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專題01 導數的概念及其意義、導數的運算
目錄
題型一： 導數的概念 3
題型二： 導數的運算 5
題型三： 導數的幾何意義——求切線方程 8
題型四： 導數的幾何意義——求切點坐標 12
題型五： 導數的幾何意義——求參數的值 14
題型六： 公切線問題的求法——判斷公切線的條數 16
題型七： 公切線問題的求法——求兩曲線的公切線 18
題型八： 公切線問題的求法——求參數的值或范圍 20
導數的概念及其意義
(1)導數的概念：如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f (x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f (x)在x＝x0處的導數(也稱為瞬時變化率)，記作f ′(x0)或y′| x＝x0，即f ′(x0)＝ ＝ .
(2)導數的幾何意義：函數y＝f (x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y＝f (x)在點P(x0，f (x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f (x)在點P(x0，f (x0))處的切線的斜率是f ′(x0)．相應的切線方程為y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(3)導函數的概念：當x＝x0時，f ′(x0)是一個唯一確定的數，這樣，當x變化時，y＝f ′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f (x)的導函數(簡稱導數)．y＝f (x)的導函數有時也記作y′，即f ′(x)＝y′＝ .
導數的運算
(1)基本初等函數的導數公式
原函數 導函數
f (x)＝c(c為常數) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝αxα－1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos_x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin_x
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln_a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
(2)導數的四則運算法則
運算法則
和差 [f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)
積 [f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)， 特別地，[cf (x)]′＝cf ′(x)
商 ′＝ (g(x)≠0)
(3)簡單復合函數的導數
一般地，對于兩個函數y＝f (u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f (u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f (g(x))．它的導數與函數y＝f (u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝y′u·u′x.即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
導數的概念
【要點講解】　求函數y=f(x)在點x0處導數的步驟
(1)求函數的增量
(2)求平均變化率
(3)得導數,簡記作:一差、二比、三極限.
函數y=f(x)的導數f'(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的方向,其大小|f'(x)|反映了變化的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”.
（2023春 儋州校級月考）已知函數，則　　
A．3 B．5 C．7 D．6
【解答】解：根據題意，，則（3），又．
故選：．
（2023春 民勤縣校級月考）已知，則　　
A． B． C．1 D．4
【解答】解：因為，
所以．
故選：．
（2023春 江西月考）若，則　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：，
則，解得．
故選：．
（2023春 青島期中）質點按規律做直線運動（位移單位：，時間單位：，則質點在時的瞬時速度為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
則，
故（5）．
故選：．
（2023春 江西月考）已知函數，當自變量由1變到1.1時，的平均變化率為　　
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
【解答】解：由題意得，故△（1），
故，
即當自變量由1變到1.1時，的平均變化率為2.1．
故選：．
（2023春 駐馬店月考）已知某質點的位移與時間的關系式是，則質點在時的瞬時速度為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為質點的位移與時間的關系式是，
所以，
故質點在時的瞬時速度為．
故選：．
導數的運算
【要點講解】(1)連乘積形式:先展開化為多項式的形式,再求導.
(2)分式形式:觀察函數的結構特征,先化為整式函數或較為簡單的分式函數,再求導.
(3)對數形式:先化為和、差的形式,再求導.
(4)根式形式:先化為分數指數冪的形式,再求導.
(5)三角形式:先利用三角函數公式轉化為和或差的形式,再求導.
（2023春 天?？h校級月考）函數的導函數是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，
．
故選：．
（2023春 青銅峽市校級期中）下列求導數運算中正確的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：對于選項，，故錯誤；
對于選項，，故正確；
對于選項，，故錯誤；
對于選項，，故錯誤．
故選：．
（2023春 高新區校級月考）已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
則．
故選：．
（2023春 深圳校級月考）已知函數（2），其中是的導函數，則（2）　　
A．12 B．20 C．10 D．24
【解答】解：（2），
則，
令，
則（2），
故，
（2）．
故選：．
（2023春 葫蘆島月考）已知函數（1），則（1）　　
A． B．4 C． D．2
【解答】解：，所以（1）（1），解得（1），
則，故（1）．
故選：．
（2023春 濮陽期末）已知函數，則（2）　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知，函數定義域為，
可得，
則（2）．
故選：．
（2023春 河池月考）已知，若，則等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
令，即，所以．
故選：．
（2023春 梅河口市校級月考）設，若，則　　
A．1 B． C．3 D．
【解答】解：，，解得：．
故選：．
（2023春 定遠縣校級期中）設，若在處的導數，則的值為　　
A．0 B． C．3 D．6
【解答】解：，
，解得．
故選：．
導數的幾何意義——求切線方程
【要點講解】求曲線y=f(x)過點P的切線方程的方法
(1)當點P(x0,y0)是切點時,切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)當點P(x0,y0)不是切點時,可分以下幾步完成:
第一步:設出切點坐標P'(x1,f(x1));
第二步:寫出過點P'(x1,f(x1))的切線方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1;
第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得過點P(x0,y0)的切線方程.
（2023春 武功縣期中）函數的圖象如圖所示，則下列關系正確的是　　
A．（2）（3）（3）（2）
B．（2）（3）（2）（3）
C．（3）（3）（2）（2）
D．（3）（2）（3）（2）
【解答】解：由函數的圖象可知：
當時，單調遞增，且當時，，
（2），（3），（3）（2），
由此可知，
直線的斜率逐漸減小，
單調遞減，
（2）（3），
為凸函數，
（3）（2）（2），
（3）（3）（2）（2），
故選：．
（2023 麒麟區校級模擬）已知函數與的部分圖象如圖所示，則　　
A． B．
C．（3）（3） D．（3）（3）
【解答】解：根據題意，由函數的圖象，
函數與在區間，上單調遞增，則有，，、錯誤；
在處，和都是增函數，但的圖象更陡，則的切線斜率小于的切線斜率，即（3）（3），錯誤，正確．
故選：．
（2023春 通州區期中）已知函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是　　
A．（3）（2）（1） B．（1）（2）（3）
C．（1）（2）（3） D．（3）（2）（1）
【解答】解：由圖可得，函數一直單調遞增，且遞增速度越來越慢，
故（3）（2）（1）．
故選：．
（2023春 恩陽區 期中）的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是　　
A．（2）（3）（3）（2） B．（3）（3）（2）（2）
C．（3）（2）（3）（2） D．（3）（2）（3）（2）
【解答】解：設，（2），，（3）為的圖象上兩點，
則（3）為函數在處切線的斜率，
（2）為函數在處切線的斜率，
，
函數為增函數，但增加的越來越慢，
則（3）（3）（2）（2）．
故選：．
（2022秋 衡水月考）已知函數，則曲線在點，（1）處的切線方程為 　?。?br/>【解答】解：，
，
（1），（1），
曲線在點處的切線方程為：
，即，
故答案為：．
（2022 遼寧三模）已知函數的圖象經過坐標原點，則曲線在點，處的切線方程是 　　．
【解答】解：，，，
，，
所求切線方程為，即．
故答案為：．
（2021春 昌邑市校級月考）曲線，在點處的切線方程為　?。?br/>【解答】解：由，
則，
所以，
所以在點處的切線方程為，
即，
故答案為：．
（2021春 石首市校級月考）已知曲線．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求過點并與曲線相切的直線方程．
【解答】解：（1）
當時，
點處的切線方程為：即：
（2）設切點坐標為
則直線斜率，
而，
整理得到：
解得，，
當時：，直線方程為；
當時，，直線方程為
當時，，直線方程為
導數的幾何意義——求切點坐標
【要點講解】求切點坐標的思路
(1)已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數的導數,再讓導數等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標,將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標.
(2)已知曲線外一點求切點的一般思路是先設出切點坐標,列出切線方程,將切點代入曲線方程,已知點代入切線方程聯立方程求出切點坐標.
（2023春 海淀區校級期中）若曲線的一條切線的斜率為4，則切點的橫坐標為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：設切點的橫坐標為，
則由題意可得：．
故選：．
（2021秋 開封期末）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，若點的橫坐標是5，則（5）（5）　　
A． B．1 C．2 D．0
【解答】解：函數的圖象在點處的切線方程是，
（5），（5），
（5）（5），
故選：．
（2020 沈陽三模）過點作曲線的切線，則切點坐標為　　．
【解答】解：因為，
所以，設切點為，，
，根據題意可得，
，即切點坐標．
故答案為：．
（2023 鷹潭一模）已知曲線在點，處的瞬時變化率為，則點的坐標為　?。?br/>【解答】解：，，
令，則，，
點的坐標是，
故答案為：．
導數的幾何意義——求參數的值
【要點講解】利用導數的幾何意義求參數的基本方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組),進而求出參數的值或取值范圍.
(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍;
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.
