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重難點(diǎn)突破01 切線與公切線
導(dǎo)數(shù)中的公切線問題，重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題，主要考查消元、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
解決曲線的切線問題，核心是切點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)榍悬c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解．
一．選擇題（共10小題）
1．（2023 長沙模擬）一條斜率為1的直線分別與曲線和曲線相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則公切線段的長為　　
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：由，得，
由，得，則，可得切點(diǎn)；
由，得，
由，，得，則，得．
公切線段的長為．
故選：．
2．（2023 武昌區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線和，若和有且僅有兩條公切線和，和、分別相切于，點(diǎn)，與、分別相切于，兩點(diǎn)，則線段與　　
A．總是互相垂直 B．總是互相平分
C．總是互相垂直且平分 D．上述說法均不正確
【解答】解：拋物線，，
兩曲線分別是經(jīng)過平移、對(duì)稱變換得到的，則兩曲線的大小與形狀相同，且具有中心對(duì)稱性，
和是它們的公切線，和、分別相切于，兩點(diǎn)，和、分別相切于，兩點(diǎn)，
，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱，，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱，線段與互相平分．
故選：．
3．（2023 徐匯區(qū)校級(jí)一模）若直線是曲線與的公切線，則　　
A． B．1 C． D．2022
【解答】解：設(shè)直線與的圖象相切于點(diǎn)，，與的圖象相切于點(diǎn)，，
又，，且，．
曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，
曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．
故，解得，
故．
故選：．
4．（2023 道里區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)設(shè)為，，
與曲線的切點(diǎn)為，
由，得，可得，即，
由，得，可得，即，
又，即，①
，即，②
由①②解得，．
故選：．
5．（2023春 祁東縣校級(jí)期中）若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，是公切線和曲線的切點(diǎn)，則斜率為，
故切線方程為，整理得，
設(shè)，是公切線和曲線的切點(diǎn)，則切線斜率為，
故切線方程為：，整理得：，其中，
所以，
將①代入②式整理后得，
又，則，
設(shè)，，
則，，易知，所以在上單調(diào)遞減，
而，當(dāng)時(shí)，，
故，即即為所求．
故選：．
6．（2023 重慶模擬）在數(shù)學(xué)王國中有許多例如，等美妙的常數(shù)，我們記常數(shù)為的零點(diǎn)，若曲線與存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：設(shè)公切線與兩曲線與的切點(diǎn)分別為，，，，
由，，
得，整理可得，
令，則，
由，得，可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
可得的最大值為．
實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
7．（2023春 湖北期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則　　
A．26 B．23 C．15 D．11
【解答】解：設(shè)直線與曲線切于，
由，得，
由，解得或（舍去），
切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，得；
則切線方程為．
再設(shè)直線與曲線切于，
由，得，
，且，
聯(lián)立解得，．
．
故選：．
8．（2023 浙江模擬）已知兩曲線與，則下列結(jié)論正確的是　　
A．若兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
B．若，則兩曲線只有一條公切線
C．若，則兩曲線有兩條公切線，且兩條公切線的斜率之積為
D．若，，分別是兩曲線上的點(diǎn)，則，兩點(diǎn)距離的最小值為1
【解答】解：若兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，記交點(diǎn)為，則，
且在此處的切線為公切線，所以，即滿足．
設(shè)，則時(shí)單調(diào)遞增，（1），所以錯(cuò)誤．
如圖，時(shí)，設(shè)，
則，由于（1），，
所以存在，使得，
那么當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)，時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)，
且，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，
則兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故沒有公切線，所以錯(cuò)誤．
時(shí)，設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，，
所以在點(diǎn)處的曲線切線方程為，即①，
設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，
所以，解得或，
所以兩斜率分別是1和，所以正確．
時(shí)，曲線的一條切線為，的一條切線，
兩切線間的距離為最小值，所以錯(cuò)誤．
故選：．
9．（2023 上饒二模）若曲線y＝lnx+1與曲線y＝x2+x+3a有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：設(shè)（x1，y1）是曲線y＝lnx+1的切點(diǎn)，設(shè)（x2，y2）是曲線y＝x2+x+3a的切點(diǎn)，
對(duì)于曲線y＝lnx+1，其導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于曲線y＝x2+x+3a，其導(dǎo)數(shù)為y′＝2x+1，
∴切線方程分別為：，，兩切線重合，
對(duì)照斜率和縱截距可得：，解得（），
令h（x）＝﹣ln（2x+1）+x2（），，得：，
當(dāng)時(shí)，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，
∴，且當(dāng)x→時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞；
∴，∴．
故選：D．
10．（2023 保山模擬）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由函數(shù)，可得，
因?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)為，則，
則公切線方程為，即，
與聯(lián)立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且（1），
當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以（1），且當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>所以且，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：．
二．多選題（共2小題）
11．（2023春 重慶期中）已知直線是曲線與的公切線，則下列說法正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)曲線上切點(diǎn)，，，
切線斜率，切線方程，
即，
同理，設(shè)曲線上切點(diǎn)，，，
切線斜率，切線方程，
即，
所以，解得，
所以，，．
故選：．
12．（2023 建華區(qū)校級(jí)三模）若一條直線與兩條或兩條以上的曲線均相切，則稱該直線為這些曲線的公切線，已知直線為曲線和的公切線，則下列結(jié)論正確的是　　
A．曲線的圖象在軸的上方
B．當(dāng)時(shí)，
C．若，則
D．當(dāng)時(shí)，和必存在斜率為的公切線
【解答】解：選項(xiàng)，由，得，可知曲線的圖象在軸的上方，故正確；
選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，
對(duì)于，有，
因?yàn)橹本€為曲線的切線，
所以，即，此時(shí)，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，將其代入切線方程中，
有，整理得，可得，即正確；
選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，公切線為，
設(shè)，，則，，
所以，，解得，，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，則，，
若和存在斜率為的公切線，則存在和使得，，
由選項(xiàng)可知，，即，
所以，，即，，符合題意，
故當(dāng)時(shí)，和必存在斜率為的公切線，即正確．
故選：．
三．填空題（共17小題）
13．（2022秋 啟東市期末）已知直線是曲線與的公切線，則　　．
【解答】解：設(shè)切點(diǎn)，，，，
由題意得，，切線方程分別可以表示為：
，
，
，得，則，．
則．
故答案為：．
14．（2022秋 張家口期末）已知直線是函數(shù)與函數(shù)的公切線，若，（1）是直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，則　　．
【解答】解：，
，，
，（1）是直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，
（1），（1），
，
，
即直線的方程為，
，
，
設(shè)與的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，
切線方程為，
即，
，，
解得，
，
．
故答案為：．
15．（2023 鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）寫出曲線與曲線的公切線的一個(gè)方向向量 　（答案不唯一）　．
【解答】解：設(shè)兩曲線的公切線與曲線切于，與曲線切于，，
曲線在處的切線方程為，
曲線在，處的切線方程為．
則，且，
可得，即．
曲線與曲線的公切線的方程為，該公切線的一個(gè)方向向量為．
故答案為：（答案不唯一）．
16．（2023 惠安縣模擬）已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 　　．
【解答】解：由，得，
由，得，
設(shè)直線與曲線和分別切于，，，，
則，即，代入，
可得，解得，
，切點(diǎn)為，，則切線方程為，
取，得．
直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．
故答案為：．
17．（2023 防城港模擬）若曲線與有一條斜率為2的公切線，則　　．
【解答】解：設(shè)公切線在曲線與上的切點(diǎn)分別為，，，，
由得，則，解得，
，則，
故在點(diǎn)的切線方程為，
又得，則，即，
，
又切點(diǎn)，，則，在切線上，
，解得，
．
故答案為：．
18．（2023 廣東模擬）曲線與的公共切線的條數(shù)為 　2　．
【解答】解：設(shè)曲線上的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，
所以切線方程為，
由得，
則，
所以，
所以曲線上的切點(diǎn)為，，
所以切線方程為，
所以，
所以，
在同一坐標(biāo)系中作出曲線和的圖象，
由圖可知，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
故答案為：2．
19．（2023春 重慶期末）已知直線是函數(shù)與函數(shù)的公切線，若，（1）是直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，則　　．
【解答】解：，
，，
，（1）是直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，
（1），（1），
，
，
即直線的方程為，
，
，
設(shè)與的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，，
切線方程為，
即，
，，
解得，
，
．
故答案為：．
20．（2023春 涪城區(qū)校級(jí)期中）若與兩個(gè)函數(shù)的圖象有一條與直線平行的公共切線，則　0　．
【解答】解：，，
如圖所示，設(shè)公切線與相切于，，與相切于，，則有以下關(guān)系：
，求得，
故公切線方程為，所以，
即，．
故答案為：0．
21．（2023 浠水縣校級(jí)三模）若曲線與曲線存在公切線，則的取值范圍為 　，　．
【解答】解：設(shè)公切線與曲線的切點(diǎn)為，，與曲線的切點(diǎn)為，，
，，
在處的切線方程為，
同理可得，在處的切線方程為，
由題意可知，，即①，
，，
，，
方程組①消去，整理得，
設(shè)，則，
，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，
又（1），
，
即的取值范圍為，．
故答案為：，．
22．（2023 廈門模擬）已知函數(shù)，，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為 　　．
【解答】解：，
假設(shè)兩曲線在同一點(diǎn)，處相切，
則，可得，即，
因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，
所以，則，此時(shí)兩曲線在處相切，
根據(jù)曲線的變化趨勢(shì)，若繼續(xù)增大，則兩曲線相交于兩點(diǎn)，不存在公切線，
所以的最大值為．
故答案為：．
23．（2023春 廣西期中）已知曲線與的公切線為，則實(shí)數(shù)　1　．
【解答】解：對(duì)曲線求導(dǎo)數(shù)得，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線為，
即，與公切線對(duì)照得，
解得，所以切線方程為，
對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)為，，
則，解得，．
故答案為：1．
24．（2023 邯鄲三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，
由于直線與圓相切，得，
因?yàn)榍€與圓有三條公切線，故式有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
令，則曲線與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
顯然，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此，只需，即，
解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
25．（2023春 靖江市校級(jí)月考）已知曲線與曲線存在公共切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　，　．
【解答】解：由，得，由，得，
設(shè)直線分別與、切于，、，，
則直線的方程為，，
即，．
，可得．
令，則，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減．
．
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，，可得，．
故答案為：，．
26．（2023春 香坊區(qū)校級(jí)月考）定義：若直線與函數(shù)，的圖象都相切，則稱直線為函數(shù)和的公切線．若函數(shù)和有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為 　　．
【解答】解：設(shè)直線與切于，與切于，
，，
與切線方程分別為，，
由題意得，則．
令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減．
．
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且已知，
若函數(shù)和有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為．
故答案為：．
27．（2023 鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則　　．
【解答】解：曲線，，
設(shè)公切線與，的切點(diǎn)為，，可知，
由，
得，，
，，可得，即，
，
構(gòu)造函數(shù)，，
問題等價(jià)于直線與曲線在時(shí)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
的最大值為（2），（1），當(dāng)時(shí)，，
故．
故答案為：．
28．（2023 蓬萊區(qū)三模）已知曲線與的兩條公切線的夾角余弦值為，則　3　．
【解答】解：曲線與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，如圖所示，
由題意可知，，
所以，
，解得，或，
因?yàn)闉殇J角，
所以，
由對(duì)稱性，不妨取直線進(jìn)行研究，則直線的傾斜角為，
，
設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，
，所以，
所以直線的方程為，即，
，
所以，
所以直線的方程為，即．
所以，即，
所以，即，
所以，即，則，
所以．
故答案為：3．
29．（2023 浙江開學(xué)）已知曲線與的兩條公切線的夾角正切值為，則　　．
【解答】解：與互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線對(duì)稱，如圖所示，
由題意，兩條公切線的夾角正切值為，
解得或，又為銳角，所以．
由對(duì)稱性，不妨取直線進(jìn)行研究，則直線的傾斜角為：
，，
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
則，，
，即，
所以，，
，即．
，則，
即，則，
所以，
即，
所以．
故答案為：．
四．解答題（共1小題）
30．（2023 郴州模擬）已知函數(shù)，．
（1）若，在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)和有公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，，
令，得（舍負(fù)）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1）．
根據(jù)題意的取值范圍為，．
（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)，處與函數(shù)在點(diǎn)，處有相同的切線，
則，，
，代入，
得．問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程有解，
設(shè)，則函數(shù)有零點(diǎn)，
，當(dāng)時(shí)，，，
問題轉(zhuǎn)化為：的最小值小于或等于，
設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
的最小值為，
由知，
故，
設(shè)，
則，
故在上單調(diào)遞增，
（1），當(dāng)，時(shí)，，的最小值等價(jià)于．
又函數(shù)在，上單調(diào)遞增，．重難點(diǎn)突破01 切線與公切線
導(dǎo)數(shù)中的公切線問題，重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題，主要考查消元、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
解決曲線的切線問題，核心是切點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)榍悬c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解．
一．選擇題（共10小題）
1．（2023 長沙模擬）一條斜率為1的直線分別與曲線和曲線相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則公切線段的長為　　
A．2 B． C．1 D．
2．（2023 武昌區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線和，若和有且僅有兩條公切線和，和、分別相切于，點(diǎn)，與、分別相切于，兩點(diǎn)，則線段與　　
A．總是互相垂直 B．總是互相平分
C．總是互相垂直且平分 D．上述說法均不正確
3．（2023 徐匯區(qū)校級(jí)一模）若直線是曲線與的公切線，則　　
A． B．1 C． D．2022
4．（2023 道里區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則等于　　
A． B． C． D．
5．（2023春 祁東縣校級(jí)期中）若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
6．（2023 重慶模擬）在數(shù)學(xué)王國中有許多例如，等美妙的常數(shù)，我們記常數(shù)為的零點(diǎn)，若曲線與存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
7．（2023春 湖北期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則　　
A．26 B．23 C．15 D．11
8．（2023 浙江模擬）已知兩曲線與，則下列結(jié)論正確的是　　
A．若兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
B．若，則兩曲線只有一條公切線
C．若，則兩曲線有兩條公切線，且兩條公切線的斜率之積為
D．若，，分別是兩曲線上的點(diǎn)，則，兩點(diǎn)距離的最小值為1
9．（2023 上饒二模）若曲線y＝lnx+1與曲線y＝x2+x+3a有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023 保山模擬）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
二．多選題（共2小題）
11．（2023春 重慶期中）已知直線是曲線與的公切線，則下列說法正確的是　　
A． B． C． D．
12．（2023 建華區(qū)校級(jí)三模）若一條直線與兩條或兩條以上的曲線均相切，則稱該直線為這些曲線的公切線，已知直線為曲線和的公切線，則下列結(jié)論正確的是　　
A．曲線的圖象在軸的上方
B．當(dāng)時(shí)，
C．若，則
D．當(dāng)時(shí)，和必存在斜率為的公切線
三．填空題（共17小題）
13．（2022秋 啟東市期末）已知直線是曲線與的公切線，則 ．
14．（2022秋 張家口期末）已知直線是函數(shù)與函數(shù)的公切線，若，（1）是直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，則 ．
15．（2023 鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）寫出曲線與曲線的公切線的一個(gè)方向向量 ．
16．（2023 惠安縣模擬）已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
17．（2023 防城港模擬）若曲線與有一條斜率為2的公切線，則 ．
18．（2023 廣東模擬）曲線與的公共切線的條數(shù)為 ．
19．（2023春 重慶期末）已知直線是函數(shù)與函數(shù)的公切線，若，（1）是直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，則 ．
20．（2023春 涪城區(qū)校級(jí)期中）若與兩個(gè)函數(shù)的圖象有一條與直線平行的公共切線，則 ．
21．（2023 浠水縣校級(jí)三模）若曲線與曲線存在公切線，則的取值范圍為 ．
22．（2023 廈門模擬）已知函數(shù)，，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為 ．
23．（2023春 廣西期中）已知曲線與的公切線為，則實(shí)數(shù) ．
24．（2023 邯鄲三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是 ．
25．（2023春 靖江市校級(jí)月考）已知曲線與曲線存在公共切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
26．（2023春 香坊區(qū)校級(jí)月考）定義：若直線與函數(shù)，的圖象都相切，則稱直線為函數(shù)和的公切線．若函數(shù)和有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為 ．
27．（2023 鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則 ．
28．（2023 蓬萊區(qū)三模）已知曲線與的兩條公切線的夾角余弦值為，則 ．
29．（2023 浙江開學(xué)）已知曲線與的兩條公切線的夾角正切值為，則 ．
四．解答題（共1小題）
30．（2023 郴州模擬）已知函數(shù)，．
（1）若，在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)和有公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．重難點(diǎn)突破02 導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造問題
(1)構(gòu)造函數(shù) : 當(dāng)條件中含 “+” 時(shí)優(yōu)先考慮 ；當(dāng)條件中含 “ - ” 時(shí)優(yōu)先考慮 .
(2)構(gòu)造函數(shù) ：條件中含 “ ” 的形式；構(gòu)造函數(shù) ：條件中含 “ ” 的形式.
(3)構(gòu)造函數(shù) : 條件中含 “ ” 的形式.
(4)構(gòu)造函數(shù) : 條件中含 “ ” 的形式.
