資源簡介

重難點(diǎn)突破01 平面向量中最值、范圍問題
以平面圖形為載體的有關(guān)數(shù)量積的最值問題和范圍問題是高考的熱點(diǎn)之一，常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)．要深刻理解數(shù)量積的意義，從不同角度對數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
[解題思路]建立目標(biāo)函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)(二次函數(shù)、三角函數(shù)等)的最值或應(yīng)用基本不等式．同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以還有一種思路是數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì).
一、幾何投影法
側(cè)重于從投影入手體現(xiàn)幾何意義，如平面向量數(shù)量積a·b＝|a||b|cos θ，其幾何意義為其中一個(gè)向量長度乘以另一個(gè)向量在其方向上的投影，解題時(shí)可結(jié)合向量的投影來探尋聯(lián)系，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題．
二、基向量法
解題時(shí)有時(shí)無法獲取對應(yīng)向量數(shù)量積的要素，如模和夾角，此時(shí)就可以考慮采用基底法．先設(shè)定兩個(gè)不平行的向量作為基底，然后將所需向量表示出來，最后根據(jù)條件進(jìn)行最值分析．
三、坐標(biāo)法(數(shù)形結(jié)合法)
把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，將向量坐標(biāo)化，利用向量之間的坐標(biāo)運(yùn)算來解答．坐標(biāo)法是高考中常用的解題技巧，其核心知識點(diǎn)為向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
一．選擇題（共20小題）
1．（2023 宣化區(qū)校級三模）已知正方形的邊長為2，是它的外接圓的一條弦，點(diǎn)為正方形四條邊上的動點(diǎn)，當(dāng)弦的長度最大時(shí)，的取值范圍是　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：當(dāng)弦的長度最大時(shí)，弦過正方形的外接圓的圓心，
正方形的邊長為2，圓的半徑為，
如圖所示：
則，，
，
點(diǎn)為正方形四條邊上的動點(diǎn)，
，又，
，
故選：．
2．（2023 榆林一模）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍為　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br/>又，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，故．
故選：．
3．（2023 重慶模擬）已知是單位向量，向量滿足與成角，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：作，則，如圖，
，
，與成角，且，點(diǎn)在射線上，
，
的取值范圍為：．
故選：．
4．（2023 廣東模擬）已知單位向量，，若對任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：依題意，，
所以，即恒成立，
則△，解得，
故，的夾角的取值范圍是．
故選：．
5．（2023 鼓樓區(qū)校級模擬）在矩形中，，．若，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：在矩形中，，，
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，
又，
則可設(shè)，其中，，
則，，
則，
又，，
則，，
故選：．
6．（2023 思明區(qū)校級四模）已知直線與圓相交于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面上一動點(diǎn)滿足，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，
由平面向量數(shù)量積的幾何意義知：，
直線與圓相交，圓心到直線的距離，，
，．
故選：．
7．（2023 河南三模）如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題可知在上的投影數(shù)量的取值范圍為，
又因?yàn)椋?br/>所以的取值范圍是．
故選：．
8．（2023 開封二模）已知等邊的邊長為，為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
由題意設(shè)，，
則，，
，
，，可得，．
故選：．
9．（2023 廈門模擬）圓為銳角的外接圓，，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內(nèi)部，如下圖示，
又，而，若外接圓半徑為，
因?yàn)椋?br/>，
，
兩邊平方得，，
，
則，
故，且，即，
由，
對于且在圓上，當(dāng)為直徑時(shí)，當(dāng)，重合時(shí)，
，
綜上，，
銳角三角形中，則，即恒成立，
，則恒成立，
綜上所述，的取值范圍為，．
故選：．
10．（2023 河南模擬）在銳角三角形中，，，則邊上的高的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，
則邊上的高，
由正弦定理得．
由為銳角三角形，可知，
則，
所以，從而，
因此邊上的高的取值范圍是．
故選：．
11．（2023 合肥模擬）已知線段的中點(diǎn)為等邊三角形的頂點(diǎn)，且，當(dāng)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動時(shí)，的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以與平行的直線為軸，與垂直的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，易知、兩點(diǎn)都是圓上的動點(diǎn)，
方法一：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，，
此時(shí)，，則，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得，，
則，，，，
，
，
同理，當(dāng)時(shí)，，，
，，
綜上所述，的取值范圍是，；
方法二：設(shè)點(diǎn)，，，
則，
，，
，
，，，．
故答案選：．
12．（2023 重慶模擬）已知向量的夾角為，，若對任意的、，且，，則的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：已知向量的夾角為，，
則，
所以，
所以對任意的、，且，，則，
所以，即，設(shè)，即在上單調(diào)遞減，
又時(shí)，，解得，
所以，，在上單調(diào)遞增；
，，，在，上單調(diào)遞減，
所以．
故選：．
13．（2023 鹽山縣校級三模）在中，若，，，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以為的外心，且為外接圓上一動點(diǎn)，
又，，
所以外接圓的半徑．
如圖，
作，垂足為，則．
所以，當(dāng)與圓相切時(shí)，取最值，即在處取最大值6，
在處取最小值．
故選：．
14．（2022 濱州二模）在中，為邊上任意一點(diǎn)，為線段上任意一點(diǎn)，若，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由題意，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，從而有，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br/>所以，即，
因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，即，，
綜上，的取值范圍是，．
故選：．
15．（2023 姜堰區(qū)模擬）已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由平面向量，，均為單位向量，且，
根據(jù)向量的減法的幾何意義，可得，向量夾角為，
則
，
所以當(dāng)與同向時(shí)，原式取到最小值；
當(dāng)與反向時(shí)，原式取到最大值4．
故選：．
16．（2023 迎江區(qū)校級模擬）已知點(diǎn)為銳角的外接圓上任意一點(diǎn)，，，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)的外接圓的半徑為，
則，
在中，由正弦定理得，
又，所以，
則，
所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?br/>所以，，
所以，
又可得，則，
所以，，
又，在上都為增函數(shù)，
所以，故，
又，，，
所以，
故，
所以，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)等號成立，
所以的取值范圍為，．
故選：．
17．（2023 鄭州三模）已知中，，，，，，，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由平面向量的加法法則可得，就是點(diǎn)到的距離，
，是的平分線，
，
即，
，，
，，，
為等腰直角三角形，，
設(shè)，為斜邊的兩個(gè)四等分點(diǎn)，
，，且，
，，三點(diǎn)共線且在的兩個(gè)四等分點(diǎn)之間運(yùn)動，
，，，
由圖易得：當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，
，，
當(dāng)在時(shí)，最大，此時(shí)在中，
由余弦定理有：．
的取值范圍為．
故選：．
18．（2023 天津二模）在平面四邊形中，，，．若、為邊上的動點(diǎn)，且，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，設(shè)、交于．不妨設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
，且，
平面四邊形是平行四邊形，
設(shè)，，
，
，平面四邊形是菱形，
又，，
，又，，
，
，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，，
，
又易知的最小值為，
的最大值為，
的最小值為，的最大值為，
的取值范圍為，．
故選：．
19．（2023 開封三模）等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在第一象限，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得：為直角三角形，且，
不妨設(shè)，，其中，
如圖所示，由等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形性質(zhì)易得：
點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
又，，
，．
故選：．
20．（2023 渝中區(qū)校級模擬）已知平面向量，，滿足：，，，，則的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：，
，即，
，則，
，
，可得，
．
故選：．
二．多選題（共6小題）
21．（2023 浉河區(qū)校級模擬）已知曲線上的動點(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過和兩點(diǎn)，為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，，，為切點(diǎn)，則　　
