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專題01 數列的概念
目錄
題型一： 數列的通項 3
題型二： 已知Sn＝f(n)求通項公式 4
題型三： 數列的單調性 5
題型四： 數列的最值 9
題型五： 數列的周期性 13
1．數列的概念
概念 含義
數列 按照確定的順序排列的一列數稱為數列
數列 的項 數列中的每一個數叫做這個數列的項，其中第1項也叫首項
通項 公式 如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式
前n 項和 數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn
2.數列的分類
分類標準 類型 含義
按項數 有窮數列 項數有限的數列
無窮數列 項數無限的數列
按項的 變化趨勢 遞增數列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列，即恒有an＋1>an(n∈N*)
遞減數列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列，即恒有an＋1常數列 各項都相等的數列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)
3.數列的表示法
表示法 定義
列表法 列出表格表示n與an的對應關系
圖象法 把點(n，an)畫在平面直角坐標系中
公 式 法 通項公式 an＝f(n)
遞推公式 如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式. 如an＋1＝f(an)，an＝f(an－1，an＋1)(n≥2)等
4.an與Sn的關系
數列{an}的通項an與前n項和Sn之間的關系為an＝
5．數列最值：若(n≥2)，則an最大；若(n≥2)，則an最?。?br/>數列的通項
【要點講解】給出數列的前幾項求通項時，主要從以下幾個方面來考慮：①熟悉一些常見數列的通項公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的數列，分子、分母分別求通項，較復雜的還要考慮分子、分母的關系；③若第n項和第n＋1項正負交錯，那么用符號(－1)n或(－1)n＋1來適配；④對于較復雜數列的通項公式，可使用添項、通分、分割等方法，將數列的各項分解成若干個常見數列對應項的“和”“差”“積”“商”后再進行歸納；⑤注意通項公式的形式不一定是唯一的，如數列1,0,1,0，…的通項公式可寫成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等．
數列2，5，11，20，，47，中的值為　　
A．28 B．32 C．33 D．27
【解答】解：由題意知，數列2，5，11，20，，47，
，，，
則，解得，
故選：．
數列，7，，13，的一個通項公式為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由符號來看，奇數項為負，偶數項為正，所以通項公式中應該是，
數值4，7，10，13，滿足，所以通項公式可以是．
故選：．
數列的一個通項公式可以是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，數列，
即，，，，，
故該數列的一個通項公式可以為．
故選：．
已知Sn＝f(n)求通項公式
【要點講解】Sn與an關系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
值得注意的是：最后要么確定首項a1，要么就是驗證a1是否滿足n≥2時得到的通項，滿足的話，可以“合并統一”，不滿足只能寫成分段形式．
已知數列的前項和，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因為數列的前項和，
所以．
故選：．
若數列的前項和，則　　
A．7 B．8 C．9 D．17
【解答】解：數列的前項和，
．
故選：．
設數列的前項和，則的值為　　
A．15 B．17 C．49 D．64
【解答】解：數列的前項和，則．
故選：．
設數列前項和為，，求數列的通項公式．
【解答】解：由．
當時，；
當時，．
不適合上式．
已知數列的前項和為．
（1）求出的通項公式；
（2）求的最小值及取最小值時的值．
【解答】解：（1）因為，所以當時，；
當時，；
顯然是，也滿足，所以；
（2）因為，
又，所以當或時，取得最小值．
數列的單調性
【要點講解】數列是特殊函數，研究其性質一般都離不開函數與方程思想的應用. 解決數列單調性的方法主要有：作差比較、作商比較及結合相應函數直觀判斷，求最大項可通過列不等式組來求，在根據函數的單調性判斷時，要時刻注意n∈N*取值的離散性.
下列通項公式中，對應數列是遞增數列的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：對于，選項對應數列是遞減數列；
對于選項，，數列是遞增數列；
對于選項，，數列不是遞增數列．
故選：．
已知數列的前項的積為，且，2，3，，則數列　　
A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
【解答】解：當時，當時，
所以，而，
故為最小項，為最大項．
故選：．
已知數列中，，則數列的最小項是　　
A．第1項 B．第3項、第4項 C．第4項 D．第2項、第3項
【解答】解：根據題意，數列中，，則，
當時，有，則有，
當時，有，則有，
當時，有，則有，
故數列的最小項是第2項、第3項．
故選：．
寫出一個同時具有下列性質①②的數列的通項公式：?。ǚ洗朔N形式即可）　．
①，，；
②單調遞增．
【解答】解：假設數列為等差數列，設其公差為，首項為，
由性質①可得：，
即，
再根據②可知，公差，顯然滿足題意．
故答案為：（符合此種形式即可）．
已知數列的通項公式為，，且為單調遞增數列，則實數的取值范圍是 　?。?br/>【解答】解：數列的通項公式為，且數列是遞增數列，
，恒成立，
即，恒成立，
而，隨的增大而增大，
即當時，，取得最小值2，則，
所以實數的取值范圍是，
故答案為：．
設且，已知數列滿足，且是遞增數列，則的取值范圍是 ．
【解答】解：因為是遞增數列，所以，解得，
即的取值范圍是．
故答案為：．
已知數列滿足，若對于任意都有，則實數的取值范圍是 ．
【解答】解：對于任意的都有，
數列單調遞減，可知．
①當時，，單調遞減，
而單調遞減，
，解得，
因此：．
②當時，，單調遞增，應舍去．
綜上可知：實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
若數列的通項公式是，且恒成立，則 ．
【解答】解：因為，
則，
所以，
故當或6時，取得最大項，
因為恒成立，
則或6．
故答案為：5或6．
已知數列為遞減數列，其前項和，則實數的取值范圍是 ．
【解答】解：①當時，，
②當時，，，
當時，，數列遞減，
綜上所述，若使為遞減數列，只需滿足，即，
解得，
故答案為：．
數列的最值
【要點講解】數列的最值一般包括“項的最值”和“和的最值”．解決“項的最值”問題，一般有兩種角度：(1)通過不等式組研究，如求最大項，則需滿足
通過解不等式組得到n的范圍，再結合n∈N*，確定具體項；(2)從項的“函數性”出發，以函數的視角從單調性出發得到最值．
解決“和的最值”問題，一般有兩種角度：(1)從“通項”著手，研究通項的函數單調性和“變號”情況，從而確定“和的最值”；(2)從“和”的函數單調性出發，直接根據單調性得到最值．
在數列中，，則數列中的最大項是第 項．
【解答】解：根據題意知：，解得；
，解得，
所以，，
所以．
故答案為：8．
在數列中，，則的最大值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得．
根據對勾函數與復合函數的單調性，在上遞增，在上遞減，
所以在中，，．
當時，，；
當時，．；
因為，所以，
所以的最大值是．
故選：．
若數列的通項公式為，則這個數列中的最大項是　　
A．第12項 B．第13項 C．第14項 D．第15項
【解答】解：，
，
當且僅當，即時，取等號，
當時，取得最大值．
故選：．
若，則數列的最大項是第 項．
【解答】解：根據題意，設，是開口向下，對稱軸為的二次函數，
距離對稱軸最近的正整數為8，
若，該數列中最大項是第8項．
故答案為：8．
已知數列的通項公式為，設數列的最大項和最小項分別為，，則 ．
【解答】解：當時，，
由，得，
則當且時，，
，，
，；
當時，，
由，得，
則當且時，，
又，，，
．
故答案為：0．
記為數列的前項和．若，2，，則　　
A．有最大項，有最大項 B．有最大項，有最小項
C．有最小項，有最大項 D．有最小項，有最小項
【解答】解：根據題意，數列，，
對于二次函數，，其開口向下，對稱軸為，即當時，取得最大值，
對于，時，最大；
且當時，，當時，，當時，，
故當或8時，最大，
故有最大項，有最大項；
故選：．
已知數列的前項和．
（1）求的最大值；
（2）求數列的通項公式．
【解答】解：（1）數列的前項和．
對稱軸為，
因為，將，代入得，，，
所以當時，取得最大值15．
（2）當時，，
當時，，
當時，，
所以．
已知等差數列中滿足，，
（1）求通項公式；
（2）試求數列中的最大項與最小項．
【解答】解：（1）設等差數列的公差為，，，
，解得．
或．
（2）時，數列單調遞增，時，取得最小值為，無最大值；
時，數列單調遞減，時，取得最大值為，無最小值．
數列的周期性
【要點講解】(1)解決數列周期性問題，一般先寫出前幾項從而確定周期，再依據周期求解. 待求式中出現較大下標或已知條件中有關鍵恒等式，都是周期數列的“信號”. 如an＋1＝，即f(x＋1)＝，由函數周期性相關結論可知該數列的一個周期為4.
(2)通項中函數和三角函數的數列的周期性問題的突破點往往從三角函數出發，根據正弦、余弦函數的最小正周期公式T＝得出三角函數的周期，研究該周期對數列通項的周期性變化的影響，通過“周期性并項”發現規律，從而解決問題．
數列中，，，，那么　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
，
，
，
故選：．
在數列中，已知，，則 ．
【解答】解：由，，
可得，，，
，，
所以數列的最小正周期為4，
所以．
故答案為：1．
在數列中，已知，，記為數列的前項和，則　　
A．1 B．1010 C．1 D．2019
【解答】解：可得，，，，．
，，，；
，；，，
所以每四項和為2，
則．
故選：．
已知各項都為正數的等比數列，若，則 ；
【解答】解：各項都為正數的等比數列，，
，解得，
．
故答案為：19．
一．選擇題（共6小題）
1．若數列的前項和，則下列結論正確的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：當時，，
當時，，
經檢驗，可得．
故選：．
2．已知函數，設數列的通項公式為，則下列選項錯誤的是　　
A．的值域是 B．的最小值為
C． D．數列是單調遞增數列
【解答】解：由于函數，
所以，
故，
由于，故，
所以，故錯誤；正確；
由于故函數為單調遞增函數，故數列是單調遞增數列，故正確；
由于函數為單調遞增函數，故的最小值為，故正確．
故選：．
3．已知數列中，，則數列的最小項是　　
A．第1項 B．第3項、第4項 C．第4項 D．第2項、第3項
【解答】解：根據題意，數列中，，則，
當時，有，則有，
當時，有，則有，
當時，有，則有，
故數列的最小項是第2項、第3項．
故選：．
4．記為數列的前項和．若，2，，則　　
A．有最大項，有最大項 B．有最大項，有最小項
C．有最小項，有最大項 D．有最小項，有最小項
【解答】解：根據題意，數列，，
對于二次函數，，其開口向下，對稱軸為，即當時，取得最大值，
對于，時，最大；
且當時，，當時，，當時，，
故當或8時，最大，
故有最大項，有最大項；
故選：．
5．若數列為，，，，，則是這個數列的　　
A．不在此數列中 B．第25項 C．第26項 D．第27項
【解答】解：設數列7，10，13，16，，為數列，
則數列是以7為首項，3為公差的等差數列，其通項公式為，
令解得．
故選：．
6．已知數列滿足，若為遞增數列，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：若為遞增數列，則，
則有，對于恒成立．
，對于恒成立，．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．數列的前項和為，已知，則下列說法正確的是　　
A．是遞減數列 B．
C．當時， D．當或4時，取得最大值
【解答】解：當時，，又，
所以，則是遞減數列，故正確；
，故錯誤；
當時，，故正確；
因為的對稱軸為，開口向下，
而是正整數，且或4距離對稱軸一樣遠，
所以當或4時，取得最大值，故正確．
故選：．
8．已知數列的通項公式為，則　　
A．數列為遞增數列 B．
C．為最小項 D．為最大項
【解答】解：根據題意，依次分析選項：
對于，數列的通項公式為，當時，，當時，，故數列不是遞增數列，錯誤；
對于，數列的通項公式為，，，，則錯誤；
對于和，由于，
易得當時，，有，
當時，，有，
則為最小項，為最大項，
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．已知數列的前8項1，1，2，3，5，10，13，21，令，則的最小值點　7　．
【解答】解：，
結合二次函數可得當時，取得最小值，
即的最小值點．
故答案為：7．
10．已知數列為遞增數列，．則的取值范圍是 　　．
【解答】解：數列為遞增數列，，
，
，
，，
的取值范圍是．
故答案為：．
11．已知數列的前項和，則數列的通項公式為　　．
【解答】解：由，
當時，．
當時，．
所以．
故答案為．
12．，，，，，的一個通項公式是 　?。?br/>【解答】解：分子為偶數列，分母為兩個相鄰連續奇數相乘，
則，，，，，的一個通項公式是．
故答案為：．
四．解答題（共4小題）
13．已知數列的通項公式為．
（1）數列中有多少項是負數？
（2）為何值時，有最小值？并求出最小值．
【解答】解：（1）由，得，
故數列中有兩項為負數；
（2），