（2023春 揚中市校級月考）點在曲線上移動，設點處切線的傾斜角為，則角的范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，，則，且，，
角的范圍是：．
故選：．
（2022 呼和浩特模擬）若過點可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：設切點為，，過點的切線方程為，
代入點坐標化簡為，即這個方程有三個不等根即可，
令，
求導得到，
令，得，或，
令，得，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
在上單調遞減，
故得到，即
故選：．
（2021春 臨渭區期末）設點是曲線上的任意一點，點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是　　
A． B．，， C． D．
【解答】解：，，
，，，
故選：．
（2022 新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是 　，，?。?br/>【解答】解：，設切點坐標為，，
切線的斜率，
切線方程為，
又切線過原點，，
整理得：，
切線存在兩條，方程有兩個不等實根，
△，解得或，
即的取值范圍是，，，
故答案為：，，．
若曲線為自然對數的底數）有兩條過坐標原點的切線，則值可以是　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，設切點坐標為，，
切線的斜率，
切線方程為，
又切線過原點，，
整理得：，
切線存在兩條，方程有兩個不等實根，
△，解得或，
即的取值范圍是，，，所以正確；
故選：．
公切線問題的求法——判斷公切線的條數
【要點講解】解題關鍵.
(1)導數的幾何意義:切線的斜率k等于導函數在切點處的函數值;
(2)兩個等量關系:切點在切線上,又在曲線上.
求公切線的思路:先解決切線和第一條曲線相切,然后再解決切線和第二條切線相切即可.
（2023 廣東模擬）曲線與的公共切線的條數為 　2?。?br/>【解答】解：設曲線上的切點為，則切線的斜率為，
所以切線方程為，
由得，
則，
所以，
所以曲線上的切點為，，
所以切線方程為，
所以，
所以，
在同一坐標系中作出曲線和的圖象，
由圖可知，兩函數圖象有兩個交點，
故答案為：2．
（2023秋 鎮江期末）曲線與曲線公切線（切線相同）的條數為　1　．
【解答】解：設與曲線和曲線相切的切點分別為，，
則，，，
由，，
即有，
即，，
即為，，
令，則有，
令，
，遞增，
（2），（3），
由零點存在定理可得有且只有一個實根，
即有唯一，唯一，
則有公切線的條數為1．
故答案為：1．
公切線問題的求法——求兩曲線的公切線
【要點講解】
（2023秋 岳陽樓區校級月考）已知為自然對數的底數），，直線是與的公切線，則直線的方程為 　或?。?br/>【解答】解：根據題意，設直線與相切于點，與相切于點，
對于，其導數為，
則有，
則直線的方程為，即，
對于，其導數為，
則有，
則直線的方程為，即，
直線是與的公切線，
則，
變形可得：，
則或0，
當時，直線的方程為，
當時，直線的方程為；
故直線的方程為或；
故答案為：或．
（2023春 涪城區校級期中）若與兩個函數的圖象有一條與直線平行的公共切線，則　0　．
【解答】解：，，
如圖所示，設公切線與相切于，，與相切于，，則有以下關系：
，求得，
故公切線方程為，所以，
即，．
故答案為：0．
（2020春 麗江期末）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則　?。?br/>【解答】解：根據題意，設與的切點為，，
與的切點為，；
對于，其導數，則切線的斜率，
切線的方程為，即；
對于，其導數，
則切線的斜率，
切線的方程為，
即；
又由直線是曲線的切線，也是曲線的切線，
則有，且；
若，則，
則；解可得，；
則；
故答案為：．
公切線問題的求法——求參數的值或范圍
（2023春 靖江市校級月考）已知曲線與曲線存在公共切線，則實數的取值范圍為 　，?。?br/>【解答】解：由，得，由，得，
設直線分別與、切于，、，，
則直線的方程為，，
即，．
，可得．
令，則，
則當時，，單調遞增，
當，時，，單調遞減．
．
又當時，，當時，，
，，可得，．
故答案為：，．
（2023 唐山三模）已知曲線與有公共切線，則實數的取值范圍為 　?。?br/>【解答】解：設公切線與曲線和的切點分別為，，，其中，
對于有，則上的切線方程為，即，
對于有，則上的切線方程為，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，故，即．
正實數的取值范圍是．
故答案為：．
（2022秋 安徽月考）若函數與的圖象存在公共切線，則實數的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得，，．
設公切線與的圖象切于點，
與的圖象切于點，，
，
，
，
，
．
設，則，
在上單調遞增，在上單調遞減，
，
實數的最大值為，
故選：．
（2022秋 淅川縣校級月考）若函數與的圖象存在公共切線，則實數的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，，得，，
設公切線與的圖象切于點，與曲線切于點，，
，得，
，可得，
，，
設，則，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
，可得實數的最大值為．
故選：．
一．選擇題（共6小題）
1．寧啟鐵路線新開行“綠巨人”動力集中復興號動車組，最高時速為．假設“綠巨人”開出站一段時間內，速度與行駛時間的關系為，則出站后“綠巨人”速度首次達到時加速度為　　
A． B． C． D．
【解答】解：當時，由，解得或（舍去），
因為，則，
當時，，
故選：．
2．一質點做直線運動，其位移與時間的關系為，設其在，內的平均速度為，在時的瞬時速度為，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可知，
，
，
，
故選：．
3．若函數在處的導數為2，則　　
A．2 B．1 C． D．6
【解答】解：由題意可知（1），
則（1）．
故選：．
4．已知函數，當自變量由1變到1.1時，的平均變化率為　　
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
【解答】解：由題意得，故△（1），
故，
即當自變量由1變到1.1時，的平均變化率為2.1．
故選：．
5．已知函數的部分圖象如圖所示，且是的導函數，則　　
A．（1）（2）
B．（2）（1）
C．（2）（1）
D．（2）（1）
【解答】解：由函數圖象可知，當時，函數勻速遞增，
故是一個大于0的常數，
當時，函數遞減，且遞減幅度越來越快，
，且單調遞減，
則（2）（1），
故選：．
6．一個質點沿直線運動，位移（單位：與時間（單位：之間的關系，則質點在時的瞬時速度為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
質點在時的瞬時速度為．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．如圖所示物體甲、乙在時間0到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的是　　
A．在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度
C．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
【解答】解：在0到范圍內，甲、乙的平均速度都為，故選項錯誤；
在時刻，甲的瞬時速度大于乙的瞬時速度，故選項錯誤；
在到范圍內，，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故選項正確；
在0到范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速度為，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故選項正確．
故選：．
8．在附近，取△，下列函數中平均變化率為負數的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：對于，平均變化率為1，故錯誤；
對于，平均變化率為，故錯誤；
對于，平均變化率為，故正確；
對于，平均變化率為，故正確．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．如圖，某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深，上口寬，若以的勻速往杯中注水，當水深為時，酒杯中水升高的瞬時變化率　?。?br/>【解答】解：由題意，如圖，設時刻水面高為，水面圓半徑是，
由圖知可得，此時水的體積為，
又由題設條件知，此時的水量為，
故有，
故有，
，
又當時，此時，
故時，，
當水深為時，水升高的瞬時變化率，
故答案為：．
10．函數在，處的切線與直線垂直，則實數的值為　?。?br/>【解答】解：，，
在，處的切線斜率為3，直線的斜率為，
在，處的切線與直線垂直，
，解得．
故答案為：．
11．曲線的一條切線經過點，則該切線的斜率為 　?。?br/>【解答】解：因為，
所以，
設切點為，
則，所以，解得，
所以，即切線的斜率為．
故答案為：．
12．2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運動會在北京隆重舉行，中國代表團獲得了9金4銀2銅的優異成績，彰顯了我國體育強國的底蘊和綜合國力．設某高山滑雪運動員在一次滑雪訓練中滑行的路程（單位：與時間（單位：之間的關系為，則當時，該運動員的滑雪瞬時速度為 　13.5?。?br/>【解答】解：，，
則當時，該運動員的滑雪瞬時速度為，
故答案為：13.5．
四．解答題（共3小題）
13．已知質點按照規律（距離單位：，時間單位：運動，求：
（1）質點開始運動后內的平均速度；
（2）質點在到內的平均速度；
（3）質點在時的瞬時速度．
【解答】解：（1）時，，
所以平均速度；
（2）時，，
所以到內的平均速度；
（3）因為，
所以在時的瞬時速度為：．
14．求函數在區間，上的平均變化率．
【解答】解：函數在區間，上的平均變化率．
故其平均變化率為．專題01 導數的概念及其意義、導數的運算
目錄
題型一： 導數的概念 3
題型二： 導數的運算 4
題型三： 導數的幾何意義——求切線方程 6
題型四： 導數的幾何意義——求切點坐標 9
題型五： 導數的幾何意義——求參數的值 10
題型六： 公切線問題的求法——判斷公切線的條數 11
題型七： 公切線問題的求法——求兩曲線的公切線 11
題型八： 公切線問題的求法——求參數的值或范圍 11
導數的概念及其意義
(1)導數的概念：如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f (x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f (x)在x＝x0處的導數(也稱為瞬時變化率)，記作f ′(x0)或y′| x＝x0，即f ′(x0)＝ ＝ .
(2)導數的幾何意義：函數y＝f (x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y＝f (x)在點P(x0，f (x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f (x)在點P(x0，f (x0))處的切線的斜率是f ′(x0)．相應的切線方程為y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(3)導函數的概念：當x＝x0時，f ′(x0)是一個唯一確定的數，這樣，當x變化時，y＝f ′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f (x)的導函數(簡稱導數)．y＝f (x)的導函數有時也記作y′，即f ′(x)＝y′＝ .