1．（2023春 資溪縣校級(jí)期末）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，（2），當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C． D．，，
【解答】解：令，則，
當(dāng)時(shí)，，故，
所以在上單調(diào)遞減，又，
所以即（2），
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，
即為定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，
所以由（2）可得（2），
所以，即或，
即不等式的解集是，，，
故選：．
2．（2022春 贛州期末）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為　　
A． B．， C． D．
【解答】解：設(shè)，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
即為奇函數(shù)，
而，則在上單調(diào)遞增，，
即，
即，
所以的范圍為．
故選：．
3．（2021春 海安市校級(jí)期中）設(shè)定義在，上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則　　
A．（1）（3） B．（1）（3） C．（3）（1） D．（3）（1）
【解答】解：令，，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以在，上單調(diào)遞減，
所以（3）（1），即，
所以（1）（3）．
故選：．
4．（2023春 鄄城縣校級(jí)月考）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：構(gòu)造函數(shù)，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋裕?br/>由，得，
即，
所以．
故選：．
5．（2023春 泉州期末）設(shè)偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則下列結(jié)論一定正確的是　　
A．（1） B．（2）（1）
C． D．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，有，即，
令，則，
即在上單調(diào)遞增，
又為偶函數(shù)，則，即為偶函數(shù)，
故（2）（1），即，
即，故錯(cuò)誤，正確；
由（2）（1），即，即，錯(cuò)誤；
而（1），故，則不一定成立，錯(cuò)誤，
故選：．
6．（2023春 上高縣校級(jí)期末）已知若為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)，時(shí)，，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，
則，
若為偶函數(shù)，則，即可得函數(shù)為偶函數(shù)，
又由當(dāng)，時(shí)，，則單調(diào)遞增，則在，上遞減，
則，解可得，
即不等式的解集為，；
故選：．
7．（2023春 東莞市期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意知，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
不等式等價(jià)于，
即為，所以，
解得．
故選：．
8．（2023春 西青區(qū)期末）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，若對(duì)任意的，都有，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有，
所以對(duì)任意的，都有，
所以對(duì)任意的，都有，單調(diào)遞增，
不等式可化為，進(jìn)而可得，
所以，
所以，
故選：．
9．（2023春 嘉陵區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意的，，若，則的解集是　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，則，
，，則單調(diào)遞減，
又，，
，得．
的解集是．
故選：．
10．（2023春 蒲城縣校級(jí)期中）設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為　　
A． B．
C． D．，，
【解答】解：設(shè)，則，
，，
又，
，
在上單調(diào)遞增，
又，
的解集為，
即不等式的解集為，
故選：．
11．（2023春 龍巖期末），，，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，則，①
，
因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)，
由①知，
所以，
所以，二次函數(shù)對(duì)稱軸為，且（2），
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
不等式可化為，即，
所以．
故選：．
12．（2023春 渭濱區(qū)期末）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，且（2），則不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【解答】解：由題意設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，
是定義在上奇函數(shù)，
是定義在上偶函數(shù)，
在上單調(diào)遞減，
又（2），則（2）（2），（2），
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，由（2），得；
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，由，得，
故不等式的解集為，，．
故選：．
13．（2023春 沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瞧鋵?dǎo)函數(shù)，若，（1），則不等式的解集是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
不等式等價(jià)于，
又（1）（1），
則等價(jià)于（1），
又在上單調(diào)遞增，
則所求不等式的解集為．
故選：．
14．（2023春 武漢期末）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且（3），則關(guān)于的不等式的解集為　　
A． B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：由題可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
不等式等價(jià)于或，
（3），
，，．
故選：．
15．（2023春 臺(tái)州期中）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足（1），且，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：不等式，
變形為，
令．
又（1），
（1），
則不等式變?yōu)椋?），
，
又是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且，
，
，
在上是減函數(shù)，
．
故選：．
16．（2023春 響水縣校級(jí)期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是　　
A． B．，，
C．，， D．
【解答】解：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，即，
所以，即，解得．
故選：．
17．（2023春 武清區(qū)校級(jí)期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足時(shí)，成立，且（1）則的解集為　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：令，，（1）（1），
是定義在上的奇函數(shù)，
函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上單調(diào)遞增．
時(shí)，；時(shí)，；不符合題意．
，，，
故選：．
18．（2023春 通許縣期末）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題可設(shè)，
，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由已知有，不等式兩邊同時(shí)除以可得：，
即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
故，解得：，
故選：．
19．（2023春 惠州月考）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意都有，（2），則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，則，
對(duì)任意都有，
恒成立，即在上單調(diào)遞增，
又（2），則（2）（2），
不等式，即（2），
，即不等式的解集為．
故選：．
20．（2023春 重慶期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且（1），則的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t，
，
在，，上恒成立，
即在和上單調(diào)遞增，
又（1），則（1），
，即，
（1），
，解得，
又當(dāng)時(shí)，（1），不符合，
故的解集為．
故選：．
21．（2023春 涪城區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，若，，且（1），則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
則
故在單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?）（1），
所以不等式等價(jià)于（1），故．
故選：．
22．（2023春 南陽月考）已知函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，
對(duì)于恒成立
，
在上遞減，
則不等式，
等價(jià)為，
即，
在上遞減，
，
即不等式的解集為，
故選：．
23．（2023春 薛城區(qū)校級(jí)月考）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且（e），若對(duì)任意恒成立，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，（e）（e），，
，在上恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，不等式等價(jià)于，即，即（e），
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，
不等式的解集為．
故選：．
24．（2023春 綠園區(qū)期中）設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式 （3）的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，，
得，即，
令，則，
則當(dāng)時(shí)，得，即在上是增函數(shù)，
，（3）（3），
即不等式等價(jià)為（3），
在是增函數(shù)，
由（3），得，
即，而，故，
不等式 （3）的解集是．
故選：．
25．（2023春 普陀區(qū)校級(jí)期末）已知，下列判斷錯(cuò)誤的是　　
A．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為
B．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
【解答】解：因?yàn)椋裕?br/>所以（1），因此函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即，故正確；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；故錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)，，由得，由得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此，即，故正確；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由可得，解得：，故正確；
故選：．
26．（2023春 新城區(qū)校級(jí)期中）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，則不等式（1）的解集為　　
A． B．，，
C． D．
【解答】解：令，則，
所以在定義域上單調(diào)遞增，
不等式（1），即（1），
即（1），
所以，解得，
即不等式（1）的解集為．
故選：．
27．（2023春 浙江期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，若，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
易得，
所以是偶函數(shù)，
因?yàn)椋?br/>所以，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，
此時(shí)不等式 可轉(zhuǎn)化為，
即（1），
此時(shí)，
解得．
故選：．
28．（2023春 南岸區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足（1），且，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：不等式，
變形為，
令．
又（1），
（1），
則不等式變?yōu)椋?），
，
又是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且，
，
，
在上是減函數(shù)，
．
故選：．
29．（2023春 三臺(tái)縣期中）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，（1），則不等式的解集為　　
A． B． C． D．，
【解答】解：令，則，
，
，在上遞減，
（1），（1），
不等式，
（1），
，解得：，
故不等式的解集是，
故選：．
30．（2023 全國二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為　　
A． B．
C．，， D．，，
【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，
所以，
故在上單調(diào)遞增，
由可得，
所以，即，
解得．
故選：．重難點(diǎn)突破02 導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造問題
(1)構(gòu)造函數(shù) : 當(dāng)條件中含 “+” 時(shí)優(yōu)先考慮 ；當(dāng)條件中含 “ - ” 時(shí)優(yōu)先考慮 .
(2)構(gòu)造函數(shù) ：條件中含 “ ” 的形式；構(gòu)造函數(shù) ：條件中含 “ ” 的形式.
(3)構(gòu)造函數(shù) : 條件中含 “ ” 的形式.
(4)構(gòu)造函數(shù) : 條件中含 “ ” 的形式.
1．（2023春 資溪縣校級(jí)期末）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，（2），當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C． D．，，
2．（2022春 贛州期末）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為　　
A． B．， C． D．
3．（2021春 海安市校級(jí)期中）設(shè)定義在，上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則　　
A．（1）（3） B．（1）（3） C．（3）（1） D．（3）（1）
4．（2023春 鄄城縣校級(jí)月考）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
5．（2023春 泉州期末）設(shè)偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則下列結(jié)論一定正確的是　　
A．（1） B．（2）（1）
C． D．
6．（2023春 上高縣校級(jí)期末）已知若為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)，時(shí)，，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
7．（2023春 東莞市期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為　　
A． B．
C． D．
8．（2023春 西青區(qū)期末）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，若對(duì)任意的，都有，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
9．（2023春 嘉陵區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意的，，若，則的解集是　　
A． B． C． D．
10．（2023春 蒲城縣校級(jí)期中）設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為　　
A． B．
C． D．，，
11．（2023春 龍巖期末），，，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
12．（2023春 渭濱區(qū)期末）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，且（2），則不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C．，， D．
13．（2023春 沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瞧鋵?dǎo)函數(shù)，若，（1），則不等式的解集是　　
A． B． C． D．
14．（2023春 武漢期末）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且（3），則關(guān)于的不等式的解集為　　
A． B．，，
C．，， D．，，
15．（2023春 臺(tái)州期中）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足（1），且，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
16．（2023春 響水縣校級(jí)期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是　　
A． B．，，
C．，， D．
17．（2023春 武清區(qū)校級(jí)期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足時(shí)，成立，且（1）則的解集為　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
18．（2023春 通許縣期末）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
19．（2023春 惠州月考）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意都有，（2），則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
20．（2023春 重慶期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且（1），則的解集為　　
A． B． C． D．
21．（2023春 涪城區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，若，，且（1），則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
22．（2023春 南陽月考）已知函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
23．（2023春 薛城區(qū)校級(jí)月考）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且（e），若對(duì)任意恒成立，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
24．（2023春 綠園區(qū)期中）設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式 （3）的解集為　　
A． B． C． D．
25．（2023春 普陀區(qū)校級(jí)期末）已知，下列判斷錯(cuò)誤的是　　
A．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為
B．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
26．（2023春 新城區(qū)校級(jí)期中）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，則不等式（1）的解集為　　
A． B．，，
C． D．
27．（2023春 浙江期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，若，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
28．（2023春 南岸區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足（1），且，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
29．（2023春 三臺(tái)縣期中）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，（1），則不等式的解集為　　
A． B． C． D．，
30．（2023 全國二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為　　
A． B．
C．，， D．，，重難點(diǎn)突破03 同構(gòu)
三種基本模式：
①積型：
說明：在對(duì)“積型”同構(gòu)時(shí)，取對(duì)數(shù)是最快捷的，同構(gòu)出的函數(shù)，單調(diào)性一看便知。
②商型：
③和差型：
無中生有去同構(gòu)，湊好形式是關(guān)鍵，湊常數(shù)或湊參數(shù)，如有必要湊變量.
一．選擇題（共29小題）
1．（2023春 上猶縣校級(jí)期末）若在，上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：已知在，上恒成立，
即在，上恒成立，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
此時(shí)原不等式等價(jià)于在，上恒成立，
即在，上恒成立，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以（1），
此時(shí)，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
故選：．
2．（2022春 柴桑區(qū)校級(jí)期中）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：不等式，
即為，
即有，
所以，
設(shè)，
所以，
，
所以單調(diào)遞增，
所以，
所以，
令，
所以，
所以時(shí)，函數(shù)遞減，時(shí)，函數(shù)遞增，
（e），
即的最大值為．
故選：．
3．（2023 酒泉模擬）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：等價(jià)于，
令，
則，
所以是增函數(shù)，
所以等價(jià)于，
所以，
所以，
令，
，
所以在上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
所以（e），
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
故選：．
4．（2023 香坊區(qū)校級(jí)三模）設(shè)實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
令，則，
，
令，得，
所以在，上，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，時(shí)，，
因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，
所以對(duì)任意的，，不等式恒成立，
即對(duì)任意的，，不等式恒成立，
令，
，
令得，
所以在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
所以（e），
所以，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，，
故選：．
5．（2021秋 周口月考）若不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的最大值為　　
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：由題意得，，
即，
令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
從而不等式轉(zhuǎn)化為，
則，
即，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，
即（1），
則的最大值為，
故選：．
6．（2021 沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：因?yàn)椋坏仁匠闪ⅲ矗?br/>轉(zhuǎn)化為恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，
可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，
即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值（e），
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，，
故選：．
7．（2021春 利通區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以為上的奇函數(shù)，
又因?yàn)椋?br/>而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故恒成立，
所以為上的增函數(shù)，
不等式對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
當(dāng)時(shí)，則，
解得，
綜上所述，，，
故選：．
8．（2023 遼寧一模）設(shè)，若不等式在時(shí)恒成立，則的最大值為　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：對(duì)于，即，
因?yàn)槭堑姆春瘮?shù)，
所以與關(guān)于對(duì)稱，原問題等價(jià)于對(duì)一切恒成立，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以（1），
所以，
所以的最大值為．
故選：．
9．（2022 秦皇島開學(xué)）已知，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，得，即．設(shè)，
則原不等式等價(jià)于，因?yàn)椋?br/>故在上單調(diào)遞增，故對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
，
故選：．
10．（2023春 湖北期中）若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：
設(shè)，則，
則在上單增，
則
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
得在上單增，在上單減，
則當(dāng)時(shí)取得最大值，故，
的最大值為．
故選：．
11．（2023春 渝中區(qū)校級(jí)期末）若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為　　
A． B．， C． D．
【解答】解：由，可得，即，
即，
設(shè)，則在上恒成立，
又，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由于，則，
此時(shí)，，滿足在上恒成立；
當(dāng)時(shí)，由于，則，
要使在上恒成立，
則需，即在上恒成立，
設(shè)，則，
易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則（e），
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
故選：．
12．（2023春 鹽城月考）若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．以上均不正確
【解答】解：因?yàn)閷?duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
令，，
則，所以在上單調(diào)遞增，
依題意對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
兩邊取對(duì)數(shù)可得，所以，
令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以，即，；
故選：．
13．（2023 亭湖區(qū)校級(jí)三模）設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：對(duì)恒成立，即，即，
令，則，
故在單調(diào)遞增，故，故，問題轉(zhuǎn)化為，
令，，令，解得，令，解得，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故（e），故．
故選：．
14．（2023 江西模擬）已知，，，若恒成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)椋裕矗?br/>令，則，所以在上單調(diào)遞增，
由，可得，，則恒成立，
所以，
令，，
令，得，
當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，在單調(diào)遞增，
所以（1），所以，解得，
則的最大值為．
故選：．
15．（2022秋 宛城區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為　　
A． B．1 C．0 D．
【解答】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br/>為奇函數(shù)，
，
在上單調(diào)遞增，
，
，
，
令，，
，在上單調(diào)遞增，，
令，，，，
，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，
，
故選：．
16．（2023 河南模擬）若，恒成立，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：依題意，，
，，
若，顯然成立，此時(shí)滿足；
若，令，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，而，．
綜上，在上恒成立，．
令，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，即．的最小值為．
故選：．
17．（2022秋 濱江區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)對(duì)于任意時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題設(shè)，即，
令且，上述不等式等價(jià)于（1），
而，故在上遞增，則有在上恒成立，
所以在上恒成立，記，令，則，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
所以在上遞減，在上遞增，則，故．
故選：．
18．（2023 濱州二模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：等價(jià)于，
令函數(shù)，則，故是增函數(shù)，
等價(jià)于，即，
令函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以．
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：．
19．（2023 吉林模擬）已知不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由得，
即，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
而等價(jià)于，
，即，
令，，則，
所以在時(shí)，為增函數(shù)；在在時(shí)，為減函數(shù)，
所以最大值為，
．
故選：．
20．（2023 柳州三模）已知，，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
即在上恒成立，
易知當(dāng)，時(shí)，，，
令函數(shù)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故有，則在上恒成立，
令，則，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
所以（e），
所以，即實(shí)數(shù)的最小值為．
故選：．
21．（2021 雅安三模）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
令，，，
令，解得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br/>又，所以，即，
題意轉(zhuǎn)化為存在正實(shí)數(shù)，使得成立，即，
令，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
所以，所以，
所以的最大值為，
故選：．
22．設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：不等式，
即為，
即有，
可令，
則成立，
由和互為反函數(shù)，可得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
可得有解，
則，即，
可得，導(dǎo)數(shù)為，
可得時(shí)，函數(shù)遞減，時(shí)，函數(shù)遞增，
則時(shí)，取得最大值，
可得即有，
可得，
即的最大值為．
故選：．
23．（2023 大觀區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：等價(jià)于．
令函數(shù)，則，
故是增函數(shù)．
所以等價(jià)于，即．
令函數(shù)，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增：
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以．
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：．
24．（2023春 連城縣校級(jí)月考）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B．， C． D．
【解答】解：根據(jù)題意易知，
設(shè)，求導(dǎo)可得，所以在上單調(diào)遞增，而，
所以可得，如果得到，只需滿足恒成立，
令，求導(dǎo)可得，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
所以（1），
故只需，即，
故選：．
25．（2022春 繁昌縣校級(jí)月考）對(duì)任意，若不等式恒成立為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則正實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：，
令（由可知，則，
設(shè)，則即可，
易得，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù)，
故，解得，又，；
②當(dāng)時(shí)，則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故（a），（a），
設(shè)（a），故（a）即可，
而（a），顯然（a），
即（a）在上單調(diào)遞減，又，而（a），
（a），，又，
因此．
綜上所述，正實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
26．（2023春 譙城區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意，若顯然不是恒大于零，故．（由4個(gè)選項(xiàng)也是顯然，可得，
則顯然在，上恒成立；
當(dāng)時(shí)，，
令，，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋裕矗?br/>再設(shè)，令，則，
易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故，
所以的取值范圍為．
故選：．
27．（2022秋 荔灣區(qū)校級(jí)月考）已知，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
【解答】解：由題意，不等式恒成立，即成立，即，
進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立．
令，則，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立．
因?yàn)椋裕?br/>所以對(duì)任意的恒成立，所以恒成立．
設(shè)，可得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，
此時(shí)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：．
28．（2023 齊齊哈爾二模）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A．，， B．，
C．，， D．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以，
不等式對(duì)恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
設(shè)，則，可得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在處取得極小值，且極小值為2，
所以恒成立，在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
即有恒成立，設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以在處取得極大值，且最大值為，此時(shí)，
故的取值范圍是，．
故選：．
29．（2023 渭南二模）已知，恒成立，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由，得，
所以，
所以，即．
構(gòu)造函數(shù)，
所以．
因?yàn)椋?br/>所以單調(diào)遞增．
所以．
所以，即，
記，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以在區(qū)間，，單調(diào)遞減；
在區(qū)間，，單調(diào)遞增．
所以（1）．
所以，
解得，所以的取值范圍是，．
故選：．
二．填空題（共1小題）
30．（2016秋 清浦區(qū)校級(jí)月考），不等式恒成立，則的取值范圍是　　．
【解答】解：當(dāng)，由題意可得與互為反函數(shù)，
故問題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立．
構(gòu)造函數(shù)，則，
令，得，且此時(shí)函數(shù)取到最小值，
故有，解得；
當(dāng)時(shí)，不符合條件，舍去，
故的取值范圍是：；
故答案為：．重難點(diǎn)突破03 同構(gòu)
三種基本模式：
①積型：
說明：在對(duì)“積型”同構(gòu)時(shí)，取對(duì)數(shù)是最快捷的，同構(gòu)出的函數(shù)，單調(diào)性一看便知。
②商型：
③和差型：
無中生有去同構(gòu)，湊好形式是關(guān)鍵，湊常數(shù)或湊參數(shù)，如有必要湊變量.
