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專題01 任意角和弧度制、三角函數的概念
目錄
題型一： 象限角及終邊相同的角 2
題型二： 扇形的弧長及面積公式 7
題型三： 根據定義求三角函數值 11
題型四： 三角函數的符號 12
角的概念
(1)正角、負角、零角：我們規定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有做任何旋轉，就稱它形成了一個零角．任意角包括正角、負角和零角．
(2)象限角：我們通常在直角坐標系內討論角．使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限(常稱為軸線角)．
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
弧度制
(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.
(2)角度和弧度的換算
→
(3)半徑為r的圓中，圓心角為α rad的角所對的弧長公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|·r2.
三角函數的概念
(1)定義：設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)，則sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，正弦函數、余弦函數、正切函數統稱為三角函數．
(2)三角函數的定義域和函數值在各象限的符號
三角函數 定義域(弧度制下) 第一象限符號 第二象限符號 第三象限符號 第四象限符號
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α {α|α≠kπ ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
象限角及終邊相同的角
【要點講解】1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角
先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需的角.
2.確定nα,(n∈N*)的終邊位置的方法
先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出nα或的范圍,然后根據n的可能取值討論確定nα或的終邊所在位置.
（2023秋 綏化期末）已知集合，，則角的終邊落在陰影處（包括邊界）的區域是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：集合，，表示第一象限的角，
故選：．
（2022秋 南京期末）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為 　，　．
【解答】解：分別與角，終邊相同的角為，．
因此終邊落在陰影區域（包括邊界）的角的集合是，．
故答案為：，．
（2023春 浦北縣校級月考）如圖所示，終邊落在陰影部分區域（包括邊界）的角的集合是 　，　．
【解答】解：分別與角，終邊相同的角為，．
因此終邊落在陰影區域（包括邊界）的角的集合是，．
故答案為：，．
（2022秋 荔灣區期末）已知是第二象限角，則可以是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解答】解：因為是第二象限角，即，；
所以，；
當為偶數時，是第一象限角；
當為奇數時，是第三象限角．
故選：．
（2022秋 建華區校級期末）已知是銳角，則　　
A．是小于的正角 B．是第三象限角
C．只是銳角 D．是第一或第二象限角
【解答】解：因為已知是銳角，所以．故選項符合題意，選項不符合題意；
所以，即是第三象限角，故選項符合題意．
所以，即只是銳角．故選項符合題意．
故選：．
（2022秋 瑤海區校級月考）若是第四象限的角，則是　　
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解答】解：由是第四象限的角，可得是第一象限角，
是第四象限角．
故選：．
（2021秋 寧武縣校級期末）設是第四象限的角．
（1）試討論是哪個象限的角；
（2）寫出的范圍；
（3）寫出的范圍．
【解答】解：（1）角是第四象限角，即：，．
，．
當取偶數時，是第四象限角，當取奇數時，是第二象限角，
故是第二象限角或第四象限角．
（2），，
，，即的范圍為，，．
（3），，
，，即的范圍為，．
（2022秋 荔灣區校級期末）若角與角的終邊關于軸對稱，則必有　　
A． B．
C． D．
【解答】解：角與角的終邊關于軸對稱，
，，
即，，
故選：．
（2023 石城縣校級開學）已知角與的終邊關于軸對稱，則與的關系為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：角與的終邊關于軸對稱，
，，
即，，
故選：．
（2022春 浦東新區校級月考）的終邊與的終邊關于直線對稱，則　　．
【解答】解：
故答案為：．
（2021春 延慶區期中）直角坐標系中，以原點為頂點，以軸正半軸為始邊，那么，角的終邊與的終邊關于 　軸　對稱；角的終邊與的終邊關于 　　對稱．
【解答】解：以原點為頂點，以軸正半軸為始邊，
角的終邊與的和為，故角的終邊與的終邊關于軸對稱；
角的終邊與的和等于，角的終邊與的終邊關于直線對稱，
故答案為：軸；直線．
扇形的弧長及面積公式
【要點講解】1.求扇形面積最大值的問題時,常轉化為利用二次函數或基本不等式求最值問題;
2.在解決弧長問題、扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形.
（2023春 順慶區校級期中）在直徑為的圓中，的圓心角所對的弧長是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以的圓心角所對的弧長為．
故選：．
（2023春 湖北期中）一條弦的長等于半徑，則這條弦所對的圓心角為　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：根據題意：作出如下圖形，
，
則為等邊三角形，故，
則這條弦所對的圓心角為．
故選：．
（2023春 欽南區校級期中）已知扇形的周長為4，扇形圓心角的弧度數為2，則扇形的弧長為　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：設扇形的半徑為，弧長為，則，
解得，．
故選：．
（2023春 葫蘆島月考）已知扇形的周長為9，半徑為3，則扇形圓心角的弧度數為　　
A．3 B．1 C． D．
【解答】解：設扇形的圓心角的弧度數為，扇形弧長為，周長為，圓的半徑為，
由題意可得：，，
可得：，
則由，可得：．
故選：．
（2023春 遼寧月考）我國北宋時期科技史上的杰作《夢溪筆淡》收錄了計算扇形弧長的近似計算公式：，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對弦的長，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為，扇形所在圓的半徑為2，利用上述公式，計算該扇形弧長的近似值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設扇形的圓心角為，
由扇形面積公式可知，所以，
如圖，取的中點，連接，交于點，
則．易知，則，
所以，，，
所以扇形弧長的近似值為．
故選：．
（2023春 浙江期中）如圖從半徑為定值的圓形紙片上，以為圓心截取一個扇形卷成圓錐，若要使所得圓錐體積最大，那么截取扇形的圓心角大小為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設扇形的半徑為，圓心角為，，則扇形的弧長為，
設圓錐的底面半徑為，高為，則，
則，
因為，
則圓錐體積，
當且僅當，即時取等號．
故選：．
（2023春 振興區校級期中）《九章算術》是中國古代的數學名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分，若弧田所在圓的半徑為2，圓心角為，則此弧田的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由弧田所在圓的半徑為2，圓心角為，
如圖所示，
過點作，垂足為，
可得，，
可得扇形的面積為，的面積為，
所以此弧田的面積為．
故選：．
（2023春 海陵區校級月考）如圖，在半徑為、圓心角為的扇形弧上任取一點，作扇形的內接矩形，使點在上，點、在上，則這個矩形面積的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，矩形面積為，
扇形的半徑為，圓心角為，
所以，，，
所以．
化簡得：，，
當，即時，
取最大值．
故選：．
根據定義求三角函數值
【要點講解】(1)已知角α終邊上一點P的坐標,可先求出點P到原點的距離|OP|=r,然后利用三角函數的定義求解.
(2)已知角α的終邊所在的直線方程,可先設出終邊上一點的坐標,求出此點到原點的距離r,再利用三角函數的定義求解,應注意分情況討論.
（2023春 遼寧月考）已知角的終邊經過點，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意，得．
故選：．
（2022秋 汕尾期末）已知角的終邊經過點，且，則　　
A．8 B． C．4 D．
【解答】解：角的終邊經過點，且，
，解得．
故選：．
（2022秋 揭東區期末）已知角的終邊點為，則等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：角的終邊點為，
．
故選：．
（2023 開封三模）設是第二象限角，為其終邊上一點，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由三角函數定義可知：，
又是第二象限角，
故，
所以．
故選：．
三角函數的符號
【要點講解】已知一角的三角函數值(sin α,cos α,tan α)中任意兩個的符號,可分別確定出角的終邊所在的可能位置,二者的交集即為該角的終邊位置.注意終邊在坐標軸上的特殊情況.
（2023春 深圳校級月考）已知滿足：，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由可得．
故選：．
（2023春 紅花崗區期中）若，，則是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解答】解：由，，
得，，是第一象限角．
故選：．
（2023春 皇姑區校級期中）點位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：，
，
所以點位于第三象限．
故選：．
（2023 廣西模擬）的值所在的范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
且，所以，
所以，
所以的值所在的范圍是，．
故選：．
（2023春 天河區校級期中）已知是第二象限角，則點在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：是第二象限角，
，，
，
點在第三象限．
故選：．
一．選擇題（共6小題）
1．（2022秋 徐匯區校級期末）以下命題正確的是　　
A．終邊重合的兩個角相等 B．小于的角都是銳角
C．第二象限的角是鈍角 D．銳角是第一象限的角
【解答】解：，當，時，與終邊重合，但兩個角不相等，錯誤，
，，但它不是銳角，錯誤，
，是第二象限角，但不是鈍角，錯誤，
，銳角一定是第一象限角，正確，
故選：．
2．（2023春 浦東新區期末）下列命題中正確的是　　
A．終邊重合的兩個角相等 B．銳角是第一象限的角
C．第二象限的角是鈍角 D．小于的角都是銳角
【解答】解：對于，終邊相同的角可表示為，故錯誤；
對于，銳角的取值范圍為，故正確；
對于，第二象限角的取值范圍為，故錯誤；
對于，銳角的取值范圍為，其，則，但不是銳角，故錯誤．
故選：．
3．（2023春 豐城市校級期中）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在軍事上角的度量還有密位制，密位制的單位是密位密位等于圓周角的，即密位．在密位制中，采用四個數字來記一個角的密位數，且在百位數字與十位數字之間畫一條短線，例如3密位寫成，123密位寫成，設圓的半徑為1，那么密位的圓心角所對的弧長為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為1密位等于圓周角的，
所以密位的圓心角為，
又圓的半徑為1，
所以弧長．
故選：．
4．（2022秋 襄城區校級期末）如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，如圖是會徽的幾何圖形，設弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：設，由，得，即，
所以
．
故選：．
5．（2023春 和平區校級期中）已知扇形的周長為20，則該扇形的面積的最大值為　　
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：設扇形的弧長為，半徑為，
則，即，
扇形的面積，，
當且僅當時，該扇形的面積取到最大值25．
故選：．
6．（2022秋 蘇州期末）毛主席的詩句“坐地日行八萬里”描寫的是赤道上的人即使坐在地上不動，也會因為地球自轉而每天行八萬里路程．已知我國四個南極科考站之一的昆侖站距離地球南極點約，把南極附近的地球表面看作平面，則地球每自轉，昆侖站運動的路程約為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為昆侖站距離地球南極點約，地球每自轉，
所以由弧長公式得：．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．（2022秋 聊城期末）下列說法正確的是　　
A．在范圍內，與角終邊相同的角是
B．已知4弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是
C．不等式的解集為
D．函數的定義域是
【解答】解：：與角終邊相同的角為，，
令，則，故正確；
：由已知可得圓的半徑為，所以弧長為，故正確；
：解不等式可得：，故錯誤；
：令，解得，，故正確，
故選：．
8．下列命題中正確的是　　
A．若角的終邊上有一點，則角不是象限角
B．和均是第一象限角
C．若某扇形的面積為，半徑為，弧長滿足，則該扇形圓心角的弧度數是
D．若，且角與角的終邊相同，則的值是或
【解答】解：對于，因為點在軸上，所以角的終邊在軸負半軸上，所以角不是象限角，故正確；
對于，，因為為第一象限角，所以為第一象限角，由于，因為不是第一象限角，所以不是第一象限角，故錯誤；
對于，可得，解得，或，所以圓心角的弧度數為，或5，故錯誤；
對于，因為角與角的終邊相同，所以，，所以，，所以，，所以，2，所以，或，故正確．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．（2023春 新余期末）如圖所示，已知扇形的圓心角為，半徑長為6，則陰影部分的面積是 　　．
【解答】解：由圖像知，記陰影部分面積為，扇形面積為，則，
由題意得，，
所以，
所以陰影部分的面積為．
故答案為：．
10．（2022秋 荔灣區校級期末）已知扇形的面積為，則該扇形的周長的最小值為 　8　．
【解答】解：設半徑為，弧長為，則，
，
扇形周長為，
當且僅當，即，時，扇形周長的最小值為．
故答案為：8．
11．（2023 柳州模擬）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內，是世界上最大的天主教教堂．作為最杰出的文藝復興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結構是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形．如圖，所在圓的圓心在線段上，若，，則扇形的面積為 　　．
【解答】解：如圖，過點作，設所在圓的半徑為，
則，在中，，，
所以，，
所以，．
在中，有，
，
整理可得，，
因為，所以，
所以，扇形的面積為．
故答案為：．
12．（2023春 西湖區校級月考）已知扇形的圓心角為，周長為12，則扇形的面積為 　8　．
【解答】解：設扇形的半徑為，
由題意得，即，
所以扇形的面積．
故答案為：8．
四．解答題（共3小題）
13．（2020秋 唐山月考）如圖，某游樂園的平面圖呈圓心角為的扇形，其兩個出入口設置在點及點處，且園內有一條平行于的小路．已知某人從沿走到用了8分鐘，從沿走到用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米．
（1）求的面積；
（2）求該扇形的半徑的長．
【解答】解：（1）由題意（米，（米，，
可得的面積（平方米），
所以的面積為平方米．
（2）設扇形的半徑為，連結，
由題意，
在中，，
即，
解得（米，
則該扇形半徑的長為370米．
14．（2023春 靜安區校級期中）如圖，有一塊扇形草地，已知半徑為，，現要在其中圈出一塊矩形場地作為兒童樂園使用，其中點，在弧上，且線段平行于線段；
（1）若點為弧的一個三等分點，求矩形的面積；
（2）設，當在何處時，矩形的面積最大？最大值為多少？
【解答】解：（1）如圖，作于點，交線段于點，連接、，
，
，，，
，
，
；
（2）因為，
則，，，
，
，
，
即時，，此時在弧的四等分點處．
15．（2014春 泗縣校級月考）在與角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的負角；
（3）內的角．
【解答】解：
和終邊相同
其余的終邊相同的角度可以寫成
（1）當時是最小的正角，；
（2）當時是最大的負角，；
（3）當，，0，1時，、、、符合條件．專題01 任意角和弧度制、三角函數的概念
目錄
題型一： 象限角及終邊相同的角 2
題型二： 扇形的弧長及面積公式 5
題型三： 根據定義求三角函數值 7
題型四： 三角函數的符號 8
角的概念
(1)正角、負角、零角：我們規定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有做任何旋轉，就稱它形成了一個零角．任意角包括正角、負角和零角．
(2)象限角：我們通常在直角坐標系內討論角．使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限(常稱為軸線角)．
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
弧度制
(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.