因此當或3時，有最小值，最小值為．
14．用1、2、3、4四個數字可重復地任意排成三位數，并把這些三位數由小到大排成一個數列．
（1）寫出這個數列的第8項；
（2）這個數列共有多少項？
（3）若，求．
【解答】解：（1）由題意可得，數列的前8項分別為：111，112，113，114，121，122，123，124，
故這個數列的第8項為124．（3分）
（2）這個數列的項數就是用1、2、3、4排成的三位數，每個位上都有4種排法，
根據分步計數原理，共有項．（6分）
（3）比小的數有兩類：①百位上是1或2的，共有（個；
②百位上是3且十位上是1或2或3的，共有（個．
再根據分類計數原理可得，比小的數有 （個．
所求的．（10分）
15．已知數列是公差不為0的等差數列，，且是，的等比中項．
（1）求數列的通項公式；
（2）設為數列的前項和，求使成立的所有的值．
【解答】解：（1）設等差數列的公差，是，的等比中項，，，
化為：，又，聯立解得：，，
．
（2）由（1）可得：．
不等式，即，化為：，解得．
，3，4，5，6．
使成立的所有的值為2，3，4，5，6．
16．已知數列滿足．
（1）數列是遞增數列還是遞減數列？為什么？
（2）證明：對一切正整數恒成立．
【解答】解：（1），
，
，
又，，，
數列是遞增數列．
（2）由（1）知數列為遞增數列，
所以數列的最小項是，
所以即對一切正整數恒成立．專題01 數列的概念
目錄
題型一： 數列的通項 3
題型二： 已知Sn＝f(n)求通項公式 3
題型三： 數列的單調性 5
題型四： 數列的最值 6
題型五： 數列的周期性 8
1．數列的概念
概念 含義
數列 按照確定的順序排列的一列數稱為數列
數列 的項 數列中的每一個數叫做這個數列的項，其中第1項也叫首項
通項 公式 如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式
前n 項和 數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn
2.數列的分類
分類標準 類型 含義
按項數 有窮數列 項數有限的數列
無窮數列 項數無限的數列
按項的 變化趨勢 遞增數列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列，即恒有an＋1>an(n∈N*)
遞減數列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列，即恒有an＋1常數列 各項都相等的數列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)
3.數列的表示法
表示法 定義
列表法 列出表格表示n與an的對應關系
圖象法 把點(n，an)畫在平面直角坐標系中
公 式 法 通項公式 an＝f(n)
遞推公式 如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式. 如an＋1＝f(an)，an＝f(an－1，an＋1)(n≥2)等
4.an與Sn的關系
數列{an}的通項an與前n項和Sn之間的關系為an＝
5．數列最值：若(n≥2)，則an最大；若(n≥2)，則an最小．
數列的通項
【要點講解】給出數列的前幾項求通項時，主要從以下幾個方面來考慮：①熟悉一些常見數列的通項公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的數列，分子、分母分別求通項，較復雜的還要考慮分子、分母的關系；③若第n項和第n＋1項正負交錯，那么用符號(－1)n或(－1)n＋1來適配；④對于較復雜數列的通項公式，可使用添項、通分、分割等方法，將數列的各項分解成若干個常見數列對應項的“和”“差”“積”“商”后再進行歸納；⑤注意通項公式的形式不一定是唯一的，如數列1,0,1,0，…的通項公式可寫成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等．
數列2，5，11，20，，47，中的值為　　
A．28 B．32 C．33 D．27
數列，7，，13，的一個通項公式為　　
A． B．
C． D．
數列的一個通項公式可以是　　
A． B． C． D．
已知Sn＝f(n)求通項公式
【要點講解】Sn與an關系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
值得注意的是：最后要么確定首項a1，要么就是驗證a1是否滿足n≥2時得到的通項，滿足的話，可以“合并統一”，不滿足只能寫成分段形式．
已知數列的前項和，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
若數列的前項和，則　　
A．7 B．8 C．9 D．17
設數列的前項和，則的值為　　
A．15 B．17 C．49 D．64
設數列前項和為，，求數列的通項公式．
已知數列的前項和為．
（1）求出的通項公式；
（2）求的最小值及取最小值時的值．
數列的單調性
【要點講解】數列是特殊函數，研究其性質一般都離不開函數與方程思想的應用. 解決數列單調性的方法主要有：作差比較、作商比較及結合相應函數直觀判斷，求最大項可通過列不等式組來求，在根據函數的單調性判斷時，要時刻注意n∈N*取值的離散性.
下列通項公式中，對應數列是遞增數列的是　　
A． B．
C． D．
已知數列的前項的積為，且，2，3，，則數列　　
A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
已知數列中，，則數列的最小項是　　
A．第1項 B．第3項、第4項 C．第4項 D．第2項、第3項
寫出一個同時具有下列性質①②的數列的通項公式： 　．
①，，；
②單調遞增．
已知數列的通項公式為，，且為單調遞增數列，則實數的取值范圍是 　 ．
設且，已知數列滿足，且是遞增數列，則的取值范圍是 ．
已知數列滿足，若對于任意都有，則實數的取值范圍是 ．
若數列的通項公式是，且恒成立，則 ．
已知數列為遞減數列，其前項和，則實數的取值范圍是 ．
數列的最值
【要點講解】數列的最值一般包括“項的最值”和“和的最值”．解決“項的最值”問題，一般有兩種角度：(1)通過不等式組研究，如求最大項，則需滿足
通過解不等式組得到n的范圍，再結合n∈N*，確定具體項；(2)從項的“函數性”出發，以函數的視角從單調性出發得到最值．
解決“和的最值”問題，一般有兩種角度：(1)從“通項”著手，研究通項的函數單調性和“變號”情況，從而確定“和的最值”；(2)從“和”的函數單調性出發，直接根據單調性得到最值．
在數列中，，則數列中的最大項是第 項．
在數列中，，則的最大值是　　
A． B． C． D．
若數列的通項公式為，則這個數列中的最大項是　　
A．第12項 B．第13項 C．第14項 D．第15項
若，則數列的最大項是第 項．
已知數列的通項公式為，設數列的最大項和最小項分別為，，則 ．
記為數列的前項和．若，2，，則　　
A．有最大項，有最大項 B．有最大項，有最小項
C．有最小項，有最大項 D．有最小項，有最小項
已知數列的前項和．
（1）求的最大值；
（2）求數列的通項公式．
已知等差數列中滿足，，
（1）求通項公式；
（2）試求數列中的最大項與最小項．
數列的周期性
【要點講解】(1)解決數列周期性問題，一般先寫出前幾項從而確定周期，再依據周期求解. 待求式中出現較大下標或已知條件中有關鍵恒等式，都是周期數列的“信號”. 如an＋1＝，即f(x＋1)＝，由函數周期性相關結論可知該數列的一個周期為4.
(2)通項中函數和三角函數的數列的周期性問題的突破點往往從三角函數出發，根據正弦、余弦函數的最小正周期公式T＝得出三角函數的周期，研究該周期對數列通項的周期性變化的影響，通過“周期性并項”發現規律，從而解決問題．
數列中，，，，那么　　
A． B． C． D．
在數列中，已知，，則 ．
在數列中，已知，，記為數列的前項和，則　　
A．1 B．1010 C．1 D．2019
已知各項都為正數的等比數列，若，則 ；
一．選擇題（共6小題）
1．若數列的前項和，則下列結論正確的是　　
A． B．
C． D．
2．已知函數，設數列的通項公式為，則下列選項錯誤的是　　
A．的值域是 B．的最小值為
C． D．數列是單調遞增數列
3．已知數列中，，則數列的最小項是　　
A．第1項 B．第3項、第4項 C．第4項 D．第2項、第3項
4．記為數列的前項和．若，2，，則　　
A．有最大項，有最大項 B．有最大項，有最小項
C．有最小項，有最大項 D．有最小項，有最小項
5．若數列為，，，，，則是這個數列的　　
A．不在此數列中 B．第25項 C．第26項 D．第27項
6．已知數列滿足，若為遞增數列，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
二．多選題（共2小題）
7．數列的前項和為，已知，則下列說法正確的是　　
A．是遞減數列 B．
C．當時， D．當或4時，取得最大值
8．已知數列的通項公式為，則　　
A．數列為遞增數列 B．
C．為最小項 D．為最大項
三．填空題（共4小題）
9．已知數列的前8項1，1，2，3，5，10，13，21，令，則的最小值點 ．
10．已知數列為遞增數列，．則的取值范圍是 ．
11．已知數列的前項和，則數列的通項公式為 ．
12．，，，，，的一個通項公式是 ．
四．解答題（共4小題）
13．已知數列的通項公式為．
（1）數列中有多少項是負數？
（2）為何值時，有最小值？并求出最小值．
14．用1、2、3、4四個數字可重復地任意排成三位數，并把這些三位數由小到大排成一個數列．
（1）寫出這個數列的第8項；
（2）這個數列共有多少項？
（3）若，求．
15．已知數列是公差不為0的等差數列，，且是，的等比中項．
（1）求數列的通項公式；
（2）設為數列的前項和，求使成立的所有的值．
16．已知數列滿足．
（1）數列是遞增數列還是遞減數列？為什么？
（2）證明：對一切正整數恒成立．專題02 等差數列
目錄
題型一： 等差數列的基本運算 3
題型二： 等差數列的證明與判斷 8
題型三： 等差數列的前n項和 11
題型四： “絕對值”求和 13
題型五： 等差數列中的恒成立 14
1．等差數列的概念
(1)等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋).
(2)等差中項：若三個數a，A，b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項. 根據等差數列的定義可以知道，2A＝a＋b.
2．等差數列的通項公式與前n項和公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d. 該式又可以寫成an＝nd＋(a1－d)，這表明d≠0時，an是關于n的一次函數，且d>0時是增函數，d<0時是減函數.
(2)前n項和公式：Sn＝＝na1＋d. 該式又可以寫成Sn＝n2＋n，這表明d≠0時，Sn是關于n的二次函數，且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下.
3．等差數列的性質
(1)與項有關的性質
①等差數列{an}中，若公差為d，則an＝am＋(n－m)d，當n≠m時，d＝.
②在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq. 特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.
③若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列{λan＋b}(λ，b為常數)是公差為λd的等差數列.
④若數列{an}，{bn}是公差分別為d1，d2的等差數列，則數列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2為常數)也是等差數列，且公差為λ1d1＋λ2d2.
⑤數列{an}是公差為d的等差數列，則從數列中抽出項ak，ak＋m，ak＋2m，…，組成的數列仍是等差數列，公差為md.
(2)與和有關的性質
①等差數列中依次k項之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數列.
②記S偶為所有偶數項的和，S奇為所有奇數項的和. 若等差數列的項數為2n(n∈N*)，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差數列的項數為2n－1(n∈N*)，則S2n－1＝(2n－1)an(an是數列的中間項)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0).
③{an}為等差數列 為等差數列.
④兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn 之間的關系為＝ (bn≠0，T2n－1≠0).
常用結論與知識拓展
(1)若an＝pn＋q(p，q為常數)，則{an}一定是公差為p的等差數列.
(2)等差數列前n項和的最值與{an}的單調性有關.
①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值.
②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.
③若a1>0，d>0，則{Sn}是遞增數列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則{Sn}是遞減數列，S1是{Sn}的最大值.
(3){an}是等差數列 Sn＝An2＋Bn(A，B是常數). 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，則{an}從第2項起成等差數列.
等差數列的基本運算
【要點講解】在等差數列五個基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三個量，可以根據已知條件結合等差數列的通項公式、前n項和公式列出關于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計算時須注意等差數列性質、整體代換及方程思想的應用.