1．（2023春 上猶縣校級(jí)期末）若在，上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
2．（2022春 柴桑區(qū)校級(jí)期中）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
3．（2023 酒泉模擬）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
4．（2023 香坊區(qū)校級(jí)三模）設(shè)實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
5．（2021秋 周口月考）若不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的最大值為　　
A．2 B． C．3 D．
6．（2021 沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
7．（2021春 利通區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
8．（2023 遼寧一模）設(shè)，若不等式在時(shí)恒成立，則的最大值為　　
A． B．1 C． D．
9．（2022 秦皇島開學(xué)）已知，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為　　
A． B． C． D．
10．（2023春 湖北期中）若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的最大值為　　
A． B． C． D．
11．（2023春 渝中區(qū)校級(jí)期末）若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為　　
A． B．， C． D．
12．（2023春 鹽城月考）若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．以上均不正確
13．（2023 亭湖區(qū)校級(jí)三模）設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
14．（2023 江西模擬）已知，，，若恒成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
15．（2022秋 宛城區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為　　
A． B．1 C．0 D．
16．（2023 河南模擬）若，恒成立，則的最小值為　　
A． B． C． D．
17．（2022秋 濱江區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)對(duì)于任意時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
18．（2023 濱州二模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
19．（2023 吉林模擬）已知不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
20．（2023 柳州三模）已知，，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為　　
A． B． C． D．
21．（2021 雅安三模）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
22．設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
23．（2023 大觀區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
24．（2023春 連城縣校級(jí)月考）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A． B．， C． D．
25．（2022春 繁昌縣校級(jí)月考）對(duì)任意，若不等式恒成立為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則正實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
26．（2023春 譙城區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
27．（2022秋 荔灣區(qū)校級(jí)月考）已知，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
28．（2023 齊齊哈爾二模）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A．，， B．，
C．，， D．
29．（2023 渭南二模）已知，恒成立，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
二．填空題（共1小題）
30．（2016秋 清浦區(qū)校級(jí)月考），不等式恒成立，則的取值范圍是 ．重難點(diǎn)突破04 導(dǎo)數(shù)中的取整問題
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 孝感期中）已知函數(shù)，若的解集為，且中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由，得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上遞減，
令，畫出，的圖象如圖：
根據(jù)條件，由圖象，可得，解得，．
故選：．
2．（2023春 石家莊期中）已知函數(shù)，有且只有一個(gè)負(fù)整數(shù)，使成立，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知函數(shù)，則有且只有一個(gè)負(fù)整數(shù)解．
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
設(shè)，則恒過點(diǎn)，
在同一坐標(biāo)系中分別作出和的圖象，如圖所示：
顯然，依題意得且，即且，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：．
3．（2023春 安徽期中）已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個(gè)整數(shù)，使得點(diǎn)，在直線上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：點(diǎn)，在直線上方，即，
因?yàn)椋?br/>所以有且僅有一個(gè)正整數(shù)解．
，
則，，單調(diào)遞增；
，，單調(diào)遞減，
所以．
又，；，；，，故可得圖象如下圖，
直線過定點(diǎn)，
當(dāng)，有無數(shù)個(gè)正整數(shù)解，不合題意，故，
又有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，故2是唯一的正整數(shù)解，即．
故選：．
4．（2022秋 萍鄉(xiāng)期末）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A．， B． C．， D．
【解答】解：顯然，
由，得，得，
得，
令，，則，
所以函數(shù)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，
所以可化為，即，即，
所以關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)整數(shù)解，
令，則，
令，得，令，得，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因?yàn)殛P(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)整數(shù)解，
結(jié)合圖形可知，滿足題意的整數(shù)解只能是1和2，
所以（2）（3），即．
故選：．
5．（2023 長沙模擬）已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：函數(shù)，不等式化為：．
分別令，．
．
可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
，（2）．如圖所示．
不等式的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，
正整數(shù)解為1，2，
，即．
解得：．
數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
6．（2023 渾南區(qū)一模）已知不等式的解集中僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：法：由，得，
令，則，
設(shè)，即，可得，
在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
當(dāng)?shù)慕庵袃H有2個(gè)整數(shù)為1，2，
則需滿足，可得；
法：由，得，
設(shè)，，，
令，得，即在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，可以有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，如圖所示：
需滿足，得，
故選：．
二．多選題（共6小題）
7．（2023春 浙江期中）對(duì)于函數(shù)，則下列說法正確的是　　
A．有極大值，沒有極小值
B．有極小值，沒有極大值
C．若關(guān)于的不等式有唯一的負(fù)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若過點(diǎn)與曲線相切的直線有3條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【解答】解：對(duì)于、，
令得，
所以在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
所以，沒有極大值，故錯(cuò)誤，正確；
對(duì)于：由上可知，
時(shí)，；時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，不等式，有無數(shù)個(gè)負(fù)整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，恒過點(diǎn)，
此時(shí)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正數(shù)，不妨設(shè)為
所以當(dāng)時(shí)，，
所以有無數(shù)個(gè)負(fù)整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，若不等式有唯一的負(fù)整數(shù)解，
則，解得，
綜上所述，的取值范圍為，，故正確；
對(duì)于：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
所以，且，
又切線過點(diǎn)，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)檫^點(diǎn)與曲線相切的直線有3條，
所以方程有三個(gè)解，
令，
，
所以在上，，單調(diào)遞減，
在上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
所以，（1），
所以時(shí)，；時(shí)，，
所以，故正確，
故選：．
8．（2023 黃州區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，若不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值可以為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)槎x域?yàn)椋桑?br/>可得，
即不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，
令，則，所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又（1），
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
易知函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)，
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出與的圖象如下圖所示：
由題意及圖象可知，要使不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，
則，即，解得，
故符合題意的有、．
故選：．
9．（2023 泰安二模）已知函數(shù)，，．　　
A．若曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，且過點(diǎn)，則，
B．當(dāng)且時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則
D．當(dāng)時(shí)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則
【解答】解：選項(xiàng)，，
則（1），，則，，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
，
因?yàn)椋瑒t，
或在 上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞增，故正確；
選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，令，
注意到當(dāng) 時(shí)，，則，
則函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．
令，其中，
或，則在，上單調(diào)遞增，
或或或，
則在，，，，，上單調(diào)遞減，
又，，，，
則可得大致圖象如下，
則由圖可得，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù) 圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
即此時(shí)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故正確；
選項(xiàng)，由題可得，，
即存在唯一整數(shù)，使得的圖象在下方，
則，，
得在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
又，，，，過定點(diǎn)，
可在同一坐標(biāo)系下做出與圖象，
又設(shè)過點(diǎn)切線方程的切點(diǎn)為，，
則切線方程為：，因其過，
則，解得或，
又注意到（1）（1），結(jié)合兩函數(shù)圖象，可知 或2．
當(dāng)時(shí)，如圖1，需滿足，解得，
當(dāng)時(shí)，如圖2，需滿足，解得，
綜上所述，，，，故正確．
故選：．
10．（2023春 鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，下面選項(xiàng)正確的有　　
A．的最小值為
B．時(shí)，
C．
D．若不等式有且只有2個(gè)正整數(shù)解，則
【解答】解：，，
令，解得且，
令，解得，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
（2），
如圖，
所以函數(shù)沒有最小值，故錯(cuò)誤；
：當(dāng)時(shí)，，
即，
即，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以，即，故正確；
：設(shè)，則，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，即．
令，則，得，
所以，故錯(cuò)誤；
：作出函數(shù)圖象和直線，如圖，
由不等式有兩個(gè)正整數(shù)解知，（3）（1），
即，故正確．
故選：．
11．（2022秋 揭陽期末）已知函數(shù)，且存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的可能取值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，可得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
如圖，
分別作出函數(shù)與的圖象，
其中直線恒過定點(diǎn)；
由可知，，，
需滿足：，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是，
其中，，
故選：．
12．（2023春 玉林期中）函數(shù)，其中，若有且只有一個(gè)整數(shù)，使得，則的取值可能是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
若有且只有一個(gè)整數(shù)，使得，則存在唯一的整數(shù)，使得在直線的上方，
因?yàn)椋?）（1），另外恒過定點(diǎn)且斜率為，
所以，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，，對(duì)比選項(xiàng)，可知正確．
故選：．
三．填空題（共10小題）
13．（2023 洪山區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　，　．
【解答】解：若，則，
所以，
所以，
令，
則，
令，
則在上單調(diào)遞增，且，（1），
所以存在，當(dāng)，則，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，，單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?），
所以只需且且（2），
所以，
解得，
所以的取值范圍為，．
故答案為：，．
14．（2023春 建華區(qū)校級(jí)月考）已知不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　　．
【解答】解：原不等式等價(jià)于，
設(shè)，，令，得
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取極大值，又，且時(shí)，，
因此的圖像如下，
直線恒過點(diǎn)．
當(dāng)顯然不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，只需要滿足，即，解得．
則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
15．（2023 云南模擬）設(shè)函數(shù)，，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：由函數(shù)，，
設(shè)和，
因?yàn)榇嬖谖ㄒ徽麛?shù)，使得，
所以存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，如圖所示，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得極小值，也為最小值，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又由直線恒經(jīng)過原點(diǎn)，斜率為（其中，
所以且，
解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
16．（2023 南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 　　．
【解答】解：由函數(shù)，則不等式，即，
因?yàn)椋瑒t可化為，
令，可得，
令，可得，
所以在上單調(diào)遞增，
又由，（1），
所以存在唯一的使得，
當(dāng)時(shí)，，可得，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)，時(shí)，，可得，所以單調(diào)遞增，且，
又因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)原不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解時(shí)，則滿足，
解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
17．（2023 河南模擬）已知函數(shù)，若不等式有且僅有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　　．
【解答】解：易知的定義域?yàn)椋捎星覂H有1個(gè)整數(shù)解，
所以不等式有且僅有1個(gè)整數(shù)解．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．
又（1），則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，則直線恒過點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與直線的圖象，如圖所示，
由圖象可知，，
要使不等式有且僅有1個(gè)整數(shù)解，
則，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
18．（2023春 浦東新區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)，，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　　．
【解答】解：設(shè)，，則，
，，在上單調(diào)遞增，
，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)函數(shù)取極大值即最大值，
又，（1），（3），
直線恒過定點(diǎn)且斜率為，
要使有且僅有兩個(gè)整數(shù)滿足，
即有且僅有兩個(gè)整數(shù)滿足，
（1）（1）且，
解得，即．
故答案為：．
19．（2023春 工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)恰有三個(gè)正整數(shù)，2，，使得，，2，3，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　　．
【解答】解：的定義域?yàn)椋?br/>由可得
（1）顯然時(shí)，不等式在上無解，不符合題意；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式為，
令，，則當(dāng)時(shí)，，
故不等式?jīng)]有正整數(shù)解，不符合題意；
（3）當(dāng)時(shí)，不等式為為增函數(shù)，
，令，則，
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，
而，
存在使得，
當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
又（1），且時(shí)，，
故不等式的三個(gè)正整數(shù)解為1，2，3，
，即，解得：．
故答案為：．
20．（2023春 永春縣校級(jí)期末）已知函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　　．
【解答】解：已知，即，
令，，，
則，易知在上單調(diào)遞增，
又（1），（2），所以存在實(shí)數(shù)，使得，
且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，又（1）（2），是過定點(diǎn)的直線，
所以畫出函數(shù)和的大致圖象如圖所示，
令，，，
由圖可知若存在唯一整數(shù)，使得成立，則需，，
而，所以，
因?yàn)椋裕磳?shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
21．（2023 河南模擬）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 　，　．
【解答】解：由，，
化為，
分別令，，
則（2）（2），
，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
由存在唯一的整數(shù)，使得，
，即，
解得，
實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
故答案為：，．
22．（2023 重慶模擬）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，且在上恰好有唯一整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 　　．
【解答】解：若時(shí)，在上單調(diào)遞增，不合題意，則，
由題意可得：，
令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得有唯一極值點(diǎn)，
若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，則，解得，
又因?yàn)樵谏锨『糜形ㄒ徽麛?shù)解，且，則有：
①當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則在，上單調(diào)遞增，可得，
所以在上恰好有唯一整數(shù)解為，
則，解得；
②當(dāng)，即時(shí)，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，不合題意；
③當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則在，上單調(diào)遞減，可得，
所以在上恰好有唯一整數(shù)解為1，
則，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．重難點(diǎn)突破04 導(dǎo)數(shù)中的取整問題
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 孝感期中）已知函數(shù)，若的解集為，且中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
2．（2023春 石家莊期中）已知函數(shù)，有且只有一個(gè)負(fù)整數(shù)，使成立，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
3．（2023春 安徽期中）已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個(gè)整數(shù)，使得點(diǎn)，在直線上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
4．（2022秋 萍鄉(xiāng)期末）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　
A．， B． C．， D．
5．（2023 長沙模擬）已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍　　
A．， B．，
C．， D．，
6．（2023 渾南區(qū)一模）已知不等式的解集中僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
二．多選題（共6小題）
7．（2023春 浙江期中）對(duì)于函數(shù)，則下列說法正確的是　　
A．有極大值，沒有極小值
B．有極小值，沒有極大值
C．若關(guān)于的不等式有唯一的負(fù)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若過點(diǎn)與曲線相切的直線有3條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
8．（2023 黃州區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，若不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值可以為　　
A． B． C． D．
9．（2023 泰安二模）已知函數(shù)，，．　　
A．若曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，且過點(diǎn)，則，
B．當(dāng)且時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則
D．當(dāng)時(shí)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則
10．（2023春 鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，下面選項(xiàng)正確的有　　
A．的最小值為
B．時(shí)，
C．
D．若不等式有且只有2個(gè)正整數(shù)解，則
11．（2022秋 揭陽期末）已知函數(shù)，且存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的可能取值為　　
A． B． C． D．
12．（2023春 玉林期中）函數(shù)，其中，若有且只有一個(gè)整數(shù)，使得，則的取值可能是　　
A． B． C． D．
三．填空題（共10小題）
13．（2023 洪山區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
14．（2023春 建華區(qū)校級(jí)月考）已知不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
15．（2023 云南模擬）設(shè)函數(shù)，，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是 ．
16．（2023 南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
17．（2023 河南模擬）已知函數(shù)，若不等式有且僅有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
18．（2023春 浦東新區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)，，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
19．（2023春 工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)恰有三個(gè)正整數(shù)，2，，使得，，2，3，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
20．（2023春 永春縣校級(jí)期末）已知函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
21．（2023 河南模擬）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
22．（2023 重慶模擬）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，且在上恰好有唯一整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．重難點(diǎn)突破05 含參導(dǎo)數(shù)的分類討論
一、當(dāng)導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的值含有參數(shù),不能區(qū)分大小時(shí),需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)方程根的大小,即的值進(jìn)行分類討論,從而得到對(duì)應(yīng)所求函數(shù)的單調(diào)性.
對(duì)導(dǎo)函數(shù)方程根分類討論的解題思路一般為:
(1)對(duì)原函數(shù)解析式求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù),求出對(duì)應(yīng)的和;
(2)分三種情況分類討論的大小關(guān)系,判斷不同區(qū)間對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù);
(3)通過分類討論情況,綜合得到所求的函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.