A．點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離為
B．線段長度的最小值為
C．的最小值為3
D．存在點(diǎn)，使得的面積為3
【解答】解：已知曲線上的動點(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，
則點(diǎn)的軌跡方程為，
又直線過和兩點(diǎn)，
則直線的方程為，
對于選項(xiàng)，圓的圓心到直線的距離為，
則點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離為，
即選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)，，
即選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)，由題意可得，
則，
則，
又，
則的值隨著的值增大而增大，
即當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值3，
即選項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)，由題意可得，
又，
顯然當(dāng)時(shí)，的面積隨著的增大而減小，
即時(shí)，的面積取最小值，
又，
即存在點(diǎn)，使得的面積為3，
即選項(xiàng)正確．
故選：．
22．（2023 桐城市校級一模）在邊長為4的正方形中，在正方形（含邊）內(nèi)，滿足，則下列結(jié)論正確的是　　
A．若點(diǎn)在上時(shí)，則
B．的取值范圍為，
C．若點(diǎn)在上時(shí)，
D．當(dāng)在線段上時(shí)，的最小值為
【解答】解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，設(shè)，，，，
，
，，，，，
對于，由題意可得線段的方程為，，，
點(diǎn)在上，，
，，
，故正確；
對于，，，，
，，，，，
，，故錯(cuò)誤；
對于，，，，
，，，，
，，
，則，，
，不滿足，
不成立，故錯(cuò)誤；
對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
當(dāng)在線段上時(shí)，的最小值為，故正確．
故選：．
23．（2023 黃州區(qū)校級二模）如圖，正方形中，為中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是　　
A．當(dāng)為線段上的中點(diǎn)時(shí)，
B．的最大值為
C．的取值范圍為，
D．的取值范圍為
【解答】解：根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，
所以，，，
設(shè)，則，
由于，所以，，，，整理得，，則，，
對于：當(dāng)為上的中點(diǎn)時(shí)，則，故，故正確；
對于，由于，當(dāng)時(shí)的最大值為，故正確；
對于：由于，，所以，故的取值范圍為，，故正確；
對于，，故的取值范圍為，，故錯(cuò)誤．
故選：．
24．（2023 香坊區(qū)校級三模）已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，若，則下列正確的是　　
A．的取值范圍是
B．若是邊上的一點(diǎn)，且，，則的面積的最大值為
C．若是銳角三角形，則的取值范圍是
D．若是銳角三角形，平分交于點(diǎn)，且，則的最小值為
【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
即，又，所以，
，
因?yàn)椋?br/>所以，，所以，
所以，故錯(cuò)誤；
因?yàn)椋裕?br/>所以，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，，
的面積的最大值為，故正確；
，
是銳角三角形，，
，，
，，故正確；
由題意得：，
可得：，
可得：，
得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，的最小值為，故正確．
故選：．
25．（2023 湖南模擬）如圖，正方形的邊長為2，是正方形的內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，，則　　
A．的最大值為4 B．的最大值為
C．的最大值為2 D．的最大值為
【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，
內(nèi)切圓的方程為，
可設(shè)，
則，，
所以，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)取等號，
所以的最大值為4，正確；
因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以的最大值為，錯(cuò)誤，
由，可得，，，，，
得，，
，，
當(dāng)，即時(shí)，所以所以的最大值為，正確，
當(dāng)，即時(shí)，所以所以的最大值為，正確．
故選：．
26．（2023 葫蘆島二模）已知向量滿足，，，．則下列說法正確的是　　
A．若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為
B．若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，在上的投影的數(shù)量的取值范圍是
C．若點(diǎn)在以為半徑且與直線相切的圓上，取得最大值時(shí)，的值為3
D．若點(diǎn)在以為半徑且與直線相切的圓上，的范圍是，
【解答】解：因?yàn)椋从校?br/>則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為，軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，由，得，
點(diǎn)，確定的直線方程為：，即，
當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，即，，
因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，
此時(shí)，，錯(cuò)誤；
在上的投影的數(shù)量為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t，
所以，即在上的投影的數(shù)量的取值范圍是，正確；
當(dāng)點(diǎn)在以為半徑且與直線相切的圓上時(shí)，
因?yàn)榕c直線相切，且半徑為的圓的圓心軌跡是與直線平行，且到直線距離為的兩條平行直線，
設(shè)這兩條與平行的直線方程為，，
則，解得或，
因此動圓圓心的軌跡為直線或直線，
設(shè)圓心為，則點(diǎn)在圓上，其中或，
于是令，
則
，顯然點(diǎn)是直線或上任意一點(diǎn)，
即，，從而無最大值，即無最大值，錯(cuò)誤；
，其中銳角滿足，
顯然，當(dāng)圓心在直線時(shí)，，則，，
當(dāng)圓心在直線時(shí)，，則，，
所以的范圍是，，正確．
故選：．
三．填空題（共9小題）
27．（2023 沈陽三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 　，，　．
【解答】解：，，與的夾角是銳角，
則且、不同向，即，解得且，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．
故答案為：，，．
28．（2023 廣陵區(qū)校級模擬）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量，，，且平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成，為實(shí)數(shù)），則的取值范圍是　，，　．
【解答】解：平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成，為實(shí)數(shù)），則，為基底，即基底不共線．
，
．
故答案為：，，．
29．（2023 漳州模擬）已知，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為線段上異于，的動點(diǎn)，若，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：由題意設(shè)，，因?yàn)椋裕?br/>所以，
又，則，
所以，
又因?yàn)椋啥魏瘮?shù)得性質(zhì)得，
所以得取值范圍為．
故答案為：．
30．（2022 寶山區(qū)校級二模）已知單位向量，的夾角為，若，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：由題意，，．
，，，則，，
的取值范圍是．
故答案為：．
31．（2023 海淀區(qū)校級模擬）已知點(diǎn)是邊長為4的正方形的中心，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，若．
（1）的取值范圍是 　　；
（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，　　．
【解答】解：（1）建立以為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，如圖所示：
由可得的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
設(shè)，則有，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
由的軌跡方程可知，
即，所以，
所以的范圍為：；
（2）將代入，得，
所以點(diǎn)在圓上，
設(shè)，
則，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，
所以，
所以，
所以．
故答案為：；．
32．（2023 鹽城三模）在中，，，，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：根據(jù)正弦定理得，即，
，
，
，，
，
即的取值范圍．
故答案為：．
33．（2023 虹口區(qū)校級三模）已知平面向量滿足，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：不妨設(shè)，則，
由，可得，
則，
所以的取值范圍是．
故答案為：．
34．（2023 黃浦區(qū)模擬）已知單位向量與，向量在方向上的投影向量為，且，若的取值范圍是，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：根據(jù)題意可知，
向量在方向上的投影向量為，
，
的取值范圍是，
．
故答案為：．
35．（2023 武清區(qū)校級模擬）在四邊形中，，，，則　　；若，分別是邊，上的點(diǎn)，且滿足，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是 　　．
【解答】解：在四邊形中，，，，
四邊形為等腰梯形，，，
，，
．
，，，
，，，
，，
，
，，
解得或，
，，
的取值范圍是，
故答案為：，．重難點(diǎn)突破01 平面向量中最值、范圍問題
以平面圖形為載體的有關(guān)數(shù)量積的最值問題和范圍問題是高考的熱點(diǎn)之一，常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)．要深刻理解數(shù)量積的意義，從不同角度對數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
[解題思路]建立目標(biāo)函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)(二次函數(shù)、三角函數(shù)等)的最值或應(yīng)用基本不等式．同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以還有一種思路是數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì).
