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第八章 立體幾何初步
8.4空間點、直線、平面之間的位置關系
8.4.1平面
1.理解平面的概念、三個基本事實及推論，會用圖形、文字和符號三種語言性質表述三個基本事實和推論.
2.在探究三個基本事實的情境中，感悟立體幾何結論發現的過程，體驗研究幾何體的方法，提升直觀想象和數學抽象素養.
重點：平面基本性質（三個基本事實）及其推論．
難點：對三個基本事實刻畫平面基本性質的理解，三種語言（圖形語言、文字語言、符號語言）及其相互轉化．
（一）創設情境
觀察下面圖形，有你熟悉的空間圖形嗎？構成這些幾何體的元素有哪些？
點、直線、平面是空間圖形的基本元素，它們構成了千姿百態的世界，初中我們已對點和直線進行了研究，今天我們繼續探討平面及其基本性質.
師生活動：教師展示圖片可以讓學生觀察說出熟悉的空間圖形，進一步可以通過探討熟悉的長方體，讓學生分析長方體是有哪些幾何元素構成的，進而引出本節課的學習.
設計意圖：結合身邊的事物舉例，引出數學知識，學生會感到親切、生動、真實、易于接受. 同時，能使他們體會到生活中處處有數學，數學就在我們身邊，我們生活在充滿數學信息的現實世界中. 能促進學生用數學的眼光去觀察和認識周圍的事物，有效的促進知識的遷移.
（二）探究新知
任務1：探究平面的含義及其表示方法
思考：(1)你能結合情境中的實例說出什么是平面嗎
(2)為了畫出直線，用直線的一部分(線段)表示直線，你能類比此方法將平面畫出來嗎？
(3)同樣的類比直線，你能用符號語言表示出平面嗎？
合作探究：先獨立思考，再小組內交流，并匯報得出的結論.
師生活動：學生從情境視頻中抽象出平面的概念，并由教師引導得到平面的是平面的，可以無限延伸的，類比畫直線和表示直線的方法，鼓勵學生畫出平面并表示出平面，最后由教師歸納總結.
答：(1)平面是從湖面、操場、草原等物體中抽象出來的,
但幾何中所說的平面具有以下兩個特征：
一是：可以無限延展；二是：平的(沒有厚薄).
(2)我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.
①當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；
②當平面豎直放置時，常把平性四邊形的一邊畫成豎向；
(3)①用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ；
②用代表平行四邊形的四個頂點，如平面ABCD；
③用平行四邊形相對的兩個頂點的大寫英文字母，如平面AC或者平面BD
如下圖的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
設計意圖：通過類比學習，建立知識之間的聯系，更好地理解平面的本質特征，并提高學生概括、類比推理的能力.類比直線的圖形和符號表示給出平面的圖形和符號表示，使學生感悟數學研究方法的特點和一致性，平面的圖形表示實際也是其直觀圖表示，也可以進一步發展學生直觀想象素養.
任務2：探究平面的基本性質.
思考：我們知道，過兩個點可以確定一條直線，那么幾個點可以確定一個平面呢？
合作探究：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
(1)自行車兩個車輪著地時，不能“站穩”，如果加上1個腳架，就可以“站穩”了，你知道為什么嗎？
(2)支撐照相機的架子，為何選擇三腳架呢？
答：(1)如果把地面看成一個平面，兩個車輪著地地方看成兩點，腳架著地地方看成1個點，由于兩個點只能確定一條直線，這條直線所在的平面不確定，故兩個車輪著地不能站穩；當增加1個腳架即1個不在此直線上的點時，3個不共線的點都在地面，從而自行車能站穩.
(2)由于三個支點在底面上且不共線保證了三腳架的穩定性.
基于此，我們可以歸納得出：
基本事實1 過不在同一直線上的三個點，有且只有有一個平面.
注意：“有且只有一個”必須完整表述，缺一不可.
“有”說明圖形存在，強調了存在性；“只有一個”是說圖形唯一，強調了唯一性
說一說：你能舉出生活中的實例來說明基本事實1嗎？
預設答案：如：自行車用一個腳架和兩個車輪著地就可以“站穩”；三腳架的三腳著地就可以支撐照相機；將教室的門的兩個鉸鏈看成兩個點，門插銷看成一個點，當插銷插上時，門不再動了．
思考：如何將這一事實用圖形表示？又如何用符號表示點和直線、平面的位置關系呢？
提示：直線上有無數個點，平面內也有無數個點.因此，直線、平面都可以看成是無數個點組成的集合，故點與直線、點與平面的關系是元素與集合的關系，用“”或“”表示．
答：如圖，不共線的三點，，確定一個平面，記為平面．
點在直線上，記作；點在直線外，記作；點在平面內，記作；點在平面外，記作．
這樣，基本事實1也可以用符號表示為
設計意圖：通過對上述問題的探索與研究,引導學生從生活實例中發現三個不共線的點可以確定一個平面,自己得出基本事實1,然后啟發學生用三種語言描述基本事實1,形成對基本事實1的正確認識和理解,發展學生的數學抽象素養和直觀想象等素養.
