資源簡介

平面向量的概念及其運算
目錄
題型一： 平面向量的有關概念 4
題型二： 平面向量的線性運算 6
題型三： 平面向量的線性運算的幾何意義 9
題型四： 范圍問題 13
題型五： 共線向量定理的應用 18
1．向量的有關概念
名稱 定義 說明
向量 既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向 線段 具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向線段包含三個要素：起點、方向、長度
向量 的模 向量的大小稱為向量的長度(或稱模)，記作|| 向量的模是數量
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記作0
單位 向量 長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量 a是非零向量，則±是單位向量
平行向 量(共線 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量 規定：零向量與任意向量平行
相等 向量 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量 兩向量可以相等也可以不相等，但不能比較大小
相反 向量 與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a 0的相反向量仍是0
2.向量的線性運算
運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律(性質)
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 交換律：a＋b＝b＋a，并規定：a＋0＝0＋a＝a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b方向相同時等號成立
減法 求兩個向量差的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 求實數λ與向量a的積的運算 λa是一個向量，其長度：|λa|＝|λ||a|； 其方向：λ>0時，與a方向相同；λ<0時，與a方向相反；λ＝0時，λa＝0 設λ，μ∈R，則 λ(μa)＝μ(λa)； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
4．向量三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.兩向量不共線時，可由“三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”知“<”成立；兩向量共線時，可得出“＝”成立(分同向、反向兩種不同情形)．
常用結論與知識拓展
(1)首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
(2)若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋)；若G為△ABC的重心，則＋＋＝0.
(3)若＝λ＋μ(λ，μ為實數)，且，不共線，則點A，B，C共線的充要條件是λ＋μ＝1.
(4)如圖，△ABC中，BD＝m，CD＝n，則＝＋，特別地，D為BC的中點時(m＝n)，＝＋.
平面向量的有關概念
下列命題不正確的是（　　）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
【解答】解：A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；
B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；
C選項，因為與都是單位向量，所以只有當與是相反向量，即與是反向共線時才成立，故C正確；
D選項，由向量相等的定義知D正確．
故選：A．
下列說法正確的是　　
A．若，，則
B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C．兩個單位向量的長度相等
D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
【解答】解：．當時，滿足，而不一定平行，故錯誤；
．兩個有共同起點，且長度相等的向量，方向不一定相同，所以它們的終點不一定相同，故錯誤；
．由單位向量的定義知，兩個單位向量的長度相等，故正確；
．若兩個單位向量平行，則方向相同或相反，但大小不一定相同，則這兩個單位向量不一定相等，故錯誤；
故選：．
下列說法正確的是　　
A．若，則
B．若，則存在唯一實數使得
C．若，，則
D．與非零向量共線的單位向量為
【解答】解：若，則與不一定有共線關系，所以選項錯誤；
若，此時不存在，選項錯誤；
若，由，，不一定得到，選項不正確；
由向量為非零向量，根據單位向量的定義，選項正確．
故選：．
下列各命題中，正確的是　　
A．若，則或
B．與非零向量共線的單位向量是
C．長度不相等而方向相反的兩個向量一定是平行向量
D．若，則
【解答】解：對于選項，若，則、的方向關系無法確定，錯；
對于選項，與非零向量共線的單位向量是，錯；
對于選項，長度不相等而方向相反的兩個向量一定是平行向量，對；
對于選項，若，但向量、不能比大小，錯．
故選：．
下列說法中，正確的是　　
①長度為0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③單位向量都是同方向；
④任意向量與零向量都共線．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解答】解：①長度為0的向量都是零向量，正確；
②零向量的方向任意，故錯誤；
③單位向量只是模長都為1的向量，方向不一定相同，故錯誤；
④任意向量與零向量都共線，正確．
故選：．
平面向量的線性運算
【要點講解】1.平面向量的線性運算技巧
(1)不含圖形的:可直接運用相應運算法則求解;
(2)含圖形的:將它們轉化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量以及三角形的中位線、平行四邊形的性質等,把未知向量用已知向量表示出來求解.
在正方形中，在上且有，與對角線交于，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖：
在正方形中，在上且有，與對角線交于，
，且，
，
可得，可得，
，
故選：．
向量在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，則　　
A． B．4 C．2 D．
【解答】解：如圖，
把向量平移到同一起點，得出，然后把平移到同一起點，則：，
．
故選：．
已知、分別是的邊，上的中線，且，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，．
，
解得．
故選：．
設是單位向量，，，，則四邊形　　
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【解答】解：，
四邊形是平行四邊形
又
四邊形是菱形
故選：．
設是平行四邊形的對角線的交點，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：四邊形為平行四邊形，是，的中點，
，，
．
故選：．
平面向量的線性運算的幾何意義
設點在內部，且有，點是邊的中點，設與的面積分別為、，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，取的中點為，
，
，
，
、、三點共線且，
，
，
故選：．
在中，為的中點，，，與交于，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由中，為的中點，，，與交于，，
則，
由點、、三點共線，
則，
解得，
故選：．
已知是三角形內部一點，滿足，，則實數　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如圖，令，則：
，，三點共線；
與共線反向，；
；
解得．
故選：．
我國古代人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數形結合思想的體現，是中國古代數學的圖騰，還被用作第24屆國際數學家大會的會徽．如圖，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點，則＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示，建立直角坐標系．
不妨設AB＝1，BE＝x，則AE＝2x．
∴x2+4x2＝1，解得x＝．
設∠BAE＝θ，則sinθ＝，cosθ＝．
∴xE＝cosθ＝，yE＝sinθ＝．
設＝m+n，
則（，）＝m（1，0）+n（0，1）．
∴m＝，n＝．
∴＝+，
另解：過E分別作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分別為M，N．
通過三角形相似及其已知可得：AM＝AB，AN＝AD．
即可得出結論．
故選：A．
范圍問題
已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：由，得，即．
設，則，顯然，
所以，
又，所以，
所以，即的最大值為．
故選：．
已知平面向量，是單位向量，且，向量滿足，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：平面向量，是單位向量，且，
，
，，設，，則，
，點在以為圓心，以為半徑的圓上，
的最大值表示圓上的點到原點距離的最大值，如下圖所示：
設圓心為，則，
的最大值為：．
故選：．
中，，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，
兩邊同時平方得，
展開整理得，
即，
，
當且僅當時等號成立．
又且，時，
所以取最大值．
故選：．
如圖．在直角梯形中．，，，，點是腰上的動點，則的最小值為 ．
【解答】解：在直角梯形中，，，，，
則，則以為原點，，為，軸建立平面直角坐標系，
設，設，則，，，
故，，
所以，故，
當且僅當即時取得等號，
即的最小值為4，
故答案為：4．
若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為 ．
【解答】解：在平面直角坐標系中，不妨設，，，
，，，
，，，
，
，
當且僅當時，等號成立，
故的最小值為2．
故答案為：2．
已知非零平面向量、、滿足，，且，則的最小值是 ．
【解答】解：如圖，則，
已知，即，所以，
取的中點，則有，
而，根據三角形的三邊關系可知，
則，所以，當，，三點共線時取等號，
記向量的夾角為，則，
同理，
由，可得，
則，
當，即時取等號，
所以，即的最小值是，
故答案為：．
已知空間向量、、、滿足：，，，，則的最大值為 ．
【解答】解：根據題意，，且，，且設與的夾角為，
①時，
，
，當時取等號，
時，取最大值3；
②時，
，
，當時取等號，
時，取最大值2，
綜上得，的最大值為3．
故答案為：3．
已知平面內一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個動點，則最大值為　　
A．13 B． C． D．
【解答】解：建立如圖所示坐標系，
則點，
設點，且，
則
故當，時，有最大值為13，
故選：．
共線向量定理的應用
【要點講解】(1)a∥b a=λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用;
(2)當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線,即A,B,C三點共線 ,共線;
(3)若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0;
(4)=λ+μ(λ,μ為實數),若A,B,C三點共線,則λ+μ=1.
設向量，不平行，向量與平行，則實數　　
A． B． C． D．
【解答】解：不平行，
，且與平行，
存在實數，使，
，解得．
故選：．
設，是兩個不共線的向量，且與共線，則實數　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：，是兩個不共線的向量，
若與共線，
則存在實數使得：，即，
即，解得：，
故選：．
已知向量與為一組基底，若與平行，則實數 ．
【解答】解：與平行，設，
由向量與為一組基底，，解得：．
故的值為：2．
為內一點，且，，若，，三點共線，則的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：以，為鄰邊作平行四邊形，連接與相交于點，為的中點．
，，
點是直線的中點．
，，三點共線，，點是與的交點．
過點作交于點，則點為的中點．
則，
，
，
，，
．
另解：由，點是直線的中點．
，，三點共線，存在實數使得，
，，解得．
故選：．
設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是　　
A． B． C． D．且
【解答】解：與共線且同向且，
故選：．
設兩個非零向量與不共線．
（1）若，，．求證：，，三點共線；
（2）試確定實數，使和共線．
【解答】解：（1）
，
與共線
兩個向量有公共點，
，，三點共線．
（2）和共線，則存在實數，使得，
即，
非零向量與不共線，
且，
．
一．選擇題（共6小題）
1．如圖，一質點從原點出發沿向量到達點，再沿軸正方向從點前進到達點，再沿方向從點前進到達點，再沿軸正方向從點前進到達點，則點的坐標是　　
A． B． C． D．
【解答】解：探究軸正方向的規律，得，
同理也可發現軸正方向形成無窮等比數列的變化規律．
故選：．
2．已知，，則與同向的單位向量的坐標為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題知，，，，
所以與同向的單位向量為．
故選：．
3．下列命題正確的是　　
A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則
【解答】解：．，則，不正確；
．，則與不能比較大小；
，則，正確；
．，則，因此不正確．
故選：．
4．已知向量，，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：，推不出，
“”是“”的必要不充分條件，
故選：．
5．已知，為非零向量，且，則　　
A．，且與方向相同 B．，是共線向量
C． D．，無論什么關系均可
【解答】解：，為非零向量，且，
，
，
，
，
，且與方向相同．
故選：．
6．已知點，2，，，11，，，1，，若點滿足，則　　
A．37 B． C．57 D．
【解答】解：設，，，則，，，，，，
由題意有，，，，，解得，，，
，，，故．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．已知，，，若，則的值可能是　　
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：，，，
，，
若，則，即或．
故選：．
8．下列說法正確的是　　
A．若，，則
B．若，，則
C．若與是非零向量且，則與的方向相同或者相反
D．若，都是單位向量，則
【解答】解：若，滿足，，但是不滿足，故錯誤；
若，，則，故正確；
若與是非零向量且，則與的方向相同或者相反，故正確；
若，都是單位向量，由單位向量的定義可知，，故正確．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．已知，，，則實數　2　．
【解答】解：由已知得，
，
解得．
故答案為：2．
10．若，，點在線段的延長線上，且，則點坐標為 　　．
【解答】解：點在線段的延長線上，且，
，
設，且，，
，，，
，解得，
．
故答案為：．
11．已知，，若向量與共線，則　　．
【解答】解：，，
若向量與共線，則，
解得，
，
．
故答案為：．
12．設，是空間兩個不共線的向量，已知，，，且，，三點共線，則實數　1　．
【解答】解：，，三點共線，
向量和共線，故存在實數，使，
由題意可得，
即，
故可得，解得，
故，
故答案為：1．
四．解答題（共3小題）
13．如圖所示，用向量方法證明：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的2倍．
【解答】證明：設，，則，，，，
，
同理，
．
即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的二倍．
14．向量，與從長度和方向上分析具有怎樣的關系？
【解答】解：長度上關系為：，
方向上為：與的方向相同，都與的方向相反．
15．在如圖的方格紙中，畫出下列向量．
（1），點在點的正西方向．
（2），點在點的北偏西方向．
（3）求出的值．
【解答】解：（1）（2）如下圖所示：
（3）根據圖形，．平面向量的概念及其運算
目錄
題型一： 平面向量的有關概念 4
題型二： 平面向量的線性運算 5
題型三： 平面向量的線性運算的幾何意義 7
題型四： 范圍問題 8
題型五： 共線向量定理的應用 9
1．向量的有關概念
名稱 定義 說明
向量 既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向 線段 具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向線段包含三個要素：起點、方向、長度
向量 的模 向量的大小稱為向量的長度(或稱模)，記作|| 向量的模是數量
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記作0
單位 向量 長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量 a是非零向量，則±是單位向量
平行向 量(共線 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量 規定：零向量與任意向量平行
相等 向量 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量 兩向量可以相等也可以不相等，但不能比較大小
相反 向量 與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a 0的相反向量仍是0
2.向量的線性運算
運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律(性質)
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 交換律：a＋b＝b＋a，并規定：a＋0＝0＋a＝a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b方向相同時等號成立
減法 求兩個向量差的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 求實數λ與向量a的積的運算 λa是一個向量，其長度：|λa|＝|λ||a|； 其方向：λ>0時，與a方向相同；λ<0時，與a方向相反；λ＝0時，λa＝0 設λ，μ∈R，則 λ(μa)＝μ(λa)； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
4．向量三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.兩向量不共線時，可由“三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”知“<”成立；兩向量共線時，可得出“＝”成立(分同向、反向兩種不同情形)．
常用結論與知識拓展
(1)首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
(2)若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋)；若G為△ABC的重心，則＋＋＝0.
