資源簡介

第八章 立體幾何初步
8.2 立體圖形的直觀圖
第2課時
1.利用斜二測畫法畫出常見立體圖形的平面直觀圖，培養學生的空間想象能力.
2.經歷長方體、圓柱、圓錐、球等幾何體的直觀圖的畫法，培養學生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力，幫助學生提升直觀想象和空間觀念等學科素養.
重點：畫常見幾何體和組合體的直觀圖.
難點：根據直觀圖能夠求出圖形的相關長度和面積等.
(一)創設情境
前面我們認識了柱體、錐體、臺體、球以及簡單組合體的結構特征，為了將這些空間幾何體畫在紙上，用平面圖形表示出來，使我們能夠根據平面圖形想象空間幾何體的形狀和結構，這就需要利用斜二測畫法畫出幾何體的平面直觀圖.
如圖，下面幾何體的直觀圖是怎樣的呢
設計意圖：教師通過提問，讓學生意識到，畫幾何體直觀圖是我們生活中解決立體圖形相關問題的必備能力.
復習回顧：
前面我們學習了斜二測畫法，利用這種畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟是怎樣的？比如，如何畫下面這個圖形的直觀圖呢？
作圖步驟：
(1)畫軸：畫直觀圖時，先畫出和軸,且（或），它們確定的平面表示水平面.
(2)畫線：將平行于x、y軸的線段，畫成平行于和軸的線段.且平行于x軸的線段保持原長度不變；平行于y軸的線段長度變為原來的一半.
(3)連線成圖：將確定的圖形的端點順次連接，形成所要畫的圖形.
設計意圖：通過復習本節課涉及的重要知識點，順利過渡到本節課的學習.
（二）探究新知
任務1：探究立體圖形的直觀圖的畫法
思考：(1)我們已經學會了利用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖，那么立體圖形
的直觀圖如何畫呢？如何畫出下圖所示包裝箱的直觀圖呢？
小組討論：
1.先獨立思考，再小組內進行討論分享.
2.以小組形式匯報展示組內觀點與結論,其他小組認證傾聽之后進行點評.
答案：
需要畫一個與x、y軸都垂直的z軸，而且平行于z軸的線段保持平行性和長度都不變.
具體畫法：
(1)畫軸：畫x、y、z軸，使∠xoy=45°∠xoz=90°.
(2)畫底面：利用斜二測畫法畫出包裝盒的底面ABCD.
(3)畫側棱：過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上截取包裝盒的高，畫出4條側棱.
(4)成圖：順次連接A1, B1 ,C1, D1，即可得到直觀圖.
設計意圖：通過生活中的例子，引入長方體直觀圖的畫法，我們可以得到所有直棱柱直觀圖的畫法，讓學生體會特殊到一般的思想.
任務2：探究圓柱、圓錐、球等直觀圖的畫法
思考：如何畫圓柱、圓錐、球等的直觀圖呢？
小組討論：
1.先獨立思考，再小組內進行討論分享.
2.以小組形式匯報展示組內觀點與結論,其他小組認證傾聽之后進行點評.
答案：
方法總結如下：
（三）應用舉例
例1 已知長方體的長、寬、高分別為3、2、1.5，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.
小組討論：
1.先獨立思考，再小組內進行討論分享.
2.以小組形式匯報展示組內觀點與結論,其他小組認證傾聽之后進行點評.
提示：哪些長度保持不變,哪些長度變為一半？
長、高不變，寬變為原來的一半.
解：畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O(A)，使; 按照畫底面、畫側棱、成圖的步驟作圖即可.
設計意圖：長方體是最典型的空間幾何體，畫它的直觀圖，可以較為完整的呈現斜二測畫法畫直棱柱的直觀圖過程，長方體直觀圖畫法也可以遷移到直棱柱直觀圖的畫法.
例2：已知圓柱的底面半徑為1，母線為3，畫出它的直觀圖.并保留痕跡.
思考：圓柱直觀圖的底面是什么圖形？圓柱直觀圖的底面是橢圓.
解：按照畫軸、畫下底面、畫上底面、畫母線、成圖的步驟即可完成.如下圖：
總結：畫幾何體的直觀圖時，如果不要求保留要求，可以將坐標系擦除．
例3：一個幾何體的三視圖如圖所示，畫出它的直觀圖.
解：(1)畫圓錐的底面.
(2)畫球的輪廓線大圓，注意與圓錐底面橢圓長軸相切
(3)確定圓錐的頂點，畫出圓錐的母線，畫球過球心的截面圓，以襯托球的立體感，從而得到這個幾何體的直觀圖.