思考：如果直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內？如果直線與平面有兩個公共點呢？
答：如圖，若直線上僅有一個點在平面內，則直線不在平面內.
若直線上有兩個點（不妨設為、）在平面內，則直線在平面內．
將上述事實進行抽象，可得：
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．
思考：如何將這一基本事實用圖形表示？如何用符號表示直線和平面的位置關系？
提示：直線與平面都可以看成是由無數個點構成的集合，故它們之間的關系可看成集合與集合的關系，用“”或“”表示．
答：如圖直線上有兩個點、在平面內，則直線在平面內．
直線上所有的點都在平面內，就說直線在平面內，記作；否則，就說直線不在平面內，記作．
這樣，基本事實2也可以用符號表示為：，，且， ．
說一說：我們知道，平面具有“平”和“無限延展”的特征，而基本事實2反映了直線與平面的位置關系，我們能不能利用這種位置關系，用直線的“直”和“無限延伸”刻畫平面的“平”和“無限延展”？
答：如右圖，由基本事實1，給定不共線三點，，，它們可以確定一個平面；連接，，，由基本事實2，這三條直線都在平面內，進而連接這三條直線上任意兩點所得直線也都在平面內，所有這些直線可以編織成一個“直線網”，這個“直線網”可以鋪滿平面．組成這個“直線網”的直線的“直”和向各個方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”．
設計意圖：結合基本事實1和2，用直線的“直”和“無限延伸”的基本特征說明平面的“平”和“無限延展”的基本特征，這也說明對于不加定義的“平面”概念，就是用刻畫它的基本事實說明其基本特征的，從而也加深對于平面概念的理解．
思考：把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點？為什么？
答：不止一個公共點．因為平面是無限延展的，把三角尺所在的平面延展，用它“穿透”課桌，可以想象，這兩個平面相交于一條直線．
由此，我們可以歸納出：
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
追問1：你能用符號表示基本事實3嗎？
答：基本事實3也可以用符號表示為：若P∈，且P∈且P∈l．
設計意圖：通過對上述問題的探索與研究,引導學生從自己身邊熟悉的生活實例中發現和抽象出基本事實3,并學會運用三種語言描述基本事實3,以形成對基本事實3的正確認識和深刻理解,為運用基本事實3探究空間圖形中的問題作好鋪墊,發展學生的數學抽象和直觀想象等素養.
追問2：你能給出兩個平面相交的畫法嗎？
答：當在畫兩個相交平面時,如果其中一個平面的一部分被另一個平面擋住,通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫,這樣可使畫出的圖形立體感更強一些．
說一說：你還能舉出生活中其它平面與平面相交的例子嗎？
答：如教室相鄰的兩個墻面在地面的墻角處有一個公共點，這兩個墻面相交于過這個點的一條直線等．
追問：結合基本事實3，你能進一步說明平面的“平”和“無限延展”的特征嗎？
答：基本事實3說明：如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交于過這個公共點的一條直線．兩個平面相交成一條直線的事實，可以讓我們進一步認識了平面的“平”和“無限延展”．
設計意圖：結合基本事實3，用直線的“直”和“無限延伸”的基本特征說明平面的“平”和“無限延展”的基本特征，這也說明對于不加定義的“平面”概念，就是用刻畫它的基本事實說明其基本特征的，從而也加深對于平面概念的理解．
任務3：探究平面的基本性質的三個推論.
合作探究：1.直線外一點和直線能確定一個平面嗎 為什么
2.兩條相交直線能不能確定一個平面
3.兩條平行直線能不能確定一個平面 為什么
師生活動：學生結合基本事實1，2和“兩點確定一條直線”進行思考、討論、交流，得出三個推論，對于三個推論，教師要求學生畫出圖形，并結合圖形，給出三種語言的描述，教師說明基本事實和推論在后續研究直線、平面之間的關系的作用.
1.直線外一點和直線能確定一個平面嗎 為什么
答：能確定一個平面,如圖，因為點A與直線BC上的兩點B,C不共線,根據基本事實1,A,B,C三點能確定一個平面ABC.
總結：推論1：經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.
符號語言：A l 存在唯一的平面α,使A∈α,且l α.
圖形語言:
2.兩條相交直線能不能確定一個平面
答：能確定一個平面.因為直線AB,AC相交于點A,不共線的三點A,B,C確定的平面就是AB和AC確定的平面,由基本事實1可證得.
總結：推論2：經過兩條相交直線,有且只有一個平面.
符號語言:l m=A 存在唯一的平面α,使l α,且m α.
