． B．6 C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，圓，變形可得，
其圓心為，半徑為，則，
當(dāng)圓的面積最小時(shí)，必有，此時(shí)，
圓的方程為，
圓心到原點(diǎn)為距離，
則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為，
故選：．
已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足方程，則的最大值是　　
A． B． C．0 D．
【解答】解：的方程可化為，
它表示圓心，半徑為1的圓，
表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率，
設(shè)過(guò)圓上點(diǎn)與點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，
則圓心到直線(xiàn)的距離，
可得，即最大值為，
故選：．
已知圓，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意知圓的方程為，設(shè)，，，
則，所以，
所以，所以，
化簡(jiǎn)可得的軌跡方程為．如圖所示，
如圖當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最大值，
此時(shí)，，
所以的最大值為．
故選：．
已知圓，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意知四邊形的面積，
所以當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形的面積取得最小值．
又，所以．
故選：．
已知直線(xiàn)，若直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為　　
A． B．2 C． D．4
【解答】解：直線(xiàn)，即，
令，解得，
所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
圓的圓心，半徑，
因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
則圓心到直線(xiàn)的距離時(shí)取等號(hào)），
所以時(shí)取等號(hào)），
所以的最小值為．
故選：．
已知圓，直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為　　
A． B．2 C．4 D．
【解答】解：直線(xiàn)可化為，
令，
即，
即直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
又，
則，
由圓的性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取最小值，
則．
故選：．
過(guò)點(diǎn)引直線(xiàn)與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)面積取最大值時(shí)，直線(xiàn)的斜率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：當(dāng)面積取最大值時(shí)， ，圓與直線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓心，半徑，，，
圓心到直線(xiàn)直線(xiàn)的距離為1，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，不合題意；
當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，
圓心到直線(xiàn)的距離，解得．
故選：．
已知圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為和．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，求的最小值，并求出當(dāng)最小時(shí)直線(xiàn)的方程．
【解答】解：（1）由題意可知圓的圓心為，半徑為，
因此圓的方程為；
（2）易知當(dāng)時(shí)最小，
因?yàn)?br/>所以的斜率為2，
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以的方程為，
即的方程為，
．
已知直線(xiàn)與圓相交于，不同兩點(diǎn)．
（1）求的范圍；
（2）設(shè)是圓上的一動(dòng)點(diǎn)（異于，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的最大值．
【解答】解：（1）直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，
，
解得；
（2）設(shè)，，，，
將代入方程，
整理得，
，，
則有，
解得，由（1）知，
所以直線(xiàn)的方程為，
可知圓心在直線(xiàn)上，
是圓的直徑，且，
是圓上的一動(dòng)點(diǎn)（異于，，
到直線(xiàn)的最大距離即為半徑為1，
面積的最大值為．專(zhuān)題8.2 圓的方程
目錄
題型一： 圓的方程 3
題型二： 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 5
題型三： 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 7
圓的方程
(1)圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為圓的半徑.
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：我們把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2稱(chēng)為圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓.
(3)圓的一般方程：對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到：2＋2＝.
①當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，該方程表示以為圓心，為半徑的圓，該方程叫做圓的一般方程；
②當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，該方程表示點(diǎn)；
③當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，該方程不表示任何圖形.
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)d＝|PC|＝.
位置 關(guān)系 d與r的 大小關(guān)系 圖示 點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足條件
點(diǎn)在 圓外 d＞r (x0－a)2＋ (y0－b)2＞r2
點(diǎn)在 圓上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點(diǎn)在 圓內(nèi) d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
1．常見(jiàn)圓的方程的設(shè)法
標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法 一般方程的設(shè)法
圓心在原點(diǎn) x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
過(guò)原點(diǎn) (x－a)2＋(y－b)2 ＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圓心在x軸上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圓心在y軸上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
與x軸相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
與y軸相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
2.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則
3．圓的“直徑式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
4．圓的參數(shù)方程：圓心為(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為其中θ為參數(shù). 可用來(lái)設(shè)圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)．
圓的方程
【要點(diǎn)講解】充分把握題目的特征，標(biāo)準(zhǔn)方程形式更具“幾何特征”明確圓心和半徑即可；而一般方程形式則更具“代數(shù)方程特征”，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組即可，依據(jù)圓的“直徑式”方程可以直接寫(xiě)出圓的方程. 幾何法確定圓心的位置的方法一般有：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上；②圓心在圓的任意弦的垂直平分線(xiàn)上；③圓心在圓的任意兩條不平行的弦的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)上；④兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線(xiàn). 確定圓的半徑的主要方法是構(gòu)造直角三角形(即以弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑組成的三角形)，并解此直角三角形；代數(shù)法即設(shè)出圓的方程(標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程)，用“待定系數(shù)法”求解a，b，r或D，E，F(xiàn).
若圓的半徑為2，則實(shí)數(shù)的值為　　
A． B． C．9 D．8
已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別為，，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B．
C． D．
若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn) 上，則圓的方程為　　
A． B．
C． D．
若方程表示圓，則的范圍是　　
A． B．， C． D．，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為圓心的圓的一般方程為　　
A． B．
C． D．
若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
圓的圓心和半徑分別是　　
A．，3 B．，3 C．，1 D．，1
設(shè)，，則以線(xiàn)段為直徑的圓的方程是　　
A． B． C． D．
與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；②定義法：根據(jù)圓、直線(xiàn)等定義列方程；③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；還需注意是否有“特殊點(diǎn)”的需要“摳除”．
已知線(xiàn)段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程是　　
A． B．
C． D．
圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程是　　
A． B．
C． D．
已知等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，求底邊的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么圖形．
在平面內(nèi)，，，為動(dòng)點(diǎn)，若．
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，，求的長(zhǎng)．
與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】求解與圓相關(guān)的最值問(wèn)題，基本思路是利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化.
(1)已知圓的半徑為r，則①圓O上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)P的距離d的最大值和最小值分別為dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；②圓上的點(diǎn)到與該圓相離的某條直線(xiàn)的距離d的最大值和最小值分別為dmax＝m＋r，dmin＝m－r，其中m為圓心到直線(xiàn)的距離.
(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類(lèi)型：
①形如u＝型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線(xiàn)的斜率的最值問(wèn)題；
②形如t＝ax＋by型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)的截距的最值問(wèn)題；
③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問(wèn)題；
④形如|ax＋by＋c|型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x，y)到直線(xiàn)ax＋by＋c＝0距離的倍的最值問(wèn)題.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線(xiàn)段最值問(wèn)題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線(xiàn)段之和轉(zhuǎn)化為同一直線(xiàn)上的兩線(xiàn)段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱(chēng)性解決.
已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn)，則的最大值為　　
A．12 B． C．10 D．6
若直線(xiàn)始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為　　
A． B．5 C． D．10
直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)的最小值為　　
A． B．1 C． D．2
已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最大值是　　
A． B． C． D．
點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，為圓的弦，且，為的中點(diǎn)．則的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知圓，則當(dāng)圓的面積最小時(shí)，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為　　
A． B．6 C． D．
已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足方程，則的最大值是　　
A． B． C．0 D．
已知圓，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為　　
A． B． C． D．
已知圓，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為　　
A． B． C． D．
已知直線(xiàn)，若直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為　　
A． B．2 C． D．4
已知圓，直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為　　
A． B．2 C．4 D．
過(guò)點(diǎn)引直線(xiàn)與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)面積取最大值時(shí)，直線(xiàn)的斜率為　　
A． B． C． D．
已知圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為和．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，求的最小值，并求出當(dāng)最小時(shí)直線(xiàn)的方程．
已知直線(xiàn)與圓相交于，不同兩點(diǎn)．
（1）求的范圍；
（2）設(shè)是圓上的一動(dòng)點(diǎn)（異于，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的最大值．專(zhuān)題8.3 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系
目錄
題型一： 位置關(guān)系的判斷 4
題型二： 已知位置關(guān)系求參數(shù)的值(范圍) 5
題型三： 圓的切線(xiàn) 10
題型四： 弦長(zhǎng)問(wèn)題 12
題型五： 圓與圓的位置關(guān)系 16
題型六： 兩圓的公共弦 18
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓的半徑為r(r>0)，圓心到直線(xiàn)的距離為d，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系如下表所示.
位置 關(guān)系 圖示 公共點(diǎn) 個(gè)數(shù) 幾何 特征 直線(xiàn)、圓的方程組成的方程組的解
相離 0 d>r 無(wú)實(shí)數(shù)解
相切 1 d＝r 兩組相同實(shí)數(shù)解
相交 2 d圓與圓的位置關(guān)系
位置 關(guān)系 圖示 (R>r) 公共點(diǎn) 個(gè)數(shù) 公切線(xiàn) 條數(shù) 幾何特征 (O1O2＝d) 兩個(gè)圓的方程組成的方程組的解
外離 0 4 d>R＋r 無(wú)實(shí)數(shù)解
外切 1 3 d＝R＋r 兩組相同 實(shí)數(shù)解
相交 2 2 R－r< d內(nèi)切 1 1 d＝R－r 兩組相同 實(shí)數(shù)解
內(nèi)含 0 0 d【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
與切線(xiàn)、切點(diǎn)弦有關(guān)結(jié)論
(1)已知
⊙O1：x2＋y2＝r2；
⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
①若點(diǎn)M(x0，y0)在圓上，則過(guò)M的切線(xiàn)方程分別為x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
②若點(diǎn)M(x0，y0)在圓外，過(guò)點(diǎn)M引圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M1，M2，則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)的連線(xiàn)段)所在直線(xiàn)的方程分別為x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
(2)圓x2＋y2＝r2的斜率為k的兩條切線(xiàn)方程分別為y＝kx±r.
(3)過(guò)圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的切線(xiàn)，T為切點(diǎn)，切線(xiàn)長(zhǎng)公式為|MT|＝.
位置關(guān)系的判斷
【要點(diǎn)講解】判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系常見(jiàn)的方法：①幾何法：利用d與r的關(guān)系. ②代數(shù)法：聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程之后利用Δ判斷. ③點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線(xiàn)與圓相交；若點(diǎn)在圓上，直線(xiàn)與圓可能相切，也可能相交. 上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法更適用于動(dòng)直線(xiàn)問(wèn)題．
若直線(xiàn)與圓相切，則　　
A．9 B．8 C．7 D．6
【解答】解：圓的圓心，半徑，
依題意，，解得，
所以．
故選：．
已知圓，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)被圓截得的最短弦長(zhǎng)為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)及題意可得：
當(dāng)直線(xiàn)垂直時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短，
又為，為，，
又圓的半徑，
直線(xiàn)被圓截得的最短弦長(zhǎng)為．
故選：．
設(shè)，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為　　
A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交
【解答】解：直線(xiàn)可化為，
由，可得，所以直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)．
又，即點(diǎn)在圓上，
所以，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交或相切．
故選：．
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是　　
A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法判斷
【解答】解：圓可化為，由于圓心，，半徑等于，
圓心到直線(xiàn)的距離為，
故直線(xiàn)和圓相交，
故選：．
已知直線(xiàn)，圓．則“”是“與相切”的　　
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：與相切，則圓心到直線(xiàn)的距離，
解得或．
所以“”是“與相切”的充分不必要條件．
故選：．
已知位置關(guān)系求參數(shù)的值(范圍)
【要點(diǎn)講解】(1)已知直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，由此建立方程或不等式(組)進(jìn)行求解.
