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專題7.1 基本立體圖形
目錄
題型一： 空間幾何體的結構特征 5
題型二： 直觀圖的斜二測畫法 6
題型三： 最短路徑問題 8
題型四： 求幾何體的表面積 10
題型五： 求幾何體的體積 14
題型六： 球的表面積和體積 19
題型七： 截面問題 22
棱柱、棱錐、棱臺
棱柱 棱錐 棱臺
圖 形
定 義 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分的多面體
結 構 特 征 底面互相平行且全等；側面都是平行四邊形；側棱都相等且互相平行 底面是一個多邊形；側面都是三角形；側面有一個公共頂點 上、下底面互相平行且相似；各側棱延長線交于一點；各側面為梯形
圓柱、圓錐、圓臺、球
圓柱 圓錐 圓臺 球
圖 形
定 義 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體 以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周所形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體
結 構 特 征 ①母線互相平行且相等，并垂直于底面； ②軸截面是全等的矩形； ③側面展開圖是矩形 ①母線相交于一點； ②軸截面是全等的等腰三角形； ③側面展開圖是扇形 ①母線延長線交于一點； ②軸截面是全等的等腰梯形； ③側面展開圖是扇環 截面是圓面
簡單組合體：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫簡單組合體. 其構成形式主要有：由簡單幾何體拼接而成，或由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.
立體圖形的直觀圖
(1)概念：直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形，立體幾何中通常是在平行投影下得到的平面圖形.
(2)斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟：
①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O. 畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.
②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段.
③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半．
畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長度都不變.
簡單幾何體的表面積與體積
(1)圓柱、圓錐、圓臺的側面積
圓柱 圓錐 圓臺
側面展 開圖
側面積 公式 S圓柱側 ＝2πrl S圓錐側 ＝πrl S圓臺側 ＝π(r＋r′)l
其中r，r′為底面半徑，l為母線長.
(2)柱、錐、臺、球的表面積和體積
幾何體 表面積 體積(S是底面積， h是高)
柱體(棱柱 和圓柱) S表面積＝S側 ＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐 和圓錐) S表面積＝S側 ＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺 和圓臺) S表面積＝S側＋ S上＋S下 V＝(S上＋ S下＋)h
球(R是 半徑) S表面積＝4πR2 V＝πR3
常見四棱柱及其關系
空間幾何體的結構特征
【要點講解】解決此類問題的基本方法：①定義法：緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定；②反例法：學會通過反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，設法舉出一個反例即可.
下列說法正確的是　　
A．棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐
D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體
【解答】解：選項，例如六棱柱的相對側面也互相平行，故錯誤；
選項，其余各面的邊延長后不一定交于一點，故錯誤；
選項，當棱錐的各個側面共頂點的角的角度之和是時，
各側面構成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故錯誤；
選項，若每個側面都是長方形，則說明側棱與底面垂直，
又底面也是長方形，符合長方體的定義，故正確．
故選：．
下列命題正確的是　　
A．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
C．四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面
D．棱臺的側棱延長后交于一點，側面是等腰梯形
【解答】解：對于，棱柱的側棱都相等，但側面不一定是全等的平行四邊形，錯誤；
對于，用一個平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺，錯誤；
對于，四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面，正確；
對于，棱臺的側棱延長后交于一點，但側面不一定是等腰梯形，錯誤．
故選：．
下列說法正確的是　　
A．直四棱柱是長方體
B．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
C．正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體
D．臺體是由一個平面截錐體所得的截面與底面之間的部分
【解答】解：對于，當直四棱柱的底面不是矩形時，直四棱柱不是長方體，錯誤；
對于，不符合棱柱的結構特征，如下面是一個正三棱柱，上面是一個以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱，錯誤；
對于，正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體，正確；
對于，不符合臺體的結構特征，截面應該跟底面平行，錯誤．
故選：．
直觀圖的斜二測畫法
【要點講解】在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．
水平放置的的直觀圖如圖所示，是△中邊的中點，且平行于軸，則，，對應于原中的線段，，，對于這三條線段，正確的判斷是　　
A．最短的是 B．最短的是 C． D．
【解答】解：因為平行于軸，所以在中，，
又因為是△中邊的中點，
所以是的中點，
所以．
故選：．
如圖，邊長為2的正方形是用斜二測畫法得到的四邊形的直觀圖，則四邊形的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為直觀圖的面積為，
所以原四邊形的面積為．
故選：．
一個水平放置的平面圖形用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角△，其中，則平面圖形的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，在直觀圖等腰直角△，其中，則，
故其面積，
故原圖平面圖形的面積．
故選：．
如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為的等腰梯形，已知直觀圖中，，則該平面圖形的面積為　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：因為直觀圖是底角為的等腰梯形，且，，
所以等腰梯形的高為，
所以等腰梯形的面積為，
所以原平面圖形的面積為．
故選：．
最短路徑問題
在一個長方體中，已知，，，則從點沿表面到點的最短路程為　　
A． B． C． D．15
【解答】解：將長方體展開共三種情況如下：
（1），
（2），
（3），
所以從點沿表面到點的最短路程為．
故選：．
如圖，某圓柱體的高為1，是該圓柱體的軸截面．已知從點出發沿著圓柱體的側面到點的路徑中，最短路徑的長度為2，則該圓柱體的底面周長為 　2　．
【解答】解：設圓柱體底面圓的半徑為，將側面的一半展開后得四邊形為矩形，矩形的對角線是點到點的最短距離，
依題意得：，
所以，解得，
所以該圓柱體的底面周長為．
故答案為：2．
如圖，在直角梯形中，，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周所形成的面圍成一個幾何體．
（1）求該幾何體的表面積；
（2）一只螞蟻在形成的幾何體上從點繞著幾何體的側面爬行一周回到點，求螞蟻爬行的最短距離．
【解答】解：（1）根據題意，旋轉后的幾何體為上底半徑為1，下底半徑為2，母線為3的圓臺，
其側面展開圖如圖：
其變面積，
（2）根據題意，在圓臺的側面展開圖中，，則，
設，則有，則，
螞蟻爬行的最短距離即，而，
故螞蟻爬行的最短距離為．
求幾何體的表面積
【要點講解】求解多面體的表面積，關鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關系，通過建立未知量與已知量間的關系進行求解； 求空間幾何體體積的常用方法為公式法、割補法和等積變換法(等體積法)．①割補法：將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出柱體和錐體的體積，從而得出要求的幾何體的體積. ②等積變換法：特別地，對于三棱錐，由于其任意一個面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計算的方式來求體積；利用“等積性”還可求“點到面的距離”．
已知圓錐的底面半徑為3，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設圓錐的母線長為，
因為圓錐的底面半徑為3，其側面展開圖為一個半圓，
所以，得，
所以圓錐的側面積為，
故選：．
一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1，4，母線長為5，則該圓臺的側面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設圓臺的上、下底面的半徑為，，母線長為，
所以，，，
．
故選：．
在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑biēnào．已知在鱉臑中，面，，則該鱉臑的表面積為 　　．
【解答】解：根據題意，已知在鱉臑中，面，，
如圖所示：
在中，，則，
在中，，有，則，
在中，，，則，
在中，，，，
故該鱉臑的表面積．
故答案為：．
如圖為某工廠內一手電筒最初模型的組合體，該組合體是由一圓臺和一圓柱組成的，其中為圓臺下底面圓心，，分別為圓柱上下底面的圓心，經實驗測量得到圓柱上下底面圓的半徑為，，，圓臺下底面圓半徑為，則該組合體的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，圓柱上下底面圓的半徑為，，，
則圓柱的上底面面積為，圓柱的側面面積為；
又由圓臺下底面圓半徑為，則圓臺的下底面面積為，
圓臺的母線長為，
所以圓臺的側面面積為，
故該組合體的表面積為．
故選：．
南高學生到南充內燃機廠勞動實踐，利用打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點，，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為　　
A．86.4 B．172.8 C．864 D．950.4
【解答】解：由題意可得，
又棱錐的高為，
所以，
又長方體的體積，
所以該模型體積，
故該模型所需原料的質量為．
故選：．
求幾何體的體積
【要點講解】求旋轉體的表面積問題應注意其側面展開圖的應用. 求旋轉體體積的一般思路是理解旋轉體的幾何特征，確定得到計算體積所需要的幾何量，求旋轉體的體積常用公式法、分割法等，注意相關公式要牢記.
圓錐的高為2，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，設圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，
則，
所以，，
所以圓錐的體積為．
故選：．
一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和，將該三角形分別繞其兩條直角邊所在直線旋轉一周得到兩個圓錐，則這兩個圓錐的體積的比值為　　
A．1 B． C．3 D．
【解答】解：根據題意，分2種情況討論：
若繞邊長為1的直角邊旋轉得到圓錐，其底面的半徑，高，
所以圓錐的體積；
若繞邊長為的直角邊旋轉得到圓錐，其底面的半徑，高，
所以圓錐的體積；
所以．
故選：．
已知三棱柱的體積為12，則三棱錐的體積為　　
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：三棱錐與三棱柱等底等高，
則三棱錐的體積是三棱柱體積的，
即三棱錐的體積為4．
故選：．
已知一個圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為．在該圓錐內有一個正方體，其下底面的四個頂點在圓錐的底面內，上底面的四個頂點在圓錐的側面上，則該正方體的棱長為　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：因為圓錐的高與其底面圓的半徑相等，設圓錐的高為，底面圓的半徑為，則，
又因為圓錐的體積為，可得，解得，則，
設圓錐的頂點為，底面圓心為，則高為，與正方體的上底面交點為，
在該圓錐內有一個正方體，其下底面的四個頂點在圓錐的底面內，
上底面的四個頂點在圓錐的側面上，取其軸截面，如圖，
設正方體的棱長為，可得，
由△，可得，即，
解得，
所以該正方體的棱長為．
故選：．
如圖，一個三棱錐中，，，分別為棱，，上的點，且，則三棱錐的體積與三棱錐的體積之比　　
A． B． C． D．
【解答】解：作，交于點，
，又，
，可得點，到平面的距離相等，
．
由題意，小三棱錐與大三棱錐相似，相似比為，則體積比為，
設，則，，
．
故選：．
隨著北京中軸線申遺工作的進行，古建筑備受關注．故宮不僅是世界上現存規模最大、保存最為完整的木質結構古建筑之一，更是北京中軸線的“中心”．圖1是古建筑之首的太和殿，它的重檐廡殿頂可近似看作圖2所示的幾何體，其中底面是矩形，，，四邊形、是兩個全等的等腰梯形，、是兩個全等的等腰三角形．若，，，則該幾何體的體積為　　
A．90 B． C． D．135
【解答】解：過點作，，
又，，平面，
所以平面，
過點作，，
又，，平面，
所以平面，
因為底面，平面，平面平面，
所以，同理，
所以，，，，
平面，平面，
又平面，平面，
所以，，
因為，，，與是全等的等腰三角形，
由對稱性可得，，
所以，
連接點與的中點，
則，
所以，
又，
所以，
因為平面，平面，
所以，
又，，平面，，
所以平面，
又，
所以，
所以五面體的體積為．
故選：．
在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為　　
A． B． C． D．
【解答】解：在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，
所以，
設到平面的距離，到平面的距離，則，
則三棱錐的體積為．
故三棱錐和三棱錐的體積之比為．
故選：．
球的表面積和體積
【要點講解】解決球的表面積、體積問題，關鍵是抓住“半徑”，半徑確定之后，根據相應公式計算即可．
棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上，
該球面的半徑，
該球面的表面積為．
故選：．
正四棱錐的高為3，體積為32，則其外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，設正四棱錐底面的中心為，
正四棱錐的高為，又球心在正四棱錐的高上，
該正四棱錐的體積為，，，
設外接球的半徑為，則在直角三角形中，
，解得．
球的表面積．
故選：．
在三棱錐中，、、兩兩互相垂直，，，，則三棱錐外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示，因為，，兩兩互相垂直，故將三棱錐補成一個長方體，
由題意知球心為中點，所以外接球半徑，
因為，，，所以，
則，
所以球的表面積為．
故選：．
已知四棱錐的頂點都在球的球面上，底面是矩形，平面底面，為正三角形，，則球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令所在圓的圓心為，則圓的半徑，
因為平面底面，
所以，
則球的半徑，
所以球的表面積．
故選：．
圓臺的內切球的表面積與圓臺的側面積之比為，則圓臺母線與底面所成角的正切值為　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：根據題意，設圓臺的上底半徑為，下底半徑為，其內切球的半徑為，
該圓臺和其內切球的軸截面如圖：作，交于點，作，交于點，
分析可得，，則圓臺的母線為，
在中，，，，
則有，變形可得，
故該圓臺的側面積，
內切球的表面積，
又由圓臺的內切球的表面積與圓臺的側面積之比為，則有，
變形可得，即，
設圓臺母線與底面所成角為，則．
故選：．
已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的體積為，則　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：設球的半徑為，則根據題意可得：
，
由，
外接圓半徑，
如圖，根據線面垂直模型知：．
故選：．
截面問題
用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：截面面積為截面圓半徑為1，又與球心距離為球的半徑是，
所以根據球的體積公式知，
故選：．
已知圓錐的底面半徑為，軸截面的面積為，則該圓錐的體積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，設圓錐的高為，
圓錐的軸截面為等腰三角形，其底邊長為，
則，解得，
故圓錐的體積為．
故選：．
如圖，在三棱柱中，過的截面與交于點，與交于點，都不與重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為三棱柱，
所以，面面，
又因為面面，面面，
所以，
顯然為三棱臺，
設，，
三棱柱的高為，
則，
所以三棱柱體積為，
三棱臺的體積為，
①三棱臺的體積占，
則，得，
解得或，均不符合題意；
②三棱臺的體積占，
則，得，
解得或，
因為，
所以．
故選：．
如圖：正方體的棱長為2，為的中點，過點作正方體截面使其與平面平行，則該截面的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，取，中點，，連接，，，，
如圖：
四邊形為平行四邊形，，
四邊形為平行四邊形，，
即為過點長方體截面，
證明如下：
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又，平面平面，
則截面的面積．
故選：．
已知正方體的棱長為2，點為線段的中點，若點平面，且平面，則平面截正方體所得截面的周長為　　
A． B． C． D．
【解答】解：記，的中點分別為，，連接，，，，，
由正方體性質可知，平面，
因為平面，所以，
又為正方形，所以，
因為，，平面，
所以平面，
因為平面，所以
因為，分別為，的中點，所以，所以，
同理可證，，
又，，平面，
所以平面，
所以三角形即為平面截正方體所得截面，
易知三角形為正三角形，，
所以截面周長為．
故選：．專題7.1 基本立體圖形
目錄
題型一： 空間幾何體的結構特征 5
題型二： 直觀圖的斜二測畫法 6
題型三： 最短路徑問題 7
題型四： 求幾何體的表面積 8
題型五： 求幾何體的體積 10
題型六： 球的表面積和體積 12
題型七： 截面問題 13
棱柱、棱錐、棱臺
棱柱 棱錐 棱臺
圖 形
定 義 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分的多面體
結 構 特 征 底面互相平行且全等；側面都是平行四邊形；側棱都相等且互相平行 底面是一個多邊形；側面都是三角形；側面有一個公共頂點 上、下底面互相平行且相似；各側棱延長線交于一點；各側面為梯形
圓柱、圓錐、圓臺、球
圓柱 圓錐 圓臺 球
圖 形
定 義 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體 以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周所形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體
結 構 特 征 ①母線互相平行且相等，并垂直于底面； ②軸截面是全等的矩形； ③側面展開圖是矩形 ①母線相交于一點； ②軸截面是全等的等腰三角形； ③側面展開圖是扇形 ①母線延長線交于一點； ②軸截面是全等的等腰梯形； ③側面展開圖是扇環 截面是圓面
簡單組合體：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫簡單組合體. 其構成形式主要有：由簡單幾何體拼接而成，或由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.