總結：空間幾何體的三視圖與直觀圖有密切聯系. 三視圖從細節上刻畫了空間幾何體的結構，根據三視圖可以得到一個精確的空間幾何體， 直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫.
例4：某簡單組合體由上下兩部分組成，下部是一個圓柱，上部是一個圓錐，圓錐的底面與圓柱的上底面重合．
解：先畫出圓柱的上下底面，再在圓柱和圓錐共同的軸線上確定圓錐的頂點，最后畫出圓柱和圓錐的母線，并標注相關字母，就得到該幾何體的直觀圖（如圖）
總結：畫組合體的直觀圖，先要分析它的結構特征，知道其中有哪些簡單幾何體以及它們的組合方式，然后再畫直觀圖．
設計意圖：通過例題講解，讓學生熟悉簡單組合體和常見的幾何體的直觀圖的畫圖方法．
（四）課堂練習
1.如圖所示，表示水平放置的的直觀圖，在軸上，和軸垂直，且，則的邊上的高為( )
A. B. C. D.
解：設 的邊 上的高為 ，因為 ，
所以 ，又 ，所以 ．
故選：．
2.關于斜二測畫法，下列說法正確的是( )
A. 在原圖中平行的直線，在對應的直觀圖中仍然平行
B. 若一個多邊形的面積為，則在對應直觀圖中的面積為
C. 一個梯形的直觀圖仍然是梯形
D. 在原圖中互相垂直的兩條直線在對應的直觀圖中不再垂直
解：對于，根據斜二測畫法知，直觀圖中平行關系不會改變，A正確；
對于，對于平面多邊形，不妨以三角形為例，
如圖，
在中， ，其面積 ，
在其直觀圖圖中，
作 ，則直觀圖的面積
，
因為平面多邊形可由若干個三角形拼接而成，
在直觀圖中，每個三角形的面積都為原三角形面積的 ，
故平面多邊形直觀圖的面積也為原來平面多邊形面積為 ，B正確；
對于，梯形的上、下底平行且長度不相等，在直觀圖中，兩底仍然平行，且長度不相等，
故一個梯形的直觀圖仍然是梯形，C正確；
對于，空間幾何體的直觀圖中，在原圖中互相垂直的兩條直線在對應的直觀圖中可以垂直，如長方體的長和高，D錯誤．
故選：．
3.已知矩形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，若其直觀圖的面積為，則矩形的周長可以為 ．
解：設矩形的長與寬分別為，，
根據斜二測畫法可知，
直觀圖的面積與原圖的面積之間滿足，即，所以，
則，當且僅當時取得等號，
所以矩形周長的最小值為，
故矩形的周長可以為，，等．
故答案為答案不唯一，大于或等于即可
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固所學知識，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，回答下面問題.
本節課我們學習了哪些知識？
本節課我們掌握了幾種常見的平面直觀圖的畫法以及具體的畫圖步驟.
設計意圖：通過對之前知識的梳理，提高學生總結概括能力，明確這節課要突破和學習的重點知識內容.第八章 立體幾何初步
8.2 立體圖形的直觀圖
第1課時
1.了解斜二測畫法的概念并掌握斜二測畫法的步驟；
2.會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形的直觀圖.
重點：平面圖形的斜二測畫法的步驟；
難點：用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖
（一）創設情境
在日常生活中你注意過大家是怎樣畫立體圖形的嗎？
師生活動：師生分享日常生活所看到的立體圖形的平面圖.
設計意圖：一方面通過了解生活中的數學，以增加學生對數學興趣.另外可以為深入研究提供直觀感受.
（二）探究新知
任務1：探究平面圖形的斜二測畫法.
思考1：矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么形狀？眺望遠處成塊的農田，矩形的農田在我們眼里又是什么形狀？
答：通常情況下是一些平行四邊形.
師生活動：獨立觀察思考，回答想法.
思考2：矩形的投影一定是一個平行四邊形嗎？想一想，一個物體的投影與哪些因素有關？
說一說：同學們把一本書分別在點光源、平行光源下的投影，然后旋轉書繼續觀察投影，說一說你觀察到了哪些有趣的現象.
答：不一定；物體的投影不僅與物體的形狀有關，而且還與投影的方式和物體與投影面的位置關系有關.
師生活動：小組內討論并匯報結論.
要求：1.認真先觀察，并做好記錄；
2小組內討論，補充完整自己的記錄.
3.分析、討論、總結并匯報結論.
設計意圖：通過學生自主回憶、思考、相互討論養成勤于探索的習慣，林一方面認識到投影受到諸多因素的影響.