一、幾何投影法
側(cè)重于從投影入手體現(xiàn)幾何意義，如平面向量數(shù)量積a·b＝|a||b|cos θ，其幾何意義為其中一個(gè)向量長度乘以另一個(gè)向量在其方向上的投影，解題時(shí)可結(jié)合向量的投影來探尋聯(lián)系，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題．
二、基向量法
解題時(shí)有時(shí)無法獲取對應(yīng)向量數(shù)量積的要素，如模和夾角，此時(shí)就可以考慮采用基底法．先設(shè)定兩個(gè)不平行的向量作為基底，然后將所需向量表示出來，最后根據(jù)條件進(jìn)行最值分析．
三、坐標(biāo)法(數(shù)形結(jié)合法)
把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，將向量坐標(biāo)化，利用向量之間的坐標(biāo)運(yùn)算來解答．坐標(biāo)法是高考中常用的解題技巧，其核心知識點(diǎn)為向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
一．選擇題（共20小題）
1．（2023 宣化區(qū)校級三模）已知正方形的邊長為2，是它的外接圓的一條弦，點(diǎn)為正方形四條邊上的動點(diǎn)，當(dāng)弦的長度最大時(shí)，的取值范圍是　　
A．， B． C．， D．，
2．（2023 榆林一模）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍為　　
A． B． C．， D．，
3．（2023 重慶模擬）已知是單位向量，向量滿足與成角，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
4．（2023 廣東模擬）已知單位向量，，若對任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為　　
A． B． C． D．
5．（2023 鼓樓區(qū)校級模擬）在矩形中，，．若，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
6．（2023 思明區(qū)校級四模）已知直線與圓相交于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面上一動點(diǎn)滿足，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
7．（2023 河南三模）如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
8．（2023 開封二模）已知等邊的邊長為，為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
9．（2023 廈門模擬）圓為銳角的外接圓，，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為　　
A． B．， C． D．，
10．（2023 河南模擬）在銳角三角形中，，，則邊上的高的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
11．（2023 合肥模擬）已知線段的中點(diǎn)為等邊三角形的頂點(diǎn)，且，當(dāng)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動時(shí)，的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
12．（2023 重慶模擬）已知向量的夾角為，，若對任意的、，且，，則的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
13．（2023 鹽山縣校級三模）在中，若，，，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
14．（2022 濱州二模）在中，為邊上任意一點(diǎn)，為線段上任意一點(diǎn)，若，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
15．（2023 姜堰區(qū)模擬）已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
16．（2023 迎江區(qū)校級模擬）已知點(diǎn)為銳角的外接圓上任意一點(diǎn)，，，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
17．（2023 鄭州三模）已知中，，，，，，，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
18．（2023 天津二模）在平面四邊形中，，，．若、為邊上的動點(diǎn)，且，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
19．（2023 開封三模）等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在第一象限，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
20．（2023 渝中區(qū)校級模擬）已知平面向量，，滿足：，，，，則的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
二．多選題（共6小題）
21．（2023 浉河區(qū)校級模擬）已知曲線上的動點(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過和兩點(diǎn)，為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，，，為切點(diǎn)，則　　
A．點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離為
B．線段長度的最小值為
C．的最小值為3
D．存在點(diǎn)，使得的面積為3
22．（2023 桐城市校級一模）在邊長為4的正方形中，在正方形（含邊）內(nèi)，滿足，則下列結(jié)論正確的是　　
A．若點(diǎn)在上時(shí)，則
B．的取值范圍為，
C．若點(diǎn)在上時(shí)，
D．當(dāng)在線段上時(shí)，的最小值為
23．（2023 黃州區(qū)校級二模）如圖，正方形中，為中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是　　
A．當(dāng)為線段上的中點(diǎn)時(shí)，
B．的最大值為
C．的取值范圍為，
D．的取值范圍為
24．（2023 香坊區(qū)校級三模）已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，若，則下列正確的是　　
A．的取值范圍是
B．若是邊上的一點(diǎn)，且，，則的面積的最大值為
C．若是銳角三角形，則的取值范圍是
D．若是銳角三角形，平分交于點(diǎn)，且，則的最小值為
25．（2023 湖南模擬）如圖，正方形的邊長為2，是正方形的內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，，則　　
A．的最大值為4 B．的最大值為
C．的最大值為2 D．的最大值為
26．（2023 葫蘆島二模）已知向量滿足，，，．則下列說法正確的是　　
A．若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為
B．若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，在上的投影的數(shù)量的取值范圍是
C．若點(diǎn)在以為半徑且與直線相切的圓上，取得最大值時(shí)，的值為3
D．若點(diǎn)在以為半徑且與直線相切的圓上，的范圍是，
三．填空題（共9小題）
27．（2023 沈陽三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
28．（2023 廣陵區(qū)校級模擬）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量，，，且平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成，為實(shí)數(shù)），則的取值范圍是 ．
29．（2023 漳州模擬）已知，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為線段上異于，的動點(diǎn)，若，則的取值范圍是 ．
30．（2022 寶山區(qū)校級二模）已知單位向量，的夾角為，若，則的取值范圍是 ．
31．（2023 海淀區(qū)校級模擬）已知點(diǎn)是邊長為4的正方形的中心，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，若．
（1）的取值范圍是 ；
（2）當(dāng)取得最大值時(shí)， ．
32．（2023 鹽城三模）在中，，，，則的取值范圍是 ．
33．（2023 虹口區(qū)校級三模）已知平面向量滿足，則的取值范圍是 ．
34．（2023 黃浦區(qū)模擬）已知單位向量與，向量在方向上的投影向量為，且，若的取值范圍是，則的取值范圍是 ．
35．（2023 武清區(qū)校級模擬）在四邊形中，，，，則 ；若，分別是邊，上的點(diǎn)，且滿足，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是 ．重難點(diǎn)突破02 奔馳定理與四心問題
奔馳定理
如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.
由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．這個(gè)定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用．
三角形的內(nèi)心
1、內(nèi)心的定義：三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（或內(nèi)切圓的圓心).如圖，點(diǎn)P
注：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等
常見內(nèi)心的向量表示：
（1）（或）
其中分別是的三邊的長
（2），則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心
（注：向量()所在直線過內(nèi)心(是角平分線所在直線)）
3、破解內(nèi)心問題，主要是利用了平面向量的共線法，通過構(gòu)造與角平分線共線的向量，即兩個(gè)單位向量的和向量。
拓展：是平面上一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，證明的軌跡一定通過的內(nèi)心．
三角形的外心
外心的定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)（或外接圓的圓心）
注：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.
常用外心的向量表示：
（1）
（2）
變形：P為平面ABC內(nèi)一動點(diǎn)，若，則為三角形的外心
3、破解外心問題，關(guān)鍵是運(yùn)用平面向量的加減法和數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律從而得到三角形的外心。
三角形的“重心”
1、重心的定義：三邊中線的交點(diǎn)（重心是中線上的三等分點(diǎn)）.如圖,點(diǎn)G
注：重心將中線長度分成
2、常見重心的向量表示：
設(shè)是的重心，為平面內(nèi)任意一點(diǎn).
（1）
（2），，，
（3）若，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過三角形的重心.
注：若、、，重心坐標(biāo)為.
