資源簡介

8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
一、學情分析
學生在前幾節課學習了棱柱、棱錐、棱臺的概念和結構特征，也學習了用斜二測畫法畫出立體圖形的直觀圖，具有了基本的空間想象能力.本節課通過對棱柱、棱錐、棱臺表面積和體積的學習,使學生對簡單組合體表面組成和內部結構有更深入地理解，同時培養學生類比推理、空間想象能力、數學運算等數學能力.
二、教學目標
（一）、通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握它們的表面積和體積的公式及其求法；
（二）、掌握與多面體相關的簡單組合體的表面積與體積的求法，并能夠解決一些有關的實際問題；
（三）、通過學習逐步培養學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.
三、教學重難點
重點：棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的公式的理解及其應用；
難點：實際生活中與多面體相關的簡單組合體的表面積與體積的求法.
四、教學過程
（一）復習回顧
問題1：前面我們學習了棱柱、棱錐、棱臺的有關概念，大家還記得
它們的結構特征嗎？
師生活動：學生回憶思考回答棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，對于回答不全面的可以有其他同學補充.
設計意圖：通過學生共同回憶所提問題，加深對棱柱、棱錐、棱臺的機構特征的理解，便于后面教學中公式推導的理解.
（二）、棱柱、棱錐、棱臺的表面積
從而引入本節課的內容，如何求這些多面體的表面積和體積呢？
問題2.還記得我們如何求正方體的表面積嗎？
師生活動：教師引導，學生思考、討論，得出正方體的表面積可以通過求其展開圖的面積的方法求解.
（三）類比形成概念
多面體表面積：多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.
問題3：棱柱、棱錐、棱臺的展開圖分別是怎樣的？
師生活動：首先讓學生思考，討論，回答展開圖形式.然后通過動畫展示三棱柱、三棱錐、四棱臺的展開圖.
設計意圖：讓學生更好理解它們的表面積有哪些平面圖形組成，提高學生空間想象能力.
例1 如圖已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體P-ABC，求它的表面積．
追問：正四面體的展開圖是怎樣的？如何求展開圖每部分的面積？
解:因為△PBC是正三角形，其邊長為a，所以因此，四面體P-ABC的表面積
（四）新知引入
問題4：你還記得正方體、長方體，以及圓柱的體積計算公式嗎？
師生活動：通過回憶得到正方體、長方體、圓柱的
體積公式是V=Sh.
追問：該公式能否推廣到一般的柱體？
（五）實驗探究——祖暅原理
問題5: 取一摞書放在桌面上，并改變它們的位置，高度、書中每頁紙面積和順序不變，觀察改變前后的體積是否發生變化？
師生活動：學生思考，討論，根據圖形能直觀理解體積沒有發生變化，教師引導學生進行知識的遷移，有特殊到一般的轉化.
設計意圖：通過此實驗可以形象的理解祖暅原理.
祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”
夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.
( 必修2(1) / 14空間幾何體的體積 / 祖暅原理.gsp )
祖暅簡介：我國古代著名數學家祖沖之在計算圓周率等問題方面有光輝的成就.祖沖之的兒子祖暅也在數學上有突出貢獻.祖暅在實踐的基礎上，于5世紀末提出了這個體積計算原理.祖暅提出這個原理，要比其他國家的數學家早一千多年.在歐洲直到17世紀，才有意大利數學家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598年--1647年）提出上述結論.
（六）棱柱體積公式
一般地，如果棱柱的底面面積為S，高為h，那么這個棱柱的
體積 V=Sh
棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離.
特別的，直棱柱的側棱垂直于底面，故側棱長即為直棱柱的高.
（七）棱柱與棱錐體積關系
問題6：一個三棱柱可以分割成幾個三棱錐？
師生互動：學生小組討論如何分割三棱柱，教師引導它們每部分什么關系？它們相等嗎？如何證明？最后學生討論得到結論.
設計意圖：通過三棱柱和三棱錐的體積關系，從而更好的接受棱柱和棱錐的體積關系.
（八）棱錐的體積公式
一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么這個棱錐的體積公式V=Sh
棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離.
（九）棱臺的體積公式
棱臺的體積公式
其中S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高.
棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離.
（十）棱柱、棱錐、棱臺體積關系
問題7： 棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間有什么關系？你用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來解釋這種關系嗎？
師生活動：學生討論，思考.教師引導極限思維考慮.
設計意圖：使學生建立棱柱、棱錐、棱臺的體積之間關系的認識.
（十一）公式的應用
割補法——割
割補法——補
例3. 某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到的. 如果被截正方體的棱長是50cm，那么石凳的體積是多少立方米？
如圖示，由題意知正方體的棱長為0.5m，則有
∴這個石凳的體積為
五、課堂小結
六、課后作業
（一）.習題8.3復習鞏固1-8題
（二）.觀察校園里都有哪些簡單組合體，你能求它們的表面積和體積嗎？

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