導數的運算
(1)基本初等函數的導數公式
原函數 導函數
f (x)＝c(c為常數) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝αxα－1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos_x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin_x
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln_a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
(2)導數的四則運算法則
運算法則
和差 [f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)
積 [f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)， 特別地，[cf (x)]′＝cf ′(x)
商 ′＝ (g(x)≠0)
(3)簡單復合函數的導數
一般地，對于兩個函數y＝f (u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f (u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f (g(x))．它的導數與函數y＝f (u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝y′u·u′x.即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
導數的概念
【要點講解】　求函數y=f(x)在點x0處導數的步驟
(1)求函數的增量
(2)求平均變化率
(3)得導數,簡記作:一差、二比、三極限.
函數y=f(x)的導數f'(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的方向,其大小|f'(x)|反映了變化的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”.
（2023春 儋州校級月考）已知函數，則　　
A．3 B．5 C．7 D．6
（2023春 民勤縣校級月考）已知，則　　
A． B． C．1 D．4
（2023春 江西月考）若，則　　
A．1 B．2 C． D．
（2023春 青島期中）質點按規律做直線運動（位移單位：，時間單位：，則質點在時的瞬時速度為　　
A． B． C． D．
（2023春 江西月考）已知函數，當自變量由1變到1.1時，的平均變化率為　　
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
（2023春 駐馬店月考）已知某質點的位移與時間的關系式是，則質點在時的瞬時速度為　　
A． B． C． D．
導數的運算
【要點講解】(1)連乘積形式:先展開化為多項式的形式,再求導.
(2)分式形式:觀察函數的結構特征,先化為整式函數或較為簡單的分式函數,再求導.
(3)對數形式:先化為和、差的形式,再求導.
(4)根式形式:先化為分數指數冪的形式,再求導.
(5)三角形式:先利用三角函數公式轉化為和或差的形式,再求導.
（2023春 天祝縣校級月考）函數的導函數是　　
A． B．
C． D．
（2023春 青銅峽市校級期中）下列求導數運算中正確的是　　
A． B．
C． D．
（2023春 高新區校級月考）已知，則　　
A． B． C． D．
（2023春 深圳校級月考）已知函數（2），其中是的導函數，則（2）　　
A．12 B．20 C．10 D．24
（2023春 葫蘆島月考）已知函數（1），則（1）　　
A． B．4 C． D．2
（2023春 濮陽期末）已知函數，則（2）　　
A． B． C． D．
（2023春 河池月考）已知，若，則等于　　
A． B． C． D．
（2023春 梅河口市校級月考）設，若，則　　
A．1 B． C．3 D．
（2023春 定遠縣校級期中）設，若在處的導數，則的值為　　
A．0 B． C．3 D．6
導數的幾何意義——求切線方程
【要點講解】求曲線y=f(x)過點P的切線方程的方法
(1)當點P(x0,y0)是切點時,切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)當點P(x0,y0)不是切點時,可分以下幾步完成:
第一步:設出切點坐標P'(x1,f(x1));
第二步:寫出過點P'(x1,f(x1))的切線方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1;
第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得過點P(x0,y0)的切線方程.
（2023春 武功縣期中）函數的圖象如圖所示，則下列關系正確的是　　
A．（2）（3）（3）（2）
B．（2）（3）（2）（3）
C．（3）（3）（2）（2）
D．（3）（2）（3）（2）
（2023 麒麟區校級模擬）已知函數與的部分圖象如圖所示，則　　
A． B．
C．（3）（3） D．（3）（3）
（2023春 通州區期中）已知函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是　　
A．（3）（2）（1） B．（1）（2）（3）
C．（1）（2）（3） D．（3）（2）（1）
（2023春 恩陽區 期中）的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是　　
A．（2）（3）（3）（2）
B．（3）（3）（2）（2）
C．（3）（2）（3）（2）
D．（3）（2）（3）（2）
（2022秋 衡水月考）已知函數，則曲線在點，（1）處的切線方程為 ．
（2022 遼寧三模）已知函數的圖象經過坐標原點，則曲線在點，處的切線方程是 ．
（2021春 昌邑市校級月考）曲線，在點處的切線方程為 ．
（2021春 石首市校級月考）已知曲線．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求過點并與曲線相切的直線方程．
導數的幾何意義——求切點坐標
【要點講解】求切點坐標的思路
(1)已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數的導數,再讓導數等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標,將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標.
(2)已知曲線外一點求切點的一般思路是先設出切點坐標,列出切線方程,將切點代入曲線方程,已知點代入切線方程聯立方程求出切點坐標.
（2023春 海淀區校級期中）若曲線的一條切線的斜率為4，則切點的橫坐標為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
（2021秋 開封期末）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，若點的橫坐標是5，則（5）（5）　　
A． B．1 C．2 D．0
（2020 沈陽三模）過點作曲線的切線，則切點坐標為 ．
（2023 鷹潭一模）已知曲線在點，處的瞬時變化率為，則點的坐標為 ．
導數的幾何意義——求參數的值
【要點講解】利用導數的幾何意義求參數的基本方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組),進而求出參數的值或取值范圍.
(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍;
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.
（2023春 揚中市校級月考）點在曲線上移動，設點處切線的傾斜角為，則角的范圍是　　
A． B． C． D．
（2022 呼和浩特模擬）若過點可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
（2021春 臨渭區期末）設點是曲線上的任意一點，點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是　　
A． B．，， C． D．
（2022 新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是 ．
若曲線為自然對數的底數）有兩條過坐標原點的切線，則值可以是　　
A． B． C．0 D．1
公切線問題的求法——判斷公切線的條數
【要點講解】解題關鍵.
(1)導數的幾何意義:切線的斜率k等于導函數在切點處的函數值;
(2)兩個等量關系:切點在切線上,又在曲線上.
求公切線的思路:先解決切線和第一條曲線相切,然后再解決切線和第二條切線相切即可.
（2023 廣東模擬）曲線與的公共切線的條數為 ．
（2023秋 鎮江期末）曲線與曲線公切線（切線相同）的條數為 ．
公切線問題的求法——求兩曲線的公切線
【要點講解】
（2023秋 岳陽樓區校級月考）已知為自然對數的底數），，直線是與的公切線，則直線的方程為 ．
（2023春 涪城區校級期中）若與兩個函數的圖象有一條與直線平行的公共切線，則 ．
（2020春 麗江期末）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ．
公切線問題的求法——求參數的值或范圍
（2023春 靖江市校級月考）已知曲線與曲線存在公共切線，則實數的取值范圍為 ．
（2023 唐山三模）已知曲線與有公共切線，則實數的取值范圍為 ．
（2022秋 安徽月考）若函數與的圖象存在公共切線，則實數的最大值為　　
A． B． C． D．
（2022秋 淅川縣校級月考）若函數與的圖象存在公共切線，則實數的最大值為　　
A． B． C． D．
一．選擇題（共6小題）
1．寧啟鐵路線新開行“綠巨人”動力集中復興號動車組，最高時速為．假設“綠巨人”開出站一段時間內，速度與行駛時間的關系為，則出站后“綠巨人”速度首次達到時加速度為　　
A． B． C． D．
2．一質點做直線運動，其位移與時間的關系為，設其在，內的平均速度為，在時的瞬時速度為，則　　
A． B． C． D．
3．若函數在處的導數為2，則　　
A．2 B．1 C． D．6
4．已知函數，當自變量由1變到1.1時，的平均變化率為　　
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
5．已知函數的部分圖象如圖所示，且是的導函數，則　　
A．（1）（2）
B．（2）（1）
C．（2）（1）
D．（2）（1）
6．一個質點沿直線運動，位移（單位：與時間（單位：之間的關系，則質點在時的瞬時速度為　　
A． B． C． D．
二．多選題（共2小題）
7．如圖所示物體甲、乙在時間0到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的是　　
A．在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度
C．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
8．在附近，取△，下列函數中平均變化率為負數的是　　
A． B． C． D．
三．填空題（共4小題）
9．如圖，某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深，上口寬，若以的勻速往杯中注水，當水深為時，酒杯中水升高的瞬時變化率　　．
10．函數在，處的切線與直線垂直，則實數的值為　?。?br/>11．曲線的一條切線經過點，則該切線的斜率為 　　．
12．2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運動會在北京隆重舉行，中國代表團獲得了9金4銀2銅的優異成績，彰顯了我國體育強國的底蘊和綜合國力．設某高山滑雪運動員在一次滑雪訓練中滑行的路程（單位：與時間（單位：之間的關系為，則當時，該運動員的滑雪瞬時速度為 　　．
四．解答題（共2小題）
13．已知質點按照規律（距離單位：，時間單位：運動，求：
（1）質點開始運動后內的平均速度；
（2）質點在到內的平均速度；
（3）質點在時的瞬時速度．
14．求函數在區間，上的平均變化率．專題02 導數與函數的單調性
目錄
題型一： 函數的單調性 2
題型二： 含參數的函數的單調性 5
題型三： 函數單調性的應用——比較大小或解不等式 8
題型四： 函數單調性的應用——根據函數的單調性求參數的范圍 12
題型五： 函數單調性的應用——構造函數 16
函數的單調性與導數的關系
一般地，函數f (x)的單調性與導函數f ′(x)的正負之間具有如下的關系：在某個區間(a，b)上，如果f ′(x)>0，那么函數y＝ f (x)在區間(a，b)上單調遞增；如果f ′(x)<0，那么函數y＝ f (x)在區間(a，b)上單調遞減．
利用導數判斷函數f (x)單調性的步驟
第1步，確定函數的定義域；
第2步，求出導數f ′(x)的零點；
第3步，用f ′(x)的零點將f (x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f ′(x)在各個區間上的正負，由此得出函數y＝f (x)在定義域內的單調性．
【常用結論與知識拓展】
1．在某區間內，f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函數f (x)在此區間上單調遞增(減)的充分不必要條件．可導函數f (x)在(a，b)上單調遞增(減)的充要條件是對 x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零．
2．構造函數解抽象不等式
(1)對于不等式f ′(x)>k(k≠0)，構造函數g(x)＝f (x)－kx＋B．
(2)對于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，構造函數g(x)＝xf (x)；對于不等式xf ′(x)－f (x)>0，構造函數g(x)＝(x≠0)．
(3)對于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，構造函數g(x)＝xnf (x)；對于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，構造函數g(x)＝(x≠0)．
(4)對于不等式f ′(x)＋f (x)>0，構造函數g(x)＝exf (x)；對于不等式f ′(x)－f (x)>0，構造函數g(x)＝.