已知數列為等差數列，若，，則　　
A．15 B．16 C．17 D．18
【解答】解：設等差數列的首項為，公差為，
由，得，，
又，，即，
得．
．
故選：．
已知數列是等差數列，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為數列是等差數列，且，
所以，所以．
故選：．
在等差數列中，若，，則等于　　
A．20 B．25 C．30 D．33
【解答】解：根據題意，設等差數列的公差為，
若，，則有，解得，
則，
故選：．
在等差數列中，，，則　　
A． B． C． D．0
【解答】解：根據題意，等差數列中，有，
又由，，則；
故選：．
如果一個等差數列的相鄰4項是，，，，那么，的值分別是　　
A．0，5 B．1，6 C．2，7 D．無法確定
【解答】解：一個等差數列的相鄰4項是，，，，
公差為，，
，，，
即這個數列中的，的值分別為2，7，
故選：．
公差不為零的等差數列中，，則下列各式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
等差數列的公差不為零，，
，錯誤，正確，
令，則，，，錯誤．
故選：．
在等差數列中，其前項和為，若，是方程的兩個根，那么的值為　　
A．88 B． C．110 D．
【解答】解：在等差數列中，其前項和為，，是方程的兩個根，
，
．
故選：．
在等差數列中，若，則　　
A．13 B．26 C．39 D．52
【解答】解：因為是等差數列，
所以，解得，
所以．
故選：．
已知等差數列的前項和為，，，則　　
A．55 B．60 C．65 D．75
【解答】解：設等差數列的公差為，
，，
，解得，，
．
故選：．
設等差數列的前項和為，若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：在等差數列中，，，成等差數列，
即，
設，則，于是，解得，
所以．
故選：．
已知等差數列和的前項和分別為，，若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
等差數列和的前項和分別為，，，
，即，
．
故選：．
已知為等差數列，為其前項和，，，則　　
A．36 B．45 C．54 D．63
【解答】解：設等差數列的公差為，
，
則，
故，即，解得，
．
故選：．
已知等差數列的前項和為，若，，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，
，
，
．
故選：．
已知等差數列的前項和為，若，，則　　
A．77 B．88 C．99 D．110
【解答】解：，，
則，解得，，解得，
，解得，
．
故選：．
等差數列的證明與判斷
【要點講解】證明等差數列的常用方法：(1)定義法：證明對任意正整數n都有an＋1－an等于同一個常數；(2)等差中項法：證明對任意正整數n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通項公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常數)；(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常數).
已知各項均為正數的等差數列的首項為，前項和為，且滿足，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）證明數列是等差數列．
【解答】解：（1）設各項均為正數的等差數列的公差為，
，，
，解得，
，
，
數列的通項公式為；
（2）證明：由（1）知，，
，
，
數列是首項為，公差為的等差數列．
已知數列，其前項和為．
（1）求，．
（2）求數列的通項公式，并證明數列是等差數列．
【解答】解：（1），根據，解得．
（2）證明：當時，．
又滿足，
數列的通項公式為．
，為常數，
數列是以5為首項，3為公差的等差數列．
數列的前項和為．
（1）若，求證：數列是等差數列；
（2）若，求證：數列是等差數列．
【解答】證明：（1）當時，，
當時，，
綜上，，其中，
所以當時，，
故數列是等差數列．
（2）當時，．
當時，有和，
所以．
即．
所以當時，有，，
從而，．
即，其中．
故數列是等差數列．
已知數列的各項均為正數，記為的前項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①；
②數列是等差數列；
③數列是等比數列．
【解答】證明：若選①②③，設的公差為，
則，所以，
即，
故數列是以2為公比的等比數列，
所以，
所以；
①③②，設的公比為，，
則，
又，所以，
所以，
當時，，
時，適合上式，
故，，
所以數列是等差數列；
②③①，
因為數列是等差數列，則為常數，
所以為常數，設為，
所以，
因為數列是等比數列，
則，
故，
整理得，
解得或（舍，
所以．
等差數列的前n項和
【要點講解】求等差數列前n項和最值的主要方法：①利用等差數列的基本性質或單調性求出其正負轉折項，便可求得和的最值；②將等差數列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)看作關于n的二次函數，根據二次函數的性質求最值. 無論用哪種方法，都要注意an＝0的情形.
已知等差數列的前項和為，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）求的最小值及取得最小值時的值．
【解答】解：（1）設等差數列的公差為，
由，，得，，解得，，
所以．
（2）方法一：由知是遞增數列，
當時，；當時，．
所以，
所以當時，最小，最小值為．
方法二：，
又，所以當時，最小，最小值為．
已知數列是等差數列，且，．
（1）求的通項公式；
（2）若數列的前項和為，求的最小值及取得最小值時的值．
【解答】解：（1）設的公差為，則，
解得，
所以．
（2），
所以當或時，取得最小值，最小值為．
已知在等差數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列的前項和，則當為何值時取得最大，并求出此最大值．
【解答】解：（1）設等差數列的公差為，
則，解得：，
則的通項公式為；
（2）因為，
令得：，令得：，
故當時，取得最大值，
其中，，故最大值為．
“絕對值”求和
【要點講解】在等差數列中，解決涉及“絕對值”求和問題的關鍵是，把握好通項的“變號”特征，根據“變號”特征分別討論，求解過程中，由于含有絕對值，可以直接分段求解，也可以間接求解．
在公差為的等差數列中，已知，且．
（1）求，；
（2）若，求．
【解答】解：（1）由，，
，解得或，
當時，，
當時，；
（2）由，，
所以數列前10項為正數，第11項為0，從第12項起為負數，
所以．
已知數列是等差數列，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前17項和．
【解答】解：（1）數列是等差數列，，．
由題意可知，，
故，
故數列的通項公式．
（2）令，解得，
當時，；當時，，
，
數列的前17項和為217．
等差數列中的恒成立
已知等差數列的前項和公式為，，．
（1）求的通項公式；
（2）若對，恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）設等差數列的公差為，
由題意可得，
且，則，
可得，，
所以．
（2）由（1）可得：，
則，
因為的開口向上，對稱軸為，
且，則當時，取到最小值，
可得，即，
所以的取值范圍為，．
已知等差數列的前項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）因為，
所以，解得，
所以公差，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
所以當時，取得最小值，
因為對任意恒成立，所以，
故實數的取值范圍為．
一．選擇題（共6小題）
1．等差數列的前項和為，且，，則　　
A．45 B．49 C．56 D．63
【解答】解：等差數列的前項和為，且，，
，
解得，，
．
故選：．
2．設等差數列的前項和為，若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：在等差數列中，，，成等差數列，
即，
設，則，于是，解得，
所以．
故選：．
3．已知是各項不相等的等差數列，若，且，，成等比數列，則數列的前10項和　　
A．5 B．45 C．55 D．110
【解答】解：設等差數列的公差為，
由題意知，，
所以，
解得或（舍去），
所以，
所以．
故選：．
4．已知等差數列，，，，的公差為，則，，，，為常數且，是　　
A．公差為的等差數列 B．公差為的等差數列
C．非等差數列 D．公差為的等差數列
【解答】解：由題意，可得
，
，，，，是公差為的等差數列，
故選：．
5．已知等比數列的前項和為，且數列，2，是等差數列，則　　
A．1或 B．2或 C．2或 D．或
【解答】解：設等比數列的公比為，由，，成等差數列，可得，
即，化簡得，解得或．
當時，；當時，．
故選：．
6．在等差數列中，若，，則　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：設等差數列的公差為，
由，，
可得；
故．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．已知數列為等差數列，若，且數列的前項和有最大值，則下列結論正確的是　　
A．中的最大值為 B．的最大值為
C． D．
【解答】解：因為數列的前項和有最大值且，
所以，
所以，，，中的最大值，錯誤；
的最大值為，正確；
，錯誤；
，正確．
故選：．
8．已知兩個等差數列，的前項和分別為和，且，則使得為整數的的取值可以是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：因為，
所以
，
要使為整數，則為整數，即為整數，
所以的取值可以是1，2，4，不可能為3，
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．已知等差數列的前項和為，若，，則等于 　42　．
【解答】解：設等差數列的公差為，則，解得，
所以，，
由等差中項的性質可得．
故答案為：42．
10．已知是等差數列，，，則　5?。?br/>【解答】解：由，得，
所以．
故答案為：5．
11．記為等差數列的前項和．若，，則　144?。?br/>【解答】解：設等差數列的公差為，
則解得，，
所以．
故答案為：144．
12．若關于的方程和，，且的四個根組成首項為的等差數列，則的值為 　?。?br/>【解答】解：設方程 的根是，，方程 的根是，，
，，
四個根排成等差數列，不妨設為，，，，
則，于是，，
，因此，，
，．
故答案為：．
四．解答題（共4小題）
13．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．
設等差數列的前項和為，，
（1）求數列的通項公式；
（2）求的最大值．
注：作答前請先指明所選條件，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解答】解：（1）選①，設等差數列的首項為，公差為，
由題意得，
解得，，
數列的通項公式為；
選②，設等差數列的首項為，公差為，
由題意得，
解得，，
數列的通項公式為；
選③，設等差數列的首項為，公差為，
由題意得，
解得，，
數列的通項公式為；
（2），，
，
時，取得最大值為49．
14．在等差數列中滿足，，．
（1）求等差數列的通項公式；
（2）若數列的前項的和為，判斷是否有最小值，若有最小值，求此時的值；若沒有最小值，說明理由．
【解答】解：由題意得，
解得，，
所以；
（2）由（1）得，
故當或7時，取得有最小值．
15．記為等差數列的前項和，已知，．
（1）求的通項公式和；
（2）求的值．
【解答】解：設等差數列的公差為，
由，，得，即．
（1），；
（2）．
16．已知數列的前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）求證數列是等差數列．
【解答】解：（1），，
當時，，
將代入上式，可得，故時滿足上式，
；
（2）證明：，，
，且，
是以3為首項，1為公差的等差數列．專題02 等差數列
目錄
題型一： 等差數列的基本運算 3
題型二： 等差數列的證明與判斷 5
題型三： 等差數列的前n項和 7
題型四： “絕對值”求和 9
題型五： 等差數列中的恒成立 10
1．等差數列的概念
(1)等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋).
(2)等差中項：若三個數a，A，b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項. 根據等差數列的定義可以知道，2A＝a＋b.
2．等差數列的通項公式與前n項和公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d. 該式又可以寫成an＝nd＋(a1－d)，這表明d≠0時，an是關于n的一次函數，且d>0時是增函數，d<0時是減函數.
(2)前n項和公式：Sn＝＝na1＋d. 該式又可以寫成Sn＝n2＋n，這表明d≠0時，Sn是關于n的二次函數，且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下.
3．等差數列的性質
(1)與項有關的性質
①等差數列{an}中，若公差為d，則an＝am＋(n－m)d，當n≠m時，d＝.
②在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq. 特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.
③若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列{λan＋b}(λ，b為常數)是公差為λd的等差數列.
④若數列{an}，{bn}是公差分別為d1，d2的等差數列，則數列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2為常數)也是等差數列，且公差為λ1d1＋λ2d2.
⑤數列{an}是公差為d的等差數列，則從數列中抽出項ak，ak＋m，ak＋2m，…，組成的數列仍是等差數列，公差為md.
(2)與和有關的性質
①等差數列中依次k項之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數列.
②記S偶為所有偶數項的和，S奇為所有奇數項的和. 若等差數列的項數為2n(n∈N*)，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差數列的項數為2n－1(n∈N*)，則S2n－1＝(2n－1)an(an是數列的中間項)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0).
③{an}為等差數列 為等差數列.
④兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn 之間的關系為＝ (bn≠0，T2n－1≠0).
常用結論與知識拓展
(1)若an＝pn＋q(p，q為常數)，則{an}一定是公差為p的等差數列.
(2)等差數列前n項和的最值與{an}的單調性有關.
①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值.
②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.
③若a1>0，d>0，則{Sn}是遞增數列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則{Sn}是遞減數列，S1是{Sn}的最大值.
(3){an}是等差數列 Sn＝An2＋Bn(A，B是常數). 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，則{an}從第2項起成等差數列.
等差數列的基本運算
【要點講解】在等差數列五個基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三個量，可以根據已知條件結合等差數列的通項公式、前n項和公式列出關于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計算時須注意等差數列性質、整體代換及方程思想的應用.