(2)解決直線(xiàn)與“局部圓”的位置關(guān)系時(shí)，不能直接套用直線(xiàn)與整圓的相關(guān)結(jié)論，往往是通過(guò)“數(shù)形結(jié)合的思想”加以判斷．
已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：曲線(xiàn)表示圓在軸的上半部分，
當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，，
解得，當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí)，，
可得，
所以實(shí)數(shù)取值范圍為．
故選：．
已知圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由圓的方程，可得圓心為原點(diǎn)，半徑為2，
若圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1，則到直線(xiàn)的距離小于1，
又直線(xiàn)的一般方程為，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：．
已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得線(xiàn)段的中點(diǎn)也在圓上，則的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：設(shè)的坐標(biāo)為，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，，即，
又線(xiàn)段中點(diǎn)也在圓上，所以?xún)蓤A有公共點(diǎn)，
所以，
解得：，解得：．
故選：．
實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：易知，
如圖所示，則可表示以為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)與定點(diǎn)的連線(xiàn)斜率，
不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)圓的切線(xiàn)方程為，
則到切線(xiàn)的距離為或，
由圖可知．
故選：．
過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．，
【解答】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓的圓心到直線(xiàn)的距離，
的最小值為，則的取值范圍是．
故選：．
若直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)題意得：為恒過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，
由曲線(xiàn)，可得，
所以曲線(xiàn)表示圓心為，半徑為1的上半圓，如圖所示，
當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，有，
解得：（舍去）或，
把代入，得，
的取值范圍是，．
故選：．
已知圓和兩點(diǎn)，，，若圓上至少存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：圓的圓心，半徑為，
圓和兩點(diǎn)，，，
圓上至少存在一點(diǎn)，使得，則，
圓與圓的位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，所以，
又，所以，即．
故選：．
圓的切線(xiàn)
【要點(diǎn)講解】求過(guò)定點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程時(shí)，首先要判斷定點(diǎn)在圓上還是在圓外，若在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線(xiàn)僅有一條，可根據(jù)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)直接寫(xiě)出；若點(diǎn)在圓外，切線(xiàn)應(yīng)該有兩條，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，特別是注意是否存在無(wú)斜率的切線(xiàn)，切勿漏解.
過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為　　
A． B．
C． D．或
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則，點(diǎn)，
有，點(diǎn)在圓上，
則，故切線(xiàn)的斜率，
則切線(xiàn)的方程為，變形可得，
故選：．
過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)的方程為　　
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：根據(jù)題意，圓，其圓心為原點(diǎn)，半徑為1，
當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，即直線(xiàn)的方程為，不與圓相切，
當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)的方程為，即，
所以，解得或，
時(shí)，切線(xiàn)方程為，
時(shí)，切線(xiàn)方程為，
所以切線(xiàn)的方程為或．
故選：．
過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為　　
A．或 B．或
C．或 D．或
【解答】解：根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑，
若切線(xiàn)斜率不存在，其方程為，圓心到的距離，符合題意，
若切線(xiàn)斜率存在，設(shè)其斜率為，則切線(xiàn)的方程為，即，
圓心到直線(xiàn)的距離，解可得，
此時(shí)切線(xiàn)的方程為，
綜合可得：切線(xiàn)的方程為或，
故選：．
已知圓過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上．
（1）求圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，因?yàn)閳A過(guò)兩點(diǎn)，，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，
因?yàn)椋缘闹写咕€(xiàn)方程為，即
又因?yàn)閳A心在直線(xiàn)上，聯(lián)立
解得，圓心，半徑
故圓的方程為，
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)與圓相切，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，切線(xiàn)方程為即
由圓心到切線(xiàn)的距離，可得，
將代入，得切線(xiàn)方程為，
綜上，所求切線(xiàn)方程為或．
弦長(zhǎng)問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】①一般來(lái)說(shuō)，直線(xiàn)與圓相交，應(yīng)首先考慮圓心到直線(xiàn)的距離、弦長(zhǎng)的一半、圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，由此入手求解；②圓O內(nèi)過(guò)點(diǎn)A的最長(zhǎng)弦即為過(guò)該點(diǎn)的直徑，最短弦為過(guò)該點(diǎn)且垂直于直徑的弦；③圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)公式為·|x1－x2|，必要時(shí)考慮運(yùn)用這一公式也可解題.
直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)的最小值為　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：由，可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以圓心為，半徑為，
因此當(dāng)圓心與連線(xiàn)垂直于直線(xiàn)時(shí)，
直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)最小，
此時(shí)最小值為．
故選：．
點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，為圓的弦，且，為的中點(diǎn)．則的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根據(jù)題意，可得，解得，
所以點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，
由圖可知的最小值為．
故選：．
已知圓，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意知圓的方程為，設(shè)，，，
則，所以，
所以，所以，
化簡(jiǎn)可得的軌跡方程為．如圖所示，
如圖當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最大值，
此時(shí)，，
所以的最大值為．
故選：．
過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交的所有弦中，弦長(zhǎng)最短為　　
A．5 B．2 C． D．4
【解答】解：將代入，得到，
所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
再根據(jù)可得圓心坐標(biāo)，
可知當(dāng)與垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，
因?yàn)椋?br/>即最短弦長(zhǎng)為的一半為，
所以最短弦長(zhǎng)為．
故選：．
圓被過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)截得的最短弦長(zhǎng)為　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：化圓為，
則圓心坐標(biāo)為，半徑為2，
點(diǎn)在圓內(nèi)部，
，
圓被過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)截得的最短弦長(zhǎng)為．
故選：．
如圖，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且互相垂直的兩條直線(xiàn)和與圓相交于，，，四點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是　　
A．線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值為
B．弦長(zhǎng)度的最小值為
C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓
D．連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形面積的最大值為
【解答】解：由題易知圓的方程為，設(shè)圓心為，則，半徑，
由三角形兩邊之和大于第三邊可知，且，
所以當(dāng)長(zhǎng)度最大時(shí)圓心與，共線(xiàn)且在它們中間，此時(shí)錯(cuò)誤；
由圓的性質(zhì)知當(dāng)即圓心與直線(xiàn)距離最大時(shí)的長(zhǎng)度最小，
此時(shí)圓心與直線(xiàn)距離為，故，正確；
設(shè)，，分別是，，的中點(diǎn)，則，
且，且，
又，易知四邊形為矩形，
而，
圓心到直線(xiàn)，的距離且，
所以，則，故
所以在以為直徑，，的交點(diǎn)為圓心的圓上，正確；
由上知，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)四邊形的面積，故正確．
故選：．
圓與圓的位置關(guān)系
【要點(diǎn)講解】與判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系一樣，利用幾何方法判定兩圓的位置關(guān)系比用代數(shù)方法要簡(jiǎn)捷些. 其具體方法是：利用圓的方程及兩點(diǎn)間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r，再根據(jù)d與R＋r，d與R－r的大小關(guān)系來(lái)判定.
已知圓和，則兩圓的位置關(guān)系是　　
A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離
【解答】解：因?yàn)閳A的圓心，半徑為1，
圓即的圓心，半徑為2，
所以?xún)蓚€(gè)圓的圓心距，又兩個(gè)圓的半徑和為，
所以圓與圓的位置關(guān)系是外切．
故選：．
圓與圓的位置關(guān)系為　　
A．外切 B．相交 C．相離 D．內(nèi)切
【解答】解：圓，即的圓心，半徑為2；
圓，即的圓心，半徑為3；
圓心距為，
因?yàn)椋詢(xún)蓚€(gè)圓的位置關(guān)系是外切，
故選：．
已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系為　　
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離
【解答】解：的圓心為，半徑，
的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，
兩圓的圓心距，，
故兩圓相交，
故選：．
若圓與圓則圓與圓的位置關(guān)系為　　
A．外離 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含
【解答】解：由已知得圓的圓心為，半徑為2，圓的圓心為，半徑為3，
圓和圓心的距離，兩圓的半徑之和為，
即兩圓圓心的距離等于兩圓半徑之和，此時(shí)兩圓外切．
故選：．
已知圓，圓．
（1）若圓與圓外切，求的值；
（2）若圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意圓心，半徑為，
又圓可化為，故圓心，半徑為1，
因?yàn)閳A與圓相外切，則點(diǎn)與之間的距離等于，
即，所以．
（2）若圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則點(diǎn)與之間的距離屬于區(qū)間，
即，
解得，
所以的取值范圍為．
已知圓，圓．
（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；
（2）求公共弦所在直線(xiàn)的方程；
（3）求公共弦的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）圓的圓心為，半徑為3．
圓的圓心為，半徑為，
，所以?xún)蓤A相交．
（2）由、，
兩式相減并化簡(jiǎn)得，
即公共弦所在直線(xiàn)方程為．
（3）到直線(xiàn)的距離為，
所以公共弦長(zhǎng)為．
兩圓的公共弦
【要點(diǎn)講解】求兩圓公共弦，一般聯(lián)立兩圓方程消去x2與y2即可，但要注意確定兩圓是否一定相交.
圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為　　
A． B． C． D．1
【解答】解：由題意得圓的圓心為，半徑為1，
圓的圓心為，半徑為2，
則兩圓圓心距為，而，即圓與圓相交，
故將和相減得，
即圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)方程為，
令，則；令，則，
故與兩坐標(biāo)軸所圍城的三角形面積為．
故選：．
已知圓與圓的公共弦所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則　　．
【解答】解：由，得，
所以，半徑為，
由，得，
所以，半徑為，
因?yàn)閮蓤A相交，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以當(dāng)，滿(mǎn)足上式時(shí)，兩圓的公共弦方程為，
因?yàn)楣蚕宜诘闹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，
所以，
所以．
故答案為：．
圓與圓的公共弦所在的直線(xiàn)的方程為 　　，弦長(zhǎng)為 　　．
【解答】解：兩圓方程相減可得公共弦所在的直線(xiàn)方程為，即，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心，半徑，
所以圓心到公共弦的距離，
所以公共弦長(zhǎng)為．
故答案為：；2．
若圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則　　
A． B． C．2 D．4
【解答】解：圓與圓兩式相減，
整理得公共弦所在直線(xiàn)方程為，
又，圓心為，半徑為2，公共弦長(zhǎng)為，
則圓心到直線(xiàn)的距離，
化簡(jiǎn)得，
解得：．驗(yàn)證知符合題意．
故選：．
已知圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則兩圓的公共弦　　
A． B． C． D．2
【解答】解：圓與圓相交于，兩點(diǎn)，
整理得，
所以直線(xiàn)的方程為，
所以圓心到直線(xiàn)的距離，
所以所截得弦長(zhǎng)為，
故選：．
已知圓和．
（1）求圓和圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程和公共弦長(zhǎng)；
（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程．
【解答】解：（1）由題意可知：將兩圓方程相減可得：，
也即，故圓和圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為，
圓可化為，
圓心坐標(biāo)，半徑，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：到公共弦的距離，
由垂徑定理可知：公共弦長(zhǎng)，
（2）由（1）知：圓，
圓心坐標(biāo)，半徑，
過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)方程，當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為；
當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為，也即，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：，
解得：，所以此時(shí)切線(xiàn)方程為：，
綜上：過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程為或．
已知圓與圓
（1）求證：圓與圓相交；
（2）求兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程；
（3）求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上的圓的方程．
【解答】證明：（1）圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓心距，，
所以圓與圓相交；
（2）解：兩圓方程相減，得，所以?xún)蓤A公共弦所在直線(xiàn)的方程為；
（3）設(shè)所求圓的方程為，即，圓心坐標(biāo)為，代入直線(xiàn)可得，解得，
所求圓的方程為．專(zhuān)題8.3 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系
目錄
題型一： 位置關(guān)系的判斷 4
題型二： 已知位置關(guān)系求參數(shù)的值(范圍) 4
題型三： 圓的切線(xiàn) 6
題型四： 弦長(zhǎng)問(wèn)題 7
題型五： 圓與圓的位置關(guān)系 8
題型六： 兩圓的公共弦 10
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓的半徑為r(r>0)，圓心到直線(xiàn)的距離為d，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系如下表所示.