(5)對于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，構造函數g(x)＝f (x)sin x；對于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)，構造函數g(x)＝f (x)cos x.
函數的單調性
【要點講解】求函數單調區間的步驟
(1)確定函數f(x)的定義域.
(2)求f'(x).
(3)在定義域內解不等式f'(x)>0,得單調遞增區間.
(4)在定義域內解不等式f'(x)<0,得單調遞減區間.
確定不含參數的函數的單調性,應注意一是不能漏掉求函數的定義域,二是函數的單調區間不能用并集,要用“逗號”或“和”隔開.
求下列函數的單調區間：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）函數的遞增區間為，，，遞減區間為，，，
則函數的遞增區間為，，，遞減區間為，，．
（2）函數的遞增區間為，，，遞減區間為，，，
則函數的遞減區間為，，，遞增區間為，，．
（3）由，，得，，即，即函數的遞增區間為，，．
由，，得，，即，即函數的遞減區間為，，．
求下列函數的單調區間：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）函數的增區間，即函數的減區間，為，，；
函數的減區間，即函數的增區間，為，，．
（2）對于函數，令，，求得，，
可得函數的增區間為，，．
令，，求得，，
可得函數的減區間為，，．
求下列函數的單調區間：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1），令，，得，，
令，，得，，
則單調增區間為，，；單調減區間為，，；
（2），令，，得，，
令，，得，，
則單調增區間為，，；單調減區間為，，；
（3），令，，得，，
令，，得，，
則單調增區間為，，；單調減區間為，，；
（4），根據正切函數的特點，此函數沒有單調減區間，
令，，，，
則單調增區間為，，．
求下列函數的單調區間：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由題意得函數的定義域為，，
由得，由得，由得，
在上單調遞減，在，上單調遞增；
（2）由題意得函數定義域為，，
當時，，由得，由得，由得，
在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，由得或，
，
由得或，由得，
在，上單調遞減，在和上單調遞增．
含參數的函數的單調性
【要點講解】函數在某區間上的單調性的討論
(1)在區間內f'(x)>0(或f'(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(或減)函數的充分不必要條件.
(2)可導函數f(x)在(a,b)上是增(或減)函數的充要條件: x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或f'(x)≤0),且f'(x)在(a,b)的任何子區間內都不恒為零.
(3)由函數f(x)在(a,b)上的單調性,求參數取值范圍的問題,可化為f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立的問題.要注意“=”能否取到.
研究含參數函數的單調性時,需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論.
（2023春 涼山州期末）已知函數．
（1）討論函數的單調性；
【解答】解：（1），
，
①時，，在遞增，
②時，令，解得，令，解得，
故在遞增，在，遞減，
綜上：時，在遞增，
時，在遞增，在，遞減．
（2023春 天?？h校級月考）已知函數．
（1）當時，求函數的極值；
（2）討論的單調性．
【解答】解：（1）當時，，
，
令得，
所以在上，單調遞增，
在上，單調遞減，
所以當時，（2），無極小值．
（2），
令，，
當時，，
在上，，單調遞增，
在上，，單調遞減，
當時，令得或2，
若，即時，在上，，單調遞增，
若，即時，在上，，單調遞增，
在上，，單調遞減，
在，上，，單調遞增，
若，即時，在上，，單調遞增，
在，上，，單調遞減，
在上，，單調遞增，
當時，令得或2，
在上，，單調遞增，
在上，，單調遞減，
綜上所述：當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在，上單調遞增，
當時，在上單調遞增，
當時，在上單調遞增，在，上單調遞減，在上單調遞增．
（2023春 合肥期中）設函數．
（1）求的單調區間；
【解答】解：（1）的定義域為，，
若，則，在上單調遞增；
若，由，解得．
當變化時，，變化如下表：
0
減 極小值 增
所以的單調減區間是：，增區間是：．
（2023春 武功縣期中）已知函數．
（1）求函數的單調區間；
【解答】解：（1）由題意得函數定義域為，，
當時，恒成立，
當時，由得，由得，由得，
綜上所述，當時，在上單調遞減，
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
（2023春 江寧區期末）已知函數．
（1）討論的單調性；
【解答】解：（1）由，得，
①當時，，在上單調遞減，
②當時，令，得，
當時，，單調遞增，
，，單調遞減；
綜上：當時，在上單調遞減；
當時，在遞增，在遞減．
函數單調性的應用——比較大小或解不等式
【要點講解】1.比較函數值大小時,若自變量不在同一單調區間內,則要利用函數的性質,將其轉化到同一個單調區間上,再進行比較.
2.利用單調性比較大小或解不等式,關鍵是根據題意構造輔助函數,利用構造的函數的單調性比較大小或解不等式.
3.常構造的輔助函數:，，，,,等.
（2023春 青島期中）已知，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得，，，
令，
則，
由得，即在上單調遞減，
又，則（e）（4）（5），即，
．
故選：．
（2023春 天祝縣校級月考）已知，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，
，
令得，
所以在上，單調遞增，
在上，單調遞減，
，
，
，
因為，
所以，
所以，
故選：．
（2023春 齊齊哈爾月考）已知，，，則、、的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，則．
令，解得．
則在上單調遞減．
，，
．
又，，
．
故選：．
（2023春 遼寧期中）設，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
令，，
，
由得，
在上單調遞減，
，，
即，
；
，
設，則，
則，
當時，，
，
在單調遞減，
又，則，
，
，即，
．
故選：．
函數單調性的應用——根據函數的單調性求參數的范圍
【要點講解】1.f(x)在區間D上單調遞增(減),只要f'(x)≥0(≤0)在區間D上恒成立即可,如果能夠分離參數,則盡可能分離參數后轉化為參數值與函數最值之間的關系.
2.二次函數在區間D上大于零恒成立,討論的標準是二次函數的圖象的對稱軸與區間D的相對位置,一般分對稱軸在區間左側、內部、右側進行討論.