已知數列為等差數列，若，，則　　
A．15 B．16 C．17 D．18
已知數列是等差數列，且，則　　
A． B． C． D．
在等差數列中，若，，則等于　　
A．20 B．25 C．30 D．33
在等差數列中，，，則　　
A． B． C． D．0
如果一個等差數列的相鄰4項是，，，，那么，的值分別是　　
A．0，5 B．1，6 C．2，7 D．無法確定
公差不為零的等差數列中，，則下列各式一定成立的是　　
A． B． C． D．
在等差數列中，其前項和為，若，是方程的兩個根，那么的值為　　
A．88 B． C．110 D．
在等差數列中，若，則　　
A．13 B．26 C．39 D．52
已知等差數列的前項和為，，，則　　
A．55 B．60 C．65 D．75
設等差數列的前項和為，若，則　　
A． B． C． D．
已知等差數列和的前項和分別為，，若，則　　
A． B． C． D．
已知為等差數列，為其前項和，，，則　　
A．36 B．45 C．54 D．63
已知等差數列的前項和為，若，，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知等差數列的前項和為，若，，則　　
A．77 B．88 C．99 D．110
等差數列的證明與判斷
【要點講解】證明等差數列的常用方法：(1)定義法：證明對任意正整數n都有an＋1－an等于同一個常數；(2)等差中項法：證明對任意正整數n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通項公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常數)；(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常數).
已知各項均為正數的等差數列的首項為，前項和為，且滿足，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）證明數列是等差數列．
已知數列，其前項和為．
（1）求，．
（2）求數列的通項公式，并證明數列是等差數列．
數列的前項和為．
（1）若，求證：數列是等差數列；
（2）若，求證：數列是等差數列．
已知數列的各項均為正數，記為的前項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①；
②數列是等差數列；
③數列是等比數列．
等差數列的前n項和
【要點講解】求等差數列前n項和最值的主要方法：①利用等差數列的基本性質或單調性求出其正負轉折項，便可求得和的最值；②將等差數列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)看作關于n的二次函數，根據二次函數的性質求最值. 無論用哪種方法，都要注意an＝0的情形.
已知等差數列的前項和為，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）求的最小值及取得最小值時的值．
已知數列是等差數列，且，．
（1）求的通項公式；
（2）若數列的前項和為，求的最小值及取得最小值時的值．
已知在等差數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列的前項和，則當為何值時取得最大，并求出此最大值．
“絕對值”求和
【要點講解】在等差數列中，解決涉及“絕對值”求和問題的關鍵是，把握好通項的“變號”特征，根據“變號”特征分別討論，求解過程中，由于含有絕對值，可以直接分段求解，也可以間接求解．
在公差為的等差數列中，已知，且．
（1）求，；
（2）若，求．
已知數列是等差數列，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前17項和．
等差數列中的恒成立
已知等差數列的前項和公式為，，．
（1）求的通項公式；
（2）若對，恒成立，求的取值范圍．
已知等差數列的前項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．
一．選擇題（共6小題）
1．等差數列的前項和為，且，，則　　
A．45 B．49 C．56 D．63
2．設等差數列的前項和為，若，則　　
A． B． C． D．
3．已知是各項不相等的等差數列，若，且，，成等比數列，則數列的前10項和　　
A．5 B．45 C．55 D．110
4．已知等差數列，，，，的公差為，則，，，，為常數且，是　　
A．公差為的等差數列 B．公差為的等差數列
C．非等差數列 D．公差為的等差數列
5．已知等比數列的前項和為，且數列，2，是等差數列，則　　
A．1或 B．2或 C．2或 D．或
6．在等差數列中，若，，則　　
A．8 B．9 C．10 D．11
二．多選題（共2小題）
7．已知數列為等差數列，若，且數列的前項和有最大值，則下列結論正確的是　　
A．中的最大值為 B．的最大值為
C． D．
8．已知兩個等差數列，的前項和分別為和，且，則使得為整數的的取值可以是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
三．填空題（共4小題）
9．已知等差數列的前項和為，若，，則等于 ．
10．已知是等差數列，，，則 ．
11．記為等差數列的前項和．若，，則 ．
12．若關于的方程和，，且的四個根組成首項為的等差數列，則的值為 ．
四．解答題（共4小題）
13．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．
設等差數列的前項和為，，
（1）求數列的通項公式；
（2）求的最大值．
注：作答前請先指明所選條件，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
14．在等差數列中滿足，，．
（1）求等差數列的通項公式；
（2）若數列的前項的和為，判斷是否有最小值，若有最小值，求此時的值；若沒有最小值，說明理由．
15．記為等差數列的前項和，已知，．
（1）求的通項公式和；
（2）求的值．
16．已知數列的前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）求證數列是等差數列．專題03 等比數列
目錄
題型一： 等比數列的基本運算 4
題型二： 等比數列中的最值問題 9
題型三： 等比數列實際應用 10
題型四： 等比數列的證明與判斷 12
題型五： 等比數列求通項與求和 14
題型六： 等比數列的最值和范圍問題 17
1．等比數列的概念
(1)等比數列的定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2).
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.
2．等比數列的通項公式與前n項和公式
(1)通項公式：an＝a1qn－1. 該式又可以寫成an＝·qn，這表明q≠1時，an是常數與指數函數(關于n)的乘積.
(2)前n項和公式：
Sn＝
當q≠1時，該式又可以寫成Sn＝－·qn，這表明q≠1時，Sn的圖象是指數型函數y＝－Aqx＋A圖象上一群孤立的點.
3．等比數列的性質
(1)與項有關的性質
①在等比數列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).
②在等比數列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，則aman＝apaq＝a.
③在公比為q的等比數列{an}中，取出項數成等差數列的項ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可組成一個等比數列，公比是qd.
④m個等比數列，由它們的各對應項之積組成一個新數列，仍然是等比數列，公比是原來每個等比數列對應的公比之積.
⑤若{an}，{bn}均為等比數列，公比分別為q1，q2，則{kan}(k≠0)仍為等比數列，且公比為q1；{anbn}仍為等比數列，且公比為q1q2；仍為等比數列，且公比為.
⑥當{an}是公比為q(q>0)的正項等比數列時，數列{lg an}是等差數列，首項為lg a1，公差為lg q.
(2)與和有關的性質
①等比數列連續k項的和仍為等比數列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍為等比數列，且公比為qk(q≠－1，或q＝－1且k為奇數).
②在等比數列中，若項數為2n(n∈N*)，則＝q.
③在等比數列中，當qm≠1時，＝，n，m∈N*.
④在等比數列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*.
4．等比數列的單調性
(1)當a1>0，q>1或a1＜0,0(2)當a1>0,01時，等比數列{an}是遞減數列．
(3)當q＝1時，它是一個常數列．
(4)當q<0時，它是一個擺動數列.
常用結論與知識拓展
1．若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則數列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比數列．
2．等比數列{an}的通項公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.
3．等比數列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
即若Sn＝Aqn＋B(AB≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數列 A＋B＝0.
等比數列的基本運算
【要點講解】方程的思想：等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關鍵量a1和q，問題可迎刃而解．
分類討論的思想：當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝.
若1，，，4成等差數列；1，，，，4成等比數列，則的值等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，4成等差數列，
；
，，，，4成等比數列，
，又，
；
．
故選：．
等比數列為遞減數列，若，，則　　
A． B． C． D．6
【解答】解：由為等比數列，得，又，
，為方程的兩個根，
解得，或，，
由為遞減數列得，，，
，
則．
故選：．
等比數列的各項均為正數，且，則　　
A．20 B．15 C．8 D．
【解答】解：是等比數列，
，
又，
，
．
故選：．
設數列為等比數列，若，，則數列的前6項和為　　
A．18 B．16 C．9 D．7
【解答】解：因為數列為等比數列，，，
所以，
所以，，
則數列的前6項和為．
故選：．
若各項均為正數的等比數列滿足，則公比　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根據題意，設等比數列的公比為，
若，則，
變形可得：，
解可得：或（舍；
故選：．
已知等比數列為遞減數列，若，，則　　
A． B． C． D．6
【解答】解：由為等比數列，得，又，
，為方程的兩個根，
解得，或，，
由為遞減數列得，，，
，
則．
故選：．
已知等比數列的各項均為正數，若，，則　　
A． B． C．27 D．
【解答】解：設的公比為，則，，．
因為，所以，
因為，所以，
所以．
因為的各項均為正數，
所以，
因為，所以．
故選：．
已知等比數列的前項和為，，且，則　　
A．3 B．5 C．30 D．45
【解答】解：等比數列中，，且，
所以，，
解得，，
則．
故選：．
已知等比數列的前2項和為2，前4項和為8，則它的前6項和為　　
A．12 B．22 C．26 D．32
【解答】解：設等比數列的前項和為，公比為，
則，，則，
而，，，
故，
所以數列前6項和為．
故選：．
已知正項等比數列中，，則　　
A．1012 B．2024 C． D．
【解答】解：是等比數列，且，
，
．
故選：．
已知是等比數列的前項和，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，所以，，
，
又是等比數列，所以，即，解得，所以．
當時，，又滿足，
對任意的，，故數列是公比為2的等比數列，
所以，，故數列是公比為4，首項為的等比數列，
所以．
故選：．
已知等比數列各項均為正數，，的前項和為，則　　
A．3 B． C． D．13
【解答】解：等比數列各項均為正數，，的前項和為，
，
解得，
則．
故選：．
記為等比數列的前項和，若，，則　　
A．120 B．85 C． D．
【解答】解：等比數列中，，，顯然公比，
設首項為，則①，②，
化簡②得，解得或（不合題意，舍去），
代入①得，
所以．
故選：．
記為等比數列的前項和，若，，則　　
A．6 B． C． D．18
【解答】解：設等比數列的公比為，
若，則由得，，不合題意；
故，則由得，
則，所以，
因為，所以，
所以．
故選：．
在等比數列中，，，則　　
A． B． C．32 D．64
【解答】解：設等比數列的公比為，
則，
即，解得，
所以．
故選：．
等比數列中的最值問題
已知正項等比數列的前項和為，若，則的最小值為　　
A．8 B． C． D．10
【解答】解：由正項等比數列 可知，，成等比數列，
則，
又，
所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，
故的最小值為．
故選：．
在等比數列中，，則的最小值是　　
A．12 B．24 C．36 D．48
【解答】解：的公比是，則，．
因為，所以，．
由等比數列的性質可得，
則，當且僅當時，等號成立．
故選：．
在正項等比數列中，，則的最小值是　　
A．12 B．18 C．24 D．36
【解答】解：在正項等比數列中，，所以，
當且僅當，即，時，等號成立，即的最小值是24．
故選：．
等比數列實際應用
《將夜》中寧缺參加書院的數科考試，碰到了這樣一道題目：那年春，夫子游桃山，一路摘花飲酒而行，始切一斤桃花，飲一壺酒，復切一斤桃花，又飲一壺酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只飲半壺酒，再切一斤桃花，飲半半壺酒，如是而行，終夫子切六斤桃花而醉臥桃山．問：夫子切了五斤桃花一共飲了幾壺酒？　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可知，數列前2項都是1，從第二項開始，構成公比為的等比數列，
所以前5項和為．
故選：．
在《增減算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關”．則第五天走的路程為　　里．
A．6 B．12 C．24 D．48
【解答】解：根據題意：，，
所以，
故．
故選：．
如圖，正方形的邊長為5，取正方形各邊的中點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第3個正方形，依此方法一直繼續下去．則從正方形開始，連續10個正方形的面積之和等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：依題意，將正方形面積按作法次序排成一列得數列，，
因為后一個正方形邊長是相鄰前一個正方形邊長的，
因此，即數列是等比數列，公比，
所以前10個正方形的面積之和．
故選：．
等比數列的證明與判斷
【要點講解】等比數列的四種常用判定方法
定義法 若＝q(q為非零常數，n∈N*)或＝q(q為非零常數且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數列
中項 公式法 若數列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數列
通項 公式法 若數列{an}的通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數，n∈N*)，則{an}是等比數列
前n項 和公式法 若數列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數列
已知數列為等差數列，，，前項和為，數列滿足．
求證：
（1）數列為等差數列；
（2）數列中的任意三項均不能構成等比數列．
【解答】（1）證明：因為數列為等差數列，，，
所以，
，
則，
則，，
故數列是以1為首項，以為公差的等差數列；
（2）假設數列中的任意不同的三項，，構成等比數列，
則，
即，
則，
故，即，與假設矛盾，
故數列中的任意三項均不能構成等比數列．
已知等差數列的前項和為，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，問：數列中是否存在互不相同的三項，，構成等比數列？若存在，求出一組符合題意的項；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）設等差數列的公差為，
由題意得，，
，
故．
（2）由（1）得，，
假設數列中存在互不相同的三項，，構成等比數列，
則，即，
，
，，，，
，，
，與矛盾，
故數列中不存在互不相同的三項，，構成等比數列．
已知數列的前項和為，，對任意的正整數，點，均在函數圖像上．
（1）證明：數列是等比數列；
（2）證明：中任何不同三項不構成等差數列．
【解答】證明：（1）點，均在函數圖像上，
則，
故，
，
故是首項為2，公比為2的等比數列；
（2）因為，
當時，，
時，，
故，，且從第二項起嚴格增，
假設存在使得，，成等差數列，則，
即，等式左邊為偶數，右邊為奇數，故假設不成立．
故中任何不同三項不構成等差數列．
等比數列求通項與求和
【要點講解】判斷數列{an}是等比數列的常用方法與證明數列{an}是等比數列的方法基本一致，通常有四種方法：定義法、中項公式法、通項公式法和前n項和公式法，值得注意的是，若要判斷的數列不是等比數列，往往通過特殊驗證(舉反例)來進行否定即可．
等比數列中，，．
（1）求的通項公式；
（2）記為的前項和，若，求．
【解答】解：（1）設的公比為，由題設得，
由已知得，即，
解得（舍去），或，
故或；
（2）若，則，
由得，此方程沒有正整數解．
若，則，
由得，解得，
綜上所述，．
已知等比數列的前項和為，，．
（1）求等比數列的通項公式；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由已知可知．
因為，，所以，
即，解得，
則有：；
（2）由（1）知，則，
所以，且，
所以數列是以1為首項，公比為的等比數列，
所以．
已知等比數列的前項和為，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）已知數列中，滿足，求數列的前項和．
【解答】解：（1）記等比數列的公比為，由可知，
，，
解得，，所以數列的通項公式為．
（2），
．
等差數列中，，，分別是如表第一、二、三行中的某一個數，且其中的任何兩個數不在如表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）請選擇一個可能的，，組合，并求數列的通項公式；
（2）記（1）中您選擇的的前項和為，判斷是否存在正整數，使得，，成等比數列，若有，請求出的值；若沒有，請說明理由．
【解答】解：（1）由題意可知：有兩種組合滿足條件：
①，，，此時等差數列，，，
所以其通項公式為．
②，，，此時等差數列，，，
所以其通項公式為．
（2）若選擇①，．
則．
若，，成等比數列，則，
即，整理，得，
此方程無正整數解，故不存在正整數，使，，成等比數列．
若選擇②，，
則，
若，，成等比數列，則，
即，整理得，因為為正整數，所以，．
故存在正整數，使，，成等比數列．
等比數列的最值和范圍問題
【要點講解】等比數列中的最值(范圍)問題，要抓住基本量a1，q等，充分運用方程、函數、轉化等數學思想，合理調用相關知識構造函數，再用基本不等式法、單調性法等求值域.