(3)若＝λ＋μ(λ，μ為實數)，且，不共線，則點A，B，C共線的充要條件是λ＋μ＝1.
(4)如圖，△ABC中，BD＝m，CD＝n，則＝＋，特別地，D為BC的中點時(m＝n)，＝＋.
平面向量的有關概念
下列命題不正確的是（　　）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
下列說法正確的是　　
A．若，，則
B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C．兩個單位向量的長度相等
D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
下列說法正確的是　　
A．若，則
B．若，則存在唯一實數使得
C．若，，則
D．與非零向量共線的單位向量為
下列各命題中，正確的是　　
A．若，則或
B．與非零向量共線的單位向量是
C．長度不相等而方向相反的兩個向量一定是平行向量
D．若，則
下列說法中，正確的是　　
①長度為0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③單位向量都是同方向；
④任意向量與零向量都共線．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
平面向量的線性運算
【要點講解】1.平面向量的線性運算技巧
(1)不含圖形的:可直接運用相應運算法則求解;
(2)含圖形的:將它們轉化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量以及三角形的中位線、平行四邊形的性質等,把未知向量用已知向量表示出來求解.
在正方形中，在上且有，與對角線交于，則　　
A． B． C． D．
向量在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，則　　
A． B．4 C．2 D．
已知、分別是的邊，上的中線，且，，則　　
A． B． C． D．
設是單位向量，，，，則四邊形　　
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
設是平行四邊形的對角線的交點，則　　
A． B． C． D．
平面向量的線性運算的幾何意義
設點在內部，且有，點是邊的中點，設與的面積分別為、，則　　
A． B． C． D．
在中，為的中點，，，與交于，，則　　
A． B． C． D．
已知是三角形內部一點，滿足，，則實數　　
A．2 B．3 C．4 D．5
我國古代人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數形結合思想的體現，是中國古代數學的圖騰，還被用作第24屆國際數學家大會的會徽．如圖，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點，則＝（　　）
A． B． C． D．
范圍問題
已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為　　
A． B．2 C． D．
已知平面向量，是單位向量，且，向量滿足，則的最大值為　　
A． B． C． D．
中，，則的最大值為　　
A． B． C． D．
如圖．在直角梯形中．，，，，點是腰上的動點，則的最小值為 ．
若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為 ．
已知非零平面向量、、滿足，，且，則的最小值是 ．
已知空間向量、、、滿足：，，，，則的最大值為 ．
已知平面內一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個動點，則最大值為　　
A．13 B． C． D．
共線向量定理的應用
【要點講解】(1)a∥b a=λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用;
(2)當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線,即A,B,C三點共線 ,共線;
(3)若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0;
(4)=λ+μ(λ,μ為實數),若A,B,C三點共線,則λ+μ=1.
設向量，不平行，向量與平行，則實數　　
A． B． C． D．
設，是兩個不共線的向量，且與共線，則實數　　
A． B．3 C． D．
已知向量與為一組基底，若與平行，則實數 ．
為內一點，且，，若，，三點共線，則的值為　　
A． B． C． D．
設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是　　
A． B． C． D．且
設兩個非零向量與不共線．
（1）若，，．求證：，，三點共線；
（2）試確定實數，使和共線．
一．選擇題（共6小題）
1．如圖，一質點從原點出發沿向量到達點，再沿軸正方向從點前進到達點，再沿方向從點前進到達點，再沿軸正方向從點前進到達點，則點的坐標是　　
A． B． C． D．
2．已知，，則與同向的單位向量的坐標為　　
A． B． C． D．
3．下列命題正確的是　　
A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則
4．已知向量，，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知，為非零向量，且，則　　
A．，且與方向相同 B．，是共線向量
C． D．，無論什么關系均可
6．已知點，2，，，11，，，1，，若點滿足，則　　
A．37 B． C．57 D．
二．多選題（共2小題）
7．已知，，，若，則的值可能是　　
A．2 B． C．1 D．
8．下列說法正確的是　　
A．若，，則
B．若，，則
C．若與是非零向量且，則與的方向相同或者相反
D．若，都是單位向量，則
三．填空題（共4小題）
9．已知，，，則實數　　．
10．若，，點在線段的延長線上，且，則點坐標為 　　．
11．已知，，若向量與共線，則　　．
12．設，是空間兩個不共線的向量，已知，，，且，，三點共線，則實數　　．
四．解答題（共3小題）
13．如圖所示，用向量方法證明：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的2倍．
14．向量，與從長度和方向上分析具有怎樣的關系？
15．在如圖的方格紙中，畫出下列向量．
（1），點在點的正西方向．
（2），點在點的北偏西方向．
（3）求出的值．平面向量的基本定理及坐標表示
目錄
題型一： 平面向量基本定理及其應用 3
題型二： 平面向量的坐標運算 4
題型三： 平面向量坐標應用 6
題型四： 共線向量坐標表示及其應用 12
題型五： 利用向量求最值問題 14
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
2．平面向量的正交分解及坐標表示
(1)平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐標運算
①平面向量線性運算的坐標表示
假設平面上兩個向量a，b滿足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R)．
②向量模的坐標計算公式
如果向量a＝(x，y)，則|a|＝.
③向量坐標的求法
a．若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
b．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
(3)平面向量共線的坐標表示：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
3．平面向量基本定理的推論
(1)設a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共線，若a＝b，則λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推論：
①已知平面上點O是直線l外一點，A，B是直線l上給定的兩點，則平面內任意一點P在直線l上的充要條件是：存在實數t，使得＝(1－t)＋t.特別地，當t＝時，點P是線段AB的中點．
②對于平面內任意一點O，有P，A，B三點共線 存在唯一的一對實數λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
常用結論與知識拓展
已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則線段AB的中點坐標為，△ABC的重心坐標為.
平面向量基本定理及其應用
【要點講解】(1)合理選擇基底，注意基底必須是兩個不共線的向量．
(2)選定基底后，通過構造平行四邊形(或三角形)利用向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用基底表示出來．
(3)注意幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平行、相似等．
注意：同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的．
設，是平面內兩個不共線的向量，則以下，可作為該平面內一組基底的　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：對，不能用表示，故，不共線，所以符合；
對，，所以，共線，故不符合；
對，不能用表示，故，不共線，所以符合；
對，不能用表示，故，不共線，所以符合．
故選：．
設，是同一平面內兩個不共線的向量，以下不能作為基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：根據兩不共線向量可以作為平面內一組基底，
則選項中因為，即兩向量共線，所以不可以，
故選：．
已知是平面內兩個不共線的向量，下列向量中能作為平面的一個基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：是平面內兩個不共線的向量，
對于A，，即向量共線，A不是；
對于B，，即向量共線，B不是；
對于C，因為，即向量與不共線，則向量與能作為平面的一個基底，C是．
對于D，，即向量共線，D不是．
故選：C．
平面向量的坐標運算
【要點講解】(1)利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標；
(2)注意待定系數法的應用．先求出有關向量的坐標，再用“向量相等，則坐標相同”這一結論，列方程(組)進行求解．
已知，，若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故選：．
若向量，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，，則，
故選：．
已知向量，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
．
故選：．
已知向量與，且，則　　
A． B． C．1 D．4
【解答】解：向量與，且，
．
故選：．
如果向量，，那么等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，，
則于，，，，，，，
故選：．
平面向量坐標應用
如圖，正方形中，、分別是、的中點，若，則　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：以，為坐標軸建立平面直角坐標系，如圖：
設正方形邊長為1，則，，，．
，
，解得．
．
故選：．
已知矩形中，，若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
故選：．
如圖所示的矩形中，，滿足，為的中點，若，則的值為　　
A． B． C． D．2
【解答】解：由題意可知，，
，
因為為的中點，
所以，
所以，，．
故選：．
在中，點，滿足與交于點，若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為在上，故，所以存在唯一實數，使得，又，故為的中點，
所以，所以；同理存在，使得，
又，
所以，所以，所以，所以，所以．
故選：．
如圖，在中，，是上一點，若，則實數的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意及圖，，
又，，所以，，
又，所以，解得，，
故選：．
向量，，在正方形網格中的位置如圖所示，若，則　　
A． B． C．4 D．2
【解答】解：設正方形的邊長為1，建立如圖所示的直角坐標系
則易知，，，
，
，，，，
解得，，，故．
故選：．
如圖，在中，點是的中點．過點的直線分別交直線，于不同的兩點，，若，，則的值為　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：由已知得，
結合，，所以．
又因為，，三點共線，所以，
所以．
故選：．
中，為邊上的一點，且滿足，若為邊上的一點，且滿足，則下列結論正確的是　　
A． B．的最大值為
C．的最小值為 D．的最小值為
【解答】解：因為，所以，
所以，
因為、、三點共線，所以，故錯誤；
則，則，
即最大值為，當且僅當，即，時取等號，故正確；
，當且僅當時取等號，
所以的最小值為，故錯誤；
，當且僅當，時取等號，
所以的最小值為，故正確．
故選：．
設為的重心，過作直線分別交線段，（不與端點重合）于，．若，．
（1）求的值；
（2）求的取值范圍．
【解答】解：（1）連接并延長，交于，則是的中點，設，
，
，．
，，三點共線，故存在實數，使，
，；
（2）由（1）得，
，，，解得．．
．
當時，取得最小值，當或2時，取得最大值．
的取值范圍是，．
共線向量坐標表示及其應用
【要點講解】)利用兩向量共線求參數時，如果已知兩向量共線，求某些參數的取值，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題；
利用兩向量共線的條件求向量坐標，一般地，求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
已知向量，，，若，則 ．
【解答】解：，
，
所以
故答案為：
已知向量，，若與共線，則等于　　
A． B． C． D．2
【解答】解：，，與共線，
，，則，
故選：．
已知平面向量，，若與共線，則實數　　
A． B．8 C． D．2
【解答】解：因為，，
所以，
因為與共線，所以，
解得．
故選：．
已知向量，，，若，則 ．
【解答】解：由題意可得，
，
，，，
，，解得，
故答案為 5．
設向量，，若向量與向量共線，則 ．
【解答】解：向量，，若向量，
又向量與向量共線，
，
．
故答案為：2．
已知向量，，，若，則實數 ．
【解答】解：向量，，，
，
，
，
解得．
實數．
故答案為：．
已知向量，，則“”是“”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：因為向量，，
若，則，即，
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：．
