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重難點突破01 三角函數中有關ω的范圍問題
1.在區間內沒有零點
同理，在區間內沒有零點
2.在區間內有個零點
同理在區間內有個零點
3. 在區間內有個零點
同理在區間內有個零點
4. 已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5.已知單調區間，則.
一．選擇題（共20小題）
1．（2023 鷹潭一模）設函數在區間恰有3個極值點，2個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函數在區間恰有3個極值點，2個零點，
即函數在區間恰有3個極值點，且方程有2個解．
，，，求得．
故選：．
2．（2023 鎮安縣校級模擬）若函數在區間上單調遞減，則正數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據在區間上單調遞減，
得，
可得，
又由，
必有，
可得，
即正數的取值范圍為，．
故選：．
3．（2023 全國一模）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．
【解答】解：由題意有，可得，
又由，
必有，
可得，即實數的取值范圍為，．
故選：．
4．（2023 河北模擬）已知，函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是　　
A． B．， C． D．
【解答】解：由，得，，
即函數的單調遞減區間為，
令，則函數其中一個的單調遞減區間為：，
函數在區間內單調遞減，
則滿足，得，所以的取值范圍是．
故選：．
5．（2023 河南模擬）已知函數在，上恰有3個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得，
因為，，所以，
則，解得．
故選：．
6．（2023 麒麟區校級二模）已知函數，的圖象在區間內至多存在3條對稱軸，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函數的圖象在區間內至多存在3條對稱軸，
，，，．
故選：．
7．（2023 安陽模擬）已知函數在，上有且僅有2個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：
，
當，時，，
在，內有且僅有2個零點，
，，
的取值范圍是．
故選：．
8．（2023 玉樹州模擬）已知函數，則關于說法錯誤的是　　
A．的圖象向右平移個單位長度后所得的函數為
B．的圖象與的圖象關于軸對稱
C．的單調遞減區間為
D．在，上有3個零點，則實數的取值范圍是
【解答】解：．
對于選項，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，選項正確；
對于選項，，
與圖象關于軸對稱，選項正確；
對于，由，，得，，
即的單調遞減區間為，選項正確；
對于，如圖為的圖象，
由圖可知，在，上有3個零點，則，解得，
選項錯誤．
故選：．
9．（2023 金華模擬）已知函數在，上有且僅有2個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
因為在，上僅有2個零點，
當，時，，
所以，解得．
故選：．
10．（2023 武功縣校級模擬）將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像，若在上為增函數，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為向右平移個單位，得到函數，
所以，
令，則在，，上單調遞增，
因為在上為增函數，故由，，得，即，
所以在上為增函數，故，，
當時，，
所以由得，故，
所以，即．
故選：．
11．（2023 武功縣校級模擬）把函數的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象，若為偶函數，則在上的取值范圍為　　
A． B． C． D．，
【解答】解：函數的圖象向右平移個單位長度得到，
由于是偶函數，所以，
由于，所以，
所以，
由于，所以，，所以．
故選：．
12．（2023 北海一模）已知函數，將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，已知在，上恰有5個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，令，由題意在，上恰有5個零點，即在上恰有5個不相等的實根，由的性質可得，解得．
故選：．
13．（2023 雁塔區校級三模）已知函數，其中．若在區間上單調遞增，則的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：，
函數在區間內單調遞增，
，
，
，
，
若在區間上單調遞增，
則，
解得，
當時，，
當時，，
當取其它值時不滿足，
的取值范圍為，
故選：．
14．（2023 秦淮區一模）已知函數圖象與函數圖象相鄰的三個交點依次為，，，且是銳角三角形，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：作出函數和的圖象，
如圖所示：
由圖可知，取的中點，連接，則，
因為是銳角三角形，
所以，
則，即，
由，得，，
即，，
則，即點的縱坐標為，
故，
因為，
所以，
所以．
故選：．
15．（2023 涪城區校級模擬）已知函數在區間內單調遞減，則實數的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
【解答】解：，，，
，，，
在區間內單調遞減，，，，
，
故實數的取值范圍是，，
故選：．
16．（2023 成都模擬）將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象．若在上有且僅有3個極值點，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可知，，
，
．
又在上有且僅有3個極值點，
，
解得，
的取值范圍為：．
故選：．
17．（2023 綿陽模擬）將的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，再向右平移個單位長度，得到的圖象，若在上單調遞增，則正數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：將的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象，
再向右平移個單位長度，得到的圖象．
，
由，，
得，
的增區間為，
若在上單調遞增，則，
且，且，
又，當時，，即的取值范圍是．
故選：．
18．（2023 鯉城區校級模擬）已知函數在區間內沒有零點，但有極值點，則的取值范圍　　