已知正項等比數列滿足條件，．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設，求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）設正項等比數列的公比為，
，，
，，
，，
．
（Ⅱ）隨著的增大而減小，
最大時，需要是最后一項為大于1的數，
當時，即，，
當 時，有最大值．
已知數列為等比數列，其前項和為，且，．
（1）求的通項公式；
（2）求使成立的正整數的最大值．
【解答】解：（1）由題意得：等比數列的公比，
又，所以，解得，
所以；
（2），
令，解得，
所以使得成立的正整數的最大值為3．
設正項等比數列的前項和為，且，．
（1）求的通項公式；
（2）記的前項積為，求使得取得最大值的的值．
【解答】解：（1）正項等比數列中，，，
所以，
所以，
解得或（舍，
則，
故；
（2）因為，，
故當時，取得最大值．
一．選擇題（共6小題）
1．等比數列為遞減數列，若，，則　　
A． B． C． D．6
【解答】解：由為等比數列，得，又，
，為方程的兩個根，
解得，或，，
由為遞減數列得，，，
，
則．
故選：．
2．已知等比數列的前項和為，且，若，，則　　
A．90 B．135 C．150 D．180
【解答】解：由等比數列前項和的性質可得，，，成等比數列，
，即，
整理可得，
解得（舍或，
，
有，
解得．
故選：．
3．已知等比數列的各項均為正數，公比，，則　　
A．12 B．15 C．18 D．21
【解答】解：因為等比數列的各項均為正數，公比，
，，
又，
所以，
所以，即，
解得或（舍去），
所以．
故選：．
4．在等比數列中，且，則　　
A．16 B．8 C．4 D．2
【解答】解：等比數列中，且，由等比中項的性質可得：，
可得，
故選：．
5．已知是等比數列的前項和，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，所以，，
，
又是等比數列，所以，即，解得，所以．
當時，，又滿足，
對任意的，，故數列是公比為2的等比數列，
所以，，故數列是公比為4，首項為的等比數列，
所以．
故選：．
6．已知數列是等比數列，則下列結論：①數列是等比數列；②若，，則；③若數列的前項和，則；④若，則數列是遞增數列；其中正確的個數是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：是等比數列，設公比為，
對于①，可得，故數列是等比數列，①正確；
對于②，，故，，則，②錯誤；
對于③，，若得，不符合等比數列的性質，③錯誤；
對于④，，
若，此時，即是遞增數列，
若，此時，即是遞增數列，
故④正確．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．記為等比數列的前項和，則　　
A．是等比數列
B．是等比數列
C．，，成等比數列
D．，，成等比數列
【解答】解：為等比數列的前項和，設公比為，則，
是以為首項，以為公比的等比數列，故正確；
，是以為首項，以為公比的等比數列，故正確；
，，，
當時，，，，
，，不成等比數列，故錯誤；
對于數列1，，1，，1，，，
，，，顯然，，，，
不能構成等比數列，故，，不一定成等比數列，故錯誤，
故選：．
8．等比數列的公比為（常數），其前項的和為，則下列說法正確的是　　
A．數列是等比數列 B．數列是等比數列
C．是等差數列 D．，，成等差數列
【解答】解：設數列首項為，，．
選項，因，則當且僅當，即為常數列時，數列是等比數列，故錯誤；
選項，因為常數，則數列是等比數列，故正確；
選項，因，則為常數，即是等差數列，故正確；
選項，若，則，此時，，成等差數列；
若，，．
令，則．
綜上，當且僅當時，，，成等差數列，故錯誤．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．設等比數列的前項和為，寫出一個滿足下列條件的的公比　2（答案不唯一）　．
①，②是遞增數列，③．
【解答】解：由等比數列的通項公式可得，則，
因為，且是遞增數列，所以，
因為，所以，即，
因為，所以，解得，
綜上．
故答案為：2（答案不唯一）．
10．在等比數列中，，，則公比為 　2?。?br/>【解答】解：當時，，無實數解；
當時，由題知，，
兩式相除得，即，解得．
綜上，．
故答案為：2．
11．88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數列．若中音（左起第49個鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個鍵的音的頻率為 　880?。?br/>【解答】解；設等比數列的公比為，
則，所以，
則左起第61個鍵的音的頻率為．
故答案為：880．
12．已知等比數列滿足．能說明“若，則”為假命題的數列的通項公式　　（寫出一個即可）
【解答】解：，時，滿足，則”為假命題，
故．
故答案為：．
四．解答題（共4小題）
13．在遞增的等比數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和．
【解答】解：（1）根據題意，設等比數列的公比為，
則有，
解可得，，
故，
（2）由（1）可得，則，
故．
14．（1）已知是等比數列，，．求的通項公式；
（2）已知數列的前項和為，若，求．
【解答】解：（1）設等比數列的公比為，
則，
即，
故，
故數列的通項公式；
（2）當時，
，
當時，
，
也滿足，
故．
15．已知等比數列的各項均為正數，前項和為，若，證明：數列是等比數列．
【解答】證明：設等比數列的公比為，則，
，
，
，，，
，
，
，
數列是以為首項，以為公比的等比數列．
16．在等比數列中，
（1）已知，求前4項和；
（2）已知公比，前5項和，求，．
【解答】解：（1）設公比為，由，
的，所以，
所以；
（2）由，得，
所以．等比數列
目錄
題型一： 等比數列的基本運算 4
題型二： 等比數列中的最值問題 6
題型三： 等比數列實際應用 6
題型四： 等比數列的證明與判斷 7
題型五： 等比數列求通項與求和 9
題型六： 等比數列的最值和范圍問題 11
1．等比數列的概念
(1)等比數列的定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2).
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.
2．等比數列的通項公式與前n項和公式
(1)通項公式：an＝a1qn－1. 該式又可以寫成an＝·qn，這表明q≠1時，an是常數與指數函數(關于n)的乘積.
(2)前n項和公式：
Sn＝
當q≠1時，該式又可以寫成Sn＝－·qn，這表明q≠1時，Sn的圖象是指數型函數y＝－Aqx＋A圖象上一群孤立的點.
3．等比數列的性質
(1)與項有關的性質
①在等比數列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).
②在等比數列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，則aman＝apaq＝a.
③在公比為q的等比數列{an}中，取出項數成等差數列的項ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可組成一個等比數列，公比是qd.
④m個等比數列，由它們的各對應項之積組成一個新數列，仍然是等比數列，公比是原來每個等比數列對應的公比之積.
⑤若{an}，{bn}均為等比數列，公比分別為q1，q2，則{kan}(k≠0)仍為等比數列，且公比為q1；{anbn}仍為等比數列，且公比為q1q2；仍為等比數列，且公比為.
⑥當{an}是公比為q(q>0)的正項等比數列時，數列{lg an}是等差數列，首項為lg a1，公差為lg q.
(2)與和有關的性質
①等比數列連續k項的和仍為等比數列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍為等比數列，且公比為qk(q≠－1，或q＝－1且k為奇數).
②在等比數列中，若項數為2n(n∈N*)，則＝q.
③在等比數列中，當qm≠1時，＝，n，m∈N*.
④在等比數列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*.
4．等比數列的單調性
(1)當a1>0，q>1或a1＜0,0(2)當a1>0,01時，等比數列{an}是遞減數列．
(3)當q＝1時，它是一個常數列．
(4)當q<0時，它是一個擺動數列.
常用結論與知識拓展
1．若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則數列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比數列．
2．等比數列{an}的通項公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.
3．等比數列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
即若Sn＝Aqn＋B(AB≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數列 A＋B＝0.
等比數列的基本運算
【要點講解】方程的思想：等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關鍵量a1和q，問題可迎刃而解．
分類討論的思想：當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝.