利用向量求最值問題
如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為 ．
【解答】解：如圖所示，建立直角坐標系．
，
，，，
，，，，．
，，，
，，，
，．
設，
與比較，可得：，，
解得．
，，，，
．
故答案為：．
在中，已知，，點滿足，其中滿足，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，所以，
所以，
則，
所以當時，取最小值，
則的最小值為，
故選：．
如圖，在四邊形中，，，，，，，則　　
A． B．2 C．3 D．6
【解答】解：以為坐標原點，以為軸，過點作的垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，
故，
則由可得，
即，，
故．
故選：．
中，為上一點且滿足，若為上一點，且滿足，，為正實數，則下列結論正確的是　　
A．的最小值為16 B．的最大值為
C．的最大值為16 D．的最小值為4
【解答】解：因為為上一點且滿足，
所以，因為，則，
又為上一點，所以，，三點共線，則有，
由基本不等式可得，，解得，當且僅當時取等號，
故的最大值為，故選項錯誤，選項正確；
由公式可得，，當且僅當時取等號，
故的最小值為4，故選項錯誤，選項正確．
故選：．
一．選擇題（共6小題）
1．在中，點在線段上，，則　　
A． B． C． D．1
【解答】解：因為點在線段上，
所以存在實數，使得，
由平面向量的減法法則可得：，
即，
所以，
又，
所以，所以．
故選：．
2．已知向量，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意．
故選：．
3．如圖，在中，，，設，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，所以．
因為，所以．
故選：．
4．若向量，則向量的坐標為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故選：．
5．已知O為△ABC的重心，AD＝2DC，則＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：取BC的中點M，
因為O為△ABC的重心，
所以，
又因為AD＝2DC，所以，
則＝＝＝．
故選：B．
6．下列各組向量中，可以作為基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：對于，，不可以作為基底，錯誤；
對于，，， 共線，不可以作為基底，錯誤；
對于， 與 為不共線的非零向量，可以作為一組基底，正確；
對于，，， 共線，不可以作為基底，錯誤．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．下列各組向量中，可以表示它們所在平面內所有向量的基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：，
，不共線，
，可作為一組基底，
故選項正確；
同理可判斷，
選項、正確，選項錯誤；
故選：．
8．已知，則下列結論正確的有　　
A．
B．與方向相同的單位向量是
C．
D．與平行
【解答】解：，則，正確；
與方向相同的單位向量是，正確；
，而，所以，正確；
因，則與不平行，不正確．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．如圖，在中，向量，且，則　1　．
【解答】解：，，，三點共線，
，
，
故答案為：1．
10．已知中，，，，為的外心，若，則的值為 　　．
【解答】解：由題意可知，為的外心，
設半徑為，在圓中，過作，，垂足分別為，，
因為，兩邊乘以，即，的夾角為，而，
則，得①，
同理兩邊乘，即，，
則，得②，
①②聯立解得，，
所以．
故答案為：．
11．如圖，點，是線段的三等分點，以為基底表示　　．
【解答】解：因為、是線段的三等分點，所以，
故
．
故答案為：．
12．半徑為1的扇形的圓心角為，點在弧上，，若，則　　．
【解答】解：建立直角坐標系，如圖所示，．
，．
，即．
．
，即．
．
．
，解得．
．
故答案為：．
四．解答題（共3小題）
13．已知平面上兩點、的坐標分別為、，求的單位向量的坐標．
【解答】解：，，
的單位向量．
14．如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，，，的中點．求證：．
【解答】證明：因為，，，分別是邊，，，的中點，
所以在中，為中位線，所以且，
所以，
在中，為中位線，所以且，
所以，
所以．
15．如圖，在四邊形中，，，，，是的中點，設，．
（1）用，表示；
（2）若，與交于點，求．
【解答】解：如圖建立直角坐標系：
（1）由題意易知，，，，則，．
因為是的中點，所以點坐標為，則．
令，則，，，，解得，．
所以．
（2）因為，所以點坐標為，又點坐標為，所以直線的方程為，整理得到①．
因為點坐標為，點坐標為，所以直線的方程為，整理得到②．
聯立①②，解得點坐標為，．
則，，則．平面向量的基本定理及坐標表示
目錄
題型一： 平面向量基本定理及其應用 3
題型二： 平面向量的坐標運算 4
題型三： 平面向量坐標應用 5
題型四： 共線向量坐標表示及其應用 7
題型五： 利用向量求最值問題 8
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
2．平面向量的正交分解及坐標表示
(1)平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐標運算
①平面向量線性運算的坐標表示
假設平面上兩個向量a，b滿足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R)．
②向量模的坐標計算公式
如果向量a＝(x，y)，則|a|＝.
③向量坐標的求法
a．若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
b．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
(3)平面向量共線的坐標表示：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
3．平面向量基本定理的推論
(1)設a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共線，若a＝b，則λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推論：
①已知平面上點O是直線l外一點，A，B是直線l上給定的兩點，則平面內任意一點P在直線l上的充要條件是：存在實數t，使得＝(1－t)＋t.特別地，當t＝時，點P是線段AB的中點．
②對于平面內任意一點O，有P，A，B三點共線 存在唯一的一對實數λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
常用結論與知識拓展
已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則線段AB的中點坐標為，△ABC的重心坐標為.
平面向量基本定理及其應用
【要點講解】(1)合理選擇基底，注意基底必須是兩個不共線的向量．
(2)選定基底后，通過構造平行四邊形(或三角形)利用向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用基底表示出來．
(3)注意幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平行、相似等．
注意：同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的．
設，是平面內兩個不共線的向量，則以下，可作為該平面內一組基底的　　
A．， B．，
C．， D．，
設，是同一平面內兩個不共線的向量，以下不能作為基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
已知是平面內兩個不共線的向量，下列向量中能作為平面的一個基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
平面向量的坐標運算
【要點講解】(1)利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標；
(2)注意待定系數法的應用．先求出有關向量的坐標，再用“向量相等，則坐標相同”這一結論，列方程(組)進行求解．
已知，，若，則　　
A． B． C． D．
若向量，，則　　
A． B． C． D．
已知向量，，則　　
A． B． C． D．
已知向量與，且，則　　
A． B． C．1 D．4
如果向量，，那么等于　　
A． B． C． D．
平面向量坐標應用
如圖，正方形中，、分別是、的中點，若，則　　
A．2 B． C． D．
已知矩形中，，若，則　　
A． B． C． D．
如圖所示的矩形中，，滿足，為的中點，若，則的值為　　
A． B． C． D．2
在中，點，滿足與交于點，若，則　　
A． B． C． D．
如圖，在中，，是上一點，若，則實數的值為　　
A． B． C． D．
向量，，在正方形網格中的位置如圖所示，若，則　　
A． B． C．4 D．2
如圖，在中，點是的中點．過點的直線分別交直線，于不同的兩點，，若，，則的值為　　
A．1 B．2 C． D．
中，為邊上的一點，且滿足，若為邊上的一點，且滿足，則下列結論正確的是　　
A． B．的最大值為
C．的最小值為 D．的最小值為
設為的重心，過作直線分別交線段，（不與端點重合）于，．若，．
（1）求的值；
（2）求的取值范圍．
共線向量坐標表示及其應用
【要點講解】)利用兩向量共線求參數時，如果已知兩向量共線，求某些參數的取值，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題；
利用兩向量共線的條件求向量坐標，一般地，求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
已知向量，，，若，則 ．
已知向量，，若與共線，則等于　　
A． B． C． D．2
已知平面向量，，若與共線，則實數　　
A． B．8 C． D．2
已知向量，，，若，則 ．
設向量，，若向量與向量共線，則 ．
已知向量，，，若，則實數 ．
已知向量，，則“”是“”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
利用向量求最值問題
如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為 ．
在中，已知，，點滿足，其中滿足，則的最小值為　　
A． B． C． D．
如圖，在四邊形中，，，，，，，則　　
A． B．2 C．3 D．6
中，為上一點且滿足，若為上一點，且滿足，，為正實數，則下列結論正確的是　　
A．的最小值為16 B．的最大值為
C．的最大值為16 D．的最小值為4
一．選擇題（共6小題）
1．在中，點在線段上，，則　　
A． B． C． D．1
2．已知向量，則　　
A． B． C． D．
3．如圖，在中，，，設，，則　　
A． B． C． D．
4．若向量，則向量的坐標為　　
A． B． C． D．
5．已知O為△ABC的重心，AD＝2DC，則＝（　　）
A． B． C． D．
6．下列各組向量中，可以作為基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
二．多選題（共2小題）
7．下列各組向量中，可以表示它們所在平面內所有向量的基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
8．已知，則下列結論正確的有　　
A．
B．與方向相同的單位向量是
C．
D．與平行
三．填空題（共4小題）
9．如圖，在中，向量，且，則　　．
10．已知中，，，，為的外心，若，則的值為 　　．
11．如圖，點，是線段的三等分點，以為基底表示　　．
12．半徑為1的扇形的圓心角為，點在弧上，，若，則　　．
四．解答題（共3小題）
13．已知平面上兩點、的坐標分別為、，求的單位向量的坐標．
14．如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，，，的中點．求證：．
15．如圖，在四邊形中，，，，，是的中點，設，．
（1）用，表示；
（2）若，與交于點，求．平面向量的數量積及應用
目錄
題型一： 平面向量數量積的運算 4
題型二： 求平面向量的模 6
題型三： 向量積求范圍 9
題型四： 平面向量中的投影 16
題型五： 求平面向量的夾角 18
題型六： 平面向量的垂直問題 20
題型七： 平面向量與三角函數 22
1．向量數量積的定義
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b(如圖所示)，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
(2)向量的平行與垂直：當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向；如果a與b的夾角是，我們說a與b垂直，記作a⊥b.
(3)向量的數量積：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
規定：零向量與任一向量的數量積為0.
2．向量的投影
(1)定義：如圖，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，作如下的變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，則稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)計算：設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe.
3．向量數量積的性質
設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
4．向量數量積運算的運算律
對于向量a，b，c和實數λ，有
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．數量積的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；
|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)|x1x2＋y1y2|≤.
(4)設θ是a與b的夾角，則
cos θ＝＝.
常用結論與知識拓展
1．數量積的有關結論
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0 a＝0且b＝0.
2．有關向量夾角的兩個結論
已知向量a，b.
(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.
(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.