A． B． C． D．
【解答】解：，其中（取為銳角），
，其中（取為銳角），
設，由，可得．
在區間內沒有零點，但有極值點時，，可得．
所以．
因為，，所以．
所以，
所以在上的最大值在取得，故．
又
，
，
所以的取值范圍是．
故選：．
19．（2023 成都模擬）已知函數，，若在區間內沒有零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
時，，
要想在區間內無零點，
則要滿足，解得，
要想不等式組有解，則要，解得，故或0，
當時，，解得，
當時，，解得，
則的取值范圍是．
故選：．
20．（2023 湖濱區三模）已知函數，其中，若函數滿足以下條件：
①函數在區間上是單調函數；
②對任意恒成立；
③經過點的任意直線與函數恒有交點，則的取值范圍是　　
A．，， B．
C． D．
【解答】解：，且，
，
①若函數在區間上是單調函數，
則，由，可得，
當，可得；
當時，可得，
，，；
②若對任意恒成立；則，
，
③若經過點的任意直線與函數恒有交點，
則，，，
，，，
，，
①當時，則，
②當時，則，
的取值范圍是，，．
故選：．
二．多選題（共5小題）
21．（2023 懷仁市校級三模）已知函數，若函數的圖象在區間，上的最高點和最低點共有6個，下列說法正確的是　　
A．在，上有且僅有5個零點
B．在，上有且僅有3個極大值點
C．的取值范圍是
D．的取值范圍是
【解答】解：，
由，，
則，
函數的圖象在區間，上的最高點和最低點共有6個，
，
解得，
的取值范圍是，，
函數的圖象在區間，上的最高點和最低點共有6個，
在，上有5個零點或6個零點，只有3個極大值．
故選：．
22．（2022 海淀區校級模擬）設函數，，下列說法正確的是　　
A．當時，的圖象關于直線對稱
B．當時，在，上是增函數
C．若在，上的最小值為，則的取值范圍為
D．若在，上恰有2個零點，則的取值范圍為
【解答】解：對于函數，，
當時，令，求得，為最大值，
故的圖象關于直線對稱，故正確；
當時，，，在，上不單調，故錯誤；
若在，上的最小值為，
且，，
故有，則，故正確；
若在，上恰有2個零點，且，，
則有，則的取值范圍為，，故錯誤，
故選：．
23．（2022 韶關模擬）已知函數，則下列結論中正確的是　　
A．若，則將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱
B．若，且的最小值為，則
C．若在，上單調遞增，則的取值范圍為，
D．若在，有且僅有3個零點，則的取值范圍是
【解答】解：函數，，
若，則，把的圖象向左平移個單位長度后，
得到的圖象關于原點對稱，故正確；
若，且的最小值為，則，故正確；
若在，上單調遞增，，，，
求得，則的取值范圍為，，故錯誤；
若在，有且僅有3個零點，，，，
，故錯誤，
故選：．
24．（2023 東莞市模擬）已知，函數，下列選項正確的有　　
A．若的最小正周期，則
B．當時，函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象
C．若在區間上單調遞增，則的取值范圍是
D．若在區間上只有一個零點，則的取值范圍是
【解答】解：由余弦函數圖象與性質，可得，得，故正確；
當時，可得，
將函數的圖象向右平移個單位長度后得，故錯誤；
若在區間上單調遞增，則，
解得，
又因為，所以只有當時，此不等式有解，即，故正確；
若在區間上只有一個零點，則，解得，故正確．
故選：．
25．（2023 鎮江三模）已知函數，則　　
A．若在區間，上為增函數，則實數的取值范圍是
B．若在區間，上有兩個零點，則實數的取值范圍是
C．若在區間，上有且僅有一個極大值，則實數的取值范圍是
D．若在區間，上有且僅有一個最大值，則實數的取值范圍是
【解答】解：選項，當，時，，若此時為增函數，
則有，解得，故正確；
選項，當，時，，若在此區間上由兩個零點，
則有，解得，故錯誤；
選項，當，時，，若在此區間上有且僅有一個極大值，
則有，解得，故正確；
選項，當，時，，若在此區間上有且僅有一個最大值，
則有，解得，故錯誤．
故選：．
三．填空題（共5小題）
26．（2023 河南模擬）先將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，所得圖象與函數的圖象關于軸對稱，若函數在上恰有兩個零點，且在上單調遞增，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：先將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，得到的圖象，
所得圖象與函數的圖象關于軸對稱，
故．
函數在上恰有兩個零點，故，解得．
求函數的單調遞增區間，
需滿足，
整理得．
因為函數在上單調遞增，
所以，
所以，解得，
故的取值范圍是．
故答案為：．
27．（2023 新高考Ⅰ）已知函數在區間，有且僅有3個零點，則的取值范圍是 　，　．
【解答】解：，，函數的周期為，，可得，
函數在區間，有且僅有3個零點，
可得，
所以．
故答案為：，．
28．（2023 佛山一模）已知函數（其中，．為的最小正周期，且滿足．若函數在區間上恰有2個極值點，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：由題意可得：的最小正周期，
，且，則為的一條對稱軸，
，解得，
又，則，
故，
，則，
若函數在區間上恰有2個極值點，則，解得，
故的取值范圍是．
故答案為：．
29．（2023 重慶模擬）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的函數的圖象關于點對稱，且在區間上單調遞增，則　　，實數的取值范圍是 　　．
【解答】解：將函數的圖象向右平移個單位長度，
得到的函數的圖象關于點對稱，
，即，
因為，則，
若，則，
在區間上單調遞增，，
當，，
，且，
即，且，；
若，則，
在區間上單調遞增，
，
當，，
，且，
即且，故；
綜上可得，，．
故答案為：；．
30．（2023 閔行區校級一模）已知，若在上恰有兩個不相等的實數、滿足（a）（b），則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：因為，所以，
因為在上恰有兩個不相等的實數、滿足（a）（b），且，
所以，函數在上恰有兩個最大值點，
所以，，解得，
因此，實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
四．解答題（共5小題）
31．（2023 亭湖區校級三模）已知函數的值域為，．
（1）求的單調遞增區間；
（2）若在上恰有一個零點，求的取值范圍．
【解答】解：
，
令，則，，
又，在，上單調遞增，
故由題意有：，解得，
，
當，時，單調遞增，
解得，，
即的單調遞增區間為，；
（2）由（1）知，，
，當，時，，，
結合正弦函數的圖象可知：
當，即時，