位置 關(guān)系 圖示 公共點(diǎn) 個(gè)數(shù) 幾何 特征 直線(xiàn)、圓的方程組成的方程組的解
相離 0 d>r 無(wú)實(shí)數(shù)解
相切 1 d＝r 兩組相同實(shí)數(shù)解
相交 2 d圓與圓的位置關(guān)系
位置 關(guān)系 圖示 (R>r) 公共點(diǎn) 個(gè)數(shù) 公切線(xiàn) 條數(shù) 幾何特征 (O1O2＝d) 兩個(gè)圓的方程組成的方程組的解
外離 0 4 d>R＋r 無(wú)實(shí)數(shù)解
外切 1 3 d＝R＋r 兩組相同 實(shí)數(shù)解
相交 2 2 R－r< d內(nèi)切 1 1 d＝R－r 兩組相同 實(shí)數(shù)解
內(nèi)含 0 0 d【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
與切線(xiàn)、切點(diǎn)弦有關(guān)結(jié)論
(1)已知
⊙O1：x2＋y2＝r2；
⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
①若點(diǎn)M(x0，y0)在圓上，則過(guò)M的切線(xiàn)方程分別為x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
②若點(diǎn)M(x0，y0)在圓外，過(guò)點(diǎn)M引圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M1，M2，則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)的連線(xiàn)段)所在直線(xiàn)的方程分別為x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
(2)圓x2＋y2＝r2的斜率為k的兩條切線(xiàn)方程分別為y＝kx±r.
(3)過(guò)圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的切線(xiàn)，T為切點(diǎn)，切線(xiàn)長(zhǎng)公式為|MT|＝.
位置關(guān)系的判斷
【要點(diǎn)講解】判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系常見(jiàn)的方法：①幾何法：利用d與r的關(guān)系. ②代數(shù)法：聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程之后利用Δ判斷. ③點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線(xiàn)與圓相交；若點(diǎn)在圓上，直線(xiàn)與圓可能相切，也可能相交. 上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法更適用于動(dòng)直線(xiàn)問(wèn)題．
若直線(xiàn)與圓相切，則　　
A．9 B．8 C．7 D．6
已知圓，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)被圓截得的最短弦長(zhǎng)為　　
A． B． C． D．
設(shè)，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為　　
A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是　　
A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法判斷
已知直線(xiàn)，圓．則“”是“與相切”的　　
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
已知位置關(guān)系求參數(shù)的值(范圍)
【要點(diǎn)講解】(1)已知直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，由此建立方程或不等式(組)進(jìn)行求解.
(2)解決直線(xiàn)與“局部圓”的位置關(guān)系時(shí)，不能直接套用直線(xiàn)與整圓的相關(guān)結(jié)論，往往是通過(guò)“數(shù)形結(jié)合的思想”加以判斷．
已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
已知圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得線(xiàn)段的中點(diǎn)也在圓上，則的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．，
若直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
已知圓和兩點(diǎn)，，，若圓上至少存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
圓的切線(xiàn)
【要點(diǎn)講解】求過(guò)定點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程時(shí)，首先要判斷定點(diǎn)在圓上還是在圓外，若在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線(xiàn)僅有一條，可根據(jù)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)直接寫(xiě)出；若點(diǎn)在圓外，切線(xiàn)應(yīng)該有兩條，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，特別是注意是否存在無(wú)斜率的切線(xiàn)，切勿漏解.
過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為　　
A． B．
C． D．或
過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)的方程為　　
A． B．
C．或 D．或
過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為　　
A．或 B．或
C．或 D．或
已知圓過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上．
（1）求圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程．
弦長(zhǎng)問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】①一般來(lái)說(shuō)，直線(xiàn)與圓相交，應(yīng)首先考慮圓心到直線(xiàn)的距離、弦長(zhǎng)的一半、圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，由此入手求解；②圓O內(nèi)過(guò)點(diǎn)A的最長(zhǎng)弦即為過(guò)該點(diǎn)的直徑，最短弦為過(guò)該點(diǎn)且垂直于直徑的弦；③圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)公式為·|x1－x2|，必要時(shí)考慮運(yùn)用這一公式也可解題.
直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)的最小值為　　
A． B．1 C． D．2
點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，為圓的弦，且，為的中點(diǎn)．則的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知圓，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為　　
A． B． C． D．
過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交的所有弦中，弦長(zhǎng)最短為　　
A．5 B．2 C． D．4
圓被過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)截得的最短弦長(zhǎng)為　　
A．2 B．4 C． D．
如圖，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且互相垂直的兩條直線(xiàn)和與圓相交于，，，四點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是　　
A．線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值為
B．弦長(zhǎng)度的最小值為
C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓
D．連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形面積的最大值為
圓與圓的位置關(guān)系
【要點(diǎn)講解】與判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系一樣，利用幾何方法判定兩圓的位置關(guān)系比用代數(shù)方法要簡(jiǎn)捷些. 其具體方法是：利用圓的方程及兩點(diǎn)間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r，再根據(jù)d與R＋r，d與R－r的大小關(guān)系來(lái)判定.
已知圓和，則兩圓的位置關(guān)系是　　
A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離
圓與圓的位置關(guān)系為　　
A．外切 B．相交 C．相離 D．內(nèi)切
已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系為　　
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離
若圓與圓則圓與圓的位置關(guān)系為　　
A．外離 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含
已知圓，圓．
（1）若圓與圓外切，求的值；
（2）若圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
已知圓，圓．
（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；
（2）求公共弦所在直線(xiàn)的方程；
（3）求公共弦的長(zhǎng)度．
兩圓的公共弦
【要點(diǎn)講解】求兩圓公共弦，一般聯(lián)立兩圓方程消去x2與y2即可，但要注意確定兩圓是否一定相交.
圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為　　
A． B． C． D．1
已知圓與圓的公共弦所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則　　　　　　　．
圓與圓的公共弦所在的直線(xiàn)的方程為 　　　　　　　，弦長(zhǎng)為 　　　　　　　．
若圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則　　
A． B． C．2 D．4
已知圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則兩圓的公共弦　　
A． B． C． D．2
已知圓和．
（1）求圓和圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程和公共弦長(zhǎng)；
（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程．
已知圓與圓
（1）求證：圓與圓相交；
（2）求兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程；
（3）求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上的圓的方程．專(zhuān)題8.4 橢圓
目錄
題型一： 橢圓的定義及應(yīng)用 3
題型二： 橢圓中的最值問(wèn)題 6
題型三： 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 7
題型四： 橢圓的焦點(diǎn)三角形 9
題型五： 橢圓的幾何性質(zhì) 12
題型六： 位置關(guān)系的判斷 17
題型七： 弦長(zhǎng)問(wèn)題 20
題型八： 面積問(wèn)題 23
橢圓的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱(chēng)為半焦距.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上
標(biāo)準(zhǔn) 方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
圖形
a，b，c 的關(guān)系 a2＝b2＋c2
焦點(diǎn) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a
對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)
頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長(zhǎng) 短軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a
離心率 e＝，且e∈(0,1)，e越接近1，橢圓越扁平
在用橢圓定義時(shí)，若|F1F2|＝2a，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不是橢圓，而是連接兩定點(diǎn)的線(xiàn)段(包括端點(diǎn))；若|F1F2|＞2a，則軌跡不存在.
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
(1)橢圓中的最值：P為橢圓上任一點(diǎn)，B為短軸一個(gè)端點(diǎn)，則|OP|∈[b，a]；|PF1|∈[a－c，a＋c]；|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2.
(2)焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形. r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓＋＝1(a＞b＞0)中：
①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)；
②4c2＝r＋r－2r1r2cos θ；
③當(dāng)r1＝r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；
④S＝r1r2sin θ＝b2tan＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.
(3)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)中通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，為.
(4)AB為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率為k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則
①弦長(zhǎng)l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
②直線(xiàn)AB的斜率k＝－；
③k·kOM＝－.
橢圓的定義及應(yīng)用
【要點(diǎn)講解】根據(jù)題目所給條件，抓住動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件，根據(jù)橢圓定義得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．在得到的標(biāo)準(zhǔn)方程中，要注意是否需要“去除”某些不滿(mǎn)足題設(shè)條件的點(diǎn)．
若的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)、，的周長(zhǎng)為18，則頂點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、，，
又的周長(zhǎng)為18，．
頂點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以、為焦點(diǎn)的橢圓，
則，，，
頂點(diǎn)的軌跡方程為．
故選：．
已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)和直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，聯(lián)結(jié)，由于在的中垂線(xiàn)上，有，
則．
是的半徑，．
所以到、的距離之和為定值，軌跡為橢圓
橢圓的焦點(diǎn)是、，中心是中點(diǎn)
由于，，
所以，．
則．
則橢圓的方程是：．
即的軌跡方程為．
故選：．
已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是三角形的重心，則點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：設(shè)，，設(shè)為，
又易知，，，，
根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式可得：
，，，
又在橢圓上，
，，
即，
的軌跡方程為，
故選：．
已知橢圓方程為，過(guò)平面內(nèi)的點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線(xiàn)，則點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)切線(xiàn)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為，
聯(lián)立，
消去得，
則，
即，
兩切線(xiàn)垂直故其斜率之積為，則由根與系數(shù)關(guān)系知，即．
當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在或?yàn)?時(shí)，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，滿(mǎn)足方程，
故所求軌跡方程為．
故選：．
橢圓中的最值問(wèn)題
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，點(diǎn)在上，則的最大值為　　
A．1 B． C．3 D．
【解答】解：根據(jù)題意可得，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，
則，又點(diǎn)在上，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最大值為3．
故選：．
橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，
．
故選：．
已知橢圓，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，若橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：由橢圓的方程可得，焦點(diǎn)，
因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，設(shè)右焦點(diǎn)，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，
故選：．
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
【要點(diǎn)講解】求橢圓方程的基本方法是待定系數(shù)法，先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，如果焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，的橢圓上的任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為8，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
為　　
A． B． C． D．
【解答】解：兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，
橢圓的焦點(diǎn)在橫軸上，并且，
由橢圓的定義可得：，即，
由，，的關(guān)系解得，
橢圓方程是．
故選：．
橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，
則，即，，
故，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故選：．
焦點(diǎn)在軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為，焦距為的橢圓方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：焦距為，，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為，
，即，
且，聯(lián)立解得，，
焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為：．
故選：．
“，”是“方程表示的曲線(xiàn)為橢圓”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：由，，可得，；
由方程表示的曲線(xiàn)為橢圓可得，，．
故“，”是“方程表示的曲線(xiàn)為橢圓”的必要不充分條件．
故選：．
“”是方程“表示橢圓”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【解答】解：方程表示橢圓，解得，且．
“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．
故選：．
“”是“方程表示橢圓”的　　
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：可得，
方程整理可得：；
若，則方程表示單位圓．
若方程：表示橢圓，則且．
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．
故選：．
橢圓的焦點(diǎn)三角形
【要點(diǎn)講解】橢圓的焦點(diǎn)三角形是描述橢圓上一點(diǎn)到與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離、焦距之間的相互制約關(guān)系的一個(gè)載體. 因此具有“雙重特征”，即可以利用橢圓的定義和解三角形知識(shí)即可解決相關(guān)問(wèn)題，是高考命題熱點(diǎn)，題材內(nèi)容豐富多變，具備良好的考查背景．
如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)．若，，，則橢圓的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，則，又因，
又，可得，解得，可得，，
橢圓方程為：，
故選：．
已知點(diǎn)在橢圓上，與分別為左、右焦點(diǎn)，若，則△的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由橢圓，可得，，
設(shè)，，
由題意可得：，，
解得，
△的面積為．
故選：．
已知橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，，
為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，
設(shè)，，不妨，
可得，，即，可得，，
，
可得
．
可得．
故選：．
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．若斜率為1，且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為　　
A．9 B．12 C．18 D．24
【解答】解：因?yàn)闄E圓，
所以，解得，
又過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，
所以的周長(zhǎng)為
．
故選：．
已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，且，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為28，則橢圓的短軸長(zhǎng)為 　　．
【解答】解：為的中點(diǎn)，且，
，，
，，
，
，
，
的周長(zhǎng)為28，
，，
由已知可得，，，，，
，，
，，，
，短軸長(zhǎng)為．
故答案為：．
橢圓的幾何性質(zhì)
【要點(diǎn)講解】求橢圓的離心率一般策略：(1)直接利用公式e＝求解；(2)通過(guò)構(gòu)造關(guān)于a，c的“齊次方程”來(lái)解決，構(gòu)造關(guān)于的方程求解；(3)值得注意的是，只要再確定a，b，c的一個(gè)關(guān)系，就可以求離心率，橢圓e＝＝＝.求橢圓離心率的取值范圍，則往往要借助橢圓的幾何性質(zhì)及平面幾何的知識(shí)構(gòu)造不等式后進(jìn)一步求解．
已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨設(shè)，，
此時(shí)，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以為銳角，
可得，
在△中，由余弦定理得，
所以，
則△為直角三角形，
此時(shí)，
而△的周長(zhǎng)，
解得，
所以，
則，
解得．
故選：．
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形為長(zhǎng)方形，
則，，
由，且，
得，，
，解得．
故選：．
如圖，，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得在橢圓上，則設(shè)，
，，
①，
又是的直徑，則，即，
②，
由①②得，
又，則．
故選：．
已知橢圓中，，則橢圓的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
則，
故，即，
又，
綜上所述，橢圓的離心率的取值范圍是．
故選：．
已知橢圓關(guān)于軸、軸均對(duì)稱(chēng)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，若點(diǎn)不在橢圓的外部，則橢圓的離心率的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)橢圓的方程為，
因?yàn)椴辉跈E圓的外部，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，化簡(jiǎn)得：，
同除以得：，結(jié)合，
解得：，
故．
故選：．
已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），的平分線(xiàn)交于，且，則橢圓的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)橢圓的焦距為，則，即，
因?yàn)槠椒郑遥?br/>所以，
由橢圓的定義知，，
所以，，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，即，
所以離心率，．
故選：．
已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別是橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：令橢圓中，則，
所以．
因?yàn)椋裕瑒t，
即，
所以．
故選：．
位置關(guān)系的判斷
【要點(diǎn)講解】直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，可通過(guò)討論橢圓方程與直線(xiàn)方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定. 通常用消元后的關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式Δ與零的大小關(guān)系來(lái)判定.
