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第八章 立體幾何初步
8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系
1.了解空間兩條直線之間的位置關系，理解異面直線的概念以及簡單應用．
2.掌握直線與平面的位置關系并能畫圖表示，能用數學符號準確表示出位置關系．
3.掌握平面與平面的位置關系并能畫圖表示，能用數學符號準確表示出位置關系．
4.能夠綜合處理點、直線、平面之間的位置關系，培養學生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力，幫助學生提升直觀想象和空間觀念等學科素養.
重點：空間直線、平面的位置關系
難點：會用三種語言（圖形語言、文字語言、符號語言）描述空間直線、平面的位置關系并會簡單應用.
（一）創設情境
情境：世界萬物都可以看作是點、線、面、體等空間元素組成的，這些空間元素是如何有序排列的呢？他們之間的位置關系是怎樣的呢？
當太陽從東方的地平線徐徐升起時，太陽與海平面的位置關系可以看作點與平面的關系；小鳥站在高壓線上，小鳥和高壓線的關系可以抽象出點與直線的位置關系，在繁華都市里，充滿現代感的高樓大廈，樓頂與地面平行，相鄰側面相交，這些都是點、先、線、面的關系在生活中的體現.
那么，空間中點、直線、平面之間還有其他位置關系嗎？這就是我們這節課所要學習的內容．
設計意圖：通過感受生活實例，直觀感知空間中物體之間的位置關系，抽象出平面中的點、直線、平面之間的位置關系，提出問題，引入新課．
（二）探究新知
任務一：借助長方體，探究空間中兩直線之間的位置關系.
思考１：空間中點與直線的位置關系是怎樣的？點與面的位置關系是怎樣的？
答：空間中點與直線的位置關系有兩種：點在直線上和點在直線外；
如：
空間中點與平面的位置關系也有兩種：點在平面內和點在平面外；
如：
思考2：在長方體中，與直線AB平行的棱有哪些？相交的棱有哪些？
答案：與直線AB平行的棱：
與直線AB相交的棱：
思考3：直線AB與直線是什么位置關系呢？
答案：既不想交也不平行，它們是異面直線.
總結：我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線．如：直線AB與直線既不平行，也不相交，是異面直線.
思考：你還能找出與直線AB異面的其它直線嗎？空間兩條直線的位置關系有幾種情形？
答案：直線、直線、直線．
空間直線間的位置關系可分為共面直線和異面直線，其中共面直線又分為平行直線和相交直線．
相交直線：在同一平面內，有且只有一個公共點；
平行直線：在同一平面內，沒有公共點；
異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點．
設計意圖：通過層層遞進的問題設置，引導學生得出直線與直線的位置關系的所有情形，培養學生探究學習的能力.
說一說：如果直線，為異面直線，為了表示它們不共面的特點，如何作圖呢？
答案：通常用一個或兩個平面襯托，如下圖所示．
思考：分別在兩個平面內的直線一定是異面直線嗎？
答案：不能把異面直線誤認為是分別在不同平面內的兩條直線，如圖，雖然有，，即，分別在兩個不同的平面內，但是因為，所以與不是異面直線．
設計意圖：通過“說一說”設置，讓學生嘗試異面直線的作圖以及對概念的辨析，進一步加深理解直線與直線的位置關系.
任務二 在空間中，探究直線與平面的位置關系
探究1：觀察教室兩墻面的交線與地面的關系，墻面和天花板的交線與地面的關系，再觀察你手中的筆與作業本所在平面可能的位置關系．你發現了什么？
答案：教室兩墻面的交線與地面的關系，墻面和天花板的交線與地面的關系如下圖所示：
手中的筆與作業本所在平面可能的位置關系，如下圖：
探究2：以長方體為例，進行探究，回答下列問題：
（1）直線與平面有幾個公共點？
（2）直線與平面有幾個公共點？
（3）直線與平面有幾個公共點？
答：（1）直線與平面沒有公共點．
（2）直線與平面只有一個公共點；
（3）直線與平面有無數個公共點；
說一說：直線與平面的位置關系有哪些？如何用圖形表示呢？
直線與平面平行 直線與平面相交 直線在平面內
定義：
如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么稱直線與平面平行；
如果直線與平面有且只有一個公共點，那么稱直線與平面相交；
如果直線與平面有無數個公共點，那么稱直線在平面內．
設計意圖：通過生活中的案例，讓學生感受直線與平面的位置關系，另外，從交點個數的角度再一次理解直線與平面的位置關系，最后形成結論.
任務三：探究平面與平面的位置關系
思考1：觀察長方體，它的上、下底面有沒有公共點？下底面與平面有沒有公共點？
答案：長方體的上、下底面無論怎樣延展都沒有公共點，而它的下底面與平面有一條公共直線．
思考2：平面與平面的位置關系有哪些情形呢？如何判定平面與平面的位置關系呢？
答案：平行或相交；可以從兩個平面有無交點來進行判定，如果兩個平面有交點，則兩個平面相交，交線必過該交點.如果兩個平面沒有交點，則說明兩個平面平行.