平面向量數量積的運算
【要點講解】(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐標運算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)靈活運用平面向量數量積的幾何意義．
若向量，且，則＝（　　）
A．﹣26 B．﹣13 C．26 D．13
【解答】解：由向量，
因為，可得x×2﹣（﹣3）×（﹣4）＝0，
解得x＝6，即，
所以．
故選：A．
在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，M是BC中點，則＝（　　）
A． B．5 C．6 D．7
【解答】解：由于M是BC中點，則，
所以
＝．
故選：A．
已知是邊長為1的等邊三角形，點、分別是邊、的中點，連接并延長到點，使得，則的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，
、分別是邊、的中點，且，
．
故選：．
如圖，在平行四邊形中，已知，，，，則的值是 ．
【解答】解：，
，，
又，，
，
故，
故答案為：22．
在等腰梯形中，已知，，，，點和分別在線段和上，且，，則的值為 ．
【解答】解：，，，
，，，
，，
，
故答案為：
求平面向量的模
【要點講解】(1)定義法：|a|＝；
(2)坐標法：設a＝(x，y)，則|a|＝．
若向量，滿足，，，則 ．
【解答】解：由題意，可得，
因為，，所以，
所以．
故答案為：．
已知向量，的夾角為，，，則 ．
【解答】解：【解法一】向量，的夾角為，且，，
，
．
【解法二】根據題意畫出圖形，如圖所示；
結合圖形；
在中，由余弦定理得
，
即．
故答案為：．
已知向量，，則　　
A． B．2 C． D．50
【解答】解：，，
，，，，
．
故選：．
已知正方形的邊長為2，點滿足，則 ； ．
【解答】解：由，可得為的中點，
則，
，
，
故答案為：，．
平面向量與的夾角為，，，則　　
A． B． C．4 D．12
【解答】解：由已知，
，
．
故選：．
已知向量，滿足，，且，則 ．
【解答】解：設．
向量，滿足，，且，
，，，，
，化為．
解得．
故答案為：．
設，，向量，，，且，，則　　
A． B． C． D．10
【解答】解：，且，
，解得．
又，且，
，解之得，
由此可得，，
，
可得．
故選：．
向量積求范圍
已知邊長為2的菱形ABCD中，點F為BD上一動點，點E滿足，，則的最大值為（　　）
A．0 B． C． D．3
【解答】解：由，可得，
設∠DAB＝θ，
可得＝
＝
＝
＝cosθ﹣1
＝，
所以，
因為θ∈[0，π]，
所以，
以AC與BD交點O為原點，以AC，BD所在的直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標系，
如圖所示，
則，，B（0，﹣1），
設F（0，t），且﹣1≤t≤1，
則，，，
當t＝1時，．
故選：D．
已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：建立如圖所示的坐標系，以中點為坐標原點，
則，，，
設，則，，，
則
當，時，取得最小值，
方法2：取的中點，的中點，
則，，
當且僅當與重合時，取得等號．
故選：．
如圖，在平面四邊形中，，，，．若點為邊上的動點，則的最小值為　　
A． B． C． D．3
【解答】解：如圖所示，以為原點，以所在的直線為軸，
以所在的直線為軸，
過點做軸，過點做軸，
，，，，
，，
，
，
，
，
，，，，
設，
，，，，
，
當時，取得最小值為．
故選：．
如圖，在四邊形中，，，，且，，則實數的值為 ，若，是線段上的動點，且，則的最小值為 ．
【解答】解：以為原點，以為軸建立如圖所示的直角坐標系，
，，
，，
，
，
，
，
設，，
，，，，
，解得，
，，
，，
，
，
，
設，則，其中，
，，，，
，當時取得最小值，最小值為，
故答案為：，．
已知是邊長為2的正六邊形內的一點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：畫出圖形如圖，
，它的幾何意義是的長度與在向量的投影的乘積，顯然，在處時，取得最大值，，可得，最大值為6，
在處取得最小值，，最小值為，
是邊長為2的正六邊形內的一點，
所以的取值范圍是．
故選：．
已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的最小值為 ．
【解答】解：如圖，以直線，分別為，軸建立平面直角坐標系，
則，，，
設，
則，，
．
故答案為5．
在邊長為1的等邊三角形中，為線段上的動點，且交于點，且交于點，則的值為 ；的最小值為 ．
【解答】解：如圖，設，
是邊長為1等邊三角形，，
，，，，
，是邊長為等邊三角形，，
，
則，
，，
的最小值為．
故答案為：1，．
如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在邊上，若，則的值是 ．
【解答】解：，
，
，，
，
故答案為：
平面向量中的投影
已知點A（﹣2，3），B（1，﹣1），則在方向上的數量投影為 ．
【解答】解：點A（﹣2，3），B（1，﹣1），
則，，
，||＝，
在方向上的數量投影為．
故答案為：．
已知，，，則在方向上的投影是 ．
【解答】解：在方向上的投影是．
故答案為：．
設向量，，則在上的投影為　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：，，
，，
在上的投影為．
故選：．
已知向量，則向量在向量上的投影向量為 ．
【解答】解：由題意，，
故向量在向量上的投影向量為．
故答案為：．
已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，是的中點，
即是的外接圓的直徑，
，是等邊三角形，
則，則，
則向量在向量上的投影為，
則對應的投影向量為，
故選：．
求平面向量的夾角
【要點講解】(1)定義法：cos θ＝，θ的取值范圍為[0，π].
(2)坐標法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cos θ＝.
已知向量，滿足，，，則，　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，滿足，，，
可得，
，．
故選：．
已知，為單位向量，且，若，則， ．
【解答】解：，
，
，
，．
故答案為：
若向量，的夾角為，且，，則與的夾角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，的夾角為，且，，
．
，．
兩向量的夾角的取值范圍是，，
，
與的夾角為．
故選：．
已知向量，滿足，，則向量，的夾角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，設向量，的夾角為，
若，則，，
若，則，
解可得，
又由，故，
故選：．
已知，，．
（1）求的值；
（2）求與的夾角．
【解答】解，，，
，解得．
（1）；
（2）設與的夾角，則，
又，，．
平面向量的垂直問題
【要點講解】(1)依據：非零向量垂直的充要條件是：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|.
(2)方法：根據兩個向量垂直的充要條件判斷或列出相應的關系式，求解參數．
已知兩個單位向量的夾角為，且滿足，則實數的值為　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由單位向量的夾角為，
則，
由，
可得，，
即，
則，
解得．
故選：．
若非零向量、滿足，且，則與的夾角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，設與的夾角為，
非零向量、滿足，則有，變形可得，
又由，則有，即，即，
則有，
又由，則，
故選：．
已知向量，，則的最大值是　　
A．7 B．5 C．4 D．1
【解答】解：向量，，
則，其中．
，的最大值是5．
故選：．
已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，設與的夾角為，
因為，，
所以，變形可得．
則．
又由，，所以．
故選：．
已知平面向量，，且，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由平面向量，可得，
由，可得，
即，
則，
，
故選：．
平面向量與三角函數
【要點講解】向量與三角函數結合時，通常以向量為表現形式，解決三角函數問題，要注意向量夾角與三角形內角的區別與聯系．
在中，，，為線段上的動點，且，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，由正弦定理可得，，
再由余弦定理可得，，整理得，即，
又，
，即，得，
，得，從而．
以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，
可得，，，，
為線段上的一點，則存在實數使得，，，
設，，，，，
由，，，，
得，，則，
求的最小值，則，均不為0，
則．
當且僅當時等號成立．
故選：．
在平面直角坐標系中，已知向量，，，．
（1）若，求的值；
（2）若與的夾角為，求的值．
【解答】解：（1）若，
則，，，
即
，即；
（2），，，，，
若與的夾角為，
則，
即，
則，
．
，．
則
即．
已知，，．
（1）若，求證：；
（2）設，若，求，的值．
【解答】解：（1）由，，
則，
由，
得．
所以．即；
（2）由
得，①②得：．
因為，所以．
所以，，
代入②得：．
因為．所以．
所以，．
設向量，，．
（1）若，求的值；
（2）設函數，求的最大值．
【解答】解：（1）由題意可得，，
由，可得，即．
，，，即．
（2）函數，，．
，，，，
當，取得最大值為．
已知向量，，，設函數的圖象關于直線對稱，其中，為常數，且，．
（1）求函數的最小正周期；
（2）若的圖象經過點，求函數在區間，上的取值范圍．
【解答】解：（1）
圖象關于直線對稱，，
，又，
時，
函數的最小正周期為
（2）
由，
，
，
，
故函數在區間，上的取值范圍為，
一．選擇題（共6小題）
1．已知向量，的夾角為，，，則　　
A．2 B．3 C．6 D．12
【解答】解：根據題意可得．
故選：．
2．已知向量，滿足，則向量在向量上的投影向量為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，向量，滿足，則有，
變形可得，則有，
故向量在向量上的投影向量為．
故選：．
3．已知正方形的邊長為2，點滿足，則的值為　　
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：以為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
由已知可得，，，，
又，所以，
故，．
故選：．
4．若，，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
在上的投影向量為：．
故選：．
5．已知向量，滿足，，且，則與的夾角是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，設與的夾角為，
向量，滿足，，若，則，
解可得：，
又由，則，
故選：．
6．若向量，滿足，，，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因為，，，
所以，
所以，解得．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．對于任意向量，，，下列命題中正確的是　　
A．若，則與中至少有一個為
B．向量與向量夾角的范圍是，
C．若，則
D．
【解答】解：，當為非零向量，且時，，所以選項錯誤．
，向量與向量夾角的范圍是，，所以選項錯誤．
，若，則，選項正確．
，，選項正確．
故選：．
8．已知平面向量，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，．
所以，解得：，錯誤；
所以，，正確；
則，正確；
因為，所以，正確；
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．已知，，向量在方向上的投影向量是是與方向相同的單位向量），則　12　．
【解答】解：由題意知，在方向上的投影向量為，
所以．
故答案為：12．
10．已知，則　21　．
【解答】解：因為，
所以，
所以．
故答案為：21．
11．在矩形中，，點為邊的中點，點為線段上的動點，則的取值范圍是 　，　．
【解答】解：以為坐標原點，，分別為，軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，，，，其中，，
所以，，
所以，．
故答案為：，．
12．向量在向量方向上的投影坐標為 　（﹣1，﹣2）　．
【解答】解：cos＜，＞＝＝﹣，||＝，
與同向的單位向量為＝（，），
所以向量在向量方向上的投影坐標為||cos＜，＞ ＝（﹣1，﹣2）．
故答案為：（﹣1，﹣2）．
四．解答題（共3小題）
13．已知向量，，．
（1）當時，求的值；
（2）求的取值范圍．
【解答】解：（1）因為，
所以，
得，
又因為，
所以．
（2），
因為，所以，
所以，
所以，
所以，
故的取值范圍為，．
14．（1）已知向量，．若，求的值；
（2）已知，，，判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
【解答】解：（1）根據題意，向量，．
則，，
若，則有，
解可得．
（2）因為，，，
，，，
易得，所以與共線且方向相同．
15．已知平面內的三個向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量與向量共線，求實數的值．
【解答】解：（1）根據題意，向量，，．
若，則，，，，
則有，解可得，故；
（2）根據題意，，，
若向量與向量共線，則有，
解可得：．平面向量的數量積及應用
目錄
題型一： 平面向量數量積的運算 4
題型二： 求平面向量的模 6
題型三： 向量積求范圍 9
題型四： 平面向量中的投影 16
題型五： 求平面向量的夾角 18
題型六： 平面向量的垂直問題 20
題型七： 平面向量與三角函數 22
1．向量數量積的定義
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b(如圖所示)，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
(2)向量的平行與垂直：當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向；如果a與b的夾角是，我們說a與b垂直，記作a⊥b.