若直線(xiàn)與橢圓恒有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則的取值范圍是 　，，　．
【解答】解：橢圓，則，且，
直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，要使直線(xiàn)與橢圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則必在橢圓內(nèi)部，，則，
綜上可知：的取值范圍：，，．
故答案為：，，．
直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：如圖所示，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸的上半個(gè)橢圓，長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為2，短半軸的長(zhǎng)為1，
是一個(gè)斜率為1的直線(xiàn)，
要使兩圖形有兩個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，直線(xiàn)與半橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，可得；
直線(xiàn)與橢圓相切，可得，消去，可得，△，解得，舍去，
所以的取值范圍是．
故答案為：．
如圖，已知直線(xiàn)和橢圓．為何值時(shí)，直線(xiàn)與橢圓
（1）有兩個(gè)公共點(diǎn)？
（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？
（3）沒(méi)有公共點(diǎn)？
【解答】解：由方程組，
消去，得，①
方程①的根的判別式△．
（1）由△，得，此時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
（2）由△，得或，此時(shí)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（3）由△，得或，此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，直線(xiàn)與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)．
橢圓與直線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，過(guò)的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為2，則　　
A． B． C． D．2
【解答】解：設(shè)，，，，，，
，
由的中點(diǎn)為可得①，②，
由．在橢圓上，可得，，
兩式相減可得③，
把①②代入③可得，
整理可得．
故選：．
弦長(zhǎng)問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|＝·(k為直線(xiàn)的斜率)，注意該公式是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式Δ>0這一前提.
若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，，，，
則，
所以，
整理得，
因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，
所以，，
所以，
所以弦所在直線(xiàn)的方程為，即．
故選：．
在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)為，，，，
則有，
兩式相減得可得：，
又由點(diǎn)為的中點(diǎn)，則有，，
則有．
即以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)斜率為；
直線(xiàn)方程為：，即．
故選：．
已知橢圓，點(diǎn)是橢圓的弦的中點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)的方程；
（2）求弦的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）因?yàn)槭菣E圓弦的中點(diǎn)，
不妨設(shè)，，，，
此時(shí)，，
因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)都在橢圓，
所以，
兩式相減得，
即，
因?yàn)椋?br/>對(duì)等式兩邊同時(shí)除以，
可得，
即，
則直線(xiàn)的方程為，
即；
（2）聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達(dá)定理得，，
又△，
則．
橢圓左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，求．
【解答】（1）由題意得，解得，
所以橢圓的方程為：；
又因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓上，
可得，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線(xiàn)的方程為：，即，
設(shè)，，，，
聯(lián)立橢圓的方程，整理可得，
可得，，
代入直線(xiàn)的方程可得，，
即，，，
所以弦長(zhǎng)．
面積問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|＝·(k為直線(xiàn)的斜率)，注意該公式是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式Δ>0這一前提.
已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)，在橢圓上．
（1）是上一動(dòng)點(diǎn)，求的范圍；
（2）過(guò)的右焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求△的內(nèi)切圓面積的最大值．
【解答】解：（1）由題間知，，
將，代入，解得，橢圓的方程為：，
設(shè)點(diǎn)，則，，，
又，，的取值范圍是，．
（2）依題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，
聯(lián)立，得，
，，
，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，
設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，則，
△的內(nèi)切圓面積的最大值為．
已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓（動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，，且是一個(gè)常數(shù)），其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交圓于點(diǎn)，，求面積的最大值．
【解答】解：（1）不妨令，
由阿波羅尼斯圓定義可得，①
因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，
所以，②
聯(lián)立①②，可得，
所以，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）因?yàn)椋?br/>易知直線(xiàn)的斜率不為0，
不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，
聯(lián)立，
消去并整理得，
由韋達(dá)定理得，，
因?yàn)椤鳎?br/>解得，
易知，
因?yàn)椋?hào)，
所以
，
不妨令，，
此時(shí)
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故面積的最大值3．
已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，若直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求面積的最大值．
【解答】解：（1）因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為，
所以，
解得，，
則橢圓的方程為；
（2）不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，
聯(lián)立，消去并整理的，
易知，
由韋達(dá)定理得，，
因?yàn)椋?br/>所以，
即，
此時(shí)，
整理得，
解得或（舍，
當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足△，
所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)?br/>，
不妨令，，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，最大值為．專(zhuān)題8.4 橢圓
目錄
題型一： 橢圓的定義及應(yīng)用 3
題型二： 橢圓中的最值問(wèn)題 4
題型三： 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 5
題型四： 橢圓的焦點(diǎn)三角形 6
題型五： 橢圓的幾何性質(zhì) 7
題型六： 位置關(guān)系的判斷 9
題型七： 弦長(zhǎng)問(wèn)題 10
題型八： 面積問(wèn)題 12
橢圓的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱(chēng)為半焦距.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上
標(biāo)準(zhǔn) 方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
圖形
a，b，c 的關(guān)系 a2＝b2＋c2
焦點(diǎn) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a
對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)
頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長(zhǎng) 短軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a
離心率 e＝，且e∈(0,1)，e越接近1，橢圓越扁平
在用橢圓定義時(shí)，若|F1F2|＝2a，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不是橢圓，而是連接兩定點(diǎn)的線(xiàn)段(包括端點(diǎn))；若|F1F2|＞2a，則軌跡不存在.
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
(1)橢圓中的最值：P為橢圓上任一點(diǎn)，B為短軸一個(gè)端點(diǎn)，則|OP|∈[b，a]；|PF1|∈[a－c，a＋c]；|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2.
(2)焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形. r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓＋＝1(a＞b＞0)中：
①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)；
②4c2＝r＋r－2r1r2cos θ；
③當(dāng)r1＝r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；
④S＝r1r2sin θ＝b2tan＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.
(3)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)中通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，為.
(4)AB為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率為k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則
①弦長(zhǎng)l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
②直線(xiàn)AB的斜率k＝－；
③k·kOM＝－.
橢圓的定義及應(yīng)用
【要點(diǎn)講解】根據(jù)題目所給條件，抓住動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件，根據(jù)橢圓定義得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．在得到的標(biāo)準(zhǔn)方程中，要注意是否需要“去除”某些不滿(mǎn)足題設(shè)條件的點(diǎn)．
若的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)、，的周長(zhǎng)為18，則頂點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)和直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B． C． D．
已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是三角形的重心，則點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
已知橢圓方程為，過(guò)平面內(nèi)的點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線(xiàn)，則點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B． C． D．
橢圓中的最值問(wèn)題
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，點(diǎn)在上，則的最大值為　　
A．1 B． C．3 D．
橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為　　
A． B． C．2 D．
已知橢圓，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，若橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為　　
A．3 B． C． D．
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
【要點(diǎn)講解】求橢圓方程的基本方法是待定系數(shù)法，先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，如果焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，的橢圓上的任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為8，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
為　　
A． B． C． D．
橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B． C． D．
焦點(diǎn)在軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為，焦距為的橢圓方程為　　
A． B． C． D．
“，”是“方程表示的曲線(xiàn)為橢圓”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
“”是方程“表示橢圓”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
“”是“方程表示橢圓”的　　
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
橢圓的焦點(diǎn)三角形
【要點(diǎn)講解】橢圓的焦點(diǎn)三角形是描述橢圓上一點(diǎn)到與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離、焦距之間的相互制約關(guān)系的一個(gè)載體. 因此具有“雙重特征”，即可以利用橢圓的定義和解三角形知識(shí)即可解決相關(guān)問(wèn)題，是高考命題熱點(diǎn)，題材內(nèi)容豐富多變，具備良好的考查背景．
如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)．若，，，則橢圓的方程為　　
A． B． C． D．
已知點(diǎn)在橢圓上，與分別為左、右焦點(diǎn)，若，則△的面積為　　
A． B． C． D．
已知橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則　　
A． B． C． D．
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．若斜率為1，且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為　　
A．9 B．12 C．18 D．24
已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，且，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為28，則橢圓的短軸長(zhǎng)為 　　　　　　　．
橢圓的幾何性質(zhì)
【要點(diǎn)講解】求橢圓的離心率一般策略：(1)直接利用公式e＝求解；(2)通過(guò)構(gòu)造關(guān)于a，c的“齊次方程”來(lái)解決，構(gòu)造關(guān)于的方程求解；(3)值得注意的是，只要再確定a，b，c的一個(gè)關(guān)系，就可以求離心率，橢圓e＝＝＝.求橢圓離心率的取值范圍，則往往要借助橢圓的幾何性質(zhì)及平面幾何的知識(shí)構(gòu)造不等式后進(jìn)一步求解．
已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
如圖，，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
已知橢圓中，，則橢圓的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
已知橢圓關(guān)于軸、軸均對(duì)稱(chēng)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，若點(diǎn)不在橢圓的外部，則橢圓的離心率的取值范圍為　　
A． B． C． D．
已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），的平分線(xiàn)交于，且，則橢圓的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別是橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為　　
A． B．1 C． D．
位置關(guān)系的判斷
【要點(diǎn)講解】直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，可通過(guò)討論橢圓方程與直線(xiàn)方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定. 通常用消元后的關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式Δ與零的大小關(guān)系來(lái)判定.