函數在區間，上恰有一個零點，
故的取值范圍是，．
32．（2023 洪山區校級模擬）已知函數，點是圖像上的一個最高點，、為圖像的兩個對稱中心，面積的最小值為．
（1）求的值；
（2）在區間，上有20個極值點，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）的最小正周期為，
，
又面積的最小值為，
，解得．
（2）由（1）知，，
當，時，，
在區間，上有20個極值點，
，解得，
實數的取值范圍是，．
33．（2023 全國二模）已知函數的部分圖像如圖所示，其中的圖像與軸的一個交點的橫坐標為．
（1）求這個函數的解析式；
（2）若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）由圖知：，所以，所以，
所以，
由，且，
所以，
所以；
（2）令得：，
對于，，
則，
由的圖像和性質可得：在區間上的值域為，
所以函數在區間上存在零點，有．
34．（2023 香坊區校級三模）已知函數，其圖像的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，_____，從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中．
①函數的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像關于軸對稱且；
②函數的圖像的一個對稱中心為且．
（1）求函數的解析式；
（2）將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有3個零點，求的取值范圍．
【解答】解：（1）
，
由于其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，
故，即，即，得，
則．
若選①，函數的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像關于軸對稱且，
則，
此時函數關于軸對稱，則，，
得，，
，當時，，當時，．
，，則，
則成立，不成立，舍去．
則．
若選②，函數的圖像的一個對稱中心為且．
則，，
得，，
，當時，，
當時，．
，，
當時，不成立，
故成立，則．
（2）將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，
則，
，，，，，
函數在區間上恰有3個零點，
，得，
得，
即實數的取值范圍是，．
35．（2023 桃城區校級一模）已知同時滿足下列四個條件中的三個：
①；
②的圖象可以由的圖象平移得到；
③相鄰兩條對稱軸之間的距離為；
④最大值為2．
（1）請指出這三個條件，并說明理由；
（2）若曲線的對稱軸只有一條落在區間，上，求的取值范圍．
【解答】解：（1）對于條件②，，
若函數的圖象可以由的圖象平移得到，
則，
由條件③相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可得的最小正周期為，
可得，與②矛盾；
對于條件④最大值為2，可得與②矛盾，
故只能舍棄條件②，
所以這三個條件為①③④．
（2）由（1）可得，
由條件①，可得，又，
所以，所以，
令，，可得，，
時，，
時，，
時，，
又曲線的對稱軸只有一條落在區間，上，
所以，
即的取值范圍是，．重難點突破01 三角函數中有關ω的范圍問題
1.在區間內沒有零點
同理，在區間內沒有零點
2.在區間內有個零點
同理在區間內有個零點
3. 在區間內有個零點
同理在區間內有個零點
4. 已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5.已知單調區間，則.
一．選擇題（共20小題）
1．（2023 鷹潭一模）設函數在區間恰有3個極值點，2個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
2．（2023 鎮安縣校級模擬）若函數在區間上單調遞減，則正數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
3．（2023 全國一模）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．
4．（2023 河北模擬）已知，函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是　　
A． B．， C． D．
5．（2023 河南模擬）已知函數在，上恰有3個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
6．（2023 麒麟區校級二模）已知函數，的圖象在區間內至多存在3條對稱軸，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
7．（2023 安陽模擬）已知函數在，上有且僅有2個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
8．（2023 玉樹州模擬）已知函數，則關于說法錯誤的是　　
A．的圖象向右平移個單位長度后所得的函數為
B．的圖象與的圖象關于軸對稱
C．的單調遞減區間為
D．在，上有3個零點，則實數的取值范圍是
9．（2023 金華模擬）已知函數在，上有且僅有2個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
10．（2023 武功縣校級模擬）將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像，若在上為增函數，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
11．（2023 武功縣校級模擬）把函數的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象，若為偶函數，則在上的取值范圍為　　
A． B． C． D．，
12．（2023 北海一模）已知函數，將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，已知在，上恰有5個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
13．（2023 雁塔區校級三模）已知函數，其中．若在區間上單調遞增，則的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
14．（2023 秦淮區一模）已知函數圖象與函數圖象相鄰的三個交點依次為，，，且是銳角三角形，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
15．（2023 涪城區校級模擬）已知函數在區間內單調遞減，則實數的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