(2)角度和弧度的換算
→
(3)半徑為r的圓中，圓心角為α rad的角所對的弧長公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|·r2.
三角函數的概念
(1)定義：設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)，則sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，正弦函數、余弦函數、正切函數統稱為三角函數．
(2)三角函數的定義域和函數值在各象限的符號
三角函數 定義域(弧度制下) 第一象限符號 第二象限符號 第三象限符號 第四象限符號
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α {α|α≠kπ ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
象限角及終邊相同的角
【要點講解】1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角
先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需的角.
2.確定nα,(n∈N*)的終邊位置的方法
先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出nα或的范圍,然后根據n的可能取值討論確定nα或的終邊所在位置.
（2023秋 綏化期末）已知集合，，則角的終邊落在陰影處（包括邊界）的區域是　　
A． B．
C． D．
（2022秋 南京期末）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為 　 ．
（2023春 浦北縣校級月考）如圖所示，終邊落在陰影部分區域（包括邊界）的角的集合是 　　 ．
（2022秋 荔灣區期末）已知是第二象限角，則可以是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（2022秋 建華區校級期末）已知是銳角，則　　
A．是小于的正角 B．是第三象限角
C．只是銳角 D．是第一或第二象限角
（2022秋 瑤海區校級月考）若是第四象限的角，則是　　
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
（2021秋 寧武縣校級期末）設是第四象限的角．
（1）試討論是哪個象限的角；
（2）寫出的范圍；
（3）寫出的范圍．
（2022秋 荔灣區校級期末）若角與角的終邊關于軸對稱，則必有　　
A． B．
C． D．
（2023 石城縣校級開學）已知角與的終邊關于軸對稱，則與的關系為　　
A． B．
C． D．
（2022春 浦東新區校級月考）的終邊與的終邊關于直線對稱，則　　 　．
（2021春 延慶區期中）直角坐標系中，以原點為頂點，以軸正半軸為始邊，那么，角的終邊與的終邊關于 　　 　對稱；角的終邊與的終邊關于 　　 　對稱．
扇形的弧長及面積公式
【要點講解】1.求扇形面積最大值的問題時,常轉化為利用二次函數或基本不等式求最值問題;
2.在解決弧長問題、扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形.
（2023春 順慶區校級期中）在直徑為的圓中，的圓心角所對的弧長是　　
A． B． C． D．
（2023春 湖北期中）一條弦的長等于半徑，則這條弦所對的圓心角為　　
A．1 B．2 C． D．
（2023春 欽南區校級期中）已知扇形的周長為4，扇形圓心角的弧度數為2，則扇形的弧長為　　
A．2 B．4 C．6 D．8
（2023春 葫蘆島月考）已知扇形的周長為9，半徑為3，則扇形圓心角的弧度數為　　
A．3 B．1 C． D．
（2023春 遼寧月考）我國北宋時期科技史上的杰作《夢溪筆淡》收錄了計算扇形弧長的近似計算公式：，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對弦的長，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為，扇形所在圓的半徑為2，利用上述公式，計算該扇形弧長的近似值為　　
A． B． C． D．
（2023春 浙江期中）如圖從半徑為定值的圓形紙片上，以為圓心截取一個扇形卷成圓錐，若要使所得圓錐體積最大，那么截取扇形的圓心角大小為　　
A． B． C． D．
（2023春 振興區校級期中）《九章算術》是中國古代的數學名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分，若弧田所在圓的半徑為2，圓心角為，則此弧田的面積為　　
A． B． C． D．
（2023春 海陵區校級月考）如圖，在半徑為、圓心角為的扇形弧上任取一點，作扇形的內接矩形，使點在上，點、在上，則這個矩形面積的最大值為　　
A． B． C． D．
根據定義求三角函數值
【要點講解】(1)已知角α終邊上一點P的坐標,可先求出點P到原點的距離|OP|=r,然后利用三角函數的定義求解.
(2)已知角α的終邊所在的直線方程,可先設出終邊上一點的坐標,求出此點到原點的距離r,再利用三角函數的定義求解,應注意分情況討論.
（2023春 遼寧月考）已知角的終邊經過點，則　　
A． B． C． D．
（2022秋 汕尾期末）已知角的終邊經過點，且，則　　
A．8 B． C．4 D．
（2022秋 揭東區期末）已知角的終邊點為，則等于　　
A． B． C． D．
（2023 開封三模）設是第二象限角，為其終邊上一點，且，則　　
A． B． C． D．
三角函數的符號
【要點講解】已知一角的三角函數值(sin α,cos α,tan α)中任意兩個的符號,可分別確定出角的終邊所在的可能位置,二者的交集即為該角的終邊位置.注意終邊在坐標軸上的特殊情況.
（2023春 深圳校級月考）已知滿足：，則　　
A． B． C． D．
（2023春 紅花崗區期中）若，，則是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（2023春 皇姑區校級期中）點位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023 廣西模擬）的值所在的范圍是　　
A． B． C． D．
（2023春 天河區校級期中）已知是第二象限角，則點在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
一．選擇題（共6小題）
1．（2022秋 徐匯區校級期末）以下命題正確的是　　
A．終邊重合的兩個角相等 B．小于的角都是銳角
C．第二象限的角是鈍角 D．銳角是第一象限的角
2．（2023春 浦東新區期末）下列命題中正確的是　　
A．終邊重合的兩個角相等 B．銳角是第一象限的角
C．第二象限的角是鈍角 D．小于的角都是銳角
3．（2023春 豐城市校級期中）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在軍事上角的度量還有密位制，密位制的單位是密位密位等于圓周角的，即密位．在密位制中，采用四個數字來記一個角的密位數，且在百位數字與十位數字之間畫一條短線，例如3密位寫成，123密位寫成，設圓的半徑為1，那么密位的圓心角所對的弧長為　　
A． B． C． D．
4．（2022秋 襄城區校級期末）如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，如圖是會徽的幾何圖形，設弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023春 和平區校級期中）已知扇形的周長為20，則該扇形的面積的最大值為　　
A．10 B．15 C．20 D．25
6．（2022秋 蘇州期末）毛主席的詩句“坐地日行八萬里”描寫的是赤道上的人即使坐在地上不動，也會因為地球自轉而每天行八萬里路程．已知我國四個南極科考站之一的昆侖站距離地球南極點約，把南極附近的地球表面看作平面，則地球每自轉，昆侖站運動的路程約為　　
A． B． C． D．
二．多選題（共2小題）
7．（2022秋 聊城期末）下列說法正確的是　　
A．在范圍內，與角終邊相同的角是
B．已知4弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是
C．不等式的解集為
D．函數的定義域是
8．下列命題中正確的是　　
A．若角的終邊上有一點，則角不是象限角
B．和均是第一象限角
C．若某扇形的面積為，半徑為，弧長滿足，則該扇形圓心角的弧度數是
D．若，且角與角的終邊相同，則的值是或
三．填空題（共4小題）
9．（2023春 新余期末）如圖所示，已知扇形的圓心角為，半徑長為6，則陰影部分的面積是 　　．
10．（2022秋 荔灣區校級期末）已知扇形的面積為，則該扇形的周長的最小值為 　　．
11．（2023 柳州模擬）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內，是世界上最大的天主教教堂．作為最杰出的文藝復興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結構是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形．如圖，所在圓的圓心在線段上，若，，則扇形的面積為 　　．
12．（2023春 西湖區校級月考）已知扇形的圓心角為，周長為12，則扇形的面積為 　　．
四．解答題（共3小題）
13．（2020秋 唐山月考）如圖，某游樂園的平面圖呈圓心角為的扇形，其兩個出入口設置在點及點處，且園內有一條平行于的小路．已知某人從沿走到用了8分鐘，從沿走到用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米．
（1）求的面積；
（2）求該扇形的半徑的長．
14．（2023春 靜安區校級期中）如圖，有一塊扇形草地，已知半徑為，，現要在其中圈出一塊矩形場地作為兒童樂園使用，其中點，在弧上，且線段平行于線段；
（1）若點為弧的一個三等分點，求矩形的面積；
（2）設，當在何處時，矩形的面積最大？最大值為多少？
15．（2014春 泗縣校級月考）在與角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的負角；
（3）內的角．專題02 同角三角函數基本關系式及誘導公式
目錄
題型一： 簡單的求值問題 3
題型二： 弦化切的求值 4
題型三： 形如的求值問題 6
題型四： 誘導公式及應用 10
題型五： 綜合應用 12
同角三角函數的基本關系
sin2α＋cos2α＝1.
＝tan α.
誘導公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
與α終 邊關系 相同 關于原 點對稱 關于x 軸對稱 關于y 軸對稱 關于直線 y＝x對稱
正弦 sin α －sin α －sin α sin_α cos α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos α －cos α sin_α －sin α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan α
記憶 規律 函數名不變，符號看象限 函數名改變， 符號看象限
奇變偶不變，符號看象限
同角關系的幾種變形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin_α)(1－sin_α)．
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝.
(4)cos2α＝＝.
【常用結論與知識拓展】
1．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之間的關系
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(4)(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
2．誘導公式可推廣歸結為要求角k·±α的三角函數值，只需直接求α的三角函數值，其轉化過程及所得結果滿足：奇變偶不變，符號看象限．其中“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指k的奇和偶，變與不變是指函數名稱的變化．若是奇數倍，則正、余弦互變；若是偶數倍，則函數名稱不變．“符號看象限”是把α當成銳角時，原三角函數式中的角所在象限的三角函數值的符號．
簡單的求值問題
【要點講解】(1)利用實現角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用實現角α的弦切互化.
（2023春 海淀區校級期中）已知，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，且，
，
，
．
故選：．
（2022 西湖區校級模擬）已知是第二象限角，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：是第二象限角，且，
則，
．
故選：．
（2022 廣南縣校級學業考試）已知，且為第四象限的角，則的值等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，為第四象限的角，
所以，
所以．
故選：．
（2022春 和平區校級期末）已知，且為第四象限角，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：為第四象限角，，
，
．
故選：．
弦化切的求值
【要點講解】(1)形如或的分式,分子、分母同時除以cos α或cos2α,將正、余弦轉化為正切,從而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,將其看成分母為1的分式,再將分母1變形為,轉化為形如的式子求值.
（2023春 上饒期末）已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
即，
故，
整理得．
故選：．
（2023春 硯山縣校級期中）已知，則的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故選：．
（2023春 順慶區校級期中）已知，則　　
A． B． C．或1 D．或1
【解答】解：因為，
所以，
則解得．
故選：．
（2023 山西模擬）已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得：，
整理得，
且，可得，
即，，可得，
因為，可得，
所以．
故選：．
（2023春 海淀區校級期中）已知，則　　
A． B． C． D．2
【解答】解：，．
故選：．
（2023春 萍鄉期中）已知，則　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：因為，
所以．
故選：．
形如的求值問題
【要點講解】已知sin θ±cos θ求值的問題涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一個,則另兩個式子的值均可求出.
（2023春 南通月考）已知角終邊上有一點，則　　．
【解答】解：是角終邊上的一點，，
則，
．
故答案為：．
（2023春 重慶月考）已知，且為第三象限角，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以，又因為為第三象限角，
所以，
則．
故選：．
（2023春 南陽期中）若為第三象限角且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為為第三象限角且，
則．
故選：．
（2023春 德安縣校級期中）已知，那么　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以，
因此，．
故選：．
（2023春 德安縣校級期中）已知，則　　
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：由，可得，
于是．
故選：．
（2023 潮州模擬）已知為第二象限角，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
又，
，
解得，
又為第二象限角，，
，
．
故選：．
（2023 武侯區校級模擬）如圖，的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，
則，，
因，則，
故，
，
故選：．
誘導公式及應用
【要點講解】1.誘導公式用法的一般思路
(1)化負為正,化大為小,化到銳角為終了.
(2)角中含有加減的整數倍時,用誘導公式去掉的整數倍.
2.常見的互余和互補的角
(1)常見的互余的角:-α與+α;+α與-α;+α與-α等.
(2)常見的互補的角:+θ與-θ;+θ與-θ等.
3.求解與三角形內角有關的三角函數問題,要充分利用三角形內角和為π的性質進行轉化.
（2023春 播州區校級月考）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】（1）解：因為角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點，
由三角函數的定義，可得．
（2）方法1：由（1）知，
則．
方法2：由角終邊過點，可得，則，，
所以．
（2023春 朝陽區校級月考）已知函數．
（1）化簡函數的解析式；
（2）若，，求的值．
【解答】解：（1）；
（2）由題意，
因為，所以，
由得，
所以，
所以．
（2023春 紅花崗區期中）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）依題意得，，
解得；
（2）．
（2023春 譙城區校級期中）已知．
（1）化簡；
（2）若是第三象限角，且，求的值；
【解答】解：（1）；
（2）因為，又，
所以，又是第三象限的角，
所以，
所以．
綜合應用
【要點講解】利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡的方法
(1)對于含有根號的,常把被開方數(式)化成完全平方數(式),然后去根號達到化簡的目的;
(2)化切為弦,即把非正、余弦的函數都化為正、余弦函數,從而減少函數名稱,達到化簡的目的;
(3)化簡含高次的三角函數式,常借助于因式分解,或構造sin2α+cos2α=1,以降低函數次數,達到化簡的目的.