思考3：如果一個矩形垂直于投影面，投影線不垂直投影面，那么矩形的投影是什么形狀？
答：平行四邊形
設計意圖：讓學生體會在平行投影所畫出的直觀圖，既保持了空間圖形的直觀性，又能很好的反映幾何特征.
斜二測畫法的步驟：
(1)在已知圖形中取互相垂直的x和y軸，兩軸相交于O.畫直觀圖時，畫成對應的和軸,且使得（或），它們確定的平面表示水平面.
(2)已知圖形中平行于x和y軸的線段，直觀圖中畫成平行于和軸的線段.
(3)已知圖形中平行于x軸的線段，直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，直觀圖中長度為原來的一半.
總結：可以總結為畫軸、畫線、取長度三步；
所謂斜二測畫法，是指軸不是直角，且兩軸上的測度是不同的，是兩種“測度”.
做一做：根據上述步驟，用斜二測畫法畫出水平放置的正方形ABCD的直觀圖.
師生活動：學生根據以上步驟，逐步操作，老師指導，強調容易出錯的點.
橫向線段
縱向線段
想一想：如何畫圓的直觀圖呢？
答：一般用橢圓作為圓的直觀圖，可以用橢圓模板來畫.
設計意圖：讓學生了解常用的方法還有正等測畫法.
（三）應用舉例
例1用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.
畫法：（1）在正方形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，它的垂直平分線MN為y軸，兩軸相交于O.畫相應的和軸，兩軸相交于，使得
(2)以為中點，在軸上取，在軸上,以點為中點，分別作和平行于x軸，并且
(3)連接，擦去輔助線和軸，便得到了正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖.
注意：
（1）在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當的坐標系是關鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點；
（2）畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段（平行性不變），與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段.
設計意圖：通過思考和運用斜二測畫法步驟實際操作，熟悉斜二測畫法的實際應用.
例2用斜二測畫法畫邊長為4 cm的水平置的正三角形ABC的直觀圖.
解：（1）如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立直角坐標系
（2）畫對應的和軸,且使得
（3）在軸上截取 ,在軸上截取，連接，，則三角形為正三角形ABC的直觀圖.
設計意圖：進一步體會常見簡單平面圖形的斜二測畫法.
例3：如圖所示，梯形是水平放置的四邊形根據斜二測畫法得到的直觀圖，其中，，，
畫出原四邊形；
分別求出原四邊形與梯形的面積．
解：如圖，建立平面直角坐標系，
在軸上截取，．
在過點的軸的平行線上截取．
在過點的軸的平行線上截取，連接，
即可得到原四邊形．
原四邊形是直角梯形，且，，．
所以其面積為．易得直觀圖中梯形的高為，
又，，所以其面積為．
注意：在還原平面圖的時候，要先找到與軸、軸平行的直線或線段，注意與軸平行的線段還原的時候要乘以2，找到相應端點，即可還原圖形.
（四）課堂練習
1.利用斜二測畫法得到的：
三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；
正方形的直觀圖是正方形；菱形的直觀圖是菱形．
以上結論，正確的是( )
A. B. C. D.
2.用斜二測畫法作出一個三角形的直觀圖，則原三角形面積是直觀圖面積的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
3.如圖所示，矩形是水平放置一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 一般的平行四邊形
4.等腰梯形中，上底，腰，下底，以下底所在直線為軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖的面積為 ．
5.如圖，是用“斜二測畫法”畫出的直觀圖，其中，，那么的周長是 ．
答案
1. 解：由斜二測畫法規則知：正確；平行性不變，故正確；正方形的直觀圖是平行四邊形，錯誤；因為在軸上或平行于軸的線段長減半，在軸或平行于軸的線段長不變，故錯誤．
故選A．
2. 解：以三角形的一邊為軸，高所在的直線為軸，
由斜二測畫法知，三角形的底長度不變，高所在的直線為軸，長度減半，
所以三角形的高變為原來的，
所以直觀圖中三角形面積是原三角形面積的，
即原三角形面積是直觀圖面積的倍．
故選：．
3. 解：矩形是一個平面圖形的直觀圖，其中，，
又，，
在直觀圖中，，高為，，
．原圖形是菱形．
故選：．
4.解：如圖所示，
，，
，因為，所以，所以，在直觀圖中，
．
故答案為．
5. 解：把直觀圖還原出原圖形，如圖所示：
則，
，所以的面積是．
故答案為：．
（五）歸納總結
【課堂小結】回顧本節課的內容，你都學到了什么？
常見的直觀圖都有哪些畫法？
斜二測畫法的步驟有哪三步？
用斜二測畫法畫平面圖形要注意哪些問題？
設計意圖：讓學生回顧本節課知識點，建立知識與知識之間的聯系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認識.

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