16．（2023 成都模擬）將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象．若在上有且僅有3個極值點，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
17．（2023 綿陽模擬）將的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，再向右平移個單位長度，得到的圖象，若在上單調遞增，則正數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
18．（2023 鯉城區校級模擬）已知函數在區間內沒有零點，但有極值點，則的取值范圍　　
A． B． C． D．
19．（2023 成都模擬）已知函數，，若在區間內沒有零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
20．（2023 湖濱區三模）已知函數，其中，若函數滿足以下條件：
①函數在區間上是單調函數；
②對任意恒成立；
③經過點的任意直線與函數恒有交點，則的取值范圍是　　
A．，， B．
C． D．
二．多選題（共5小題）
21．（2023 懷仁市校級三模）已知函數，若函數的圖象在區間，上的最高點和最低點共有6個，下列說法正確的是　　
A．在，上有且僅有5個零點
B．在，上有且僅有3個極大值點
C．的取值范圍是
D．的取值范圍是
22．（2022 海淀區校級模擬）設函數，，下列說法正確的是　　
A．當時，的圖象關于直線對稱
B．當時，在，上是增函數
C．若在，上的最小值為，則的取值范圍為
D．若在，上恰有2個零點，則的取值范圍為
23．（2022 韶關模擬）已知函數，則下列結論中正確的是　　
A．若，則將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱
B．若，且的最小值為，則
C．若在，上單調遞增，則的取值范圍為，
D．若在，有且僅有3個零點，則的取值范圍是
24．（2023 東莞市模擬）已知，函數，下列選項正確的有　　
A．若的最小正周期，則
B．當時，函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象
C．若在區間上單調遞增，則的取值范圍是
D．若在區間上只有一個零點，則的取值范圍是
25．（2023 鎮江三模）已知函數，則　　
A．若在區間，上為增函數，則實數的取值范圍是
B．若在區間，上有兩個零點，則實數的取值范圍是
C．若在區間，上有且僅有一個極大值，則實數的取值范圍是
D．若在區間，上有且僅有一個最大值，則實數的取值范圍是
三．填空題（共5小題）
26．（2023 河南模擬）先將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，所得圖象與函數的圖象關于軸對稱，若函數在上恰有兩個零點，且在上單調遞增，則的取值范圍是 ．
27．（2023 新高考Ⅰ）已知函數在區間，有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
28．（2023 佛山一模）已知函數（其中，．為的最小正周期，且滿足．若函數在區間上恰有2個極值點，則的取值范圍是 ．
29．（2023 重慶模擬）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的函數的圖象關于點對稱，且在區間上單調遞增，則 ，實數的取值范圍是 ．
30．（2023 閔行區校級一模）已知，若在上恰有兩個不相等的實數、滿足（a）（b），則實數的取值范圍是 ．
四．解答題（共5小題）
31．（2023 亭湖區校級三模）已知函數的值域為，．
（1）求的單調遞增區間；
（2）若在上恰有一個零點，求的取值范圍．
32．（2023 洪山區校級模擬）已知函數，點是圖像上的一個最高點，、為圖像的兩個對稱中心，面積的最小值為．
（1）求的值；
（2）在區間，上有20個極值點，求實數的取值范圍．
33．（2023 全國二模）已知函數的部分圖像如圖所示，其中的圖像與軸的一個交點的橫坐標為．
（1）求這個函數的解析式；
（2）若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍．
34．（2023 香坊區校級三模）已知函數
，其圖像的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，_____，從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中．
①函數的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像關于軸對稱且；
②函數的圖像的一個對稱中心為且．
（1）求函數的解析式；
（2）將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有3個零點，求的取值范圍．
35．（2023 桃城區校級一模）已知同時滿足下列四個條件中的三個：
①；
②的圖象可以由的圖象平移得到；
③相鄰兩條對稱軸之間的距離為；
④最大值為2．
（1）請指出這三個條件，并說明理由；
（2）若曲線的對稱軸只有一條落在區間，上，求的取值范圍．重難點突破02 三角函數大題專項訓練
1．（2023 成都模擬）已知函數，（下面①，②中選擇一個作為已知條件，解答問題：
（1）求的值；
（2）將的圖象向右平移個單位得到的圖象，求函數的單調增區間．
①的最大值為2；②．
注：如果選擇①和②分別解答，則按第一個解答計分．
【解答】解：（1）
，，
若選①，因為函數的最大值為2，即，，可得；
若選②，，即，由可得，
解得：；
綜上所述：；
（2）由（1）可得，則，，當時，，
所以函數，
由題意可得，
則它的單調遞增區間滿足，，解得：，．
即函數的單調遞增區間為：，，．
2．（2023 湖南模擬）函數的部分圖象如圖所示．
（1）求函數的解析式；
（2）先將函數的圖象的橫坐標縮小為原來的，再將得到的函數圖象向左平移個單位，最后得到函數，求在區間上的值域．
【解答】解：（1）由圖可知，，
函數的最小正周期為，
，
，
，
，
則，
，則，
故；
（2）將函數的圖象的橫坐標縮小為原來的，可得到函數的圖象，
再將得到的函數圖象向左平移個單位，最后得到函數的圖象，
則，
當時，，
則，
，
在區間上的值域為．
3．（2023 岳陽縣模擬）已知函數部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，求函數在區間上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由圖可知，，，，
所以．
當時，，可得．
求的解析式為：；
（2）由（1）知．
將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，