二、當(dāng)導(dǎo)函數(shù)屬于一元二次函數(shù)類型時(shí),需要對(duì)對(duì)應(yīng)的判別式的大小進(jìn)行分類討論,根據(jù)與0的大小關(guān)系判斷實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù),從而對(duì)函數(shù)單調(diào)性作出解答.
根據(jù)判別式討論函數(shù)單調(diào)性問題,基本思路為:
(1)求出導(dǎo)函數(shù)解析式,判斷判別式的符號(hào)的正負(fù);
(2)討論大小對(duì)應(yīng)情況,從而確定方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù);
(3)結(jié)合實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)不同的具體圖象,從而判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
三、當(dāng)導(dǎo)函數(shù)類型不明確時(shí),參數(shù)的不同情況會(huì)導(dǎo)致函數(shù)導(dǎo)函數(shù)類型不同,因此當(dāng)參數(shù)決定導(dǎo)函數(shù)類型時(shí),應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論從而判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
以導(dǎo)函數(shù)類型為依據(jù)的分類討論解題思路一般為:
(1)對(duì)所求函數(shù)求導(dǎo),得到具體到函數(shù)解析式;
(2)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,探討不同類別導(dǎo)函數(shù)在規(guī)定區(qū)間的具體值,判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(3)綜合所有情況,對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間做出總結(jié),即對(duì)應(yīng)問題所求.
1．（2023春 商洛期末）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在，上的最值；
（2）討論的單調(diào)性．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，
可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值（2），
又，（4），
所以在，上的最大值為32，最小值為；
（2）易知，
若，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
若，即時(shí)，，單調(diào)遞增；
若，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
2．（2023春 荔灣區(qū)期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解答】解：（1），
，
當(dāng)時(shí)，，
令得，
所以在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令得或，
①若，即時(shí)，
在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
在，上，單調(diào)遞增，
②若，即時(shí)，
在上，單調(diào)遞增，
在，上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
③若，即時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增．
3．（2023春 朝陽期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，
所以在上，，單調(diào)遞增，
在，上，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
4．（2023春 鐵西區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值和最小值；
（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
，
令，得或，
所以在上，，單調(diào)遞減，
在，上，單調(diào)遞增，
，
，
（1），
（4），
所以，．
（2），
令得或，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以在上單遞增，
當(dāng)，即時(shí)，
在，上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，
在，上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單遞增，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
5．（2023春 越秀區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有2條公切線．
【解答】解：（1），
，
令，，
△，且，
方程的根為或，，
所以在上，，單調(diào)遞增，
在，上，，單調(diào)遞減．
（2）證明：設(shè)，，，分別是，圖象上的點(diǎn)，
所以在，處的切線方程為，即，
所以在，處的切線方程為，
在，處的切線方程為，即，
所以在，處的切線方程為，
若和有共切線，則，
所以，
若的圖象與的圖象有2條公切線．則有兩個(gè)根，
令，
，
，
所以在上單調(diào)遞減，
又（1），（2），
所以存在使得，即，即，
所以在上，單調(diào)遞增，
在，上，單調(diào)遞減，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，得證．
6．（2023春 仁壽縣校級(jí)期中）已知函數(shù)．
（1）若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍．
（2）求的單調(diào)區(qū)間．
【解答】解：（1）由題意得的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由得（不符合題意，舍去）或，
要使在，上單調(diào)遞增，則，即，
綜上所述，的取值范圍為，；
（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
由得，即在單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
7．（2023 中衛(wèi)一模）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
【解答】解：（1）的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，今，得．
因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，
所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
8．（2023春 懷仁市期末）已知函數(shù)，．
（1）若時(shí)，求在處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，
切線方程為：，即．
（2）因?yàn)椋?br/>所以．
①當(dāng)時(shí)，令，得，在上單調(diào)遞減；
令，得，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，得，在上單調(diào)遞減；
令，得或，在和上單調(diào)遞增，
③當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，在單調(diào)遞增；
④當(dāng)時(shí)，令，得，在上單調(diào)遞減；
令，得或，在和上單調(diào)遞增．
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．
9．（2023春 薌城區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【解答】解：（1），函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>若，則，在遞增，
若，，解得：，，解得：，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
10．（2023春 唐山期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），
時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)；
時(shí)，時(shí)，，是減函數(shù)，時(shí)，，是增函數(shù)；
綜上，時(shí)，在上是增函數(shù)，時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得在上是增函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由（1）得；
①當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，故在有一個(gè)零點(diǎn)，
又在上是增函數(shù)，
設(shè)（a）（a），（a）（a），（a）（1），
（a）在單調(diào)遞增，（a）（1），
（a）在單調(diào)遞增，（a）（a）（1），
設(shè)，由知，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，
（1），即，
故在有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，，故有一個(gè)零點(diǎn)，
又在上是減函數(shù)，，由②得，
故在有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
綜上，或，
實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．
11．（2023春 錦州期末）已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的值；
（2）討論的單調(diào)性．
【解答】解：（1），
令，得：，，
由于是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以（1），即，
此時(shí)因?yàn)闀r(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故滿足題意．
（2）時(shí)或，
時(shí)，的解為或，此時(shí)在，和，上單調(diào)遞增；
的解為，此時(shí)在，上單調(diào)遞減；
時(shí)，的解為或，此時(shí)在，和上單調(diào)遞增；
的解為，此時(shí)在，上單調(diào)遞減；
時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增．
12．（2023春 斗門區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）討論函數(shù)在，上的單調(diào)性．
【解答】（1）解：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)椋遥?br/>令，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，無極大值；
（2）解：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，由，可得；由，可得，
此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．
13．（2023春 青山區(qū)校級(jí)月考）已知，函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
則，（1），
又（1），
所以曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即．
（2）當(dāng)時(shí)，，
則
令，得；令，得；
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
14．（2023春 仁壽縣校級(jí)期中）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）討論的單調(diào)性．
【解答】解：（1）時(shí)，，
則，
故（1），（1），
故切線方程是：，即；
（2）因?yàn)椋?br/>對(duì)求導(dǎo)，，，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)，由于，所以恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，令，解得，
因?yàn)楫?dāng)，，當(dāng)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
15．（2023春 忠縣校級(jí)月考）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若a≤0，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
【解答】解：（1）由題意a＝1時(shí)，函數(shù)，
則有f'（x）＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），，
故所求切線方程為，即15x﹣3y﹣25＝0；
（2）f'（x）＝x2+2ax﹣3a2＝（x+3a）（x﹣a），且x∈（﹣∞，+∞），
當(dāng)a＝0時(shí)，f'（x）＝x2≥0，此時(shí)f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)a＜0時(shí)，x∈（﹣∞，a）時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
x∈（a，﹣3a）時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；
x∈（﹣3a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，a），（﹣3a，+∞）；
函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（a，﹣3a）．
16．（2023春 順義區(qū)期中）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）已知，，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在定義域上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）由得，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，
解得，
故的取值范圍為．
17．（2023春 江蘇月考）已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
【解答】解：（1）由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，由得，由得，
在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得或，
當(dāng)時(shí)，由得，由得或，
在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
在內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得，由得或，
在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在及內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在及內(nèi)單調(diào)遞增；
18．（2023 德州三模）已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，（1）處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br/>所以，
所以（1），
又（1），
所以函數(shù)在，（1）處的切線方程為，即．
（2）的定義域是，
，，
令，則△．
①當(dāng)或△，即時(shí)，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增．
②當(dāng)，即時(shí)，
由，得或；
由，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
19．（2023春 青島期中）設(shè)函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
【解答】解：（1）因?yàn)槎x域?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
20．（2023春 全南縣校級(jí)期末）已知，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
【解答】解：（1），
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令得，
所以在上，單調(diào)遞減，
在，上，單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
21．（2023春 湛江期末）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，
在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
22．（2023春 博白縣校級(jí)期中）已知函數(shù)，其中，為的導(dǎo)函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解答】解：（1）函數(shù)，定義域?yàn)椋?br/>則，
①當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)時(shí)，令得；令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，（1），故在上沒有零點(diǎn)；
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
要使在上有零點(diǎn)，則，解得；
③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由于（1），．
令，
令，
則，所以（a）在上單調(diào)遞減，
故（a）（2），即（a），
所以（a）在上單調(diào)遞增，，
所以在上沒有零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)．
23．（2023春 越秀區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，其中．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【解答】解：（1），
令得，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，
時(shí)，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．
24．（2023春 懷仁市校級(jí)期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解答】解：（1）的定義域?yàn)椋?br/>①當(dāng)時(shí)，令，，則在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
②當(dāng)時(shí)，△，
當(dāng)△時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)△時(shí)，或，
此時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)根，，
，，
當(dāng)時(shí)，，，
則在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，
則在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．重難點(diǎn)突破05 含參導(dǎo)數(shù)的分類討論
一、當(dāng)導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的值含有參數(shù),不能區(qū)分大小時(shí),需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)方程根的大小,即的值進(jìn)行分類討論,從而得到對(duì)應(yīng)所求函數(shù)的單調(diào)性.
對(duì)導(dǎo)函數(shù)方程根分類討論的解題思路一般為:
(1)對(duì)原函數(shù)解析式求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù),求出對(duì)應(yīng)的和;
(2)分三種情況分類討論的大小關(guān)系,判斷不同區(qū)間對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù);
(3)通過分類討論情況,綜合得到所求的函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.
二、當(dāng)導(dǎo)函數(shù)屬于一元二次函數(shù)類型時(shí),需要對(duì)對(duì)應(yīng)的判別式的大小進(jìn)行分類討論,根據(jù)與0的大小關(guān)系判斷實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù),從而對(duì)函數(shù)單調(diào)性作出解答.
根據(jù)判別式討論函數(shù)單調(diào)性問題,基本思路為:
(1)求出導(dǎo)函數(shù)解析式,判斷判別式的符號(hào)的正負(fù);
(2)討論大小對(duì)應(yīng)情況,從而確定方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù);
(3)結(jié)合實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)不同的具體圖象,從而判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
三、當(dāng)導(dǎo)函數(shù)類型不明確時(shí),參數(shù)的不同情況會(huì)導(dǎo)致函數(shù)導(dǎo)函數(shù)類型不同,因此當(dāng)參數(shù)決定導(dǎo)函數(shù)類型時(shí),應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論從而判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
以導(dǎo)函數(shù)類型為依據(jù)的分類討論解題思路一般為:
(1)對(duì)所求函數(shù)求導(dǎo),得到具體到函數(shù)解析式;
(2)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,探討不同類別導(dǎo)函數(shù)在規(guī)定區(qū)間的具體值,判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(3)綜合所有情況,對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間做出總結(jié),即對(duì)應(yīng)問題所求.
1．（2023春 商洛期末）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在，上的最值；
（2）討論的單調(diào)性．
2．（2023春 荔灣區(qū)期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
3．（2023春 朝陽期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
4．（2023春 鐵西區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值和最小值；
（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性．
5．（2023春 越秀區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有2條公切線．
6．（2023春 仁壽縣校級(jí)期中）已知函數(shù)．
（1）若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍．
（2）求的單調(diào)區(qū)間．
7．（2023 中衛(wèi)一模）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
8．（2023春 懷仁市期末）已知函數(shù)，．
（1）若時(shí)，求在處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．
9．（2023春 薌城區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
10．（2023春 唐山期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
11．（2023春 錦州期末）已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的值；
（2）討論的單調(diào)性．
12．（2023春 斗門區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）討論函數(shù)在，上的單調(diào)性．
13．（2023春 青山區(qū)校級(jí)月考）已知，函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
14．（2023春 仁壽縣校級(jí)期中）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）討論的單調(diào)性．
15．（2023春 忠縣校級(jí)月考）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若a≤0，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
16．（2023春 順義區(qū)期中）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
17．（2023春 江蘇月考）已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
18．（2023 德州三模）已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，（1）處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
19．（2023春 青島期中）設(shè)函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
20．（2023春 全南縣校級(jí)期末）已知，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
21．（2023春 湛江期末）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
22．（2023春 博白縣校級(jí)期中）已知函數(shù)，其中，為的導(dǎo)函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
23．（2023春 越秀區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，其中．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
24．（2023春 懷仁市校級(jí)期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；重難點(diǎn)突破06 恒成立與能成立問題
1．恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；
2．能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；
3．恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M
另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價(jià)于在D上的最大值．
4．設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則
5．設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則
6．設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則
7．設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則
8．設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，設(shè)在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)锳，在區(qū)間[c，d]上的值域?yàn)锽，則AB．
9．若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方．
10．若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方．
恒成立問題的基本類型
在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題．
函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題，其表現(xiàn)形式通常有：①在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立；②某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R；③某不等式的解為一切實(shí)數(shù)；④某表達(dá)式的值恒大于a等等…
恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)．
恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：
①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；⑤直接根據(jù)函數(shù)的圖象．
二、恒成立問題解決的基本策略
大家知道，恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題．等式中的恒成立問題，特別是多項(xiàng)式恒成立問題，常簡化為對(duì)應(yīng)次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個(gè)方程組來解決問題的．
（一）兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題”
思路1．
思路2．
如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題，我們可以通過習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解，通常可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)的最值．
1．（2023春 海淀區(qū)期末）已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）若對(duì)任意的，，都有，求實(shí)數(shù)的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，
可得，
所以（1），
又（1），
所以曲線在，（1）處的切線方程為，
即；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
要求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
即求方程的根，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值也是最小值，最小值，
此時(shí)，
所以與軸無交點(diǎn)，
即方程無實(shí)數(shù)根，
故函數(shù)沒有零點(diǎn)；
（Ⅲ）若對(duì)任意的，，都有，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，
易知方程中△，
所以該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)為，，
因?yàn)椋?br/>不妨設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值（1），不符合題意；
當(dāng)時(shí)，
易知方程中△，
即方程與軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，
又函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，
此時(shí)（1），
即恒成立，
則滿足條件的的取值范圍為，，
故實(shí)數(shù)的最大值為2．
2．（2023 青羊區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．
（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，方程均有解．
【解答】解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上恒成立，
，
令，
在上單調(diào)遞增且恒大于0，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即不可能取得最大值；
當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞增，單調(diào)遞增且恒大于0，
在上單調(diào)遞增，即，
故，即的取值范圍是；
（2）證明：設(shè)，由方程得，
即，
，
令，
當(dāng)時(shí)，由得，，故原方程有解；
當(dāng)時(shí)，，
，
則，
由零點(diǎn)存在定理得在上有零點(diǎn)，故原方程有解，
綜上所述，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，方程均有解．
3．（2023春 通州區(qū)期末）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）若，求證：對(duì)于任意，恒有．
【解答】解：（Ⅰ）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，
若在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，
此時(shí)，
解得，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（Ⅱ）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，
當(dāng)時(shí)，，
即，
此時(shí)函數(shù)在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