總結：
如果兩個平面沒有公共點，那么稱這兩個平面互相平行．
如果兩個平面有一個公共點，那么由基本事實3可知，它們相交于經過這個點的一條直線，此時稱這兩個平面相交．
設計意圖：從熟悉的長方體入手，通過生活中的案例，讓學生感受直線與平面的位置關系，另外，從交點個數的角度再一次理解直線與平面的位置關系，最后形成結論.
（三）應用舉例
例1 用符號表示下列圖形中直線、平面之間的位置關系．
分析：直線與平面的位置關系有幾種情形呢？
直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行.
解：在（1）中，，，．
在（2）中，，，，，，．
總結：判斷直線與平面的位置關系，可以從判斷直線與平面的交點個數入手.
例2 如圖，，，，．直線與具有怎樣的位置關系？為什么？
分析：判斷直線AB與a的位置關系的突破口是什么？
兩直線是否共面，或者兩直線有無交點.
解：直線與是異面直線．理由如下：
若直線與直線不是異面直線，則它們相交或平行．設它們確定的平面為，則，．由于經過點與直線有且僅有一個平面，因此平面與平面重合，從而，進而，這與矛盾．所以直線與是異面直線．
總結：
判斷異面直線的方法：
1.利用異面直線的定義判斷；
2.與一個平面相交的直線和這個平面內不經過交點的直線是異面直線．
設計意圖：通過例題，考查學生對空間中點、直線、平面的位置關系的理解，并鍛煉學生三種語言的轉化能力．
例3：如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，BB1的中點，則下列直線與平面、平面與平面的位置關系是什么？
(1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關系；
(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關系；
(3)AM所在的直線與平面CDD1C1的位置關系；
(4)平面AMD1與平面BNC的位置關系
解 (1)AM所在的直線與平面ABCD相交．
(2)CN所在的直線與平面ABCD相交．
(3)AM所在的直線與平面CDD1C1平行．
(4)平面AMD1與平面BNC相交.
例4 在直三棱柱(側棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F分別為A1B1，B1C1的中點．
求證：平面ACC1A1與平面BEF相交．
分析：判定面面相交的突破口是什么？
通過推理論證這兩個平面有交點即可.
證明：∵在矩形AA1B1B中，E為A1B1的中點，
∴AA1與BE不平行，則AA1，BE的延長線相交于一點，
設此點為G，∴G∈AA1，G∈BE.
又AA1 平面ACC1A1，BE 平面BEF，
∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，
∴平面ACC1A1與平面BEF相交．
總結：判斷或證明平面與平面的位置關系時主要考慮平面與平面有無公共點，如果有公共點，則兩平面平行；如果可以找到一個公共點，則兩平面相交．一般通過直線的交點來確定平面的公共點.
設計意圖：通過3,4兩個例題，考查學生對空間中點、直線、平面的位置關系的理解，并能夠在常見幾何體中識別這些位置關系，同時能夠推導.鍛煉學生解決問題的能力．
（四）課堂練習
1.，，，分別是下圖中正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線，是異面直線的圖形的是 填序號
解：由題意可得圖中與平行，不合題意；
圖中，，三點共面，但平面，直線與異面，符合題意；
圖中連結，，因此與共面，不合題意；
圖中，，共面，但平面，直線與異面，符合題意．
故答案為．
2.如圖所示，在正方體中，是的中點，則直線與平面的位置關系是 ．
解：由于是的中點，延長，
則它與的延長線相交，于是與平面 有一個公共點，即與平面相交．
故答案為相交．
3.在正方體中，是棱的中點，是側面內的動點，且與平面的垂線垂直，如圖所示，給出下列四個結論：
點的軌跡是一條線段；
與是異面直線；
與不可能平行；
三棱錐的體積為定值．
其中，所有正確結論的序號是 ．
解：對于，設平面與直線交于點，連接、，
則為的中點
分別取、的中點、，連接、、，
，故四邊形為平行四邊形，
則，平面，平面，
平面．
同理可得平面，
、是平面內的相交直線
平面平面，
根據題意可得平面，可得平面，
即點是線段上的動點．所以正確；
對于，和平面相交于，是平面內不經過的直線，
與是異面直線，所以正確．
對于，由知，點是線段上的動點，
當與重合時，與平行，所以錯誤．
對于，因為平面，則到平面的距離是定值，三角形面積為定值，三棱錐的體積為定值，所以正確；
故答案為：
4.如圖，在正方體中，是的中點，則直線與平面的位置關系是 ，直線與平面的位置關系是 ．
解：是的中點，
直線與直線相交，
與平面有一個公共點，
與平面相交；
取中點，連接，，
，，
，，
，
四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，平面．
故答案為相交；平行．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固點、直線、平面之間的位置關系，達到能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節課所學內容，回答下列問題：
本節課我們學習了哪些知識？體驗了那些數學思想？
設計意圖：讓學生回顧本節課知識點，建立知識與知識之間的聯系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認識.

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