故，
，
當，即時，有最大值為1；
當，即時，有最小值為；
4．（2023 南昌二模）如圖是函數的部分圖象，已知．
（1）求；
（2）若，求．
【解答】解：（1）設，，函數的最小正周期為，則，
則，
故，解得（負值舍去），
所以，所以；
（2）由（1）得，
，得，
即，
所以，
又因，則，
所以，所以．
5．（2023 大觀區校級三模）已知函數．
（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）求在區間，上的最值．
【解答】解：（Ⅰ）．
函數的單調遞增區間為，解得，，，
的單調遞增區間為，
（Ⅱ）因為，，所以．
當，即時，，
當，即時，．
6．（2023 廣州三模）已知函數，．
（1）若函數圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求的單調增區間；
（2）若函數的圖象關于對稱，且函數在上單調，求的值．
【解答】解：（1）函數的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，，
，．
令，，求得，，
可得它的增區間為，，．
（2）若函數的圖象關于對稱，
則，，，，
由函數在上單調，，，，
求得．
綜上可得，．
7．（2023 亭湖區校級三模）已知函數的值域為，．
（1）求的單調遞增區間；
（2）若在上恰有一個零點，求的取值范圍．
【解答】解：
，
令，則，，
又，在，上單調遞增，
故由題意有：，解得，
，
當，時，單調遞增，
解得，，
即的單調遞增區間為，；
（2）由（1）知，，
，當，時，，，
結合正弦函數的圖象可知：
當，即時，
函數在區間，上恰有一個零點，
故的取值范圍是，．
8．（2023 安康一模）已知函數的部分圖象如圖所示．
（1）求函數的解析式；
（2）將函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象．當時，方程恰有三個不相等的實數根，，，，求實數的取值范圍以及的值．
【解答】解：（1）由圖可得：，得：，
又，所以，所以，
所以．
又因為過點，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以．
（2）圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到，
將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到，
當時，，
令，則，
令，在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，
且，，
所以，時，．當時，方程恰有三個不相等的實數根．
因為有三個不同的實數根，，，
且，關于對稱，，關于對稱，
則，
兩式相加得：，
即，所以．
9．（2023 青羊區校級模擬）已知函數的最小正周期為，且，
（1）求，；
（2）將圖象往右平移個單位后得函數，求的最大值及這時值的集合．
【解答】解：（1）函數的最小正周期為，．
再根據，，．
（2）將的圖象往右平移個單位后得函數的圖象，
故．
當取得最大值1時，
由，，求得，，
故當取得最大值時，值的集合為，．
10．（2023 豐臺區一模）已知函數，的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）若函數，求在區間上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由圖象可知：，
，
將點代入得，
，，
，
，
；；
（2），
由得，
當時，即，，
當時，即．
11．（2023 順義區一模）已知函數的一個零點為．
（1）求和函數的最小正周期；
（2）當時，若恒成立，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）的一個零點為，
，
，，
；
（2）當時，，，，，
，
，即，．
12．（2023 全國二模）已知函數的部分圖像如圖所示，其中的圖像與軸的一個交點的橫坐標為．
（1）求這個函數的解析式；
（2）若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）由圖知：，所以，所以，
所以，
由，且，
所以，
所以；
（2）令得：，
對于，，
則，
由的圖像和性質可得：在區間上的值域為，
所以函數在區間上存在零點，有．
13．（2023 香洲區校級模擬）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖某摩天輪的最高點距離地面的高度為90米，最低點距離地面10米，摩天輪上均勻設置了36個座艙（如圖，開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉動，游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙，摩天輪轉完一周后在相同的位置離開座艙摩天輪轉一周需要30分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．
（1）經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數關系式滿足（其中，，，求摩天輪轉動一周的解析式；
（2）問：游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度恰好為30米？
【解答】解：（1）（其中，，，
由題意知：，
，
故，
，
，
又，
，
，
故解析式為：，，；
（2）令，則，即，
因為，，則，
所以或，
解得或，
故游客甲坐上摩天輪5分鐘或25分鐘時，距離地面的高度恰好為30米．
14．（2023 桃城區校級模擬）如圖，，是以原點為圓心的單位圓上的兩個動點，若它們同時從點出發，沿逆時針方向做勻角速度運動，其角速度分別為（單位：弧度秒），為線段的中點，記經過秒后（其中，．
（1）求的函數解析式；
（2）將圖像上的各點均向右平移2個單位長度，得到的圖像，求函數的單調遞減區間．
【解答】解：（1），是以原點為圓心的單位圓上的兩個動點，它們同時從點出發，沿逆時針方向做勻角速度運動，其角速度分別為（單位：弧度秒），
經過秒后（其中，
則．
因為，
所以，
所以，
所以．
即．
（2）依題意可知
由，得，
故函數在，上的單調遞減區間為，．
15．（2023 南通三模）將函數的圖象先向右平移個單位長度，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象．
（1）若，求函數在區間上的最大值；
（2）若函數在區間上沒有零點，求的取值范圍．
【解答】解：（1）函數的圖象先向右平移個單位長度，則解析式變為：，
再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），則解析式變為，
則，
當時，，