圖形語言:
3.兩條平行直線能不能確定一個平面 為什么
答：能確定一個平面,因為這兩條平行線中含有不共線的三點A,B,C,由基本事實1可知,這個平面是確定的.
總結：推論3：經過兩條平行直線,有且只有一個平面.
符號語言:l∥m 存在唯一的平面α,使l α,且m α.
圖形語言:
總結：
推論1：一條直線和該直線外一點確定一個平面；
推論2：兩條相交直線確定一個平面；
推論3：兩條平行直線確定一個平面．
以上三條推論與基本事實1都是確立平面的依據．
設計意圖：．三個基本事實和三個推論，在后續的直線、平面位置關系的研究中發揮著基礎作用，本活動引導學生從基本事實得到它們的三個推論，在這一過程中，進一步體會關于直線、平面的基本事實在得到確定平面的結論中的作用.由于推論的證明涉及存在性和唯一性兩個方面，學生初次接觸這樣的證明比較困難.教學中采用說理的方式讓學生確認其正確性即可，不必要求學生寫出完整的證明.
（三）應用舉例
例1 下列命題正確的是( )
A. 三點確定一個平面 B. 一條直線和一個點確定一個平面
C. 圓心和圓上兩點可確定一個平面 D. 梯形可確定一個平面
提示：利用基本事實1及平面的性質推論進行判斷.
解：對于，空間不共線的三點可以確定一個平面，所以錯；
對于，在空間中，如果這個點在直線上，就不能確定一個平面，所以錯；
對于，圓心和圓上的兩點如果在一條直線上，就不能確定一個平面，故C錯；
對于，梯形只有一組對邊平行，所以梯形可以確定一個平面，故D正確；故選D．
例2 下列敘述中，正確的是( )
A. 若，，，，則
B. 若，，則
C. 若，，，，，，則，重合
D. 若，，，，則
提示：將符號語言轉化為文字語言，再利用平面的性質進行判斷.
解：若，，，，
根據平面性質的公理，可知正確，故A正確；
B.，，，兩點不一定是兩個平面的公共點，故B錯誤；
C.若，，，，，，
當，，在一條直線上時，則，不重合，故C錯誤；
D.若，，，，
則，兩點是兩個平面的公共點，
根據平面性質的公理，得到，故D正確．故選AD．
例3 已知在平面外，其三邊所在的直線滿足，，，如圖所示．求證：，，三點共線．
證明：，
，平面，
又平面，
平面，
由公理可知，點在平面與平面的交線上，
同理可證，也在平面與平面的交線上，
，，三點共線．
總結：
證明點共線，常采用以下兩種方法:
①轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，然后根據公理3證得這些點都在這兩個平面的交線上;
②證明多點共線問題時,通常是過其中兩點作一直線，再證明其他的點都在這條直線上.
設計意圖：通過例題，熟悉平面的3個基本事實及其推論，并體會如何確定一個平面．
課堂練習
1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫““錯誤的畫““．
平面與平面相交，它們只有有限個公共點．______
經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．______
經過兩條相交直線，有且只有一個平面．______
如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合．______
解：在中，平面與平面相交，它個相交于一條直線，有無限個公共點．故錯誤；
在中，由公理二的推論一得：
經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．故正確；
在中，由公理二的推論二得：
經過兩條相交直線，有且只有一個平面．故正確；
在中，由公理三得：
如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合，故正確．
故答案為：，，，．
2.若線段在平面內，則直線與平面的位置關系是．( )
A. B.
C. 由線段的長短而定 D. 以上都不對
解：線段在平面內，直線上所有的點都在平面內，
直線與平面的位置關系：直線在平面內，用符號表示為：．
故選B．
3.如圖所示，用符號語言可表示為( )
A. ，， B. ，，
C. ，，， D. ，，，
解：由圖形可知，兩個平面與相交于直線，直線在平面內，直線和直線相交于點，故用符號語言可表達為，，．
故選A．
4.當我們停放自行車時，只要將自行車的腳撐放下，自行車就穩了，這用到了( )
A. 三點確定一平面 B. 不共線的三點確定一平面
C. 兩條相交直線確定一平面 D. 兩條平行直線確定一平面
解：自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時三個接觸點不在同一條線上，
所以可以確定一個平面，即地面，從而使得自行車穩定．
故選：．
5.如圖：點、、、分別是空間四邊形的邊、、、上的點，且直線與直線交于點，求證：、、三點共線．
證明：平面平面，
點、、、分別是空間四邊形的邊、、、上的點，且直線與直線交于點，
，，
平面，平面，
又平面，平面，
，
、、三點共線．
6.如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是，的中點．
求證：，，，四點共面；
設與交于點，求證：，，三點共線．
證明：根據題意，連接，
由于，分別是，的中點，則．
在中，，則有，
故有．
所以，，，四點共面．
，所以，
又由平面，則平面，
同理平面，則為平面與平面的一個公共點．
又平面平面則，即，，三點共線．
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？

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