立體圖形的直觀圖
(1)概念：直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形，立體幾何中通常是在平行投影下得到的平面圖形.
(2)斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟：
①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O. 畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.
②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段.
③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半．
畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長度都不變.
簡單幾何體的表面積與體積
(1)圓柱、圓錐、圓臺的側面積
圓柱 圓錐 圓臺
側面展 開圖
側面積 公式 S圓柱側 ＝2πrl S圓錐側 ＝πrl S圓臺側 ＝π(r＋r′)l
其中r，r′為底面半徑，l為母線長.
(2)柱、錐、臺、球的表面積和體積
幾何體 表面積 體積(S是底面積， h是高)
柱體(棱柱 和圓柱) S表面積＝S側 ＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐 和圓錐) S表面積＝S側 ＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺 和圓臺) S表面積＝S側＋ S上＋S下 V＝(S上＋ S下＋)h
球(R是 半徑) S表面積＝4πR2 V＝πR3
常見四棱柱及其關系
空間幾何體的結構特征
【要點講解】解決此類問題的基本方法：①定義法：緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定；②反例法：學會通過反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，設法舉出一個反例即可.
下列說法正確的是　　
A．棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐
D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體
下列命題正確的是　　
A．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
C．四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面
D．棱臺的側棱延長后交于一點，側面是等腰梯形
下列說法正確的是　　
A．直四棱柱是長方體
B．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
C．正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體
D．臺體是由一個平面截錐體所得的截面與底面之間的部分
直觀圖的斜二測畫法
【要點講解】在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．
水平放置的的直觀圖如圖所示，是△中邊的中點，且平行于軸，則，，對應于原中的線段，，，對于這三條線段，正確的判斷是　　
A．最短的是 B．最短的是 C． D．
如圖，邊長為2的正方形是用斜二測畫法得到的四邊形的直觀圖，則四邊形的面積為　　
A． B． C． D．
一個水平放置的平面圖形用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角△，其中，則平面圖形的面積為　　
A． B． C． D．
如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為的等腰梯形，已知直觀圖中，，則該平面圖形的面積為　　
A． B．2 C． D．
最短路徑問題
在一個長方體中，已知，，，則從點沿表面到點的最短路程為　　
A． B． C． D．15
如圖，某圓柱體的高為1，是該圓柱體的軸截面．已知從點出發沿著圓柱體的側面到點的路徑中，最短路徑的長度為2，則該圓柱體的底面周長為 　 　．
如圖，在直角梯形中，，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周所形成的面圍成一個幾何體．
（1）求該幾何體的表面積；
（2）一只螞蟻在形成的幾何體上從點繞著幾何體的側面爬行一周回到點，求螞蟻爬行的最短距離．
求幾何體的表面積
【要點講解】求解多面體的表面積，關鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關系，通過建立未知量與已知量間的關系進行求解； 求空間幾何體體積的常用方法為公式法、割補法和等積變換法(等體積法)．①割補法：將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出柱體和錐體的體積，從而得出要求的幾何體的體積. ②等積變換法：特別地，對于三棱錐，由于其任意一個面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計算的方式來求體積；利用“等積性”還可求“點到面的距離”．
已知圓錐的底面半徑為3，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側面積為　　
A． B． C． D．
一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1，4，母線長為5，則該圓臺的側面積為　　
A． B． C． D．
在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑biēnào．已知在鱉臑中，面，，則該鱉臑的表面積為 　 　　．
如圖為某工廠內一手電筒最初模型的組合體，該組合體是由一圓臺和一圓柱組成的，其中為圓臺下底面圓心，，分別為圓柱上下底面的圓心，經實驗測量得到圓柱上下底面圓的半徑為，，，圓臺下底面圓半徑為，則該組合體的表面積為　　
A． B． C． D．
南高學生到南充內燃機廠勞動實踐，利用打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點，，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為　　
A．86.4 B．172.8 C．864 D．950.4
求幾何體的體積
【要點講解】求旋轉體的表面積問題應注意其側面展開圖的應用. 求旋轉體體積的一般思路是理解旋轉體的幾何特征，確定得到計算體積所需要的幾何量，求旋轉體的體積常用公式法、分割法等，注意相關公式要牢記.
圓錐的高為2，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為　　
A． B． C． D．
一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和，將該三角形分別繞其兩條直角邊所在直線旋轉一周得到兩個圓錐，則這兩個圓錐的體積的比值為　　
A．1 B． C．3 D．
已知三棱柱的體積為12，則三棱錐的體積為　　
A．3 B．4 C．6 D．8
已知一個圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為．在該圓錐內有一個正方體，其下底面的四個頂點在圓錐的底面內，上底面的四個頂點在圓錐的側面上，則該正方體的棱長為　　
A． B．1 C． D．
如圖，一個三棱錐中，，，分別為棱，，上的點，且，則三棱錐的體積與三棱錐的體積之比　　
A． B． C． D．
隨著北京中軸線申遺工作的進行，古建筑備受關注．故宮不僅是世界上現存規模最大、保存最為完整的木質結構古建筑之一，更是北京中軸線的“中心”．圖1是古建筑之首的太和殿，它的重檐廡殿頂可近似看作圖2所示的幾何體，其中底面是矩形，，，四邊形、是兩個全等的等腰梯形，、是兩個全等的等腰三角形．若，，，則該幾何體的體積為　　
A．90 B． C． D．135
在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為　　
A． B． C． D．
球的表面積和體積
【要點講解】解決球的表面積、體積問題，關鍵是抓住“半徑”，半徑確定之后，根據相應公式計算即可．
棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為　　
A． B． C． D．
正四棱錐的高為3，體積為32，則其外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
在三棱錐中，、、兩兩互相垂直，，，，則三棱錐外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
已知四棱錐的頂點都在球的球面上，底面是矩形，平面底面，為正三角形，，則球的表面積為　　
A． B． C． D．
圓臺的內切球的表面積與圓臺的側面積之比為，則圓臺母線與底面所成角的正切值為　　
A． B．1 C． D．
已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的體積為，則　　
A．1 B． C． D．2
截面問題
用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為　　
A． B． C． D．
已知圓錐的底面半徑為，軸截面的面積為，則該圓錐的體積為　　
A． B． C． D．
如圖，在三棱柱中，過的截面與交于點，與交于點，都不與重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則　　
A． B． C． D．
如圖：正方體的棱長為2，為的中點，過點作正方體截面使其與平面平行，則該截面的面積為　　
A． B． C． D．
已知正方體的棱長為2，點為線段的中點，若點平面，且平面，則平面截正方體所得截面的周長為　　
A． B． C． D．專題7.2 空間點、直線、平面之間的位置關系
目錄
題型一： 位置關系的判定 4
題型二： 共點、共線、共面的證明 7
題型三： 異面直線所成角 10
題型四： 綜合運用 17
平面的基本事實及推論
(1)基本事實
基本 事實 文字語言 圖形語言 符號語言 作用
基本 事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 確定平面；判定點線共面
基本 事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 確定直線在平面內；判定點在平面內
基本 事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l 判定兩平面相交；判定點在直線上
(2)基本事實1與2的推論
推論 文字語言 圖形語言 符號語言
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 A l 有且只有一個平面α，使A∈α，l α
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面 a∩b＝P 有且只有一個平面α，使a α，b α
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面 a∥b 有且只有一個平面α，使a α，b α
空間點、直線、平面之間的位置關系
(1)空間中直線與直線的位置關系
位置關系 共面情況 公共點個數
共面 直線 相交直線 在同一個平面內 1
平行直線 在同一個平面內 0
異面直線 不同在任何一個平面內 0
(2)空間中直線與平面的位置關系
位置 關系 直線在 平面內 直線與 平面相交 直線與 平面平行
公共點個數 無數個 1 0
圖形表示
當直線與平面相交或平行時，直線不在平面內，也稱為直線在平面外．
(3)空間中平面與平面的位置關系
位置關系 兩個平面相交 兩個平面平行
公共點個數 無數個 (有一條公共直線) 0
符號表示 α∩β＝a α∥β
圖形表示
常用唯一性結論
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.
異面直線
(1)定義：把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．
(2)判定方法：
①與一個平面相交的直線和這個平面內不經過交點的直線是異面直線．
②分別在兩個平行平面內的直線平行或異面．
(3)異面直線所成角：如圖，已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). 異面直線所成角的范圍是(0°，90°]．
位置關系的判定
【要點講解】結合平面的基本事實及其相關推論進行判斷，必要時畫出圖形分析.
設、、、為空間中的四個不同點，則“、、、在同一個平面上”是“、、、中有三點在同一直線上”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：由推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面，
可得若、、、中有三點在同一直線上，則、、、在同一個平面上，則必要性成立，
由推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面，則若、、、在同一個平面上，
不能得到、、、中有三點在同一直線上，則充分性不成立，
故“、、、在同一個平面上”是“、、、中有三點在同一直線上”必要不充分條件．
故選：．
下列說法中正確的是　　
A．三點確定一個平面
B．四邊形一定是平面圖形
C．梯形一定是平面圖形
D．兩個互異平面和有三個不共線的交點
【解答】解：中，不在同一直線上的三點確定一個平面，所以不正確；
中，四邊形有可能是空間幾何體，即三棱錐，所以不正確；
中，因為梯形的兩底平行，兩條平行線確定一個平面，所以梯形是平面圖形，所以正確；
中，兩個互異平面和有交點，則交點在同一條直線上，所以不正確．
故選：．
空間不重合的三個平面可以把空間分成　　
A．4或6或7個部分 B．4或6或7或8個部分
C．4或7或8個部分 D．6或7或8個部分
【解答】解：空間不重合的三個平面，
若三個平面互相平行，則可將空間分為4部分；
若三個平面有兩個平面平行，則第三個平面與其它兩個平面相交，可將空間分為6部分；
若三個平面交于一線，則可將空間分為6部分；
若三個平面兩兩相交且三條交線平行（聯想三棱柱三個側面的關系），則可將空間分為7部分；
若三個平面兩兩相交且三條交線交于一點（聯想墻角三個墻面的關系），則可將空間分為8部分．
所以空間不重合的三個平面可以把空間分成4或6或7或8個部分．
故選：．
在正方體中，點是棱的中點，點是平面內的一點，且，則點為　　
A．一個定點 B．一個平面上任意一點
C．一條直線上任意一點 D．一個圓上任意一點
【解答】解：在正方體中，因為，
所以點在過點且與垂直的一個平面內，
即為平面的一個法向量，
又平面的法向量為，且與不平行，
所以平面與平面一定相交于直線，
所以點在直線上運動．
故選：．
共點、共線、共面的證明
【要點講解】(1)證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用基本事實或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內即可；(2)要證明點共線問題，關鍵是轉化為證明點在直線上，也就是利用基本事實3，即證點在兩個平面的交線上，本題即采用這種證法；或者選擇其中兩點確定一直線，然后證明另一點也在直線上；(3)證明空間三線共點問題，先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過這點，把問題轉化為證明點在直線上.