因函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，，
，
在區間上的最大值為；
（2），當時，，
要使在上無零點，則，．
，，，，
當時，；當時，，
當時，舍去．
綜上：的取值范圍為．
16．（2023 海淀區校級三模）已知函數．在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定和值的兩個條件作為已知．
（1）求的值；
（2）若函數在區間，上是增函數，求實數的最大值．
條件①：；
條件②：最大值與最小值之和為0；
條件③：最小正周期為．
【解答】解：（1）若選條件①③：
由條件③得，，又因為，
所以，
由①知，，所以．
則，
所以；
（2）令，
所以，
所以函數的單調增區間為，
因為函數在區間，上單調遞增，且，此時，
所以，故的最大值為；
選條件②③：
由于最小正周期為，
所以，，
由最大值與最小值之和為0，，
故，
解得，
所以，
故；
（2）解法同選條件①③：
令，
所以，
所以函數的單調增區間為，
因為函數在區間，上單調遞增，且，此時，
所以，故的最大值為．
說明：不可以選擇條件①②：
由①知，，所以；
由②知，，所以，矛盾，
所以函數不能同時滿足條件①和②．
17．（2023 建華區校級三模）已知函數在區間上單調，其中，，且．
（1）求的圖象的一個對稱中心的坐標；
（2）若點在函數的圖象上，求函數的表達式．
【解答】解：（1）由函數在區間上單調，
且，可知，
故的圖象的一個對稱中心的坐標為；
（2）由點在函數的圖象上，
有，又由，
，
可知函數在區間上單調遞減，
由函數的圖象和性質，
有，
又，有，
將上面兩式相加，有，
有，
又由，可得，
則，
又由函數在區間上單調，
有，可得，可得，
故．
18．（2023 松江區校級模擬）設．
（1）求的單調遞增區間及對稱中心；
（2）當時，，求的值．
【解答】解：（1）由題意得：，
由，可得，
所以的單調遞增區間是，
令，，解得：，，此時函數值為，
所以對稱中心為；
（2），
，
，，
當時，，
，，
．
19．（2023 香坊區校級三模）已知函數，其圖像的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，_____，從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中．
①函數的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像關于軸對稱且；
②函數的圖像的一個對稱中心為且．
（1）求函數的解析式；
（2）將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有3個零點，求的取值范圍．
【解答】解：（1）
，
由于其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，
故，即，即，得，
則．
若選①，函數的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像關于軸對稱且，
則，
此時函數關于軸對稱，則，，
得，，
，當時，，當時，．
，，則，
則成立，不成立，舍去．
則．
若選②，函數的圖像的一個對稱中心為且．
則，，
得，，
，當時，，
當時，．
，，
當時，不成立，
故成立，則．
（2）將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，
則，
，，，，，
函數在區間上恰有3個零點，
，得，
得，
即實數的取值范圍是，．
20．（2023 重慶模擬）已知將函數的圖像向左平移個單位長度后得到函數的圖像關于原點中心對稱．
（1）求函數的解析式；
（2）若三角形滿足是邊上的兩點，且，求三角形面積的取值范圍．
【解答】解：（1）由已知化簡得，
，
由得，，，
又，，，
（2）易得，
由①，②，
又，，
將①②式并結合，可得：，
以所在直線為軸，以中垂線為軸建立直角坐標系，
則，，
設，則由可得：點的軌跡方程為，
即，當時，取到最大值，
根據幾何關系易知三角形面積的取值范圍為．
21．（2023 桃城區校級一模）已知同時滿足下列四個條件中的三個：
①；
②的圖象可以由的圖象平移得到；
③相鄰兩條對稱軸之間的距離為；
④最大值為2．
（1）請指出這三個條件，并說明理由；
（2）若曲線的對稱軸只有一條落在區間，上，求的取值范圍．
【解答】解：（1）對于條件②，，
若函數的圖象可以由的圖象平移得到，
則，
由條件③相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可得的最小正周期為，
可得，與②矛盾；
對于條件④最大值為2，可得與②矛盾，
故只能舍棄條件②，
所以這三個條件為①③④．
（2）由（1）可得，
由條件①，可得，又，
所以，所以，
令，，可得，，
時，，
時，，
時，，
又曲線的對稱軸只有一條落在區間，上，
所以，
即的取值范圍是，．
22．（2023 賀蘭縣校級四模）已知函數．
再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數的解析式的兩個作為已知．
條件①：函數的最小正周期為；
條件②：函數的圖象經過點；
條件③：函數的最大值為．
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函數在區間，上有且僅有1個零點，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由題可知，
，
選擇①②：
因為，所以，
又因為，所以．
所以．
當，即時，，
所以函數的最小值為．
選擇①③：
因為，所以，
又因為函數的最大值為，所以．
所以，
當，即時，．
所以函數的最小值為．
選擇②③：因為，所以．
又因為函數的最大值為，所以，與矛盾，不符合題意．
（2）選擇①②：
因為，，所以，
又因為在區間，上有且僅有1個零點，
所以，所以，所以．
選擇①③：
因為，，所以，
又因為在區間，上有且僅有1個零點，
又時，或，
所以，所以，所以．
23．（2023 南崗區校級三模）已知函數，的圖像是由的圖像向左平移個單位長度得到的．
（1）若的最小正周期為，求圖像的對稱軸中心，與軸距離最近的對稱軸的方程；
（2）若圖像相鄰兩個對稱中心之間的距離大于且，求在上的值域．
【解答】解：（1）函數的圖象是由的圖象向左平移個單位長度得到，
，
，且，，
若的最小正周期為，
，，，
，．
令，可得，，
，求得，，對稱中心，，，
取，可得與軸距離最近的對稱軸方程為；
（2）若圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離，則，
且，
．
結合，，可得，
，
當，，，
，，，，
故在的值域為，．
24．（2023 賀蘭縣校級模擬）已知函數，且滿足_____．
（1）求函數的解析式及最小正周期；
（2）若關于的方程在區間，上有兩個不同解，求實數的取值范圍．