（2022秋 花都區校級期末）黃金三角形有兩種，其中底和腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形），例如，正五角星由5個黃金三角形和一個正五邊形組成，如圖所示，在一個黃金三角形中，，根據這些信息，可得　　
A． B． C． D．
【解答】解：由圖可知，，且．
．
則．
故選：．
（2023春 遼寧月考）若，，　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，，
．
故選：．
（2023春 海安市校級期中）設，則　　．
【解答】解：因為
，
即，
令，可得；
令，可得；
令，可得；
所以．
故答案為：．
（2023 崇川區校級開學）已知函數．
（1）化簡；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值．
【解答】解：（1）；
（2），
因為，
所以，
可得，
結合，，
所以．
（3）由（2）得，即為，聯立，解得，
所以：．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023 廣西模擬）的值所在的范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
且，所以，
所以，
所以的值所在的范圍是，．
故選：．
2．（2023春 李滄區校級月考）已知，則下列描述中正確的是　　
A．函數周期是
B．為銳角，函數最大值是
C．直線不是函數的一條對稱軸
D．為鈍角，函數沒有最小值
【解答】解：，
函數周期是，故錯誤；
當，所以，，所以函數最大值是，故正確；
當時，，此時函數取到最大值，故直線是函數的一條對稱軸，故錯誤；
當，所以，，所以函數最小值是，故錯誤．
故選：．
3．（2023春 德陽期末）已知函數的最小正周期為，則下列說法正確的是　　
A．在上單調遞增
B．在上單調遞減
C．若在上恰有兩個極值點，則的取值范圍是
D．若在上恰有兩個極值點，則的取值范圍是
【解答】解：因為的最小正周期為，
所以，解得，
所以，
當時，，，
由正弦函數的性質可知在，上不單調，所以，錯誤；
當時，，，
當在上恰有兩個極值點時，
則有，解得，
所以的取值范圍是，故正確，錯誤．
故選：．
4．（2023春 西城區校級期中）下列函數中，周期為且在區間上單調遞增的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由，各項函數單調性如下：
由，，，故在上遞增，且周期為；
由，，，故在上不單調；
由定義域為，而不滿足定義域；
由，，則在上遞增，且周期為．
故選：．
5．（2022秋 寧波期末）已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：．
故選：．
6．（2023春 龍華區校級月考）已知角的終邊過點，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
角的終邊過點，
，
，
又，
．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．（2023春 成都期中）下列大小關系正確的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：對于，在上單調遞減，，
又，，正確；
對于，在上單調遞減，，，正確；
對于，當時，；當時，；，錯誤；
對于，，，，正確．
故選：．
8．（2022 江門一模）在平面直角坐標系中，對任意角，設的終邊上異于原點的任意一點，它與原點的距離是，我們規定：比值、、分別叫做角的正割、余割、余切，分別記作、、，把、、分別叫做正割函數、余割函數、余切函數，則下列敘述正確的是　　
A．
B．的定義域為，
C．
D．
【解答】解：根據、、的定義，可得，，，
可能為負數，故不一定成立，故排除；
的定義域為，，故排除；
，而，故一定成立，故正確；
，故成立，
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．（2023 上海模擬）已知為角終邊上一點，則　　．
【解答】解：（1）點為角終邊上一點，，
則，，
．
故答案為：．
10．（2023春 青浦區校級期中）已知，則　　．
【解答】解：．
故答案為：．
11．（2023春 運城期中）已知角的終邊上有一點，，則的值是 　　．
【解答】解：角的終邊上有一點，，
，，
．
故答案為：．
12．（2023春 安徽月考）若函數的最小正周期為，則　1　．
【解答】解：，
函數的最小正周期為，
，解得．
故答案為：1．
四．解答題（共3小題）
13．（2023 長寧區二模）（1）求簡諧振動的振幅、周期和初相位；
（2）若函數在區間上有唯一的極大值點，求實數的取值范圍；
（3）設，，若函數在區間上是嚴格增函數，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1），
所以振幅為，周期為，初相為．
（2），
設，則，
當時，取得極大值，
由題意，方程在區間上有唯一解，
所以，得，
故的取值范圍為；
（3），
當時，
因為，
所以，
進而，，
此時，在區間上是嚴格增函數，
當時，，不是嚴格增函數；
當時，設，則，進而，，
此時，在區間上是嚴格減函數，
綜上，若函數在區間上是嚴格增函數，則，
故的取值范圍為．
14．（2023春 伊犁州期中）設是一個任意角，它的終邊上任意一點（不與原點重合）的坐標為．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由三角函數的定義可得，，
當時，，當時，；
（2）．
15．（2023春 安徽期中）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓相交于點，若點位于軸上方且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓相交于點，
，，
點位于軸上方且，
，且，
，，
，故是第二象限角．
．
（2）．專題02 同角三角函數基本關系式及誘導公式
目錄
題型一： 簡單的求值問題 3
題型二： 弦化切的求值 4
題型三： 形如的求值問題 5
題型四： 誘導公式及應用 6
題型五： 綜合應用 8
同角三角函數的基本關系
sin2α＋cos2α＝1.
＝tan α.
誘導公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
與α終 邊關系 相同 關于原 點對稱 關于x 軸對稱 關于y 軸對稱 關于直線 y＝x對稱
正弦 sin α －sin α －sin α sin_α cos α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos α －cos α sin_α －sin α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan α
記憶 規律 函數名不變，符號看象限 函數名改變， 符號看象限
奇變偶不變，符號看象限
同角關系的幾種變形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin_α)(1－sin_α)．
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝.
(4)cos2α＝＝.
【常用結論與知識拓展】
1．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之間的關系
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(4)(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
2．誘導公式可推廣歸結為要求角k·±α的三角函數值，只需直接求α的三角函數值，其轉化過程及所得結果滿足：奇變偶不變，符號看象限．其中“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指k的奇和偶，變與不變是指函數名稱的變化．若是奇數倍，則正、余弦互變；若是偶數倍，則函數名稱不變．“符號看象限”是把α當成銳角時，原三角函數式中的角所在象限的三角函數值的符號．
簡單的求值問題
【要點講解】(1)利用實現角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用實現角α的弦切互化.
（2023春 海淀區校級期中）已知，且，則　　
A． B． C． D．
（2022 西湖區校級模擬）已知是第二象限角，且，則　　
A． B． C． D．
（2022 廣南縣校級學業考試）已知，且為第四象限的角，則的值等于　　
A． B． C． D．
（2022春 和平區校級期末）已知，且為第四象限角，則　　
A． B． C． D．
弦化切的求值
【要點講解】(1)形如或的分式,分子、分母同時除以cos α或cos2α,將正、余弦轉化為正切,從而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,將其看成分母為1的分式,再將分母1變形為,轉化為形如的式子求值.
（2023春 上饒期末）已知，則　　
A． B． C． D．
（2023春 硯山縣校級期中）已知，則的值為　　
A． B． C． D．
（2023春 順慶區校級期中）已知，則　　
A． B． C．或1 D．或1
（2023 山西模擬）已知，則　　
A． B． C． D．
（2023春 海淀區校級期中）已知，則　　
A． B． C． D．2
（2023春 萍鄉期中）已知，則　　
A．0 B． C． D．
形如的求值問題
【要點講解】已知sin θ±cos θ求值的問題涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一個,則另兩個式子的值均可求出.
（2023春 南通月考）已知角終邊上有一點，則　 ．
（2023春 重慶月考）已知，且為第三象限角，則　　
A． B． C． D．
（2023春 南陽期中）若為第三象限角且，則　　
A． B． C． D．
（2023春 德安縣校級期中）已知，那么　　
A． B． C． D．
（2023春 德安縣校級期中）已知，則　　
A．2 B． C．1 D．
（2023 潮州模擬）已知為第二象限角，且，則　　
A． B． C． D．
（2023 武侯區校級模擬）如圖，的值為　　
A． B． C． D．
誘導公式及應用
【要點講解】1.誘導公式用法的一般思路
(1)化負為正,化大為小,化到銳角為終了.
(2)角中含有加減的整數倍時,用誘導公式去掉的整數倍.
2.常見的互余和互補的角
(1)常見的互余的角:-α與+α;+α與-α;+α與-α等.
(2)常見的互補的角:+θ與-θ;+θ與-θ等.
3.求解與三角形內角有關的三角函數問題,要充分利用三角形內角和為π的性質進行轉化.
（2023春 播州區校級月考）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點．
（1）求的值；
（2）求的值．
（2023春 朝陽區校級月考）已知函數．
（1）化簡函數的解析式；
（2）若，，求的值．
（2023春 紅花崗區期中）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
（2023春 譙城區校級期中）已知．
（1）化簡；
（2）若是第三象限角，且，求的值；
綜合應用
【要點講解】利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡的方法
(1)對于含有根號的,常把被開方數(式)化成完全平方數(式),然后去根號達到化簡的目的;
(2)化切為弦,即把非正、余弦的函數都化為正、余弦函數,從而減少函數名稱,達到化簡的目的;
(3)化簡含高次的三角函數式,常借助于因式分解,或構造sin2α+cos2α=1,以降低函數次數,達到化簡的目的.
（2022秋 花都區校級期末）黃金三角形有兩種，其中底和腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形），例如，正五角星由5個黃金三角形和一個正五邊形組成，如圖所示，在一個黃金三角形中，，根據這些信息，可得　　
A． B． C． D．
（2023春 遼寧月考）若，，　　
A． B． C． D．
（2023春 海安市校級期中）設，則　 ．
（2023 崇川區校級開學）已知函數．
（1）化簡；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023 廣西模擬）的值所在的范圍是　　
A． B． C． D．
2．（2023春 李滄區校級月考）已知，則下列描述中正確的是　　
A．函數周期是
B．為銳角，函數最大值是
C．直線不是函數的一條對稱軸
D．為鈍角，函數沒有最小值
3．（2023春 德陽期末）已知函數的最小正周期為，則下列說法正確的是　　
A．在上單調遞增
B．在上單調遞減
C．若在上恰有兩個極值點，則的取值范圍是
D．若在上恰有兩個極值點，則的取值范圍是
4．（2023春 西城區校級期中）下列函數中，周期為且在區間上單調遞增的是　　
A． B．
C． D．
5．（2022秋 寧波期末）已知，則　　
A． B． C． D．
6．（2023春 龍華區校級月考）已知角的終邊過點，且，則　　
A． B． C． D．
二．多選題（共2小題）
7．（2023春 成都期中）下列大小關系正確的是　　
A． B．
C． D．
8．（2022 江門一模）在平面直角坐標系中，對任意角，設的終邊上異于原點的任意一點，它與原點的距離是，我們規定：比值、、分別叫做角的正割、余割、余切，分別記作、、，把、、分別叫做正割函數、余割函數、余切函數，則下列敘述正確的是　　
A．
B．的定義域為，
C．
D．
三．填空題（共4小題）
9．（2023 上海模擬）已知為角終邊上一點，則　　．
10．（2023春 青浦區校級期中）已知，則　　．
11．（2023春 運城期中）已知角的終邊上有一點，，則的值是 　　．
12．（2023春 安徽月考）若函數的最小正周期為，則　　．
四．解答題（共3小題）
13．（2023 長寧區二模）（1）求簡諧振動的振幅、周期和初相位；
（2）若函數在區間上有唯一的極大值點，求實數的取值范圍；
（3）設，，若函數在區間上是嚴格增函數，求實數的取值范圍．
14．（2023春 伊犁州期中）設是一個任意角，它的終邊上任意一點（不與原點重合）的坐標為．
（1）求，的值；
（2）求的值．
15．（2023春 安徽期中）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓相交于點，若點位于軸上方且．
（1）求的值；
（2）求的值．專題03 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
目錄
題型一： 給值求值 2
題型二： 給值求角問題 5
題型三： 輔助角公式 6
題型四： 兩角和與差的正切公式的逆用 7
題型五： 兩角和與差的三角函數公式在三角形中的應用 8
題型六： 綜合運用 10
兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
輔助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知識拓展
兩角和與差的公式的常用變形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
給值求值
【要點講解】(1)當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;常見的配角技巧: ,,,,等.
(2)當“已知角”有一個時,此時尋找“所求角”與“已知角及特殊角”的和或差的關系,再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.
（2023春 臺江區校級期末）已知，都是銳角，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，都是銳角，，，
，為鈍角，
，
則
．
故選：．
（2022春 東城區校級期中）若，都是銳角，且，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，都是銳角，，，
則，
又，，
，．
．
故選：．
（2021秋 北海期末）已知角為第二象限角，，則的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，且是第二象限角，
，
，
故選：．
（2021秋 安慶期末）已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：．
（2021秋 河北月考）若，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
故選：．
給值求角問題
【要點講解】依條件求出所求角的范圍,選擇一個在角的范圍內嚴格單調的三角函數求值
（2023春 高安市校級期中）　　
A． B． C． D．
【解答】解：記題中代數式為，
．
故選：．
　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：．
故選：．
（2023春 分宜縣校級月考）設，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
，，
因為，
所以．
故選：．
（2023春 泉山區校級月考）　　
A． B． C． D．
【解答】解：
．
故選：．
（2023春 吳江區校級月考）已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以
．
故選：．
（2023春 遼寧月考）　　
A． B． C． D．
【解答】解：
．
輔助角公式
【要點講解】,其中的值由,及符號確定
（2022 杭州模擬）已知函數，當時，取得最大值，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，（其中，，
當時，取得最大值，此時，
得到，．
故選：．
（2022秋 南安市期中）已知函數，當時，取得最大值，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
故，，
因為時，取得最大值，
所以，
所以，．
故選：．
兩角和與差的正切公式的逆用
【要點講解】涉及兩角的正切的積與和差的混合運算問題,常考慮兩角和與差的正切公式的變形.