在四棱柱中，，，，．
（1）當時，試用表示；
（2）證明：，，，四點共面；
（3）判斷直線能否是平面和平面的交線，并說明理由．
【解答】解：（1）由三角形相似及幾何關系，得；
（2）證明：由三角形相似原理可得，，，，所以，四邊形與四邊形相似，所以，，，四點共面；
（3）可以，
理由如下：若四棱柱為正四棱柱，則與平行且相等，
所以四邊形是平行四邊形，平面與平面重合，
又與平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，平面與平面重合，
此時即為平面和平面的交線．
如圖，在正方體，對角線與平面交于點．、交于點、為的中點，為的中點，
求證：（1）、、三點共線
（2）、、、四點共面
（3）、、三線共點．
【解答】證明：（1）平面，，平面；
又平面，平面；
、交于點，，；
又平面，平面，
平面，平面；
又平面，平面；
、、三點在平面與平面的交線上，
、、三點共線；
（2）為的中點，為的中點，
，
又，，
四邊形是平行四邊形，
；
，
、、、四點共面；
（3）平面平面，
設與交于一點，則：
，平面，
平面；
同理，平面，
平面平面，
直線、、三線交于一點，
即三線共點．
如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且，求證：
（1），，，四點共面；
（2）與的交點在直線上．
【解答】證明：（1），
，
，分別為，的中點，，
，
，，，四點共面．
（2）、不是、的中點，
，且，
與必相交，設交點為，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，
，
與的交點在直線上．
異面直線所成角
【要點講解】求異面直線所成的角的三個步驟
一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
直線與直線相交，直線也與直線相交，則直線與直線的位置關系是　　
A．相交 B．平行 C．異面 D．以上都有可能
【解答】解：根據題意，直線與相交，與相交，
直線與直線可能相交、平行、異面，
故選：．
在長方體中，已知，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，0，，，1，，，0，，，2，，
所以，1，，，2，，
所以，，
因為異面直線夾角的取值范圍為，，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
故選：．
已知平面平面，直線，直線，則與的位置關系是　　
A．平行 B．平行或異面 C．異面 D．異面或相交
【解答】解：因為平面平面，直線，直線，
所以與沒有交點，即與可能平行，也可能異面．
故選：．
塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱．如圖，在塹堵中，，若，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，1，，，0，，，0，，，1，，
所以，1，，，，，
所以，，
因為異面直線夾角的取值范圍為，，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
故選：．
如圖在棱長為2的正方體中，點是的中點，那么異面直線和所成的角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：建立空間直角坐標系，如圖所示；
，0，，，0，，，0，，，2，，，0，；
，0，，，2，，，
，；
所以，；
所以異面直線和所成角的余弦值為．
故選：．
在正方體中，，分別是棱，的中點，則直線和所成角的余弦值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，以點為原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則：
，0，，，1，，，2，，，0，，
，
，
直線和所成角的余弦值是．
故選：．
在正四面體中，棱長為2，且是棱中點，則異面直線與夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，取的中點，連接，，
因為是棱中點，
所以，故或其補角為異面直線與夾角，
又正四面體棱長為2，故，
，
故異面直線與夾角的余弦值為．
故選：．
已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示，把三棱柱補成四棱柱，由題意得，
易知該四棱柱為長方體，，異面直線與所成角為（或其補角），
，
．
故選：．
如圖，已知正方形所在平面與正方形所在平面構成二面角的平面角為，且異面直線與所成角為，則　　
A．2 B． C．0 D．
【解答】解：根據題意可知，即為平面與平面構成二面角的平面角，
所以，
設正方形邊長為1，異面直線與所成的角為，
故或，
又，
所以，
即
所以，
所以，所以或2（舍去）．
故選：．
如圖，，分別是二面角的兩個半平面內兩點，，，，，若，則異面直線，的夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：在中，由余弦定理得：
，
，
在中，由余弦定理得：
，
，
，．
故選：．
綜合運用
如圖，在正方體中，，分別是和的中點．
（1）求證：，，，四點共面；
（2）求異面直線且所成的角．
【解答】解：（1）證明：連接，
因為，分別是和的中點，
所以且，
又因為且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
所以，
所以與確定一個平面，
所以，，，，
即，，，四點共面；
（2）連結，，
在正方體中，平行且等于，
所以四邊形為平行四邊形，可得，
因此（或其補角）是異面直線與所成的角，
設正方體的棱長為，則△中，
所以△是等邊三角形，可得，
即異面直線與所成的角等于．
如圖，直四棱柱的底面為直角梯形，，，，，，分別為棱，的中點．
（1）在圖中作出平面與該棱柱的截面圖形，并用陰影部分表示（不必寫出作圖過程）；
（2）為棱的中點，求異面直線與所成角的正弦值．
【解答】解：（1）取中點，連結，，則四邊形是平面與該棱柱的截面圖形．
（2）因為直四棱柱的底面為直角梯形，，，，，，分別為棱，的中點，
所以以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，0，，，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，
設異面直線與所成角為，
，
異面直線與所成角的正弦值為．
如圖，所有棱長均為2的斜三棱柱中，，，分別是，的中點．
（1）求四邊形的面積；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【解答】解：（1）令，，，
則，．
因為，，
所以，
所以，即，
所以四邊形 是邊長為2的正方形．
所以四邊形 的面積為4；
（2）如圖，連接，，由（1）易得，
所以，
因為，所以異面直線與所成的角，即直線與所成的角．
因為，所以
所以，
設直線與所成的角為．
則，
所以異面直線與所成角的余弦值為．專題7.2 空間點、直線、平面之間的位置關系
目錄
題型一： 位置關系的判定 4
題型二： 共點、共線、共面的證明 5
題型三： 異面直線所成角 7
題型四： 綜合運用 10
平面的基本事實及推論
(1)基本事實
基本 事實 文字語言 圖形語言 符號語言 作用
基本 事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 確定平面；判定點線共面
基本 事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 確定直線在平面內；判定點在平面內
基本 事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l 判定兩平面相交；判定點在直線上
(2)基本事實1與2的推論
推論 文字語言 圖形語言 符號語言
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 A l 有且只有一個平面α，使A∈α，l α
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面 a∩b＝P 有且只有一個平面α，使a α，b α
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面 a∥b 有且只有一個平面α，使a α，b α
空間點、直線、平面之間的位置關系
(1)空間中直線與直線的位置關系
位置關系 共面情況 公共點個數
共面 直線 相交直線 在同一個平面內 1
平行直線 在同一個平面內 0
異面直線 不同在任何一個平面內 0
(2)空間中直線與平面的位置關系
位置 關系 直線在 平面內 直線與 平面相交 直線與 平面平行
公共點個數 無數個 1 0
圖形表示
當直線與平面相交或平行時，直線不在平面內，也稱為直線在平面外．
(3)空間中平面與平面的位置關系
位置關系 兩個平面相交 兩個平面平行
公共點個數 無數個 (有一條公共直線) 0
符號表示 α∩β＝a α∥β
圖形表示
常用唯一性結論
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.
異面直線
(1)定義：把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．
(2)判定方法：
①與一個平面相交的直線和這個平面內不經過交點的直線是異面直線．
②分別在兩個平行平面內的直線平行或異面．
(3)異面直線所成角：如圖，已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). 異面直線所成角的范圍是(0°，90°]．
位置關系的判定
【要點講解】結合平面的基本事實及其相關推論進行判斷，必要時畫出圖形分析.
設、、、為空間中的四個不同點，則“、、、在同一個平面上”是“、、、中有三點在同一直線上”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
下列說法中正確的是　　
A．三點確定一個平面
B．四邊形一定是平面圖形
C．梯形一定是平面圖形
D．兩個互異平面和有三個不共線的交點
空間不重合的三個平面可以把空間分成　　
A．4或6或7個部分 B．4或6或7或8個部分
C．4或7或8個部分 D．6或7或8個部分
在正方體中，點是棱的中點，點是平面內的一點，且，則點為　　
A．一個定點 B．一個平面上任意一點
C．一條直線上任意一點 D．一個圓上任意一點
共點、共線、共面的證明
【要點講解】(1)證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用基本事實或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內即可；(2)要證明點共線問題，關鍵是轉化為證明點在直線上，也就是利用基本事實3，即證點在兩個平面的交線上，本題即采用這種證法；或者選擇其中兩點確定一直線，然后證明另一點也在直線上；(3)證明空間三線共點問題，先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過這點，把問題轉化為證明點在直線上.
在四棱柱中，，，，．
（1）當時，試用表示；
（2）證明：，，，四點共面；
（3）判斷直線能否是平面和平面的交線，并說明理由．
如圖，在正方體，對角線與平面交于點．、交于點、為的中點，為的中點，
求證：（1）、、三點共線
（2）、、、四點共面
（3）、、三線共點．
如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且，求證：
（1），，，四點共面；
（2）與的交點在直線上．
異面直線所成角
【要點講解】求異面直線所成的角的三個步驟
一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
直線與直線相交，直線也與直線相交，則直線與直線的位置關系是　　
A．相交 B．平行 C．異面 D．以上都有可能
在長方體中，已知，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
已知平面平面，直線，直線，則與的位置關系是　　
A．平行 B．平行或異面 C．異面 D．異面或相交
塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱．如圖，在塹堵中，，若，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
如圖在棱長為2的正方體中，點是的中點，那么異面直線和所成的角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
在正方體中，，分別是棱，的中點，則直線和所成角的余弦值是　　
A． B． C． D．
在正四面體中，棱長為2，且是棱中點，則異面直線與夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
如圖，已知正方形所在平面與正方形所在平面構成二面角的平面角為，且異面直線與所成角為，則　　
A．2 B． C．0 D．
如圖，，分別是二面角的兩個半平面內兩點，，，，，若，則異面直線，的夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
綜合運用
如圖，在正方體中，，分別是和的中點．
（1）求證：，，，四點共面；
（2）求異面直線且所成的角．
如圖，直四棱柱的底面為直角梯形，，，，，，分別為棱，的中點．
（1）在圖中作出平面與該棱柱的截面圖形，并用陰影部分表示（不必寫出作圖過程）；
（2）為棱的中點，求異面直線與所成角的正弦值．
如圖，所有棱長均為2的斜三棱柱中，，，分別是，的中點．
（1）求四邊形的面積；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．專題7.3 空間直線、平面的平行
目錄
題型一： 直線與平面平行的判定 3
題型二： 直線與平面平行的性質 13
題型三： 平面與平面平行的判定 16
題型四： 平面與平面平行的性質 20
題型五： 平行關系的綜合應用 25
直線與直線平行
(1)基本事實4
文字語言 平行于同一條直線的兩條直線平行
圖形語言
符號語言 a∥c
作用 基本事實4表明了平行線的傳遞性. 可用來證明兩直線平行
(2)等角定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
圖形語言
符號語言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
直線與平面平行
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 a∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行 a∥b
平面與平面平行
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行 β∥α
性質定理 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行 a∥b
直線與平面平行的判定
【要點講解】直線與平面平行的判定問題的解題策略：(1)主旨思想：“線線平行”→“線面平行”；(2)借助頂點、等分點等作出輔助線，在平面內解決線線平行問題；(3)再交代清楚哪條直線在平面外，哪條直線在平面內，嚴格依據判定定理進行即可．
下列各圖中，、為正方體的兩個頂點，、、分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形的序號是　　
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【解答】解：對①，、、分別為其所在棱的中點，可證、與平面，平面平面，平面，故①正確；
對②，如圖：與平面不可能平行，設平面，若平面，則，則為底面對角線的中點，顯然錯誤，故②不正確；
對③，如圖，可證平面平面，平面，平面，故③正確；
對④，若平面，則可證平面平面，由圖知平面與平面不可能平行，故④不正確；
故選：．
如圖，點，，，，為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：對于，作出完整的截面，由正方體的性質可得，可得直線平面，能滿足；
對于，作出完整的截面，由正方體的性質可得，可得直線平面，能滿足；
對于，作出完整的截面，由正方體的性質可得，可得直線平面，能滿足；
對于，作出完整的截面，如圖，可得在平面內，不能得出平行，不能滿足．
故選：．
如圖，直三棱柱中，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是　　
A．與是異面直線
B．
C．，為異面直線，且
D．平面
【解答】解：對于項，與在同一個側面中，故不是異面直線，所以錯誤；
對于項，由題意知與為異面直線，所以錯誤；
對于項，因為，為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，
由底面是正三角形，是中點，根據等腰三角形三線合一可知，
結合棱柱性質可知，則，所以正確；
對于項，因為所在的平面與平面相交，
且與所在的平面和平面的交線有公共點，
故平面不正確，所以錯誤．
故選：．
在長方體中，底面為正方形，平面，為的中點，則下列結論錯誤的是　　
A． B．
C．平面 D．平面平面
【解答】解：平面，平面，可得，故正確；
連接，由平面，可得，
由平面，可得，
而，可得平面，．
在矩形中，設，，
由，，而，
所以，
又，所以四邊形為正方形，即有，故正確；
設與交于，連接，可得，而平面，平面，
可得平面，故正確；
平面即為平面，而平面，可得平面平面，
若平面平面，又平面平面，可得平面，顯然不成立，故錯誤．
故選：．
在正方體中，已知為中點，如圖所示．
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與夾角大小．
【解答】解：（1）證明：在正方體中，為中點，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
設，則，，1，，，1，，，1，，
，，1，，，0，，
設平面的一個法向量為，，，
則，取，得，1，，
，平面，
平面；
（2），0，，，
，
設異面直線與夾角為，
則，，
異面直線與夾角大小為．
如圖，在正方體中，為的中點．
（1）證明：直線平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：如圖，連接交于點，連接，
由于為的中點，為的中點，則，
又因為平面，平面，所以平面．
（2）以為原點，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正方體的棱長為，則，，，，0，，，0，，，0，，
所以，，，，0，，
設與所成角為，
則，，
所以與所成角的余弦值為．
如圖，在直三棱柱中，已知，，，為的中點．
（1）求異面直線與所成角的大小（用反三角函數表示）；
（2）求證：平面．
【解答】（1）解：如圖，取的中點，連結，，，
由是平行四邊形知，
則（或其補角）就是異面直線與所成的角．
在△中，，
，，
則．
所以異面直線與所成角的大小為．
（2）證明：如圖，連結，交于點，連結．
因為四邊形為矩形，所以為中點，
又因為為的中點，所以，又因為平面，
平面，所以平面．
如圖所示，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，，底面，，，，．
（1）求證：平面；
（2）求直線與直線所成角的余弦值．
【解答】（1）證明：如圖所示，以為原點，方向為軸正半軸，方向為軸正半軸，方向為軸正半軸建立空間直角坐標系，
則，3，，，2，，，0，，，0，，，3，，，0，，
，
，
又平面，
平面；
（2）解：由（1）知，
則，，，
則，
直線與直線所成角的余弦值為．
直線與平面平行的性質
【要點講解】直線與平面平行的性質定理問題的解題策略：(1)主旨思想“線面平行” →“線線平行”；(2)借助頂點、等分點等作出輔助線進而得到過原直線的一個“新平面”；(3)確定“新平面”與“原平面”的交線，則交線與原直線平行．
如圖，在四面體中，是中點，是中點．在線段上存在一點，使得平面，則的值為　　
A．1 B．2 C．3 D．
【解答】解：如圖所示，取中點，且是中點，
且，
取的四等分點，使，
在平面內作交于點，連接，
顯然，
故，且，
則四邊形是平行四邊形，
則，滿足平面，
此時是的四等分點，故．
故選：．
如圖，已知圓錐的頂點為，為底面圓的直徑，點，為底面圓周上的點，并將弧三等分，過作平面，使，設與交于點，則的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：連接交于點，連接，，，則平面即為平面，
因為，平面，平面，
所以，
因為為底面圓的直徑，點，將弧三等分，
所以，，
所以且，
所以，
又，
所以，
所以，即，
故選：．
如圖，在多面體中，平面平面，，且，，則　　
A．平面 B．平面
C． D．平面平面
【解答】解：取的中點為，連結，如圖所示，
因為，且，所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，且，
因為平面平面，平面平面，平面平面，
所以，所以，
又，所以，
所以四邊形是平行四邊形，即，
又平面，平面，
所以平面．故選項正確，
而根據已知條件只能推出上面的關系，無法判斷與平面是否平行，故選項錯誤；
沒有任何關系可以推導，故選項錯誤；