若，則點(diǎn)經(jīng)過的重心；
3、破解重心問題，關(guān)鍵是利用平面向量加法的幾何意義
三角形的“垂心”
1、垂心的定義：三條高線的交點(diǎn)，如圖，點(diǎn)O
注：高線與對應(yīng)邊垂直
2、常見垂心的向量表示
證明：因?yàn)椋裕裕?br/>同理可得，，所以O(shè)為垂心
（2）
一．選擇題（共22小題）
1．（2023春 敘州區(qū)校級期中）若點(diǎn)是的重心，則下列向量中與共線的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：點(diǎn)是的重心，
設(shè)，，分別是邊，，的中點(diǎn)，
，
同理，
，
，
零向量與任意的向量共線，
故選：．
2．（2023 西安模擬）在中，設(shè)，，為的重心，則用向量和為基底表示向量　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示：
由于點(diǎn)為的重心，
所以，故，
故．
故選：．
3．（2022 昌吉州模擬）如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線分別與，兩邊交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，與點(diǎn)，不重合），設(shè)，，則的最小值為　　
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：為的重心，
，
又在線段上，
，
，
，
，
由題意可知，，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，
，
即的最小值為4．
故選：．
4．（2022 大武口區(qū)校級四模）在等邊中，為重心，是的中點(diǎn)，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：在等邊中，為重心，是的中點(diǎn)，
設(shè)是中點(diǎn)，
．
故選：．
5．（2023 普陀區(qū)校級模擬）已知點(diǎn)為的外心，且，則為　　
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
【解答】解：由三角形的外心為各邊中垂線的交點(diǎn)，結(jié)合向量投影的運(yùn)算可得：
，，，
又，
則，
則，
即，
即為鈍角三角形，
故選：．
6．（2020 青秀區(qū)校級模擬）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，．則點(diǎn)的軌跡一定通過三角形的　　
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
【解答】解：由正弦定理可知：，為三角形的外接圓的半徑，
所以動點(diǎn)滿足．因?yàn)槭且裕瑸猷忂叺钠叫兴倪呅蔚膶蔷€為起點(diǎn)的向量，經(jīng)過的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)的軌跡一定通過三角形的重心．
故選：．
7．（2022 安徽模擬）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若滿足，則為的　　
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【解答】解：由，得，
由，得，
根據(jù)平面向量基本定理可得，
所以，
延長交于，延長交于，
則，又，
所以，
所以為的平分線，
同理可得是的平分線，
所以為的內(nèi)心．
故選：．
8．（2020 重慶模擬）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則必有　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如圖，由題知為垂心，所以，
．
同理，，
，
所以．
．
又，
．
由奔馳定理得，
故選：．
9．（2023 河北區(qū)二模）在中，角，的對邊長分別為，，點(diǎn)為的外心，若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知得，所以，
因?yàn)闉榈耐庑模瑒t
，，
故時(shí)，取最小值為，時(shí)取得上界為2，
故的取值范圍是．
故選：．
10．（2023 重慶模擬）已知點(diǎn)是的外心，，，，若，則　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如圖，
，，，且，
，，，
，
，整理得，，
．
故選：．
11．（2023 海淀區(qū)校級模擬）已知是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則　　
A． B． C．0 D．2
【解答】解：如圖所示：
是的外心，且滿足，
為的中點(diǎn)，，
在上的投影向量為，外接圓半徑為2，
，，
，
故選：．
12．（2021 聊城三模）在中，，，，為中點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則　　
A． B． C． D．1
【解答】解：為中點(diǎn)，，，
為的內(nèi)心，，
，，．
故選：．
13．（2021 迎江區(qū)校級三模）等邊的面積為，且的內(nèi)心為，若平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)三角形邊長為，由題可得，解得，
如圖，以所在直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)闉榈冗叺膬?nèi)心，故在上，且，
則，，，，，
因?yàn)椋瑒t點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，
設(shè)，則，即，且，
，，
所以，
故選：．
14．（2022 新華區(qū)校級模擬）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)，，分別為任意的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)歐拉定理可知，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，且，
對于，，，故錯(cuò)誤，
對于，，，故錯(cuò)誤，
對于，，故錯(cuò)誤，
對于，，故正確，
故選：．
15．（2021 吉林模擬）下列關(guān)于平面向量的說法正確的是　　
A．若共線，則點(diǎn)，，，必在同一直線上
B．若且，則
C．若為的外心，則
D．若為的垂心，則
【解答】解：若與共線，則直線與平行或重合，點(diǎn)，，，不一定在同一直線上，錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)與不一定共線，錯(cuò)；
當(dāng)為重心時(shí)滿足，錯(cuò)；
若為的垂心，則，，，，同理，對．
故選：．
16．（2020 安徽模擬）設(shè)是所在平面上一點(diǎn)，點(diǎn)是的垂心，滿足，且，則角的大小是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)椋裕?br/>即，，即（點(diǎn)是邊的中點(diǎn)），所以點(diǎn)在邊的中垂線上．
同理點(diǎn)在邊的中垂線上．因此點(diǎn)是的外心．
設(shè)外接圓的半徑是
．
故選：．
17．（2023 渾南區(qū)校級模擬）在中，，是的外心，若，則　　
A． B．3 C．6 D．
【解答】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，
則，，所以，
在中，，，由正弦定理得，
所以，
所以，
故選：．
18．（2021 碑林區(qū)校級模擬）在中，若，則下列說法正確的是　　
A．是的外心 B．是的內(nèi)心
C．是的重心 D．是的垂心
【解答】解：，，，
，
同理由，得到，
點(diǎn)是的三條高的交點(diǎn)，是的垂心．
故選：．
19．（2021 綦江區(qū)校級模擬）在中，，，，是的內(nèi)心，若，其中，，動點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，根據(jù)題意知，點(diǎn)在以，為鄰邊的平行四邊形內(nèi)部，動點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為；
在中，，，；
由余弦定理得，；
解得，或（舍去）；
又為的內(nèi)心；
；
動點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為．
故選：．
20．（2023 畢節(jié)市模擬）已知點(diǎn)為三角形的重心，且，當(dāng)取最大值時(shí)，　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意，
所以，
即，
所以，
所以，
又，，
則，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
又在上單調(diào)遞減，，
所以當(dāng)取最大值時(shí)，．
故選：．
21．（2021 全國Ⅲ卷模擬）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．內(nèi)一點(diǎn)滿足：，則一定為的　　
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心
【解答】解：由題意可設(shè)，，，
其中，，分別為，，方向上的單位向量，
，
，
則，
．
在的角分線上，同理在與的角分線上．
為的內(nèi)心．
故選：．
22．（2023 河南模擬）在銳角中，，，分別是的內(nèi)角，，所對的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，是的重心，延長交的中點(diǎn)為，且，
又，，，
又據(jù)，，兩式展開相加可得：
，
，，，
，
又為銳角，，，，
再將代入上面三個(gè)不等式中可解得，
，
設(shè)，則，，，
又，，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的最小值為（1），
又，
，．
即的取值范圍是，．
故選：．
二．多選題（共5小題）
23．（2023 濰坊模擬）已知點(diǎn)為內(nèi)的一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，則　　
A．若為中點(diǎn)，則
B．若為中點(diǎn)，則
C．若為的重心，則
D．若為的外心，且，則
【解答】解：如圖1，為邊的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
，正確；
，
，正確；
如圖2，為的重心，為的中點(diǎn)，則，，錯(cuò)誤；
如圖3，為的外心，，則，正確．
故選：．
24．（2023 五華區(qū)校級模擬）已知，是兩個(gè)非零向量，則下列說法正確的是　　
A．若，，，則
B．為銳角的充要條件是
C．若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的重心
D．若，且，則為等邊三角形
【解答】解：對于選項(xiàng)，，，且，
，，選項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)，在中，由，
可得，即，
同理，，
為的垂心，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)，，
，又，，
為等邊三角形，選項(xiàng)正確．
故選：．
25．（2023 黃岡模擬）點(diǎn)，分別是的外心、垂心，則下列選項(xiàng)正確的是　　
A．若且，則
B．若，且，則
C．若，，則的取值范圍為，
D．若，則
【解答】解：．由，可知，點(diǎn)，，共線，