易知，（e），
所以函數(shù)在，上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，有1個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）證明：若，
此時(shí)，
若對(duì)于任意，恒有，
此時(shí)在上恒成立，
即證，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值也是最小值，最小值（1），
則，，
故對(duì)于任意，恒有．
4．（2023春 渝中區(qū)校級(jí)期末）（1）不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．
（2）當(dāng)，求證：（參考數(shù)據(jù)：，．
【解答】解：（1）因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的恒成立，
所以對(duì)任意恒成立，
令，，
，
令得，
所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，
所以（1），
所以，
所以的取值范圍為，．
（2）證明：因?yàn)椋?br/>所以，
由（1）知當(dāng)時(shí)，，
所以只需證明，
所以只需證明，
令，
，
，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，（1），（2），
所以存在，，
當(dāng)，，
當(dāng)，，，
所以，其中，
則，
所以放縮有些過了，需要調(diào)整的取值范圍，
，
所以需要比較與大小，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，則，
所以成立，得證．
5．（2023 宜章縣二模）已知函數(shù)，為常數(shù)，且．
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，如果存在兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，且，證明：．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以，，
設(shè)，
△，即時(shí)，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
△，即時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且，
，
所以任意，，，單調(diào)遞增，
任意，，，，單調(diào)遞減，
任意，，，，單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）證明：因?yàn)椋?），
所以（1），
由（1）可得時(shí)，在上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，
要證，即證，
所以，
所以，
所以，
設(shè)，，
，
所以時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以（1）（1），
所以．
6．（2023 河南開學(xué)）已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
所以不等式等價(jià)于或或，
解得或，
即不等式的解集為，，．
（2）當(dāng)時(shí)，，
因存在，使得成立，
所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
7．（2023春 西城區(qū)期末）已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明：．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，
，
當(dāng)時(shí)，，
令得或（舍，
所以在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）證明：若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，則有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，
所以有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，
所以，
解得，
令（a），，
（a），
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
所以（a），
所以（a）在，上單調(diào)遞增，
所以（a），
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
8．（2023春 東城區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；
（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，
由得或，
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，；
（2）函數(shù)，則，
函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，
，成立，即，，
又在上單調(diào)遞減，即，，
，
的取值范圍是，；
（3）由（2）得，
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等根，，
即，解得，且有①，
不妨令，則，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在處取得極大值，在取得極小值，顯然，，
由兩邊平方得，
則，即，
整理得②，
聯(lián)立①②得，解得，
綜上所述，，
實(shí)數(shù)的取值范圍是．
9．（2023春 朝陽期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，
所以在上，，單調(diào)遞增，
在，上，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）因?yàn)樵谔幦〉脴O值，
所以（2），即，
所以，
所以，，
，
所以在上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
所以在處取得極值，合題意，
因?yàn)閷?duì)，恒成立，
所以對(duì)，恒成立，
所以對(duì)，恒成立，
令，，
，
令，得，
所以在上，，單調(diào)遞增，
在，上，，單調(diào)遞減，
所以，
所以，
所以的取值范圍為，．
10．（2023春 大連期末）已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并給出證明；
（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）在上只有一個(gè)極值點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)．
證明：，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，，
所以存在唯一的，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以為的一個(gè)極大值點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>所以在，上無零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)，
所以在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)和零點(diǎn)．
（2）由，得，
令，則，
，，
①若，則，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，，
所以當(dāng)，
所以，即，
由，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
②若，因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞減，
又，，
所以存在唯一的，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不滿足恒成立，
③若，
因?yàn)椋?br/>不滿足恒成立，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
11．（2023春 濱海新區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)（a∈R）．
（1）a＝0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）a≠0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1），當(dāng)x1，x2∈[1，e]時(shí)恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵（a∈R），
∴當(dāng)a＝0時(shí)，，x∈（0，+∞），
∴，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)（a∈R），x∈（0，+∞），
，
①當(dāng)a＞0時(shí)，2ax+1＞0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）＝0，解得x＝1或，
（i）若，則，
∴當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（ii）若時(shí)，則恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（iii）若，則，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增；
綜上可得：當(dāng)a＞0時(shí)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)f（x）在和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)f（x）在（0，1）和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）當(dāng)a∈[﹣2，﹣1）時(shí)，由（2）可知，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴，
∵對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1），當(dāng)x1，x2∈[1，e]時(shí)恒成立，
∴對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1）恒成立，
即對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1）恒成立，
∵當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以，
∴m≤5，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，5]；
12．（2023春 咸陽期末）已知函數(shù)，其中．
（1）若，求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程；
（2）若對(duì)于任意，，都有成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，（2），
，則（2）．
所以曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程為，
即．
（2）因?yàn)閷?duì)于任意，，都有成立，
則，等價(jià)于．
令，則當(dāng)，時(shí)，，．
因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增．
所以（e）．
所以．
即的取值范圍是．
13．（2023 烏魯木齊模擬）已知在處的切線方程為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）是的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，，都有．
【解答】解：（1）由題意可得，（1），且，則（1），即，
則，，
所以；
（2）證明：由（1）可知，，，
所以，
令，
則，
所以時(shí)，，
即在，上單調(diào)遞減，
所以（1），即，
所以，即．
14．（2023春 朝陽區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，（其中．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意，都有成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，
可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以的增區(qū)間為；減區(qū)間為；
（2）因?yàn)閷?duì)于任意，都有成立，
所以在上恒成立，
即恒成立，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
因?yàn)闀r(shí)，，
所以，單調(diào)遞增，
此時(shí)（e），
所以，
即，
又，
則的取值范圍為．
15．（2023春 鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足．
（1）求函數(shù)的值域；
（2）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，
此時(shí)，使得，
即，
整理得，，
則函數(shù)，
解得，
所以，
故函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>（2）若存在，使得不等式成立，
即當(dāng)，不等式成立，
不妨令，，
此時(shí)存在，使得不等式成立，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>令，且，
此時(shí)，
易知，
所以，
即，
則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，
同理得函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值，最大值，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
16．（2023春 薌城區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)，時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的的取值范圍．
【解答】解：（1），函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>若，則，在遞增，
若，，解得：，，解得：，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)，時(shí)，恒成立，
當(dāng)，時(shí)，恒成立，即，
設(shè)則顯然當(dāng)，時(shí)，恒成立，
在，上單調(diào)遞增，，則，即，
實(shí)數(shù)的的取值范圍．
17．（2023春 駐馬店月考）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，（4）處的切線方程；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1），
，（4）．
則曲線在點(diǎn)，（4）處的切線方程為，
即．
（2），
令函數(shù)，．
所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?），所以當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則．
因?yàn)楹愠闪ⅲ裕?br/>故的取值范圍為．
18．（2023春 運(yùn)城期末）已知，
（1）證明：關(guān)于對(duì)稱；
（2）若的最小值為3
（ⅰ）求；
（ⅱ）不等式恒成立，求的取值范圍
【解答】解：（1）證明：因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以關(guān)于對(duì)稱．
（2）（ⅰ）任取，，且，
，
，
，
，
，，
，
所以在，上單調(diào)遞增，
又關(guān)于對(duì)稱，
則在，上單調(diào)遞減．
所以（1），
所以．
（單調(diào)性也可以用單調(diào)性的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷、導(dǎo)數(shù)證明）
（ⅱ）不等式恒成立等價(jià)于恒成立，
即恒成立，
即
令，則，
令，，則，
則，
因?yàn)椋〉忍?hào)，
則，
所以，
所以，
即．
19．（2023春 湖北期末）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線在處的切線方程為．
（ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（ⅱ）關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，求正實(shí)數(shù)的值．
【解答】解：（1）的定義域?yàn)椋?br/>，
當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
，，的單調(diào)遞減區(qū)間為．
綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由題意，所以，
記，且（1），
所以，
①，，則，（1），不合題意；
②，令，則，
當(dāng)，，，，
所以，
所以，令，，則，
記，則，
又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以（1），
所以，所以，所以．
20．（2023春 肥西縣期中）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求的極小值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的，，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ），
，
令，解得或，
令，解得，
故在遞增，在遞減，在遞增，
故（2）．
（Ⅱ）若對(duì)任意的，，，不等式恒成立，
則在，恒成立，
結(jié)合（Ⅰ），時(shí)，在，遞減，在，遞增，
故（2），
由，得，
①時(shí)，，在，遞增，
故（e），
則，解得（舍，
②時(shí)，令，解得，令，解得，
故在遞增，在，遞減，
，即時(shí)，在，遞減，（1），
則，則；
，即時(shí)，在，遞增，在，遞減，
故，
則，解得（舍；
，即時(shí)，在，遞增，
故（e），
故，解得（舍；
綜上：的取值范圍是，．
21．（2023 福建模擬）已知函數(shù)，．
（1）討論在的單調(diào)性；
（2）是否存在，，，且，使得曲線在和處有相同的切線？證明你的結(jié)論．
【解答】解：（1），
故時(shí)，；時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增．
（2）解法一：不存在，，，且，使得曲線在和處有相同的切線．
證明如下：假設(shè)存在滿足條件的，，，
因?yàn)樵冢幍那芯€方程為，
即，
同理在，處的切線方程為，
且它們重合，所以，，
整理得，
即，，
所以，
由兩邊同乘以，
得，
令，，則，且，
由得，代入得，兩邊取對(duì)數(shù)得，
令，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增，又（1），所以，從而，與矛盾；
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以，從而，與矛盾；
綜上，不存在，，使得，且．
故不存在，，且，使得曲線在和處有相同的切線．
解法二：不存在，，且，使得曲線在和處有相同的切線．
證明如下：假設(shè)存在滿足條件的，，，
因?yàn)樵冢幍那芯€方程為，
即，
同理在，處的切線方程為，
且它們重合，所以，，
整理得，
令，，可得，
由兩邊同乘以，
得，則，且，
令，則，且．
由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以若，存在，不妨設(shè)，
設(shè)，，又，所以，則，
由，得，即，
則，所以，
所以，即，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，（1），
即，取，即，
所以在時(shí)無解，
綜上，不存在，，使得，且．
故不存在，，且，使得曲線在和處有相同的切線．
解法三：不存在，，且，使得曲線在和處有相同的切線．
證明如下：假設(shè)存在滿足條件的，，，
因?yàn)樵冢幍那芯€方程為，
即，
同理在，處的切線方程為，
且它們重合，所以，，
整理得，
即，，
所以，
由兩邊同乘以，
得，
令，，則．，且，
令，則，且．
由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以若，存在，不妨設(shè)，
則，，
所以，
以下證明．
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，（1），
因?yàn)椋裕?br/>整理得．
因?yàn)椋裕c矛盾；
所以不存在，，使得，且．
故不存在，，且，使得曲線在和處有相同的切線．
22．（2023春 昆明期末）已知函數(shù)在處取得極值0．
（1）求，；
（2）若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意知，
所以（1），（1），
所以，；
（2）由（1）可知，，
過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，等價(jià)于
關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，
所以，即，
令，則，
令，解得，或．
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表所示，
1
0 0
單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 0 單調(diào)遞減
因此，當(dāng)時(shí)，有極大值（1），
當(dāng)時(shí)，有極小值；
則，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
23．（2023春 大余縣校級(jí)期末）已知函數(shù)，．
（1）設(shè)，求函數(shù)的極大值點(diǎn)；
（2）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在處有極大值，
所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為．
（2）依題意，，，不等式，
當(dāng)時(shí)，成立，則，
當(dāng)時(shí)，，，
令，，求導(dǎo)得，
令，，求導(dǎo)得，
因此在上單調(diào)遞增，即有，而，
又函數(shù)在上的值域是，，則函數(shù)，即在上的值域是，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，
對(duì)，，因此，
當(dāng)時(shí)，存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，
所以的取值范圍為，．
24．（2023春 日照期末）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，，求證：．
【解答】解：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，
，
又，
曲線在處的切線方程為，
即；
（2）記，其中，
由題意知在上恒成立，
下面求函數(shù)的最小值，
對(duì)求導(dǎo)得，
令，得，
當(dāng)變化時(shí)，，變化情況列表如下：
，
0
遞減 極小值 遞增
，
，
記，則，
令，得，
當(dāng)變化時(shí)，，變化情況列表如下：
1
0
遞增 極大值 遞減
（1），
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，從而得到；
（3）證明：先證，
記，則，
令，得，
當(dāng)變化時(shí)，，變化情況列表如下：
，
0
遞減 極小值 遞增
，
恒成立，即，
記直線，分別與交于，，，，
不妨設(shè)，則，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由（2）知，，則，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故，
因等號(hào)成立的條件不能同時(shí)滿足，故．
25．（2023春 高臺(tái)縣校級(jí)月考）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（2），若對(duì)任意，，均存在，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），所以，，
從而曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．
（2）由已知，轉(zhuǎn)化為，且（1）．
設(shè)，則，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
又，，，
故在存在唯一零點(diǎn)．
所以在存在唯一零點(diǎn)．
設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減．
又，，
所以當(dāng)，時(shí)，．
所以，即，
因此，的取值范圍是．
26．（2023春 朝陽區(qū)期末）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明；
（Ⅱ）若直線是曲線的切線，設(shè)，求證：對(duì)任意的，都有．
【解答】證明：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，令，解得，令，解得，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
故，故成立．
（Ⅱ）由已知得，設(shè)切點(diǎn)為，
則且，解得：，，
所以，，
要證，
即證，
即證，即證，
令，，原不等式等價(jià)于，即，
設(shè)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以成立，
所以對(duì)任意，都有．
27．（2023春 平度市期末）已知函數(shù)．
（1）若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由題得，
在，上單調(diào)遞增，
在，上恒成立，
即在，上恒成立，
，
，即的取值范圍是，．
（2），，
注意到：，
若，則，在上單調(diào)遞增，
，在上不存在零點(diǎn)；
若，則，在上單調(diào)遞減，
，在上不存在零點(diǎn)；
若，顯然，在上不存在零點(diǎn)；
若，顯然存在，使得，且在上單調(diào)遞增，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
注意到：，，且，存在唯一使得，
綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
28．（2023春 濱海新區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，（m∈R）．
（1）若f（1）＝﹣1，求m的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≤0恒成立，求整數(shù)m的最小值．
【解答】解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
因?yàn)閒（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，f（1）＝﹣1，則f（1）＝﹣3m+2＝﹣1，
解得m＝1．
當(dāng)m＝1時(shí)，f（x）＝lnx﹣x2﹣x+1，．
當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在上單調(diào)遞減；
所以f（x）在時(shí)取得極大值且極大值為，無極小值．
（2）因?yàn)椋?br/>當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞0時(shí)，
當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在上單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）解法一：若對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≤0恒成立，
所以lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1≤0，即lnx+x+1≤m（x2+2x）在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)，則．
設(shè)φ（x）＝﹣（x+2lnx），則，
所以φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
因?yàn)棣眨?）＝﹣1＜0，，
所以，使得φ（x0）＝0，即x0+2lnx0＝0．
當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，φ（x）＞0，
當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，φ（x）＜0．
所以F（x）在﹣（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以．
因?yàn)椋裕?br/>故整數(shù)m的最小值為1．
解法二：若對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≤0恒成立，
由（2）可知，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)閒（1）＝﹣3m+2＞0，顯然不符合對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≤0恒成立
由（2）可知，當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以f（x）有最大值．
若對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≤0恒成立，只需要即可．
設(shè)，顯然在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
因?yàn)間（x）min＞h（x）max，，，
所以要使，只需要整數(shù)m≥1，
故整數(shù)m的最小值為1．
29．（2023春 臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1），
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，
所以在上，，單調(diào)遞增，
在，上，，單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）對(duì)任意的，都有恒成立，
即任意的，都有恒成立，
所以任意的，都有對(duì)恒成立，
令，
則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又（1），，
所以存在，，使得，即，
所以在上，單調(diào)遞減，
在，上，單調(diào)遞增，
由，得，
設(shè)，，，
所以在上為增函數(shù)，
所以由，得，
所以，即，所以，
所以，
所以，所以，
所以的取值范圍為．
30．（2023春 天津期末）已知函數(shù)．
（1）證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；
（2）若且，證明：，，．
【解答】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，
，
令，可得，令，可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在時(shí)取得極大值，也是最大值為（1），
所以恒成立．
（2），
，
令，解得或，
所以當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?），，
所以，所以，
，
由（1）可知，
所以，
所以要證，即證，
即證，
即證，
令，
，，
所以單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?），
所以，所以單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?），
所以（1），所以得證，
即得證．重難點(diǎn)突破06恒成立與能成立問題
1．恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；
2．能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；
3．恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M
另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價(jià)于在D上的最大值．
4．設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則
5．設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則
6．設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則
7．設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則
8．設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，設(shè)在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)锳，在區(qū)間[c，d]上的值域?yàn)锽，則AB．
9．若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方．
10．若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方．
恒成立問題的基本類型
在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題．
函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題，其表現(xiàn)形式通常有：①在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立；②某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R；③某不等式的解為一切實(shí)數(shù)；④某表達(dá)式的值恒大于a等等…
恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)．
恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：
①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；⑤直接根據(jù)函數(shù)的圖象．
二、恒成立問題解決的基本策略
大家知道，恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題．等式中的恒成立問題，特別是多項(xiàng)式恒成立問題，常簡化為對(duì)應(yīng)次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個(gè)方程組來解決問題的．