沒有條件可以判斷平面與平面是否平行，故選項錯誤．
故選：．
平面與平面平行的判定
【要點講解】證明面面平行的常用方法
(1)如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β)．
(4)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ)．
如圖，在正方體中，是的中點，，，分別是，，的中點，求證：
（1）平面；
（2）平面平面．
【解答】證明：（1）連接，如圖所示：
，分別是，的中點，
，
又平面，平面，
直線平面；
（2）連接，如圖所示：
，分別是，的中點，
，
又平面，平面，
平面，
由（1）得平面，且平面，平面，，
平面平面．
正方體中，、分別為、的中點，、分別是、的中點．
（1）求證：、、、共面；
（2）求證：平面平面．
【解答】證明：（1）連接，由題意可得：，分別為，的中點，
則，
，，
則為平行四邊形，
，
則，
故、、、共面．
（2）由題意可得：，分別為，的中點，
則，
，則，且平面，平面，
平面，
連接，由題意可得：，分別為，的中點，
則，，
，，
則，，即為平行四邊形，
，平面，平面，
平面，，，平面，
故平面平面．
如圖，在正方體中，與交于點，求證：
（1）直線平面；
（2）平面平面．
【解答】證明：（1）因為正方體中，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）因為正方體中，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面，
由（1）知平面，
因為，，平面，
所以平面平面．
平面與平面平行的性質
【要點講解】平面與平面平行的性質應用
(1)兩平面平行，分別構造與之相交的第三個平面，交線平行．
(2)兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行．
下列說法正確的是　　
A．如果一個平面內有一條直線和另一個平面平行，那么這兩個平面平行
B．如果一個平面內有無數條直線和另一個平面平行，那么這兩個平面平行
C．如果一個平面內的任何直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
D．如果兩個平面平行于同一條直線，則這兩個平面平行
【解答】解：對于：如果一個平面內有一條直線和另一個平面平行，
則這兩個平面平行或這兩個平面相交，故錯誤；
對于：如果一個平面內有無數條直線和另一個平面平行，
則這兩個平面平行或這兩個平面相交，故錯誤；
對于：如果一個平面內的任何直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行，故正確；
對于：如果兩個平面平行于同一條直線，
則這兩個平面平行或這兩個平面重合或這兩個平面相交，故錯誤．
故選：．
如圖，在長方體中，若，，，分別是棱，，，上的動點．且，則必有　　
A． B．
C．平面平面 D．平面平面
【解答】解：當與重合，與重合時，與的夾角便是與的夾角，顯然與的夾角不是，錯誤，錯誤；
當不與重合，，平面，；當與重合時，顯然，正確；
當平面與平面重合時，平面與平面不垂直，錯誤；
當與重合時，平面與平面相交，錯誤．
故選：．
如圖，平面平面，平面，平面，，，，，，則　　．
【解答】解：因為平面平面，平面，平面，
所以，因，則，
則．
故答案為：．
由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，為與的交點．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）設平面與底面的交線為，求證：．
【解答】證明：（1）取的中點，連接，，
是四棱柱，平行且等于，
四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，
平面．
（2）平行且等于，平行且等于，
平行且等于，
四邊形是平行四邊形，，
平面，平面，
平面，
由（1）得平面且，、平面，
平面平面．
（3）由（2）得平面，
又平面，平面平面，
．
如圖，四棱錐的底面為平行四邊形．設平面與平面的交線為，、、分別為、、的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求證：．
【解答】證明：（1）因為、、分別為、、的中點，
底面為平行四邊形，
所以，，
又平面，平面，
則平面，
同理可得平面，
所以平面平面；
（2），
平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
如圖，四棱柱的底面是正方形．
（1）證明：平面平面；
（2）若平面平面直線，證明．
【解答】（1）證明：四棱柱中，，，所以，
且，，所以，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又因為平面，平面，
所以平面，
同理，平面，
又因為，
且平面，平面，
所以平面平面；
（2）證明：四棱柱中，平面，
且平面平面直線，平面平面，
所以．
平行關系的綜合應用
【要點講解】證明平行關系的常用方法
熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．
已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列結論正確的是　　
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．，，，則
【解答】解：如圖所示正方體中，
若直線、分別對應、，底面對應，顯然有，，
但，即錯誤；
若底面對應，側面、分別對應、，顯然有，，
但，即錯誤；
同上假設底面對應，側面、分別對應、，
則直線、、分別對應、、，顯然三條直線兩兩垂直，即錯誤；
由面面平行的性質可知項正確．
故選：．
已知平面，，，直線，，，下列說法正確的是　　
A．若，，，則 B．若，，則
C．若，，，則 D．若，，，則
【解答】解：平面，，，直線，，，
對于，若，，，則與相交或平行，故錯誤；
對于，若，，則或，故錯誤；
對于，若，，，則，，故正確；
對于，若，，，則與相交或平行，故錯誤．
故選：．
設，是空間中的兩條直線，，是空間中的兩個平面，下列說法正確的是　　
A．若，，則
B．若，，則與相交
C．若，，，則
D．若，，，則與沒有公共點
【解答】解：選項，若，，則，或與異面，
如圖1，滿足，，但與不平行，錯誤；
選項，若，，則與平行或相交，
如圖2，滿足，，但與平行，錯誤；
選項，若，，，則，或與異面，
如圖3，滿足，，，但不滿足，錯誤；
選項，結合選項的分析可知：若，，，則，或與異面，
即與沒有公共點，
假設與有公共點，設公共點為，則，，則，但，
故矛盾，假設不成立，即與沒有公共點，正確．
故選：．
若，為空間中兩條不同的直線，，，為空間三個不同的平面，則下列結論正確的是　　
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，，則 D．若，，則
【解答】解：對于、若，，則或與相交，故錯誤；
對于、若，，，則，的位置關系有平行、相交或異面，故錯誤；
對于、若，，，則，的位置關系有：平行、相交或直線在平面內，故錯誤；
對于、若，，則存在，使得，則，故，故正確．
故選：．
設，，是互不重合的平面，，是互不重合的直線，給出四個命題：
①若，，則
②若，，則
③若，，則
④若，，則
其中正確命題的個數是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：對于①，由，，可得，故①正確；
對于②，若，，則或，故②錯誤；
對于③，，，則和可能平行、異面或相交，故③錯誤；
對于④，根據線面垂直的性質知，垂直于同一平面的兩直線平行，故④正確．
正確命題的個數是2．
故選：．
已知兩個不同平面，和三條不重合的直線，，，則下列命題：
（1）若，，則且；
（2）若平面內有不在同一直線的三點、、到平面的距離都相等，則；
（3）若，分別經過兩異面直線，，且，則必與或相交；
（4）若，，是兩兩互相異面的直線，則存在無數條直線與，，都相交．
其中正確的命題是　　
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【解答】解：兩個不同平面，和三條不重合的直線，，，
對于（1），若，，則有可能在內或在內，故（1）錯誤；
對于（2），若平面內有不在同一直線的三點、、到平面的距離都相等，則與相交或平行，故（2）錯誤；
對于（3），假設既不與相交，也不與相交，
，都在內，則，平行，同理，平行，
根據平行公理得，平行，
這與，為異面直線矛盾，故假設不成立，
必與或相交，故（3）正確；
對于（4），如圖，，，是異面直線，
上下兩個平面，是分別經過，中的一條而與另一條平行的平面，
直線與這兩個平面都相交，交點，都不在直線，上，
在直線上任取一點不同于，的點，
，異面，，
則直線與點確定一個平面，
可知這平面與直線相交，設交點為，連接的直線必然相交，
否則這條直線必在平面內，
由于點的任意性，可知這樣可以做出無數條直線與，，都相交，故（4）正確．
故選：．
在正方體中，點在正方形內，且不在棱上，則　　
A．在正方形內一定存在一點，使得
B．在正方形內一定存在一點，使得
C．在正方形內一定存在一點，使得平面平面
D．在正方形內一定存在一點，使得平面
【解答】解：對于，假設在正方形內存在一點，使得，
作，，垂足分別為，，連接，
則為矩形，且與相交，
，，，
這與，相交矛盾，故錯誤；
對于，假設為正方形的中心，為正方形的中心，
作，，垂足分別為，，連接，，
則為矩形，
則，且，為，的中點，連接，，
則，
，，即，故正確；
對于，在正方形內一定存在一點，使得平面平面，
由于平面平面，平面平面，
，而，
則在上，這與題意矛盾，故錯誤；
對于，假設在正方形內一定存在一點，使得平面，
平面，則，
又，，平面，故，
而平面，平面，故，
而，，平面，
故平面，
平面，故，重合，與題意不符，故錯誤．
故選：．
如圖，正方體的棱長為1，動點在直線上，，分別是，的中點，則下列結論中錯誤的是　　
A．
B．平面
C．
D．存在點，使得平面平面
【解答】解：對，連接，，分別是，的中點，則，
又，，則為平行四邊形，即，
，正確；
對，連接，，，即，
，即，
又平面，平面，則，
因為，，平面，
平面，正確；
對，分別連接，，，
平面，平面，
，，，且，平面，
平面，平面，，
平面，平面，，
，，，平面，
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，，故正確；
對，是的中點，則，，則為梯形，
與相交，則平面與平面相交，故不正確．
故選：．
如圖，在長方體中，，，分別為所在棱的中點，，分別為，的中點，連接，，，，，．
（1）求證：平面平面；
（2）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出點的位置；若不存在，請說出理由．
【解答】解：（1）證明：連接，，，，分別為所在棱的中點，
，，，，
又平面，平面，平面，
同理可證平面，又，平面平面；
（2）線段上存在點，當時，滿足平面，
證明如下；如右圖，取上靠近點的三等分點為，連接，連接并延長交于點，
連接，則平面與平面為同一平面，
取線段的中點為，連接，，
由平行關系及為的中點，得，則，
因為，分別為，的中點，所以，且，
又且，即且，
所以四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面，故平面．
如圖，在三棱柱中，若，分別是線段，的中點．
（1）求證：；
（2）在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在，指出的具體位置并證明；若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）證明：連接，則為的中點，且為的中點，
為的中位線，
；
（2）在上存在點使得平面平面，為的中點，證明如下：
取的中點，連接，，且為的中點，
，且平面，平面，
平面，同理，平面，且，平面，平面，
平面平面．
如圖，在三棱柱中，點，分別在線段，上，且滿足，．
（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在點，使得平面平面．若存在，求出；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）證明：由題意可知，
根據相似三角形原理有，
又平面，且不在平面上，
所以平面；
（2）存在．
由于，只需，即有平面平面，
當，
因為，，
所以平面平面，
根據相似三角形原理可知．專題7.3 空間直線、平面的平行
目錄
題型一： 直線與平面平行的判定 3
題型二： 直線與平面平行的性質 7
題型三： 平面與平面平行的判定 9
題型四： 平面與平面平行的性質 11
題型五： 平行關系的綜合應用 14
直線與直線平行
(1)基本事實4
文字語言 平行于同一條直線的兩條直線平行
圖形語言
符號語言 a∥c
作用 基本事實4表明了平行線的傳遞性. 可用來證明兩直線平行
(2)等角定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
圖形語言
符號語言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
直線與平面平行
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 a∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行 a∥b
平面與平面平行
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行 β∥α
性質定理 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行 a∥b
直線與平面平行的判定
【要點講解】直線與平面平行的判定問題的解題策略：(1)主旨思想：“線線平行”→“線面平行”；(2)借助頂點、等分點等作出輔助線，在平面內解決線線平行問題；(3)再交代清楚哪條直線在平面外，哪條直線在平面內，嚴格依據判定定理進行即可．
下列各圖中，、為正方體的兩個頂點，、、分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形的序號是　　
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
如圖，點，，，，為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是　　
A． B．
C． D．
如圖，直三棱柱中，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是　　
A．與是異面直線
B．
C．，為異面直線，且
D．平面
在長方體中，底面為正方形，平面，為的中點，則下列結論錯誤的是　　
A． B．
C．平面 D．平面平面
在正方體中，已知為中點，如圖所示．
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與夾角大小．
如圖，在正方體中，為的中點．
（1）證明：直線平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
如圖，在直三棱柱中，已知，，，為的中點．
（1）求異面直線與所成角的大小（用反三角函數表示）；
（2）求證：平面．
如圖所示，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，，底面，，，，．
（1）求證：平面；
（2）求直線與直線所成角的余弦值．
直線與平面平行的性質
【要點講解】直線與平面平行的性質定理問題的解題策略：(1)主旨思想“線面平行” →“線線平行”；(2)借助頂點、等分點等作出輔助線進而得到過原直線的一個“新平面”；(3)確定“新平面”與“原平面”的交線，則交線與原直線平行．
如圖，在四面體中，是中點，是中點．在線段上存在一點，使得平面，則的值為　　
A．1 B．2 C．3 D．
如圖，已知圓錐的頂點為，為底面圓的直徑，點，為底面圓周上的點，并將弧三等分，過作平面，使，設與交于點，則的值為　　
A． B． C． D．
如圖，在多面體中，平面平面，，且，，則　　
A．平面 B．平面
C． D．平面平面
平面與平面平行的判定
【要點講解】證明面面平行的常用方法
(1)如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β)．
(4)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ)．
如圖，在正方體中，是的中點，，，分別是，，的中點，求證：
（1）平面；
（2）平面平面．
正方體中，、分別為、的中點，、分別是、的中點．
（1）求證：、、、共面；
（2）求證：平面平面．
如圖，在正方體中，與交于點，求證：
（1）直線平面；
（2）平面平面．
平面與平面平行的性質
【要點講解】平面與平面平行的性質應用
(1)兩平面平行，分別構造與之相交的第三個平面，交線平行．
(2)兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行．
下列說法正確的是　　
A．如果一個平面內有一條直線和另一個平面平行，那么這兩個平面平行
B．如果一個平面內有無數條直線和另一個平面平行，那么這兩個平面平行
C．如果一個平面內的任何直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
D．如果兩個平面平行于同一條直線，則這兩個平面平行
如圖，在長方體中，若，，，分別是棱，，，上的動點．且，則必有　　
A． B．
C．平面平面 D．平面平面
如圖，平面平面，平面，平面，，，，，，則　 ．
由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，為與的交點．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）設平面與底面的交線為，求證：．
如圖，四棱錐的底面為平行四邊形．設平面與平面的交線為，、、分別為、、的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求證：．
如圖，四棱柱的底面是正方形．
（1）證明：平面平面；
（2）若平面平面直線，證明．
平行關系的綜合應用
【要點講解】證明平行關系的常用方法
熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．
已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列結論正確的是　　
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．，，，則
已知平面，，，直線，，，下列說法正確的是　　
A．若，，，則 B．若，，則
C．若，，，則 D．若，，，則
設，是空間中的兩條直線，，是空間中的兩個平面，下列說法正確的是　　
A．若，，則
B．若，，則與相交
C．若，，，則
D．若，，，則與沒有公共點
若，為空間中兩條不同的直線，，，為空間三個不同的平面，則下列結論正確的是　　
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，，則 D．若，，則
設，，是互不重合的平面，，是互不重合的直線，給出四個命題：
①若，，則
②若，，則
③若，，則
④若，，則
其中正確命題的個數是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知兩個不同平面，和三條不重合的直線，，，則下列命題：
（1）若，，則且；
（2）若平面內有不在同一直線的三點、、到平面的距離都相等，則；
（3）若，分別經過兩異面直線，，且，則必與或相交；
（4）若，，是兩兩互相異面的直線，則存在無數條直線與，，都相交．
其中正確的命題是　　
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
在正方體中，點在正方形內，且不在棱上，則　　
A．在正方形內一定存在一點，使得
B．在正方形內一定存在一點，使得
C．在正方形內一定存在一點，使得平面平面
D．在正方形內一定存在一點，使得平面
如圖，正方體的棱長為1，動點在直線上，，分別是，的中點，則下列結論中錯誤的是　　
A．
B．平面
C．
D．存在點，使得平面平面
如圖，在長方體中，，，分別為所在棱的中點，，分別為，的中點，連接，，，，，．
（1）求證：平面平面；
（2）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出點的位置；若不存在，請說出理由．
如圖，在三棱柱中，若，分別是線段，的中點．
（1）求證：；
（2）在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在，指出的具體位置并證明；若不存在，說明理由．
如圖，在三棱柱中，點，分別在線段，上，且滿足，．
（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在點，使得平面平面．若存在，求出；若不存在，請說明理由．專題7.4 空間直線、平面的垂直
目錄
題型一： 直線與平面垂直的判定與性質 3
題型二： 平面與平面垂直的判定與性質 10
題型三： 垂直關系的判斷 15
題型四： 直線與平面所成的角 30
題型五： 二面角 40
題型六： 存在性問題 47
直線與平面垂直
(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.