兩角和與差的三角函數公式在三角形中的應用
【要點講解】三角形中的三角函數問題,要應用A+B+C=π減少角的種類.
(1)常用結論有:,,,
(2)sin A>sin B A>B等.
（2023春 招遠市校級期中）在中，已知，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得．
又因為，所以，所以．
所以，
所以．
故選：．
（2022秋 永豐縣校級期末）在中，，，則的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
為鈍角，從而為銳角，
，，
．
故選：．
（2021秋 雨花區校級期末）在中，已知，，則的大小為　　
A． B． C． D．
【解答】解：（1）由題意知，，，
則，
，，
．
故選：．
（2023春 上城區校級期中）在中，為銳角，若，，則　　
A． B． C．或 D．
【解答】解：中，，，
為銳角，為銳角，
，，
則
．
故選：．
（2018秋 益陽期末）已知角，，為的內角，，，則的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，，
，
．
故選：．
綜合運用
（2023春 達州期末）在中，若，則的最小值是　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：，由正弦定理得，根據余弦定理得：，
當且僅當時等號成立，又因為，所以，，
即的最小值是．
故選：．
（2023春 青羊區校級月考）已知，，且滿足．
（1）證明：；
（2）求的最大值．
【解答】（1）證明：由已知，，
；
（2）解：，則，，
由（1）得
，
當且僅當，即時取等號，
所以的最大值是．
（2023春 如皋市月考）已知角，滿足，，則的最大值為　　
A． B． C． D．1
【解答】解：，即，
設，
可得：，，
則，
又，則最大值為1，則的最大值為．
故選：．
（2023 朝陽區校級模擬）已知，均為銳角，且，則的最大值是　　
A．4 B．2 C． D．
【解答】解：，，
，，
，，
，又因為為銳角，所以該方程有解，
△，解得，又為銳角，．
所以的最大值是．
故選：．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 郫都區期末）已知，，則　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：，，
，則，
．
故選：．
2．（2023春 成都期末）已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，所以，
所以，即，
所以，則，
所以
．
故選：．
3．（2023春 泗陽縣校級月考）已知，，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，①
，②
由①②兩式平方相加可得，
即有，
由，，，可得，則，
可得，
故選：．
4．（2023春 泗陽縣期中）已知函數在，上有兩個不同的零點，則的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：函數，
則，所以，
因為，，所以，
故函數的圖象滿足：
函數在在，上有兩個不同的零點，
即與函數有兩個不同的交點，
所以，解得．
即的取值范圍為，．
故選：．
5．（2023 玉樹市校級模擬）若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：
，
由，得，
所以，所以，
所以，
所以．
故選：．
6．（2023 鯉城區校級模擬）若，則　　
A．0 B． C．3 D．7
【解答】解：因為，
所以，
即，
所以，
所以．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．（2022 杭州模擬）已知函數圖象的最小正周期是，則　　
A．的圖象關于點對稱
B．將的圖象向左平移個單位長度，得到的函數圖象關于軸對稱
C．在上的值域為，
D．在上單調遞增
【解答】解：因為，
函數的最小正周期是，
，
，，
，
關于對稱，故正確．
，
關于軸對稱，故正確．
當時，有，則，所以，
，故錯誤．
由，解得，
所以的一個單調增區間為，而，
在上單調遞增，故正確．
故選：．
8．（2023春 西湖區校級期中）已知函數的圖象為，則下列結論中正確的是　　
A．圖象關于直線對稱
B．圖象的所有對稱中心都可以表示為，
C．函數在上的最大值為
D．函數在區間上單調遞減
【解答】解：，
對于，因為當時，，為最大值，
所以直線是圖象的對稱軸，故正確；
對于，，，故正確；
對于，若，，可得，，可得，，
所以函數在，上的最大值為3，故錯誤．
對于，當，時，，，
因此在區間，上是增函數，故錯誤．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．（2023春 南充期末）若，則　　．
【解答】解：，
，
．
故答案為：．
10．（2023春 萍鄉期中）若，則　　．
【解答】解：若，則，
則，
故答案為：．
11．（2023春 大祥區校級期末）若，則　　．
【解答】解：
．
故答案為：．
12．（2023春 湖南期中）若，則　　．
【解答】解：若，
則．
故答案為：．
四．解答題（共3小題）
13．（2023春 聊城期中）已知函數，周期是．
（1）求的解析式，寫出函數的對稱軸；
（2）若成立的充分條件是，求的取值范圍．
【解答】解：（1），
，，即．
故，
令，可得，
即函數的對稱軸為．
（2）由可得，
又當時，，此時，
由題意，當時，恒成立，
則有，，，解得．
即的取值范圍是．
14．（2023春 西城區期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）因為，，
所以，
又因為，
所以．
所以；
（2）．
15．（2022秋 西昌市期末）（1）在中已知，求，的值；
（2）在中已知，求的值．
【解答】解：（1）在中，，故為鈍角，
，．
（2）在中，，
，
．專題03 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
目錄
題型一： 給值求值 2
題型二： 給值求角問題 3
題型三： 輔助角公式 4
題型四： 兩角和與差的正切公式的逆用 5
題型五： 兩角和與差的三角函數公式在三角形中的應用 5
題型六： 綜合運用 6
兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
輔助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知識拓展
兩角和與差的公式的常用變形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
給值求值
【要點講解】(1)當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;常見的配角技巧: ,,,,等.
(2)當“已知角”有一個時,此時尋找“所求角”與“已知角及特殊角”的和或差的關系,再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.
（2023春 臺江區校級期末）已知，都是銳角，，則　　
A． B． C． D．
（2022春 東城區校級期中）若，都是銳角，且，，則　　
A． B． C． D．
（2021秋 北海期末）已知角為第二象限角，，則的值為　　
A． B． C． D．
（2021秋 安慶期末）已知，則　　
A． B． C． D．
（2021秋 河北月考）若，，則　　
A． B． C． D．
給值求角問題
【要點講解】依條件求出所求角的范圍,選擇一個在角的范圍內嚴格單調的三角函數求值
（2023春 高安市校級期中）　　
A． B． C． D．
　　
A． B． C．1 D．
（2023春 分宜縣校級月考）設，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
（2023春 泉山區校級月考）　　
A． B． C． D．
（2023春 吳江區校級月考）已知，則　　
A． B． C． D．
（2023春 遼寧月考）　　
A． B． C． D．
輔助角公式
【要點講解】,其中的值由,及符號確定
（2022 杭州模擬）已知函數，當時，取得最大值，則　　
A． B． C． D．
（2022秋 南安市期中）已知函數，當時，取得最大值，則　　
A． B． C． D．
兩角和與差的正切公式的逆用
【要點講解】涉及兩角的正切的積與和差的混合運算問題,常考慮兩角和與差的正切公式的變形.
兩角和與差的三角函數公式在三角形中的應用
【要點講解】三角形中的三角函數問題,要應用A+B+C=π減少角的種類.
(1)常用結論有:,,,
(2)sin A>sin B A>B等.
（2023春 招遠市校級期中）在中，已知，，則　　
A． B． C． D．
（2022秋 永豐縣校級期末）在中，，，則的值為　　
A． B． C． D．
（2021秋 雨花區校級期末）在中，已知，，則的大小為　　
A． B． C． D．
（2023春 上城區校級期中）在中，為銳角，若，，則　　
A． B． C．或 D．
（2018秋 益陽期末）已知角，，為的內角，，，則的值為　　
A． B． C． D．
綜合運用
（2023春 達州期末）在中，若，則的最小值是　　
A．1 B． C． D．
（2023春 青羊區校級月考）已知，，且滿足．
（1）證明：；
（2）求的最大值．
（2023春 如皋市月考）已知角，滿足，，則的最大值為　　
A． B． C． D．1
（2023 朝陽區校級模擬）已知，均為銳角，且，則的最大值是　　
A．4 B．2 C． D．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 郫都區期末）已知，，則　　
A． B．3 C． D．
2．（2023春 成都期末）已知，則　　
A． B． C． D．
3．（2023春 泗陽縣校級月考）已知，，，，則　　
A． B． C． D．
4．（2023春 泗陽縣期中）已知函數在，上有兩個不同的零點，則的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．，
5．（2023 玉樹市校級模擬）若，則　　
A． B． C． D．
6．（2023 鯉城區校級模擬）若，則　　
A．0 B． C．3 D．7
二．多選題（共2小題）
7．（2022 杭州模擬）已知函數圖象的最小正周期是，則　　
A．的圖象關于點對稱
B．將的圖象向左平移個單位長度，得到的函數圖象關于軸對稱
C．在上的值域為，
D．在上單調遞增
8．（2023春 西湖區校級期中）已知函數的圖象為，則下列結論中正確的是　　
A．圖象關于直線對稱
B．圖象的所有對稱中心都可以表示為，
C．函數在上的最大值為
D．函數在區間上單調遞減
三．填空題（共4小題）
9．（2023春 南充期末）若，則　　．
10．（2023春 萍鄉期中）若，則　　．
11．（2023春 大祥區校級期末）若，則　　．
12．（2023春 湖南期中）若，則　　．
四．解答題（共3小題）
13．（2023春 聊城期中）已知函數，周期是．
（1）求的解析式，寫出函數的對稱軸；
（2）若成立的充分條件是，求的取值范圍．
14．（2023春 西城區期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
15．（2022秋 西昌市期末）（1）在中已知，求，的值；
（2）在中已知，求的值．專題04 簡單的三角恒等變換
目錄
題型一： 三角函數式的化簡 2
題型二： 二倍角公式在求值中的應用——給值求值 4
題型三： 二倍角公式在求值中的應用——給角求值 6
題型四： 三角恒等變換的應用 8
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升冪公式)
(2)1±sin α＝2.(升冪公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降冪公式)
三角函數式的化簡
【要點講解】(1)從冪、名稱及角的差異三個方面對所給的三角函數式進行適當的變形,結合所給的“形”的特征求解.
(2)常用技巧:弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪或升冪等.
在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律.
（2023 湖南模擬）已知是直線的傾斜角，則的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可知，為銳角），
，
．
故選：．
（2023春 肥城市期中）已知，則的值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，即，
則．
故選：．
（2023春 岳麓區校級月考）若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
故選：．
（2023春 淮安區月考）計算求值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
（2023春 沈河區校級月考）化簡求值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
二倍角公式在求值中的應用——給值求值
【要點講解】(1)“變角”,使相關角相同或具有某種關系,結合相應的公式求解,一般地已知條件中含的三角函數值;
(2)求2α的三角函數值時,要注意型誘導公式的應用.
（2023春 鎮巴縣期末）已知銳角滿足，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為且為銳角，
所以，
解得，
則．
故選：．
（2023 安陽三模）已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以，
又，解得，
所以．
故選：．
（2023春 寧波期中）已知為第三象限角，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：為第三象限角，，則，
故，
所以．
故選：．
（2022 沈陽模擬）已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知，整理得，
所以，，
故．
故選：．
（2023春 河南月考）已知，則的值為　　
A． B． C．3 D．
【解答】解：因為，
所以，
則．
故選：．
二倍角公式在求值中的應用——給角求值
【要點講解】明確所給角與特殊角的關系,正用、逆用倍角公式及和差公式消去非特殊角.
切弦共存時,需將切化弦
（2023春 阜寧縣期中）已知，化簡的結果是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以，
所以
．
故選：．
化簡的結果是　　
A． B． C． D．
【解答】解：原式．
故選：．
計算的值是　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：．
故選：．
（2023春 永昌縣校級期中）下列化簡正確的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：對于，，故不正確；
對于，，故不正確；
對于，，故正確；
對于，根據同角平方關系可得，，故不正確．
故選：．
（2023春 如東縣期中）求的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：．
故選：．
三角恒等變換的應用
【要點講解】形如 (其中f(x)表示正弦或余弦)型的化簡問題,主要是逆用二倍角的正、余弦公式及輔助角公式,將所給函數化為只含一個角的一種三角函數形式.
