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第八章 立體幾何初步
8.5.1直線與直線平行
1.通過復(fù)習(xí)平面內(nèi)直線與直線平行的情形，理解基本事實(shí)4，并能應(yīng)用基本事實(shí)4解決線線平行的相關(guān)問題.
2.理解等角定理，并會(huì)應(yīng)用這個(gè)定理解決相關(guān)問題，通過經(jīng)歷等角定理的假設(shè)、推導(dǎo)過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)、解決問題的能力，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).
重點(diǎn)：基本事實(shí)4和等角定理．
難點(diǎn)：利用基本事實(shí)4和等角定理解決相關(guān)問題．
創(chuàng)設(shè)情境
復(fù)習(xí)回顧：
1.在平面幾何的學(xué)習(xí)中，我們研究過兩條直線的位置關(guān)系，同一平面中，兩條直線的位置關(guān)系有哪些呢？
答：平行、相交
2.在同一平面中，如何判定兩條直線平行呢？
答：
(1)定義法：如果兩直線沒有交點(diǎn)，那么兩直線平行.
(2)定理法：
同位角相等，兩直線平行
內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
平行公理：平行于同一條直線的兩直線平行.
思考：如何判定空間中兩直線平行呢？這些方法仍然適用嗎？
答：利用平行直線的定義或基本事實(shí)4證明；仍然適用.
設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)同一平面內(nèi)直線平行的相關(guān)知識(shí)，制造認(rèn)知沖突，引出新課．
探究新知
任務(wù)1 在空間中，探究平行于同一條直線的兩條直線的關(guān)系
探究1：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB ，則DC與A1B1平行嗎？觀察你所在的教室，你能找到類似的實(shí)例嗎？
答：通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，DC// A1B1,，
在教室里，黑板邊所在直線AA'和門框所在直線CC'都平行于墻與墻的交線BB'，可以發(fā)現(xiàn)CC'//AA'．
探究2：如圖，將一張長方形的紙如圖進(jìn)行折疊 , 則各折痕 a, b, c, d, e, … 之間平行嗎？
答：a//b// c//d//e
設(shè)計(jì)意圖：通過生活案例的設(shè)計(jì)，探究基本事實(shí)4，從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，思考能力以及抽象思維．
思考：通過任務(wù)一，你能得到怎樣的結(jié)論呢？
基本事實(shí)4 平行于同一條直線的兩條直線平行．
符號(hào)表示： a//b，b//c a//c．
【總結(jié)】基本事實(shí)4的作用
含義：空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行．
作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)．
判定空間中兩直線平行的2種方法：
1.兩直線沒有交點(diǎn)
2.基本事實(shí)4
設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)基本事實(shí)4的剖析，培養(yǎng)學(xué)生辨析能力，以及對(duì)知識(shí)的歸納總結(jié)能力．
任務(wù)二：類比平面中的等角定理，探究空間中的等角定理
思考1：如圖,四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面是平行四邊形，∠ADC與∠A'D'C'，∠ADC與∠B'A'D'的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何
答：
圖(1)中，∠ADC=∠A'D'C'
圖(2)中，∠ADC與∠B'A'D'互補(bǔ)
思考2：如圖，當(dāng)空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行時(shí)，這兩個(gè)角有怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)你說說理由．
答：
對(duì)于圖（1），可以構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，使 和是它們的對(duì)應(yīng)角，從而證明．
如下圖，分別在 和的兩邊上截取AD，AE和，，使得，．連接，，，，．
∵∥且，
∴四邊形是平行四邊形．
∴∥且．
同理可證 ∥．
∴∥且．
∴四邊形是平行四邊形．
∴．
∴．
∴．
對(duì)于圖（2），同理可證．
思考1：通過任務(wù)二的探究過程，你能得到怎樣的結(jié)論呢？
等角定理 如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
2.如何理解等角定理的實(shí)質(zhì)呢？
若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向都相同(或方向都相反)，則這兩個(gè)角相等,如圖：
若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．如圖：
設(shè)計(jì)意圖：通過在長方體中角之間的關(guān)系，探究等角定理，接著通過全等三角形證明定理，最后深度剖析定理，形成完整的學(xué)習(xí)閉環(huán)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，以及歸納總結(jié)能力．
（三）應(yīng)用舉例
例1：如圖，空間四邊形ABCD中， E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：EFGH是平行四邊形．
分析：判定平行四邊形的依據(jù)是什么？利用平行四邊形的判定定理來證明
證明：連接BD．
是的中位線，
∥，且.
同理∥ ，且 .
∥且．
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
【總結(jié)】基本事實(shí)4是證明空間中直線的平行關(guān)系的重要依據(jù)，有時(shí)也叫平行線的傳遞性，解題時(shí)首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．
例２：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．
(1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；
(2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1．
證明：(1)∵ABCD A1B1C1D1為正方體．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．
【總結(jié)】通過基本事實(shí)4證明空間中的直線平行，常常借助平行四邊形性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)等．
(2)法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，
∴B1M1∥BM．
同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，
∴C1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1．
法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1＝BM．
同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1＝CM．
又∵B1C1＝BC，
∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1．
【總結(jié)】利用等角定理證明空間角相等時(shí)，需要說明角的兩組對(duì)應(yīng)邊分別平行，且同向或方向相反．
例3：如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖,如果將它還原為正方體,那么AB,CD,EF,GH這四條線段所在直線平行直線有多少對(duì) 異面直線呢？
分析：得到正確解答的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？做到不重不漏.
解：平行直線有1對(duì)，異面直線有3對(duì).
設(shè)計(jì)意圖：通過例題，熟悉直線與直線平行的相關(guān)解題方法，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合能力．
（四）課堂練習(xí)
1.如果，，那么和( )
A. 互補(bǔ) B. 可能相等，也可能互補(bǔ)
C. 大小無關(guān) D. 相等
解：若和方向相同，則；
若和方向相反，則．
故選B．
2.下列命題正確的是
A. 不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B. 平行于同一條直線的兩條直線平行
C. 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面
D. 如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角一定相等
解：在中，由基本事實(shí)，不共線的三點(diǎn)可以確定唯一的一個(gè)平面，故A正確；
在中，由基本事實(shí)可知，平行于同一條直線的兩條直線平行，故B正確
在中，由推論可知，經(jīng)過兩條平行直線有且僅有一個(gè)平面，C正確
在中，由等角定理，如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角一定相等或互補(bǔ)，故D錯(cuò)誤．
故選：．
3.四面體中，分別是各邊、、、的中點(diǎn)，若，則是 形填四邊形的形狀
解：證明：四邊形中，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，
，，，，
，平行于同一條直線的兩直線平行
四邊形是平行四邊形，
四邊形中，點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，
是的中位線，是的中位線，
，，
，
，
四邊形是菱形．
4.如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)．
求證：四邊形是梯形；
求證：．
證明：連接，在中，
，分別是棱，的中點(diǎn)，
是三角形的中位線，
，．
由正方體的性質(zhì)得：，．
，且，即，
四邊形是梯形；
由可知，
又，
與相等或互補(bǔ)，
而與均是直角三角形的銳角，
．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固基本事實(shí)4和等角定理，做到靈活運(yùn)用.
（五）歸納總結(jié)
【課堂小結(jié)】回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
1.關(guān)于直線與直線平行的判定，平面內(nèi)的知識(shí)依然適用于空間．
2.等角定理的證明，是通過全等三角形來證得角度相等，體現(xiàn)了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決的思想．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，建立知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，形成自己的知識(shí)體系，加深對(duì)新知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí).

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