若直線(xiàn)與橢圓恒有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則的取值范圍是 　　　　　　　．
直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是 　　　　　　　．
如圖，已知直線(xiàn)和橢圓．為何值時(shí)，直線(xiàn)與橢圓
（1）有兩個(gè)公共點(diǎn)？
（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？
（3）沒(méi)有公共點(diǎn)？
橢圓與直線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，過(guò)的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為2，則　　
A． B． C． D．2
弦長(zhǎng)問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|＝·(k為直線(xiàn)的斜率)，注意該公式是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式Δ>0這一前提.
若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
已知橢圓，點(diǎn)是橢圓的弦的中點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)的方程；
（2）求弦的長(zhǎng)度．
橢圓左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，求．
面積問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|＝·(k為直線(xiàn)的斜率)，注意該公式是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式Δ>0這一前提.
已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)，在橢圓上．
（1）是上一動(dòng)點(diǎn)，求的范圍；
（2）過(guò)的右焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求△的內(nèi)切圓面積的最大值．
已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓（動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，，且是一個(gè)常數(shù)），其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交圓于點(diǎn)，，求面積的最大值．
已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，若直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求面積的最大值．專(zhuān)題8.5 雙曲線(xiàn)
目錄
題型一： 雙曲線(xiàn)的定義 4
題型二： 雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 6
題型三： 雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形 10
題型四： 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn) 11
題型五： 雙曲線(xiàn)的離心率 14
題型六： 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系 25
雙曲線(xiàn)的定義
(1)定義：一般地，我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距．
(2)等軸雙曲線(xiàn)：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)叫等軸雙曲線(xiàn)，它的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，離心率為e＝.
雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
圖形
焦點(diǎn) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c 的關(guān)系 c2＝a2＋b2
簡(jiǎn)單幾 何性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)
頂點(diǎn) (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
軸長(zhǎng) 實(shí)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a，虛軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b
漸近線(xiàn) y＝±x y＝±x
離心率 e＝，且e∈(1，＋∞)
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
1．與雙曲線(xiàn)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程相關(guān)結(jié)論
(1)在雙曲線(xiàn)定義中，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)的軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，軌跡不存在.
(2)在已知雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離時(shí)，求該點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離時(shí)，不能簡(jiǎn)單套用“||PF1|－|PF2||＝2a”求解，要先判斷該點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的“哪一支”上，然后進(jìn)行下一步運(yùn)算．
(3)已知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，只要令雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中右邊的“1”為“0”就可得到漸近線(xiàn)方程.
(4)雙曲線(xiàn)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為Ax2＋By2＝1的形式，當(dāng)A＞0，B＞0，A≠B時(shí)為橢圓，當(dāng)A·B＜0時(shí)為雙曲線(xiàn).
(5)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不一定相切，如當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交，此時(shí)該公共點(diǎn)為“交點(diǎn)”，而不是相切；而當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)該公共點(diǎn)為“切點(diǎn)”，因此，當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，要注意兩種情況的可能性.
(6)與雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程為－＝λ(λ≠0).
2．與雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)相關(guān)結(jié)論
(1)離心率e＝＝，離心率越大，雙曲線(xiàn)“張口”越大、越開(kāi)闊.
(2)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為“虛半軸長(zhǎng)”.
(3)通徑長(zhǎng)為.
(4)P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面積為S＝b2·＝(θ＝∠F1PF2).
雙曲線(xiàn)的定義
【要點(diǎn)講解】以雙曲線(xiàn)為背景的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題求解策略：借助題目給出的“幾何特征”判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的“幾何條件”，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義進(jìn)行對(duì)比研究，究竟是“雙曲線(xiàn)”還是“雙曲線(xiàn)的一支”．
已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由點(diǎn)，，可得，
又由，可得，
根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以，為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，
且，可得，則，
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
故選：．
動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡方程為　　．
【解答】解：由知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)下支，
得，，
，
，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．
故答案為：．
與圓及圓都外切的圓的圓心在　　
A．一個(gè)橢圓上 B．雙曲線(xiàn)的一支上
C．一條拋物線(xiàn)上 D．一個(gè)圓上
【解答】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，
圓可化為，圓心坐標(biāo)為，半徑為1，
設(shè)所求圓的圓心，半徑為，
由題意可知，，
則，
故由雙曲線(xiàn)的定義可知在，所求圓的圓心的軌跡為雙曲線(xiàn)的一支．
故選：．
已知兩定點(diǎn)，，曲線(xiàn)上的點(diǎn)到、的距離之差的絕對(duì)值是8，則曲線(xiàn)的方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：據(jù)雙曲線(xiàn)的定義知：的軌跡是以，
為焦點(diǎn)，以實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線(xiàn)．
所以，，，
所以雙曲線(xiàn)的方程為：
故選：．
已知圓和圓，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為 　　．
【解答】解：由圓和圓，
得到，半徑，，半徑，
設(shè)圓的半徑為，
圓與外切而又與外切，
，，
滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義，是雙曲線(xiàn)的一支，且，，
，
動(dòng)圓圓心的軌跡方程是．
故答案為：．
已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，下列條件中滿(mǎn)足動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：兩定點(diǎn)，，
，
由雙曲線(xiàn)定義得，
四個(gè)選項(xiàng)的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡中，是雙曲線(xiàn)的是．
故選：．
雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程
【要點(diǎn)講解】求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法；當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的位置不確定時(shí)，為了避免討論焦點(diǎn)的位置，常設(shè)雙曲線(xiàn)方程為Ax2＋By2＝1(AB＜0)，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.
寫(xiě)出一個(gè)離心率為且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 　（答案不唯一）　．
【解答】解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率，
所以，
即，
又，
所以，
解得，
不妨令，
所以離心率為且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（答案不唯一）；
故答案為：（答案不唯一）．
已知雙曲線(xiàn)的離心率為，且該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，則這個(gè)雙曲線(xiàn)的方程是 　　．
【解答】解：由題意得，解得，，，
則雙曲線(xiàn)方程為．
故答案為：．
與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以，
記，，所以，
所以，所以，
所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：．
設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線(xiàn)上的點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為8，則曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根據(jù)題意可知橢圓方程中的，
根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，其中半焦距為5，實(shí)軸長(zhǎng)為8
虛軸長(zhǎng)為2
雙曲線(xiàn)方程為
故選：．
已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：雙曲線(xiàn)的方程是，
雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為．
又離心率為，
，
，
由此可得雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為，即：
故答案為：．
故選：．
“”是“方程表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：若曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，則，解得或．
“”能推出“或”，滿(mǎn)足充分性；
“或”不能推出“”，不滿(mǎn)足必要性；
故“”是“曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件．
故選：．
已知等軸雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，
代入點(diǎn)，得，
故所求雙曲線(xiàn)的方程為，
其標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：．
若離心率為的雙曲線(xiàn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，則雙曲線(xiàn)的方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題知在橢圓中，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，
雙曲線(xiàn)中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，，
，，，．
故雙曲線(xiàn)的方程為．
故選：．
與雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)所求雙曲線(xiàn)為，
把點(diǎn)代入，得，
解得，
所示的雙曲線(xiàn)方程為．
故選：．
與雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，要求雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)，
設(shè)要求的雙曲線(xiàn)為，
又由雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解可得，
則要求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：．
雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形
【要點(diǎn)講解】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，結(jié)合∠F1PF2＝60°利用余弦定理可得mn＝4b2，再根據(jù)等面積法求得內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，結(jié)合正弦定理可得外接圓半徑的表達(dá)式，進(jìn)而列式求解離心率即可．
已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，若，則　　
A．3 B．9 C．21 D．27
【解答】解：雙曲線(xiàn)，可得，，，
，，則或，
又，故舍去，．
故選：．
如圖，，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，則　　
A．4 B． C．6 D．9
【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
又，所以，，
所以，
所以，所以．
所以．
故選：．
雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)
【要點(diǎn)講解】求雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0. 雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為b，這個(gè)結(jié)論要熟記.
已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)的斜率為　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以它的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線(xiàn)方程為，
所以焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，
化簡(jiǎn)得，解得，
所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)，，，，
所以①，②，
①②得，
化簡(jiǎn)得③，
因?yàn)榫€(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以，，代入③，
整理得，
顯然，，所以直線(xiàn)的斜率．
故選：．
設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)為、，漸近線(xiàn)方程為，過(guò)直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)左支于、兩點(diǎn)，則的最小值為　　
A．9 B．10 C．14 D．
【解答】解：根據(jù)題意可得，，又，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)弦為雙曲線(xiàn)的通徑（通徑長(zhǎng)為，即垂直于軸時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為9．
故選：．
若雙曲線(xiàn)的焦距長(zhǎng)為8，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可知，即，
所以，，又雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，
則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為．
故選：．
已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，則雙曲線(xiàn)的焦距為　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：根據(jù)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，得，解得，
則雙曲線(xiàn)的方程為，
則，其焦距．
故選：．
若雙曲線(xiàn)的離心率為2，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得，
，
又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，
雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，即．
故選：．
雙曲線(xiàn)的離心率
【要點(diǎn)講解】求雙曲線(xiàn)離心率或其范圍的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝＝＝1＋求e；②列出含有a，b，c的齊次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.