（2023春 民勤縣校級月考）已知函數在，上單調遞增，則實數的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：函數在，上單調遞增，
即在，恒成立，
則在，恒成立，
而在處取得的最大值0，
所以．
故選：．
（2023春 駐馬店月考）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是　　
A． B．， C． D．
【解答】解：因為在上單調遞增，
所以任意，恒成立，
所以任意，恒成立，
所以任意，恒成立，
所以，
故選：．
（2023春 武安市校級月考）若函數在區間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得，函數定義域為，
①當時，，即函數單調遞減，
當時，函數在區間內存在單調遞減區間，符合題意；
②當時，由得，
當時，，即在單調遞減；
當時，，即在上單調遞增，
函數的減區間為，增區間為，
若函數在區間內存在單調遞減區間，
只需滿足，解得，
綜上所述，，即實數的取值范圍是．
故選：．
（2023春 濮陽期末）若函數在其定義域的一個子區間內不是單調函數，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：的定義域為，，
得，；得，；
函數定義域內的一個子區間內不是單調函數，
，
．
故選：．
（2023春 石景山區校級期中）函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：函數在區間，上單調遞減，，
在區間，上恒成立，
在區間，上恒成立，
，
又函數在，上單調遞減，
當時，函數，，取最大值，且最大值為，
，即的取值范圍為．
故選：．
（2023春 利州區校級期中）若函數有三個單調區間，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：由題意得，函數定義域為，
函數有三個單調區間，
有兩個不相等的實數根，
，即實數的取值范圍是．
故選：．
（2023春 永昌縣校級期中）若函數在上不單調，則實數的取值范圍為　　
A． B．，，
C． D．
【解答】解：由題意得，
在上不單調，
在上有極值點，
當時，在上恒成立，在上單調遞減，不滿足題意；
當時，由得，則，解得，
故實數的取值范圍為，．
故選：．
（2023春 西夏區校級月考）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：，
函數在區間單調遞增，
在區間上恒成立，
在區間上恒成立，
而在區間上單調遞減，，
，．
故選：．
（2023春 洛陽月考）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：由題意得，，
函數在上單調遞增，
在上恒成立，即在上恒成立，
令，
，即實數的取值范圍是，．
故選：．
函數單調性的應用——構造函數
【要點講解】解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結構特征與導數運算法則結合起來,合理構造出相關的可導函數,然后利用該函數的性質解決問題
（2023春 上高縣校級期末）已知若為定義在上的偶函數，且當，時，，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，設，
則，
若為偶函數，則，即可得函數為偶函數，
又由當，時，，則單調遞增，則在，上遞減，
則，解可得，
即不等式的解集為，；
故選：．
（2023春 平度市期末）定義在上的函數滿足，且時，，則　　
A． B．
C．（4）（2） D．
【解答】解：令，則，
因為時，，
所以時，，單調遞增，
所以（4）（3）（2），（1），
即，所以（4）（2），故錯誤；
（2）（1），（3）（1），（4）（3），
因為定義在上的函數滿足，
所以（4），（3）（3），（2），（1），
所以，即，故正確；
所以，即，故錯誤；
所以，即，故錯誤．
故選：．
（2023春 東莞市期末）已知函數的定義域為，其導函數滿足，則不等式的解集為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意知，當時，，
設，
則，
所以在上單調遞減，
不等式等價于，
即為，所以，
解得．
故選：．
（2023春 靜海區期中）已知是定義在上的偶函數，其導函數為，若，且，，則不等式的解集為　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：因為為偶函數，
所以，所以，
即函數是周期為4的周期函數，
因為（1），
令，則，
因為，
則，即在上單調遞減，
由不等式可得，即（1），
解得，即不等式的解集．
故選：．
（2023春 高陵區校級期中）設函數是偶函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：設，
則，
當時總有成立，
即當時，，
當時，函數為減函數，
又，
是奇函數，
在上是減函數，
，
，
（1），
當，要使得，
即，解得：，
當時，要使得，
即，解得：，
故不等式的解集是，，，
故選：．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 西青區期末）已知可導函數的導函數為，，若對任意的，都有，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
，
因為對任意的，都有，
所以對任意的，都有，
所以對任意的，都有，單調遞增，
不等式可化為，進而可得，
所以，
所以，
故選：．
2．（2023春 涪城區校級期中）函數定義域為，其導函數為，若，，且（1），則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
則
故在單調遞減，
又因為（1）（1），
所以不等式等價于（1），故．
故選：．
3．（2023春 鄠邑區期末）如圖是函數的導函數的圖象，則下列命題錯誤的是　　
A．函數在上的圖象越來越陡
B．1不是函數的極值點
C．在處切線的斜率小于零
D．在區間上單調遞增
【解答】解：由的圖象可知，導函數在上單調遞增，
所以函數在上的圖象越來越陡，故選項正確；
因為當時，在該點的左、右兩側的導函數值均為正，
所以1不是函數的極值點，故選項正確；
因為，
所以在 處切線的斜率大于零，故選項錯誤；
在區間上，，
所以函數在上單調遞增，故選項正確．
故選：．
4．（2023春 和平區期末）若函數在，上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍為　　
A． B． C．， D．
【解答】解：因為在，上單調遞減，
所以存在，時，，
即存在，，，
令，，，
則由題意可知，只需，
而，
因為，，所以，，
所以（此時，
所以，
所以的取值范圍是，
故選：．
5．（2023春 桃江縣期末）已知，，，其中為自然對數的底數，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨設，，
可得，
不妨設，函數定義域為，
可得，
所以在定義域上單調遞減，
則，
所以函數在定義域上單調遞減，
則，
當時，，
即，
則，
不妨設，函數定義域為，
可得，
所以在定義域上單調遞增，
此時，
則，
即，
可得，
則，
故．
故選：．
6．（2023春 順德區校級月考）若函數在區間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得，函數定義域為，
①當時，，即函數單調遞減，
當時，函數在區間內存在單調遞減區間，符合題意；
②當時，由得，
當時，，即在單調遞減；
當時，，即在上單調遞增，
函數的減區間為，增區間為，
若函數在區間內存在單調遞減區間，
只需滿足，解得，
綜上所述，，即實數的取值范圍是．
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．（2023春 杭州期中）已知函數，則下列結論中正確的是　　
A．導函數的單調遞減區間為
B．的圖象關于點中心對稱
C．過原點只能作一條直線與的圖象相切
D．恰有兩個零點
【解答】解：因為，所以，
則導函數為對稱軸是，且開口向上的拋物線，
故其單調減區間為，錯誤；
因為，
所以的圖象關于點中心對稱，正確；
設過原點的直線與相切于點，，
則，整理得，
令，，
令，得或，令，得，
故有極大值，極小值（1），
由三次函數性質得只有一個解，
則過原點只能作一條直線與的圖象相切，正確；
令，得或，令，得，
所以函數有極大值，極小值（2），
由三次函數性質得有三個解，即有三個零點，
故錯誤．
故選：．
8．（2022秋 安丘市期末）已知定義在上的函數，其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是　　
A．（a）（e）（d）
B．函數在，上遞增，在，上遞減
C．函數的極值點為，
D．函數的極大值為（b）
【解答】解：由導數與函數單調性的關系知，當時遞增，時遞減，
結合所給圖象知，時，，
在上單調遞增，
時，，
在上單調遞減，
函數在處取得極大值，在處取得極小值；
（c）（e），
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．（2023春 松江區校級期中）若函數在，上嚴格增，那么的取值范圍是 　，　．
【解答】解：函數在，上嚴格增，
在，上恒成立，
在，上恒成立，
而在，上的最大值是2，
故的取值范圍是，，
故答案為：，．
10．（2023春 陽高縣校級期末）已知函數，其中是自然對數的底數．若，則實數的取值范圍是　，?。?br/>【解答】解：因為，
所以函數為奇函數，
又，所以函數為增函數，
由，可知，，即，解之得，
故答案為：，．
11．（2023春 敘州區校級期中）函數的單調遞減區間為　，和?。?br/>【解答】解：，因為定義域為，，，
所以時，，所以單調減區間為．
故答案為：．
12．（2023 徐匯區校級三模）設函數在上存在導數，對任意的，有，且在上．若．則實數的取值范圍為 　?。?br/>【解答】解：令，
因為，
則，
所以，即為偶函數，
因為在上，
所以，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
由可得，
所以，
故，
所以，
解得．
故答案為：．
四．解答題（共3小題）
13．（2023春 鄄城縣校級月考）已知函數．
（1）討論的單調性；
【解答】解：（1）由題意得函數的定義域為，則，
①當時，；
②當時，由得，由得，
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
14．（2023春 浙江月考）已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
【解答】解：（1）當時，，函數定義域為，
可得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以函數單調遞減區間為，單調遞增區間為；
15．（2023 雅安三模）已知函數．
（1）討論的單調性；
【解答】解：（1）函數的定義域為，
，
當時，恒成立，單調遞減，
當時，令得，
所以在上，單調遞減，
在，上，單調遞增，
綜上所述，當時，在上單調遞減，
當時，在上單調遞減，在，上單調遞增．專題02 導數與函數的單調性
目錄
題型一： 函數的單調性 2
題型二： 含參數的函數的單調性 5
題型三： 函數單調性的應用——比較大小或解不等式 7
題型四： 函數單調性的應用——根據函數的單調性求參數的范圍 7
題型五： 函數單調性的應用——構造函數 9
函數的單調性與導數的關系
一般地，函數f (x)的單調性與導函數f ′(x)的正負之間具有如下的關系：在某個區間(a，b)上，如果f ′(x)>0，那么函數y＝ f (x)在區間(a，b)上單調遞增；如果f ′(x)<0，那么函數y＝ f (x)在區間(a，b)上單調遞減．
利用導數判斷函數f (x)單調性的步驟
第1步，確定函數的定義域；
第2步，求出導數f ′(x)的零點；
第3步，用f ′(x)的零點將f (x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f ′(x)在各個區間上的正負，由此得出函數y＝f (x)在定義域內的單調性．
【常用結論與知識拓展】
1．在某區間內，f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函數f (x)在此區間上單調遞增(減)的充分不必要條件．可導函數f (x)在(a，b)上單調遞增(減)的充要條件是對 x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零．
2．構造函數解抽象不等式
(1)對于不等式f ′(x)>k(k≠0)，構造函數g(x)＝f (x)－kx＋B．
(2)對于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，構造函數g(x)＝xf (x)；對于不等式xf ′(x)－f (x)>0，構造函數g(x)＝(x≠0)．
(3)對于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，構造函數g(x)＝xnf (x)；對于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，構造函數g(x)＝(x≠0)．
(4)對于不等式f ′(x)＋f (x)>0，構造函數g(x)＝exf (x)；對于不等式f ′(x)－f (x)>0，構造函數g(x)＝.
(5)對于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，構造函數g(x)＝f (x)sin x；對于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)，構造函數g(x)＝f (x)cos x.
函數的單調性
【要點講解】求函數單調區間的步驟
(1)確定函數f(x)的定義域.
(2)求f'(x).
(3)在定義域內解不等式f'(x)>0,得單調遞增區間.
(4)在定義域內解不等式f'(x)<0,得單調遞減區間.
確定不含參數的函數的單調性,應注意一是不能漏掉求函數的定義域,二是函數的單調區間不能用并集,要用“逗號”或“和”隔開.