(2)判定定理與性質定理
文字語言 圖形表示 符號表示
判定 定理 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直 l⊥α
性質 定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 a∥b
平面與平面垂直
(1)二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的范圍是[0°，180°].
(2)判定定理與性質定理
文字語言 圖形表示 符號表示
判定 定理 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 α⊥β
性質 定理 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直 l⊥α
空間距離
(1)點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.
(2)直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離.
(3)兩個平行平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.
垂直、平行關系的相互轉化
直線與平面垂直的判定與性質
【要點講解】證明線面垂直的常用方法及關鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性質．
(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．
已知，，為三條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是　　
A．，， B．，
C．， D．，
【解答】解：若，，，則與可能平行與可能異面，故錯誤；
若，，則或，故錯誤；
若，，則或，故錯誤；
若，根據線面垂直的判定方法，易得，故正確；
故選：．
已知直線，和平面，，若，，，要使，則應增加的條件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直線與平面垂直的性質定理可知，要使，
只需在已知直線、和平面、，若，，，則應增加的條件，
故選：．
已知平面上的一條直線和這個平面的一條斜線，則“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的　　
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【解答】解：三垂線定理的逆定理：如果平面內一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，
那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影，滿足充分性；
三垂線定理，指的是平面內的一條直線，
如果與穿過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，
那么它也和這條斜線垂直．所以滿足必要性．
故選：．
已知直線和平面，則下列命題中正確的是　　
A．若與斜交，則內不存在與垂直的直線
B．若，則內的所有直線與都垂直
C．若與斜交，則內存在與平行的直線
D．若，則內的所有直線與都平行
【解答】解：對于，若與斜交，則內存在與垂直的直線，故錯誤；
對于，若，則由線面垂直的性質得內的所有直線與都垂直，故正確；
對于，若1與斜交，則內不存在與平行的直線，故錯誤；
對于，若，則內的直線與平行或異面，故錯誤．
故選：．
若為一條直線，，，為三個互不重合的平面，則下列命題正確的是　　
A．， B．若，
C．， D．若，
【解答】解：對，若，，，可能相交也可能平行，故項不正確；
對，，，則可能有，故，項不正確；
對，，，則必有，故項正確．
故選：．
已知直線，與平面，，，能使的充分條件是　　
A．，， B．，
C．， D．，，
【解答】解：直線，與平面，，，
對于，，，時，也可能滿足，如圖1，故錯誤；
對于，，時，也可能滿足，如圖2，故錯誤；
對于，，時，一定有，故正確；
對于選項，，，時，不一定成立，如圖3，故錯誤．
故選：．
如圖，已知平面平面，四邊形是矩形，，點，分別是，的中點．
（Ⅰ）若點為線段中點，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面．
【解答】證明：（Ⅰ）平面平面，四邊形是矩形，，點，分別是，的中點，
連結交于，連結，，如圖，
四邊形是矩形，，且，
又，分別為，的中點，四邊形是平行四邊形，
四邊形是平行四邊形，為的中點，
是的中點，，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）在矩形中，，
平面平面，平面平面，平面，
面，
平面，，
，點是的中點，，
，平面．
如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點．求證：
（1）四邊形為平行四邊形；
（2）平面．
【解答】證明：（1）以為坐標原點，分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，2，，
所以，，
所以，
又，，，四點不共線，所以四邊形為平行四邊形．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，即，，
又因為，，平面，
所以平面．
如圖，在三棱錐中，側面底面，，，，，是的中點．
（1）證明：平面；
（2）證明：平面．
【解答】證明：（1）在三棱錐中，側面底面，側面底面，
而，故平面，平面，
故；
又，是的中點，故，
而，，平面，
故平面；
（2）因為平面，平面，
故，又，，，平面，
故平面，平面，
故，又，，平面，
故，平面，平面，
故平面．
如圖，在三棱錐中，，，是的中點．
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的大小．
【解答】解：（1）
證明：在三角形中，因為，且是的中點，所以，
且，連接，在等邊三角形中易得，
所以，所以．
因為，且，平面，所以平面．
（2）
分別取，的中點，，連接，，，
因為，且，，且，
所以或其補角就是異面直線，所成角，
連接，因為平面，所以，
所以在中，斜邊上的中線，
又因為，，
所以在三角形中，，
因為，所以異面直線與所成角為．
平面與平面垂直的判定與性質
【要點講解】判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定義．
(2)面面垂直的判定定理．
如圖所示，在四棱錐中，是正方形，平面，，，，分別是，，的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）證明：平面平面．
【解答】證明：（1）因為，分別是，的中點，所以，
又因為為正方形，則，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為，分別是，的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
且，，平面，
所以平面平面．
（2）因為平面，平面，則，
又因為是正方形，則，
且，，平面，所以平面，
又因為，所以平面，
且平面，所以平面平面．
如圖，平面，為圓的直徑，，分別為棱，的中點．
（1）證明：平面．
（2）證明：平面平面．
【解答】證明：（1）因為，分別為棱，的中點，所以，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）因為為圓的直徑，所以．
因為平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
由（1）知，所以平面，又平面，
所以平面平面．
如圖，已知正四棱柱，底面正方形的邊長為2，．
（1）求證：平面平面；
（2）求點到平面的距離．
【解答】證明：（1）因為四棱柱為正四棱柱，
所以平面，且，
因為平面，所以，
因為，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．得證．
解：（2）設點到平面的距離為，與相交于點，連接，
因為正方形的邊長為2，，
所以，，
由三線合一可得：，且，
由勾股定理得：，
所以，
，
又，又平面，
故，
由，
故點到平面的距離為．
如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為的中點，為棱上一動點．
（1）在棱上何處時，可使得平面？并證明你的結論；
（2）求證：平面平面．
【解答】解：（1）當為棱的中點時，平面，理由如下：
因為為的中點，為的中點，得，
由四邊形為正方形，得，因此，
因為平面，平面，所以平面；
證明：（2）在四棱錐中，平面，平面，所以，
又因為，，，平面，
所以平面，因為平面，所以，
因為，，，平面，
所以平面，
又因為平面，所以平面平面．
如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，．點為的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）求點到平面的距離．
【解答】（1）證明：四棱錐的底面是矩形，底面，，．點為的中點，
記，因為四邊形是矩形，
所以，
所以，
因為點是的中點，所以，
在中，，所以，
因為四邊形是矩形，所以，所以，
所以，
又，
所以，
在中，，
所以，所以，即，
因為平面，又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：因為平面，所以是三棱錐的高，故，
連接，因為平面，，平面，所以，，
在中，，所以，
在中，，所以，
在中，由余弦定理得，所以，所以，
所以，即點到平面的距離是．
垂直關系的判斷
【要點講解】三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化．
如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，，平面，于．給出下列四個結論：
①；
②平面；
③平面；
④．
其中正確的選項是 　①②③④　．
【解答】解：在中，，，，
可得，
即有，可得；
由平面，可得，
而，可得平面；
由平面，可得，
而，又，
可得平面，即有．
故答案為：①②③④．
已知，是兩個互相垂直的平面，，是一對異面直線，下列五個結論：
（1），
（2），
（3），
（4），
（5），，．
其中能得到的結論有　（3）（5）　（把所有滿足條件的序號都填上）
【解答】解：，是兩個互相垂直的平面，，是一對異面直線，下列五個結論：
（1），，也可能．推不出，所以不正確．
（2），，可能與相交，推不出，所以不正確；
（3），，能得到的結論，正確；
（4），，可能與相交，推不出，所以不正確；
（5），，．能得到的結論，正確；
故答案為：（3）（5）．
如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，，為正方體的頂點．則滿足的是 　①③　．（填寫正確的序號）
【解答】解：設正方體的棱長為2，
對于①，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，0，，，1，，
則，
所以，
所以，故①正確，
對于②，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，2，，，0，，，1，，，1，，
則，
所以，
所以與不垂直，故②錯誤，
對于③，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，2，，，2，，，0，，，1，，
則，
所以，
所以，故③正確，
對于④，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，2，，，2，，，1，，
則，
所以，
所以與不垂直，故④錯誤，
故答案為：①③．
以下四個正方體中，滿足平面的有　　
A． B．
C． D．
【解答】解：對，，，
與所成角為，
故與平面不垂直，故錯誤；
對，在正方體中，平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，故正確；
對，連接，，如圖，
在正方體中，由正方體面上的對角線相等可知，為正三角形，
所以，
又，與所成的角為，
所以與平面不垂直，故不正確；
對，連接，，如圖，
因為平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可得，
再由，，平面，
所以平面，故正確．
故選：．
如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點，則下列結論正確的有　　
A．平面 B． C．平面 D．平面
【解答】解：在三棱錐中，平面，可得．
又，，可得平面，故正確；
由，為的中點，可得，而平面，平面，可得，
則平面，所以，故、都正確；
若平面，可得，而平面，即有，
可得在平面內，與重合，顯然矛盾，故錯誤．
故選：．
如圖，在正四棱柱中，，，，分別是棱，，的中點，則　　
A．
B．平面
C．直線與是異面直線
D．直線與平面的交點是的外心
【解答】解：以點為坐標原點，，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，
對于選項，，1，，，0，，，1，，
，，，，即，故正確；
對于選項，，1，，，，即，
又，，平面，
平面，故正確；
對于選項，連接，，
，1，，，0，，，1，，，
則，，所以，
由圖知，，不共線，所以，則 ，，四點共面，
所以直線與是共面直線，故錯誤；
對于選項，設直線與平面的交點為，
由正方體的性質知，，則四面體為正四面體，
又因為平面，則為正三角形的中心，
即為正三角形的外心，故正確．
故選：．
棱長為2的正方體的展開圖如圖所示．關于該正方體，下列說法正確的是　　
A．
B．平面
C．平面平面
D．動點在正方體的表面上運動，為中點，且，則點的運動軌跡圍成的面積為
【解答】解：由展開圖還原正方體，如下圖．
對于，，且，
四邊形是平行四邊形，
，故正確；
對于，平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，故正確；
對于，平面，平面，
，
，，、平面，
平面，
又平面，
平面平面，故正確；
對于，，，且，
所以平面，
又平面，
所以．
同理，又，，平面，
所以平面．
分別取、、、、的中點，，，，，
連接，，，，，，
易知，，，
所以，，，，，六點共面，且所在平面平行于平面，
又平面，
所以平面，
點的軌跡是正六邊形的邊，
點的軌跡圍成的面積為，故錯誤．
故選：．
在正四面體中，，，分別為，，的中點，則　　
A．與平行，平面平面
B．與異面，平面平面
C．與平行，與平面平行
D．與異面，與平面平行
【解答】解：與
平面，平面，，
所以與異面，故選項錯誤，
與
由于，分別是，的中點，所以，，
由于，所以與是異面直線，選項錯誤，
連接，由于，是等邊三角形，
所以，，由于，，平面，
所以平面，由于平面，
所以平面平面，所以選項正確，
設是的中點，連接，，
由于是的中點，所以，，
所以，所以平面也即平面，
平面，所以選項錯誤．
故選：．
在三棱柱中，為的中點，，平面，，則下列結論錯誤的是　　
A．平面平面 B．平面平面
C．平面 D．
【解答】解：在三棱柱中，平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則，則，0，、，0，、，2，、、、、，
設平面的法向量為，，，
則，取，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
設平面的法向量為，，，
則，取，
對于選項，因為，即與不垂直，
所以，平面與平面不垂直，錯；
對于選項，，所以與不垂直，即平面與平面不垂直，錯；
對于選項，，因為，即與不垂直，則與平面不平行，錯；
對于選項，，則，所以，對．
故選：．
如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于，的一點，則下面結論中錯誤的是　　
A． B．
C．平面 D．平面平面
【解答】解：選項，平面，，
，，、平面，
平面，，即選項正確；
選項，平面，，
，，、平面，
平面，，即選項正確；
選項，若平面，平面，，這與過一點有且僅有一條直線垂直于同一個平面矛盾，即選項錯誤；
選項，平面，平面，平面平面，即選項正確．
故選：．
如圖，正方體中，點、、、分別為棱，，，的中點，點為棱上的動點，則下列說法中正確的個數是　　
①與異面；
②平面；
③平面截正方體所得的截面圖形始終是四邊形；
④平面平面．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：對于①，連接，，
，，四邊形是平行四邊形，
又平面，，平面，平面，
平面，又，與是異面直線，故①正確；
對于②，連接，則，，
四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，平面，故②正確；
對于③，取的中點，當與重合時，連接，則有，，，，四點共面，
即平面截正方體的圖形是四邊形，如下圖：
當點在線段上時，在平面內作直線，交的延長線于，交于，連接，
，，，，四點共面，平面，
，
即平面截正方體的圖形是五邊形，如下圖：
故③錯誤；
對于④，在正方形內，，，
，
，又平面，平面，
，，平面，，
平面，又平面，
平面平面，故④正確．
故選：．
設，為兩條直線，，為兩個平面，若，則　　
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【解答】解：對于，若，，，則與平行、相交或異面，故錯誤；
對于，若，，，則與平行、相交或異面，故錯誤；
對于，若，，，則，故正確；
對于，若，，，則與平行、相交或異面，故錯誤．
故選：．
直線與平面所成的角
【要點講解】(1)根據線面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找) 證 求(算)三步曲．(2)射影法：設斜線段AB在平面α內的射影為A′B′，AB與α所成角為θ，則cos θ＝；設△ABC在平面α內的射影三角形為△A′B′C′，平面ABC與α所成角為θ，則cos θ＝. (3)向量法，詳見后續內容.