(3)向量的數量積：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
規定：零向量與任一向量的數量積為0.
2．向量的投影
(1)定義：如圖，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，作如下的變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，則稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)計算：設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe.
3．向量數量積的性質
設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
4．向量數量積運算的運算律
對于向量a，b，c和實數λ，有
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．數量積的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；
|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)|x1x2＋y1y2|≤.
(4)設θ是a與b的夾角，則
cos θ＝＝.
常用結論與知識拓展
1．數量積的有關結論
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0 a＝0且b＝0.
2．有關向量夾角的兩個結論
已知向量a，b.
(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.
(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.
平面向量數量積的運算
【要點講解】(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐標運算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)靈活運用平面向量數量積的幾何意義．
若向量，且，則＝（　　）
A．﹣26 B．﹣13 C．26 D．13
在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，M是BC中點，則＝（　　）
A． B．5 C．6 D．7
已知是邊長為1的等邊三角形，點、分別是邊、的中點，連接并延長到點，使得，則的值為　　
A． B． C． D．
如圖，在平行四邊形中，已知，，，，則的值是 ．
在等腰梯形中，已知，，，，點和分別在線段和上，且，，則的值為 ．
求平面向量的模
【要點講解】(1)定義法：|a|＝；
(2)坐標法：設a＝(x，y)，則|a|＝．
若向量，滿足，，，則 ．
已知向量，的夾角為，，，則 ．
已知向量，，則　　
A． B．2 C． D．50
已知正方形的邊長為2，點滿足，則 ； ．
平面向量與的夾角為，，，則　　
A． B． C．4 D．12
已知向量，滿足，，且，則 ．
設，，向量，，，且，，則　　
A． B． C． D．10
向量積求范圍
已知邊長為2的菱形ABCD中，點F為BD上一動點，點E滿足，，則的最大值為（　　）
A．0 B． C． D．3
已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是　　
A． B． C． D．
如圖，在平面四邊形中，，，，．若點為邊上的動點，則的最小值為　　
A． B． C． D．3
如圖，在四邊形中，，，，且，，則實數的值為 ，若，是線段上的動點，且，則的最小值為 ．
已知是邊長為2的正六邊形內的一點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的最小值為 ．
在邊長為1的等邊三角形中，為線段上的動點，且交于點，且交于點，則的值為 ；的最小值為 ．
如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在邊上，若，則的值是 ．
平面向量中的投影
已知點A（﹣2，3），B（1，﹣1），則在方向上的數量投影為 ．
已知，，，則在方向上的投影是 ．
設向量，，則在上的投影為　　
A． B． C．1 D．2
已知向量，則向量在向量上的投影向量為 ．
已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為　　
A． B． C． D．
求平面向量的夾角
【要點講解】(1)定義法：cos θ＝，θ的取值范圍為[0，π].
(2)坐標法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cos θ＝.
已知向量，滿足，，，則，　　
A． B． C． D．
已知，為單位向量，且，若，則， ．
若向量，的夾角為，且，，則與的夾角為　　
A． B． C． D．
已知向量，滿足，，則向量，的夾角為　　
A． B． C． D．
已知，，．
（1）求的值；
（2）求與的夾角．
平面向量的垂直問題
【要點講解】(1)依據：非零向量垂直的充要條件是：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|.
(2)方法：根據兩個向量垂直的充要條件判斷或列出相應的關系式，求解參數．
已知兩個單位向量的夾角為，且滿足，則實數的值為　　
A．1 B． C． D．2
若非零向量、滿足，且，則與的夾角為　　
A． B． C． D．
已知向量，，則的最大值是　　
A．7 B．5 C．4 D．1
已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為　　
A． B． C． D．
已知平面向量，，且，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
平面向量與三角函數
【要點講解】向量與三角函數結合時，通常以向量為表現形式，解決三角函數問題，要注意向量夾角與三角形內角的區別與聯系．
在中，，，為線段上的動點，且，則的最小值為　　
A． B． C． D．
在平面直角坐標系中，已知向量，，，．
（1）若，求的值；
（2）若與的夾角為，求的值．
已知，，．
（1）若，求證：；
（2）設，若，求，的值．
設向量，，．
（1）若，求的值；
（2）設函數，求的最大值．
已知向量，，，設函數的圖象關于直線對稱，其中，為常數，且，．
（1）求函數的最小正周期；
（2）若的圖象經過點，求函數在區間，上的取值范圍．
一．選擇題（共6小題）
1．已知向量，的夾角為，，，則　　
A．2 B．3 C．6 D．12
2．已知向量，滿足，則向量在向量上的投影向量為　　
A． B． C． D．
3．已知正方形的邊長為2，點滿足，則的值為　　
A．2 B． C．4 D．
4．若，，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為　　
A． B． C． D．
5．已知向量，滿足，，且，則與的夾角是　　
A． B． C． D．
6．若向量，滿足，，，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
二．多選題（共2小題）
7．對于任意向量，，，下列命題中正確的是　　
A．若，則與中至少有一個為
B．向量與向量夾角的范圍是，
C．若，則
D．
8．已知平面向量，且，則　　
A． B． C． D．
三．填空題（共4小題）
9．已知，，向量在方向上的投影向量是是與方向相同的單位向量），則　　．
10．已知，則　　．
11．在矩形中，，點為邊的中點，點為線段上的動點，則的取值范圍是 　　．
12．向量在向量方向上的投影坐標為 　 　．
四．解答題（共3小題）
13．已知向量，，．
（1）當時，求的值；
（2）求的取值范圍．
14．（1）已知向量，．若，求的值；
（2）已知，，，判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
15．已知平面內的三個向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量與向量共線，求實數的值．余弦定理、正弦定理
目錄
題型一： 利用正、余弦定理解三角形 4
題型二： 利用正、余弦定理判斷三角形形狀 8
題型三： 與三角形面積有關的問題 11
題型四： 最值或范圍問題 14
題型五： 正弦定理、余弦定理的應用 20
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，則
正弦定理 余弦定理
文字 語言 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
公式 ＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C
常見 變形 (1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C． asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A cos A＝， cos B＝， cos C＝
2.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)．
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．
(4)S＝，即海倫公式，其中p＝(a＋b＋c)為△ABC的半周長．
3．常用定理
(1)三角形內角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，進而有＝－等式子； sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；
cos＝sin.
(2)射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B，b＝acos C＋ccos A，c＝acos B＋bcos A．
(3)角平分線定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．即若AD為∠A的平分線，則有比例關系：＝.
4．重要關系
(1)等價關系：A>B a>b sin A>sin B
cos A(2)三角函數關系：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.
(3)等差關系：若三角形三內角A，B，C成等差數列，則B＝，A＋C＝；若三角形三邊a，b，c成等差數列，則2b＝a＋c 2sin B＝sin A＋sin C．
5．解三角形中的常用術語
(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．
(2)方位角：從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2)．
(3)方向角：相對于某一正方向的水平角．北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向(如圖3)．北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．南偏西等其他方向角類似．
(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(如圖4，角θ為坡角)．坡度指坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡度，i＝tan θ)．坡度又稱為坡比．
6．解三角形的應用問題的要點
(1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解．
利用正、余弦定理解三角形
【要點講解】(1)求邊:利用正弦定理變形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解.
(2)求角:利用正弦定理變形公式sin A=等或余弦定理變形公式cos A=等求解.
(3)利用式子的特點轉化:如出現a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理.
的內角、、的對邊分別為、、．已知，，，則　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：，，，
由余弦定理可得：，整理可得：，
解得：或（舍去）．
故選：．
設的內角，，的對邊分別為，，．若，，．且，則　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：，，．且，
由余弦定理可得，
，
即有，
解得或4，
由，可得．
故選：．
在中，，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：在中，，，
，，則．
故選：．
的內角，，的對邊分別為，，．已知，，則　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：的內角，，的對邊分別為，，，
，，
由正弦定理得：
，
解得，
．
故選：．
在中，，邊上的高等于，則等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：設中角、、、對應的邊分別為、、，于，令，
在中，，邊上的高，
，，
在中，，故，
．
故選：．
在中，，．
（1）求的值；
（2）若，求的面積．
【解答】解：（1），，
由正弦定理可得，
（2），則，
，
，又由（1）可得，
，
．
在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理以及，，，
則，
，
；
（Ⅱ）由正弦定理，以及，，，可得；
（Ⅲ） 由，及，可得，
則，
，
．
在中，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求邊上的高．
【解答】解：（Ⅰ），，即是銳角，
，，
由正弦定理得得，
則．
（Ⅱ）由余弦定理得，
即，
即，
得，
得或（舍，
則邊上的高．
利用正、余弦定理判斷三角形形狀
設的內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為　　
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【解答】解：，
，
，
，，
故三角形為直角三角形，
故選：．
在中，若，則的形狀為　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：，
．
．
，
或．
，，或．
為直角三角形或等腰三角形．
故選：．
若在中，，則的形狀一定是　　
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
【解答】解：在中，
，
，
，
，
，即，
為等腰三角形，
故選：．
在中，、、分別為角、、的對應邊），則的形狀為　　
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：因為，即，由余弦定理可得，
可得，所以三角形是直角三角形．
故選：．
已知非零向量與滿足且．則為　　
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形
【解答】解：因為，
所以的平分線與垂直，三角形是等腰三角形．
又因為，所以，
所以三角形是正三角形．
故選：．
在中，、、分別為內角、、的對邊，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，試判斷的形狀．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，根據正弦定理得
即
由余弦定理得
故，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
變形得
又，得
上述兩式聯立得
因為，，
故
所以是等腰的鈍角三角形．
在中，已知，且．
（1）試確定的形狀；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由可得
得，，
即，根據正弦定理，，①，
又由正弦定理及可知，②，由①②得，
所以是直角三角形，且；
（2）由（1）知，
則，即，
故．
根據正弦定理，得．
因為，即，，成等比數列，
因為，所以，即，，
所以，，
，
，
即的取值范圍是．
與三角形面積有關的問題
【要點講解】(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值),結合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積,代入公式求面積.
(2)若已知三角形的三邊,可先求其中一個角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面積.總之,結合圖形恰當選擇面積公式是解題的關鍵.
的內角，，的對邊分別為，，．若，，，則的面積為 ．
【解答】解：由余弦定理有，
，，，
，
，
，
故答案為：．
的內角，，的對邊分別為，，，已知，，，則的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
由正弦定理得：，，
，
則．
故選：．
在中，內角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積為　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：，
，
即，
，
，
解得，
則三角形的面積，
故選：．
在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面積．
【解答】解：（Ⅰ）因為，所以，且，
由正弦定理可得：，
即有；
（Ⅱ）因為，
所以，故，
又因為，所以，
所以；
由正弦定理可得：，
所以，
所以．
已知，，分別為三個內角，，的對邊，
（1）求；
（2）若，的面積為，求，．
【解答】解：（1）由正弦定理得：，
即
，
即
．
；
（2）若，的面積，
．①
再利用余弦定理可得：
，
．②
結合①②求得．
最值或范圍問題
【要點講解】(1)將問題表示為邊的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;
(2)將問題用三角形某一個角的三角函數表示,利用三角函數的有界性,單調性再結合角的范圍確定最值或范圍.
