資源簡介

《正弦定理》教學設計
【背景介紹】
《正弦定理》選自人教A版必修第二冊第六章第四節平面向量的應用，本節課是該小節的第3課時．根據課程標準，教材把解三角形從以下三部分展開：正弦定理與余弦定理、解三角形及應用舉例．本章主要是定量地揭示三角形邊角之間的數量關系．正弦定理與余弦定理是三角函數和三角恒等變形的延伸，是三角函數與平面幾何的完美結合．教材強調學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握三角形中的邊長和角度之間的數學量化思想，發揮學生的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的探究過程、再創造過程．本節是解三角形內容的開始，通過初中對直角三角形邊角關系的研究發現正弦定理這一優美對稱的關系式，經歷由特殊到一般的歸納思想，體會發現數學規律的一般思路．因此，本課有著開啟全章，為進一步通過解三角形解決與測量和幾何計算有關的實際問題打基礎的作用．
【教學目標】
1．知識與技能
①從特殊三角形的邊角關系出發，通過對任意三角形邊長和角度的關系探索，掌握正弦定理的內容及證明方法；
②會應用正弦定理解決解三角形的基本問題．
2．過程與方法
①讓學生從已有的幾何知識出發，探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，體驗正弦定理的發現過程；
②引導學生觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，體會發現數學規律的一般思路．
3．情感態度與價值觀
①培養學生通過合情推理探索數學規律的思想方法，通過平面幾何、三角函數、正弦定理、平面向量等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一；
②通過學生課堂展示，增強學生的協作能力和交流表達能力，發展學生的創新意識，培養邏輯推理、數學建模、數學運算等數學核心素養．
4．現代教育技術
①利用幾何畫板制作動態演示課件，促進學生對問題本質的理解；
②學生獨立應用科學計算器等其他計算工具進行三角函數值的相關計算．
【教學重點、難點】
教學重點：正弦定理的發現及生成過程．
教學難點：利用正弦定理解三角形．
【學情分析】
作為教學對象的學生是學習主體，為了突出學生的主體的地位，教師須全面研究學生，理解學生．
1．認識結構
經過半年多時間的學習，學生對數學概念及思維方法的認識水平有了較大提高．但不同層次的學生之間仍存在著較大的差距，尤其表現在對知識的探究、聯想、遷移能力上．在新課中，運用了生活中的實例，多媒體動畫效果，引導學生思維的“上路”，讓學生主動參與探究過程．
2．情感結構
隨著年齡的增大，閱歷的豐富，高中學生自主意識的增強，有獨立思考問題、發現問題的能力．在學生的探索活動中，主動通過設疑、質疑、提示等啟發示手段，幫助他們分析問題，激發學生的學習的興趣．
【教學媒體】
多媒體網絡教室、幾何畫板、GGB軟件、科學計算器．
【教學方法】
本節課的教學重點是正弦定理的生成過程，因此主要采用 “動眼看、動腦想、動手推、動口說”的探究式教學方法，增加了學生自主參與度，給學生充分合作交流的機會，教給學生獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學生真正成為教學的主體，使學生“學”有所“思”，“思”有新“得”，“練”有所“獲”，讓學生產生學習的成就感，激發學生的學習興趣．
【教學流程】
針對本節課的內容的重點和難點，結合學生已有的認知水平，將采取創設情境→嘗試探究→抽象概括的教學思路，具體教學流程如圖1．
圖1
【教學過程】
創設情境，提出問題
我國古代有嫦娥奔月的神話故事,明月高懸，我們仰望星空，會有無限的遐想，不禁會問：月亮離地球究竟有多遠呢？
教師活動1：建立模型，提出問題，可轉化為三角形邊與角的數量關系的求解。
設計意圖：借助現代教育技術，讓學生體會到科技的發展對數學學習的重要促進作用．
教師活動：像這樣，已知三角形的某些邊和角，求其余的邊和角的過程就是本章我們將要研究的解三角形，本節課我們共同來學習正弦定理.（書寫課題）
設計意圖：自然合理地提出問題，從實際問題入手，凸顯時代氣息，使課堂教學充滿樂趣，讓所學知識“活”起來，營造出輕松愉悅的學習氛圍．學生從中體會到本章所研究問題是從生活中來，到生活中去．
溫故知新
三角形內角和？三角形的三邊關系？三角形的邊角關系？
嘗試探究，提出猜想
探究活動1：直角三角形的邊與角的數量關系
如圖所示，在中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.
若是直角三角形，不妨取：
則，從而，
又因為，所以，
所以.