從①的最大值為1，②的圖象過點，這兩個條件中選擇一個，補充在上面問題中并作答．（注：如果兩個條件都選分別解答，按第一個解答計分．
【解答】解：（1）函數
，
若滿足①的最大值為1，則，解得，
所以；
的最小正周期為；
若滿足②，因為的圖象過點，，
所以，
所以，
所以，
最小正周期．
（2）令，得，
解得，；
即，；
若關于的方程在區間，上有兩個不同解，則或；
所以實數的取值范圍是，．
25．（2023 鼓樓區校級一模）已知函數在一個周期內的圖象如圖所示．
（1）求函數的表達式；
（2）把的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變），再把得到的圖象向下平移一個單位，再向左平移個單位，得到函數的圖象，若，求函數的值域．
【解答】解：（1）根據函數圖象可得，，，，
，得，，
又，，
，，，得，，
又，，；
（2）把的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變）得到，
再向下平移一個單位得到，
再向左平移個單位得到，，
當時，，
又函數在上單調遞增，在上單調遞減，
，，即值域為．
26．（2023 海淀區校級模擬）已知函數．
（1）求函數取最大值時的取值集合；
（2）設函數在區間是減函數，求實數的最大值．
【解答】解：（1）由題意，得函數，
當取最大值時，即，此時，，即，，
所以的取值集合為，．
（2）由，，
得，，
即，，
所以的減區間，，，
當，得，是一個減區間，且，，
所以，，，
所以，，所以的最大值為．
27．（2023 遼寧二模）已知函數的圖象如圖所示．將函數的圖象向左平移個單位長度后得函數的圖象．
（1）求的解析式；
（2）的內角，，所對的邊分別為，，，且，，，求的面積．
【解答】解：（1）由圖可知，，解得：，
所以，即：，
將點代入得，
所以，，解得：，，
所以，
所以，
因為將函數的圖像向左平移個單位長度后得函數的圖像，
所以．
（2）因為，所以，
由，得，，
因為，
所以，即：，
所以由，得，
所以由，得，
所以，
由正弦定理，得，
所以的面積．
28．（2023 威海二模）已知偶函數的部分圖象如圖所示，，，為該函數圖象與軸的交點，且為圖象的一個最高點．
（1）證明：；
（2）若，，，求的解析式．
【解答】證明：（1）在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，又，
所以．
（2）解：因為，，，且，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，解得，
在中，
又，則，所以，
則，
所以，則，
，
所以，
所以．
29．（2023 北京模擬）在①函數的圖象關于直線對稱，②函數的圖象關于點對稱，③函數的圖象經過點這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答．
問題：已知函數最小正周期為．
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）函數在上的最大值和最小值．
【解答】解：，
因為的最小正周期為，所以，解得，
所以，
選擇①：（Ⅰ）因為函數的圖象關于直線對稱，
所以，，則，，
又，所以，
所以．
（Ⅱ）因為，所以，，
當，即時，取得最大值2；
當，即時，取得最小值1．
選擇②：（Ⅰ）因為函數的圖象關于點對稱，
所以，，則，，
又，所以，
所以．
（Ⅱ）因為，所以，，
當，即時，取得最大值2；
當，即時，取得最小值0．
選擇③：（Ⅰ）因為函數的圖象經過點，
所以，即，，
所以，，
又，所以，
所以．
（Ⅱ）因為，所以，，
當，即時，取得最大值2；
當，即時，取得最小值1．
30．（2023 西城區二模）已知函數，其中．再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，使存在，并完成下列兩個問題．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）當時，若曲線與直線恰有一個公共點，求的取值范圍．
條件①：；
條件②：是的一個零點；
條件③：．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解答】解：（Ⅰ）選①時，，即，
最小值是，故選條件①時，不存在；
選②時，，
即，
所以，，或，．
即，，或，，
因為，所以；
選③時，，．
即，
即，
整理得，
利用輔助角公式得，即，由選②同理可知；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，則，
此時畫出在上的圖象，如下所示：
由與直線恰有一個公共點可知，或．重難點突破02 三角函數大題專項訓練
1．（2023 成都模擬）已知函數，（下面①，②中選擇一個作為已知條件，解答問題：
（1）求的值；
（2）將的圖象向右平移個單位得到的圖象，求函數的單調增區間．
①的最大值為2；②．
注：如果選擇①和②分別解答，則按第一個解答計分．
2．（2023 湖南模擬）函數的部分圖象如圖所示．
（1）求函數的解析式；
（2）先將函數的圖象的橫坐標縮小為原來的，再將得到的函數圖象向左平移個單位，最后得到函數，求在區間上的值域．
3．（2023 岳陽縣模擬）已知函數部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，求函數在區間上的最大值和最小值．
4．（2023 南昌二模）如圖是函數的部分圖象，已知．
（1）求；
（2）若，求．
5．（2023 大觀區校級三模）已知函數．
（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）求在區間，上的最值．
6．（2023 廣州三模）已知函數，．
（1）若函數圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求的單調增區間；
（2）若函數的圖象關于對稱，且函數在上單調，求的值．
7．（2023 亭湖區校級三模）已知函數的值域為，．
（1）求的單調遞增區間；
（2）若在上恰有一個零點，求的取值范圍．
8．（2023 安康一模）已知函數的部分圖象如圖所示．
（1）求函數的解析式；
（2）將函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象．當時，方程恰有三個不相等的實數根，，，，求實數的取值范圍以及的值．
9．（2023 青羊區校級模擬）已知函數的最小正周期為，且，
（1）求，；
（2）將圖象往右平移個單位后得函數，求的最大值及這時值的集合．
10．（2023 豐臺區一模）已知函數，的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）若函數，求在區間上的最大值和最小值．
11．（2023 順義區一模）已知函數的一個零點為．
（1）求和函數的最小正周期；
（2）當時，若恒成立，求實數的取值范圍．