（2022秋 佛山期末）從①，②，③，三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，再回答后面兩個小問．
已知，且滿足_____．
（1）判斷是第幾象限角；
（2）求值：．
【解答】解：（1）若選①，
兩邊同時平方得，
所以，
因為，
所以，，
故為第二象限角；
（2）由（1）得，
所以，
所以，，
所以；
（1）若選②，
兩邊同時平方得，
所以，
因為，
所以，，
故為第二象限角；
（2）由（1）得，
所以，
所以或，
所以；
（1）若選③，
則，
因為，
故為第二象限角；
（2）．
（2022 沈北新區校級開學）（1）在條件①；②；③中任選一個，補充在下面的問題中，并求解．已知角為銳角，　若選擇①，；若選擇②，；若選擇③，　．求角的大小；
（2）是否存在角和，當，，時，等式同時成立？若存在，則求出和的值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）若選擇①，
由于，可得，可得，即，
因為為銳角，
可得；
若選擇②，
由于，，可得，解得或（舍去），
因為為銳角，可得．
若選擇③，
因為，可得或，
因為為銳角，，可得，可得；
（2）存在，使等式同時成立．理由如下：
由條件得，
兩式平方相加得，，
，即，
，，
或，
將代入②，得，
又，
，代入①可知，符合，
將代入②得，代入①可知，不符合，
綜上可知，．
（2022秋 和平區校級月考）已知．
（1）化簡；
（2）若是第三象限角，且，求；
（3）若角是的內角，且，求的值．
【解答】解：（1）；
（2）若是第三象限角，且，即，
即有，，
所以；
（3）若角是的內角，且，即，
，，
所以．
（2021秋 下城區校級期末）（1）化簡．
（2）已知關于的方程的兩根為和，．求實數以及的值．
【解答】解：（1）原式；
（2）由已知得，，
所以，結合，
得，故，故；
，結合，
得．
（2022秋 和平區校級期中）已知函數，．
（1）化簡；
（2）若，，求的值．
【解答】解：（1），
所以，，，，，
所以，
．
即．
法二：，
，，，，
直接第一個根號內分子分母同乘，第二個根號內分子分母同乘，
．
（2）因為，所以，
所以，
，
所以．
即．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023 三明三模）角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊不在坐標軸上，終邊所在的直線與圓相交于，兩點，當面積最大時　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得，圓的半徑為，圓心，
故面積．
當面積最大時，，此時，，點到直線的距離為．
而直線的方程為，即．
根據點到直線的距離公式可得，求得，
故．
故選：．
2．（2023 南充模擬）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得，
所以．
故選：．
3．（2023 鼓樓區校級模擬）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得，
．
故選：．
4．（2023春 番禺區期末）已知函數，則　　
A．在上單調遞減
B．在上單調遞增
C．在上單調遞增
D．在上單調遞減
【解答】解：，周期，
的單調遞減區間為，，單調遞增區間為，，
對于，在，上單調遞增，故錯誤，
對于，在，上單調遞增，在上單調遞減，故錯誤，
對于，在，上單調遞減，在，上單調遞增，故錯誤；
對于，在上單調遞減，故正確．
故選：．
5．（2023 南關區校級模擬）若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
故選：．
6．（2022秋 寶雞期末）　　
A． B． C． D．
【解答】解：原式．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．（2022 南京模擬）下列式子正確的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：對；
對；
對：因為，
所以；
對：因為，
所以．
故選：．
8．（2021春 十堰期末）中，內角，的對邊分別為，，則下列能成為“”的充要條件的有　　
A． B． C． D．
【解答】解：在中，
對于，由正弦定理得，，故正確；
對于，，在上單調遞減，、，故正確；
對于，，即，故正確；
對于，不能推出，如，時滿足，但，故錯誤；
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．（2023 松江區二模）已知，且，則　　．
【解答】解：因為，且，
所以，可得，
則．
故答案為：．
10．（2021秋 武漢期末）已知為第四象限的角，，則　　．
【解答】解：，①
兩邊平方得：，
，
為第四象限角，
，，．
，②
①②可解得：，
．
故答案為：．
11．（2023 沙坪壩區校級模擬）若，則　　．
【解答】解：，
．
故答案為：．
12．（2022秋 沙坪壩區校級月考）已知銳角滿足，則　　．
【解答】解：，
，
得，兩邊平方得，解得．
故答案為：．
四．解答題（共3小題）
13．（2021春 廣安期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1），，，
．
（2）．
14．（2021春 河南期末）已知是第二象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）因為，
所以，
所以，即．
因為是第二象限角，
所以，，
所以．
（2），
由（1）可知，
所以．
15．（2022春 潤州區校級期中）（1）已知，，求，，；
（2）已知，求．
【解答】解：（1），，，
，，
，．
（2），
．專題04 簡單的三角恒等變換
目錄
題型一： 三角函數式的化簡 2
題型二： 二倍角公式在求值中的應用——給值求值 3
題型三： 二倍角公式在求值中的應用——給角求值 4
題型四： 三角恒等變換的應用 5
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升冪公式)
(2)1±sin α＝2.(升冪公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降冪公式)
三角函數式的化簡
【要點講解】(1)從冪、名稱及角的差異三個方面對所給的三角函數式進行適當的變形,結合所給的“形”的特征求解.
(2)常用技巧:弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪或升冪等.
在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律.
（2023 湖南模擬）已知是直線的傾斜角，則的值為　　
A． B． C． D．
（2023春 肥城市期中）已知，則的值是　　
A． B． C． D．
（2023春 岳麓區校級月考）若，則　　
A． B． C． D．
（2023春 淮安區月考）計算求值：
（1）；
（2）．
（2023春 沈河區校級月考）化簡求值：
（1）；
（2）．
二倍角公式在求值中的應用——給值求值
【要點講解】(1)“變角”,使相關角相同或具有某種關系,結合相應的公式求解,一般地已知條件中含的三角函數值;
(2)求2α的三角函數值時,要注意型誘導公式的應用.
（2023春 鎮巴縣期末）已知銳角滿足，則　　
A． B． C． D．
（2023 安陽三模）已知，則　　
A． B． C． D．
（2023春 寧波期中）已知為第三象限角，，則　　
A． B． C． D．
（2022 沈陽模擬）已知，則　　
A． B． C． D．
（2023春 河南月考）已知，則的值為　　
A． B． C．3 D．
二倍角公式在求值中的應用——給角求值
【要點講解】明確所給角與特殊角的關系,正用、逆用倍角公式及和差公式消去非特殊角.
切弦共存時,需將切化弦
（2023春 阜寧縣期中）已知，化簡的結果是　　
A． B． C． D．
化簡的結果是　　
A． B． C． D．
計算的值是　　
A．1 B． C． D．
（2023春 永昌縣校級期中）下列化簡正確的是　　
A．
B．
C．
D．
（2023春 如東縣期中）求的值為　　
A． B． C． D．
三角恒等變換的應用
【要點講解】形如 (其中f(x)表示正弦或余弦)型的化簡問題,主要是逆用二倍角的正、余弦公式及輔助角公式,將所給函數化為只含一個角的一種三角函數形式.
（2022秋 佛山期末）從①，②，③，三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，再回答后面兩個小問．
已知，且滿足_____．
（1）判斷是第幾象限角；
（2）求值：．
（2022 沈北新區校級開學）（1）在條件①；②；③中任選一個，補充在下面的問題中，并求解．已知角為銳角，　 　．求角的大小；
（2）是否存在角和，當，，時，等式同時成立？若存在，則求出和的值；若不存在，請說明理由．
（2022秋 和平區校級月考）已知．
（1）化簡；
（2）若是第三象限角，且，求；
（3）若角是的內角，且，求的值．
（2021秋 下城區校級期末）（1）化簡．
（2）已知關于的方程的兩根為和，．求實數以及的值．
（2022秋 和平區校級期中）已知函數，．
（1）化簡；
（2）若，，求的值．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023 三明三模）角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊不在坐標軸上，終邊所在的直線與圓相交于，兩點，當面積最大時　　
A． B． C． D．
2．（2023 南充模擬）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則　　
A． B． C． D．
3．（2023 鼓樓區校級模擬）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點，則　　
A． B． C． D．
4．（2023春 番禺區期末）已知函數，則　　
A．在上單調遞減
B．在上單調遞增
C．在上單調遞增
D．在上單調遞減
5．（2023 南關區校級模擬）若，則　　
A． B． C． D．
6．（2022秋 寶雞期末）　　
A． B． C． D．
二．多選題（共2小題）
7．（2022 南京模擬）下列式子正確的是　　
A．
B．
C．
D．
8．（2021春 十堰期末）中，內角，的對邊分別為，，則下列能成為“”的充要條件的有　　
A． B． C． D．
三．填空題（共4小題）
9．（2023 松江區二模）已知，且，則　　．
10．（2021秋 武漢期末）已知為第四象限的角，，則　　．
11．（2023 沙坪壩區校級模擬）若，則　　．
12．（2022秋 沙坪壩區校級月考）已知銳角滿足，則　　．
四．解答題（共3小題）
13．（2021春 廣安期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
14．（2021春 河南期末）已知是第二象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
15．（2022春 潤州區校級期中）（1）已知，，求，，；
（2）已知，求．專題05 三角函數的圖象與性質
目錄
題型一： 三角函數的定義域 3
題型二： 三角函數的值域 5
題型三： 三角函數的單調性 8
題型四： 三角函數的周期性、對稱性、奇偶性 10
題型五： 綜合運用 15
“五點法”作圖
(1)在確定正弦函數y＝sin x在[0,2π]上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在確定余弦函數y＝cos x在[－π，π]上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是(－π，－1)，，(0,1)，，(π，－1)．
三角函數的圖象和性質
函數性質 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象(一 個周期)
定義域 R R ｛x|x≠kπ＋，k∈Z｝
值域 [－1,1] [－1,1] R
最值 (k∈Z) 當x＝＋2kπ時，ymax＝1； 當x＝－＋2kπ時，ymin＝－1 當x＝2kπ時，ymax＝1； 當x＝2kπ＋π時，ymin＝－1 無
對稱性 (k∈Z) 對稱軸： x＝kπ＋； 對稱中心： (kπ，0) 對稱軸： x＝kπ； 對稱中心： 無對稱軸； 對稱中心：
最小正 周期 2π 2π π
單調性 (k∈Z) 單調遞增區間：； 單調遞減區間： 單調遞增區間：[2kπ－π，2kπ]； 單調遞減區間：[2kπ，2kπ＋π] 單調遞增區間：
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
三角函數的定義域
【要點講解】根據函數解析式特征列出與三角函數有關的不等式,借助三角函數性質及圖象求解.
涉及與正切函數有關的定義域,要注意正切函數本身的定義域.
函數的定義域為　，且，　．
【解答】解：函數，
，且，，
函數的定義域為，且，，，
故答案為：，且，，，
（2022春 南陽期末）函數的定義域是　　．
【解答】解：要使函數有意義，需要滿足，
解得：，
即，
故答案為．
（2023春 金牛區校級月考）定義域為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意得，
解得，故定義域為．
故選：．
求下列函數的定義域：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）要使有意義，可得，解得，；
（2）要使有意義，
可得，即：，
解得，；
（3）要使有意義，可得．
所以函數的定義域為：，．
三角函數的值域
【要點講解】(1)求解形如或可化為或的值域,先求出的范圍,再結合三角函數的性質求最值.
(2)形如或可化為的函數值域問題,可以通過換元轉化為二次函數最值問題.
(3)形如或可化為,其中f(x),g(x)為正、余弦函數,常將已知條件式變形后,利用正、余弦函數的有界性求解;
(4)形如的三角函數,可先設,化為關于t的二次函數再求值域(最值).
（2022秋 南關區校級期末）函數的值域是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：由于函數，
在處，函數最大值2，在處，取得最小值為，
故可知函數的值域為：，．
故選：．
（2023春 郫都區校級期中）若函數的最大值為，則的值等于　　
A．2 B． C．0 D．
【解答】解：由于，所以時，取最大值，
故，所以．
故選：．
（2023春 全南縣校級期中）已知函數，任取，記函數在，上的最大值為，最小值為，設，則函數的值域為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，其中，分別是指在區間，上的最大值和最小值，
因為的周期，故在區間，的圖象與在區間，上的圖象完全相同，
故，，故，即是周期為4的函數，故，的值域與，，時的值域相同；
又在，單調遞減，，單調遞增，在，單調遞減，
故當時，在區間，上的最大值為，最小值為，此時；
當時，在區間，上的最大值為，最小值為，此時；
當，時，在區間，上的最大值為，最小值為，此時；
當時，在區間，上的最大值為1，最小值為，此時；
當時，在區間，上的最大值為1，最小值為，此時；
當，時，在區間，上的最大值為，最小值為，此時；
故在，的函數圖象如下所示：
數形結合可知，的值域為．
故選：．
（2023春 長葛市校級月考）求下列函數的值域，并求出最值．
（1），，
（2）．
【解答】解：（1），，
，
，
，
值域為，，最小值是1，最大值是2；
（2）
，
又，
當時，
當時，，
所以的值域為，，最小值是，最大值是1．
三角函數的單調性
【要點講解】1.形如的單調區間求法
將看作一個整體,結合的性質求解,若時,先利用誘導公式將x的系數化為正數.
2.已知單調區間求參數范圍的兩種方法
(1)求出原函數的相應單調區間,由已知區間是所求某區間的子集,列不等式(組)求解.
(2)由所給區間求出整體角的范圍,由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集,列不等式(組)求解.
（2023春 凌源市月考）下列區間中，函數單調遞增的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，
得．
所以在上不單調遞增，
在上單調遞增．
故選：．
（2023秋 嶗山區校級期末）下列區間中，函數的單調遞增區間是　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：函數，
由，，
解得，，
取，可得．
，，，
函數單調遞增的區間是，．
故選：．
（2022 長治模擬）下列區間中，函數單調遞增的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函數，
令，
解得，
所以函數的單調遞增區間是，
因為，
所以函數單調遞增的是，
故選：．
（2022春 河北月考）函數的單調遞減區間為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：將整體代入正弦函數單調遞減區間，即．解得，
所以函數的單調遞減區間為．
故選：．
三角函數的周期性、對稱性、奇偶性
【要點講解】1.三角函數周期的求法
①求或或 (為常數,)的周期直接應用公式或求解.
②形如y=(其中f(x)是三角函數)的周期,可以借助函數圖象特征或定義求解.
2.三角函數奇偶性判斷及應用
三角函數奇偶性判斷借助定義,而根據奇偶性求解問題則利用性質為奇函數,則,若為偶函數,則.