求下列函數的單調區間：
（1）；
（2）；
（3）．
求下列函數的單調區間：
（1）；
（2）．
求下列函數的單調區間：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
求下列函數的單調區間：
（1）；
（2）．
含參數的函數的單調性
【要點講解】函數在某區間上的單調性的討論
(1)在區間內f'(x)>0(或f'(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(或減)函數的充分不必要條件.
(2)可導函數f(x)在(a,b)上是增(或減)函數的充要條件: x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或f'(x)≤0),且f'(x)在(a,b)的任何子區間內都不恒為零.
(3)由函數f(x)在(a,b)上的單調性,求參數取值范圍的問題,可化為f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立的問題.要注意“=”能否取到.
研究含參數函數的單調性時,需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論.
（2023春 涼山州期末）已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2023春 天?？h校級月考）已知函數．
（1）當時，求函數的極值；
（2）討論的單調性．
（2023春 合肥期中）設函數．
（1）求的單調區間；
（2023春 武功縣期中）已知函數．
（1）求函數的單調區間；
（2023春 江寧區期末）已知函數．
（1）討論的單調性；
函數單調性的應用——比較大小或解不等式
【要點講解】1.比較函數值大小時,若自變量不在同一單調區間內,則要利用函數的性質,將其轉化到同一個單調區間上,再進行比較.
2.利用單調性比較大小或解不等式,關鍵是根據題意構造輔助函數,利用構造的函數的單調性比較大小或解不等式.
3.常構造的輔助函數:，，，,,等.
（2023春 青島期中）已知，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
（2023春 天祝縣校級月考）已知，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
（2023春 齊齊哈爾月考）已知，，，則、、的大小關系為　　
A． B． C． D．
（2023春 遼寧期中）設，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
函數單調性的應用——根據函數的單調性求參數的范圍
【要點講解】1.f(x)在區間D上單調遞增(減),只要f'(x)≥0(≤0)在區間D上恒成立即可,如果能夠分離參數,則盡可能分離參數后轉化為參數值與函數最值之間的關系.
2.二次函數在區間D上大于零恒成立,討論的標準是二次函數的圖象的對稱軸與區間D的相對位置,一般分對稱軸在區間左側、內部、右側進行討論.
（2023春 民勤縣校級月考）已知函數在，上單調遞增，則實數的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
（2023春 駐馬店月考）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是　　
A． B．， C． D．
（2023春 武安市校級月考）若函數在區間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
（2023春 濮陽期末）若函數在其定義域的一個子區間內不是單調函數，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
（2023春 石景山區校級期中）函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
（2023春 利州區校級期中）若函數有三個單調區間，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．，
（2023春 永昌縣校級期中）若函數在上不單調，則實數的取值范圍為　　
A． B．，，
C． D．
（2023春 西夏區校級月考）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
（2023春 洛陽月考）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是　　
A．， B． C．， D．，
函數單調性的應用——構造函數
【要點講解】解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結構特征與導數運算法則結合起來,合理構造出相關的可導函數,然后利用該函數的性質解決問題
（2023春 上高縣校級期末）已知若為定義在上的偶函數，且當，時，，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
（2023春 平度市期末）定義在上的函數滿足，且時，，則　　
A． B．
C．（4）（2） D．
（2023春 東莞市期末）已知函數的定義域為，其導函數滿足，則不等式的解集為　　
A． B．
C． D．
（2023春 靜海區期中）已知是定義在上的偶函數，其導函數為，若，且，，則不等式的解集為　　
A． B． C．， D．，
（2023春 高陵區校級期中）設函數是偶函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 西青區期末）已知可導函數的導函數為，，若對任意的，都有，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
2．（2023春 涪城區校級期中）函數定義域為，其導函數為，若，，且（1），則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
3．（2023春 鄠邑區期末）如圖是函數的導函數的圖象，則下列命題錯誤的是　　
A．函數在上的圖象越來越陡
B．1不是函數的極值點
C．在處切線的斜率小于零
D．在區間上單調遞增
4．（2023春 和平區期末）若函數在，上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍為　　
A． B． C．， D．
5．（2023春 桃江縣期末）已知，，，其中為自然對數的底數，則　　
A． B． C． D．
6．（2023春 順德區校級月考）若函數在區間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
二．多選題（共2小題）
7．（2023春 杭州期中）已知函數，則下列結論中正確的是　　
A．導函數的單調遞減區間為
B．的圖象關于點中心對稱
C．過原點只能作一條直線與的圖象相切
D．恰有兩個零點
8．（2022秋 安丘市期末）已知定義在上的函數，其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是　　
A．（a）（e）（d）
B．函數在，上遞增，在，上遞減
C．函數的極值點為，
D．函數的極大值為（b）
三．填空題（共4小題）
9．（2023春 松江區校級期中）若函數在，上嚴格增，那么的取值范圍是 　?。?br/>10．（2023春 陽高縣校級期末）已知函數，其中是自然對數的底數．若，則實數的取值范圍是　?。?br/>11．（2023春 敘州區校級期中）函數的單調遞減區間為　　．
12．（2023 徐匯區校級三模）設函數在上存在導數，對任意的，有，且在上．若．則實數的取值范圍為 　　．
四．解答題（共3小題）
13．（2023春 鄄城縣校級月考）已知函數．
（1）討論的單調性；
14．（2023春 浙江月考）已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
15．（2023 雅安三模）已知函數．
（1）討論的單調性；專題03 導數與函數的極值、最值
目錄
題型一： 根據函數圖象判斷極值 4
題型二： 求函數的極值 7
題型三： 已知極值(點)求參數 8
題型四： 利用導數求函數最值問題 13
函數的極值
(1)函數極值的定義：如圖，函數y＝f (x)在點x＝a的函數值f (a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f ′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f ′(x)<0，右側f ′(x)>0.類似地，函數y＝f (x)在點x＝b的函數值f (b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f ′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f ′(x)>0，右側f ′(x)<0.我們把a叫做函數y＝f (x)的極小值點，f (a)叫做函數y＝f (x)的極小值；b叫做函數y＝f (x)的極大值點，f (b)叫做函數y＝f (x)的極大值．極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值．
(2)函數在某點取得極值的必要條件和充分條件：一般地，函數y＝f (x)在某一點的導數值為0是函數y＝f (x)在這點取得極值的必要條件．可導函數y＝f (x)在x＝x0處取極大(小)值的充分條件：
①f ′(x0)＝0；
②在x＝x0附近的左側f ′(x0)>0(<0)，右側f ′(x0)<0(>0)．
(3)導數求極值的方法：解方程f ′(x)＝0，當f ′(x0)＝0時，如果在x0附近的左側f ′(x)>0，右側f ′(x)＜0，那么f (x0)是極大值；如果在x0附近的左側f ′(x)＜0，右側f ′(x)>0，那么f (x0)是極小值．
注意　對于可導函數f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函數f (x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件．
函數的最大(小)值
(1)函數最大(小)值的再認識
①一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f (x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
②若函數y＝f (x)在[a，b]上單調遞增，則f (a)為函數在[a，b]上的最小值，f (b)為函數在[a，b]上的最大值；若函數y＝f (x)在[a，b]上單調遞減，則f (a)為函數在[a，b]上的最大值，f (b)為函數在[a，b]上的最小值．
(2)導數求最值的一般步驟：設函數y＝f (x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求函數y＝f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：
①求函數y＝f (x)在區間(a，b)內的極值；
②將函數y＝f (x)的各極值與端點處的函數值f (a)，f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
三次函數的圖象、單調性、極值
設三次函數f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，記Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并設x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x1(1)a>0
Δ>0 Δ≤0
圖象
單調性 在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增；在(x1，x2)上單調遞減 在R上是增函數
極值點個數 2 0
(2)a<0
Δ>0 Δ≤0
圖象
單調性 在(x1，x2)上單調遞增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞減 在R上是減函數
極值點個數 2 0
根據函數圖象判斷極值
【要點講解】　由圖象判斷函數y=f(x)的極值要抓住的兩點
(1)由y=f'(x)的圖象與x軸的交點,可得函數y=f(x)的可能極值點.
(2)由導函數y=f'(x)的圖象可以看出y=f'(x)的值的正負,從而可得函數y=f(x)的單調性.兩者結合可得極值點.
