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第八章 立體幾何初步
8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式，能夠使用公式計算這些幾何體以及它們的組合體的表面積和體積；
2.通過研究圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式，滲透轉化、類比、一般化與特殊化等數學思想方法；
3.通過研究球的體積公式，使學生體會極限的數學思想以及利用極限方法解決數學問題的一般思路.
重點：柱體、錐體、臺體、球的表面積公式和體積公式.
難點：球的體積公式的推導.
（一）創設情境
在我們實際生活中，經常會遇到求表面積和體積的實際需求，比如，計算一桶礦泉水的容積、計算裝飾蒙古包圓錐型頂棚需要多少材料、圓臺型花盆的容積，等等，都是求基本旋轉體的表面積和體積的問題.這些問題如何解決呢？
說一說：前面已經學習了多面體的表面積與體積公式，那么該如何推導圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式？
要求：讓學生自由發言，教師不做判斷，而是引導學生進一步觀察研探.
師生活動：教師引導學生回憶之前或能夠想到的研究求體積與表面積公式的方法.
設計意圖：通過引導學生小初階段探究圓柱圓錐體積、表面積相關方法；探究棱柱、棱錐、棱臺等求體積和面積的方法引出對本節課方法的思考.
（二）探究新知
任務1：探究圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式及它們之間的聯系
思考：如何求圓柱、圓錐、圓臺的表面積呢？
師生活動：引導學生回顧小學、初中所學相關推導方法，讓同學們小組內交流，并匯報展示.
我們之前知道，
圓柱的側面展開圖是矩形，其側面積是
圓錐的側面展開圖是扇形，其側面積是
圓臺可以看成是大圓錐截去一個小圓錐所得，其側面積為
圓柱、圓錐、圓臺表面積公式：
(r是底面半徑，l是母線長)
(r是底面半徑，l是母線長)
(、r分別是上、下底面半徑，l是母線長)
設計意圖：通過學生自主回憶得出圓柱、圓錐表面積公式，推導得出圓臺表面積公式，提高學生數學邏輯思維.
思考2：圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式和它們的結構特征有怎樣的關系呢？
要求：以小組為單位進行討論交流，并展示所得結論.
答：當圓臺的上底面縮小成一個點，即，圓臺的表面積公式就轉化成圓錐的表面積公式；當圓臺的上底面擴大到和下底面全等時，即，圓臺的表面積公式就轉化成圓柱的表面積公式.
任務2：圓柱、圓錐、圓臺體積公式及之間的關系
思考1：類比棱臺的體積公式的計算方法，棱臺的體積公式是如何推導的？圓柱、圓錐的體積公式分別是什么？
答：由于棱臺是由棱錐截成的，利用兩個棱錐的體積差，得到棱臺的體積公式
(r是底面半徑，h是高)
(r是底面半徑，h是高)
說一說：該如何推導圓臺的體積公式.
答：
圓錐的高，圓錐的高
公式也可表示為：
（S為底面積，為柱體高）；
（S為底面積，為錐體高）
（分別為上、下底面面積，為臺體高）
思考2：類比探究圓柱、圓錐、圓臺表面積公式之間的關系，它們體積公式之間有類似的特征嗎？
答：圓臺的體積公式中，當和即和，圓臺的體積公式分別與圓錐、圓柱的體積公式相同.
任務3：球的表面積公式和體積公式
師生活動：先讓學生看課本，引導學生回答下列問題
極限思想是重要的數學思想，球的體積公式是和如何利用這一思想推導出來的？
答：通過無限切割球體，轉化為計算棱錐體積進而得到.
把球O分成n個小網格，連接球心和每個小網格的頂點，整個球體被分割成n個小錐體.
當n越大，每個小錐體的底面越平，就越近似于棱錐，
小錐體體積為：
n個小椎體底面積之和就近似為球體表面積，即
球的體積就是這n個 “小錐體”的體積之和，
其體積為.
球的表面積和體積公式：球的半徑R，
設計意圖：利用無限切割的方法推導球的體積，滲透極限思想，使學生體會極限思想以及利用極限方法解決問題的基本思路.
（三）應用舉例
例1圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積比.
思考：圓柱和球相關聯的關鍵紐帶是什么？
答：球的直徑、圓柱底面直徑、圓柱的高三個量相等，可以設為2R
解：設球的半徑R，則圓柱的底面半徑R，高2R，
設計意圖：通過思考和運用球和圓柱的體積公式，發現球的體積與圓柱的體積有內在聯系，提高數學運算和空間想象數學學科素養.