（2023春 鎮巴縣期末）已知函數在上單調遞減，且，，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因為函數，
當 時，，
因為函數在上單調遞減，
則，其中，
所以，其中，解得，
所以，解得，又因為且，則，
所以，因為，，即，
所以，解得，因此，．
故選：．
（2023 鎮安縣校級模擬）若函數在區間上單調遞減，則正數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據在區間上單調遞減，
得，
可得，
又由，
必有，
可得，
即正數的取值范圍為，．
故選：．
（2023 煙臺模擬）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，所以，
又，所以，
且函數在上單調遞增，
所以，解得，
即的取值范圍為．
故選：．
（2023 宜春模擬）已知函數滿足，且在上單調，則在上的值域為　　
A．， B．， C．， D．
【解答】解：由得，或，
當時在上不單調，
當時在上單調，
所以．
當時，，
所以，
所以在上的值域為，．
故選：．
（2023春 新邱區校級期中）函數的最小正周期是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由正切函數的周期公式得函數的最小正周期是；
故選：．
（2023春 涼州區期中）函數的最小正周期和最大值分別是　　
A．和3 B．和2 C．和3 D．和2
【解答】解：的最小正周期，最大值為．
故選：．
（2023春 金安區校級期中）函數的最小正周期為，則　　
A．4 B．2 C．1 D．
【解答】解：由得，
故選：．
（2023 廣東模擬）已知函數，的最小正周期為，若，且為函數的極值點，則的最小值為　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：，，
，
得．
則，
為函數的極值點，
，，
得，，
，當時，最小，最小為．
故選：．
（2023春 房山區期中）已知函數．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的單調遞減區間．
【解答】解：因為．
（Ⅰ）故的最小正周期；
（Ⅱ）令，，
則，
故的單調遞減區間為，，．
（2023春 簡陽市校級期中）已知函數．
（1）求的最小正周期；
（2）求當時，的值域．
【解答】解：（1），
，
，
，
的最小正周期．
（2），，
，
故的值域．
（2023春 合江縣校級期中）下列直線中，是函數圖象的對稱軸的是　　
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【解答】解：，
由，，得，．
取，可得．
函數圖象的一條對稱軸為直線．
故選：．
（2023 揚州三模）以點為對稱中心的函數是　　
A． B． C． D．
【解答】解：的對稱中心為，，錯誤；
的對稱中心為，，錯誤；
的對稱中心為，，正確；
令，
，不恒等于0，
的圖象不關于，成中心對稱，錯誤；
故選：．
（2023春 朝陽區校級月考）已知函數的最小正周期為，且恒成立，則圖象的一個對稱中心坐標是　　
A． B． C． D．
【解答】解：依題意，，
解得，
又，則，
所以，
令，
解得，
令，可得，
所以函數的一個對稱中心為．
故選：．
綜合運用
（2023春 焦作期末）已知函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：函數，，
令，；
，；
圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，
所以，
又因為，所以，；
時，，
又因為圖象兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，
所以，由，所以，
所以的取值范圍是，．
故選：．
（2023春 高安市校級期中）函數，則下列結論正確的是　　
A．的最大值為1
B．的圖象關于點對稱
C．在上單調遞增
D．的圖象關于直線對稱
【解答】解：
．
對于選項，，錯；
對于，選項，，
所以函數的圖象關于點對稱，不關于點對稱，
沒有取得最值，則的圖象不關于直線對稱，，均錯；
對于選項，當時，，
所以在上單調遞增，對．
故選：．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 鹽城期中）設函數在區間恰有三條對稱軸、兩個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由函數，，
可得，．
由題意可得，
解得．
故選：．
2．（2023 唐山二模）函數的單調遞減區間為　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：令，
解得，
故單調遞減區間為，
故選：．
3．（2023 武侯區校級模擬）當，時，函數的值域是，，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：法一：由題意，畫出函數的圖象．
由，，可知，
因為且，
要使的值域是，，只要，
即，．
法二：由題，，可知，
由的圖像知，要使的值域是，，
則，解之得，．
故選：．
4．（2023 武侯區校級模擬）已知函數在上單調遞增，則在上的零點可能有　　
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【解答】解：由，
，，
即只能取0，得，
因為在上單調遞增，則解得，
由，則，設，
則，
因為，且，
所以函數在上的零點最多有2個．
故選：．
5．（2023春 西城區校級期中）函數的圖象　　
A．關于直線對稱 B．關于直線對稱
C．關于點對稱 D．關于點對稱
【解答】解：對于函數，
令，求得函數值，不是最值，故它的圖象不關于直線對稱，也不關于點對稱，故，錯誤；
令，求得函數值，是最值，故它的圖象關于直線對稱，故正確；
令，求得函數值，是最值，故它的圖象不關于點對稱，故錯誤．
故選：．
6．（2023 廣州二模）已知函數，若恒成立，且，則的單調遞增區間為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函數，其中為實數，若，對恒成立，
則：為函數的對稱軸，
，，，，
由于，，
不妨取，
即：，
令：，，
解得：，，
則的單調遞增區間為，，．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．（2023春 振興區校級期中）下列關于函數的表述正確的是　　
A．函數的最小正周期
B．是函數的一條對稱軸
C．是函數的一個對稱中心
D．函數在區間上是增函數
【解答】解：對于函數，
對于：由于函數的周期，故正確；
對于：當時，，故正確；
對于：根據選項的結論，故錯誤；
對于：由于，所以，故正確．
故選：．
8．（2022秋 保定期末）已知函數，對，，，，且，都有，滿足 的實數有且只有3個，則下列選項中正確的是　　
A．的取值范圍是
B．的最小值為
C．滿足條件的實數有且只有2個
D．滿足條件的實數有且只有2個
【解答】解：函數，對，，，，
且，都有，
的極大值為，極小值為．
滿足 的實數有且只有3個，
在區間，上，有且只有3個零點，故函數的最大值為2，最小值為，故錯誤；
設，則當，時，，，
作的圖象如圖所示：
，求得，故正確；
滿足條件的實數可能有1個，也可能2個，故錯誤；
結合函數的圖象可得，滿足條件的實數有且只有2個，故正確，
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．（2023 湖北模擬）已知函數，若是函數的圖像的一條對稱軸，是函數的圖像的一個對稱中心，則的最小值為 　　．
【解答】解：根據題意可得，，，，，
，，
又，故．
故答案為：．
10．（2023 閔行區校級一模）已知，若在上恰有兩個不相等的實數、滿足（a）（b），則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：因為，所以，
因為在上恰有兩個不相等的實數、滿足（a）（b），且，
所以，函數在上恰有兩個最大值點，
所以，，解得，
因此，實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
11．（2023 綿陽模擬）已知函數，則在，上的零點個數為 　2　．
【解答】解：函數
的零點個數，即方程的
實數根的個數．
當時，
0，，
本題即求函數， 0，和直線交點的個數．
由于，
故函數， 0，圖中藍色曲線和直線交點的個數為2．
故答案為：2．
12．（2022秋 荔灣區校級期末）函數圖象的一個對稱中心為，圖象的對稱軸為 　　．
【解答】解：函數的圖象對稱中心為，
可知，可得，令．
得．
故答案為：
四．解答題（共3小題）
13．（2022秋 金鳳區校級月考）已知函數，．
（1）求的對稱軸方程；
（2）求在區間上的單調區間．
【解答】解：（1）
，
令，，解得，，
的對稱軸方程為，．
（2），
，，
當，，即，時，函數單調遞減；
，，即，時，函數單調遞增．
在區間上的單調遞減區間為，，單調遞增區間為，．
14．（2022秋 河南月考）已知函數的最大值為．
（1）求函數的最小正周期以及單調遞增區間；
（2）求使成立的的取值集合．
【解答】解：函數
的最大值為，，
函數，故它的最小正周期為．
令，，求得，，
故函數的增區間為，，．
（2），即，即，
，求得，，
故使成立的的取值集合為，．
15．（2022春 涼州區校級期中）已知函數．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期；
（3）求函數的單調遞減區間．
【解答】解：因為，
所以（1）；
（2）；
（3）由，，
可得，，
所以的單調遞減區間為：，，．專題05 三角函數的圖象與性質
目錄
題型一： 三角函數的定義域 3
題型二： 三角函數的值域 4
題型三： 三角函數的單調性 5
題型四： 三角函數的周期性、對稱性、奇偶性 6
題型五： 綜合運用 9
“五點法”作圖
(1)在確定正弦函數y＝sin x在[0,2π]上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在確定余弦函數y＝cos x在[－π，π]上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是(－π，－1)，，(0,1)，，(π，－1)．
三角函數的圖象和性質
函數性質 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象(一 個周期)
定義域 R R ｛x|x≠kπ＋，k∈Z｝
值域 [－1,1] [－1,1] R
最值 (k∈Z) 當x＝＋2kπ時，ymax＝1； 當x＝－＋2kπ時，ymin＝－1 當x＝2kπ時，ymax＝1； 當x＝2kπ＋π時，ymin＝－1 無
對稱性 (k∈Z) 對稱軸： x＝kπ＋； 對稱中心： (kπ，0) 對稱軸： x＝kπ； 對稱中心： 無對稱軸； 對稱中心：
最小正 周期 2π 2π π
單調性 (k∈Z) 單調遞增區間：； 單調遞減區間： 單調遞增區間：[2kπ－π，2kπ]； 單調遞減區間：[2kπ，2kπ＋π] 單調遞增區間：
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
三角函數的定義域
【要點講解】根據函數解析式特征列出與三角函數有關的不等式,借助三角函數性質及圖象求解.
涉及與正切函數有關的定義域,要注意正切函數本身的定義域.
函數的定義域為　 ．
（2022春 南陽期末）函數的定義域是　 　．
（2023春 金牛區校級月考）定義域為　　
A． B．
C． D．
求下列函數的定義域：
（1）；
（2）；
（3）．
三角函數的值域
【要點講解】(1)求解形如或可化為或的值域,先求出的范圍,再結合三角函數的性質求最值.
(2)形如或可化為的函數值域問題,可以通過換元轉化為二次函數最值問題.
(3)形如或可化為,其中f(x),g(x)為正、余弦函數,常將已知條件式變形后,利用正、余弦函數的有界性求解;
(4)形如的三角函數,可先設,化為關于t的二次函數再求值域(最值).
（2022秋 南關區校級期末）函數的值域是　　
A．， B． C． D．
（2023春 郫都區校級期中）若函數的最大值為，則的值等于　　
A．2 B． C．0 D．
（2023春 全南縣校級期中）已知函數，任取，記函數在，上的最大值為，最小值為，設，則函數的值域為　　
A． B． C． D．
（2023春 長葛市校級月考）求下列函數的值域，并求出最值．
（1），，
（2）．
三角函數的單調性
【要點講解】1.形如的單調區間求法
將看作一個整體,結合的性質求解,若時,先利用誘導公式將x的系數化為正數.
2.已知單調區間求參數范圍的兩種方法
(1)求出原函數的相應單調區間,由已知區間是所求某區間的子集,列不等式(組)求解.
(2)由所給區間求出整體角的范圍,由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集,列不等式(組)求解.
（2023春 凌源市月考）下列區間中，函數單調遞增的是　　
A． B． C． D．
（2023秋 嶗山區校級期末）下列區間中，函數的單調遞增區間是　　
A． B．， C．， D．，
（2022 長治模擬）下列區間中，函數單調遞增的是　　
A． B． C． D．
（2022春 河北月考）函數的單調遞減區間為　　
A． B．
C． D．
三角函數的周期性、對稱性、奇偶性
【要點講解】1.三角函數周期的求法
①求或或 (為常數,)的周期直接應用公式或求解.
②形如y=(其中f(x)是三角函數)的周期,可以借助函數圖象特征或定義求解.
2.三角函數奇偶性判斷及應用
三角函數奇偶性判斷借助定義,而根據奇偶性求解問題則利用性質為奇函數,則,若為偶函數,則.
