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第八章 立體幾何初步
8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
1.通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握它們的表面積與體積的公式,并能簡單應用.
2.利用表面積與體積公式能解決實際問題，并培養學生的實際應用能力.
3.通過學習感受一般化與特殊化、極限等數學思想方法，提高邏輯推理、直觀想象等素養和空間想象等能力.
重點：棱臺的表面積和體積公式．
難點：棱臺、棱錐的體積公式的推導．
（一）創設情境
國家游泳中心俗稱水立方，場館外觀如同一個冰晶狀的立方體，造型簡潔現代.金字塔的造型是一個三棱錐，占地面積五萬二千平方公尺，這些物體的表面積和體積是怎么計算的呢？我們一起探究一下吧.
（二）探究新知
任務1：探究棱柱、棱錐、棱臺的表面積公式.
思考：如何求一個多面體的表面積？如何求棱柱、棱錐、棱臺的表面積呢？它們的展開圖是怎樣的呢？
小組討論：
1.先獨立思考，再小組內進行討論分享.
2.以小組形式匯報展示組內觀點與結論,其他小組認證傾聽之后進行點評.
答：將多面體的各個面的面積相加即可.
說一說：下面都是棱長為a的立體圖形，這些幾何體的表面積分別是多少？
提示：以上幾何體的各個面是什么形狀，面積是怎么計算的呢？
答：
思考：直棱柱、正棱錐、正棱臺的表面積如何計算呢？有更加簡單的辦法嗎？
設計意圖：通過對之前知識的梳理，明確這節課要突破和學習的重點知識內容.
任務2：探究棱柱、棱錐、棱臺的體積公式.
我們以前學習過正方體、長方體的體積公式.它們分別是什么？對柱體而言，又該如何求體積呢？
師生活動：回顧舊知識，直觀回答柱體的體積公式.
答：(a是正方體的邊長)
(a,b,c分別是長方體的長、寬、高)
設棱柱的底面積是S，高是h,
總結：對于直棱柱的體積等于底面積乘以高，側棱柱的體積可以轉化為直棱柱來解決，利用垂直于高的截面的面積乘以高即可.
棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這一點與垂足之間的距離.
思考：棱錐的體積計算公式是什么呢？
答：一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么棱柱的體積是棱錐的體積的3倍. 設棱錐的底面積是S，高是h, .
棱錐的高是指從頂點向地面作垂線，頂點與垂足之間的距離.
設計意圖：從熟悉的正方體和長方體的體積公式，得到一般的柱體的的體積計算公式，用類比的思想，由特殊到一般，發展學生的數學抽象的素養.
思考：棱臺是由棱錐截成的，可以利用兩個棱錐的體積查，得到棱臺的體積計算公式.大家能自己推導一下么？
師生活動：畫示意圖，利用相似，引導學生獨立推導.
答：以三棱臺為例，設
，，
，，
，，
說一說：棱柱、棱錐、棱臺的體積它們之間有什么關系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結構 來解釋這種關系嗎？
答：當棱臺的上底面擴大到與下底面全等時，即,
棱臺公式轉化成了棱柱公式. 當棱臺的上底面縮小到一個點時，即，棱臺的體積公式轉化為棱錐的體積公式.
設計意圖：使學生思考棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關系，這種關系的產生的原因，以及與自身結構特征之間的聯系，培養學生思考、歸納、總結等數學學習習慣和能力，讓學生理解體會到轉化的思想方法.
（三）應用舉例
例1：一個漏斗的上部分是長方體，下面部分是一個四棱錐，兩個部分的高都是0.5，公共面ABCD是邊長為1的正方形，那么漏斗的容積是多少？
解：
總結：解決計算組合體的體積的相關問題，重要的環節是可以將組合體的體積轉化為基本幾何體的體積，將未知向已知轉化.
例2 四棱臺的上、下底面均是正四邊形，邊長分別是6cm和10cm，側面是全等的等腰梯形高是12cm，求它的表面積？
解：如圖所示，正四棱臺A1B1C1D1-ABCD中A1B1＝6 cm，AB＝10 cm，
取A1B1的中點E1，AB的中點E，則E1E為斜高.
∴
∴，
，
，
總結：求多面體的表面積時，一般先分析展開圖，將展開圖的面積分割成規則圖形面積計算即可.對于正棱臺，側面展開圖是有若干個等腰梯形組成.
設計意圖：感受簡單幾何體及其組合體的體積的求法，應用公式解決簡單的實際問題.
（五）歸納總結
【課堂小結】回顧本節課的內容，你都學到了什么？
（1）本節課我們學習了哪些知識？（2）本節課我們掌握了哪些思想方法？
設計意圖：通過對之前知識的梳理，提高學生總結概括能力，明確這節課要突破和學習的重點知識內容.

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