又可知，點(diǎn)在的角平分線上，
所以為的角平分線，與不一定相等，故錯(cuò)誤；
．若，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)又是的外心，
所以，，故正確；
．因?yàn)椋裕鐖D，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，，
因?yàn)椋裕?br/>得，，
，，
，，則，，故正確；
．因?yàn)椋裕?br/>即，則，
同理，，所以，
設(shè)，
因?yàn)椋裕?br/>即，則，
，即，
則，
，，故正確．
故選：．
26．（2023 湖北模擬）下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是　　
A．已知，，點(diǎn)在直線上，且，則的坐標(biāo)為
B．若是的外接圓圓心，則
C．若，且，則
D．若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的垂心
【解答】解：對于，設(shè)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且，
所以或，
則或，
從而可得或，
所以或，故錯(cuò)誤；
對于，如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，則，
則，故正確；
對于，當(dāng)時(shí)，，
滿足，則與不一定相等，故錯(cuò)誤；
對于，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
同理可得，，
所以是的垂心，故正確．
故選：．
27．（2021 香洲區(qū)校級模擬）若點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的是　　
A．若，則點(diǎn)為的重心
B．若，則點(diǎn)為的垂心
C．若，則點(diǎn)為的外心
D．若，則點(diǎn)為的內(nèi)心
【解答】解：對于：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，
則，，
所以點(diǎn)為邊上的中線的三等分點(diǎn)，
故點(diǎn)為的重心，故正確；
對于分別為的單位向量，
任意兩個(gè)向量的單位向量的差為三角形的第三邊的向量，
所以、垂直于構(gòu)成菱形的對角線，
所以點(diǎn)在角平分線上，故點(diǎn)為內(nèi)心，故錯(cuò)誤；
對于，
整理得，
所以，故點(diǎn)為的外心，故正確；
對于，
所以，整理得，同理，
即，，
故點(diǎn)為的垂心，故錯(cuò)誤．
故選：．
三．填空題（共10小題）
28．（2023 河北模擬）已知為的外心，若，且，則　　．
【解答】解：因?yàn)槭堑耐庑模裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>所以．
故答案為：．
29．（2020 江蘇四模）設(shè)為的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)），且，則的值為 　　．
【解答】解：由題，為的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)），
，
．
同理，，
即．
設(shè)，
，
，
，同理可求得，
．
故答案為：．
30．（2023 新城區(qū)校級模擬）在平行四邊形中，為的重心，，則　　．
【解答】解：在平行四邊形中，為的重心，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，
如圖所示：
故，，
所以；
故．
由于，故，
所以．
故答案為：．
31．（2021 商丘模擬）在中，，，為的垂心，且滿足，則　　．
【解答】解：如圖所示，為的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則．因?yàn)椋瑒t，則，，由此可得．
故答案為：．
32．（2023 浦東新區(qū)模擬）已知是的外心，且，則　　．
【解答】解：設(shè)外接圓的半徑為1，
，
，
，
是的外心，
，，
，
是的外心，
，
，
，，
故答案為：．
33．（2022 陜西模擬）已知中，角，，所對的邊分別是，，，且，，，設(shè)為的內(nèi)心，則的面積為 　　．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，由正弦定理，可得，
結(jié)合，由余弦定理，解之得，，
若為的內(nèi)心，則設(shè)的內(nèi)接圓半徑為，
由，可得，，
故，
所以，
所以．
故答案為：．
34．（2022 寧波模擬）在中，點(diǎn)、點(diǎn)分別為的外心和垂心，，，則　8　．
【解答】解：，
，
因?yàn)闉榇剐模?br/>所以，
設(shè)，，外接圓的半徑為，
由余弦定理得，
同理，
所以．
所以，
故答案為：8．
35．（2023 北辰區(qū)三模）在中，，，若為其重心，試用，表示為 　　；若為其外心，滿足，且，則的最大值為 　　．
【解答】解：設(shè)的中點(diǎn)為，
在中，，，為其重心，
；
若為其外心，
則，，
，
，
，
，
即，
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
則的最大值為1．
故答案為：；1．
36．（2023 黃埔區(qū)校級模擬）已知是三角形的外心，，，若，且，則三角形的面積為　24或　．
【解答】解：當(dāng)為直角時(shí)，由，，求得，滿足，且，
此時(shí)三角形的面積為；
當(dāng)不是直角時(shí)，
取中點(diǎn)為，則，，
，
．
又，
，
，
又，
，則．
三角形的面積為．
故答案為：24或．
37．（2022 浙江模擬）在中，已知，，，為的內(nèi)心，的延長線交于點(diǎn)，則的外接圓的面積為 　　，　　．
【解答】解：由余弦定理得，所以，
設(shè)三角形的外接圓的半徑為，所以，所以，
所以的外接圓的面積為，
由余弦定理得，
所以，，
所以，
由正弦定理得，
所以．
故答案為：；．
四．解答題（共3小題）
38．（2022 齊齊哈爾二模）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．從下列①②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答．
①為的內(nèi)心；
②為的外心．
（1）求；
（2）若，，_______，求的面積．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，
，
，
三角形中，，所以，
，則，
所以；
（2）選①為的內(nèi)心，如圖，，，分別是內(nèi)切圓在各邊上的切點(diǎn)，
，
，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，
所以；
選②為的外心，在外部，如圖，外接圓上，
由（1），
所以，
又，
，
．
39．（2022 福建模擬）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，．
（1）求的大小；
（2）為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，______，求的面積．
請?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問題．
①為的外心，；
②為的垂心，；
③為的內(nèi)心，．
【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，又因?yàn)椋?br/>所以，整理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
即，
又因?yàn)椋裕?br/>選①，
設(shè)的外接圓半徑為，則在中，由正弦定理得，即，
因?yàn)闉橥庑模裕c矛盾，故不能選①；
選②，
因?yàn)闉榈拇剐模裕?br/>又，所以在中，，
同理可得，
又因?yàn)椋裕?br/>即，
又因?yàn)樵谥校?br/>所以，
因此，
故，為方程兩根，
即，
因?yàn)椋裕?br/>所以為等邊三角形，
所以；
選③，
因?yàn)闉榈膬?nèi)心，所以，
由，
得，
由（1）可得，即，所以，
即，
又因?yàn)椋裕?br/>所以．
40．（2022 廣東模擬）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．從下列①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答．
①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心．
（1）求；
（2）若，，________，求的面積．
【解答】解：（1）由正弦定理及知，，
整理得，，
因?yàn)椋裕矗?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>（2）在中，由余弦定理知，，
所以，
選擇條件①：為的內(nèi)心，
因?yàn)榈拿娣e，其中為內(nèi)切圓的半徑，
所以，解得，
故的面積．
選擇條件②：為的外心；
在外接圓上取一點(diǎn)，連接，，則，
所以，
在中，由正弦定理知，，其中為外接圓半徑，
所以，
所以的面積．
選擇條件③：為的重心，
設(shè)邊上的高為，
的面積，即，解得，
因?yàn)闉榈闹匦模渣c(diǎn)到的距離，
所以的面積．重難點(diǎn)突破02 奔馳定理與四心問題
奔馳定理
如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.
由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．這個(gè)定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用．
三角形的內(nèi)心
1、內(nèi)心的定義：三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（或內(nèi)切圓的圓心).如圖，點(diǎn)P
注：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等
常見內(nèi)心的向量表示：
（1）（或）
其中分別是的三邊的長
（2），則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心
（注：向量()所在直線過內(nèi)心(是角平分線所在直線)）
3、破解內(nèi)心問題，主要是利用了平面向量的共線法，通過構(gòu)造與角平分線共線的向量，即兩個(gè)單位向量的和向量。
拓展：是平面上一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，證明的軌跡一定通過的內(nèi)心．
三角形的外心
外心的定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)（或外接圓的圓心）
注：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.
常用外心的向量表示：
（1）
（2）
變形：P為平面ABC內(nèi)一動點(diǎn)，若，則為三角形的外心
3、破解外心問題，關(guān)鍵是運(yùn)用平面向量的加減法和數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律從而得到三角形的外心。
三角形的“重心”
1、重心的定義：三邊中線的交點(diǎn)（重心是中線上的三等分點(diǎn)）.如圖,點(diǎn)G
注：重心將中線長度分成
2、常見重心的向量表示：
設(shè)是的重心，為平面內(nèi)任意一點(diǎn).
（1）
（2），，，
（3）若，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過三角形的重心.
注：若、、，重心坐標(biāo)為.