（2023春 鎮巴縣期末）已知函數在上單調遞減，且，，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 鎮安縣校級模擬）若函數在區間上單調遞減，則正數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
（2023 煙臺模擬）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
（2023 宜春模擬）已知函數滿足，且在上單調，則在上的值域為　　
A．， B．， C．， D．
（2023春 新邱區校級期中）函數的最小正周期是　　
A． B． C． D．
（2023春 涼州區期中）函數的最小正周期和最大值分別是　　
A．和3 B．和2 C．和3 D．和2
（2023春 金安區校級期中）函數的最小正周期為，則　　
A．4 B．2 C．1 D．
（2023 廣東模擬）已知函數，的最小正周期為，若，且為函數的極值點，則的最小值為　　
A．3 B． C． D．
（2023春 房山區期中）已知函數．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的單調遞減區間．
（2023春 簡陽市校級期中）已知函數．
（1）求的最小正周期；
（2）求當時，的值域．
（2023春 合江縣校級期中）下列直線中，是函數圖象的對稱軸的是　　
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
（2023 揚州三模）以點為對稱中心的函數是　　
A． B． C． D．
（2023春 朝陽區校級月考）已知函數的最小正周期為，且恒成立，則圖象的一個對稱中心坐標是　　
A． B． C． D．
綜合運用
（2023春 焦作期末）已知函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
（2023春 高安市校級期中）函數，則下列結論正確的是　　
A．的最大值為1
B．的圖象關于點對稱
C．在上單調遞增
D．的圖象關于直線對稱
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 鹽城期中）設函數在區間恰有三條對稱軸、兩個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
2．（2023 唐山二模）函數的單調遞減區間為　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023 武侯區校級模擬）當，時，函數的值域是，，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
4．（2023 武侯區校級模擬）已知函數在上單調遞增，則在上的零點可能有　　
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
5．（2023春 西城區校級期中）函數的圖象　　
A．關于直線對稱 B．關于直線對稱
C．關于點對稱 D．關于點對稱
6．（2023 廣州二模）已知函數，若恒成立，且，則的單調遞增區間為　　
A． B．
C． D．
二．多選題（共2小題）
7．（2023春 振興區校級期中）下列關于函數的表述正確的是　　
A．函數的最小正周期
B．是函數的一條對稱軸
C．是函數的一個對稱中心
D．函數在區間上是增函數
8．（2022秋 保定期末）已知函數，對，，，，且，都有，滿足 的實數有且只有3個，則下列選項中正確的是　　
A．的取值范圍是
B．的最小值為
C．滿足條件的實數有且只有2個
D．滿足條件的實數有且只有2個
三．填空題（共4小題）
9．（2023 湖北模擬）已知函數，若是函數的圖像的一條對稱軸，是函數的圖像的一個對稱中心，則的最小值為 　　．
10．（2023 閔行區校級一模）已知，若在上恰有兩個不相等的實數、滿足（a）（b），則實數的取值范圍是 　　．
11．（2023 綿陽模擬）已知函數，則在，上的零點個數為 　　．
12．（2022秋 荔灣區校級期末）函數圖象的一個對稱中心為，圖象的對稱軸為 　　．
四．解答題（共3小題）
13．（2022秋 金鳳區校級月考）已知函數，．
（1）求的對稱軸方程；
（2）求在區間上的單調區間．
14．（2022秋 河南月考）已知函數的最大值為．
（1）求函數的最小正周期以及單調遞增區間；
（2）求使成立的的取值集合．
15．（2022春 涼州區校級期中）已知函數．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期；
（3）求函數的單調遞減區間．專題06 函數y＝Asin(ωx＋φ)
目錄
題型一：函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換 3
題型二：已知函數圖象求解析式 5
題型三：三角函數圖象變換與性質的綜合 9
題型四：三角函數模型及其應用 16
函數y＝Asin(ωx＋φ)
(1)勻速圓周運動的數學模型
如圖，點P從P0(t＝0)開始，逆時針繞圓周勻速運動(角速度為ω)，則點P距離水面的高度H與時間t的函數關系式為H＝rsin(ωt＋φ)＋h.
(2)函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象
①用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的簡圖：
列表．先由ωx＋φ＝0，，π，，2π分別求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下表.
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
描點．在同一平面直角坐標系中描出各點．
連線．用光滑的曲線連接這些點，得到一個周期內的圖象．
成圖．利用函數的周期性，通過左、右平移得到定義域內的簡圖．
②由y＝sin x的圖象通過圖象變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)圖象的方法：
三角函數的應用
(1)如果某種變換著的現象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數來描述．
(2)在適當的直角坐標系下，簡諧運動可以用函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述簡諧運動的物理量，大都與這個解析式中的常數有關：
振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換
【要點講解】(1)解題時首先分清原函數與變換后的函數;
(2)異名三角函數圖象變換要利用誘導公式sin α=cos,cos α=sin將不同名函數轉換成同名函數;
(3)無論是先平移再伸縮,還是先伸縮再平移,只要平移|φ|個單位,都是自變量x變為x±|φ|,而不是ωx變為ωx±|φ|.
（2023春 樟樹市校級期中）將函數的圖象上各點向右平移個單位長度得函數的圖象，則的單調遞增區間為　　
A． B．
C． D．，
【解答】解：將的圖象向右平移個單位長度后，
得到，即的圖象，
令，，
解得，，
所以的單調遞增區間為，．
故選：．
（2022秋 上城區校級期末）已知曲線，，則下面結論正確的是　　
A．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線
B．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線
C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線
D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線
【解答】解：把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線．
故選：．
（2022秋 上城區校級期末）將函數的圖象向左平移個單位，再將所的圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標變為原來的倍，得到函數的圖象．已知，則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函數的圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標變為原來的2倍，得到的圖象，再將函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象；
故選：．
（2023 昌平區二模）將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數　　
A．在區間上單調遞增
B．在區間上單調遞減
C．在區間上單調遞增
D．在區間上單調遞減
【解答】解：函數，即，將其圖象向右平移個單位長度，
所得圖象對應的函數是，
當時，，
因為余弦函數在上不單調，
因此函數在上不單調，錯誤；
當時，，
因為余弦函數在上單調遞減，
因此函數在上單調遞減，錯誤，正確．
故選：．
已知函數圖象求解析式
【要點講解】　確定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步驟和方法
(1)求A,b:確定函數的最大值M和最小值m,則A=,b=;
(2)求ω:確定函數的周期T,則可得ω=;
(3)求φ:常用的方法有:
①代入法:把圖象上的一個已知點代入(此時A,ω,b已知)或代入圖象與直線y=b的交點求解(此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上).
②五點法:確定φ值時,往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口.
（2023春 駐馬店月考）已知函數，的部分圖象如圖所示，則　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：由函數的部分圖象知，，
解得，所以，
又因為，解得，，
所以，；
由，得，所以，
所以．
故選：．
（2021 寶雞模擬）已知函數的部分圖象如圖所示，則關于函數下列說法正確的是　　
A．的圖象關于直線對稱
B．的圖象關于點對稱
C．在區間上是增函數
D．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象
【解答】解：由函數，的部分圖象得，
，由五點法畫圖知，
又，所以，解得，
所以．
對于，，所以的圖象不關于直線對稱，錯誤；
對于，，所以的圖象不關于點，對稱，錯誤；
對于，，時，，，所以在區間，上是增函數，正確；
對于，把向右平移個單位，得，得不到的圖象，錯誤．
故選：．
（2023春 譙城區校級期中）已知函數，，的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關于點中心對稱，則下列判斷正確的是　　
A．要得到函數的圖象只需將的圖象向右平移個單位
B．函數的圖象關于直線對稱
C．當時，函數的最大值為
D．函數在上單調遞減
【解答】解：由函數的最大值可知，
因為函數圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，
所以周期，則，解得：，
又函數關于點對稱，則，
解得：，，因為，所以，
所以函數，
對于，向右平移個單位后得到，，所以正確；
對于，當時，，所以不是函數的對稱軸，所以不正確；
對于，當時，，所以，
所以，故錯誤；
對于，若，則，
所以函數在上不具有單調性，故錯誤．
故選：．
（2023春 南陽期中）已知函數，，的部分圖象如圖，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由圖象知，即周期，即，得，
則，
，，即，，
，當時，，
則，
，即，
則，
．
故選：．
三角函數圖象變換與性質的綜合
【要點講解】(1)將f(x)化為asin x+bcos x的形式;
(2)構造f(x)=··sin x+··cos x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ為輔助角);
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函數的性質.
（2023春 麗水期末）已知函數，．
（1）求的最小正周期和單調遞增區間；
（2）將的圖象向左平移個單位，得到的圖象，求，的值域．
【解答】解：（1）由題，周期，
令，
得，
所以的單調遞增區間是．
（2）由已知可得，．
因為，所以．
因為在上單調遞增，在上單調遞減，
且，，，
所以，所以，
所以所求值域為．
（2023春 焦作期末）已知函數的圖象與軸的相鄰兩個交點之間的距離為，且．
（1）求的解析式；
（2）將的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數的單調遞減區間．
【解答】解：（1）由已知得的最小正周期，所以，
從而，又，，所以，
所以．
（2）由已知得．
故，
令，，得，，
所以函數的單調遞減區間為，．
（2023春 成都期末）已知函數，的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由函數的部分圖象知，
，所以，所以，
又因為，
所以，，解得，，
又因為，所以，
所以，解得，
所以；
（2）因為，，所以，，
所以，，
所以，，
即的取值范圍是，．
（2023春 朝陽區校級月考）函數的部分圖像如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）若，，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由圖像可知，即，
解得：，
由圖知函數過點，
，即，
，解得，
又，，
所以的解析式為：；
（2），，
利用余弦函數的圖像與性質知：，
即，
令，則由題可知恒成立，
令，，對稱軸為，開口向上，
①當時，二次函數在上單調遞增，
（1），
解得，此時無解；
②當時，二次函數在上單調遞減，在上單調遞減，
，
解得：；
③當時，二次函數在上單調遞減，
，
解得：，此時無解；
綜上可知，的取值范圍是．
（2023春 河南期中）如圖為函數，的圖象，則函數的圖象與直線在區間，上交點的個數為　　
A．9個 B．8個 C．7個 D．5個
【解答】解：由五點對應法得，得，，
即，
由得或，，
得或，，
由或，
得或，
由得，1，2，3共4個，
由得，1，2共3個，合計個．
故選：．
（2023春 河南期中）如圖為函數，的圖象，則函數的圖象與直線在區間，上交點的個數為　　
A．9個 B．8個 C．7個 D．5個
【解答】解：由題圖得，所以，因為，
所以，，，，
因為，所以，所以，
，，令，
或，，由于，，
則，，，，，，，有7個值，
故的圖象與直線在此區間上有7個交點．
故選：．
（2023春 柯橋區期末）已知函數的部分圖象如圖所示，，是的兩個零點，若，則下列為定值的量是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函數，的周期為，
令，可得，，
所以，即，，
又，
所以，，，
又，所以，
所以．
故選：．
（2023 鄭州模擬）已知函數（其中，的圖象如圖所示，且滿足，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：設的最小正周期為，根據及函數圖象的對稱性知，，
所以，得．由，得，即，
因為，結合圖知，故．
由，得，即，
由圖象易知，得．
故選：．
（2023 鯉城區校級模擬）已知函數在區間內沒有零點，但有極值點，則的取值范圍　　
A． B． C． D．
【解答】解：，其中（取為銳角），
，其中（取為銳角），
設，由，可得．
在區間內沒有零點，但有極值點時，，可得．
所以．
因為，，所以．
所以，
所以在上的最大值在取得，故．
又
，
，
所以的取值范圍是．
故選：．
三角函數模型及其應用
【要點講解】(1)解題關鍵:準確理解自變量的意義及自變量與因變量之間的對應法則,建立三角函數關系式;
(2)建立精確的或者數據擬合的模型去解決問題,尤其是利用已知數據建立擬合函數解決實際問題;
(3)與角度有關的呈周期性變化的問題常轉化為三角函數模型.