12．（2023 全國二模）已知函數的部分圖像如圖所示，其中的圖像與軸的一個交點的橫坐標為．
（1）求這個函數的解析式；
（2）若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍．
13．（2023 香洲區校級模擬）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖某摩天輪的最高點距離地面的高度為90米，最低點距離地面10米，摩天輪上均勻設置了36個座艙（如圖，開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉動，游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙，摩天輪轉完一周后在相同的位置離開座艙摩天輪轉一周需要30分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．
（1）經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數關系式滿足（其中，，，求摩天輪轉動一周的解析式；
（2）問：游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度恰好為30米？
14．（2023 桃城區校級模擬）如圖，，是以原點為圓心的單位圓上的兩個動點，若它們同時從點出發，沿逆時針方向做勻角速度運動，其角速度分別為（單位：弧度秒），為線段的中點，記經過秒后（其中，．
（1）求的函數解析式；
（2）將圖像上的各點均向右平移2個單位長度，得到的圖像，求函數的單調遞減區間．
15．（2023 南通三模）將函數的圖象先向右平移個單位長度，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象．
（1）若，求函數在區間上的最大值；
（2）若函數在區間上沒有零點，求的取值范圍．
16．（2023 海淀區校級三模）已知函數．在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定和值的兩個條件作為已知．
（1）求的值；
（2）若函數在區間，上是增函數，求實數的最大值．
條件①：；
條件②：最大值與最小值之和為0；
條件③：最小正周期為．
17．（2023 建華區校級三模）已知函數在區間上單調，其中，，且．
（1）求的圖象的一個對稱中心的坐標；
（2）若點在函數的圖象上，求函數的表達式．
18．（2023 松江區校級模擬）設．
（1）求的單調遞增區間及對稱中心；
（2）當時，，求的值．
19．（2023 香坊區校級三模）已知函數
，其圖像的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，_____，從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中．
①函數的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像關于軸對稱且；
②函數的圖像的一個對稱中心為且．
（1）求函數的解析式；
（2）將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有3個零點，求的取值范圍．
20．（2023 重慶模擬）已知將函數的圖像向左平移個單位長度后得到函數的圖像關于原點中心對稱．
（1）求函數的解析式；
（2）若三角形滿足是邊上的兩點，且，求三角形面積的取值范圍．
21．（2023 桃城區校級一模）已知同時滿足下列四個條件中的三個：
①；
②的圖象可以由的圖象平移得到；
③相鄰兩條對稱軸之間的距離為；
④最大值為2．
（1）請指出這三個條件，并說明理由；
（2）若曲線的對稱軸只有一條落在區間，上，求的取值范圍．
22．（2023 賀蘭縣校級四模）已知函數．
再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數的解析式的兩個作為已知．
條件①：函數的最小正周期為；
條件②：函數的圖象經過點；
條件③：函數的最大值為．
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函數在區間，上有且僅有1個零點，求的取值范圍．
23．（2023 南崗區校級三模）已知函數，的圖像是由的圖像向左平移個單位長度得到的．
（1）若的最小正周期為，求圖像的對稱軸中心，與軸距離最近的對稱軸的方程；
（2）若圖像相鄰兩個對稱中心之間的距離大于且，求在上的值域．
24．（2023 賀蘭縣校級模擬）已知函數，且滿足_____．
（1）求函數的解析式及最小正周期；
（2）若關于的方程在區間，上有兩個不同解，求實數的取值范圍．
從①的最大值為1，②的圖象過點，這兩個條件中選擇一個，補充在上面問題中并作答．（注：如果兩個條件都選分別解答，按第一個解答計分．
25．（2023 鼓樓區校級一模）已知函數在一個周期內的圖象如圖所示．
（1）求函數的表達式；
（2）把的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變），再把得到的圖象向下平移一個單位，再向左平移個單位，得到函數的圖象，若，求函數的值域．
26．（2023 海淀區校級模擬）已知函數．
（1）求函數取最大值時的取值集合；
（2）設函數在區間是減函數，求實數的最大值．
27．（2023 遼寧二模）已知函數的圖象如圖所示．將函數的圖象向左平移個單位長度后得函數的圖象．
（1）求的解析式；
（2）的內角，，所對的邊分別為，，，且，，，求的面積．
28．（2023 威海二模）已知偶函數的部分圖象如圖所示，，，為該函數圖象與軸的交點，且為圖象的一個最高點．
（1）證明：；
（2）若，，，求的解析式．
29．（2023 北京模擬）在①函數的圖象關于直線對稱，②函數的圖象關于點對稱，③函數的圖象經過點這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答．
問題：已知函數最小正周期為．
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）函數在上的最大值和最小值．
30．（2023 西城區二模）已知函數，其中．再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，使存在，并完成下列兩個問題．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）當時，若曲線與直線恰有一個公共點，求的取值范圍．
條件①：；
條件②：是的一個零點；
條件③：．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

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