在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：中，由余弦定理得，，
且的面積為，
由，
得，
化簡得；
又，，
所以，
化簡得，
解得或（不合題意，舍去）；
所以，
由，且，，，解得，，，，
所以，所以，
所以，；
故選：．
在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由已知得：，
即，
，，即，
又為三角形的內角，則；
（2）方法一：，即，，
由余弦定理，得，
即，
，，則．
的取值范圍為，．
方法二：，即，，
由余弦定理，得，
即
，
，又，，
的取值范圍為，．
在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，已知
（1）求角A；
（2）若a＝2，求的取值范圍．
【解答】解：（1）已知，由余弦定理和三角形的面積公式，
得，即，
若cosA＝0，則sinA＝0，不符合題意，故cosA≠0，
所以，由A∈（0，π），得．
（2）a＝2，，，
由正弦定理，
＝，
由，則，得，
所以，即的取值范圍（﹣2，4]．
在中，角，，的對邊分別為，，且．
（1）求角的大小；
（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍．
【解答】解：（1）中，由，
利用正弦定理可得，
因為，
所以，
又，
所以，或；
（2）若為銳角三角形，，
由正弦定理得，
所以，
因為，
所以，
又為銳角三角形，則，且，
又，則，所以，
所以，
所以，
所以的取值范圍是，．
記鈍角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）若，求A；
（2）求的取值范圍．
【解答】解：（1）由已知得，cosA﹣cosAsinA+cosAsinB＝cosA+cosB﹣cosAsinA﹣cosBsinA，
即sinAcosB+cosAsinB＝cosB，
即sin（A+B）＝cosB，
即sinC＝cosB．
若，
則，
因為B∈（0，π），
故．
從而；
（2）由sinC＝cosB，可得，
若，則，
即，與△ABC為鈍角三角形矛盾．
因此，得，
故，，
所以＝
＝
＝
＝
＝
＝，
因為，
所以，，
所以的取值范圍為（1，+∞）．
的內角、、的對邊分別為，，．已知．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【解答】解：（1），即為，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
（2）若為銳角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形為銳角三角形，可得且，且，
解得，
可得面積，．
在中，角，，的對邊分別是，，，，且的面積為．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范圍．
【解答】解：（1）中，，
①
的面積為，
②
由①②得，，；（4分）
，
又，則，
；（6分）
（2）由（1）知，
；（10分）
又，，，
的取值范圍是，．（12分）
正弦定理、余弦定理的應用
【要點講解】(1)類型:①兩點間既不可達也不可視,②兩點間可視但不可達,③兩點都不可達.
(2)解法:選擇合適的輔助測量點,構造三角形,將問題轉化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解.
如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 ．
【解答】解：設此山高，則，
在中，，，，．
根據正弦定理得，
解得
故答案為：．
如圖，設、兩點在河的兩岸，一測量者在的同側，在所在的河岸邊選定一點，測出的距離為，，后，就可以計算出、兩點的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由正弦定理得，
，
故，兩點的距離為，
故選：．
如圖，某建筑物的高度，一架無人機上的儀器觀測到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無人機距離地面的高度為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，可得中，，，
；
中，，，
，
由正弦定理，得，
解得，
在中，．
故選：．
如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為、山腳處的俯角為，已知，則山的高度為 ．
【解答】解：根據題意，可得中，，，
．
中，，，
，
由正弦定理，得，
在中，．
故答案為：300
一艘從南京駛往重慶的客船“東方之星”在長江中游湖北監利水域遭遇龍卷風翻沉．如圖所示，，是江面上位于東西方向相距千米的兩個觀測點．現位于點北偏東，點北偏西的客船東方之星點）發出求救信號，位于點南偏西且與點相距千米的點的救援船立即前往營救，其航行速度為30千米每小時，該救援船到達點需要多長時間？
【解答】解：由題意知，，，
．
在中，由正弦定理得：，
又．
在中．由余弦定理得：
救援船到達時間為（小時）
答：該救援船到達點需要1小時．
如圖，漁船甲位于島嶼的南偏西方向的處，且與島嶼相距12海里，漁船乙以10海里小時的速度從島嶼出發沿正北方向航行，若漁船甲同時從處出發沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．
（1）求漁船甲的速度；
（2）求的值．
【解答】解：（1）依題意，，，，．（2分）
在中，由余弦定理，得（4分）
．
解得．（6分）
所以漁船甲的速度為海里小時．
答：漁船甲的速度為14海里小時．（7分）
（2）方法1：在中，因為，，，，
由正弦定理，得．（9分）
即．
答：的值為．（12分）
方法2：在中，因為，，，，
由余弦定理，得．（9分）
即．
因為為銳角，所以．
答：的值為．（12分）
如圖，在中，，，點在邊上，．
（Ⅰ）求的長；
（Ⅱ）若的面積為，求的長．
【解答】解：（Ⅰ），，且，
，
根據正弦定理，
可得；
（Ⅱ），
，
，得，
又，
由余弦定理得，
．
如圖，某小區準備將閑置的一直角三角形地塊開發成公共綠地，圖中．設計時要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道，且兩邊是兩個關于走道對稱的三角形和△．現考慮方便和綠地最大化原則，要求點與點，均不重合，落在邊上且不與端點，重合，設．
（1）若，求此時公共綠地的面積；
（2）為方便小區居民的行走，設計時要求，的長度最短，求此時綠地公共走道的長度．
【解答】解：（1）△，，
，．
，
，，，，
是等邊三角形，
．
（2），，
．
，即，
．
在中，由正弦定理可得：，
，
令．
，當即時取最大值，
當時最短，此時是等邊三角形，．
一．選擇題（共6小題）
1．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊為a，b，c，若a＝4，b＝4，B＝60°，則A＝（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【解答】解：因為a＝4，b＝4，B＝60°，
所以由正弦定理有：，
所以＝，
因為b＞a，所以60°＝B＞A＞0°，
所以A＝30°．
故選：A．
2．在中，角，，所對的邊分別為，，．若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
則，
所以．
故選：．
3．在中，已知，，，則角等于　　
A． B． C．或 D．或
【解答】解：在中，已知，，，
由正弦定理可得，
解得．
再根據，可得，
故，
故選：．
4．如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上．1小時后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時與燈塔之間的距離為　　
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【解答】解：由題意可知海里，，，
所以，
所以，，所以，
在中，由正弦定理可得，
即，解得海里，
故選：．
5．在中，、、所對的邊分別為，，，若，，，則　　
A． B． C． D．或
【解答】解：由正弦定理，得，
又，
所以，
則角為銳角，所以．
故選：．
6．中，角，，的對邊分別是，，，，，若這個三角形有兩解，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為三角形有兩解，
所以，
即，
所以．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．在中，下列結論中正確的有　　
A．若，則等于
B．若，則等于
C．若，則等于
D．若，則
【解答】解：由余弦定理可得，，
對于，，
，即，
，
，故正確，
對于，，
，即，
，
，故正確，
對于，，
，即，
，
，故錯誤，
對于，，，
，，，
，，，
，故錯誤．
故選：．
8．以下關于正弦定理或其變形正確的有　　
A．在中，
B．在中，若，則
C．在中，若，則，若，則都成立
D．在中，
【解答】解：對于，由正弦定理，
可得：，故正確；
對于，由，可得，或，即，或，
，或，故錯誤；
對于，在中，由正弦定理可得，因此是的充要條件，正確；
對于，由正弦定理，
可得右邊左邊，故正確．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．在中，角，，的對邊分別為，，，，．，則　　．
【解答】解：在中，
，．，
由余弦定理得，
．
故答案為：．
10．在中，角，，，所對的邊為，，，若，且，則的形狀是 　等腰直角三角形　．
【解答】解：，
則由正弦定理可得，，
由勾股定理可知，，
，，
，即，
，，為三角形的內角，
，
故的形狀是等腰直角三角形．
故答案為：等腰直角三角形．
11．已知的內角，，所對的邊分別是，，，且，則角　　．
【解答】解：由正弦定理及，
得，
，
，
，
，
，，
，
，．
故答案為：．
12．在中，，，，則的解的個數是 　2　個．
【解答】解：由正弦定理知，，
所以，
因為，所以，即，
又，所以有兩解．
故答案為：2．
四．解答題（共3小題）
13．在中，，，分別為內角，，的對邊，．
（1）求角；
（2）若，為中點，，求的長度．
【解答】解：（1），
，
，
由正弦定理可得：，
，
，，解得．
（2），，
，
由正弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
解得．
14．的內角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面積．
【解答】解：（1）由正弦定理可得，在三角形中可得，，
可得，，可得，
可得；
（2）因為，，，由余弦定理可得，
即，
解得，即，，
所以，
所以的面積為．
15．中，．
（1）若，求；
（2）求三角形面積的最大值．
【解答】解：（1），，
由余弦定理可得，，即，解得．
（2）由余弦定理可得，，
當且僅當時，等號成立，故，
三角形面積，
故三角形面積的最大值為．余弦定理、正弦定理
目錄
題型一： 利用正、余弦定理解三角形 4
題型二： 利用正、余弦定理判斷三角形形狀 5
題型三： 與三角形面積有關的問題 7
題型四： 最值或范圍問題 8
題型五： 正弦定理、余弦定理的應用 9
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，則
正弦定理 余弦定理
文字 語言 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
公式 ＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C
常見 變形 (1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C． asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A cos A＝， cos B＝， cos C＝
2.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)．
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．
(4)S＝，即海倫公式，其中p＝(a＋b＋c)為△ABC的半周長．
3．常用定理
(1)三角形內角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，進而有＝－等式子； sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；
cos＝sin.
(2)射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B，b＝acos C＋ccos A，c＝acos B＋bcos A．
(3)角平分線定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．即若AD為∠A的平分線，則有比例關系：＝.
4．重要關系
(1)等價關系：A>B a>b sin A>sin B
cos A(2)三角函數關系：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.
(3)等差關系：若三角形三內角A，B，C成等差數列，則B＝，A＋C＝；若三角形三邊a，b，c成等差數列，則2b＝a＋c 2sin B＝sin A＋sin C．
5．解三角形中的常用術語
(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．
(2)方位角：從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2)．
(3)方向角：相對于某一正方向的水平角．北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向(如圖3)．北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．南偏西等其他方向角類似．
(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(如圖4，角θ為坡角)．坡度指坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡度，i＝tan θ)．坡度又稱為坡比．
6．解三角形的應用問題的要點
(1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解．
利用正、余弦定理解三角形
【要點講解】(1)求邊:利用正弦定理變形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解.
(2)求角:利用正弦定理變形公式sin A=等或余弦定理變形公式cos A=等求解.
(3)利用式子的特點轉化:如出現a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理.