（2023春 監利市期中）如圖，可導函數在點，處的切線為，設，則下列說法正確的是　　
A．，是的極大值點
B．，是的極小值點
C．，不是的極值點
D．，是的極值點
【解答】解：可導函數在點，處的切線為，
則，，
，
，
設，
，，
由圖象可得：導函數單調遞增，
時，；時，．
是的極小值點，故正確．
故選：．
（2023春 霞山區校級期中）如圖是函數的導函數的圖象，下列結論正確的是　　
A．是函數的極大值點
B．是函數的極值點
C．在處取得極大值
D．函數在區間上單調遞增
【解答】解：根據題中導函數的圖象可知，
在上小于零，在，上大于零，且，
故函數在上為減函數，在上為增函數，
對于選項，是函數的極小值點，故錯誤；
對于選項，不是函數的極值點，故錯誤；
對于選項，根據的兩側均為單調遞增函數，故不是極值點，故錯誤；
對于選項，根據在區間上的導數大于或等于零可知，在區間上單調遞增，故正確．
故選：．
（2023春 南岸區校級期中）如圖是函數的導函數的圖象，則下列說法正確的是　　
A．是函數的極小值點
B．當或時，函數的值為0
C．函數在上是增函數
D．函數在上是增函數
【解答】解：結合導數與函數單調性的關系可知，當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
故當時，函數取得極小值．
結合選項可知，正確．
故選：．
（2023春 華龍區校級期中）已知函數的導函數的圖象大致如圖所示，則關于函數，下列結論正確的是　　
A．無極大值點 B．有2個零點
C．在上單調遞增 D．在上單調遞減
【解答】解：在導函數的圖象上作出的圖象如下所示：
因為當時，，在上單調遞減，
易知，使，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，排除選項；
所以是函數的極大值點，的零點個數無法判斷，排除選項和選項．
故選：．
求函數的極值
【要點講解】　運用導數求可導函數y=f(x)的極值的一般步驟
(1)先求函數y=f(x)的定義域,再求其導數f'(x).
(2)求方程f'(x)=0在f(x)定義域內的根.
(3)檢查導數f'(x)在方程根的左右的值的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值.
(1)導數為零的點不一定是極值點.
(2)在解答題中涉及極值問題要列出表格.
（2023春 科左中旗校級期中）已知函數，則的極小值為　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：函數的定義域為．
導函數．
令，解得：．
列表得：
1
0
單減 極小值 單增
的極小值為．
故選：．
（2023 武鳴區校級三模）函數的極小值點為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為定義域為，
所以，令得，
令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數在處取得極小值．
故選：．
（2023 阿勒泰地區三模）函數的極值點是　　
A．0 B．1 C． D．
【解答】解：，令，得，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
故當時，函數取極大值，所以，函數的極值點是1．
故選：．
已知極值(點)求參數
【要點講解】　已知函數極值點或極值求參數的兩個要領
(1)列式:根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數法求解.
(2)驗證:因為某點處的導數值等于0不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性.
（2023春 涪城區校級月考）已知函數在處有極值，則的最小值為　　
A．2 B． C． D．4
【解答】解：由，得，
所以，即，
由題意，得，
當且僅當，即，時，取等號．
故選：．
（2023春 臨沂期中）函數在時有極大值0，則　　
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：，
，
在時有極大值0，
，，
解得，．
則，
故選：．
（2023春 朝陽區校級月考）已知實數，，，成等比數列，且曲線的極大值點為，極大值為，則等于　　
A．2 B． C． D．1
【解答】解：實數，，，成等比數列，
，
由，
，
令，解得，
函數在上單調遞減；函數在上單調遞增；函數在上單調遞減．
時，函數取得極小值，時，函數取得極大值．
曲線的極大值點為，極大值為，
，（1），即．
，
．
故選：．
（2023春 河南月考）函數的一個極值點是1，則的值　　
A．恒大于0 B．恒小于0 C．恒等于0 D．不確定
【解答】解：，
是的極值點，
（1），
即，令（a），，
則，
令（a），解得：，令（a），解得：，
故（a）在遞增，在遞減，故，
故，即恒小于0．
故選：．
（2023春 北京期中）若函數恰好有兩個極值，則實數的取值范圍是　　
A． B．， C．，， D．，，
【解答】解：，則，函數定義域為，
函數恰好有兩個極值，
有兩個不相等的零點，
故方程有兩個不相等的實根，
則，解得或，
實數的取值范圍是，，．
故選：．
（2023春 東光縣月考）若函數在上存在極值，則正整數的最小值為　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：，
，
函數在上存在極值，
函數在上不是單調函數，
可得有兩個不等的根，
即△，
解得，或，
正整數的最小值為5．
故選：．
（2023春 峨眉山市校級期中）已知函數有兩個極值點，求的范圍　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知，函數定義域為，
可得，
若有兩個極值點，
此時有兩個根，
即有兩解，
不妨設，函數定義域為，
可得，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以，
易知當時，，
所以．
故選：．
（2023春 東城區校級期中）設，若函數，有大于零的極值點，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
則，即，解得，
函數，有大于零的極值點，
則，即，解得．
故選：．
利用導數求函數最值問題
【要點講解】求函數f(x)在閉區間[a,b]內的最值的方法
(1)若所給的問題中不含有參數,則只需求f'(x),并求f'(x)=0在區間[a,b]內的根,再計算使導數等于零的根的函數值,把該函數值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
(2)若所給的問題中含有參數,則需求f'(x),通過對參數分類討論,判斷函數的單調性,從而得到函數f(x)的最值.
（2023春 江城區校級月考）函數在，上的最大值與最小值分別是　　
A．23，5 B．5，4 C．， D．5，
【解答】解：，，，
，
，，，
函數在，上單調遞增，
（3），，
故選：．
（2023春 朝陽區校級月考）函數的最小值為　　
A．1 B． C．0 D．
【解答】解：，
，
令，解得，
令，解得或，
故在，遞減，在遞增，在，遞減，
而（3），
故在，上的最小值是0，
故選：．
（2023 阿勒泰地區三模）函數在，上的最小值是　　
A． B． C．0 D．
【解答】解：因為，所以，
當，時，，函數單調遞增；
當，時，，函數單調遞減；
所以當時，函數值為0，當時，函數值為，所以其最小值為0．
故選：．
（2023春 瀘縣校級期末）已知函數．求：
（1）曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）函數在區間，上的最值．
【解答】解：（1），則（1），
，切點是，
故切線方程是，即；
（2）令，解得：或，
，，在，的變化如下：
0 2 3
0 0
單調遞增 極大值1 單調遞減 極小值 單調遞增 1
在，和，上單調遞增，在，上單調遞減，
最大值是（3），又，，
在，的最大值是（3），
在，在最小值是．
（2023春 涼山州期末）已知函數在時取得極值．
（1）求在，處的切線方程；
（2）求在區間，上的最大值與最小值．
【解答】解：（1）已知，函數定義域為，
可得，
因為在處取得極值，
所以，
解得，
當時，，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當 時，，單調遞增，
此時函數在時取得極值，
所以，
此時，
又，
所以在，處的切線方程為，
即；
（2）由（1）知，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以，，
又，，
所以在區間，上的最大值為1，最小值為．
（2023春 萊蕪區期中）已知函數．
（1）若函數在區間上不單調，求的取值范圍；
（2）令，當時，求在區間，上的最大值．
【解答】解：（1）已知，函數定義域為，
可得，
不妨設，函數定義域為，
該函數是開口向上的二次函數，對稱軸為，
因為函數在區間上不單調，
所以，即，
解得
則的取值范圍為；
（2）已知，
所以，函數定義域，
可得，
若，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以函數在，上單調遞減，
則（1）；
若，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以（a）；
若時，恒成立，單調遞增，
所以（2）；
若，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以函數在，上單調遞增，
則（1）．
綜上，當，在區間，上的最大值為；
當時，在區間，上的最大值為；
當時，在區間，上的最大值為．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 臨沂期中）已知函數，若對任意正數，，都有恒成立，則實數的取值范圍　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：因為對任意兩個不等的正數，，都有恒成立，
設，則，
即恒成立，
問題等價于函數，
即在上為增函數，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
即實數的取值范圍是，，
故選：．
2．（2023 池州模擬）已知函數，記，則下列結論正確的是　　
A．的值域為 B．的值域為，
C．為奇函數 D．為偶函數
【解答】解：，，則，則，錯誤；
，錯誤；
設，
則，
則為奇函數，正確；
設，則，
則不為偶函數．
故選：．
3．（2023春 伊州區校級期中）已知是函數的極小值點，那么函數的極大值為　　
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：因為，，
所以，
又因為是函數的極小值點，
所以（1），
解得，
所以，，
令，得，，
所以當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
所以在處取極大值，在處取極小值，
所以的取極大值為．
故選：．
4．（2023春 崇明區期末）將函數，，的圖像繞點順時針旋轉角得到曲線，若曲線仍是一個函數的圖像，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：函數，，
當時，，函數在上遞增，
當時，，函數在上遞減，
（1），可得在處切線的傾斜角為，
因此，要使旋轉后的圖象仍為一個函數的圖象，旋轉后的切線傾斜角最多為，
也就是說，最大旋轉角為，
即的最大值為．
故選：．
5．（2023 內江三模）已知函數和有相同的極大值，則　　
A．2 B．0 C． D．
【解答】解：，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得極大值，
又，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得極大值，
依據題意，和有相同的極大值，
故（1）（e），所以，所以．