若，則點(diǎn)經(jīng)過的重心；
3、破解重心問題，關(guān)鍵是利用平面向量加法的幾何意義
三角形的“垂心”
1、垂心的定義：三條高線的交點(diǎn)，如圖，點(diǎn)O
注：高線與對應(yīng)邊垂直
2、常見垂心的向量表示
證明：因?yàn)椋裕裕?br/>同理可得，，所以O(shè)為垂心
（2）
一．選擇題（共22小題）
1．（2023春 敘州區(qū)校級期中）若點(diǎn)是的重心，則下列向量中與共線的是　　
A． B． C． D．
2．（2023 西安模擬）在中，設(shè)，，為的重心，則用向量和為基底表示向量　　
A． B． C． D．
3．（2022 昌吉州模擬）如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線分別與，兩邊交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，與點(diǎn)，不重合），設(shè)，，則的最小值為　　
A．2 B． C．4 D．
4．（2022 大武口區(qū)校級四模）在等邊中，為重心，是的中點(diǎn)，則　　
A． B． C． D．
5．（2023 普陀區(qū)校級模擬）已知點(diǎn)為的外心，且，則為　　
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
6．（2020 青秀區(qū)校級模擬）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，．則點(diǎn)的軌跡一定通過三角形的　　
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
7．（2022 安徽模擬）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若滿足，則為的　　
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
8．（2020 重慶模擬）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則必有　　
A．
B．
C．
D．
9．（2023 河北區(qū)二模）在中，角，的對邊長分別為，，點(diǎn)為的外心，若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
10．（2023 重慶模擬）已知點(diǎn)是的外心，，，，若，則　　
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（2023 海淀區(qū)校級模擬）已知是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則　　
A． B． C．0 D．2
12．（2021 聊城三模）在中，，，，為中點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則　　
A． B． C． D．1
13．（2021 迎江區(qū)校級三模）等邊的面積為，且的內(nèi)心為，若平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，則的最小值為　　
A． B． C． D．
14．（2022 新華區(qū)校級模擬）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)，，分別為任意的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是　　
A． B． C． D．
15．（2021 吉林模擬）下列關(guān)于平面向量的說法正確的是　　
A．若共線，則點(diǎn)，，，必在同一直線上
B．若且，則
C．若為的外心，則
D．若為的垂心，則
16．（2020 安徽模擬）設(shè)是所在平面上一點(diǎn)，點(diǎn)是的垂心，滿足，且，則角的大小是　　
A． B． C． D．
17．（2023 渾南區(qū)校級模擬）在中，，是的外心，若，則　　
A． B．3 C．6 D．
18．（2021 碑林區(qū)校級模擬）在中，若，則下列說法正確的是　　
A．是的外心 B．是的內(nèi)心
C．是的重心 D．是的垂心
19．（2021 綦江區(qū)校級模擬）在中，，，，是的內(nèi)心，若，其中，，動點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積為　　
A． B． C． D．
20．（2023 畢節(jié)市模擬）已知點(diǎn)為三角形的重心，且，當(dāng)取最大值時(shí)，　　
A． B． C． D．
21．（2021 全國Ⅲ卷模擬）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．內(nèi)一點(diǎn)滿足：，則一定為的　　
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心
22．（2023 河南模擬）在銳角中，，，分別是的內(nèi)角，，所對的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
二．多選題（共5小題）
23．（2023 濰坊模擬）已知點(diǎn)為內(nèi)的一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，則　　
A．若為中點(diǎn)，則
B．若為中點(diǎn)，則
C．若為的重心，則
D．若為的外心，且，則
24．（2023 五華區(qū)校級模擬）已知，是兩個(gè)非零向量，則下列說法正確的是　　
A．若，，，則
B．為銳角的充要條件是
C．若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的重心
D．若，且，則為等邊三角形
25．（2023 黃岡模擬）點(diǎn)，分別是的外心、垂心，則下列選項(xiàng)正確的是　　
A．若且，則
B．若，且，則
C．若，，則的取值范圍為，
D．若，則
26．（2023 湖北模擬）下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是　　
A．已知，，點(diǎn)在直線上，且，則的坐標(biāo)為
B．若是的外接圓圓心，則
C．若，且，則
D．若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的垂心
27．（2021 香洲區(qū)校級模擬）若點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的是　　
A．若，則點(diǎn)為的重心
B．若，則點(diǎn)為的垂心
C．若，則點(diǎn)為的外心
D．若，則點(diǎn)為的內(nèi)心
三．填空題（共10小題）
28．（2023 河北模擬）已知為的外心，若，且，則 ．
29．（2020 江蘇四模）設(shè)為的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)），且，則的值為 ．
30．（2023 新城區(qū)校級模擬）在平行四邊形中，為的重心，，則 ．
31．（2021 商丘模擬）在中，，，為的垂心，且滿足，則 ．
32．（2023 浦東新區(qū)模擬）已知是的外心，且，則 ．
33．（2022 陜西模擬）已知中，角，，所對的邊分別是，，，且，，，設(shè)為的內(nèi)心，則的面積為 ．
34．（2022 寧波模擬）在中，點(diǎn)、點(diǎn)分別為的外心和垂心，，，則 ．
35．（2023 北辰區(qū)三模）在中，，，若為其重心，試用，表示為 ；若為其外心，滿足，且，則的最大值為 ．
36．（2023 黃埔區(qū)校級模擬）已知是三角形的外心，，，若，且，則三角形的面積為 ．
37．（2022 浙江模擬）在中，已知，，，為的內(nèi)心，的延長線交于點(diǎn)，則的外接圓的面積為 ， ．
四．解答題（共3小題）
38．（2022 齊齊哈爾二模）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．從下列①②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答．
①為的內(nèi)心；
②為的外心．
（1）求；
（2）若，，_______，求的面積．
39．（2022 福建模擬）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，．
（1）求的大小；
（2）為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，______，求的面積．
請?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問題．
①為的外心，；
②為的垂心，；
③為的內(nèi)心，．
40．（2022 廣東模擬）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．從下列①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答．
①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心．
（1）求；
（2）若，，________，求的面積．重難點(diǎn)突破03 解三角形大題專項(xiàng)訓(xùn)練
(1)與三角形面積有關(guān)的問題主要有兩種：一是求三角形的面積；二是給出三角形的面積，求其他量．解題時(shí)主要應(yīng)用三角形面積公式S＝absin C，此公式既與邊長的乘積有關(guān)，又與角的三角函數(shù)值有關(guān)，由此可以與正弦定理、余弦定理綜合起來求解．
(2)求與三角形中邊角有關(guān)的量的取值范圍時(shí)，主要是利用已知條件和有關(guān)定理，將所求的量用三角形的某個(gè)內(nèi)角或某條邊表示出來，結(jié)合三角形邊角的取值范圍、函數(shù)值域的求法求解范圍即可．注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0　△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求角C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長；
(3)若c＝，△ABC的面積為S，求△ABC面積S的最大值；
(4)若c＝，△ABC的周長為L，求△ABC的周長L的取值范圍；
(5)若△ABC為銳角三角形，c＝，求△ABC周長L的取值范圍；
(6)若△ABC為銳角三角形，c＝，求△ABC面積S的取值范圍．
(1)由已知及正弦定理得
【解答】
(1)由已知及正弦定理得
,
整理得,
的內(nèi)角為,
,且,
,又.
(2)由余弦定理,得,
又,
得,
,
.
的周長為.
(3)因?yàn)?由余弦定理得
,
即,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立。解得.
又面積,
則.
故面積的最大值為.
(4)由余弦定理得
,
即,所以,又,解得,則的周長.
(5)
為銳角三角形,且,
則,
所以,
,
所以.
(6)由正弦定理得,
則,
所以
.
為銳角三角形,且,則,
所以,
所以.