若1，，，4成等差數列；1，，，，4成等比數列，則的值等于　　
A． B． C． D．
等比數列為遞減數列，若，，則　　
A． B． C． D．6
等比數列的各項均為正數，且，則　　
A．20 B．15 C．8 D．
設數列為等比數列，若，，則數列的前6項和為　　
A．18 B．16 C．9 D．7
若各項均為正數的等比數列滿足，則公比　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知等比數列為遞減數列，若，，則　　
A． B． C． D．6
已知等比數列的各項均為正數，若，，則　　
A． B． C．27 D．
已知等比數列的前項和為，，且，則　　
A．3 B．5 C．30 D．45
已知等比數列的前2項和為2，前4項和為8，則它的前6項和為　　
A．12 B．22 C．26 D．32
已知正項等比數列中，，則　　
A．1012 B．2024 C． D．
已知是等比數列的前項和，且，則　　
A． B． C． D．
已知等比數列各項均為正數，，的前項和為，則　　
A．3 B． C． D．13
記為等比數列的前項和，若，，則　　
A．120 B．85 C． D．
記為等比數列的前項和，若，，則　　
A．6 B． C． D．18
在等比數列中，，，則　　
A． B． C．32 D．64
等比數列中的最值問題
已知正項等比數列的前項和為，若，則的最小值為　　
A．8 B． C． D．10
在等比數列中，，則的最小值是　　
A．12 B．24 C．36 D．48
在正項等比數列中，，則的最小值是　　
A．12 B．18 C．24 D．36
等比數列實際應用
《將夜》中寧缺參加書院的數科考試，碰到了這樣一道題目：那年春，夫子游桃山，一路摘花飲酒而行，始切一斤桃花，飲一壺酒，復切一斤桃花，又飲一壺酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只飲半壺酒，再切一斤桃花，飲半半壺酒，如是而行，終夫子切六斤桃花而醉臥桃山．問：夫子切了五斤桃花一共飲了幾壺酒？　　
A． B． C． D．
在《增減算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關”．則第五天走的路程為　　里．
A．6 B．12 C．24 D．48
如圖，正方形的邊長為5，取正方形各邊的中點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第3個正方形，依此方法一直繼續下去．則從正方形開始，連續10個正方形的面積之和等于　　
A． B． C． D．
等比數列的證明與判斷
【要點講解】等比數列的四種常用判定方法
定義法 若＝q(q為非零常數，n∈N*)或＝q(q為非零常數且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數列
中項 公式法 若數列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數列
通項 公式法 若數列{an}的通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數，n∈N*)，則{an}是等比數列
前n項 和公式法 若數列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數列
已知數列為等差數列，，，前項和為，數列滿足．
求證：
（1）數列為等差數列；
（2）數列中的任意三項均不能構成等比數列．
已知等差數列的前項和為，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，問：數列中是否存在互不相同的三項，，構成等比數列？若存在，求出一組符合題意的項；若不存在，請說明理由．
已知數列的前項和為，，對任意的正整數，點，均在函數圖像上．
（1）證明：數列是等比數列；
（2）證明：中任何不同三項不構成等差數列．
等比數列求通項與求和
【要點講解】判斷數列{an}是等比數列的常用方法與證明數列{an}是等比數列的方法基本一致，通常有四種方法：定義法、中項公式法、通項公式法和前n項和公式法，值得注意的是，若要判斷的數列不是等比數列，往往通過特殊驗證(舉反例)來進行否定即可．
等比數列中，，．
（1）求的通項公式；
（2）記為的前項和，若，求．
已知等比數列的前項和為，，．
（1）求等比數列的通項公式；
（2）求的值．
已知等比數列的前項和為，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）已知數列中，滿足，求數列的前項和．
等差數列中，，，分別是如表第一、二、三行中的某一個數，且其中的任何兩個數不在如表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）請選擇一個可能的，，組合，并求數列的通項公式；
（2）記（1）中您選擇的的前項和為，判斷是否存在正整數，使得，，成等比數列，若有，請求出的值；若沒有，請說明理由．
等比數列的最值和范圍問題
【要點講解】等比數列中的最值(范圍)問題，要抓住基本量a1，q等，充分運用方程、函數、轉化等數學思想，合理調用相關知識構造函數，再用基本不等式法、單調性法等求值域.
已知正項等比數列滿足條件，．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設，求的最大值．
已知數列為等比數列，其前項和為，且，．
（1）求的通項公式；
（2）求使成立的正整數的最大值．
設正項等比數列的前項和為，且，．
（1）求的通項公式；
（2）記的前項積為，求使得取得最大值的的值．
一．選擇題（共6小題）
1．等比數列為遞減數列，若，，則　　
A． B． C． D．6
2．已知等比數列的前項和為，且，若，，則　　
A．90 B．135 C．150 D．180
3．已知等比數列的各項均為正數，公比，，則　　
A．12 B．15 C．18 D．21
4．在等比數列中，且，則　　
A．16 B．8 C．4 D．2
5．已知是等比數列的前項和，且，則　　
A． B． C． D．
6．已知數列是等比數列，則下列結論：①數列是等比數列；②若，，則；③若數列的前項和，則；④若，則數列是遞增數列；其中正確的個數是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多選題（共2小題）
7．記為等比數列的前項和，則　　
A．是等比數列
B．是等比數列
C．，，成等比數列
D．，，成等比數列
8．等比數列的公比為（常數），其前項的和為，則下列說法正確的是　　
A．數列是等比數列 B．數列是等比數列
C．是等差數列 D．，，成等差數列
三．填空題（共4小題）
9．設等比數列的前項和為，寫出一個滿足下列條件的的公比 ．
①，②是遞增數列，③．
10．在等比數列中，，，則公比為 ．
11．88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數列．若中音（左起第49個鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個鍵的音的頻率為 ．
12．已知等比數列滿足．能說明“若，則”為假命題的數列的通項公式 （寫出一個即可）
四．解答題（共4小題）
13．在遞增的等比數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和．
14．（1）已知是等比數列，，．求的通項公式；
（2）已知數列的前項和為，若，求．
15．已知等比數列的各項均為正數，前項和為，若，證明：數列是等比數列．
16．在等比數列中，
（1）已知，求前4項和；
（2）已知公比，前5項和，求，．專題04 求數列通項公式
目錄
題型一： 累加/累乘 1
題型二： 求和公式 2
題型三： 3
題型四： 4
題型五： 4
題型六： 5
題型七： 同除、平衡指數、因式分解 5
累加/累乘
【要點講解】
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項
【解答】
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
【解答】
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
解法：
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
【解答】
求和公式
【要點講解】
已知數列，滿足，試求數列的通項
【解答】
①當時，
②當時，，作差可得
很明顯，時也成立，故而數列的通項公式為：。
已知正項數列，滿足，試求數列的通項公式。
【解答】
①當時，，解得
②當時，，作差可得，化簡可得：
故而數列是以3為首項，以2位公差的等差數列，即。
已知正項數列，滿足，試求數列的通項公式。
【解答】
當時，；
當時，，作差可得，化簡可得：
很明顯，時也成立，故而數列的通項公式為：。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
【解答】設，化簡可得，對比原式可得，代入假設的式子可得：，故而可得數列是以4為首項，以2為公比的等比數列，故而
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
【解答】設，化簡可得，對比原式可得，代入假設的式子可得：，故而可得數列是以-2為首項，以2為公比的等比數列，故而
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
【解答】將遞推公式兩邊同時取倒數可得，故而可得數列是以1為首項，以為公差的等差數列，故而。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
【解答】將兩邊同時加1可得，同時取倒數，將式子右側化簡可得，假設，故而可得，為線性數列。根據線性數列的性質可得，數列是以為首項，以2為公比的等比數列，故而可得，亦即化簡可得，。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
【解答】將根據遞推公式可得，故而數列是以-3為首項，以3為公比的等比數列，故而可得，根據線性數列的性質可得：，故而數列是以5為首項，以2為公比的等比數列，故而可得。
同除、平衡指數、因式分解
【解答】已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
遞推公式可化簡為，兩邊同除，化簡可得。故而數列是以2為首項，以2為公差的等差數列，故而可得，，化簡可得。
已知正項數列，其中，滿足，試求數列的通項。
【解答】觀察到遞推公式存在根式，故而兩邊同時加1可得化簡可得，故而數列是以2為首項，以1為公差的等差數列，故而可得，，化簡可得。
已知正項數列，其中，滿足，試求數列的通項。
【解答】將遞推公式因式分解可得，因為正項數列，故而可得化簡為，由線性數列的性質可得，故而數列是以1為首項，以2為公比的等比數列，此時。
一．選擇題（共6小題）
1．已知數列滿足，則　　
A．當時，則
B．當時，則
C．當時，則
D．當時，則
【解答】解：，
，即，
對于：當時，，故，故錯誤；
對于：當時，，故，故錯誤；
對于：當時，，，故錯誤；
對于，由于，所以，所以，同理可推，
當時，，成立，
假設當時成立，，即，
當時：，
由于，所以，
所以成立，
故恒成立，得證．
故選：．
2．已知數列的前項和為，且滿足，若，則　　
A．2027 B．1012 C．1013 D．1014
【解答】解：，
當時，，
當時，，
故數列從第2項開始都是偶數，而是奇數，
故正整數和其中必有一個等于，另一個就是，
故．
故選：．
3．在數列中，若，，則　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因為，，
所以，，
，
所以數列為周期數列，周期為3，
則，
故選：．
4．數列滿足，則等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：數列滿足，①
當時，，②
①②得：，，
由①得適合上式，
故，
，
故選：．
5．定義：在數列中，，其中為常數，則稱數列為“等比差”數列．已知“等比差”數列中，，，則　　
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【解答】解：數列是“等比差”數列，
，
，，
，
，
由累加法得，
，
由累乘法得，
．
故選：．
6．已知各項為正的數列的前項和為，滿足，則的最小值為　　
A． B．4 C．3 D．2
【解答】解：各項為正的數列的前項和為，滿足，①
，，
當時，，②
①②整理得：，
可得，舍）
即數列是首項為1，公差為2的等差數列，
，
，
，
當且僅當，即時，等號成立，
即的最小值為2，
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．對于數列，若，，則下列說法正確的是　　
A． B．數列是等差數列
C．數列是等差數列 D．
【解答】解：對于數列，已知，，①
則，②
由②①可得：，
又，
即數列是以1為首項，2為公差的等差數列，數列是以1為首項，2為公差的等差數列，
則，，
對于選項，，即選項正確；
對于選項，，，，數列不是等差數列，即選項錯誤；
對于選項，數列是以1為首項，2為公差的等差數列，即選項正確；
對于選項，數列是以1為首項，2為公差的等差數列，則，即選項正確．
故選：．
8．斐波那契數列又稱黃金分割數列，因數學家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”．斐波那契數列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數列的第項，則數列滿足：，，記，則下列結論正確的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：對于，，
，，，，，，，即，故正確；
對于，
，故正確；
對于，，，
，
，即，故正確；
對于，
，，，，
將以上各式相加得，
，即，
，故錯誤，
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．已知數列滿足：，若，且數列為遞增數列，則實數的取值范圍為 　?。?br/>【解答】解：因為，兩邊取倒數可得，
變形可得，所以數列是等比數列，且首項為，公比為2，所以，
則，又，數列為遞增數列，
所以，即．
當時，，即，解得．
所以實數的取值范圍為．
故答案為：．
10．已知為數列的前項和，且，若，則　8?。?br/>【解答】解：已知為數列的前項和，且，
則，
則，
即，
又，
則．
故答案為：8．
11．已知數列的前項和為，且，則　?。?br/>【解答】解：因為，
所以當時，，兩式相減得，整理得，
即時，，
又當時，，解得，
所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，
所以．
故答案為：．
12．已知數列的前項和為正整數），則此數列的通項公式　　．
【解答】解：已知數列的前項和為正整數），
則當時，，
又，
即．
故答案為：．
四．解答題（共4小題）
13．已知等差數列的前項和為，，．數列的前項和為，，．
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，求數列的最大項．
【解答】（1）設等差數列的首項為，公差為，
則，所以，
所以，
因為，
當時，，則，所以；
當時，，所以，
所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，
所以；
（2）因為，所以，，，
當時，，
因為在時單調遞減，所以，
所以當時，，即，
所以，
所以數列 的最大項為．
14．已知數列的前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）為滿足的的個數，求使成立的最小正整數的值．
【解答】解：（1）由題意，，，，，，
，，，
所以，
又，，都符合上式，所以，
所以當，，
又符合上式，所以；
（2）結合（1）可知，，
設數列的前項和，則，
因為每一項都為正，所以是單調遞增的，
又，，
所以所求最小正整數為11．
15．已知等比數列的各項均為正數，其前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）若存在正整數，使得成立，求的值．
【解答】解：（1），
，
兩式相減可得，
等比數列的各項均為正數，；
設公比為，則，
解得，即，
當時，，
解得，；
（2）若存在正整數，使得，
即，，
解得，存在，使得．
16．30．設數列的前項和是，且滿足．
（1）求的值；
（2）求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（3）若數列的通項公式是（其中常數是整數），對于任意，都有成立，求整數的最小值．
【解答】解：（1），解得；
（2），時，，
兩式作差得到，
即，由于，
所以是以1為首項，為公比的等比數列，
所以；
（3），由題意，，
，，
所以時，，單調遞增，
時，，單調遞減，
，，，
由題意只需，即，
所以整數的最小值為14．專題04 求數列通項公式
目錄
題型一： 累加/累乘 1
題型二： 求和公式 3
題型三： 3
題型四： 4
題型五： 4
題型六： 5
題型七： 同除、平衡指數、因式分解 5
累加/累乘
【要點講解】
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
求和公式
【要點講解】
已知數列，滿足，試求數列的通項
已知正項數列，滿足，試求數列的通項公式。
已知正項數列，滿足，試求數列的通項公式。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
已知數列，其中，滿足，試求數列的通項。
同除、平衡指數、因式分解
已知正項數列，其中，滿足，試求數列的通項。
已知正項數列，其中，滿足，試求數列的通項。
一．選擇題（共6小題）
1．已知數列滿足，則　　
A．當時，則
B．當時，則
C．當時，則
D．當時，則
2．已知數列的前項和為，且滿足，若，則　　
A．2027 B．1012 C．1013 D．1014
3．在數列中，若，，則　　
A． B．1 C． D．2
4．數列滿足，則等于　　
A． B． C． D．
5．定義：在數列中，，其中為常數，則稱數列為“等比差”數列．已知“等比差”數列中，，，則　　
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
6．已知各項為正的數列的前項和為，滿足，則的最小值為　　
A． B．4 C．3 D．2
二．多選題（共2小題）
7．對于數列，若，，則下列說法正確的是　　
A． B．數列是等差數列
C．數列是等差數列 D．
8．斐波那契數列又稱黃金分割數列，因數學家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”．斐波那契數列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數列的第項，則數列滿足：，，記，則下列結論正確的是　　
A．
B．
C．
D．
三．填空題（共4小題）
9．已知數列滿足：，若，且數列為遞增數列，則實數的取值范圍為 　　．
10．已知為數列的前項和，且，若，則　?。?br/>11．已知數列的前項和為，且，則　?。?br/>12．已知數列的前項和為正整數），則此數列的通項公式　?。?br/>四．解答題（共4小題）
13．已知等差數列的前項和為，，．數列的前項和為，，．
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，求數列的最大項．
14．已知數列的前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）為滿足的的個數，求使成立的最小正整數的值．
15．已知等比數列的各項均為正數，其前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）若存在正整數，使得成立，求的值．
16．30．設數列的前項和是，且滿足．
（1）求的值；
（2）求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（3）若數列的通項公式是（其中常數是整數），對于任意，都有成立，求整數的最小值．專題05 數列求和
目錄
題型一： 等差、等比數列性質求和 3
題型二： 倒序相加求和 7
題型三： 錯位相減法求和 9
題型四： 裂項相消法求和 14
題型五： “奇偶項”求和 17
題型六： 與兩數列“相同項”有關的求和 20
1．特殊數列的求和公式
(1)等差數列前n項和公式：
Sn＝＝na1＋.
