資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.5 認識二元一次方程組
學習目標與重難點
學習目標：
1.掌握二元一次方程、二元一次方程組的基本概念，理解二元一次方程組解的意義。能根據實際情況列出正確的二元一次方程組，能正確判斷一組解是否是二元一次方程組的解。
2.學會用類比的方法遷移知識，感受數學知識間的系統性和連貫性。
3.經歷觀察、對比等過程，培養學生歸納概括的能力，體會實際生活中數學的價值。
學習重點：掌握二元一次方程、二元一次方程組的基本概念，理解二元一次方程組解的意義
學習難點：能根據實際情況列出正確的二元一次方程組，能正確判斷一組解是否是二元一次方程組的解
預習自測
1.若方程ax-3y=2x+6是二元一次方程，則a必須滿足（ ）
A．a≠2 B．a≠-2 C．a=2 D．a=0
2.下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x-2y=4z B．6xy+9=0 C．4x=y-1 D．
3.養牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購進20頭大牛和35頭小牛，這時1天約用飼料1250kg．求每頭大牛和小牛1天各約用飼料多少千克？設每頭大牛和小牛1天各約用飼料xkg和ykg，則可列二元一次方程組為（　　）
A.
B.
C.
D.
教學過程
一、問題提出、導入新課
《孫子算經》是我國古代重要的數學著作，成書于公元 400年前后，傳本共有上、中、下三
卷 . 下卷有許多著名數學題，如第 31 題就是有趣的“雞兔同籠”問題：有若干只雞兔同在一
個籠子里，從上面數有 35 個頭，從下面數有 94只腳. 問籠中各有多少只雞和兔？
（1） 找出上述趣題中的等量關系；
（2） 適當設未知數，列出一元一次方程.
二、合作交流、新知探究
探究一：二元一次方程、二元一次方程組
教材第117頁
思考：前面我們已經知道本章3. 1節的“雞兔同籠”趣題中存在兩個等量關系，并運用一元一次方程知識予以解決.若設兔有x只，雞有y只，你能根據兩個等量關系列出兩個方程嗎？列出的方程還是一元一次方程嗎？
該“雞兔同籠”趣題中存在的等量關系：
設兔有x只，雞有y只，則根據上述兩個等量關系可列出以下兩個方程：
想一想：列出的方程還是一元一次方程嗎？他們有什么區別呢？
探究二：二元一次方程組的解
教材第118頁
做一做：對于二元一次方程組
（1）把滿足方程①，且符合問題的實際意義的x，y的值填入下表：
x …
y …
（2）上表中存在哪對x，y的值滿足方程②嗎？若有，請指出.
練一練：小玲在文具店買了 3 本練習本，2 支圓珠筆，共花去 17 元，其中購買練習本比圓珠筆多花1元.
（1）設練習本的單價是 x 元，圓珠筆的單價是 y 元，試列出相應的二元一次方程組.
（2）是列出的二元一次方程組的一個解嗎？
三、自主檢測
1.若方程mx-2y=3x+4是關于、的二元一次方程，則m的取值范圍是（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m≠-3 D．m≠2
2.方程3x－y＝1寫成用含x的代數式表示y的形式為__________________
3.寫出二元一次方程2x+3y=20的所有的正整數解是___________________
4.一根長80厘米的彈簧，一端固定，如果另一端掛上物體，那么在正常情況下物體的質量每增加1千克可使彈簧增長2厘米．
（1）正常情況下，當掛著千克的物體時，彈簧的長度是多少厘米？
（2）正常情況下，當掛物體的質量為6千克時，彈簧的長度是多少厘米？
（3）正常情況下，當彈簧的長度是120厘米時，所掛物體的質量是多少千克？
（4）如果彈簧的長度超過了150厘米時，彈簧就失去彈性，問此彈簧能否掛質量為40千克的物體？為什么？
5.你知道數學中的整體思想嗎 解題中，若把注意力和著眼點放在問題的整體上，多方位思考、聯想、探究，進行整體思考、整體加減，能使問題迅速獲解.