例2如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱粘合而成，半球的直徑是0.3 m，圓柱高0.6 m．如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
思考：該如何求浮囊的表面積？
答：浮囊的表面積為圓柱的側面積和兩個半球即一個球的表面積之和
解：一個浮標的表面積為2×0.15×0.6＋4×0.152＝0.8478（）
所以給1000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料0.8478×0.5×1000＝423.9（kg）．
設計意圖：通過球和圓柱組合體涉及表面積求法的舉例，一方面熟悉球和圓柱的表面積，另一方面培養學生解決實際問題的能力.
例3.如圖四邊形為梯形，，，，，，圖中陰影部分梯形剪去一個扇形繞旋轉一周形成一個旋轉體．
求該旋轉體的表面積；
求該旋轉體的體積．
思考：上圖旋轉后形成了怎樣的幾何體？
答：形成的幾何體為中間去掉了半個球的圓臺，球的半徑為圓臺上底面圓的半徑.
解：該旋轉體為一個圓臺從上面挖去一個半球，圓臺的上下底面半徑為，，高為，半球的半徑為，
所以圓臺的母線長為，
所以， ，
所以該旋轉體的表面積為.
，
所以該旋轉體的體積為．
總結：求圓柱、圓錐和圓臺的側面積和表面積，時常借助軸截面來求上、下底面半徑和母線長.
例4如圖一個透明的球形裝飾品內放置了兩個具有公共底面的圓錐，且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上，如圖，已知大圓錐軸截面是等邊三角形，設球的半徑為，圓錐底面半徑為．
試確定與的關系
若小圓錐、大圓錐的側面積為、，球的表面積為，求；
求出兩個圓錐的總體積即體積之和與球的體積之比．
解：由幾何體的特征知為直角三角形，
又大圓錐軸截面為等邊三角形，
，
，，
，
球心到圓錐底面的距離，
所以，小圓錐高為，
所以，小圓錐母線長為，
大圓錐母線長為，
；
；
；
．
由可得兩個圓錐的體積和為：，球的體積為：，
故兩個圓錐的體積之和與球的體積之比為：．
總結： 與球有關的組合體一般有兩類：
一是與球內接的組合體，在此類組合體中，球心與多面體頂點的連線是半徑；
二是與球外切的組合體，在這一類組合體中，球心與各切點的連線是半徑，在解答與球有關的組合體問題時，要注意這些半徑的應用.
（四）課堂練習
1.已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱側棱垂直于底面且底面為正方形的四棱柱的高為，這個球的表面積為，則這個正四棱柱的體積為( )
A. B. C. D.
解：，
設正四棱柱的底面邊長為
可知球的直徑為正四棱柱的對角線長，
所以 ，因此正四棱柱的體積為 ，
選B．
2.圓臺的上、下底面半徑和高的比為，母線長為，則圓臺的側面積為( )
A. B. C. D.
解：圓臺的上、下底面半徑和高的比為：：，
母線長為，設圓臺上底面的半徑為，
則下底面半徑和高分別為和，
由 得，，
故圓臺的側面積等于，
故選：．
3.已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為( )
A. B. C. D.
解：設圓錐底面圓半徑為，球的半徑為，
由題意知，圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，球的截面是該等邊三角形的內切圓，
所以，，
，
所以球與圓錐的表面積之比為．
故選B．
4.民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺的立體結構圖．已知．底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積是( )
A. B. C. D.
解：由題意可得圓錐體的母線長為，
所以圓錐體的側面積為，
圓柱體的側面積為，圓柱的底面面積為，
所以此陀螺的表面積為，
故選：．
5.已知圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若該球的表面積為，則圓柱的側面積為 ．
解：設球的半徑為，
因為球的表面積，
所以，
所以圓柱的底面直徑與高都為，
所以圓柱的側面積：．
故答案為：．
6. 如圖，在底面半徑為，母線長為的圓錐中內接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積．
解：設圓錐的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，表面積為，
底面半徑為，母線長為的圓錐的高為，
則圓柱的上底面為中截面，可得 ，
，
故．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
(1)圓臺的表面積公式是什么？它是如何推導出來的？
(2)圓臺的體積公式是什么？是如何推導出來的？
(3)圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間，體積公式之間有什么關系？
(4)球的表面積公式是什么？是如何推導出來的？

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