如圖，、是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右左兩支分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)．若為等邊三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A．4 B． C． D．
【解答】解：根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得，
是等邊三角形，即，
，即，
又，
，
△中，，，，
，
即，解之得，
由此可得雙曲線(xiàn)的離心率．
故選：．
已知，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)在第一象限的右支上一點(diǎn)，以為切點(diǎn)作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，由，可得，
則，
點(diǎn)，在雙曲線(xiàn)上，則，即，
可得，
可得在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程為，
令，解得，
又因?yàn)椋瑒t，
所以，
即點(diǎn)，
設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，則，，
因?yàn)椋瑒t，整理得，
則，
可得，
且點(diǎn)為雙曲線(xiàn)在第一象限的右支上一點(diǎn)，則，
可得，
在△中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以雙曲線(xiàn)的離心率．
故選：．
如圖，，分別是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與該雙曲線(xiàn)左支交于，兩點(diǎn)，若△是等邊三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：連結(jié)，則根據(jù)題意可得：
，且，
，，
，
即，
．
故選：．
已知雙曲線(xiàn)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：雙曲線(xiàn)，則，，則，
該雙曲線(xiàn)的離心率，
故選：．
已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，則其漸近線(xiàn)的傾斜角為　　
A． B． C．或 D．或
【解答】解：依題意離心率，則，
所以（負(fù)值舍去），
又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即，
即漸近線(xiàn)的斜率為或，所以其漸近線(xiàn)的傾斜角為或．
故選：．
雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)作雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，直線(xiàn)與另一漸近線(xiàn)交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：設(shè)相對(duì)應(yīng)的漸近線(xiàn)：，由題意直線(xiàn)的斜率為，
可得直線(xiàn)的方程為：，
聯(lián)立，可得，，
即，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，
可得為線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，
可得，即，
整理可得：，即或，因?yàn)椋?br/>解得，即離心率為2．
故選：．
已知，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，與在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，且，則橢圓的離心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨設(shè)，，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，
由橢圓及雙曲線(xiàn)定義可得，
即，
因?yàn)椋遥謩e為，的中點(diǎn)，
所以，
又到漸近線(xiàn)的距離，
所以，，
又，
解得，①
因?yàn)椋?br/>所以，
即，
整理得，②
聯(lián)立①②，解得，
所以．
故選：．
如圖所示，，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足，與的左支的交點(diǎn)滿(mǎn)足，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：在，由正弦定理得：①，
在△中，由正弦定理得：②，
又，則，
得：，
又，則，即，
設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義得：，，，
由，得，，解得，
，，
在△中，由勾股定理得：，，
整理得，雙曲線(xiàn)的離心率．
故選：．
已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，，由雙曲線(xiàn)的定義可得，
即，
由，可得的面積為，即，
又，
則，
化為，即．
故選：．
已知、分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C． D．2
【解答】解：由題意可知，，設(shè)，，在△中，根據(jù)正弦定理：，
則，
在△中，根據(jù)正弦定理可得，
則，
由，則，
由，則，解得，
由雙曲線(xiàn)定義可知，解得，，
在中，根據(jù)余弦定理可得，
在中，根據(jù)余弦定理可得，
由，則，
可得，整理可得，
由雙曲線(xiàn)離心率可知，則可得，
由，解得．
故選：．
如圖，已知，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，，為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：延長(zhǎng)與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)，因?yàn)椋鶕?jù)對(duì)稱(chēng)性知，
設(shè)，則，，可得，即，
所以，則，，
即，可知，
在△中，由勾股定理得，即，解得．
故選：．
已知點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上（異于，兩點(diǎn)），若直線(xiàn)，斜率之積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：設(shè)，，，
則，，
，
，
，
，
，
，
，
，又，
．
故選：．
已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)公共交點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，
若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，
此時(shí)，
即，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為．
故選：．
已知圓與雙曲線(xiàn)，若在雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：連接、、，則，，
由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知，，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，，則，
設(shè)點(diǎn)，則，且，
所以，，
所以，，故，
故選：．
已知雙曲線(xiàn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若上的任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足，則的離心率取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，，
由，代入不等式中，
整理得恒成立，
則，解得，
又，則；
故選：．
直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系
【要點(diǎn)講解】有關(guān)弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題的解題策略：(1)弦長(zhǎng)問(wèn)題，通常利用“弦長(zhǎng)公式”，借助“韋達(dá)定理”進(jìn)行求解；(2)面積問(wèn)題多為“三角形或四邊形的面積”，首先是圖形的面積怎么表示出來(lái)，是通過(guò)直接手段還是間接手段，其實(shí)質(zhì)也是“弦長(zhǎng)問(wèn)題”．
已知直線(xiàn)，雙曲線(xiàn)，則　　
A．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
B．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支有兩個(gè)公共點(diǎn)
C．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)
D．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)
【解答】解：易知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
且點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)的右側(cè)，
聯(lián)立，
解得或，
所以直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)．
故選：．
已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若直線(xiàn)與只有一個(gè)交點(diǎn)，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，
雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程：，
直線(xiàn)與只有一個(gè)交點(diǎn)，
可得，解得．
故選：．
已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)與的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，則的離心率為　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：由題意可知，過(guò)的直線(xiàn)與的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)分別在第二和第三象限時(shí)不符合，
為線(xiàn)段的中點(diǎn)，當(dāng)交點(diǎn)在軸上方或軸下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性結(jié)果是一樣的，選擇一種即可，如圖．
根據(jù)雙曲線(xiàn)可得，，，兩條漸近線(xiàn)方程，
，為的中點(diǎn)，
，
又為線(xiàn)段的中點(diǎn)，
垂直平分，
可設(shè)直線(xiàn)為①，直線(xiàn)為②，直線(xiàn)為③，
由②③得，交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)還在直線(xiàn)上，
，可得，，
所以雙曲線(xiàn)的離心率，
故選：．
已知雙曲線(xiàn)的離心率為且過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．，， B．
C． D．
【解答】解：離心率為的雙曲線(xiàn)是等軸雙曲線(xiàn)，
所以可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程是，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，
所以的方程是，
將代入上式并消去整理得，
則，解得或．
故選：．
已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，且雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為．
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）記為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于不同的兩點(diǎn)、，若的面積為，求直線(xiàn)的方程．
【解答】解：（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，
所以，
又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為，
所以，
所以，
所以，
所以雙曲線(xiàn)的方程為．
（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，
此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，得，
所以且△，
所以且，
設(shè)，，，，
所以，，
所以，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以，
解得
所以直線(xiàn)的方程為．
已知雙曲線(xiàn)的離心率為，設(shè)的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，虛軸下端點(diǎn)為，且．
（1）求的方程；
（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，且點(diǎn)，都在第一象限，若的面積是面積的2倍，求的斜率．
【解答】解：（1）不妨設(shè)的焦距為，
因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為，
所以，①
又，②，
聯(lián)立①②，可得．
因?yàn)椋?br/>解得，，
所以的方程為；
（2）不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，，，
易知，，
因?yàn)榈拿娣e是面積的2倍，
所以，
此時(shí)，
即．
因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，解得，
聯(lián)立，消去并整理得，
因?yàn)椋?br/>所以，
對(duì)等式兩邊同時(shí)平方得，
解得或，
當(dāng)時(shí)，與直線(xiàn)平行，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，符合題意．
故直線(xiàn)的斜率為．
已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中一條漸近線(xiàn)為．
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）一條過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且縱截距為的直線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，求的值．
【解答】解：（1）由題意，，解得，．
雙曲線(xiàn)的方程為；
（2）由（1）得，，則，
又直線(xiàn)的縱截距為，直線(xiàn)過(guò)，
可得直線(xiàn)，即．
聯(lián)立，可得．
設(shè)，，，，
則，，
則．
．專(zhuān)題8.5 雙曲線(xiàn)
目錄
題型一： 雙曲線(xiàn)的定義 4
題型二： 雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 5
題型三： 雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形 6
題型四： 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn) 7
題型五： 雙曲線(xiàn)的離心率 8
題型六： 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系 12
雙曲線(xiàn)的定義
(1)定義：一般地，我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距．
(2)等軸雙曲線(xiàn)：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)叫等軸雙曲線(xiàn)，它的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，離心率為e＝.
雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
圖形
焦點(diǎn) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c 的關(guān)系 c2＝a2＋b2
簡(jiǎn)單幾 何性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)
頂點(diǎn) (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
軸長(zhǎng) 實(shí)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a，虛軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b
漸近線(xiàn) y＝±x y＝±x
離心率 e＝，且e∈(1，＋∞)
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
1．與雙曲線(xiàn)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程相關(guān)結(jié)論
(1)在雙曲線(xiàn)定義中，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)的軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，軌跡不存在.
(2)在已知雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離時(shí)，求該點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離時(shí)，不能簡(jiǎn)單套用“||PF1|－|PF2||＝2a”求解，要先判斷該點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的“哪一支”上，然后進(jìn)行下一步運(yùn)算．
(3)已知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，只要令雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中右邊的“1”為“0”就可得到漸近線(xiàn)方程.
(4)雙曲線(xiàn)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為Ax2＋By2＝1的形式，當(dāng)A＞0，B＞0，A≠B時(shí)為橢圓，當(dāng)A·B＜0時(shí)為雙曲線(xiàn).
(5)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不一定相切，如當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交，此時(shí)該公共點(diǎn)為“交點(diǎn)”，而不是相切；而當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)該公共點(diǎn)為“切點(diǎn)”，因此，當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，要注意兩種情況的可能性.
(6)與雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程為－＝λ(λ≠0).
2．與雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)相關(guān)結(jié)論
(1)離心率e＝＝，離心率越大，雙曲線(xiàn)“張口”越大、越開(kāi)闊.
(2)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為“虛半軸長(zhǎng)”.
(3)通徑長(zhǎng)為.
(4)P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面積為S＝b2·＝(θ＝∠F1PF2).
雙曲線(xiàn)的定義
【要點(diǎn)講解】以雙曲線(xiàn)為背景的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題求解策略：借助題目給出的“幾何特征”判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的“幾何條件”，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義進(jìn)行對(duì)比研究，究竟是“雙曲線(xiàn)”還是“雙曲線(xiàn)的一支”．
已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡方程為　　　　　　　．
與圓及圓都外切的圓的圓心在　　
A．一個(gè)橢圓上 B．雙曲線(xiàn)的一支上
C．一條拋物線(xiàn)上 D．一個(gè)圓上
已知兩定點(diǎn)，，曲線(xiàn)上的點(diǎn)到、的距離之差的絕對(duì)值是8，則曲線(xiàn)的方程為　　
A． B．
C． D．
已知圓和圓，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為 　　．
已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，下列條件中滿(mǎn)足動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)的是　　
A． B．
C． D．
雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程
【要點(diǎn)講解】求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法；當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的位置不確定時(shí)，為了避免討論焦點(diǎn)的位置，常設(shè)雙曲線(xiàn)方程為Ax2＋By2＝1(AB＜0)，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.
寫(xiě)出一個(gè)離心率為且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 　　　　　　．
已知雙曲線(xiàn)的離心率為，且該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，則這個(gè)雙曲線(xiàn)的方程是 　　　　　　　．
與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B． C． D．
設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線(xiàn)上的點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為8，則曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B．
C． D．
已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
“”是“方程表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
已知等軸雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B． C． D．
若離心率為的雙曲線(xiàn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，則雙曲線(xiàn)的方程是　　
A． B． C． D．
與雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
與雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B． C． D．
雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形
【要點(diǎn)講解】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，結(jié)合∠F1PF2＝60°利用余弦定理可得mn＝4b2，再根據(jù)等面積法求得內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，結(jié)合正弦定理可得外接圓半徑的表達(dá)式，進(jìn)而列式求解離心率即可．
已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，若，則　　
A．3 B．9 C．21 D．27
如圖，，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，則　　
A．4 B． C．6 D．9
雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)
【要點(diǎn)講解】求雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0. 雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為b，這個(gè)結(jié)論要熟記.
已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)的斜率為　　
A． B．1 C． D．2
設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)為、，漸近線(xiàn)方程為，過(guò)直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)左支于、兩點(diǎn)，則的最小值為　　
A．9 B．10 C．14 D．
若雙曲線(xiàn)的焦距長(zhǎng)為8，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，則雙曲線(xiàn)的焦距為　　
A．2 B．4 C． D．
若雙曲線(xiàn)的離心率為2，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為　　
A． B． C． D．
雙曲線(xiàn)的離心率
【要點(diǎn)講解】求雙曲線(xiàn)離心率或其范圍的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝＝＝1＋求e；②列出含有a，b，c的齊次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.