(2)等比數列前n項和公式：
Sn＝
2．數列求和的幾種常用方法
(1)分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解．
(2)裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
(3)錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解．
(4)倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解．
常用結論與知識拓展
常見的裂項公式
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝
.
(4)＝(－).
(5)＝－.
(6)＝－.
等差、等比數列性質求和
已知等差數列滿足，，公比不為的等比數列滿足，．
（1）求與的通項公式；
（2）設，求的前項和．
【解答】解：（1）由題意，不妨設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
，解得，
，注意到，，解得，
因此的通項公式為，的通項公式為；
（2）由（1）可知，，，
由題意有，
當，時，有，
有，
以上兩式作差得
，
當時，有，
綜上所述：的前項和為．
設數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，．若，，成等比數列．
（1）求及；
（2）設，求數列的前項和．
【解答】解：（1）設數列的公差為，，且，，成等比數列，
，解得，
，；
（2），
則數列的前項和
．
記遞增的等差數列的前項和為，已知，且．
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）設，求數列的前項和．
【解答】解：（Ⅰ）設數列的公差為，
因為，所以，
由得，，
所以，解得，
所以，
所以，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
所以．
等差數列的前項和為，滿足，．
（1）求的通項公式；
（2）設，求證數列為等比數列，并求其前項和．
【解答】（1）解：由題意，設等差數列的公差為，
則，
化簡整理，得，
解得，
，．
（2）證明：由（1）可得，，
則，
，
數列是以8為首項，4為公比的等比數列，
．
已知數列為等比數列，在數列中，，，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，，求數列的前項和．
【解答】解：（1）設數列的公比為，
由，知，為常數，
所以數列是等差數列，設其公差為，
由，，知，
所以，且，
故數列的通項公式為．
（2）由（1）知，
若，則，
所以，
所以．
已知等差數列的公差不為零，其前項和為，且是和的等比中項，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，求的前項和．
【解答】解：（1）設等差數列的公差為，因為是和的等比中項，
得，即，
化簡得，
又，即，
化簡得，則，，，
故．
（2）因為①，
則時，，，
；
故當時，②，
①②的得，，而不適合該式，
故，又，所以，
則數列是從第二項起，公比為的等比數列，
時，，
故，
，
，
經檢驗，時，符合，
綜上：，
倒序相加求和
【要點講解】如果一個數列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數列前n項和公式的推導便使用了此法. 用倒序相加法解題的關鍵，就是要能夠找出首項和末項之間的關系，因為有時這種關系比較隱蔽.
德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學界的王子，19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現有函數，設數列滿足，則　?。?br/>【解答】解：由，可得，
所以，
由，
可得（1），
上面兩式相加可得（1）（1）
，
則．
故答案為：．
德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學王子．19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》，在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也被稱為高斯算法．現有函數，則（1）（2）等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：函數，
則（1）（2）（3）．
故選：．
設函數，，．則數列的前項和　　．
【解答】解：函數，，解得．
，
，．
，
相加可得：，解得，
則數列的前項和．
故答案為：．
已知函數為奇函數，且，若，則數列的前2022項和為 　2022?。?br/>【解答】解：由于函數為奇函數，則，
即，所以，
所以，
所以
，
因此數列的前2022項和為．
故答案為：2022．
錯位相減法求和
【要點講解】(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．
(2)錯位相減法求和時，應注意：
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式．
②應用等比數列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
已知數列，的前項和分別為，，且滿足，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由已知，所以，
當時，，
兩個等式相減得，
整理可得，
即，，，，，
等式左右分別相乘可得，
因為，所以，
（2）由（1）得，
所以，
，
上面兩式相減可得，
即，
所以，
則，
恒成立，
所以是關于的增函數，且，
所以，所以，即．
記數列的前項和為，已知，．
（1）求的通項公式；
（2）若對任意，，求的最小整數值．
【解答】解：（1）因為，
所以，
兩式相減得，即，
又，所以，
所以是首項為3，公差為2的等差數列，
所以；
（2）因為，設，
所以，，
兩式相減得：，
，
所以，
因為，所以的最小整數值是2．
已知數列滿足，數列滿足，．
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【解答】解：（1）依題意，當時，
由，
可得，
兩式相減，可得，
即，
當時，，解得，
也適合，
當時，
，
當時，也滿足上式，
，，
數列滿足，
數列為等比數列，設公比為，
則，
，
即，．
（2）由（1），可得，
，
，
兩式相減，
可得
，
．
已知數列為遞增的等差數列，為的前項和，，，．
（1）若數列為等差數列，求非零常數的值；
（2）在（1）的條件下，，求的前項和．
【解答】解：（1）由題意，設等差數列的公差為，
則，
解得（舍去），或，
公差，
首項，
，
，
數列為等差數列，且，
．
（2）由（1），可知，
則，，
，
，
兩式相減，
可得
，
．
裂項相消法求和
【要點講解】利用裂項相消法求和的注意事項
(1)抵消后不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項．
(2)將通項裂項后，一定要注意調整前面的系數，避免失誤．
(3)掌握常見的裂項相消的公式．
已知數列的前項的和為，數列是公差為1的等差數列．
（Ⅰ）證明：數列是公差為2的等差數列；
（Ⅱ）設數列的前項的和為，若．證明．
【解答】證明：（Ⅰ）依題意，由數列是公差為1的等差數列，
可知，
故，，
則當時，
，
當時，也滿足上式，
，，
數列是公差為2的等差數列．
（Ⅱ）由題意及（Ⅰ），可知，
解得，
則，
，
，
故不等式對任意恒成立．
在等比數列中，，且，，成等差數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）記，數列的前項和為，求不等式的解集．
【解答】解：（1）設數列的公比為，
，，成等差數列，
，即，
又，
則，即，，解得，
數列的通項公式為；
（2）由（1）得，則，
，
又，則，即，，
即，，解得，2，3，4，5，
不等式的解集為，2，3，4，．
在公差不為0的等差數列中，，且，，成等比數列．
（1）求的通項公式和前項和；
（2）設，求數列的前項和公式．
【解答】解：（1）在公差不為零的等差數列中，，又，，成等比數列，
則，即，解得，，
則，
；
（2）由（1）得，則，
可得數列的前項和．
數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，證明．
【解答】解：（1），即，
當時，，，，，
由累加法得，
，
又當時，也符合上式，
故；
（2）證明：由（1）得，
則，
．
“奇偶項”求和
【要點講解】數列“奇偶項”的求和常常采用的策略：“奇偶分組”分別求和、“奇偶并項”求和．
已知等差數列滿足，．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【解答】解：（1）因為，所以，
所以，
設等差數列的公差為，則，
又，，
即有，可得，
當時，，可得，
所以．
（2）當為奇數時，，
當為偶數時，，
所以
．
已知為等差數列，，記，分別為數列，的前項和，，．
（1）求的通項公式；
（2）求數列的前項和．
【解答】（1）設等差數列的公差為，而
則，，，
于是，解得，，，
所以數列的通項公式是；
（2）由（1）知，，，
當為偶數時，，
，
，
當為奇數時，，
則．
已知數列的首項，且滿足．
（1）證明：為等比數列；
（2）已知為的前項和，求．
【解答】解：（1）證明：，
變形為，
，
為等比數列，首項為1，公比為．
（2）由（1）可得：，
，
為奇數時，；
為偶數時，．
．
已知為等差數列，，記，為，的前項和，，．
（1）求的通項公式；
（2）證明：當時，．
【解答】解：（1）設等差數列的公差為，
，為的前項和，，，
則，即，解得，
故；
（2）證明：由（1）可知，，
，
當為偶數時，，
，
，
當為奇數時，，，
，
故原式得證．
與兩數列“相同項”有關的求和
【要點講解】與兩個數列“相同項”有關的問題的解題關鍵：確定好兩個數列的“相同項”，再進行下一步研究，一類是去掉“相同項”后，構成新數列；一類是由“相同項”構成的新數列．
已知正項數列和，為數列的前項和，且滿足，．
（1）分別求數列和的通項公式；
（2）將數列中與數列相同的項剔除后，按從小到大的順序構成數列，記數列的前項和為，求．
【解答】解：（1）正項數列，為數列的前項和，且滿足，
可得時，，解得；
當時，由，可得，
兩式相減可得，
化為，
因為，所以，
則；
又，可得，則；
（2）由數列中與數列相同的項剔除后，按從小到大的順序構成數列，
可得數列的前100項為中的前107項中去掉中的前7項后所得的項，
則
．
已知正項等差數列和正項等比數列，為數列的前項和，且滿足，，，．
（1）分別求數列和的通項公式；
（2）將數列中與數列相同的項剔除后，按從小到大的順序構成數列，記數列的前項和為，求．
【解答】解：（1）設正項等差數列的公差為，
，，
，解得，
，
設正項等比數列的公比為，
，，
，解得，
；
（2）由（1）得數列的前8項依次為2、4、8、16、3264、128、256，對應數列第1、2、4、8、16、32、64、128項，
故數列的前100項為數列的前107項，剔除數列的前7項的數列，
設數列的前項和為，
則．
記等差數列的前項和為，公差為，等比數列的公比為，已知，，．
（1）求，的通項公式；
（2）將，中相同的項剔除后，兩個數列中余下的項按從小到大的順序排列，構成數列，求的前100項和．
【解答】解：（1）由，得，
，，又，
，又，
解得，，
，
；
（2）由（1）可知，當時，．又，
，，，，，，，，，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
數列的前100項中與數列中相同的項共有4項，即4，16，64，256，
即為的前8項中的偶數項．
將，中相同的項剔除后，兩個數列中余下的項按從小到大的順序排列構成數列，
則的前100項為數列的前100項中剔除與數列相同的4項后剩余的96項與的前8項中剔除與數列相同的4項后剩余的4項，
的前100項和為．
一．選擇題（共6小題）
1．已知正項等比數列的前項和為，且滿足，設，將數列中的整數項組成新的數列，則　　
A．2022 B．2023 C．4046 D．4048
【解答】解：已知正項等比數列的前項和為，且滿足，
當時，，
則，
當時，，
即，
又，
則，
即等比數列的首項為1，公比為2，
則，
則，
又數列中的整數項組成新的數列，
則，
則．
故選：．
2．已知數列的前項和為，且滿足，則　　
A．130 B．169 C．200 D．230
【解答】解：依題意，由，
可得
．
故選：．
3．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號．用他名字定義的函數稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數．已知正項數列的前項和為，且，令，則　　
A．7 B．8 C．17 D．18
【解答】解：由題意可得，解得，
當，由得，
化簡得，
又，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，
所以，
又數列為正向數列，
所以，即，
所以，
所以
，
由于，所以，
所以．
故選：．
4．已知數列滿足，數列的前項和為，若的最大值僅為，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意，可得
，
，，
構造數列：令，
則，
，
，而為一個常數，
數列是以為公差的等差數列，
又數列的前項和的最大值僅為，
數列是遞減的等差數列，即，
且有，
整理，得，
解得，
實數的取值范圍為，．
故選：．
5．如圖所示的數陣稱為楊輝三角．斜線上方箭頭所示的數組成一個鋸齒形的數列：1，2，3，3，6，4，10，，記這個數列的前項和為，則等于　　
A．128 B．144 C．155 D．164
【解答】解：根據題意，解：由題意可得鋸齒形的數列：1，2，3，3，6，4，10，，
即組合數、、、、、、、、
故
．
故選：．
6．已知數列的每一項均為0或1，其前項和為，數列的前項和為，則下列結論中正確的是　　
A．數列，，，，的所有可能情況共有種
B．若為定值，則恒為0
C．若為定值，則為常數列
D．數列可能為等比數列
【解答】解：對于選項，由分步乘法計數原理可知，2，，的值為0或1，共2種情況，
所以數列，，，，的所有可能情況共有種，
故選項錯誤；
對于選項，已知為定值，
即為定值，
由題可知或，
當時，，當時，，
故選項錯誤；