（一）兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題”
思路1．
思路2．
如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題，我們可以通過習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解，通常可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)的最值．
1．（2023春 海淀區(qū)期末）已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）若對(duì)任意的，，都有，求實(shí)數(shù)的最大值．
2．（2023 青羊區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．
（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，方程均有解．
3．（2023春 通州區(qū)期末）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）若，求證：對(duì)于任意，恒有．
4．（2023春 渝中區(qū)校級(jí)期末）（1）不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．
（2）當(dāng)，求證：（參考數(shù)據(jù)：，．
5．（2023 宜章縣二模）已知函數(shù)，為常數(shù)，且．
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，如果存在兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，且，證明：．
6．（2023 河南開學(xué)）已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得成立，求的取值范圍．
7．（2023春 西城區(qū)期末）已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明：．
8．（2023春 東城區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；
（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．
9．（2023春 朝陽期末）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
10．（2023春 大連期末）已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并給出證明；
（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
11．（2023春 濱海新區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)（a∈R）．
（1）a＝0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）a≠0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1），當(dāng)x1，x2∈[1，e]時(shí)恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
12．（2023春 咸陽期末）已知函數(shù)，其中．
（1）若，求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程；
（2）若對(duì)于任意，，都有成立，求的取值范圍．
13．（2023 烏魯木齊模擬）已知在處的切線方程為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）是的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，，都有．
14．（2023春 朝陽區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，（其中．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意，都有成立，求的取值范圍．
15．（2023春 鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足．
（1）求函數(shù)的值域；
（2）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．（2023春 薌城區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)，時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的的取值范圍．
17．（2023春 駐馬店月考）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，（4）處的切線方程；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
18．（2023春 運(yùn)城期末）已知，
（1）證明：關(guān)于對(duì)稱；
（2）若的最小值為3
（ⅰ）求；
（ⅱ）不等式恒成立，求的取值范圍
19．（2023春 湖北期末）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線在處的切線方程為．
（ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（ⅱ）關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，求正實(shí)數(shù)的值．
20．（2023春 肥西縣期中）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求的極小值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的，，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
21．（2023 福建模擬）已知函數(shù)，．
（1）討論在的單調(diào)性；
（2）是否存在，，，且，使得曲線在和處有相同的切線？證明你的結(jié)論．
22．（2023春 昆明期末）已知函數(shù)在處取得極值0．
（1）求，；
（2）若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
23．（2023春 大余縣校級(jí)期末）已知函數(shù)，．
（1）設(shè)，求函數(shù)的極大值點(diǎn)；
（2）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍．
24．（2023春 日照期末）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，，求證：．
25．（2023春 高臺(tái)縣校級(jí)月考）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（2），若對(duì)任意，，均存在，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
26．（2023春 朝陽區(qū)期末）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明；
（Ⅱ）若直線是曲線的切線，設(shè)，求證：對(duì)任意的，都有．
27．（2023春 平度市期末）已知函數(shù)．
（1）若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍．
28．（2023春 濱海新區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，（m∈R）．
（1）若f（1）＝﹣1，求m的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≤0恒成立，求整數(shù)m的最小值．
29．（2023春 臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍．
30．（2023春 天津期末）已知函數(shù)．
（1）證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；
（2）若且，證明：，，．重難點(diǎn)突破06 零點(diǎn)與隱零點(diǎn)問題
導(dǎo)數(shù)問題中遇到隱零點(diǎn)問題的解決方法
第一步：利用特殊點(diǎn)處的函數(shù)值、零點(diǎn)存在定理、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象等，判斷零點(diǎn)是否存在以及取值范圍；
第二步：把導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值等于0作為條件帶回原函數(shù)，進(jìn)行化簡或消參
1．（2022春 昭通月考）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，處切線的斜率為1，為的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求；
（2）證明：在，上存在唯一的極大值點(diǎn)．
【解答】解：（1），
由題意得，，
即；
（2）證明：令，則，
所以且，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，，，
由零點(diǎn)存在定理可知，在，上存在唯一的，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，
所以即在，上存在唯一的極值點(diǎn)．
2．（2023春 阜陽期末）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）令，若不等式恒成立，求的最小值．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，
又，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
（2）若，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
所以在單調(diào)遞增，即上單調(diào)遞增，
又，
，
所以存在，，使得，①
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
要使不等式恒成立，
需滿足，②
聯(lián)立①②，解得，
由①式知，，
解得，
則的最小值為．
3．（2023春 河池期末）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）求證：．
【解答】（1）解：，，
設(shè)，，
在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
（1），（1），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，取得最小值，（1）；
（2）證明：要證，只需證，
即證，令，則，
當(dāng)時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞增，
即在上為增函數(shù)，
又，
存在，使得，
由，
得，即，即，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
，
令，
則，
在上單調(diào)遞增，，
，，
即．
4．（2023 東莞市校級(jí)三模）已知函數(shù)．
（1）證明：；
（2）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，且．
【解答】證明：（1）令，求導(dǎo)得，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，由，得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
．
（2）由，求導(dǎo)得，
，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，
由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一實(shí)數(shù)，使得，
則當(dāng)，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，而，則，
且在恒成立，又，
因此存在唯一，使得，
下面證明，由知，即，
則只需證，即證，
由（1）知：，只需證：，
令，而，
故只需證，其中，
令，
則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，即時(shí)，，
．
5．（2023春 咸陽期末）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）記，若當(dāng)時(shí)，恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）由，得，
，又（1），
曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，
即；
（2），
，
，
，
令，改函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得．
當(dāng)時(shí)，，則，
在上單調(diào)遞增，有，
在上單調(diào)遞減，則，
符合題意；
當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使，時(shí)，，
即，在，上單調(diào)遞減，
，則在，上單調(diào)遞增，
，時(shí)，，可知不符合題意．
綜上所屬，正實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
6．（2021春 雨花區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，，．
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）記函數(shù)的最小值為，求的最小值．
【解答】解：（1）的定義域?yàn)椋?br/>①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，
所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)無零點(diǎn)，
③當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
故當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)無零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)．
（2）由題意得，，
則，令，則，
所以在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù)，
又（1），，所以在上存在唯一零點(diǎn)，且，，
，即，
當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，在，上為增函數(shù)，的最小值，
因?yàn)椋裕裕?br/>由，得，在上為增函數(shù)，
因?yàn)椋裕?），，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，且，
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>又，
所以，
又函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，
，
因?yàn)椋裕丛谏系淖钚≈禐?．
7．（2023 葫蘆島二模）已知函數(shù)，且．
（1）求；
（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．
【解答】解：（1）由恒成立，
令且，
①當(dāng)時(shí)，（2）（舍；
②當(dāng)時(shí)，，
在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，
．
令（a），（a），
在上，（a），（a）單調(diào)遞增，在上，（a），（a）單調(diào)遞減，
，則．
（2）證明：由（1）知：，，則，
令，則，
在上，，則單調(diào)遞減，在上，，則單調(diào)遞增，
，，
有兩個(gè)根，圖象如下，
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
存在唯一極大值為，又，
，
令，在上，故單調(diào)遞增．
，故，且為極大值，
，
，
．
8．（2020秋 開福區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．
【解答】解：（1）的定義域?yàn)椋?br/>又，
①當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，同理可得，在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
若，即時(shí)，同理可得，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，；單調(diào)遞減區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
所以在，上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?），
所以存在，，使得，即，即，
故當(dāng)，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，；
即在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
所以．
令，，，則，
所以在，上單調(diào)遞增，
所以，（1），
所以．
9．（2021春 河南月考）已知函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）若在，上的最大值為，求證：；
【解答】解：（1）．
，
（2），
時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
在處取得極小值，（2），無極大值．
（2）證明：，，．
．
，，．
函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
又，（1），
因此函數(shù)在，上存在唯一零點(diǎn)，并且，，（可得．
時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值
，．
而函數(shù)在上單調(diào)遞減．
，
而，，
．
10．（2018 呼和浩特一模）已知二次函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)極大值點(diǎn)，求證：．
【解答】解：（1），
，
當(dāng)時(shí)，在上恒正；
所以，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
（2）證明：
則
，
令，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；
所以，在處取得極大值，一定有2個(gè)零點(diǎn)，
分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)．
設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則，
所以，，
又，
所以，，
此時(shí)，
所以．重難點(diǎn)突破06 零點(diǎn)與隱零點(diǎn)問題
導(dǎo)數(shù)問題中遇到隱零點(diǎn)問題的解決方法
第一步：利用特殊點(diǎn)處的函數(shù)值、零點(diǎn)存在定理、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象等，判斷零點(diǎn)是否存在以及取值范圍；
第二步：把導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值等于0作為條件帶回原函數(shù)，進(jìn)行化簡或消參
1．（2022春 昭通月考）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，處切線的斜率為1，為的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求；
（2）證明：在，上存在唯一的極大值點(diǎn)．
2．（2023春 阜陽期末）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）令，若不等式恒成立，求的最小值．
3．（2023春 河池期末）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）求證：．
4．（2023 東莞市校級(jí)三模）已知函數(shù)．
（1）證明：；
（2）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，且．
5．（2023春 咸陽期末）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）記，若當(dāng)時(shí)，恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．
6．（2021春 雨花區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，，．
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）記函數(shù)的最小值為，求的最小值．
7．（2023 葫蘆島二模）已知函數(shù)，且．
（1）求；
（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．
8．（2020秋 開福區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．
9．（2021春 河南月考）已知函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）若在，上的最大值為，求證：；
10．（2018 呼和浩特一模）已知二次函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)極大值點(diǎn)，求證：．重難點(diǎn)突破08 極值點(diǎn)偏移
極值點(diǎn)偏移問題的解法
(1)(對(duì)稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù):對(duì)結(jié)論型,構(gòu)造函數(shù);對(duì)結(jié)論型,構(gòu)造函數(shù),通過研究的單調(diào)性獲得不等式.
(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的歡變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式,利用函數(shù)單調(diào)性證明.
1．已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線斜率為．
（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若函數(shù)的圖象與直線交于不同的兩點(diǎn)，，，，求證：．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋郑剩?br/>，則，
令，解得，，，
故函數(shù)的減區(qū)間為，；
（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線交于不同的兩點(diǎn)，，，，設(shè)，
則，則，故，
令，則，
，
要證，只要證，
由于，只要證，
設(shè)，，則，
設(shè)，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（1），
又，故，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（1），即，即得證．
2．已知函數(shù)，為常數(shù)，且．
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，如果存在兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，且，證明：．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以，，
設(shè)，
△，即時(shí)，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
△，即時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且，
，
所以任意，，，單調(diào)遞增，
任意，，，，單調(diào)遞減，
任意，，，，單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）證明：因?yàn)椋?），
所以（1），
由（1）可得時(shí)，在上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，
要證，即證，
所以，
所以，
所以，
設(shè)，，
，
所以時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以（1）（1），
所以．
3．已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性：
（Ⅱ）若，是方程的兩不等實(shí)根，求證：
；
．
【解答】解：（Ⅰ），
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令得，
令得，
所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)不等實(shí)數(shù)根，即，是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
令，則，，即，是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
令，
則，
令得，
所以在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
（e），
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且，
所以，即，
令，
要證明，只需證明，
設(shè)，，
則，，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，（e），
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以得證．
要證，只需證，
只需證，
只需證，
只需證，
因?yàn)椋?br/>令得，
即①，
令得，
即②，
①②得，
所以，得證．
4．已知函數(shù)．
（1）若為的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，
，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令得，
所以在上，單調(diào)遞減，
在，上，單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，最大值為（e），
當(dāng)，即時(shí)，在，是減函數(shù)，最大值為（1），
當(dāng)，即時(shí)，在是增函數(shù)，在，是減函數(shù)，最大值為，
當(dāng)，即時(shí)，在，是增函數(shù)，最大值為（e），
綜上所述，當(dāng)時(shí)，最大值為（e），
當(dāng)時(shí)，最大值為，
當(dāng)時(shí)，最大值為（1）．
（3）證明：，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，
所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，（假設(shè)，
則在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，（假設(shè)，
所以與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由函數(shù)的圖象知，，，
要證：，
可得變形為，
因?yàn)椋?br/>所以，
即證可以變形為，
進(jìn)一步變形為，
令，
即證，
令，
，在上單調(diào)遞增，
所以（1），即證．
5．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）若對(duì)于，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若的函數(shù)圖象與交于不同的兩點(diǎn)，，，，證明：．
【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?br/>所以，（1），
又因?yàn)椋?），
所以曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．
（2）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”恒成立，
令，，，，
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減．
當(dāng)，時(shí)，，所以在區(qū)間，單調(diào)遞增，
而，，
所以在區(qū)間上的最大值為．
所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，都有．
（3）證明：函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>由（1）可知，，
令，解得，與在區(qū)間上的情況如下：
0
減函數(shù) 極小值 增函數(shù)
故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
又（1），時(shí)，，時(shí)，，
與的圖像交于，兩點(diǎn)，即，
．
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
，
，
，
，
即當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)，，
，
此時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，可得，
記，即，
由當(dāng)時(shí)，，即，
，此時(shí)，
又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，
可得，
．
6．已知函數(shù)，．
（1）若，為的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>①當(dāng)時(shí)，顯然在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間，上的最大值為（e）；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間，上的最大值為；
③當(dāng)時(shí)，顯然在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間，上的最大值為（1）．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)時(shí)，最大值為．
（2）證明：，有題意可知 至少有兩個(gè)零點(diǎn)，所以．
由，，可得，．
所以，
不妨設(shè)，令，則，下面證明．
令，則，
所以在單調(diào)遞增，（1），即．
于是，，即．
7．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，，，求證：．
【解答】解：（1）
．變化時(shí)，與變化情況如下
0
單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，有極小值為，
極小值為，無極大值．
（2）證明：設(shè)：，由（1）知，，，
欲證：，需證：．
由，，且在是單調(diào)遞減函數(shù)，
即證：
即證：
令，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，
時(shí)，．
由時(shí)，，
得證．
8．設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)有極值時(shí)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)，滿足，且，證明：．
【解答】解：（1）的定義域是，
，
當(dāng)時(shí)，，即在上遞增，不合題意，
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
故時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，
故在遞增，在，遞減，
故，
若存在，使得成立，
則，
即，即，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
又（1），，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在遞增，在遞減，
由且知，
令
，，
則，
在遞增，（1），即，
，又，，
，，
又且在遞減，
，即．
9．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)對(duì)任意滿足，求證：當(dāng)，；
（3）若，且，求證：．
【解答】解：（1），．
令，解得．
2
0
極大值
在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，取得極大值（2）．
（2）證明：，，
．
當(dāng)時(shí)，，，從而，
，在是增函數(shù)．
．
（3）證明：在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．
當(dāng)，且，、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．
不妨設(shè)，由（2）可知，
又，．
，．
，，，且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，
，即．
10．已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）如果，且，求證：．
【解答】
（Ⅰ）解：
令，則
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
1
0
極大值
在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
在處取得極大值；
（Ⅱ）證明：令
則
，，
又，，在，上是增函數(shù)
又（1）時(shí)（1）
即當(dāng)時(shí)，
（Ⅲ）證明：當(dāng)，都在或都在時(shí)由于是單調(diào)函數(shù)，
所以，這與已知矛盾，所以，一個(gè)在內(nèi)，另一個(gè)在內(nèi)
不妨設(shè)，，則
由（Ⅱ）知時(shí)，，
又，
，，，
在上是增函數(shù)，，重難點(diǎn)突破08 極值點(diǎn)偏移
極值點(diǎn)偏移問題的解法
(1)(對(duì)稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù):對(duì)結(jié)論型,構(gòu)造函數(shù);對(duì)結(jié)論型,構(gòu)造函數(shù),通過研究的單調(diào)性獲得不等式.
(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的歡變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式,利用函數(shù)單調(diào)性證明.