正方體中，直線與平面所成的角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：正方體中，連接，連接，如圖，
則有，而平面，平面，即有，
又，，平面，因此平面，
則是直線與平面所成的角，
在△中，，，則有，
所以直線與平面所成的角為．
故選：．
正四棱柱中，，四面體體積為，則與平面所成角的正弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，
因為正四棱柱中，，四面體體積為，
所以，
所以，
以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，0，，，2，，，2，，，0，，
，2，，，0，，，，，
設，，是平面平面的一個法向量，則，
令，則，
所以，1，，
，，，
所以，，
所以與平面所成角的正弦值為．
故選：．
在正三棱柱中，側棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側面所成角的正弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如，分別取，的中點，．由正三棱柱易證，平面．
連接，易知，，兩兩垂直．
以為原點直線，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系
由已知得：，0，，，，，，，，，，．
所以，，，，0，，，，，
設平面的法向量為，，，
所以，即，
令，則，，故，，．
設與側面所成角為，則．
故選：．
在棱長為2的正方體中，為上的動點，則與平面所成角的正切值不可能為　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：如圖，
在上取點，使得，連接，
由可知，四邊形為平行四邊形，則，
因為平面，，所以平面，
所以與平面所成角為，，而．
所以．顯然，故不可能．
故選：．
如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點．
（1）求證：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．
【解答】（1）證明：（法一）
取的中點，連接，，
因為直三棱柱中，為的中點，
所以，且，
因為，分別，的中點，
所以，，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面．
（法二）
取的中點，連接，，
由直三棱柱可得四邊形為平行四邊形，
又因為為的中點，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面．
因為點，分別為，的中點，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面，
而，平面，平面，
所以平面平面，
而平面，
所以平面．
（2）因為在直三棱柱中又有，
所以，，兩兩垂直，分別以直線，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系：
則，0，，，2，，，1，，，1，，
所以，，，
設是平面的法向量，
則，取，則，
設直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成的角的余弦為．
如圖1，是邊長為6的等邊三角形，點，分別在線段，上，，，沿將折起到的位置，使得，如圖2．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求．
【解答】解：（Ⅰ）在中，，，，
由余弦定理得，
將代入上式整理得到：
所以，
所以，
在中，，，，
易得，
所以，
又因為，
所以平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，兩兩互相垂直，所以以為原點，，，所在直線分別為，，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，0，，，0，，，
所以，，
設平面的一個法向量為，
則，
令，得，
設，
易知，
故，
又因為直線與平面所成角的正弦值為，
所以，
即，
解得，
即．
如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【解答】證明：（1）取中點為，連接，，如圖所示，
因為，分別是，的中點，所以且，
又因為且，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又因為平面，平面，
所以平面；
解：（2）取中點為，以為空間直角坐標系原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，0，，，0，，，1，，，，
設平面的法向量為，
因為，，
所以，令，解得，
即，
又因為，，，
所以直線與平面所成角的正弦值為，．
二面角
【要點講解】根據二面角的平面角的定義，先作出二面角的平面角，步驟是作(找) 證 求(算)三步曲．
如圖，在正方體中，截面與底面所成銳二面角的正切值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示，連接交于點，連接，
則，，為二面角的平面角，
設，則，
所以．
故選：．
如圖，在直三棱柱中，，，，點是棱的中點，則平面與平面所成角的正弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，0，，，0，，，4，，，2，，，4，，設平面的法向量，
，則，
令，則，，
，
同理可得：平面的法向量，
故，
設平面與平面所成角為，則，
故平面與平面所成角的正弦值．
故選：．
如圖，二面角等于，，是棱上兩點，，分別在半平面，內，，，且，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為二面角為，，為棱上的兩點，，分別在半平面、內，，，
所以，，，，
又，
所以
．
故選：．
如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：如圖，連接交于點，連接，
，分別為，的中點，
，
又在平面內，不在平面內，
平面；
（2）平面，
，
又四邊形為正方形，
，
平面，
以點為坐標原點，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，
各點坐標如下，，0，，，0，，，2，，
，2，，，0，，，1，，，
設平面的法向量為，則，令，則，
平面，，
平面的一個法向量為，
，
又二面角為銳角，故二面角的余弦值為．
是正三角形，線段和都垂直于平面，設，，且為的中點，如圖：
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）求平面與平面所成的二面角的大小．
【解答】解：（1）證明：如圖所示，取中點，連、．
，，
，且．
又，且，
且．
四邊形為平行四邊形，．
平面，平面，
平面．
（2）證明：平面，
．
又是正三角形，是的中點，
．
平面．
又，
平面．
平面平面．
，，
．
平面，
．
（3）解：延長交延長線于，連．
由，知，為的中點，
．
又平面，．
平面．
為所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形中，可得．
平面與平面所成的較小二面角是．
如圖，在三棱柱中，平面，為正三角形，側面是邊長為2的正方形，為的中點．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角大小的余弦值．
【解答】證明：為正三角形，為的中點．
，
平面，面，，
，
面，又面，
平面平面
（Ⅱ）解：取的中點，連接，，為正三角形，，
平面，又，平面，為二面角平面角，
側面是邊長為2的正方形，所以，
為正三角形，，
所以，
，
二面角大小的余弦值為．
存在性問題
如圖，在正方體中，點，分別是棱和線段上的動點，則滿足與垂直的直線　　
A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有無數條 D．不存在
【解答】解：作交于，連接，在正方體中，可知，
當，的高度一樣時，則，
可得四邊形為平行四邊形，所以，
正方體中，面，面，
所以，進而可證得，
因為，點的位置無數多個，所以這樣的直線由無數多條．
故選：．
在正四面體中，已知，分別是，上的點（不含端點），則　　
A．不存在，，使得
B．存在，使得
C．存在，使得平面
D．存在，，使得平面平面
【解答】解：（1）對于，選項，取，分別為，的中點如圖：
因為是正四面體，所以它的各個面是全等的等邊三角形．
所以，所以，同理可證．故錯誤；
又因為，，且，故平面，又平面，
所以平面平面．故正確．
（2）對于選項，將看成正三棱錐的頂點，易知當在上移動時，的最小值為直線與平面所成的角，即（1）中的，顯然為銳角，最大角為，故當在上移動時，不存在，使得．故錯誤．
（3）對于選項，將看成頂點，則由向底面作垂線，垂足為底面正三角形的中心，不落在上，又因為過空間中一點有且只有一條直線與已知平面垂直，故不存在，使得平面，故錯誤．
故選：．
如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為　　
A．存在點，使得 B．存在點．使得
C．直線始終與直線異面 D．直線始終與直線異面
【解答】解：正方體中，易得平面，
點在直線上，為線段的中點，
當點和重合時，平面，
，故正確；
連接，如圖所示：
當點為線段的中點時，為三角形的中位線，即，故正確；
平面，當點和點重合時，平面，
則直線和在同一平面內，故錯誤；
平面，平面，，
故直線始終與直線不相交，且不平行，是異面直線，故正確．
故選：．
如圖，正方形所在平面和等腰梯形所在平面相互垂直，已知，．
（1）求證：；
（2）在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【解答】（1）證明：平面平面，
平面平面，，平面，
平面．
平面，
．
過作于，則，，，
，，
，
，
平面，
平面，
．
（2）解：存在滿足條件的點，且，理由如下：
由（1）可知，、、兩兩垂直，
以為坐標原點，、、的方向分別為軸、軸、軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，0，，，0，，，．
假設在線段上存在一點滿足題意，則點不與點、重合，
設，則，，設平面的法向量為，，，
由，，可得，
令，則，所以為平面的一個法向量．
同理，可求得為平面的一個法向量．
當時，即時，平面平面，解得，
因此，存在滿足題意的點，此時．
如圖，直三棱柱中，，，，分別為，的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）線段上是否存在點，使平面？說明理由．
【解答】（本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）證明：取中點，連接，．
在中，因為為中點，所以，．
在矩形中，因為為中點，所以，．
所以，．
所以 四邊形為平行四邊形，所以．（4分）
因為平面，平面，
所以平面． （6分）
（Ⅱ）解：線段上存在點，且為中點時，
有平面．（8分）
證明如下：連接．
在正方形中易證．
又平面，所以，從而平面．
所以． （10分）
同理可得，所以平面．
故線段上存在點，使得平面．（12分）
如圖示，正方形與正三角形所在平面互相垂直，是的中點．
（1）求證：；
（2）在線段上是否存在一點，使面面？并證明你的結論．
【解答】解：（1）證明：由正方形與正三角形所在平面互相垂直，是的中點，
可得，平面，
而平面，則；
（2）在線段上存在一點，且為的中點，使面面．
證明：由（1）可得平面，
又平面，可得．
由為的中點，可得，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
而，則，
，
可得，
即有，
可得平面，
又平面，可得面面．
如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．
（1）證明：；
（2）線段上是否存在一點，使得直線垂直平面，若存在，求出線段的長，若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）證明：在四棱錐中，
面，面，面，
，，
由在直角梯形中，，
又面，面，
面，又面，
；
（2）由題意及（1）得，存在一點，使得直線垂直于平面．
在四棱錐中，，，
建系如圖所示，根據題意可得：
，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，
，，，
設，，，，
又點在線段上，，
，
，，，，
若面，
則，
解得，
，
．專題7.4 空間直線、平面的垂直
目錄
題型一： 直線與平面垂直的判定與性質 3
題型二： 平面與平面垂直的判定與性質 7
題型三： 垂直關系的判斷 10
題型四： 直線與平面所成的角 14
題型五： 二面角 18
題型六： 存在性問題 21
直線與平面垂直
(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.
(2)判定定理與性質定理
文字語言 圖形表示 符號表示
判定 定理 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直 l⊥α
性質 定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 a∥b
平面與平面垂直
(1)二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的范圍是[0°，180°].
(2)判定定理與性質定理
文字語言 圖形表示 符號表示
判定 定理 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 α⊥β
性質 定理 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直 l⊥α
空間距離
(1)點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.
(2)直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離.
(3)兩個平行平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.
垂直、平行關系的相互轉化
直線與平面垂直的判定與性質
【要點講解】證明線面垂直的常用方法及關鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性質．
(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．
已知，，為三條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是　　
A．，， B．，
C．， D．，
已知直線，和平面，，若，，，要使，則應增加的條件是　　
A． B． C． D．
已知平面上的一條直線和這個平面的一條斜線，則“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的　　
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
已知直線和平面，則下列命題中正確的是　　
A．若與斜交，則內不存在與垂直的直線
B．若，則內的所有直線與都垂直
C．若與斜交，則內存在與平行的直線
D．若，則內的所有直線與都平行
若為一條直線，，，為三個互不重合的平面，則下列命題正確的是　　
A．， B．若，
C．， D．若，
已知直線，與平面，，，能使的充分條件是　　
A．，， B．，
C．， D．，，
如圖，已知平面平面，四邊形是矩形，，點，分別是，的中點．
（Ⅰ）若點為線段中點，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面．
如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點．求證：
（1）四邊形為平行四邊形；
（2）平面．
如圖，在三棱錐中，側面底面，，，，，是的中點．
（1）證明：平面；
（2）證明：平面．
如圖，在三棱錐中，，，是的中點．
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的大小．
平面與平面垂直的判定與性質
【要點講解】判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定義．
(2)面面垂直的判定定理．
如圖所示，在四棱錐中，是正方形，平面，，，，分別是，，的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）證明：平面平面．
如圖，平面，為圓的直徑，，分別為棱，的中點．
（1）證明：平面．
（2）證明：平面平面．
如圖，已知正四棱柱，底面正方形的邊長為2，．
（1）求證：平面平面；
（2）求點到平面的距離．
如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為的中點，為棱上一動點．
（1）在棱上何處時，可使得平面？并證明你的結論；
（2）求證：平面平面．
如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，．點為的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）求點到平面的距離．
垂直關系的判斷
【要點講解】三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化．
如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，，平面，于．給出下列四個結論：
①；
②平面；
③平面；
④．
其中正確的選項是 　．
已知，是兩個互相垂直的平面，，是一對異面直線，下列五個結論：
（1），
（2），
（3），
（4），
（5），，．
其中能得到的結論有　 　（把所有滿足條件的序號都填上）
如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，，為正方體的頂點．則滿足的是 　 　．（填寫正確的序號）
以下四個正方體中，滿足平面的有　　
A． B．
C． D．
如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點，則下列結論正確的有　　
A．平面 B． C．平面 D．平面
如圖，在正四棱柱中，，，，分別是棱，，的中點，則　　
A．
B．平面
C．直線與是異面直線
D．直線與平面的交點是的外心
棱長為2的正方體的展開圖如圖所示．關于該正方體，下列說法正確的是　　
A．
B．平面
C．平面平面
D．動點在正方體的表面上運動，為中點，且，則點的運動軌跡圍成的面積為
在正四面體中，，，分別為，，的中點，則　　
A．與平行，平面平面
B．與異面，平面平面
C．與平行，與平面平行
D．與異面，與平面平行
在三棱柱中，為的中點，，平面，，則下列結論錯誤的是　　
A．平面平面 B．平面平面
C．平面 D．
如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于，的一點，則下面結論中錯誤的是　　
A． B．
C．平面 D．平面平面
如圖，正方體中，點、、、分別為棱，，，的中點，點為棱上的動點，則下列說法中正確的個數是　　
①與異面；
②平面；
③平面截正方體所得的截面圖形始終是四邊形；
④平面平面．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
設，為兩條直線，，為兩個平面，若，則　　
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
直線與平面所成的角
【要點講解】(1)根據線面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找) 證 求(算)三步曲．(2)射影法：設斜線段AB在平面α內的射影為A′B′，AB與α所成角為θ，則cos θ＝；設△ABC在平面α內的射影三角形為△A′B′C′，平面ABC與α所成角為θ，則cos θ＝. (3)向量法，詳見后續內容.