如圖，、是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右左兩支分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)．若為等邊三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A．4 B． C． D．
已知，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)在第一象限的右支上一點(diǎn)，以為切點(diǎn)作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C．2 D．
如圖，，分別是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與該雙曲線(xiàn)左支交于，兩點(diǎn)，若△是等邊三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B．2 C． D．
已知雙曲線(xiàn)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C． D．
已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，則其漸近線(xiàn)的傾斜角為　　
A． B． C．或 D．或
雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)作雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，直線(xiàn)與另一漸近線(xiàn)交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B．2 C． D．3
已知，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，與在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，且，則橢圓的離心率是　　
A． B． C． D．
如圖所示，，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足，與的左支的交點(diǎn)滿(mǎn)足，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A．3 B． C． D．
已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C． D．
已知、分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C． D．2
如圖，已知，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，，為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B． C． D．
已知點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上（異于，兩點(diǎn)），若直線(xiàn)，斜率之積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為　　
A． B．2 C． D．3
已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)公共交點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
已知圓與雙曲線(xiàn)，若在雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
已知雙曲線(xiàn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若上的任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足，則的離心率取值范圍是　　
A． B． C． D．
直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系
【要點(diǎn)講解】有關(guān)弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題的解題策略：(1)弦長(zhǎng)問(wèn)題，通常利用“弦長(zhǎng)公式”，借助“韋達(dá)定理”進(jìn)行求解；(2)面積問(wèn)題多為“三角形或四邊形的面積”，首先是圖形的面積怎么表示出來(lái)，是通過(guò)直接手段還是間接手段，其實(shí)質(zhì)也是“弦長(zhǎng)問(wèn)題”．
已知直線(xiàn)，雙曲線(xiàn)，則　　
A．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
B．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支有兩個(gè)公共點(diǎn)
C．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)
D．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)
已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若直線(xiàn)與只有一個(gè)交點(diǎn)，則　　
A． B． C． D．
已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)與的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，則的離心率為　　
A． B．2 C． D．3
已知雙曲線(xiàn)的離心率為且過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．，， B．
C． D．
已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，且雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為．
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）記為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于不同的兩點(diǎn)、，若的面積為，求直線(xiàn)的方程．
已知雙曲線(xiàn)的離心率為，設(shè)的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，虛軸下端點(diǎn)為，且．
（1）求的方程；
（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，且點(diǎn)，都在第一象限，若的面積是面積的2倍，求的斜率．
已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中一條漸近線(xiàn)為．
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）一條過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且縱截距為的直線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，求的值．專(zhuān)題8.6 拋物線(xiàn)
目錄
題型一： 拋物線(xiàn)的定義 4
題型二： 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 5
題型三： 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦 9
題型四： 最值問(wèn)題 13
題型五： 拋物線(xiàn)與直線(xiàn)方程 16
題型六： 弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題 23
拋物線(xiàn)的定義
我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn). 點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).
拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
圖形
開(kāi)口 向右 向左 向上 向下
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線(xiàn) x＝－ x＝ y＝－ y＝
簡(jiǎn)單 幾何 性質(zhì) 范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R
對(duì)稱(chēng) 軸 x軸 y軸
頂點(diǎn) 原點(diǎn)O(0,0)
離心率 e＝1
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
1．拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)
直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，交拋物線(xiàn)于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則有：
(1)通徑的長(zhǎng)為2p.
(2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：|AB|＝x1＋x2＋p(|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋).
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(4)以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切.
(5)若α為弦AB的傾斜角，則|AF|＝，|BF|＝；|AB|＝.
(6)＋＝；以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.
2．拋物線(xiàn)中的最值
P為拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上的任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則有：|PF|≥；焦點(diǎn)弦AB以通徑(2p)為最小值；A(m，n)為一定點(diǎn)，則|PA|＋|PF|有最小值.
3．拋物線(xiàn)的切線(xiàn)
已知拋物線(xiàn)C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)l1，l2，l1∩l2＝P.則有：(1)l1⊥l2；(2)P在定直線(xiàn)x＝－上；(3)PF⊥AB．
4．拋物線(xiàn)中的焦點(diǎn)三角形
如右圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l：y＝kx－(其中k為直線(xiàn)l的斜率)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，那么焦點(diǎn)三角形OAB的面積可以表示為S△OAB＝(若拋物線(xiàn)方程為x2＝2py(p>0)，直線(xiàn)l：y＝kx＋，則S△OAB＝)．
拋物線(xiàn)的定義
【要點(diǎn)講解】以?huà)佄锞€(xiàn)為背景的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題求解策略：借助題目給出的“幾何特征”判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的“幾何條件”，根據(jù)拋物線(xiàn)定義即可得出結(jié)果．與拋物線(xiàn)上一點(diǎn)有關(guān)的距離的最值問(wèn)題，往往根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，將到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線(xiàn)距離相互轉(zhuǎn)化，再根據(jù)“共線(xiàn)”的幾何特征進(jìn)行求解．
若點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離大1，則點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離大1，
點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)的距離，
由拋物線(xiàn)的定義可知，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
焦準(zhǔn)距，
點(diǎn)的軌跡方程為．
故選：．
已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離為3，則　2　．
【解答】解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，
因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離為3，
所以，得．
故答案為：2．
動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是　　
A．橢圓 B．雙曲線(xiàn) C．雙曲線(xiàn)的一支 D．拋物線(xiàn)
【解答】解：動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離大1，
將直線(xiàn)向左平移1個(gè)單位，得到直線(xiàn)，
可得點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)的距離．
因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，可得，得，
拋物線(xiàn)的方程為，即為點(diǎn)的軌跡方程．
故選：．
設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則　8　．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)，，分別作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，
垂足為，，，據(jù)拋物線(xiàn)定義，
得．
故答案為8
已知曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離相等．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）若曲線(xiàn)上有兩個(gè)定點(diǎn)、分別在其對(duì)稱(chēng)軸的上、下兩側(cè)，且，，求原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．
【解答】解：（1）曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等．
曲線(xiàn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，且，
曲線(xiàn)的方程為；
（2）由拋物線(xiàn)的定義結(jié)合可得，到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，
即的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線(xiàn)方程可得，即，
同理可得，故直線(xiàn)的斜率，
故的方程為，即，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程
【要點(diǎn)講解】求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
準(zhǔn)線(xiàn)方程為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，可知拋物線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的拋物線(xiàn)，
設(shè)其方程為，則其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，得．
該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故選：．
焦點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，
故可設(shè)拋物線(xiàn)方程為，
拋物線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸的拋物線(xiàn)，且，得．
拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：．
若拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，
故拋物線(xiàn)方程為．
故選：．
以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，焦點(diǎn)在直線(xiàn)上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A．或 B．或
C．或 D．或
【解答】解：直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，
當(dāng)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：．
中國(guó)古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人民的非凡智慧．一個(gè)拋物線(xiàn)型拱橋，當(dāng)水面離拱頂時(shí)，水面寬．若水面下降，則水面寬度為　　
A． B． C． D．12
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該拋物線(xiàn)的方程為，
又由當(dāng)水面離拱頂時(shí)，水面寬，即點(diǎn)和在拋物線(xiàn)上，
則有，解可得，
故拋物線(xiàn)的方程為，
若水面下降，即，則有，解可得，
此時(shí)水面寬度為，
故選：．
已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，且過(guò)點(diǎn)，則此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 　　．
【解答】解：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，且過(guò)點(diǎn)，
設(shè)拋物線(xiàn)，可得，所以，
所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
故答案為：．
過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 　，或　．
【解答】解：設(shè)拋物線(xiàn)方程為，
代入點(diǎn)可得，，
解得，，
則拋物線(xiàn)方程為，
設(shè)拋物線(xiàn)方程為，
代入點(diǎn)可得，，
解得，，
則拋物線(xiàn)方程為，
故拋物線(xiàn)方程為，或．
故答案為：，或．
經(jīng)過(guò)點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答】解：設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，把點(diǎn)代入可得：，
，
故所求的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
分別求適合下列條件的方程：
（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為4的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答】解：（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，
由條件可得，，
所以，，
所以，
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）當(dāng)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程得，
此時(shí)，所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程得，解得，
此時(shí)，所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
綜上所述，所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
（1）求準(zhǔn)線(xiàn)為的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，漸近線(xiàn)為，且實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答】解：（1）準(zhǔn)線(xiàn)為的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由實(shí)軸長(zhǎng)為2得，即，
由漸近線(xiàn)得，即，
故拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為．
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦
【要點(diǎn)講解】在解決拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形(特征“直角梯形”)的形象、直觀(guān)的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)的問(wèn)題更是如此．
若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則的值為　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：已知橢圓的右焦點(diǎn)，
若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，
此時(shí)，
解得．
故選：．
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為　　
A．4 B．2 C． D．
【解答】解：拋物線(xiàn)可化為，則，
由拋物線(xiàn)的定義得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，
即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4；
故選：．
已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為　　
A．12 B．16 C．18 D．19
【解答】解析：由題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，
設(shè)，
由拋物線(xiàn)的定義可得，，解得，
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為18．
故選：．
已知為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)是的焦點(diǎn)）的距離之比為，則的最小值是　　
A． B． C． D．4
【解答】解：由題意得，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，
過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，則，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，整理得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
，
所以當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，．
故選：．
設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的圓與直線(xiàn)相切，圓與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則　　
A．2或 B．2或4 C．或 D．2或
【解答】解：拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的圓與直線(xiàn)相切，圓與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為，
設(shè)圓心，，半徑為，已知，，，
在中，由正弦定理得，
，．
又圓與直線(xiàn)相切，
當(dāng)時(shí)，則圓心到直線(xiàn)距離，得；
當(dāng)時(shí)，則圓心到直線(xiàn)距離．
即，，或（舍，
綜上或．
故選：．
直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則到直線(xiàn)的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由拋物線(xiàn)得焦點(diǎn)，
設(shè)，，，，則，
兩式相減得，即，
因?yàn)榫€(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，即，
所以，即，
所以直線(xiàn)的方程為，即，顯然此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩交點(diǎn)，
所以到直線(xiàn)的距離．
故選：．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)，分別向準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為，，作，垂足為，
則軸，設(shè)，則，，
由拋物線(xiàn)的定義得，，則有，
在中，等于直線(xiàn)的傾斜角，其正切值即為值，
，，，
于是直線(xiàn)的傾斜角為，斜率．
當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得斜率為．
故選：．
最值問(wèn)題
拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，，則的最小值為 　15　．
【解答】解：由題可知，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，
過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)為交準(zhǔn)線(xiàn)為點(diǎn)，
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，
所以，
因?yàn)闉閽佄锞€(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)為點(diǎn)時(shí)，取到最小值為．
故答案為：15．
已知點(diǎn)及拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為　2　．
【解答】解：用拋物線(xiàn)的定義：
焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)，設(shè)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為
（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)）
故的最小值是2．
故答案為：2．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上，圓的半徑為1，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，則的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由向量投影的運(yùn)算可得：，
由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得，
即：，
則：最小值為3．
故選：．
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為　　
A．0 B．4 C．5 D．6
【解答】解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，
又圓的圓心，半徑，
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為：
．
故選：．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若點(diǎn)為拋物線(xiàn)任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 　　．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為，如圖，
則根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，，
求的最小值，即求的最小值，
顯然當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線(xiàn)方程可知．
故答案為：．
已知為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，
則，
，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)，，共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，
的最小值是．
故選：．
已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，，點(diǎn)，則的最小值是　　
A．10 B．8 C．5 D．4
【解答】解：由拋物線(xiàn)，可得準(zhǔn)線(xiàn)方程，焦點(diǎn)，
因?yàn)椋趻佄锞€(xiàn)上，可得，
又因?yàn)椋傻迷趻佄锞€(xiàn)的外部，
所以，
可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且在，之間時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為8．
故選：．
拋物線(xiàn)與直線(xiàn)方程
【要點(diǎn)講解】對(duì)于開(kāi)口向上或向下的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，常常借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線(xiàn)方程，則根據(jù)韋達(dá)定理等解決問(wèn)題，常用的解題策略有“變量代換”，“同構(gòu)法確定直線(xiàn)”等．所謂“同構(gòu)法確定直線(xiàn)”即若A(x1，y1)，B(x2，y2)分別滿(mǎn)足x1－2y1＋2＝0，x2－2y2＋2＝0，則直線(xiàn)AB的方程為x－2y＋2＝0.