1．已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線斜率為．
（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若函數(shù)的圖象與直線交于不同的兩點(diǎn)，，，，求證：．
2．已知函數(shù)，為常數(shù)，且．
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，如果存在兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，且，證明：．
3．已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性：
（Ⅱ）若，是方程的兩不等實(shí)根，求證：
；
．
4．已知函數(shù)．
（1）若為的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．
5．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）若對(duì)于，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若的函數(shù)圖象與交于不同的兩點(diǎn)，，，，證明：．
6．已知函數(shù)，．
（1）若，為的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．
7．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，，，求證：．
8．設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)有極值時(shí)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)，滿足，且，證明：．
9．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)對(duì)任意滿足，求證：當(dāng)，；
（3）若，且，求證：．
10．已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）如果，且，求證：．重難點(diǎn)突破09 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)
1．已知函數(shù)，證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
【解答】證明：（1）函數(shù)，，
，
令，，
，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又當(dāng)時(shí)，，而，
存在唯一，使得，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，
函數(shù)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且，
，
又當(dāng)時(shí)，；，
在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間，上存在一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，，
①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)，
②時(shí)，，又，當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，
函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
2．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對(duì)于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）由于，
所以，
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）令，
要使總成立，只需時(shí)，
對(duì)求導(dǎo)，可得，
令，
則，
所以在上為增函數(shù)，
所以；
對(duì)分類討論：
①當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在上為增函數(shù)，
所以，
即恒成立；
②當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在上為減函數(shù)，
則，不符合題意．
綜上，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
3．已知函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)，，；
（2）若函數(shù)在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)，時(shí)，，且，
所以當(dāng)，時(shí)，，且時(shí)，，
函數(shù)在，上單調(diào)遞增，，
所以，對(duì)，，．
（2）解：若函數(shù)在上存在極值，
則在上存在零點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，
，
則存在唯一實(shí)數(shù)，使得成立，
當(dāng)時(shí)，，為上的減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，
所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無極值；
③當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上無極值．
綜上知，使在上存在極值的的取值范圍是．
4．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對(duì)于任意的，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）由于，
所以，
當(dāng)，，即，，時(shí)，；
當(dāng)，，即，，時(shí)，．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，
單調(diào)遞減區(qū)間為，，；
（2）令，
要使總成立，只需，時(shí)，
對(duì)求導(dǎo)，可得，
令，
則，
所以在，上為減函數(shù)，
所以，；
對(duì)分類討論：
①當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在，上為增函數(shù)，
所以，
即，故成立；
②當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，
因?yàn)樵冢蠟闇p函數(shù)，
所以當(dāng)，時(shí)，，
所以，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在，上為減函數(shù)，
則，
由，可得，
即有．
綜上，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
5．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，如果對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）,
令,即,解得：,
令,即,解得：,
故在,遞增，在,遞減．
,
故對(duì)于任意的，恒成立，
等價(jià)于恒成立，
即,令,
則,
由（1）的結(jié)論知在,上為增函數(shù)，
,,
①當(dāng),即時(shí)，恒成立，
故在,上遞增，即,符合題意，
②當(dāng)即時(shí)，恒成立，
故在,遞減，即,不合題意，
③當(dāng)時(shí)，存在,使得,
當(dāng)時(shí)，,在遞減，
當(dāng),時(shí)，,在,遞增，
故,不合題意，
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
6．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
【解答】證明：（1）的定義域?yàn)椋?br/>，，
令，則在恒成立，
在上為減函數(shù)，
又，，由零點(diǎn)存在定理可知，
函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增；
由于在，上單調(diào)遞減，且，，
由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在，上存在唯一零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可知，
當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減．
當(dāng)，時(shí)，，，于是，單調(diào)遞減，
其中，
．
于是可得下表：
0
0 0
單調(diào)遞減 0 單調(diào)遞增 大于0 單調(diào)遞減 大于0 單調(diào)遞減 小于0
結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，
由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)，時(shí)，，則恒成立，
因此函數(shù)在，上無零點(diǎn)．
綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
7．已知定義在，上的函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）若在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，，則，
所以在，上為增函數(shù)，從而．
所以；
（2）因?yàn)椋?br/>所以，
由，可得．
因?yàn)樵谏洗嬖跇O值，
所以直線與曲線在內(nèi)有交點(diǎn)（非切點(diǎn)）．
令，其中，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，且，，
結(jié)合函數(shù)與函數(shù)在上的圖象可知，
當(dāng)時(shí)，直線與曲線在上的圖象有交點(diǎn)（非切點(diǎn)），
即實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（3）依題意得在，上恒成立．
設(shè)，其中，
則，
由（1）知，
則．
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在，上單調(diào)遞增，故，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，由（1）知在，上為增函數(shù)，
且．
而，
于是時(shí)，，故存在，（唯一），
使得，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以，不符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
8．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求不等式的解集；
（2）如果對(duì)于任意的，，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以不等式等價(jià)于，
即，
故原不等式的解集為，，；
（2）令，
要使總成立，只需，時(shí)，
對(duì)求導(dǎo)，可得，
令，
則，，
所以在，上為增函數(shù)，
所以，；
對(duì)分類討論：
①當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在，上為增函數(shù)，
所以，
即恒成立；
②當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在上為減函數(shù)，
則，不符合題意．
綜上，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
9．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．
【解答】解：（1）由于函數(shù)為偶函數(shù)，要求函數(shù)的最小值，只需求，時(shí)的最小值即可．
因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，顯然單調(diào)遞增，而，，由零點(diǎn)存在定理，存在唯一的，使得，分
當(dāng)，，單減，當(dāng)，，，單增，而，
，，，即，，單減，分
又當(dāng)，，，，單增，所以；分
（2）只需證，其中，，，
構(gòu)造函數(shù)，，
，即單增，
所以，，即當(dāng)時(shí)，
，
而，
所以，，又，即，
此時(shí)，，，由第（1）問可知，在，上單增，所以，，，即證分
10．已知函數(shù)．
（1）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）若，，求的取值范圍．
【解答】解：（1）證明：，
因?yàn)椋裕?br/>于是（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）．
故函數(shù)在上單調(diào)遞增．
（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，
又，所以，
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，成立．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，所以，
故時(shí)，．
由式可得，
令，則
由式可得
令，得在上單調(diào)遞增，
又，，所以存在使得，
即時(shí)，，
所以時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，所以，
即時(shí)，，與矛盾．
綜上，滿足條件的的取值范圍是，．重難點(diǎn)突破09 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)
1．已知函數(shù)，證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
2．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對(duì)于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．已知函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)，，；
（2）若函數(shù)在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
4．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對(duì)于任意的，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
5．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，如果對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
6．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
7．已知定義在，上的函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）若在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
8．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求不等式的解集；
（2）如果對(duì)于任意的，，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
9．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．
10．已知函數(shù)．
（1）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）若，，求的取值范圍．重難點(diǎn)突破10 導(dǎo)數(shù)大題60題專項(xiàng)訓(xùn)練
1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因?yàn)椋瑒t．
（2）因?yàn)椋瑒t．
2．已知函數(shù)的圖像與直線相切，切點(diǎn)為．
（1）求，，的值；
（2）設(shè)，求在，上的最大值和最小值．
【解答】解：（1），
函數(shù)的圖像與直線相切，切點(diǎn)為，
則．
（2）由（1）可知，，，
或；
．
則在，單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
故，（2），，
，（4），．
3．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程；
（2）求在區(qū)間，上的最值．
【解答】解：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，
（2），（2），
所求得的切線方程為，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，
令，解得：或者，
故函數(shù)在，遞增，在，遞減，
故函數(shù)在取最大值，
，，
故函數(shù)在，的最大值為4，最小值為0．
4．已知函數(shù)（a∈R）．
（1）a＝0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）a≠0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1），當(dāng)x1，x2∈[1，e]時(shí)恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵（a∈R），
∴當(dāng)a＝0時(shí)，，x∈（0，+∞），
∴，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)（a∈R），x∈（0，+∞），
，
①當(dāng)a＞0時(shí)，2ax+1＞0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）＝0，解得x＝1或，
（i）若，則，
∴當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（ii）若時(shí)，則恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（iii）若，則，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增；
綜上可得：當(dāng)a＞0時(shí)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)f（x）在和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)f（x）在（0，1）和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）當(dāng)a∈[﹣2，﹣1）時(shí)，由（2）可知，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴，
∵對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1），當(dāng)x1，x2∈[1，e]時(shí)恒成立，
∴對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1）恒成立，
即對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1）恒成立，
∵當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以，
∴m≤5，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，5]；
5．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的最小值；
（3）若函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，、，，證明：．
【解答】解：（1），，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2）令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
，即的最小值是；
證明：（3）由（2）可知，
即，直線為函數(shù)的一條切線，
由，得，取，得，又，
在處的切線方程為，即，
令，，
令，，單調(diào)遞增，
又，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，，
可得函數(shù)圖像夾在直線和直線之間，
直線與直線的交點(diǎn)為，
與直線的交點(diǎn)為，不妨設(shè)，
則．
6．已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）不妨設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
此時(shí)，①
因?yàn)椋?br/>所以，
此時(shí)切線斜率，
整理得，②
聯(lián)立①②，解得，
所以，
故切點(diǎn)坐標(biāo)為．
7．已知函數(shù)．
（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
【解答】解：（1）由題意可得：的定義域?yàn)椋遥?br/>①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
因?yàn)閷?duì)恒成立，所以在上遞增，
又因?yàn)椋遥?br/>所以存在，使得，即，
，
0
單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
所以在上恰有1個(gè)極小值點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)時(shí)，極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．
（2）由題意，由（1）可知：在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
則，
其中，則，且，
于是不等式恒成立，
整理得，
設(shè)，
則，
則在上單調(diào)遞增，且，所以可得，
又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，可得，
所以，即的最大值為．
8．已知函數(shù)．
（1）若，求的圖象在處的切線方程；
（2）若對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最小值；
（3）求證：，．
【解答】解：（1）當(dāng)，，
，
，，
所以的圖象在處的切線方程為，
（2）對(duì)任意的恒成立，等價(jià)于為恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，，
因?yàn)楹瘮?shù)，在單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，
且，，，
，，，
所以存在唯一的實(shí)數(shù)，，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，取極大值也是最大值，，
因?yàn)楹瘮?shù)，在，單調(diào)遞增，且均為正，故單調(diào)遞增，
因此，所以，
所以整數(shù)的最小值為1；
（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，
取，則，
所以，
因此，
故，．
9．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，且對(duì)任意，，（其中都有，求實(shí)數(shù)的最小值．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以對(duì)任意，，，都有，
已知，
可得，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以對(duì)任意，，，都有，
易知當(dāng)，時(shí)，，
因?yàn)椋?br/>所以，
整理得，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
則，
即，
所以當(dāng)，，時(shí)，恒成立，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得恒成立，
所以在，恒成立，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，
所以，單調(diào)遞減，
則（3），
可得，
故實(shí)數(shù)的最小值為．
10．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)，求證：在上單調(diào)遞減；
（3）證明：．
【解答】解：（1）由題意得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
．
又當(dāng)時(shí)，，可取到負(fù)的無窮小值；
當(dāng)時(shí)，，也可取到負(fù)的無窮小值；
函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，即．
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（2）證明：，，
，令，，
，
又時(shí)，有，，
，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，從而，
在上單調(diào)遞減．
（3）證明：由（1）知，，
要證，只需證，
在上單調(diào)遞減，
只需證．
，
只需證，其中，
只需證，其中，
由（2）知，當(dāng)時(shí)，，
．
．
11．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）討論的單調(diào)性．
【解答】解：（1）時(shí)，，
則，
故（1），（1），
故切線方程是：，即；
（2）因?yàn)椋?br/>對(duì)求導(dǎo)，，，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)，由于，所以恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，令，解得，
因?yàn)楫?dāng)，，當(dāng)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
12．已知函數(shù)，求函數(shù)的極值．
【解答】解：，，
，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
僅有極小值為．
13．已知函數(shù)．
（1）若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由題得，
在，上單調(diào)遞增，
在，上恒成立，
即在，上恒成立，
，
，即的取值范圍是，．
（2），，
注意到：，
若，則，在上單調(diào)遞增，
，在上不存在零點(diǎn)；
若，則，在上單調(diào)遞減，
，在上不存在零點(diǎn)；
若，顯然，在上不存在零點(diǎn)；
若，顯然存在，使得，且在上單調(diào)遞增，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
注意到：，，且，存在唯一使得，
綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
14．已知在處的切線方程為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）是的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，，都有．
【解答】解：（1）由題意可得，（1），且，則（1），即，
則，，
所以；
（2）證明：由（1）可知，，，
所以，
令，
則，
所以時(shí)，，
即在，上單調(diào)遞減，
所以（1），即，
所以，即．
15．已知，，．
（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
（2）若恒成立，且存在使得方程恒有兩個(gè)交點(diǎn)，求的范圍．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)，，
可得，
此時(shí)（1），
又（1），
所以曲線在處的切線方程為，
即；
（2）若恒成立，
此時(shí)（1），
解得，
因?yàn)榇嬖谑沟梅匠毯阌袃蓚€(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)函數(shù)在定義域上不單調(diào)，
即在上存在零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在，上單調(diào)遞增，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)樵冢蠁握{(diào)遞增，
若（1），即時(shí)，
可得恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，不符合題意；
若（1），即時(shí)，
可得，
因?yàn)椋?br/>所以，
此時(shí)需滿足在上存在實(shí)數(shù)根，
不妨設(shè)，，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
此時(shí)（1），
即，
此時(shí)在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以符合題意，
綜上，滿足條件的的取值范圍為．
16．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）判斷與1.01的大小關(guān)系，并說明理由．
【解答】解：（1），所以，
，所以切點(diǎn)為，
所以曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．
（2）定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，
在上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，令，所以，，
，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，，函數(shù)單調(diào)遞增，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；，函數(shù)單調(diào)遞增；
（3）記，則，
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，
，即，，
故有：．
17．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（2），若對(duì)任意，，均存在，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），所以，，
從而曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．
（2）由已知，轉(zhuǎn)化為，且（1）．
設(shè)，則，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
又，，，
故在存在唯一零點(diǎn)．
所以在存在唯一零點(diǎn)．
設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減．
又，，
所以當(dāng)，時(shí)，．
所以，即，
因此，的取值范圍是．
18．已知函數(shù)，其中．
（1）若，求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程；
（2）若對(duì)于任意，，都有成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，（2），
，則（2）．
所以曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程為，
即．
（2）因?yàn)閷?duì)于任意，，都有成立，
則，等價(jià)于．
令，則當(dāng)，時(shí)，，．
因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增．
所以（e）．
所以．
即的取值范圍是．
19．已知函數(shù)．
（1）證明；
（2）關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】（1）證明：，
由，可得；由，可得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以（1），即．
（2）解：由得，
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，則，
則，
令，則，
由，可得，由，可得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，最大值為（1），
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，，
20．已知函數(shù)．
（1）若是的極值點(diǎn)，求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)在，上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>則（1），即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
（2），則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由，得，
若，則；若，則，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（3）當(dāng)，時(shí)，由可得，令，其中，，
則直線與函數(shù)在，上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
所以，函數(shù)的極大值為，且（1），，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在，上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
21．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值．
【解答】解：（1）函數(shù)，
，
由，解得或；
由，解得；
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由（1）的單調(diào)性可得：
當(dāng)時(shí)，取得極大值，
當(dāng)時(shí)，取得極小值（1），
又，（2）．
在區(qū)間，上的最大值為11，最小值為．
22．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若函數(shù)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的最大值．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，
可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值（1）；
（2）若函數(shù)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
此時(shí)方程至少有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根，
即方程至少有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值也是最小值，最小值，
又（1），
所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br/>所以在區(qū)間，上存在一點(diǎn)，使得，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值（1），
又（1），，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)（1），
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)，
故的最大值為．
23．已知函數(shù)．
（1）求在處的切線；
（2）若，證明當(dāng)時(shí)，．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以（a），
切線斜率為
因?yàn)椋╝），
所以切點(diǎn)為，
切線方程為，即；
（2）證明：令，，
所以，
所以在單調(diào)遞增，
，
，
所以，
所以，
所以要證，只需證明，
變形得，
因?yàn)椋?br/>所以只需證明，即，
兩邊同取對(duì)數(shù)得：，
令，
則，
顯然在遞增，，（2），
所以存在，當(dāng)時(shí)，（a），（a）遞減，
當(dāng)時(shí)，（a），（a）遞增；
因?yàn)椋?br/>所以（a）在上恒成立，所以原命題成立．
24．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值和最小值；
（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
，
令，得或，
所以在上，，單調(diào)遞減，
在，上，單調(diào)遞增，
，
，
（1），
（4），
所以，．
（2），
令得或，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以在上單遞增，
當(dāng)，即時(shí)，
在，上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，
在，上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單遞增，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
25．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）求的取值范圍；
（2）設(shè)，是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【解答】解：（1），，
當(dāng)時(shí)，，在上遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)；
所以，且時(shí)，；時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
須有，．
又時(shí)，；時(shí)，．
所以有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為．
證明：（2）不妨設(shè)，由，則．
設(shè)，
，
因?yàn)椋矗?br/>所以在上單調(diào)遞增，又，
所以，，
．
又，．
又，，在上遞減，
所以，即，
所以．
26．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上，恒成立．
【解答】解：（1）由已知可得，，
由可得，．
令，則，
當(dāng)時(shí)，有，所以，所以在上單調(diào)遞減．
又，
所以在上的值域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，有，所以，所以在上單調(diào)遞增．
又，所以在上的值域?yàn)椋?br/>作出函數(shù)在的圖象如下圖所示，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，有兩解，
設(shè)為，，且，．
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，有，即；
當(dāng)時(shí)，有，即；
當(dāng)時(shí)，有，即．
所以，在處取得極大值，在處取得極小值．
綜上所述，的取值范圍為．
（2）構(gòu)造函數(shù)，，則，
令，則在時(shí)恒成立，
所以即在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)椋试谏希?br/>令，則，
令，，
故，即為增函數(shù)，所以，
所以為增函數(shù)，所以，
即，即，
所以，．
又，
所以，當(dāng)時(shí)，有；
在上，因?yàn)椋?br/>所以．
令，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以當(dāng)時(shí)，有，
所以．
又，所以．
綜上所述，在上，恒成立．
27．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，，，，且，證明：．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，
求導(dǎo)得，
令得，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值（1），無極小值；
根據(jù)定義域，容易得到在處取得最大值，得到函數(shù)的最大值為．
證明：（2）根據(jù)條件得到，，
兩式相減得，
即，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋裕C，
即證，
即證，
即證，
設(shè)，原式即證，
即證，
構(gòu)造，則，
因?yàn)椋院愠闪ⅲ?br/>所以在上單調(diào)遞減，
所以（1）得證．
28．已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．
（1）已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合；
（2）已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、．
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②證明：．
【解答】解：（1）由，得，
當(dāng)時(shí)，，不合題意，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
，
要，只需，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
（1），則由，得，
，故實(shí)數(shù)的取值的集合為；
（2）①由已知，，
函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、．
有兩個(gè)零點(diǎn)，
若時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上至多一個(gè)零點(diǎn)，與已知矛盾，舍去，
當(dāng)時(shí)，由，得，令，
，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，
（1），當(dāng)，，，，
故實(shí)數(shù)的取值范圍，；
②證明：設(shè)．由①得．
，，，
，取對(duì)數(shù)得，
令，，則，即，．
令，則，
，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，則，在上單調(diào)遞增，
又（1），時(shí)，（1），即，
，，在）1，上單調(diào)遞增，，
，即．
，
故成立．
29．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，
（1）求的取值范圍；
（2）證明：．
【解答】解：（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br/>所以．
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
故不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故舍去；