正方體中，直線與平面所成的角為　　
A． B． C． D．
正四棱柱中，，四面體體積為，則與平面所成角的正弦值為　　
A． B． C． D．
在正三棱柱中，側棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側面所成角的正弦值為　　
A． B． C． D．
在棱長為2的正方體中，為上的動點，則與平面所成角的正切值不可能為　　
A．1 B． C． D．
如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點．
（1）求證：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．
如圖1，是邊長為6的等邊三角形，點，分別在線段，上，，，沿將折起到的位置，使得，如圖2．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求．
如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
二面角
【要點講解】根據二面角的平面角的定義，先作出二面角的平面角，步驟是作(找) 證 求(算)三步曲．
如圖，在正方體中，截面與底面所成銳二面角的正切值為　　
A． B． C． D．
如圖，在直三棱柱中，，，，點是棱的中點，則平面與平面所成角的正弦值為　　
A． B． C． D．
如圖，二面角等于，，是棱上兩點，，分別在半平面，內，，，且，，則　　
A． B． C． D．
如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．
是正三角形，線段和都垂直于平面，設，，且為的中點，如圖：
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）求平面與平面所成的二面角的大小．
如圖，在三棱柱中，平面，為正三角形，側面是邊長為2的正方形，為的中點．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角大小的余弦值．
存在性問題
如圖，在正方體中，點，分別是棱和線段上的動點，則滿足與垂直的直線　　
A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有無數條 D．不存在
在正四面體中，已知，分別是，上的點（不含端點），則　　
A．不存在，，使得
B．存在，使得
C．存在，使得平面
D．存在，，使得平面平面
如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為　　
A．存在點，使得 B．存在點．使得
C．直線始終與直線異面 D．直線始終與直線異面
如圖，正方形所在平面和等腰梯形所在平面相互垂直，已知，．
（1）求證：；
（2）在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
如圖，直三棱柱中，，，，分別為，的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）線段上是否存在點，使平面？說明理由．
如圖示，正方形與正三角形所在平面互相垂直，是的中點．
（1）求證：；
（2）在線段上是否存在一點，使面面？并證明你的結論．
如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．
（1）證明：；
（2）線段上是否存在一點，使得直線垂直平面，若存在，求出線段的長，若不存在，說明理由．專題7.5 空間向量與立體幾何
目錄
題型一： 空間向量的線性運算 3
題型二： 共線、共面向量定理 10
題型三： 數量積運算 15
題型四： 求夾角取值范圍 17
空間向量及其有關概念
名稱 定義
共線(平行) 向量 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量
共面向量 平行于同一個平面的向量，叫做共面向量
共線向 量定理 對于任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb
共面向 量定理 如果兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb
空間向量 基本定理 如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
空間向量及其運算的坐標表示
(1)空間向量運算的坐標表示：設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標表示：設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
當b≠0時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝
.
(3)空間向量的坐標及兩點間的距離公式：設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|P1P2|＝.
用空間向量研究直線、平面的位置關系
位置關系 向量表示
直線l1，l2的方向 向量分別為n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m l∥α n⊥m m·n＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分別為n，m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
空間向量的線性運算
【要點講解】用基向量表示指定向量的步驟：①結合已知向量和所求向量觀察圖形；②將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中；③利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.
已知點，3，，，3，，，則點的坐標為　　
A．，3， B．，， C．，6， D．，3，
【解答】解：設，，，
因為，3，，，3，，
所以，，
因為，所以，，，0，，
所以，解得，即，3，．
故選：．
在正四面體中，過點作平面的垂線，垂足為點，點滿足，則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：在正四面體中，平面，
為的中心，連接，
則，
．
故選：．
如圖，在空間四邊形中，，，，點滿足，點為的中點，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：在空間四邊形中，，，，，點為的中點，
則
．
故選：．
在平行六面體中，點是線段上的一點，且，設，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得，．
故選：．
如圖，在平行六面體中，是的中點，點在上，且，設，，．則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，．
因為是的中點，
所以，
又因為點在上，且，
所以
，
所以．
故選：．
如圖，四棱錐的底面是矩形，設，，，是棱上一點，且，則，則　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：根據題意，，
又，
則，，，
則．
故選：．
平行六面體的所有棱長都是1，為中點，，，則　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：依題意
，
又，所以，．
故選：．
如圖，平行六面體的各棱長均為1，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得，，，
而，
，
．
故選：．
在平行六面體中，，，，，，則的長　　
A．10 B． C． D．
【解答】解：如下圖，，則，
所以，
又，，，，，
所以．
故選：．
三棱柱中，、分別是、上的點，且，．設，，．
（Ⅰ）試用表示向量；
（Ⅱ）若，，，求的長．
【解答】解：（Ⅰ）由圖形知．
（Ⅱ）由題設條件
，
，．
如圖，在三棱柱中，為空間一點，且滿足，則下列說法錯誤的是　　
A．當時，點在棱上 B．當時，點在線段上
C．當時，點在棱上 D．當時，點在線段上
【解答】解：如圖，在三棱柱中，為空間一點，且滿足，
對于：當時，，又，，所以，
則點在棱上，故正確；
對于：當時，，，，點在線段上，故錯誤；
對于：當時，，
所以，及，且，，點在棱上，故正確；
對于；當時，，，
即，所以點在線段上，故正確．
故選：．
共線、共面向量定理
【要點講解】(1)對空間三點P，A，B，可通過證明下列結論成立來證明三點共線：①＝λ；②對空間任一點O，存在實數t，使＝＋t；③對空間任一點O，＝(1－t)＋t或＝x＋y，這里x＋y＝1.
(2)對空間四點P，M，A，B，可通過證明下列結論成立來證明四點共面：①＝x＋y；②對空間任一點O，＝＋x＋y；③對空間任一點O，＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1；④∥.
已知向量，，，若向量與向量，共面，則實數的值為　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：向量與向量，共面，不共線，則，
即，2，，，，
所以，解得．
故選：．
在下列條件中，點與點，，一定共面的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：若點與點，，共面，則，，共面，從而存在實數，使得，
即，
，
，
而選項都不滿足，故錯誤；
對，由，可得，
因為，所以錯誤；
對，可得，化簡可得，滿足，故正確．
故選：．
已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有　　
A．共線 B．共線
C．共面 D．不共面
【解答】解：若共線，則，
又，所以，，則共線，
與條件矛盾，故錯誤；
同理若共線，則，
又，所以，，則共線，
與條件矛盾，故錯誤；
根據空間向量的共面定理可知共面，即正確，錯誤．
故選：．
在下列條件中，一定能使空間中的四點，，，共面的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根據共面向量定理，，
若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是，
由此得到選項，，均不正確；
對于，，，，，四點共面．
故選：．
已知，若共面，則實數的值為　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：顯然向量與不平行，而，，共面，
則存在實數，使，即，5，，，，4，，
于是，解得，所以實數的值為5．
故選：．
已知向量，，若，則　　
A． B． C． D．7
【解答】解：由，可得，
即，，，0，，
即，解得，，
則．
故選：．
在正四面體中，，，，分別是，，，的中點．設，，．
（1）用，，表示，；
（2）求證：，，，四點共面．
【解答】解：（1），分別是，的中點，
，
，分別是，的中點，
；
證明：（2），，，
，
，
從而，，，四點共面．
已知空間三點，，，，1，，，3，，設，，．
（1）判斷的形狀；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）由于空間三點，，，，1，，，3，，
故，，，
所以，故為等腰直角三角形；
（2）空間三點，，，，1，，，3，，設，，．
故，，
由于，故，解得．
已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求實數的值．
【解答】解：（1）由已知可得，，
．
（2），，
，存在實數使得，
，，，聯立解得．
如圖所示，在平行六面體中，、分別在和上，且，．
（1）證明、、、四點共面；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）證明：，
又，
又，
，
，
故、、、四點共面；
（2），
又，
，，，．
數量積運算
【要點講解】由向量數量積的定義知，要求a與b的數量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確．
向量，，滿足，，且，則　　
A． B． C．22 D．
【解答】解：因為，，且，
所以，
所以．
故選：．
已知點，2，，，1，，，0，，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因為點，2，，，1，，，0，，
則，
所以．
故選：．
設，向量在向量上的投影向量為，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量 在向量 上的投影向量為，
又向量在向量上的投影向量為，
則．
當且僅當 時，等號成立，所以的最小值為．
故選：．
已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量是　　
A．，2， B．，2， C．，2， D．，2，
【解答】解：空間向量在坐標平面上的投影向量為，2，．
故選：．
已知四面體的所有棱長都等于2，是棱的中點，是棱靠近的四等分點，則等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖：是棱的中點，是棱靠近的四等分點，
，
空間四面體的每條棱長都等于2，
每個面都是等邊三角形，
．
故選：．
已知向量，若，，，共面，則在上的投影向量的模為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，，共面，則存在實數，，使得，即，1，，，，
于是，
所以在上的投影向量的模為．
故選：．
已知空間向量，，，，2，，若，則的值為　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：空間向量，，，，2，，
，
．
故選：．
求夾角取值范圍
已知空間三點，，，，0，，，3，，則向量與的夾角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，
所以，
又，所以．
故選：．
已知向量，則與的夾角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據，
可得，2，，，，，
于是，
即，
所以與的夾角為．
故選：．
若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因為，，
令與共線，則，即，，，0，，
即，解得，
此時，，即，與反向，
又與的夾角為鈍角，
所以且與不反向共線，
即且，
解得且．
故選：．
已知向量，，，，2，的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：向量，，，，2，的夾角為鈍角，
，
解得，且，
實數的取值范圍為，，．
故選：．
若單位向量與向量的夾角等于，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：單位向量，，與向量，1，的夾角等于，
，且，
即，
，即，
故選：．
設，，向量，1，，，，，，，，且，，
（1）求；
（2）求向量與夾角．
【解答】解：（1），，向量，1，，，，，，，，且，，
可得，，解得，，
則，，，
則．
（2）因為，4，，
所以
向量與夾角為．
如圖，在底面為矩形的四棱錐中，底面，為棱上一點，且，．以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．
（1）寫出，，，四點的坐標；
（2）求，．
【解答】解：（1）依題意可得，，，，3，，，3，，，0，．
（2）因為，，
所以，．專題7.5 空間向量與立體幾何
目錄
題型一： 空間向量的線性運算 3
題型二： 共線、共面向量定理 6
題型三： 數量積運算 10
題型四： 求夾角取值范圍 11
空間向量及其有關概念
名稱 定義
共線(平行) 向量 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量
共面向量 平行于同一個平面的向量，叫做共面向量
共線向 量定理 對于任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb
共面向 量定理 如果兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb
空間向量 基本定理 如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
空間向量及其運算的坐標表示
(1)空間向量運算的坐標表示：設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標表示：設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
當b≠0時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝
.
(3)空間向量的坐標及兩點間的距離公式：設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|P1P2|＝.
用空間向量研究直線、平面的位置關系
位置關系 向量表示
直線l1，l2的方向 向量分別為n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m l∥α n⊥m m·n＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分別為n，m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
空間向量的線性運算
【要點講解】用基向量表示指定向量的步驟：①結合已知向量和所求向量觀察圖形；②將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中；③利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.
已知點，3，，，3，，，則點的坐標為　　
A．，3， B．，， C．，6， D．，3，
在正四面體中，過點作平面的垂線，垂足為點，點滿足，則　　
A． B．
C． D．
如圖，在空間四邊形中，，，，點滿足，點為的中點，則　　
A． B． C． D．
在平行六面體中，點是線段上的一點，且，設，，，則　　
A． B． C． D．
如圖，在平行六面體中，是的中點，點在上，且，設，，．則　　
A． B．
C． D．
如圖，四棱錐的底面是矩形，設，，，是棱上一點，且，則，則　　
A．1 B． C． D．
平行六面體的所有棱長都是1，為中點，，，則　　
A．， B．， C．， D．，
如圖，平行六面體的各棱長均為1，，，則　　
A． B． C． D．
在平行六面體中，，，，，，則的長　　
A．10 B． C． D．
三棱柱中，、分別是、上的點，且，．設，，．
（Ⅰ）試用表示向量；
（Ⅱ）若，，，求的長．
如圖，在三棱柱中，為空間一點，且滿足，則下列說法錯誤的是　　
A．當時，點在棱上 B．當時，點在線段上
C．當時，點在棱上 D．當時，點在線段上
共線、共面向量定理
【要點講解】(1)對空間三點P，A，B，可通過證明下列結論成立來證明三點共線：①＝λ；②對空間任一點O，存在實數t，使＝＋t；③對空間任一點O，＝(1－t)＋t或＝x＋y，這里x＋y＝1.
(2)對空間四點P，M，A，B，可通過證明下列結論成立來證明四點共面：①＝x＋y；②對空間任一點O，＝＋x＋y；③對空間任一點O，＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1；④∥.
已知向量，，，若向量與向量，共面，則實數的值為　　
A．1 B． C． D．
在下列條件中，點與點，，一定共面的是　　
A． B．
C． D．
已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有　　
A．共線 B．共線
C．共面 D．不共面
在下列條件中，一定能使空間中的四點，，，共面的是　　
A． B．
C． D．
已知，若共面，則實數的值為　　
A．6 B．5 C．4 D．3
已知向量，，若，則　　
A． B． C． D．7
在正四面體中，，，，分別是，，，的中點．設，，．
（1）用，，表示，；
（2）求證：，，，四點共面．
已知空間三點，，，，1，，，3，，設，，．
（1）判斷的形狀；
（2）若，求的值．
已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求實數的值．
如圖所示，在平行六面體中，、分別在和上，且，．
（1）證明、、、四點共面；
（2）若，求的值．
數量積運算
【要點講解】由向量數量積的定義知，要求a與b的數量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確．
向量，，滿足，，且，則　　
A． B． C．22 D．
已知點，2，，，1，，，0，，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
設，向量在向量上的投影向量為，則的最小值為　　
A． B． C． D．
已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量是　　
A．，2， B．，2， C．，2， D．，2，
已知四面體的所有棱長都等于2，是棱的中點，是棱靠近的四等分點，則等于　　
A． B． C． D．
已知向量，若，，，共面，則在上的投影向量的模為　　
A． B． C． D．
已知空間向量，，，，2，，若，則的值為　　
A．1 B． C．2 D．
求夾角取值范圍
已知空間三點，，，，0，，，3，，則向量與的夾角為　　
A． B． C． D．
已知向量，則與的夾角為　　
A． B． C． D．
若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
已知向量，，，，2，的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為　　
A． B．
C． D．
若單位向量與向量的夾角等于，則　　
A． B． C． D．
設，，向量，1，，，，，，，，且，，
（1）求；
（2）求向量與夾角．
如圖，在底面為矩形的四棱錐中，底面，為棱上一點，且，．以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．
（1）寫出，，，四點的坐標；
（2）求，．專題7.6 向量法求空間角和距離
目錄
題型一： 異面直線所成角 2
題型二： 直線與平面所成角 9
題型三： 平面與平面的夾角 18
題型四： 點到平面的距離 26
用空間向量研究距離、夾角問題
分類 圖示 計算公式
夾 角 異面直線所成的角 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ ＝
直線與平面所成的角 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ ＝
兩個平面的夾角 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ＝
距 離 點到直線的距離 PQ＝＝(u是直線l的單位方向向量)
點到平面的距離 PQ＝＝ ＝(n是平面α的法向量)
異面直線所成角
【要點講解】找出兩條異面直線的方向向量，結合數量積的運算，利用向量的夾角公式和異面直線所成角的范圍即可求得答案．
在長方體中，已知，點是線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：連接，，
由幾何體的特征可得，
所以異面直線與所成角為，
設，則，，
所以，，
，
，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
故選：．
在正方體中，點在上運動（包括端點），則與所成角的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設與所成角為．
以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設．
則，0，，，1，，，1，，，0，，
，，0，，，
設，
則，．
，，
當時，，；
當時，，，
此時，，
當且僅當時等號成立．
．
故選：．
如圖，在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，將該幾何體補成一個直四棱柱，由題易得底面為菱形，且為等邊三角形．
連接，，易得，所以（或其補角）是異面直線與所成的角．
設，則，
所以．
故選：．
如圖所示，在正方體中，為線段上的動點，則下列直線中與直線夾角為定值的直線為　　
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【解答】解：設正方體的棱長為1，如圖，以為原點，
分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，
，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，
設，，，，，則，，
，，，
，不是定值，故錯；
，不是定值，故錯；
，所以直線與直線所成角為，故正確；
，不是定值，故錯．
故選：．
某鐘樓的鐘面部分是一個正方體，在該正方體的四個側面分別有四個時鐘，如果四個時鐘都是準確的，那么從零點開始到十二點的過程中，相鄰兩個面上的時針所成的角為的位置有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：取正方體的相鄰兩個面，，
它們的中心分別為，，是對應鐘面圓心，
0點時，兩個鐘面時針分別指向點，，
顯然，直線，分別為正方體相鄰兩個正方形的面對角線所在直線，
它們成的角，即兩個鐘面時針分別指向點時，兩個時針所成的角為，
當兩個鐘面時針分別指向點，時，有，
因此當時針從0點轉到3點的過程中，兩個時針所在直線所成的角從逐漸增大到，
令成角的位置時針分別指向棱，上的點，，
如圖，建立空間直角坐標系，令，
則，1，，，2，，設，
顯然，則，，，，2，，
，，
，解得，
因此時針從0點轉到3點的過程中，相鄰兩個面上的時針所成的角為的位置有1個，
同理時針從3點轉到6點，6點轉到9點，9點轉到12點，兩個時針所成的角為的位置各有1個，
所以從零點開始到十二點的過程中，相鄰兩個面上的時針所成的角為的位置有4個．
故選：．
正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：連接，則，
則（或其補角）為異面直線與所成角，
設正方體的棱長為，則在中，，，
由余弦定理得，
即異面直線與所成角的余弦值為．
故選：．
直線與平面所成角
【要點講解】利用空間向量求直線與平面所成的角，可以有兩種方法：①通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角；②分別求出斜線和它在平面內的射影的方向向量，再轉化為求這兩個方向向量的夾角(或其補角). 注意：直線與平面所成角的取值范圍是.