的內角、、的對邊分別為、、．已知，，，則　　
A． B． C．2 D．3
設的內角，，的對邊分別為，，．若，，．且，則　　
A． B．2 C． D．3
在中，，，，則　　
A． B． C． D．
的內角，，的對邊分別為，，．已知，，則　　
A．6 B．5 C．4 D．3
在中，，邊上的高等于，則等于　　
A． B． C． D．
在中，，．
（1）求的值；
（2）若，求的面積．
在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
在中，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求邊上的高．
利用正、余弦定理判斷三角形形狀
設的內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為　　
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
在中，若，則的形狀為　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
若在中，，則的形狀一定是　　
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
在中，、、分別為角、、的對應邊），則的形狀為　　
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
已知非零向量與滿足且．則為　　
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形
在中，、、分別為內角、、的對邊，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，試判斷的形狀．
在中，已知，且．
（1）試確定的形狀；
（2）求的值．
與三角形面積有關的問題
【要點講解】(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值),結合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積,代入公式求面積.
(2)若已知三角形的三邊,可先求其中一個角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面積.總之,結合圖形恰當選擇面積公式是解題的關鍵.
的內角，，的對邊分別為，，．若，，，則的面積為 ．
的內角，，的對邊分別為，，，已知，，，則的面積為　　
A． B． C． D．
在中，內角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積為　　
A．3 B． C． D．
在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面積．
已知，，分別為三個內角，，的對邊，
（1）求；
（2）若，的面積為，求，．
最值或范圍問題
【要點講解】(1)將問題表示為邊的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;
(2)將問題用三角形某一個角的三角函數表示,利用三角函數的有界性,單調性再結合角的范圍確定最值或范圍.
在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．，
在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范圍．
在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，已知
（1）求角A；
（2）若a＝2，求的取值范圍．
在中，角，，的對邊分別為，，且．
（1）求角的大小；
（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍．
記鈍角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）若，求A；
（2）求的取值范圍．
的內角、、的對邊分別為，，．已知．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
在中，角，，的對邊分別是，，，，且的面積為．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范圍．
正弦定理、余弦定理的應用
【要點講解】(1)類型:①兩點間既不可達也不可視,②兩點間可視但不可達,③兩點都不可達.
(2)解法:選擇合適的輔助測量點,構造三角形,將問題轉化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解.
如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 ．
如圖，設、兩點在河的兩岸，一測量者在的同側，在所在的河岸邊選定一點，測出的距離為，，后，就可以計算出、兩點的距離為　　
A． B． C． D．
如圖，某建筑物的高度，一架無人機上的儀器觀測到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無人機距離地面的高度為　　
A． B． C． D．
如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為、山腳處的俯角為，已知，則山的高度為 ．
一艘從南京駛往重慶的客船“東方之星”在長江中游湖北監利水域遭遇龍卷風翻沉．如圖所示，，是江面上位于東西方向相距千米的兩個觀測點．現位于點北偏東，點北偏西的客船東方之星點）發出求救信號，位于點南偏西且與點相距千米的點的救援船立即前往營救，其航行速度為30千米每小時，該救援船到達點需要多長時間？
如圖，漁船甲位于島嶼的南偏西方向的處，且與島嶼相距12海里，漁船乙以10海里小時的速度從島嶼出發沿正北方向航行，若漁船甲同時從處出發沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．
（1）求漁船甲的速度；
（2）求的值．
如圖，在中，，，點在邊上，．
（Ⅰ）求的長；
（Ⅱ）若的面積為，求的長．
如圖，某小區準備將閑置的一直角三角形地塊開發成公共綠地，圖中．設計時要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道，且兩邊是兩個關于走道對稱的三角形和△．現考慮方便和綠地最大化原則，要求點與點，均不重合，落在邊上且不與端點，重合，設．
（1）若，求此時公共綠地的面積；
（2）為方便小區居民的行走，設計時要求，的長度最短，求此時綠地公共走道的長度．
一．選擇題（共6小題）
1．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊為a，b，c，若a＝4，b＝4，B＝60°，則A＝（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
2．在中，角，，所對的邊分別為，，．若，則　　
A． B． C． D．
3．在中，已知，，，則角等于　　
A． B． C．或 D．或
4．如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上．1小時后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時與燈塔之間的距離為　　
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
5．在中，、、所對的邊分別為，，，若，，，則　　
A． B． C． D．或
6．中，角，，的對邊分別是，，，，，若這個三角形有兩解，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
二．多選題（共2小題）
7．在中，下列結論中正確的有　　
A．若，則等于
B．若，則等于
C．若，則等于
D．若，則
8．以下關于正弦定理或其變形正確的有　　
A．在中，
B．在中，若，則
C．在中，若，則，若，則都成立
D．在中，
三．填空題（共4小題）
9．在中，角，，的對邊分別為，，，，．，則　　．
10．在中，角，，，所對的邊為，，，若，且，則的形狀是 　　．
11．已知的內角，，所對的邊分別是，，，且，則角　　．
12．在中，，，，則的解的個數是 　　個．
四．解答題（共3小題）
13．在中，，，分別為內角，，的對邊，．
（1）求角；
（2）若，為中點，，求的長度．
14．的內角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面積．
15．中，．
（1）若，求；
（2）求三角形面積的最大值．復數
目錄
題型一： 復數的有關概念 4
題型二： 求復數的值 6
題型三： 與復數的模有關的計算問題 8
題型四： 復數的幾何意義 9
題型五： 范圍問題 12
1．復數的概念
概念 定義
復數 把形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位．復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a與b分別叫做復數z的實部與虛部
復數集 全體復數所構成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
復數 相等 a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R
復數 分類 復數z＝a＋bi
共軛 復數 當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數，虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．復數z的共軛復數用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi
復平面 建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數
復數 的模 復數z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數單位)對應的向量為，則向量的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是復數z＝a＋bi在復平面內對應的點Z(a，b)到坐標原點的距離
2.復數的幾何意義
為方便起見，我們常把復數z＝a＋bi說成點Z或說成向量，并且規定，相等的向量表示同一個復數．
3．復數的四則運算
(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.
②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
③＝＋i(z2≠0)．
(2)復數加、減法的幾何意義
加法 復數z1＋z2是以，為鄰邊的平行四邊形的對角線OZ所表示的向量所對應的復數
減法 復數z1－z2是從向量的終點指向向量的終點的向量所對應的復數
(3)復數加法的運算律：對任意z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1＋z2＝z2＋z1
結合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(4)復數乘法的運算律：對于任意z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1z2＝z2z1
結合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
常用結論與知識拓展
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中n∈N*.
3．z＝|z|2＝||2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4．復數z的方程在復平面上表示的圖形
(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．
復數的有關概念
【要點講解】　解決復數概念問題的常用方法
(1)求一個復數的實部與虛部,只需將已知的復數化為代數形式z=a+bi(a,b∈R),則該復數的實部為a,虛部為b.
(2)復數是實數的條件:①z=a+bi∈R b=0(a,b∈R);②z∈R z=;③z∈R z2≥0.
(3)復數是純虛數的條件:①z=a+bi是純虛數 a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數 z+=0(z≠0);③z是純虛數 z2<0.
(4)復數z=a+bi(a,b∈R)的共軛復數為=a-bi,則z·=|z|2=||2,即|z|=||=,若z∈R,則=z.
已知，且，其中，為實數，則　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因為，且，
所以，
所以，
解得，．
故選：．
設，其中，為實數，則　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，
，即，
解得．
故選：．
已知，，為虛數單位），則　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，，，
，，
故選：．
為虛數單位，已知復數是純虛數，則等于　　
A． B．1 C． D．0
【解答】解：由題意可知是實數，
已知復數是純虛數，可得，，
解得．
故選：．
下面四個命題中的真命題為　　
A．若復數滿足，則
B．若復數滿足，則
C．若復數，滿足，則
D．若復數，則
【解答】解：若復數滿足，則，故命題為真命題；
復數滿足，則，故命題為假命題；
若復數，滿足，但，故命題為假命題；
若復數，則，故命題為真命題．
故選：．
求復數的值
復數滿足為虛數單位），則的共軛復數為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
．
故選：．
設復數滿足關系：，那么等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：法1：設由已知
由復數相等可得故
故選．
法2：由已知可得①取模后平方可得
，所以，代入①得，
故選．
法3：選項中的復數的模均為，又，
而方程右邊為，它的實部，虛部均為正數，因此復數的實部，虛部也必須為正，
故選：．
的共軛復數　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故選：．
已知，則復數　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
故選：．
復數　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為復數，
故選：．
已知復數是虛數單位）
（1）復數是實數，求實數的值；
（2）復數是虛數，求實數的取值范圍；
（3）復數是純虛數，求實數的值．
【解答】解：（1）若復數是實數，則，得，
即；
（2）復數是虛數，則，即，
即且；
（3）復數是純虛數，則，得，
即，或
與復數的模有關的計算問題
【要點講解】記住以下結論,可提高運算速度.
①(1±i)2=±2i;②=i;③=-i;④=b-ai.
2.解與復數的模有關的計算問題的兩個方法
(1)根據復數的模的公式|a+bi|=(a,b∈R)直接計算得解;
(2)利用模的性質|z|2=||2=z·求解.
已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，
得
，
則，．
故選：．
是虛數單位，復數　　 ．
【解答】解：復數，
故答案為：．
復數滿足，則　　
A．最小值為1，無最大值 B．最大值為1，無最小值
C．恒等于1 D．無最大值，也無最小值
【解答】解：設復數，其中，，
由，得，
，
解得；
，
即有最小值為1，沒有最大值．
故選：．
已知復數滿足，則　　
A． B． C．10 D．18
【解答】解：，
，
，
．
則．
故選：．
設復數滿足為虛數單位），則　 ．
【解答】解：由，得，
．
故答案為：．
復數的幾何意義
【要點講解】(1)已知復數對應點的位置求參數范圍,可依據點所在位置建立不等式求解.
(2)已知復數對應的點進行運算時,可建立方程求解.
(3)研究復數模的問題,可利用數形結合法,考慮模的幾何意義求解.
(4)若復數z=x+yi(x,y∈R),則|z|=r,點Z在以(0,0)為圓心,r為半徑的圓上.