（2023春 沂水縣期中）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用．現有一個筒車按逆時針方向勻速轉動，每分鐘轉動6圈，如圖，將該筒車抽象為圓，筒車上的盛水桶抽象為圓上的
點，已知圓的半徑為，圓心距離水面，且當圓上點從水中浮現時（圖中點開始計算時間．根據如圖所示的直角坐標系，將點到水面的距離（單位：在水面下，為負數）表示為時間（單位：的函數，當時，點到水面的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意，得筒車旋轉的周期是，
第時，點回到原來的位置，第時點旋轉了180度，
由三角函數可求出所在直徑與水面的夾角為30度，所以此時距離水面的距離為，
故選：．
（2023春 西城區校級期中）如圖所示，一個大風車的半徑為，每旋轉一周，最低點離地面，若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點離地面的距離與時間之間的函數關系是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意，，，
設，，，，
則，，，
可得，
的初始位置在最低點，時，有，即，
解得，，，
與的函數關系為：．
故選：．
（2023春 肥城市期中）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖．假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．如圖2，將筒車抽象為一個半徑為4米的圓，筒車按逆時針方向每旋轉一周用時120秒，當時，筒車上的某個盛水筒位于點處，經過秒后運動到點，點的縱坐標滿足．
已知筒車的軸心距離水面的高度為2米，設盛水筒到水面的距離為（單位：米）
（盛水筒在水面下時，則為負數）．
（1）將距離表示成旋轉時間的函數；
（2）求筒車在，秒的旋轉運動過程中，盛水筒位于水面以下的時間有多長？
【解答】解：（1）由題意知，，，所以，
時，，解得，
又因為，所以，
所以點的縱坐標滿足，．
所以距離關于時間的函數為，；
（2），時，令，得，
所以，解得，
所以筒車在，秒的旋轉運動過程中，盛水筒位于水面以下的時間是
（秒．
（2023 香洲區校級模擬）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖某摩天輪的最高點距離地面的高度為90米，最低點距離地面10米，摩天輪上均勻設置了36個座艙（如圖，開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉動，游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙，摩天輪轉完一周后在相同的位置離開座艙摩天輪轉一周需要30分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．
（1）經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數關系式滿足（其中，，，求摩天輪轉動一周的解析式；
（2）問：游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度恰好為30米？
【解答】解：（1）（其中，，，
由題意知：，
，
故，
，
，
又，
，
，
故解析式為：，，；
（2）令，則，即，
因為，，則，
所以或，
解得或，
故游客甲坐上摩天輪5分鐘或25分鐘時，距離地面的高度恰好為30米．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023 廣東學業考試）要獲得，只需要將正弦圖像　　
A．向左移動個單位 B．向右移動個單位
C．向左移動個單位 D．向右移動個單位
【解答】解：把的圖象向左平移個單位，所得圖象的函數解析式為．
故選：．
2．（2023春 順德區校級期中），，的一段圖象如圖，則其解析式為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
根據圖象可得函數最大值為2，則，
點，對應五點作圖的第三個點，
則，，
則函數的解析式為：．
故選：．
3．（2023春 金安區校級期中）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1．由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數關系為，，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于的總時間為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，，所以，
又，所以，
則，由可得，
所以，，
因為，
所以在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于的總時間為．
故選：．
4．（2023 桃城區校級三模）函數的部分圖象如圖所示，則　　
A． B． C．0 D．
【解答】解：由圖可知，且過點，代入解析式可知，，
即．
因為，所以，
所以，
所以．
故選：．
5．（2023春 河南期中）如圖為函數，的圖象，則函數的圖象與直線在區間，上交點的個數為　　
A．9個 B．8個 C．7個 D．5個
【解答】解：由五點對應法得，得，，
即，
由得或，，
得或，，
由或，
得或，
由得，1，2，3共4個，
由得，1，2共3個，合計個．
故選：．
6．（2023春 深圳期中）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象　　
A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【解答】解：由于函數，要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位長度即可．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．（2023 臨沂二模）已知函數，，在一個周期內的圖象如圖，則　　
A．
B．點是一個對稱中心
C．的單調遞減區間是，
D．把函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，再向左平移個單位，可得的圖象
【解答】解：由圖象可得，且，所以最小正周期，
而，即，可得，所以，
由圖知，時，，，又，所以，
所以，所以錯誤；
中，因為，這時，所以 是函數的一個對稱中心，所以正確；
中，，，，是函數的單調增區間，項錯誤，
理由如下：函數的遞增區間滿足，，
解得，
所以函數的遞增區間為，，，所以錯誤；
中，的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的 倍，縱坐標不變，
可得，再向左平移，可得，
即與該函數圖像一樣，所以正確；
故選：．
8．（2023 郴州模擬）設函數向左平移個單位長度得到函數，已知在，上有且只有5個零點，則下列結論正確的是　　
A．的圖象關于點對稱
B．在上有且只有5個極值點
C．在上單調遞增
D．的取值范圍是
【解答】解：由題設，在，上，若，
所以在上有5個零點，則，解得，故正確；
在上，，當，極值點個數為6個，故錯誤；
且，故不為0，故錯誤；
在上，則，故遞增，即在上遞增，故正確．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．（2023 漢濱區校級模擬）把函數的圖象向右平移個單位后，圖象關于軸對稱，若在區間，上單調遞減，則的最大值為 　　．
【解答】解：函數的圖象向右平移個單位后，得到的函數為，
函數的圖象關于軸對稱，
，
，
又，，
，
，，，，
在區間，上單調遞減，
，解得，
的最大值為．
故答案為：．
10．（2022秋 河北區期末）已知函數的部分圖象如圖所示，則　　．
【解答】解：令，
，
所以，所以，
結合，得，，
易知時，即為所求．
故答案為：．
11．（2023春 順慶區校級期中）將函數的圖象向左平移個單位得到一個偶函數的圖象，則　　．
【解答】解：將函數的圖象向左平移個單位長度得圖象所對應的解析式為，
因為為偶函數，
所以，
即，，
又，
所以．
故答案為：．
12．（2023春 桐柏縣校級月考）函數的圖象向左平移個單位后與函數的圖象重合，則　　．
【解答】解：，，
因為平移后圖象重合，故，因為，故．
故答案為：．
四．解答題（共3小題）
13．（2023 桃城區校級模擬）如圖，，是以原點為圓心的單位圓上的兩個動點，若它們同時從點出發，沿逆時針方向做勻角速度運動，其角速度分別為（單位：弧度秒），為線段的中點，記經過秒后（其中，．
（1）求的函數解析式；
（2）將圖像上的各點均向右平移2個單位長度，得到的圖像，求函數的單調遞減區間．
【解答】解：（1），是以原點為圓心的單位圓上的兩個動點，它們同時從點出發，沿逆時針方向做勻角速度運動，其角速度分別為（單位：弧度秒），
經過秒后（其中，
則．
因為，
所以，
所以，
所以．
即．
（2）依題意可知
由，得，
故函數在，上的單調遞減區間為，．
14．（2023春 朝陽區校級期末）某同學用“五點法”畫函數，，在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如表：
0
0 2 0 0
（Ⅰ）函數的解析式為　　（直接寫出結果即可）；
（Ⅱ）求函數的單調遞增區間；
（Ⅲ）求函數在區間，上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ），，
所以，，結合得，故；
（Ⅱ）由，解得，，
故的單調遞增區間為，，；
（Ⅲ）由，，得，
故當時，．
15．（2023春 長壽區期末）若函數．
（1）求函數的最小正周期；
（2）若將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，當時，求的值域．
【解答】解：（1），
則函數的周期為；
（2）函數的圖象向右平移得：，
因為，所以，故，
當時，，當時，，
，故函數的值域為．專題06 函數y＝Asin(ωx＋φ)
目錄
題型一： 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換 3
題型二： 已知函數圖象求解析式 5
題型三： 三角函數圖象變換與性質的綜合 9
題型四： 三角函數模型及其應用 16
函數y＝Asin(ωx＋φ)
(1)勻速圓周運動的數學模型
如圖，點P從P0(t＝0)開始，逆時針繞圓周勻速運動(角速度為ω)，則點P距離水面的高度H與時間t的函數關系式為H＝rsin(ωt＋φ)＋h.
(2)函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象
①用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的簡圖：
列表．先由ωx＋φ＝0，，π，，2π分別求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下表.
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
描點．在同一平面直角坐標系中描出各點．
連線．用光滑的曲線連接這些點，得到一個周期內的圖象．
成圖．利用函數的周期性，通過左、右平移得到定義域內的簡圖．
②由y＝sin x的圖象通過圖象變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)圖象的方法：
三角函數的應用
(1)如果某種變換著的現象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數來描述．
(2)在適當的直角坐標系下，簡諧運動可以用函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述簡諧運動的物理量，大都與這個解析式中的常數有關：
振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換
【要點講解】(1)解題時首先分清原函數與變換后的函數;
(2)異名三角函數圖象變換要利用誘導公式sin α=cos,cos α=sin將不同名函數轉換成同名函數;
(3)無論是先平移再伸縮,還是先伸縮再平移,只要平移|φ|個單位,都是自變量x變為x±|φ|,而不是ωx變為ωx±|φ|.
（2023春 樟樹市校級期中）將函數的圖象上各點向右平移個單位長度得函數的圖象，則的單調遞增區間為　　
A． B．
C． D．，
（2022秋 上城區校級期末）已知曲線，，則下面結論正確的是　　
A．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線
B．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線
C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線
D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線
（2022秋 上城區校級期末）將函數的圖象向左平移個單位，再將所的圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標變為原來的倍，得到函數的圖象．已知，則　　
A． B．
C． D．
（2023 昌平區二模）將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數　　
A．在區間上單調遞增
B．在區間上單調遞減
C．在區間上單調遞增
D．在區間上單調遞減
已知函數圖象求解析式
【要點講解】　確定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步驟和方法
(1)求A,b:確定函數的最大值M和最小值m,則A=,b=;
(2)求ω:確定函數的周期T,則可得ω=;
(3)求φ:常用的方法有:
①代入法:把圖象上的一個已知點代入(此時A,ω,b已知)或代入圖象與直線y=b的交點求解(此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上).
②五點法:確定φ值時,往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口.
（2023春 駐馬店月考）已知函數，的部分圖象如圖所示，則　　
A．0 B． C． D．
（2021 寶雞模擬）已知函數的部分圖象如圖所示，則關于函數下列說法正確的是　　
A．的圖象關于直線對稱
B．的圖象關于點對稱
C．在區間上是增函數
D．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象
（2023春 譙城區校級期中）已知函數，，的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關于點中心對稱，則下列判斷正確的是　　
A．要得到函數的圖象只需將的圖象向右平移個單位
B．函數的圖象關于直線對稱
C．當時，函數的最大值為
D．函數在上單調遞減
（2023春 南陽期中）已知函數，，的部分圖象如圖，則　　
A． B． C． D．
三角函數圖象變換與性質的綜合
【要點講解】(1)將f(x)化為asin x+bcos x的形式;
(2)構造f(x)=··sin x+··cos x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ為輔助角);
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函數的性質.
（2023春 麗水期末）已知函數，．
（1）求的最小正周期和單調遞增區間；
（2）將的圖象向左平移個單位，得到的圖象，求，的值域．
（2023春 焦作期末）已知函數的圖象與軸的相鄰兩個交點之間的距離為，且．
（1）求的解析式；
（2）將的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數的單調遞減區間．
（2023春 成都期末）已知函數，的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范圍．
（2023春 朝陽區校級月考）函數的部分圖像如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）若，，求的取值范圍．
（2023春 河南期中）如圖為函數，的圖象，則函數的圖象與直線在區間，上交點的個數為　　
A．9個 B．8個 C．7個 D．5個
（2023春 河南期中）如圖為函數，的圖象，則函數的圖象與直線在區間，上交點的個數為　　
A．9個 B．8個 C．7個 D．5個
（2023春 柯橋區期末）已知函數的部分圖象如圖所示，，是的兩個零點，若，則下列為定值的量是　　
A． B． C． D．
（2023 鄭州模擬）已知函數（其中，的圖象如圖所示，且滿足，則　　
A． B． C． D．
（2023 鯉城區校級模擬）已知函數在區間內沒有零點，但有極值點，則的取值范圍　　
A． B． C． D．
三角函數模型及其應用
【要點講解】(1)解題關鍵:準確理解自變量的意義及自變量與因變量之間的對應法則,建立三角函數關系式;
(2)建立精確的或者數據擬合的模型去解決問題,尤其是利用已知數據建立擬合函數解決實際問題;
(3)與角度有關的呈周期性變化的問題常轉化為三角函數模型.
（2023春 沂水縣期中）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用．現有一個筒車按逆時針方向勻速轉動，每分鐘轉動6圈，如圖，將該筒車抽象為圓，筒車上的盛水桶抽象為圓上的
點，已知圓的半徑為，圓心距離水面，且當圓上點從水中浮現時（圖中點開始計算時間．根據如圖所示的直角坐標系，將點到水面的距離（單位：在水面下，為負數）表示為時間（單位：的函數，當時，點到水面的距離為　　
A． B． C． D．
（2023春 西城區校級期中）如圖所示，一個大風車的半徑為，每旋轉一周，最低點離地面，若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點離地面的距離與時間之間的函數關系是　　
A． B．
C． D．
（2023春 肥城市期中）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖．假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．如圖2，將筒車抽象為一個半徑為4米的圓，筒車按逆時針方向每旋轉一周用時120秒，當時，筒車上的某個盛水筒位于點處，經過秒后運動到點，點的縱坐標滿足．
已知筒車的軸心距離水面的高度為2米，設盛水筒到水面的距離為（單位：米）
（盛水筒在水面下時，則為負數）．
（1）將距離表示成旋轉時間的函數；
（2）求筒車在，秒的旋轉運動過程中，盛水筒位于水面以下的時間有多長？
（2023 香洲區校級模擬）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖某摩天輪的最高點距離地面的高度為90米，最低點距離地面10米，摩天輪上均勻設置了36個座艙（如圖，開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉動，游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙，摩天輪轉完一周后在相同的位置離開座艙摩天輪轉一周需要30分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．
（1）經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數關系式滿足（其中，，，求摩天輪轉動一周的解析式；
（2）問：游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度恰好為30米？
一．選擇題（共6小題）
1．（2023 廣東學業考試）要獲得，只需要將正弦圖像　　
A．向左移動個單位 B．向右移動個單位
C．向左移動個單位 D．向右移動個單位
2．（2023春 順德區校級期中），，的一段圖象如圖，則其解析式為　　
A． B．
C． D．
3．（2023春 金安區校級期中）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1．由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數關系為，，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于的總時間為　　
A． B． C． D．
4．（2023 桃城區校級三模）函數的部分圖象如圖所示，則　　
A． B． C．0 D．
5．（2023春 河南期中）如圖為函數，的圖象，則函數的圖象與直線在區間，上交點的個數為　　
A．9個 B．8個 C．7個 D．5個
6．（2023春 深圳期中）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象　　
A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
二．多選題（共2小題）
7．（2023 臨沂二模）已知函數，，在一個周期內的圖象如圖，則　　
A．
B．點是一個對稱中心
C．的單調遞減區間是，
D．把函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，再向左平移個單位，可得的圖象
8．（2023 郴州模擬）設函數向左平移個單位長度得到函數，已知在，上有且只有5個零點，則下列結論正確的是　　
A．的圖象關于點對稱
B．在上有且只有5個極值點
C．在上單調遞增
D．的取值范圍是
三．填空題（共4小題）
9．（2023 漢濱區校級模擬）把函數的圖象向右平移個單位后，圖象關于軸對稱，若在區間，上單調遞減，則的最大值為 　　．
10．（2022秋 河北區期末）已知函數的部分圖象如圖所示，則　　．
11．（2023春 順慶區校級期中）將函數的圖象向左平移個單位得到一個偶函數的圖象，則　　．
12．（2023春 桐柏縣校級月考）函數的圖象向左平移個單位后與函數的圖象重合，則　　．
四．解答題（共3小題）
13．（2023 桃城區校級模擬）如圖，，是以原點為圓心的單位圓上的兩個動點，若它們同時從點出發，沿逆時針方向做勻角速度運動，其角速度分別為（單位：弧度秒），為線段的中點，記經過秒后（其中，．
（1）求的函數解析式；
（2）將圖像上的各點均向右平移2個單位長度，得到的圖像，求函數的單調遞減區間．
14．（2023春 朝陽區校級期末）某同學用“五點法”畫函數，，在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如表：
0
0 2 0 0
（Ⅰ）函數的解析式為　　（直接寫出結果即可）；
（Ⅱ）求函數的單調遞增區間；
（Ⅲ）求函數在區間，上的最小值．
15．（2023春 長壽區期末）若函數．
（1）求函數的最小正周期；
（2）若將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，當時，求的值域．

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