如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點．
（1）求證：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．
【解答】（1）證明：（法一）
取的中點，連接，，
因為直三棱柱中，為的中點，
所以，且，
因為，分別，的中點，
所以，，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面．
（法二）
取的中點，連接，，
由直三棱柱可得四邊形為平行四邊形，
又因為為的中點，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面．
因為點，分別為，的中點，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面，
而，平面，平面，
所以平面平面，
而平面，
所以平面．
（2）因為在直三棱柱中又有，
所以，，兩兩垂直，分別以直線，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系：
則，0，，，2，，，1，，，1，，
所以，，，
設是平面的法向量，
則，取，則，
設直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成的角的余弦為．
如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，，側棱平面，點是棱的中點，點是棱上的動點（不含端點．
（1）證明：平面平面；
（2）若平面與平面所成的銳角的余弦值為，試判斷點的位置．
【解答】（1）證明：因為是等邊三角形，點是的中點，
所以，
因為平面，平面，
所以，
又因為，，平面，
所以平面，因為平面，
所以平面平面；
（2）解：在平面中，作，以為坐標原點，
，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系如圖所示，
因為為等邊三角形，，，
則，，，0，，
因為，所以，
設，，則，
所以，
，，，
設平面的一個法向量為，
可得，令，得，
設平面的一個法向量為，
可得，令，得，
設平面與平面所成角為，
則，
又因為，解得，
即平面與平面所成的銳角的余弦值為時，點與重合．
如圖，在多面體中，四邊形是一個矩形，，，，，．
（1）求證：平面；
（2）若平面平面，求平面與平面的夾角的余弦值．
【解答】（1）證明：設，連接，
由于，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
由于平面，平面，
所以平面；
（2）解：依題意，面面，，
以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
平面的法向量為，
，
，
設平面的法向量為，
則，故可設，
設平面與平面的夾角為，
則．
如圖，已知在四棱錐中，平面，點在棱上，且，底面為直角梯形，，分別是，的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【解答】（1）證明：如圖，以為原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，
由題意可得：，，1，，
，，
設為平面的法向量，
則有：，
令，則平面的法向量，2，，
，又平面，
平面．
（2）設，，為平面的法向量，
又
則有：，
令，則平面的法向量，1，，
又，
設直線與平面所成角為，
，
直線與平面所成的角的正弦值為．
如圖，在三棱錐中，，平面平面，平面平面，，，為的中點．
（1）證明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
【解答】（1）證明：在線段上任取一點，過點作，垂足為，
因為平面平面，，平面，
所以平面，從而，
同理，由平面平面，可得，
因為，，平面，
所以平面；
（2）解：以為原點，過作平行于的直線為軸，，所在直線分別為， 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系：
則，1，，，1，，，0，，，
，，
設平面的法向量為，，，
由得，
令，得，0，，
易知平面的一個法向量為，0，，
設二面角的大小為，觀察可得為銳角，
所以，
即二面角的余弦值為．
如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，為線段的中點，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）證明：因為平面，平面，所以，
又底面為正方形，所以，
又，且，平面，所以平面，
因為平面，所以．
（Ⅱ）以點為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
則，0，，，0，，，2，，，0，，
則，0，，，2，，
設平面的一個法向量為，，，
則，即，令，可得，1，，
易知，2，是平面的一個法向量，
所以，，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
平面與平面的夾角
【要點講解】解決平面與平面的夾角問題通常用向量法，具體步驟如下：
(1)建立坐標系，建坐標系的原則是盡可能使已知點在坐標軸上或在坐標平面內．
(2)根據題意正確寫出所有“相關點”的坐標以及“相關向量”的坐標．
(3)分別求出二面角所在的兩個平面的法向量．
(4)利用夾角公式求得法向量的夾角．
(5)將法向量的夾角“翻譯”成為所求兩平面的夾角．
如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，若，則平面與平面的夾角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為平面，且為正方形，
故可建立如圖所示空間直角坐標系，
因為正方形邊長為1，，
則，0，、，1，、，0，，
所以，，
設平面的法向量為，
則，取，可得，
取平面的一個法向量為，
設平面與平面的夾角為，
則，
又，所以．
故選：．
已知二面角的平面角為，與平面所成角為．記的面積為，的面積為，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：作，垂足為，連接，
，即，，，平面，
平面，平面，
，又，故平面，平面，
為在內的射影，則為與平面所成角，即，
，，
為二面角的平面角，即，
，
在中，由正弦定理有：
，
，
，又，
，，又，
，即，．
故選：．
如圖，在四棱錐中，底面是菱形，．
（1）證明：平面平面；
（2）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【解答】證明：（1）設交于，底面是菱形，
則，是中點，
又，所以，
又，，平面，
則平面，
又平面，
則平面平面．
（2），，
不妨設，則，，，
又，則，所以，
所以，
以為原點，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，
則，，1，，，，，，，0，，
，，，，
設平面的一法向量為，
則，取，則，
同理，求得平面的一法向量，
設平面和平面所成銳角為，
則，
所以，平面和平面所成銳角的余弦值為．
如圖，四棱錐中，平面，底面為正方形，已知，為中點．
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：連結交于，連結，
因為為正方形，所以是中點，
又為中點，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因為平面，為正方形，所以，，兩兩垂直．
如圖，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標系，設，則，
則，0，，，2，，，2，，，
，，，，
設，，是平面的法向量，
則，即，取，可得，，，
設直線與平面所成角為，
則，
故直線與平面所成角正弦值為；
（3）設，，是平面的法向量，
則，即，取，可得，1，，
則，，
顯然二面角是鈍二面角，故其余弦值為．
如圖，平面平面，點為半圓弧上異于，的點，在矩形中，，設平面與平面的交線為．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）當與半圓弧相切時，求平面與平面的夾角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）證明：四邊形為矩形，，
平面，平面，平面，
又平面，平面平面，，
平面，平面；
（Ⅱ）解：取，的中點分別為，，連接，，則，
平面平面，且交線為，平面，
又平面，，當與半圓弧相切時，，即，
以，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
不妨設，易得，，，，2，，，，，，0，，
則，，，
設為平面的一個法向量，
則，即，，
令，得，
設為平面的一個法向量，
則，即，
令，得，
，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
如圖，四棱柱中，底面為正方形，與交于點，平面平面，與底面所成的角為．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值．
【解答】（1）證明：過作于，因為平面平面，
又平面平面，所以平面，
所以為直線與平面所成的角，所以，
又因為底面為正方形，，
所以，又，是中點，
可知，為同一點，所以平面；
（2）解：因為底面是正方形，所以，
以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，
又，所以，
所以，
設平面的法向量是，則，，
則有
令，得，
因為，
設平面的法向量為，則，，
則有令，得，
所以，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
點到平面的距離
【要點講解】利用空間向量求距離的基本方法：
①兩點間的距離：設點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2)，則AB＝||＝；
②點到平面的距離：如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為||＝.
如圖，在正四棱柱中，，．點，，分別在棱，，上，，，，則點到平面的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：在正四棱柱中，，．點，，分別在棱，，上，，，，
以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，0，，，0，，，0，，，2，，
，，．
設平面的法向量為，
則，令，得，
點到平面的距離為．
故選：．
如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點到平面的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，0，，，0，，，4，，，4，，，4，，，4，，
，．
設為平面的法向量為，
則，即，令，得．
又，
點到平面的距離．
故選：．
如圖，點為矩形所在平面外一點，平面，為的中點，，，，則點到平面的距離為　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：由題意，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
則，0，，，4，，，0，，，0，，
所以，
設平面的法向量為，
則，即，
令，則，，
故，
所以點到平面的距離為．
故選：．
正方體的棱長為，則棱到面的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，連接，，設交點為，則，
因為平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
所以的長即為棱到面的距離，
由，知所求距離為．
故選：．
在平行四邊形中，，，，將沿折起，使得平面平面，則到平面的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，，，得，，
則，，又四邊形為平行四邊形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
在平面內，作于點，平面平面，平面平面，
平面，則即為所求點到平面的距離，
在直角三角形中，，又，
．
到平面的距離為．
故選：．
正四棱柱中，，，為中點，為下底面正方形的中心．求：
（1）點到直線的距離；
（2）點到平面的距離．
【解答】解：（1）建立如圖所示空間直角坐標系，
，2，，，4，，，4，，，0，，
，
所以到直線的距離為：
．
（2）由（1）得
設平面的法向量為，，，
由，可取，，則，
可得，
所以點到平面的距離為．專題7.6 向量法求空間角和距離
目錄
題型一： 異面直線所成角 2
題型二： 直線與平面所成角 4
題型三： 平面與平面的夾角 7
題型四： 點到平面的距離 11
用空間向量研究距離、夾角問題
分類 圖示 計算公式
夾 角 異面直線所成的角 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ ＝
直線與平面所成的角 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ ＝
兩個平面的夾角 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ＝
距 離 點到直線的距離 PQ＝＝(u是直線l的單位方向向量)
點到平面的距離 PQ＝＝ ＝(n是平面α的法向量)
異面直線所成角
【要點講解】找出兩條異面直線的方向向量，結合數量積的運算，利用向量的夾角公式和異面直線所成角的范圍即可求得答案．
在長方體中，已知，點是線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
在正方體中，點在上運動（包括端點），則與所成角的取值范圍是　　
A． B． C． D．
如圖，在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
如圖所示，在正方體中，為線段上的動點，則下列直線中與直線夾角為定值的直線為　　
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
某鐘樓的鐘面部分是一個正方體，在該正方體的四個側面分別有四個時鐘，如果四個時鐘都是準確的，那么從零點開始到十二點的過程中，相鄰兩個面上的時針所成的角為的位置有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為　　
A． B． C． D．
直線與平面所成角
【要點講解】利用空間向量求直線與平面所成的角，可以有兩種方法：①通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角；②分別求出斜線和它在平面內的射影的方向向量，再轉化為求這兩個方向向量的夾角(或其補角). 注意：直線與平面所成角的取值范圍是.
如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點．
（1）求證：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．
如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，，側棱平面，點是棱的中點，點是棱上的動點（不含端點．
（1）證明：平面平面；
（2）若平面與平面所成的銳角的余弦值為，試判斷點的位置．
如圖，在多面體中，四邊形是一個矩形，，，，，．
（1）求證：平面；
（2）若平面平面，求平面與平面的夾角的余弦值．
如圖，已知在四棱錐中，平面，點在棱上，且，底面為直角梯形，，分別是，的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
如圖，在三棱錐中，，平面平面，平面平面，，，為的中點．
（1）證明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，為線段的中點，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值．
平面與平面的夾角
【要點講解】解決平面與平面的夾角問題通常用向量法，具體步驟如下：
(1)建立坐標系，建坐標系的原則是盡可能使已知點在坐標軸上或在坐標平面內．
(2)根據題意正確寫出所有“相關點”的坐標以及“相關向量”的坐標．
(3)分別求出二面角所在的兩個平面的法向量．
(4)利用夾角公式求得法向量的夾角．
(5)將法向量的夾角“翻譯”成為所求兩平面的夾角．
如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，若，則平面與平面的夾角為　　
A． B． C． D．
已知二面角的平面角為，與平面所成角為．記的面積為，的面積為，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
如圖，在四棱錐中，底面是菱形，．
（1）證明：平面平面；
（2）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
如圖，四棱錐中，平面，底面為正方形，已知，為中點．
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
如圖，平面平面，點為半圓弧上異于，的點，在矩形中，，設平面與平面的交線為．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）當與半圓弧相切時，求平面與平面的夾角的余弦值．
如圖，四棱柱中，底面為正方形，與交于點，平面平面，與底面所成的角為．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值．
點到平面的距離
【要點講解】利用空間向量求距離的基本方法：
①兩點間的距離：設點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2)，則AB＝||＝；
②點到平面的距離：如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為||＝.
如圖，在正四棱柱中，，．點，，分別在棱，，上，，，，則點到平面的距離為　　
A． B． C． D．
如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點到平面的距離為　　
A． B． C． D．
如圖，點為矩形所在平面外一點，平面，為的中點，，，，則點到平面的距離為　　
A．1 B． C． D．
正方體的棱長為，則棱到面的距離為　　
A． B． C． D．
在平行四邊形中，，，，將沿折起，使得平面平面，則到平面的距離為　　
A． B． C． D．
正四棱柱中，，，為中點，為下底面正方形的中心．求：
（1）點到直線的距離；
（2）點到平面的距離．

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