1．（2023 臨沂一模）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面積的取值范圍．
【解答】解：（1）在中，由已知及正弦定理得：，
即有，即，
而，，則，
所以；
（2）在中，由余弦定理得，，
因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
又，
所以面積的取值范圍是．
2．（2023 泉州模擬）在中，角，，所對的邊分別是，，．已知．
（1）求；
（2）若，求的周長的取值范圍．
【解答】解：（1）在中，角，，所對的邊分別是，，．已知，
則，
則，
即，
又，
即，
又，
則；
（2）由，
由正弦定理可得：，，
則，
又，
即，
即，
則，
則的周長的取值范圍為．
3．（2023 德州一模）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求證：；
（2）若的角平分線交于，且，求面積的取值范圍．
【解答】證明：（1），
由正弦定理可得，，
，
，
，
，
為銳角三角形，
，，
，
在，上單調(diào)遞增，
，即；
（2）解：，
在中，，
由正弦定理可得，，
，
，
為銳角三角形，
，解得，
，
面積的取值范圍為．
4．（2023 鹽城三模）在中，為的角平分線，且．
（1）若，，求的面積；
（2）若，求邊的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以，
得：，
解得，
所以．
（2）設(shè)，，，
由得
，
即，
所以，
又在中，
所以，
得，
因?yàn)榍遥?br/>得，
則，
所以，
即邊的取值范圍為．
5．（2023 撫松縣校級模擬）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，補(bǔ)充到下面問題中，然后解答．
已知銳角的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且____（填序號）．
（1）若，，求的面積；
（2）求的取值范圍．
【解答】解：選①：由可得：，
即，化簡可得：，
因?yàn)椋瑒t；
選②：由可得：，
則，則，
因?yàn)椋裕瑒t；
選③：由可得：，
化簡可得：，
因?yàn)椋瑒t；
（1）選①②③均可得，，
則，，
由正弦定理可得：，則，，
所以；
（2）因?yàn)?br/>，
為銳角三角形，則，
解得，所以，所以．
6．（2023 龍鳳區(qū)校級模擬）如圖，在中，．延長到，使得，且．
（1）若，求的面積；
（2）當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍．
【解答】解：（1）在中，，則，即，
，
的面積為，
在中，，即，
，
的面積為．
的面積．
（2）在中，設(shè)，
，則，
的面積，
，則，，，，
則，
面積的取值范圍為，．
7．（2023 安康一模）已知中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）若，求外接圓的面積；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【解答】解：（1），
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，故，
設(shè)外接圓的半徑為，則，解得，
故外接圓的面積為．
（2）由（1）得，則，
為銳角三角形，
，解得，
又由正弦定理得，即，
，
又，則，
，
故面積的取值范圍是．
8．（2023 定遠(yuǎn)縣校級模擬）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，的面積為，求的周長．
【解答】解：（1），，，
，
在中，由正弦定理得，即，
，
又，則；
（2）由（1）得，由余弦定理得，即，
又，則，
，即，
的周長為．
9．（2023 湖南三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且邊上的高為，求的周長．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以由得，
所以，解得或，
因?yàn)椋?br/>所以，
則，故，
則，解得；
（2）因?yàn)椋睿?br/>則，
由三角形面積公式可得，則，故，
由余弦定理可得，則，解得，
從而，，，
故的周長為．
10．（2023 重慶模擬）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．
（1）求角；
（2）若的面積為1，求的周長的最小值．
【解答】解：（1），
，
在中，由正弦定理得，即，
，
又，則，
，，
，；
（2）由（1）得，的面積為1，
，即，
在中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
，
故的周長的最小值為．
11．（2023 青羊區(qū)校級模擬）在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，為在方向上的投影向量，且滿足．
（1）求的值；
（2）若，，求的周長．
【解答】解：（1）為在方向上的投影向量，
，
又，
，
，
又，，
，
，，，，
又，
，
解得；
（2），，
，，
，
，，
，
，
解得，
，
的周長為．
12．（2023 麒麟?yún)^(qū)校級模擬）在銳角中，角，，，的對邊分別為，，，從條件①：，條件②：，條件③：這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件．
（1）求角的大小；
（2）若，求周長的取值范圍．
【解答】解：（1）選條件①：因?yàn)椋裕矗?br/>又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，
，所以；
選條件②：因?yàn)椋裕裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>選條件③：由正弦定理可得，
即，
又因?yàn)椋裕?br/>，所以；
（2）
，
，，
所以，即，
又，
周長的取值范圍為，．
13．（2023 云南模擬）已知函數(shù)在上單調(diào)，且．
（1）求的解析式；
（2）若鈍角的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，，求周長的最大值．
【解答】解：（1）
，
在上單調(diào)，且，
，解得，
又，則為的一條對稱軸，
，解得，，
，即；
（2）由（1）得，
則，即，
又，則，
或，解得或，
為鈍角三角形，，
由余弦定理，即，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
，
，
即周長的最大值為．
14．（2023 晉中模擬）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，其中，且滿足．
（1）求的外接圓半徑；
（2）若的平分線交于點(diǎn)，且，求的面積．
【解答】解：（1），
由正弦定理，得，則，
即，
因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理知，
所以的外接圓半徑為；
（2）由平分，得，
則，即，
在中，由余弦定理可得，
又，
則，
聯(lián)立，可得，解得舍去），
故．
15．（2023 棗強(qiáng)縣校級模擬）已知的內(nèi)角，，滿足．
（1）求角；
（2）若的外接圓半徑為1，求的面積的最大值．
【解答】解：（1）設(shè)內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，
根據(jù)，
可得，
，
，
又，
；
（2）由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
的面積為，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），
面積的最大值為．
16．（2023 湖南一模）在中，角，，的對邊分別為，，，已知，且．
（1）求的外接圓半徑；
（2）求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．
【解答】解：（1）在中，由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，則，
又，解得；
（2）由（1）得，則，，
則，
在中，由正弦定理得，即，
則，
又，則，，，
．
17．（2023 西固區(qū)校級二模）若的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足．
（1）求角；
（2）若，求周長的取值范圍．
【解答】解：（1）中，因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，
由余弦定理得，
由①②解得，
又，所以；
（2）由，，
根據(jù)正弦定理得，
所以，，
所以；
又，所以，所以，
所以周長的取值范圍為，．
18．（2023 榆林三模）已知，，分別為的內(nèi)角，，所對的邊，，且．
（1）求；
（2）求的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得，
即，
而，
故，
所以；
（2）
，
因?yàn)椋?br/>所以，，
故，．
19．（2023 武昌區(qū)校級模擬）已知中，角，，所對邊分別為，，，若滿足．
（1）求角的大小；
（2）若，求面積的取值范圍．
【解答】解：（1）中，角，，所對邊分別為，，，若滿足，
由正弦定理知，，
，，
，
化簡得，
，（其中舍去），即；
（2）由（1）知，則，
那么的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），
則面積的取值范圍為，．
20．（2023 晉江市校級模擬）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，的面積．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫海?br/>即，即，
因?yàn)椋裕矗?br/>由得：；
由得：，即，即，
由余弦定理可得：，
故，則，
令，則，解得，
由正弦定理得：，故的值為或；
（2）由得：，即，
由余弦定理可得：，
即，
故，
令，則，即，
由得，故，
故，即得，
故的取值范圍是．
21．（2023 安徽三模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為，且，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由及正弦定理知，，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋裕矗?br/>所以，
因?yàn)椋裕矗?br/>（2）設(shè)，則，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，，
所以的取值范圍為，．
22．（2023 濟(jì)寧三模）已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因?yàn)椋裕?br/>所以，又，所以．
（2）由正弦定理，
所以
．
因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范圍為．
23．（2023 浙江模擬）在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足，且．
（1）求證：；
（2）已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．
【解答】解：（1）證明：由題意得，
即，由正弦定理得，
由余弦定理知，，
，，
，，
又是銳角三角形，，；
（2）在中，由正弦定理得，
，
是銳角三角形，且；
，解得，
，，
線段長度的取值范圍為，．
24．（2023 敘州區(qū)校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知的面積，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求周長的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）由，可知：，
．由正弦定理得．
由余弦定理得，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，．
的周長為
，
，，
，，
的周長的取值范圍為，．
25．（2023 長沙模擬）已知向量，且函數(shù)．
（1）求的最小正周期及對稱中心；
（2）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，角為銳角，．若，且的面積為，求的周長．
【解答】解：（1），
由，
故最小正周期為，
由，，
，，
的對稱中心為，，．
（2）由于，
故，
于是，
又，解得，
所以，解得，
故或（舍去），
由余弦定理，則，
化簡得：，
，
，
的周長為．
26．（2023 瓊海校級三模）在①，②，③中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線中，并解答．
在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足____．
（1）求；
（2）若內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)，且，求的面積的最小值．
【解答】解：（1）若選①：因?yàn)椋淼茫?br/>由余弦定理可得，
因?yàn)椋裕?br/>若選②：因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得，
則，
因?yàn)椋瑒t，則，
可得，所以；
若選③：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>則，
因?yàn)椋瑒t，則
可得，所以．
（2）由題意可得：，且，
則，
即，且，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
可得，
所以，
故的面積的最小值為．
27．（2023 沙坪壩區(qū)校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求的值；
（2）若為中點(diǎn)，且，求面積的最大值．
【解答】解：（1），
由正弦定理得：，
，．
，且，
，，
；
（2）由（1），在中，由余弦定理可得：
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)，，
，
．
28．（2023 邵陽一模）如圖，為內(nèi)的一點(diǎn)，記為，記為，且，在中的對邊分別記為，，，，．
（1）求；
（2）若，，，記，求線段的長和面積的最大值．
【解答】解：（1）已知，由正弦定理可得，由，