例題：已知x2+xy=4，xy+y2=-1.求代數式x2-y2的值.
解：將兩式相減，得(x2+xy)-(xy+y2)=4-(-1)，即x2-y2=5；請用整體思想解答下列問題：
（1）在例題的基礎上求(x+y)2的值；
（2）若關于x、y的二元一次方程組的解也是二元一次方程x+y=6的解，求k的值.
知識點總結
1.二元一次方程：含有兩個未知數，并且含未知數的項的次數都是1的方程.
2.二元一次方程組：只含有兩個未知數，并且含未知數的項的次數都是 1 的方程組.
3.二元一次方程的解:使二元一次方程左右兩邊的值相等的兩個未知數的值.
(注意：一個二元一次方程一般有無數組解.)
4.方程組的一個解：對于未知數為 x，y的二元一次方程組，若x，y分別用數，代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把（ ，）叫作這個方程組的一個解.習慣上記作
5.解方程組：求方程組的解的過程.
答案
預習自測
1.【答案】A
【解析】方程ax-3y=2x+6是二元一次方程，移向得ax-3y-2x-6=0，合并同類項目得（a-2）x-3y-6=0，由二元一次方程定義可知x系數不能為0，即a-2≠0，即a≠2，故選A
2.【答案】C
【解析】A、3x-2y=4z是三元一次方程，故本選項錯誤；B、6xy+9=0是二元二次方程，故本選項錯誤；C、x在分母上，不是二元一次方程，故本選項錯誤；D、4x=y是二元一次方程，故本選項正確.故選D.
3.【答案】C
【解析】【解析】
① 設每頭大牛每天用飼料x kg，每頭小牛每天用飼料ykg。根據題意，原有30頭大牛和15頭小牛，每天的飼料消耗為675 kg，可以列出第一個方程:30x+15y=675
② 一周后，養牛場購進了20頭大牛和35頭小牛，此時大牛總數為30 -20 = 50頭，小牛總數為15+ 35 = 50頭。此時每天的飼料消耗為1250 kg,可以列出第二個方程:50x+50y=1250
③ 整理第二個方程，可以將其簡化為:x+y=25
④ 結合第一個方程30x+15y=675，我們可以通過代入法或消元法解這個方程組，最終求出x和y的值。
自主檢測
1.【答案】B
【解析】方程mx-2y=3x+4是二元一次方程，移向得mx-2y-3x-4=0，合并同類項目得（m-3）x-2y-4=0，由二元一次方程定義可知x系數不能為0，即m-3≠0，即m≠3，故選B
2.【答案】y＝3x－1
【解析】移項即可得到答案
3.【答案】，，
【解析】非負整數解，即x,y的值都為非負整數;因此從y=0開始查找，將y=0代入方程，解方程，得x=10;依次將y=1，y=2,……···，y=6分別代入;當y=7時x=停止查找，將符合條件的整數解列出即可
4.【答案】（1）彈簧的長度是（80+2x）厘米；（2）92厘米；（3）20千克．（4）此彈簧不能掛質量為40千克的物體．
【解析】（1）由題意得：y=80+2x（2）∵y=80+2x∴當x=6時，y=80+2×6=92（3）∵y=80+2x，∴當y=120時，120=80+2x ∴x=20（4）∵y=80+2x ∴當x=40時，y=80+2×40=160（厘米）＞150（厘米） ∴此彈簧不能掛質量為40千克的物體．
5.【答案】（1）3 （2）3
【解析】（1）∵x2+xy=4，xy+y2=-1 ∴x2+xy+xy+y2=4-1 ∴(x+y)2=3
（2） ①-②得：4x-x+y+2y=10k-4k ∴3x+3y=6k ∴x+y=2k ∵x+y=6 ∴2k=6 ∴k=3
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