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，
解得，
又，
設(shè)，，，
所以在單調(diào)遞減，
所以（2），
所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，，
且，所以，由單調(diào)性知：
當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；
因?yàn)椋裕矗?br/>所以，而，所以，所以，
令，，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以．
（2）只需證，
由題意：，設(shè)，．
所以，即，所以，
，即，所以
，
令，，
令，，
設(shè)，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，（1），
在單調(diào)遞增，
（1），在單調(diào)遞增，（2）．
，，
，（由于，此處無法取得等號(hào)），得證．
30．已知的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，2．
（1）求，的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最值．
【解答】解：（1）由題意可得：，
則，
解得
經(jīng)檢驗(yàn)，，2為函數(shù)的極值點(diǎn)，
故，．
（2）由（1）知，．
令，解得，或；
令，解得，
則的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為，
因?yàn)椋?br/>所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
則函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，
又因?yàn)椋?），即（2），
則函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為（2），
故函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，最小值為（2）．
31．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明：．
【解答】解：（1），
當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，令得，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
綜上：當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)．
（2）證明：，，
則，，
，
要證，只要證，即證，
，，
只要證，只要證，
設(shè)，則只要證，只要證，
設(shè)，則，，
為減函數(shù)，（1），為增函數(shù)，
（1），成立，原式得證．
32．已知函數(shù)，為常數(shù)，且．
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，如果存在兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，且，證明：．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以，，
設(shè)，
△，即時(shí)，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
△，即時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且，
，
所以任意，，，單調(diào)遞增，
任意，，，，單調(diào)遞減，
任意，，，，單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）證明：因?yàn)椋?），
所以（1），
由（1）可得時(shí)，在上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，
要證，即證，
所以，
所以，
所以，
設(shè)，，
，
所以時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以（1）（1），
所以．
33．已知函數(shù)在處有極值．
（Ⅰ）求的值并判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的最值．
【解答】解：（Ⅰ），
若函數(shù)在時(shí)取得極值，
則（2），解得：，
時(shí)，，
令，解得：或，
令，解得：，
在遞增，在遞減，在遞增；
是極小值點(diǎn)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
在，遞減，在，遞增，
在最小值是（2），的最大值是．
34．已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4．
（1）求實(shí)數(shù)，的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最值．
【解答】解：（1），由題意得，解得，，
此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
所以在時(shí)取得極大值．
所以，．
（2）由（1）可知，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．
又因?yàn)椋?），
所以函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為4，最小值為0．
35．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在，上的最值；
（2）討論的單調(diào)性．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，
可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值（2），
又，（4），
所以在，上的最大值為32，最小值為；
（2）易知，
若，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
若，即時(shí)，，單調(diào)遞增；
若，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
36．已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．
【解答】解：（Ⅰ），
則（1），
又（1），
則的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為；
（Ⅱ）證明：，即，即，
設(shè)，則，
易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則，
則當(dāng)時(shí)，．
37．已知函數(shù)．
（Ⅰ）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，判斷0是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；
（Ⅲ）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．
【解答】解：，則，
若在上是增函數(shù)，即恒成立，得，
設(shè)，，得，得，
即在遞減，在遞增，則，
故，即，．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，得，
則遞增，，
則時(shí)，，時(shí)，，
則在上遞減，在上遞增，
故是函數(shù)的極小值點(diǎn)．
（Ⅲ）令，即，顯然是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
時(shí)，，無零點(diǎn)，故有1個(gè)零點(diǎn)，
時(shí)，令，解得，
令，解得，
故時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，分別為，0，
時(shí)，個(gè)零點(diǎn)，為0，
時(shí)，個(gè)零點(diǎn)，為0，，
綜上：或時(shí)，個(gè)零點(diǎn)，為0，
或時(shí)，個(gè)零點(diǎn)，為0，．
38．（1）已知函數(shù)，指出函數(shù)的單調(diào)性．（不需要證明過程）；
（2）若關(guān)于的方程在有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的最大值．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
（2）因?yàn)椋?br/>令，，
則，，
則原方程化簡為，
因?yàn)椋?br/>所以，
令，
由（1）及，，知，，
所以，
由（1）知關(guān)于的函數(shù)在，上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．
39．已知函數(shù)，，．若在處與直線相切．
（1）求，的值；
（2）求在，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函數(shù)，
，
函數(shù)在處與直線相切，
，解得；
（2）由（1）可得，
，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，在處取得極大值即最大值，
所以（1），
又，，
所以．
40．已知函數(shù)，．
（1）若，求函數(shù)的圖象在，處的切線方程；
（2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
，
又，
函數(shù)的圖象在，處的切線方程為，即．
（2），
令，
則，
，，則單調(diào)遞增，，
①當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，，
對(duì)任意的，恒成立，
，解得，
，
②當(dāng)時(shí)，存在，使，即，即，
當(dāng)，時(shí)，，上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，上單調(diào)遞增，
，
對(duì)任意的，恒成立，
，
，，
又，，
設(shè)，，
則，
在，上單調(diào)遞減，
，
即，
，
綜上所述，的取值范圍為，．
41．已知函數(shù)．
（1）若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在，單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意得，
因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間為，
即的解集為，
故，1是 的兩根，
即，
，
當(dāng)時(shí)，，
由，解得，
等號(hào)僅在，1時(shí)取得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，符合題意，
故．
（2）函數(shù)在，單調(diào)遞減，即 在，上恒成立，
即在，上恒成立，
此時(shí)，
即在，上恒成立，
而，
故，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，即，
，等號(hào)僅在，1時(shí)取得，
此時(shí)函數(shù)在，單調(diào)遞減，符合題意，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
42．已知函數(shù)，其中為常數(shù)，函數(shù)是其導(dǎo)函數(shù)，且滿足（2），．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)在某點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，求該切線的一般式方程．
【解答】解：（1）由，得，
又（2），，，解得，
函數(shù)的解析式為；
（2），
點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，即其不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，．
由，得，即切線的斜率為．
又該切線過點(diǎn)，
，解得或．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即．
綜上所述，所求切線的一般式方程為或．
43．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求的極小值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的，，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ），
，
令，解得或，
令，解得，
故在遞增，在遞減，在遞增，
故（2）．
（Ⅱ）若對(duì)任意的，，，不等式恒成立，
則在，恒成立，
結(jié)合（Ⅰ），時(shí)，在，遞減，在，遞增，
故（2），
由，得，
①時(shí)，，在，遞增，
故（e），
則，解得（舍，
②時(shí)，令，解得，令，解得，
故在遞增，在，遞減，
，即時(shí)，在，遞減，（1），
則，則；
，即時(shí)，在，遞增，在，遞減，
故，
則，解得（舍；
，即時(shí)，在，遞增，
故（e），
故，解得（舍；
綜上：的取值范圍是，．
44．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1），
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，
所以在上，，單調(diào)遞增，
在，上，，單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）對(duì)任意的，都有恒成立，
即任意的，都有恒成立，
所以任意的，都有對(duì)恒成立，
令，
則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又（1），，
所以存在，，使得，即，
所以在上，單調(diào)遞減，
在，上，單調(diào)遞增，
由，得，
設(shè)，，，
所以在上為增函數(shù)，
所以由，得，
所以，即，所以，
所以，
所以，所以，
所以的取值范圍為．
45．已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間，上的最小值為0，求在該區(qū)間上的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
，
則，
（1），
（1），
故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即；
（Ⅱ）函數(shù)，
則，，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，
在的極小值也為該函數(shù)的最小值，
故，解得，
所以，
，（4），
故在該區(qū)間上的最大值為20．
46．設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率為．
（1）求實(shí)數(shù)，的值．
（2）證明：．
【解答】解：（1），，
，
函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率為，
（1），（1），
解得．
（2）證明：要證明．
即證明，化為．
令，，，
，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，．
，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，．
，，
，
．
47．已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的值；
（2）討論的單調(diào)性．
【解答】解：（1），
令，得：，，
由于是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以（1），即，
此時(shí)因?yàn)闀r(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故滿足題意．
（2）時(shí)或，
時(shí)，的解為或，此時(shí)在，和，上單調(diào)遞增；
的解為，此時(shí)在，上單調(diào)遞減；
時(shí)，的解為或，此時(shí)在，和上單調(diào)遞增；
的解為，此時(shí)在，上單調(diào)遞減；
時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增．
48．已知函數(shù)，．
（1）設(shè)，求函數(shù)的極大值點(diǎn)；
（2）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在處有極大值，
所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為．
（2）依題意，，，不等式，
當(dāng)時(shí)，成立，則，
當(dāng)時(shí)，，，
令，，求導(dǎo)得，
令，，求導(dǎo)得，
因此在上單調(diào)遞增，即有，而，
又函數(shù)在上的值域是，，則函數(shù)，即在上的值域是，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，
對(duì)，，因此，
當(dāng)時(shí)，存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，
所以的取值范圍為，．
49．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明；
（Ⅱ）若直線是曲線的切線，設(shè)，求證：對(duì)任意的，都有．
【解答】證明：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，令，解得，令，解得，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
故，故成立．
（Ⅱ）由已知得，設(shè)切點(diǎn)為，
則且，解得：，，
所以，，
要證，
即證，
即證，即證，
令，，原不等式等價(jià)于，即，
設(shè)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以成立，
所以對(duì)任意，都有．
50．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），
時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)；
時(shí)，時(shí)，，是減函數(shù)，時(shí)，，是增函數(shù)；
綜上，時(shí)，在上是增函數(shù)，時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得在上是增函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由（1）得；
①當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，故在有一個(gè)零點(diǎn)，
又在上是增函數(shù)，
設(shè)（a）（a），（a）（a），（a）（1），
（a）在單調(diào)遞增，（a）（1），
（a）在單調(diào)遞增，（a）（a）（1），
設(shè)，由知，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，
（1），即，
故在有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，，故有一個(gè)零點(diǎn)，
又在上是減函數(shù)，，由②得，
故在有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
綜上，或，
實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．
51．已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程．
（2）若在定義域上恒成立，則的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)．
，（1），（1），
所以曲線在處的切線方程：，即．
（2），令．可得，時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，
，時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，
所以時(shí)，函數(shù)取得最小值，可得．
所以．即，．
52．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）若在，上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），定義域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在遞減，在，遞增，
故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；
（2）若在，上單調(diào)遞減，
則在，上恒成立，
即在，上恒成立，
令，，，
則，
令，，，
則，
令，則，
故，故，在，單調(diào)遞減，
故（1），故，在，單調(diào)遞減，
故（1），
故的取值范圍是，．
53．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，求證：．
【解答】解：（1）由題意得的定義域是，
，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，由得，由得，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
（2）證明：因?yàn)橛袃蓚€(gè)相異的零點(diǎn)，又由于，
故不妨令，且有，，
，，
要證
，
令，則，
故只要證明當(dāng)時(shí)，恒成立，
令，，
則，
故在上單調(diào)遞增，（1），
時(shí)，恒成立，即恒成立，
即恒成立，從而證明，
故．
54．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，，求證：．
【解答】解：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，
，
又，
曲線在處的切線方程為，
即；
（2）記，其中，
由題意知在上恒成立，
下面求函數(shù)的最小值，
對(duì)求導(dǎo)得，
令，得，
當(dāng)變化時(shí)，，變化情況列表如下：
，
0
遞減 極小值 遞增
，
，
記，則，
令，得，
當(dāng)變化時(shí)，，變化情況列表如下：
1
0
遞增 極大值 遞減
（1），
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，從而得到；
（3）證明：先證，
記，則，
令，得，
當(dāng)變化時(shí)，，變化情況列表如下：
，
0
遞減 極小值 遞增
，
恒成立，即，
記直線，分別與交于，，，，
不妨設(shè)，則，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由（2）知，，則，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故，
因等號(hào)成立的條件不能同時(shí)滿足，故．
55．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）若，求證：對(duì)于任意，恒有．
【解答】解：（Ⅰ）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，
若在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，
此時(shí)，
解得，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（Ⅱ）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，
當(dāng)時(shí)，，
即，
此時(shí)函數(shù)在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
易知，（e），
所以函數(shù)在，上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，有1個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）證明：若，
此時(shí)，
若對(duì)于任意，恒有，
此時(shí)在上恒成立，
即證，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值也是最小值，最小值（1），
則，，
故對(duì)于任意，恒有．
56．已知．
（1）若在區(qū)間，上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)在，上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）已知，
可得，
若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
此時(shí)在區(qū)間，恒成立，
即在，上恒成立，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
此時(shí)（1），
所以，
即，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為，；
（2）若函數(shù)在，上有兩個(gè)零點(diǎn)，
可得在，上有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即在，上有兩個(gè)不等的實(shí)根，
不妨設(shè)，
易知函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸，
要使函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)△，且，
需滿足，
解得，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
57．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)是否為“恒切函數(shù)”；
（2）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，滿足的關(guān)系式；
（3）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，若函數(shù)為“恒切函數(shù)”，設(shè)切點(diǎn)為，．
則，即．
對(duì)于函數(shù)，．
設(shè)切點(diǎn)為，，則有，
解得：．
故是“恒切函數(shù)”；
（2）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，設(shè)切點(diǎn)為，．
則，則有，
解得：，即．
故實(shí)數(shù)，滿足的關(guān)系式為：；
（3）證明：根據(jù)題意，函數(shù)是“恒切函數(shù)”，設(shè)切點(diǎn)為，．
又由，則，
則有，即．
考查方程的解，
設(shè)．
，令，解得：．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
；
當(dāng)時(shí)，，，在上有唯一零點(diǎn)．
又，
則．
當(dāng)時(shí)
，在上有唯一零點(diǎn)0，
則．
綜上可知：．
58．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．
【解答】解：（1），
①當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，，
當(dāng)，，
所以增區(qū)間為，減區(qū)間為，
②當(dāng)時(shí)，得，
若，即時(shí)，恒成立，
所以為上的增函數(shù)
若，即時(shí)，
令，得或，
令，得，
所以增區(qū)間為，，減區(qū)間為，
若，即時(shí)，
令，得或，
令，得，
所以增區(qū)間為，，減區(qū)間為，
綜上得：當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，，減區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，，減區(qū)間為．
（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證，
即證，
即證
因?yàn)椋?br/>令，，
所以，
令，得，
所以在上，單調(diào)遞增，
在，上，單調(diào)遞減，
所以最大值為，
所以，得證．
59．已知函數(shù)．
（1）證明：函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)，及唯一的零點(diǎn)；
（2）對(duì)于（1）問中，，比較與的大小，并證明你的結(jié)論．
【解答】解：（1）證明：已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，，
所以函數(shù)在，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，無極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
可得，
易知函數(shù)和在上單調(diào)遞減，
所以單調(diào)遞減，
又，，
此時(shí)在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，
又，，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
且在區(qū)間，上存在一點(diǎn)，使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
又，，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)零點(diǎn)，
綜上，函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)，及唯一的零點(diǎn)；
（2）由（1）知，，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，
即，
此時(shí)，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
此時(shí)，
即，
則，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，
此時(shí)，
則，
又函數(shù)在，上單調(diào)遞減，
故．
60．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，
在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，無極值，
當(dāng)時(shí)，存在極小值，且極小值為．
無極大值，
設(shè)，，則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
的最大值為（1），
函數(shù)的極值的最大值為1．重難點(diǎn)突破10 導(dǎo)數(shù)大題60題專項(xiàng)訓(xùn)練
1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
（1）；
（2）．
2．已知函數(shù)的圖像與直線相切，切點(diǎn)為．
（1）求，，的值；
（2）設(shè)，求在，上的最大值和最小值．
3．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程；
（2）求在區(qū)間，上的最值．
4．已知函數(shù)（a∈R）．
（1）a＝0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）a≠0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的a∈[﹣2，﹣1），當(dāng)x1，x2∈[1，e]時(shí)恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
5．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的最小值；
（3）若函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，、，，證明：．
6．已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)．
7．已知函數(shù)．
（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
8．已知函數(shù)．
（1）若，求的圖象在處的切線方程；
（2）若對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最小值；
（3）求證：，．
9．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，且對(duì)任意，，（其中都有，求實(shí)數(shù)的最小值．
10．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)，求證：在上單調(diào)遞減；
（3）證明：．
11．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）討論的單調(diào)性．
12．已知函數(shù)，求函數(shù)的極值．
13．已知函數(shù)．
（1）若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍．
14．已知在處的切線方程為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）是的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，，都有．
15．已知，，．
（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
（2）若恒成立，且存在使得方程恒有兩個(gè)交點(diǎn)，求的范圍．
16．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）判斷與1.01的大小關(guān)系，并說明理由．
17．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（2），若對(duì)任意，，均存在，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．已知函數(shù)，其中．
（1）若，求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程；
（2）若對(duì)于任意，，都有成立，求的取值范圍．
19．已知函數(shù)．
（1）證明；
（2）關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
20．已知函數(shù)．
（1）若是的極值點(diǎn)，求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)在，上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
21．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值．
22．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若函數(shù)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的最大值．
23．已知函數(shù)．
（1）求在處的切線；
（2）若，證明當(dāng)時(shí)，．
24．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值和最小值；
（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性．
25．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）求的取值范圍；
（2）設(shè)，是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
26．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上，恒成立．
27．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，，，，且，證明：．
28．已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．
（1）已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合；
（2）已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、．
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②證明：．
29．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，
（1）求的取值范圍；
（2）證明：．
30．已知的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，2．
（1）求，的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最值．
31．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明：．
32．已知函數(shù)，為常數(shù)，且．
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，如果存在兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，且，證明：．
33．已知函數(shù)在處有極值．
（Ⅰ）求的值并判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的最值．
34．已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4．
（1）求實(shí)數(shù)，的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最值．
35．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在，上的最值；
（2）討論的單調(diào)性．
36．已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．
37．已知函數(shù)．
（Ⅰ）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，判斷0是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；
（Ⅲ）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．
38．（1）已知函數(shù)，指出函數(shù)的單調(diào)性．（不需要證明過程）；
（2）若關(guān)于的方程在有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的最大值．
39．已知函數(shù)，，．若在處與直線相切．
（1）求，的值；
（2）求在，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值和最小值．
40．已知函數(shù)，．
（1）若，求函數(shù)的圖象在，處的切線方程；
（2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍．
41．已知函數(shù)．
（1）若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在，單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
42．已知函數(shù)，其中為常數(shù)，函數(shù)是其導(dǎo)函數(shù)，且滿足（2），．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)在某點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，求該切線的一般式方程．
43．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求的極小值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的，，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
44．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍．
45．已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間，上的最小值為0，求在該區(qū)間上的最大值．
46．設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率為．
（1）求實(shí)數(shù)，的值．
（2）證明：．
47．已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的值；
（2）討論的單調(diào)性．
48．已知函數(shù)，．
（1）設(shè)，求函數(shù)的極大值點(diǎn)；
（2）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍．
49．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明；
（Ⅱ）若直線是曲線的切線，設(shè)，求證：對(duì)任意的，都有．
50．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
51．已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程．
（2）若在定義域上恒成立，則的取值范圍．
52．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）若在，上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
53．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，求證：．
54．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，，求證：．
55．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）若，求證：對(duì)于任意，恒有．
56．已知．
（1）若在區(qū)間，上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)在，上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
57．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)是否為“恒切函數(shù)”；
（2）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，滿足的關(guān)系式；
（3）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．
58．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．
59．已知函數(shù)．
（1）證明：函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)，及唯一的零點(diǎn)；
（2）對(duì)于（1）問中，，比較與的大小，并證明你的結(jié)論．
60．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值的最大值．

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