所以，即，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，則，
所以；
（2）在中，由余弦定理得知：，
即，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
，，
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)，即時(shí)，面積有最大值．
29．（2023 大連模擬）已知函數(shù)的最小正周期為是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)．
（1）求，；
（2）在中，角，，的對邊分別為，求面積的最大值．
【解答】解：（1）依題意，，解得，
則，
又是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，
則，可得，
又，則；
（2）由（1）可知，，
則，
又為的內(nèi)角，則，
由余弦定理可得，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故，即面積的最大值為．
30．（2023 茂名一模）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求證：；
（2）求的取值范圍．
【解答】證明：（1）在中，由及正弦定理得：，
又，
，即，
，即，
，
，
，
，；
（2）解：由得，
，
，
由題意，及正弦定理得：，
，
，即，
故的取值范圍為．
31．（2023 鼓樓區(qū)校級模擬）已知、、分別為的三個(gè)內(nèi)角、、的對邊長，，且．
（1）求角的值；
（2）求面積的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)椋遥?br/>由正弦定理得，
得到，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以．
（2）因?yàn)椋?br/>所以由正弦定理，可知，可得，，
所以面積
，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，，
所以．
32．（2023 烏魯木齊三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求大小；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【解答】解：（1）由余弦定理得，即，
再由正弦定理得，
，
，
，
又，
；
（2）由正弦定理得即，，
而，
由為銳角三角形，
且，則，
，即．
33．（2023 重慶模擬）在銳角中，，，分別是的內(nèi)角，，所對的邊，外接圓周長為，且．
（1）求；
（2）記的面積為，求的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)橥饨訄A周長為，
則有，解得，
由正弦定理可得：，
又，
，
又，
，，
，
由正弦定理可知：．
（2），，
由正弦定理得：，
，
是銳角三角形，
，
，，
則．
34．（2023 武侯區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，請從條件①、條件②、條件③中任意選擇兩個(gè)作為已知條件作答．
條件①：的最小值為；
條件②：的圖象的一個(gè)對稱中心為；
條件③：的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求的解析式；
（2）在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，（A），求面積的取值范圍．
【解答】解：（1）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，，即，
，．
若選①②，則，，，即，，
，，；
若選①③，則，，即，
，，，得，
；
若選②③，，，即，，
，，此時(shí)，
，，，，
．
（2）由（1）知，，，
，
，，
，
，，，，
，即面積的取值范圍是．
35．（2023 河北模擬）在中，角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）已知的外接圓半徑為4，若有最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得，
因?yàn)椋瑒t，可得，
則
，
又因?yàn)椋瑒t，，整理得，
且，所以．
（2）由正弦定理，可得，，
因?yàn)椋瑒t，
則
，
①若，即時(shí)，則，
其中，
當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，符合題意；
②若，即時(shí)，則在上單調(diào)遞減，無最值，不符合題意；
③若，即時(shí)，則，
其中，
當(dāng)，即時(shí)，取到最大值
注意到，則，
可得，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為．重難點(diǎn)突破03 解三角形大題專項(xiàng)訓(xùn)練
(1)與三角形面積有關(guān)的問題主要有兩種：一是求三角形的面積；二是給出三角形的面積，求其他量．解題時(shí)主要應(yīng)用三角形面積公式S＝absin C，此公式既與邊長的乘積有關(guān)，又與角的三角函數(shù)值有關(guān)，由此可以與正弦定理、余弦定理綜合起來求解．
(2)求與三角形中邊角有關(guān)的量的取值范圍時(shí)，主要是利用已知條件和有關(guān)定理，將所求的量用三角形的某個(gè)內(nèi)角或某條邊表示出來，結(jié)合三角形邊角的取值范圍、函數(shù)值域的求法求解范圍即可．注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0　△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求角C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長；
(3)若c＝，△ABC的面積為S，求△ABC面積S的最大值；
(4)若c＝，△ABC的周長為L，求△ABC的周長L的取值范圍；
(5)若△ABC為銳角三角形，c＝，求△ABC周長L的取值范圍；
(6)若△ABC為銳角三角形，c＝，求△ABC面積S的取值范圍．
(1)由已知及正弦定理得
1．（2023 臨沂一模）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面積的取值范圍．
2．（2023 泉州模擬）在中，角，，所對的邊分別是，，．已知．
（1）求；
（2）若，求的周長的取值范圍．
3．（2023 德州一模）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求證：；
（2）若的角平分線交于，且，求面積的取值范圍．
4．（2023 鹽城三模）在中，為的角平分線，且．
（1）若，，求的面積；
（2）若，求邊的取值范圍．
5．（2023 撫松縣校級模擬）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，補(bǔ)充到下面問題中，然后解答．
已知銳角的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且____（填序號）．
（1）若，，求的面積；
（2）求的取值范圍．
6．（2023 龍鳳區(qū)校級模擬）如圖，在中，．延長到，使得，且．
（1）若，求的面積；
（2）當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍．
7．（2023 安康一模）已知中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）若，求外接圓的面積；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
8．（2023 定遠(yuǎn)縣校級模擬）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，的面積為，求的周長．
9．（2023 湖南三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且邊上的高為，求的周長．
10．（2023 重慶模擬）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．
（1）求角；
（2）若的面積為1，求的周長的最小值．
11．（2023 青羊區(qū)校級模擬）在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，為在方向上的投影向量，且滿足．
（1）求的值；
（2）若，，求的周長．
12．（2023 麒麟?yún)^(qū)校級模擬）在銳角中，角，，，的對邊分別為，，，從條件①：，條件②：，條件③：這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件．
（1）求角的大小；
（2）若，求周長的取值范圍．
13．（2023 云南模擬）已知函數(shù)在上單調(diào)，且．
（1）求的解析式；
（2）若鈍角的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，，求周長的最大值．
14．（2023 晉中模擬）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，其中，且滿足．
（1）求的外接圓半徑；
（2）若的平分線交于點(diǎn)，且，求的面積．
15．（2023 棗強(qiáng)縣校級模擬）已知的內(nèi)角，，滿足．
（1）求角；
（2）若的外接圓半徑為1，求的面積的最大值．
16．（2023 湖南一模）在中，角，，的對邊分別為，，，已知，且．
（1）求的外接圓半徑；
（2）求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．
17．（2023 西固區(qū)校級二模）若的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足．
（1）求角；
（2）若，求周長的取值范圍．
18．（2023 榆林三模）已知，，分別為的內(nèi)角，，所對的邊，，且．
（1）求；
（2）求的取值范圍．
19．（2023 武昌區(qū)校級模擬）已知中，角，，所對邊分別為，，，若滿足．
（1）求角的大小；
（2）若，求面積的取值范圍．
20．（2023 晉江市校級模擬）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，的面積．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范圍．
21．（2023 安徽三模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為，且，求的取值范圍．
22．（2023 濟(jì)寧三模）已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范圍．
23．（2023 浙江模擬）在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足，且．
（1）求證：；
（2）已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．
24．（2023 敘州區(qū)校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知的面積，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求周長的取值范圍．
25．（2023 長沙模擬）已知向量，且函數(shù)．
（1）求的最小正周期及對稱中心；
（2）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，角為銳角，．若，且的面積為，求的周長．
26．（2023 瓊海校級三模）在①，②，③中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線中，并解答．
在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足____．
（1）求；
（2）若內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)，且，求的面積的最小值．
27．（2023 沙坪壩區(qū)校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求的值；
（2）若為中點(diǎn)，且，求面積的最大值．
28．（2023 邵陽一模）如圖，為內(nèi)的一點(diǎn)，記為，記為，且，在中的對邊分別記為，，，，．
（1）求；
（2）若，，，記，求線段的長和面積的最大值．
29．（2023 大連模擬）已知函數(shù)的最小正周期為是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)．
（1）求，；
（2）在中，角，，的對邊分別為，求面積的最大值．
30．（2023 茂名一模）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求證：；
（2）求的取值范圍．
31．（2023 鼓樓區(qū)校級模擬）已知、、分別為的三個(gè)內(nèi)角、、的對邊長，，且．
（1）求角的值；
（2）求面積的取值范圍．
32．（2023 烏魯木齊三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求大小；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
33．（2023 重慶模擬）在銳角中，，，分別是的內(nèi)角，，所對的邊，外接圓周長為，且．
（1）求；
（2）記的面積為，求的取值范圍．
34．（2023 武侯區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，請從條件①、條件②、條件③中任意選擇兩個(gè)作為已知條件作答．
條件①：的最小值為；
條件②：的圖象的一個(gè)對稱中心為；
條件③：的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求的解析式；
（2）在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，（A），求面積的取值范圍．
35．（2023 河北模擬）在中，角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）已知的外接圓半徑為4，若有最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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