若是等邊三角形，因為，上述優美的關系式無疑也是成立的．
對于一般的三角形，上述優美的關系式還成立嗎？
教師活動：根據剛剛的微課講解，對于一般的三角形，大家能否大膽提出一個普遍性的規律？
探究活動2：斜三角形的邊角關系
學生活動：在中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即：．
教師活動：GGB軟件演示對于一般的三角形也滿足上述等式 。
設計意圖：利用GGB軟件這一新興的學習方式，通過對特殊三角形——直角三角形和等邊三角形邊角關系的研究，鼓勵學生大膽提出猜想，滲透由特殊到一般的數學思想方法．
（三）學生展示，生成定理
學生課前自主探究，從不同的角度證明上述猜想，教師為學生的展示提供支持和評價．
學生活動：我是利用三角函數的定義來證明上述關系式的．
如下圖所示，過點作于，
在中，，在中，，
從而，即，同理可證，
所猜想的關系式得證.如下圖所示，如果是鈍角三角形，過點所作的高在三角形的外部，在中，，與銳角的情況是一致的．
教師活動：點評：綜合兩位同學的方法，充分利用三角函數的定義、誘導公式等現有知識解決問題，將復雜問題轉化為簡單問題，將未知問題轉化為已知問題．
學生活動：由剛才的證明方法，我發現三角形的高可以轉化成邊與角的正弦值的乘積．先作出三條邊上的高，，，結合誘導公式，不論三角形是銳角、直角還是鈍角三角形，都有：
，，，
從而，
同除以，即得．
教師活動：點評：不僅利用等面積法達到了證明的目的，而且還得到了三角形面積計算公式——只需求得三角形任意兩邊及其夾角即可．
教師活動：點評：不僅達到了證明的目的，而且三角形邊與對角正弦值之比的幾何意義——三角形外接圓半徑的2倍（直徑）．
學生活動8：我采用向量法來證明，在中，以為原點，以射線的方向為軸正方向建立如圖10所示的平面直角坐標系．點在軸上的射影為，則與在軸正方向上的射影相同，分別為：
，　　
，
所以，即，
同理可證該優美關系式成立．　　　　　 　　　　　　　　　
教師活動：大家有沒有發現這種方法證明過程中的漏洞？如果為銳角或者直角時，還能得到同樣的結論嗎？把這個問題作為課后思考題，大家繼續探究．
教師活動：點評：該方法充分利用平面向量這一工具，體現了不同知識之間的普遍聯系和辯證統一．
抽象概括：
正弦定理：在三角形中，各邊和它所對角的正弦值之比相等，即
（紅筆書寫）
設計意圖：教師鼓勵學生從不同的角度展示正弦定理的生成過程，加強新舊知識間的聯系，注重形成新知識的探究過程．雖然學生提供了四種方法，但這些方法都蘊含著解直角三角形的思想，即將斜三角形直角化．
教師活動：簡單介紹與正弦定理相關的數學文化：
關于正弦定理的發現歷史，一般認為是中世紀阿拉伯數學家、天文學家阿布瓦法（Abul-Wefa，940~998）提出并證明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的證明最先是納綏爾丁-圖西（Nasiral-Dinal-Tusi,1201~1274）給出的．我國清代數學家梅文鼎（1633~1721）在他的著作《平三角舉要》中也給出了證明，而且還給出了正弦定理的完整形式．
設計意圖：通過滲透數學史的內容，讓學生得到數學美的熏陶，激發學生學習科學文化知識的熱情，體會到數學的發展歷程中，所有的數學人，不分國界，不分時代，共同推動著數學不斷向前．
（四）強化理解，簡單應用
教師活動：正弦定理是解三角形的重要工具，下面，我們應用該定理來解決課前提出的地球與月亮之間距離的問題．示范解題過程：
設計意圖：學生自主探索應用正弦定理解決“已知兩角及任意一條邊”解三角形的過程，完整感受正弦定理的兩個典型應用．
（五）課堂小結，拓展提升
教師引導學生從以下四個方面小結本節課的主要內容：（1）正弦定理的生成過程；（2）由特殊到一般的思想方法；（3）數學建模；（4）正弦定理的簡單應用．
教師活動14：布置作業
自主探究題：
（1）用向量法證明時，若三角形是銳角或鈍角三角形，該如何思考；
（2）若臺風侵襲半徑不斷變化，請給出解決問題的思路．
作業本：課本47頁練習1．
附 板書設計
創設情境
，
提出問題
嘗試探究
，
提出猜想
學生展示
，
生成定理
強化理解，簡單應用
第二章 解三角形
1.1正弦定理
（預留書寫定理內容） 成果4：
學生探究成果展示：
成果1： 例1：（教師示范解題過程）
成果2： 隨堂練習：（學生獨立完成）
成果3：
9

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