已知點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn)　　
A． B．， C． D．
【解答】解：當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，
所以直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)其方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，
所以設(shè)，，，，所以，，
解得或．又因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)位于軸的兩側(cè)，所以．
聯(lián)立得，△，所以，
即，所以直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn)．
故選：．
已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，若，則的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
易知△，
解得，
不妨設(shè)，，，，
由韋達(dá)定理得，，
所以，
此時(shí)中點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br/>解得或（舍去），
此時(shí)垂直平分線(xiàn)方程為，
不妨令，
解得，
所以，
此時(shí)，
而點(diǎn)到直線(xiàn)距離，
則．
故選：．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．斜率為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與的交點(diǎn)為，．若，則直線(xiàn)的斜率為　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：因?yàn)闄E圓的方程，
所以，即，
所以右焦點(diǎn)為，
因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的方程為，
所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，，
所以，即，
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，
所以直線(xiàn)的方程為，
所以，
過(guò)點(diǎn)，分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，，
取的中點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，
由，
所以，
又為的中點(diǎn)，
所以，
所以，即為的中點(diǎn)，
設(shè)，則，，，
所以，
所以，
所以，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
代入拋物線(xiàn)的方程可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
所以，，
把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程：，
所以，即，
故選：．
過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是原點(diǎn)，若，則的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，
，
，代入拋物線(xiàn)方程可得，
，
直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立方程，解得或，
，
，
故選：．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)與交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于，兩點(diǎn)，且，則直線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，的中點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，過(guò)，作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，如圖：
由拋物線(xiàn)的定義知，
故，
所以，
即，
解得或（舍去），
故的橫坐標(biāo)為，
設(shè)直線(xiàn)，，，，，
將代入，
得，
則，
解得，
故直線(xiàn)的方程為．
故選：．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)與交于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于、兩點(diǎn)，且，則直線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，由題知，設(shè)中點(diǎn)為，作軸于點(diǎn)，過(guò)、作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為、，由拋物線(xiàn)定義及梯形中位線(xiàn)性質(zhì)知：，于是，由垂徑定理：，即，解得或，又，故，于是橫坐標(biāo)為：，設(shè)直線(xiàn)，代入有：，則，解得，故直線(xiàn)方程為：．
故選：．
在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)切于點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為　　
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：如圖，
拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，
由準(zhǔn)線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，
則，解得．
則拋物線(xiàn)方程為：，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立方程得，，
由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切得，
△，解得，即，
所以直線(xiàn)的方程為，即或．
故選：．
弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】解決直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題，同直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題類(lèi)似，要注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧. 另外，拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)工具等的應(yīng)用往往能簡(jiǎn)化運(yùn)算. 有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式. 涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解.
已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，恰為中點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）當(dāng)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)時(shí)，求的面積．
【解答】解：（1）當(dāng)斜率為1時(shí)，
可得直線(xiàn)的方程為，
此時(shí)直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
不妨設(shè)，
則為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，
所以，
解得；
（2）由（1）可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，
當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，
直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
不妨設(shè)，，，，
由韋達(dá)定理得，，
則的面積．
已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為．
（1）求的方程；
（2）若直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）依題意可設(shè)的方程為，
則，解得．
所以的方程為；
（2）將代入，得，
則△，，，
因?yàn)檫^(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，
所以．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為．
（1）求的方程；
（2）直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，求證為定值．
【解答】解：（1）由題得，
當(dāng)點(diǎn)，，，四點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)，在，中間時(shí)，取得最小值，
最小值為，
又，解得，
所以的方程為；
證明：（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，顯然不適合題意，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，
聯(lián)立方程，消去得，
則△，，，
所以，又，
所以，
所以，解得或（舍去），
即，所以，
所以，
又，
所以，
即為定值0．
已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（位于對(duì)稱(chēng)軸異側(cè)），為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）求證：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)．
【解答】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，
所以，解得，
所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為．
（2）證明：因?yàn)椋挥趯?duì)稱(chēng)軸異側(cè)，所以不與對(duì)稱(chēng)軸平行，
設(shè)直線(xiàn)的方程為， ，且，
聯(lián)立，消去可得，
所以△，且，，即，
所以，
由，得，即，解得或，
故直線(xiàn)的方程為，
所以直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，得證．
已知拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，且的面積為8，求直線(xiàn)的方程．
【解答】解：（1）由拋物線(xiàn)的定義可得：，解得，
所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為；
（2）由題意可設(shè)直線(xiàn)方程為，，，，，
由，得，
所以△，，，
因?yàn)椋?br/>所以，得，故直線(xiàn)的方程為：．
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）點(diǎn)，直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)分別為，；探究直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)：如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1），
當(dāng)軸時(shí)，，
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得，解得，
拋物線(xiàn)的方程：；
（2）設(shè)，，，，
直線(xiàn)方程為：即，
直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
，
同理，直線(xiàn)，即，
直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，同理可得，
，，
直線(xiàn)的方程為：，
，
當(dāng)時(shí)，，
直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．
已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，、為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不垂直于軸，為焦點(diǎn)，且．
（1）求的值，并證明的垂直平分線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；
（2）設(shè)（1）中的定點(diǎn)為，求面積是否有最大值，若有，求出其最大值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，
所以，解得，
所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，，
由，得，
△，
，，
因?yàn)椋裕?br/>所以，①
設(shè)的中點(diǎn)為，，
所以，，
所以的垂直平分線(xiàn)方程為，②
聯(lián)立①②，可得，
所以的垂直平分線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．
（2），
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
所以
，
，
令，則，，
，
解得：（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值為，
所以面積最大值為．專(zhuān)題8.6 拋物線(xiàn)
目錄
題型一： 拋物線(xiàn)的定義 4
題型二： 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 5
題型三： 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦 7
題型四： 最值問(wèn)題 8
題型五： 拋物線(xiàn)與直線(xiàn)方程 9
題型六： 弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題 11
拋物線(xiàn)的定義
我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn). 點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).
拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
圖形
開(kāi)口 向右 向左 向上 向下
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線(xiàn) x＝－ x＝ y＝－ y＝
簡(jiǎn)單 幾何 性質(zhì) 范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R
對(duì)稱(chēng) 軸 x軸 y軸
頂點(diǎn) 原點(diǎn)O(0,0)
離心率 e＝1
【常用結(jié)論與知識(shí)拓展】
1．拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)
直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，交拋物線(xiàn)于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則有：
(1)通徑的長(zhǎng)為2p.
(2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：|AB|＝x1＋x2＋p(|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋).
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(4)以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切.
(5)若α為弦AB的傾斜角，則|AF|＝，|BF|＝；|AB|＝.
(6)＋＝；以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.
2．拋物線(xiàn)中的最值
P為拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上的任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則有：|PF|≥；焦點(diǎn)弦AB以通徑(2p)為最小值；A(m，n)為一定點(diǎn)，則|PA|＋|PF|有最小值.
3．拋物線(xiàn)的切線(xiàn)
已知拋物線(xiàn)C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)l1，l2，l1∩l2＝P.則有：(1)l1⊥l2；(2)P在定直線(xiàn)x＝－上；(3)PF⊥AB．
4．拋物線(xiàn)中的焦點(diǎn)三角形
如右圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l：y＝kx－(其中k為直線(xiàn)l的斜率)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，那么焦點(diǎn)三角形OAB的面積可以表示為S△OAB＝(若拋物線(xiàn)方程為x2＝2py(p>0)，直線(xiàn)l：y＝kx＋，則S△OAB＝)．
拋物線(xiàn)的定義
【要點(diǎn)講解】以?huà)佄锞€(xiàn)為背景的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題求解策略：借助題目給出的“幾何特征”判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的“幾何條件”，根據(jù)拋物線(xiàn)定義即可得出結(jié)果．與拋物線(xiàn)上一點(diǎn)有關(guān)的距離的最值問(wèn)題，往往根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，將到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線(xiàn)距離相互轉(zhuǎn)化，再根據(jù)“共線(xiàn)”的幾何特征進(jìn)行求解．
若點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離大1，則點(diǎn)的軌跡方程為　　
A． B． C． D．
已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離為3，則　　　　　　．
動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是　　
A．橢圓 B．雙曲線(xiàn) C．雙曲線(xiàn)的一支 D．拋物線(xiàn)
設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則　　　　　　．
已知曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離相等．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）若曲線(xiàn)上有兩個(gè)定點(diǎn)、分別在其對(duì)稱(chēng)軸的上、下兩側(cè)，且，，求原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．
拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程
【要點(diǎn)講解】求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
準(zhǔn)線(xiàn)方程為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B． C． D．
焦點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　
A． B． C． D．
若拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B． C． D．
以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，焦點(diǎn)在直線(xiàn)上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A．或 B．或
C．或 D．或
中國(guó)古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人民的非凡智慧．一個(gè)拋物線(xiàn)型拱橋，當(dāng)水面離拱頂時(shí)，水面寬．若水面下降，則水面寬度為　　
A． B． C． D．12
已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，且過(guò)點(diǎn)，則此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 　　　　　　　．
過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 　　　　　　．
經(jīng)過(guò)點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程．
分別求適合下列條件的方程：
（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為4的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）求準(zhǔn)線(xiàn)為的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，漸近線(xiàn)為，且實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程．
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦
【要點(diǎn)講解】在解決拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形(特征“直角梯形”)的形象、直觀(guān)的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)的問(wèn)題更是如此．
若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則的值為　　
A． B． C．1 D．2
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為　　
A．4 B．2 C． D．
已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為　　
A．12 B．16 C．18 D．19
已知為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)是的焦點(diǎn)）的距離之比為，則的最小值是　　
A． B． C． D．4
設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的圓與直線(xiàn)相切，圓與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則　　
A．2或 B．2或4 C．或 D．2或
直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則到直線(xiàn)的距離為　　
A． B． C． D．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，若，則　　
A． B． C． D．
最值問(wèn)題
拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，，則的最小值為 　　　　　　　．
已知點(diǎn)及拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為　　　　　　　．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上，圓的半徑為1，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，則的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為　　
A．0 B．4 C．5 D．6
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若點(diǎn)為拋物線(xiàn)任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 　　　　　　　．
已知為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是　　
A．2 B． C． D．
已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，，點(diǎn)，則的最小值是　　
A．10 B．8 C．5 D．4
拋物線(xiàn)與直線(xiàn)方程
【要點(diǎn)講解】對(duì)于開(kāi)口向上或向下的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，常常借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線(xiàn)方程，則根據(jù)韋達(dá)定理等解決問(wèn)題，常用的解題策略有“變量代換”，“同構(gòu)法確定直線(xiàn)”等．所謂“同構(gòu)法確定直線(xiàn)”即若A(x1，y1)，B(x2，y2)分別滿(mǎn)足x1－2y1＋2＝0，x2－2y2＋2＝0，則直線(xiàn)AB的方程為x－2y＋2＝0.
已知點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn)　　
A． B．， C． D．
已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，若，則的面積為　　
A． B． C． D．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．斜率為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與的交點(diǎn)為，．若，則直線(xiàn)的斜率為　　
A．1 B． C． D．
過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是原點(diǎn)，若，則的面積為　　
A． B． C． D．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)與交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于，兩點(diǎn)，且，則直線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)與交于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于、兩點(diǎn)，且，則直線(xiàn)的方程為　　
A． B． C． D．
在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)切于點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為　　
A． B．
C．或 D．或
弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題
【要點(diǎn)講解】解決直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題，同直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題類(lèi)似，要注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧. 另外，拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)工具等的應(yīng)用往往能簡(jiǎn)化運(yùn)算. 有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式. 涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解.
已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，恰為中點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）當(dāng)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)時(shí)，求的面積．
已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為．
（1）求的方程；
（2）若直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為．
（1）求的方程；
（2）直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，求證為定值．
已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（位于對(duì)稱(chēng)軸異側(cè)），為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）求證：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)．
已知拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，且的面積為8，求直線(xiàn)的方程．
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）點(diǎn)，直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)分別為，；探究直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)：如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，、為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不垂直于軸，為焦點(diǎn)，且．
（1）求的值，并證明的垂直平分線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；
（2）設(shè)（1）中的定點(diǎn)為，求面積是否有最大值，若有，求出其最大值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

展開(kāi)更多......

收起↑