若復數z滿足2z+|z|＝2i，則z在復平面上對應的點位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：設z＝a+bi（a，b∈R），
2z+|z|＝2i，
則2（a+bi）+＝2i，即，解得，
故z在復平面上對應的點位于（）位于第二象限．
故選：B．
設復數X，則在復平面內對應的點位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：，，
則其在復平面對應的點為，即在第四象限．
故選：D．
若復數z滿足z＝（1+2i）2，則在復平面內復數z所對應的點位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由（1+2i）2＝1﹣4+4i＝﹣3+4i，對應點坐標為 （﹣3，4），在第二象限．
故選：B．
在復平面上，滿足的復數的所對應的軌跡是　　
A．兩個點 B．一條線段 C．兩條直線 D．一個圓
【解答】解：設，
則，
，
運動軌跡是圓，
故選：．
已知復數，則下列命題中正確的為　　
A．
B．
C．的虛部為
D．在復平面上對應點在第一象限
【解答】解：復數，則．故正確；
，故正確；
的虛部為1，故錯誤；
在復平面上對應點的坐標為，在第一象限，故正確．
命題中正確的個數為3．
故選：．
如圖，已知復平面內平行四邊形中，點對應的復數為，對應的復數為，對應的復數為．
（Ⅰ）求點對應的復數；
（Ⅱ）求平行四邊形的面積．
【解答】解：（Ⅰ）依題點對應的復數為，對應的復數為，
得，，可得．
又對應的復數為，得，可得．
設點對應的復數為，，．
得，．
為平行四邊形，，解得，，
故點對應的復數為．
（Ⅱ），，
可得：，．
又，．
故平行四邊形的面積．
范圍問題
已知復數z滿足|z﹣1+i|＝2，為z的共軛復數，則z 的最大值為 ．
【解答】解：設z＝a+bi（a，b∈R），
則的幾何意義為z在復平面內所對應的點（a，b）到（1，﹣1）的距離為，
所以z所對應的點（a，b）的軌跡是以（1，﹣1）為圓心，為半徑的圓，
而可看作該圓上的點（a，b）到原點的距離的平方，
所以．
故答案為：18．
如果復數滿足，那么最小值是　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：
點到點與到點的距離之和為2．
點的軌跡為線段．
而表示為點到點的距離．
數形結合，得最小距離為1
故選：．
已知復數滿足，則的最小值是 ．
【解答】解：由復數幾何意義知，在復平面內，與分別表示復數對應點到定點與的距離，
而，于是有，動點在線段上，如圖所示：
表示定點到動點的距離，是銳角三角形，
點到線段上動點的距離最小值即是邊上的高，，由，
所以的最小值是．
故答案為：．
復數滿足，則的最小值是 ．
【解答】解：復數滿足，
則復數表示的點到，兩點的距離之和為2，
而，兩點間的距離為2，
設為，，
則表示的點的集合為線段，
的幾何意義為點到點的距離，
分析可得，在點時，
取得最小值，且其最小值為1．
若，且，則的最小值為 ．
【解答】解：復數滿足，點表示以原點為圓心、1為半徑的圓．
則表示點對應的復數與點之間的距離，
圓心到點之間的距離，
的最小值為，
故答案為：4．
已知復數滿足，則的最小值是 ．
【解答】解：復數滿足，
，
的最小值是3．
故答案為：3．
已知復數滿足，則（其中是虛數單位）的最小值為 ．
【解答】解：復數滿足為虛數單位），
設，，．
則，當且僅當時取等號．
故答案為：1．
一．選擇題（共6小題）
1．已知復數（i為虛數單位），為z的共軛復數，若復數，則ω的虛部為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：復數（i為虛數單位），，
則
＝，
所以ω的虛部為．
故選：C．
2．已知復數，則的虛部是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
的虛部為．
故選：．
3．設為虛數單位，且，則　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由題意，，
則且，
解得．
故選：．
4．已知，則＝（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【解答】解：＝＝＝﹣1﹣i．
則．
故選：C．
5．復數的模為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：＝2i﹣（i﹣i2）＝2i﹣i﹣1＝﹣1+i，
則|z|＝．
故選：B．
6．已知a∈R，復數z＝a+2i，z2﹣2z是實數，則|z|＝（　　）
A．5 B．10 C． D．
【解答】解：z2﹣2z＝（a+2i）2﹣2（a+2i）＝a2﹣4+4ai﹣2（a+2i）＝a2﹣2a﹣4+（4a﹣4）i∈R，
故4a﹣4＝0，解得a＝1，
故．
故選：C．
二．多選題（共2小題）
7．已知復數，則下列結論中正確的是　　
A．對應的點位于第二象限 B．的虛部為2
C． D．
【解答】解：，所以，
對應的點位于第一象限，錯誤；
的虛部為，錯誤；
，正確；，正確．
故選：．
8．已知復數，，在復平面內對應的點分別為，，，的共軛復數在復平面內對應的點為，則　　
A．點在第二象限 B．
C． D．點的坐標為
【解答】解：對于，，所以點在第二象限，對；
對于，，，所以，所以，錯；
對于，，，所以，對；
對于，，所以，對．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．若復數為虛數單位），的共軛復數記為，則　5　．
【解答】解：由共軛復數的概念可知，復數的共軛復數；
所以．
故答案為：5．
10．設為虛數單位，若復數，則的實部與虛部的和為 　1　．
【解答】解：因為，
因此，復數的實部與虛部之和為．
故答案為：1．
11．若復數是純虛數，則實數　2　．
【解答】解：復數是純虛數，
所以即
得
故答案為：2
12．設復數，在復平面內對應的點為，，若，，則的最大值為 　7　．
【解答】解：因為，則點組成的集合是圓心在原點，半徑的圓及其內部．
的坐標為．
所以的最大值為．
故答案為：7．
四．解答題（共3小題）
13．在復平面內，復數，其中．
（1）若復數為純虛數，求的值；
（2）若復數對應的點在第二象限，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）復數為純虛數，
，．
（2）復數對應的點在第二象限，
，，
實數的取值范圍為．
14．已知復數為虛數單位）．
（1）求；
（2）求．
【解答】解：（1）因為，
所以；
（2）因為，
所以．
15．已知，是虛數單位，復數．
（1）若是純虛數，求的值；
（2）若復數在復平面內對應的點位于第二象限，求的取值范圍．
【解答】解：（1）若是純虛數，
則，解得；
（2）若復數在復平面內對應的點位于第二象限，
則，解得．
的取值范圍是．復數
目錄
題型一： 復數的有關概念 4
題型二： 求復數的值 5
題型三： 與復數的模有關的計算問題 6
題型四： 復數的幾何意義 7
題型五： 范圍問題 8
1．復數的概念
概念 定義
復數 把形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位．復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a與b分別叫做復數z的實部與虛部
復數集 全體復數所構成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
復數 相等 a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R
復數 分類 復數z＝a＋bi
共軛 復數 當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數，虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．復數z的共軛復數用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi
復平面 建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數
復數 的模 復數z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數單位)對應的向量為，則向量的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是復數z＝a＋bi在復平面內對應的點Z(a，b)到坐標原點的距離
2.復數的幾何意義
為方便起見，我們常把復數z＝a＋bi說成點Z或說成向量，并且規定，相等的向量表示同一個復數．
3．復數的四則運算
(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.
②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
③＝＋i(z2≠0)．
(2)復數加、減法的幾何意義
加法 復數z1＋z2是以，為鄰邊的平行四邊形的對角線OZ所表示的向量所對應的復數
減法 復數z1－z2是從向量的終點指向向量的終點的向量所對應的復數
(3)復數加法的運算律：對任意z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1＋z2＝z2＋z1
結合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(4)復數乘法的運算律：對于任意z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1z2＝z2z1
結合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
常用結論與知識拓展
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中n∈N*.
3．z＝|z|2＝||2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4．復數z的方程在復平面上表示的圖形
(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．
復數的有關概念
【要點講解】　解決復數概念問題的常用方法
(1)求一個復數的實部與虛部,只需將已知的復數化為代數形式z=a+bi(a,b∈R),則該復數的實部為a,虛部為b.
(2)復數是實數的條件:①z=a+bi∈R b=0(a,b∈R);②z∈R z=;③z∈R z2≥0.
(3)復數是純虛數的條件:①z=a+bi是純虛數 a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數 z+=0(z≠0);③z是純虛數 z2<0.
(4)復數z=a+bi(a,b∈R)的共軛復數為=a-bi,則z·=|z|2=||2,即|z|=||=,若z∈R,則=z.
已知，且，其中，為實數，則　　
A．， B．， C．， D．，
設，其中，為實數，則　　
A．， B．， C．， D．，
已知，，為虛數單位），則　　
A．， B．， C．， D．，
為虛數單位，已知復數是純虛數，則等于　　
A． B．1 C． D．0
下面四個命題中的真命題為　　
A．若復數滿足，則
B．若復數滿足，則
C．若復數，滿足，則
D．若復數，則
求復數的值
復數滿足為虛數單位），則的共軛復數為　　
A． B． C． D．
設復數滿足關系：，那么等于　　
A． B． C． D．
的共軛復數　　
A． B． C． D．
已知，則復數　　
A． B． C． D．
復數　　
A． B． C． D．
已知復數是虛數單位）
（1）復數是實數，求實數的值；
（2）復數是虛數，求實數的取值范圍；
（3）復數是純虛數，求實數的值．
與復數的模有關的計算問題
【要點講解】記住以下結論,可提高運算速度.
①(1±i)2=±2i;②=i;③=-i;④=b-ai.
2.解與復數的模有關的計算問題的兩個方法
(1)根據復數的模的公式|a+bi|=(a,b∈R)直接計算得解;
(2)利用模的性質|z|2=||2=z·求解.
已知，則　　
A． B． C． D．
是虛數單位，復數　　 ．
復數滿足，則　　
A．最小值為1，無最大值 B．最大值為1，無最小值
C．恒等于1 D．無最大值，也無最小值
已知復數滿足，則　　
A． B． C．10 D．18
設復數滿足為虛數單位），則　 ．
復數的幾何意義
【要點講解】(1)已知復數對應點的位置求參數范圍,可依據點所在位置建立不等式求解.
(2)已知復數對應的點進行運算時,可建立方程求解.
(3)研究復數模的問題,可利用數形結合法,考慮模的幾何意義求解.
(4)若復數z=x+yi(x,y∈R),則|z|=r,點Z在以(0,0)為圓心,r為半徑的圓上.
若復數z滿足2z+|z|＝2i，則z在復平面上對應的點位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
設復數X，則在復平面內對應的點位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
若復數z滿足z＝（1+2i）2，則在復平面內復數z所對應的點位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
在復平面上，滿足的復數的所對應的軌跡是　　
A．兩個點 B．一條線段 C．兩條直線 D．一個圓
已知復數，則下列命題中正確的為　　
A．
B．
C．的虛部為
D．在復平面上對應點在第一象限
如圖，已知復平面內平行四邊形中，點對應的復數為，對應的復數為，對應的復數為．
（Ⅰ）求點對應的復數；
（Ⅱ）求平行四邊形的面積．
范圍問題
已知復數z滿足|z﹣1+i|＝2，為z的共軛復數，則z 的最大值為 ．
如果復數滿足，那么最小值是　　
A．1 B． C．2 D．
已知復數滿足，則的最小值是 ．
復數滿足，則的最小值是 ．
若，且，則的最小值為 ．
已知復數滿足，則的最小值是 ．
已知復數滿足，則（其中是虛數單位）的最小值為 ．
一．選擇題（共6小題）
1．已知復數（i為虛數單位），為z的共軛復數，若復數，則ω的虛部為（　　）
A． B． C． D．
2．已知復數，則的虛部是　　
A． B． C． D．
3．設為虛數單位，且，則　　
A．1 B． C． D．2
4．已知，則＝（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
5．復數的模為（　　）
A． B． C． D．
6．已知a∈R，復數z＝a+2i，z2﹣2z是實數，則|z|＝（　　）
A．5 B．10 C． D．
二．多選題（共2小題）
7．已知復數，則下列結論中正確的是　　
A．對應的點位于第二象限 B．的虛部為2
C． D．
8．已知復數，，在復平面內對應的點分別為，，，的共軛復數在復平面內對應的點為，則　　
A．點在第二象限 B．
C． D．點的坐標為
三．填空題（共4小題）
9．若復數為虛數單位），的共軛復數記為，則　　．
10．設為虛數單位，若復數，則的實部與虛部的和為 　　．
11．若復數是純虛數，則實數　　．
12．設復數，在復平面內對應的點為，，若，，則的最大值為 　　．
四．解答題（共3小題）
13．在復平面內，復數，其中．
（1）若復數為純虛數，求的值；
（2）若復數對應的點在第二象限，求實數的取值范圍．
14．已知復數為虛數單位）．
（1）求；
（2）求．
15．已知，是虛數單位，復數．
（1）若是純虛數，求的值；
（2）若復數在復平面內對應的點位于第二象限，求的取值范圍．

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