對于選項，已知為定值，
即當時，為定值，
不妨取，，，
則，
則，
此時不為常數列，
故選項錯誤；
對于選項，當為1，0，0，時，，
則是公比為1的等比數列，
故選項正確．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．設等差數列的前項和為，且，，記為數列的前項和，若恒成立，則的值可以是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，，
整理得，即，
由，可得，
即，，
，
，
．
恒成立，．
結合選項可知，的值可以是2或3或4．
故選：．
8．已知集合，，，，集合，將集合中所有元素從小到大依次排列為一個數列，為數列的前項和，則　　
A．
B．或2
C．
D．若存在使，則的最小值為26
【解答】解：對于選項，由題意的前8項為1，2，3，4，5，7，8，9，，故正確；
對于選項，集合為奇數集，集合中的元素都是偶數，按照從小到大排列，
若連續的兩個數是奇數，則，
若連續的兩個數是一個奇數，一個偶數，則，故正確；
對于選項，令，比小1，
的前項中，來自集合的有個，來自集合的有個，
，
即，故正確；
對于選項，設，則
．
由得．
，．
所以只需研究是否有滿足條件的解，
此時，
，為等差數列項數，且．
由得，
，，
故滿足條件的最小值為27．故錯誤．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．已知數列滿足，若，則數列的前項和　?。?br/>【解答】解：由題意得，
與原式作差可得，
化簡得，所以，
所以，
．
故答案為：．
10．對于數列，令，給出下列四個結論：
①若，則；
②若，則；
③存在各項均為整數的數列，使得對任意的都成立；
④若對任意的，都有，則有．
其中所有正確結論的序號是 　①②④　．
【解答】解：對于①，利用并項法得：，故①對；
對于②，，令，則，故，所以，故，故，故②對；
對于③，假設存在各項均為整數的數列，使得對任意的都成立，則必有，且都是正整數，令，則必有，，，，，，則與矛盾，故③錯；
對于④，由已知，可知，當時，有，
兩式聯立解得時，，，
故，，
特別的當時，，
故對任意的，都有成立，即④成立．
故答案為：①②④．
11．已知，，將數列與數列的公共項從小到大排列得到新數列，則　?。?br/>【解答】解：數列為正奇數列，
對于數列，設時，為偶數，
當為偶數時，，則為奇數，
故，
所以，
故．
故答案為：．
12．已知數列的前項和為且，，成等差數列，，數列的前項和為，則滿足的最小正整數的值為 　10　．
【解答】解：由題意，當時，．
當時，．
則，．
，，成等差數列，
，即，
解得．
．
，．
．
．
，．
即，
，即，
，，
，即．
滿足的最小正整數的值為10．
故答案為：10．
四．解答題（共4小題）
13．已知等差數列的前項和為，，且，，成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）當數列的公差不為0時，記數列的前項和為，求證：．
【解答】（1）解：由題意，設等差數列的公差為，
則，，，
，，成等比數列，
，即，
化簡整理，得，
解得，或．
當時，，，
當時，，，
綜上所述，可得或，．
（2）證明：由（1）可知，當數列的公差不為0時，，，
此時，
則，
，
，
不等式對任意恒成立．
14．設數列的前項之積為，滿足．
（1）設，求數列的通項公式；
（2）設數列的前項之和為，證明：．
【解答】解：（1）因為數列的前項之積為，滿足，
所以當時，，解得．
當時，，
化為，
變形為，
又，所以，即且，
則數列是以為首項，2為公比的等比數列
所以．
（2）證明：由（1）可得：，解得，
當時，．
，
需要證明，
即證明，
設，，
則，
設，，
，
則函數在上單調遞增，
所以（1），
即，
所以．
15．已知各項均為正數的數列的前項和為，，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，且數列的前項和為，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由，，且，
可得，
即，
則，解得，
當時，由，可得，
上面兩式相減可得，
即為，
因為，所以，
且，
所以是首項和公差均為1的等差數列，即有；
（2）證明：，
，
，
上面兩式相減可得
，
化簡可得．
因為，所以，
由于，，
則數列在上單調遞增，
故．
16．數列的滿足，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）將數列中去掉數列的項后余下的項按原來的順序組成數列，求數列的前50項和．
【解答】解：（1）因為，
所以，
又因為，
所以，，
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
則，即；
（2）由得，，
因為，，，
所以中要去掉數列的項有5項，
所以
．專題05 數列求和
目錄
題型一： 等差、等比數列性質求和 3
題型二： 倒序相加求和 6
題型三： 錯位相減法求和 7
題型四： 裂項相消法求和 9
題型五： “奇偶項”求和 11
題型六： 與兩數列“相同項”有關的求和 13
1．特殊數列的求和公式
(1)等差數列前n項和公式：
(2)等比數列前n項和公式：
Sn＝
2．數列求和的幾種常用方法
(1)分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解．
(2)裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
(3)錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解．
(4)倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解．
常用結論與知識拓展
常見的裂項公式
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝
.
(4)＝(－).
(5)＝－.
(6)＝－.
等差、等比數列性質求和
已知等差數列滿足，，公比不為的等比數列滿足，．
（1）求與的通項公式；
（2）設，求的前項和．
設數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，．若，，成等比數列．
（1）求及；
（2）設，求數列的前項和．
記遞增的等差數列的前項和為，已知，且．
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）設，求數列的前項和．
等差數列的前項和為，滿足，．
（1）求的通項公式；
（2）設，求證數列為等比數列，并求其前項和．
已知數列為等比數列，在數列中，，，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，，求數列的前項和．
已知等差數列的公差不為零，其前項和為，且是和的等比中項，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，求的前項和．
倒序相加求和
【要點講解】如果一個數列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數列前n項和公式的推導便使用了此法. 用倒序相加法解題的關鍵，就是要能夠找出首項和末項之間的關系，因為有時這種關系比較隱蔽.
德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學界的王子，19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現有函數，設數列滿足，則　 ．
德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學王子．19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》，在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也被稱為高斯算法．現有函數，則（1）（2）等于　　
A． B． C． D．
設函數，，
．則數列的前項和　 　．
已知函數為奇函數，且，若，則數列的前2022項和為 　 ?。?br/>錯位相減法求和
【要點講解】(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．
(2)錯位相減法求和時，應注意：
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式．
②應用等比數列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
已知數列，的前項和分別為，，且滿足，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求的取值范圍．
記數列的前項和為，已知，．
（1）求的通項公式；
（2）若對任意，，求的最小整數值．
已知數列滿足，數列滿足，．
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
已知數列為遞增的等差數列，為的前項和，，，．
（1）若數列為等差數列，求非零常數的值；
（2）在（1）的條件下，，求的前項和．
裂項相消法求和
【要點講解】利用裂項相消法求和的注意事項
(1)抵消后不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項．
(2)將通項裂項后，一定要注意調整前面的系數，避免失誤．
(3)掌握常見的裂項相消的公式．
已知數列的前項的和為，數列是公差為1的等差數列．
（Ⅰ）證明：數列是公差為2的等差數列；
（Ⅱ）設數列的前項的和為，若．證明．
在等比數列中，，且，，成等差數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）記，數列的前項和為，求不等式的解集．
在公差不為0的等差數列中，，且，，成等比數列．
（1）求的通項公式和前項和；
（2）設，求數列的前項和公式．
數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，證明．
“奇偶項”求和
【要點講解】數列“奇偶項”的求和常常采用的策略：“奇偶分組”分別求和、“奇偶并項”求和．
已知等差數列滿足，．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
已知為等差數列，，記，分別為數列，的前項和，，．
（1）求的通項公式；
（2）求數列的前項和．
已知數列的首項，且滿足．
（1）證明：為等比數列；
（2）已知為的前項和，求．
已知為等差數列，，記，為，的前項和，，．
（1）求的通項公式；
（2）證明：當時，．
與兩數列“相同項”有關的求和
【要點講解】與兩個數列“相同項”有關的問題的解題關鍵：確定好兩個數列的“相同項”，再進行下一步研究，一類是去掉“相同項”后，構成新數列；一類是由“相同項”構成的新數列．
已知正項數列和，為數列的前項和，且滿足，．
（1）分別求數列和的通項公式；
（2）將數列中與數列相同的項剔除后，按從小到大的順序構成數列，記數列的前項和為，求．
已知正項等差數列和正項等比數列，為數列的前項和，且滿足，，，．
（1）分別求數列和的通項公式；
（2）將數列中與數列相同的項剔除后，按從小到大的順序構成數列，記數列的前項和為，求．
記等差數列的前項和為，公差為，等比數列的公比為，已知，，．
（1）求，的通項公式；
（2）將，中相同的項剔除后，兩個數列中余下的項按從小到大的順序排列，構成數列，求的前100項和．
一．選擇題（共6小題）
1．已知正項等比數列的前項和為，且滿足，設，將數列中的整數項組成新的數列，則　　
A．2022 B．2023 C．4046 D．4048
2．已知數列的前項和為，且滿足，則　　
A．130 B．169 C．200 D．230
3．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號．用他名字定義的函數稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數．已知正項數列的前項和為，且，令，則　　
A．7 B．8 C．17 D．18
4．已知數列滿足，數列的前項和為，若的最大值僅為，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
5．如圖所示的數陣稱為楊輝三角．斜線上方箭頭所示的數組成一個鋸齒形的數列：1，2，3，3，6，4，10，，記這個數列的前項和為，則等于　　
A．128 B．144 C．155 D．164
6．已知數列的每一項均為0或1，其前項和為，數列的前項和為，則下列結論中正確的是　　
A．數列，，，，的所有可能情況共有種
B．若為定值，則恒為0
C．若為定值，則為常數列
D．數列可能為等比數列
二．多選題（共2小題）
7．設等差數列的前項和為，且，，記為數列的前項和，若恒成立，則的值可以是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知集合，，，，集合，將集合中所有元素從小到大依次排列為一個數列，為數列的前項和，則　　
A．
B．或2
C．
D．若存在使，則的最小值為26
三．填空題（共4小題）
9．已知數列滿足，若，則數列的前項和 ．
10．對于數列，令，給出下列四個結論：
①若，則；
②若，則；
③存在各項均為整數的數列，使得對任意的都成立；
④若對任意的，都有，則有．
其中所有正確結論的序號是 ．
11．已知，，將數列與數列的公共項從小到大排列得到新數列，則 ．
12．已知數列的前項和為且，，成等差數列，，數列的前項和為，則滿足的最小正整數的值為 ．
四．解答題（共4小題）
13．已知等差數列的前項和為，，且，，成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）當數列的公差不為0時，記數列的前項和為，求證：．
14．設數列的前項之積為，滿足．
（1）設，求數列的通項公式；
（2）設數列的前項之和為，證明：．
15．已知各項均為正數的數列的前項和為，，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，且數列的前項和為，求的取值范圍．
16．數列的滿足，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）將數列中去掉數列的項后余下的項按原來的順序組成數列，求數列的前50項和．

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