故選：．
6．（2023 湖北二模）設函數恰有兩個極值點，則實數的取值范圍是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
【解答】解：函數，，
，
函數恰有兩個極值點，方程恰有兩個正根，
顯然是方程的一個正根，
方程有唯一正根，即方程有唯一正根，
等價于函數與函數在上只有一個交點，且交點橫坐標不等于1，
，函數在上單調遞增，
又，（1），
函數的圖象如圖所示：，
且，
故選：．
二．多選題（共2小題）
7．（2023 紅河州一模）已知函數，則下列說法正確的是　　
A．函數有兩個極值點
B．若關于的方程恰有1個解，則
C．函數的圖象與直線有且僅有一個交點
D．若，且，則無最值
【解答】解：，
作出的圖象可得：
對于：由圖象可知和是函數的兩個極值點，故正確；
對于：若函數恰有一個零點，則或，故不正確；
對于：因為函數在點處的切線為，
函數在處的切線為，
由圖可知，當，即時，的圖象與直線恰有一個交點，
當，即時，令，得，
令，
則（1），，
由二次函數的圖象及零點存在定理可知，方程有且只有一個實數根，
當，即時，令，
設，，
則（當且僅當時取等號），即函數在上單調遞增，
由于，
，
所以函數有且僅有一個實數根，故正確；
對于：由于，，，
則，，，則，
設，
，
設，
所以在上單調遞增，且，（1），
所以存在，使得，
當時，，單調遞減，
當，時，，單調遞增，
所以存在最小值，故不正確，
故選：．
8．（2023春 香洲區校級月考）對于函數，下列說法正確的有　　
A．在處取得極大值 B．在處取得最大值
C．有兩個不同零點 D．（2）（3）
【解答】解：函數的導數，
令得，則當時，，函數為增函數，
當時，，函數為減函數，
則當時，函數取得極大值，極大值為，故正確，
由知當時，函數取得最大值，最大值為，故正確；
由，得，得，即函數只有一個零點，故錯誤，
，由時，函數為減函數，知（3）（4），
故（2）（3）成立，故正確．
故選：．
三．填空題（共4小題）
9．（2023春 懷仁市期末）函數在區間上有最大值，則的取值范圍是 　，?。?br/>【解答】解：，，
令解得；令，解得或，
由此可得在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，
故函數在處有極大值，在處有極小值，
，即，解得，
即的取值范圍是，．
故答案為：，．
10．（2023 興慶區校級二模）在等比數列中，，是函數的極值點，則　2　．
【解答】解：因為，所以，
又因為，是的極值點，
所以，是方程的兩根，
所以有，
由等比數列的性質可知：，
又因為，
所以，
故答案為：2．
11．（2023春 青羊區校級期中）已知函數，，有以下四個命題：
①對，不等式恒成立；
②是函數的極值點；
③函數的圖象與軸及圍成的區域面積為；
④．
其中正確的命題有 　①③④?。?br/>【解答】解：對①：，即，設，則恒成立，函數單調遞增，故，正確；
對②：恒成立，函數單調遞增，無極值點，錯誤；
對③：，面積為，正確；
對④：根據①知：在上恒成立，則，故，
則，正確．
故答案為：①③④．
12．（2023 宜章縣二模）已知函數，若有且僅有兩個整數，滿足，則實數的取值范圍為 　，?。?br/>【解答】解：若，則，
所以，
所以，
令，
則，
令，
則在上單調遞增，且，（1），
所以存在，當，則，，單調遞減，
當，時，，，單調遞增，
因為（1），
所以只需且且（2），
所以，
解得，
所以的取值范圍為，．
故答案為：，．
四．解答題（共3小題）
13．（2023春 永昌縣校級期中）當時，函數取得極小值2．
（1）求實數，的值；
（2）求函數的最小值．
【解答】解：（1）已知，函數定義域為，
可得，
因為函數在處取得極小值2，
所以滿足（1），（1），
解得，，
此時，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當時，函數取得極小值，滿足題意，
所以，；
（2）由（1）可知，函數定義域為，
可得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，
故．
14．（2023春 泉州期末）已知函數．
（1）求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）證明：．
【解答】解：（1）已知，函數定義域為，
可得，
所以（1），
又，
所以曲線在點，（1）處的切線方程為，
即；
（2）證明：不妨設，函數定義域為，
要證，即證，
易得恒成立，
所以函數在定義域上單調遞增，
又，
當時，，，；
當時，，，，
當時，．
故．
15．（2023春 曹縣校級月考）若函數．
（1）當時，求的極值；
（2）若在，恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）當時，，
，
令，得，
所以在上，單調遞增；
在上，單調遞減，
所以，無極小值．
（2），
因為在，上恒成立，所以在，上恒成立，
①當時，，
所以在，上單調遞減，則，不符合題意，
②當時，，
所以在，上單調遞減，則，符合題意，
③當時，令得或，
若，即時，
在上，單調遞增，
所以（1），
又，矛盾，不符合題意，
若，即時，
在上，單調遞減，
在，上，單調遞增，
所以當，時，的最大值為與（1）中的較大者，
要滿足在，上恒成立，只需，解得，
又因為，
所以，
若，即時，
在上，單調遞增，
所以（1），即，
又，
所以，
若，即時，
在上，單調遞減，
所以，符合題意，
綜上所述，的取值范圍為，．專題03 導數與函數的極值、最值
目錄
題型一： 根據函數圖象判斷極值 4
題型二： 求函數的極值 6
題型三： 已知極值(點)求參數 6
題型四： 利用導數求函數最值問題 8
函數的極值
(1)函數極值的定義：如圖，函數y＝f (x)在點x＝a的函數值f (a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f ′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f ′(x)<0，右側f ′(x)>0.類似地，函數y＝f (x)在點x＝b的函數值f (b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f ′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f ′(x)>0，右側f ′(x)<0.我們把a叫做函數y＝f (x)的極小值點，f (a)叫做函數y＝f (x)的極小值；b叫做函數y＝f (x)的極大值點，f (b)叫做函數y＝f (x)的極大值．極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值．
(2)函數在某點取得極值的必要條件和充分條件：一般地，函數y＝f (x)在某一點的導數值為0是函數y＝f (x)在這點取得極值的必要條件．可導函數y＝f (x)在x＝x0處取極大(小)值的充分條件：
①f ′(x0)＝0；
②在x＝x0附近的左側f ′(x0)>0(<0)，右側f ′(x0)<0(>0)．
(3)導數求極值的方法：解方程f ′(x)＝0，當f ′(x0)＝0時，如果在x0附近的左側f ′(x)>0，右側f ′(x)＜0，那么f (x0)是極大值；如果在x0附近的左側f ′(x)＜0，右側f ′(x)>0，那么f (x0)是極小值．
注意　對于可導函數f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函數f (x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件．
函數的最大(小)值
(1)函數最大(小)值的再認識
①一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f (x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
②若函數y＝f (x)在[a，b]上單調遞增，則f (a)為函數在[a，b]上的最小值，f (b)為函數在[a，b]上的最大值；若函數y＝f (x)在[a，b]上單調遞減，則f (a)為函數在[a，b]上的最大值，f (b)為函數在[a，b]上的最小值．
(2)導數求最值的一般步驟：設函數y＝f (x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求函數y＝f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：
①求函數y＝f (x)在區間(a，b)內的極值；
②將函數y＝f (x)的各極值與端點處的函數值f (a)，f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
三次函數的圖象、單調性、極值
設三次函數f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，記Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并設x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x1(1)a>0
Δ>0 Δ≤0
圖象
單調性 在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增；在(x1，x2)上單調遞減 在R上是增函數
極值點個數 2 0
(2)a<0
Δ>0 Δ≤0
圖象
單調性 在(x1，x2)上單調遞增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞減 在R上是減函數
極值點個數 2 0
根據函數圖象判斷極值
【要點講解】　由圖象判斷函數y=f(x)的極值要抓住的兩點
(1)由y=f'(x)的圖象與x軸的交點,可得函數y=f(x)的可能極值點.
(2)由導函數y=f'(x)的圖象可以看出y=f'(x)的值的正負,從而可得函數y=f(x)的單調性.兩者結合可得極值點.
（2023春 監利市期中）如圖，可導函數在點，處的切線為，設，則下列說法正確的是　　
A．，是的極大值點
B．，是的極小值點
C．，不是的極值點
D．，是的極值點
（2023春 霞山區校級期中）如圖是函數的導函數的圖象，下列結論正確的是　　
A．是函數的極大值點
B．是函數的極值點
C．在處取得極大值
D．函數在區間上單調遞增
（2023春 南岸區校級期中）如圖是函數的導函數的圖象，則下列說法正確的是　　
A．是函數的極小值點
B．當或時，函數的值為0
C．函數在上是增函數
D．函數在上是增函數
（2023春 華龍區校級期中）已知函數的導函數的圖象大致如圖所示，則關于函數，下列結論正確的是　　
A．無極大值點 B．有2個零點
C．在上單調遞增 D．在上單調遞減
求函數的極值
【要點講解】　運用導數求可導函數y=f(x)的極值的一般步驟
(1)先求函數y=f(x)的定義域,再求其導數f'(x).
(2)求方程f'(x)=0在f(x)定義域內的根.
(3)檢查導數f'(x)在方程根的左右的值的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值.
(1)導數為零的點不一定是極值點.
(2)在解答題中涉及極值問題要列出表格.
（2023春 科左中旗校級期中）已知函數，則的極小值為　　
A． B． C．0 D．1
（2023 武鳴區校級三模）函數的極小值點為　　
A． B． C． D．
（2023 阿勒泰地區三模）函數的極值點是　　
A．0 B．1 C． D．
已知極值(點)求參數
【要點講解】　已知函數極值點或極值求參數的兩個要領
(1)列式:根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數法求解.
(2)驗證:因為某點處的導數值等于0不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性.
（2023春 涪城區校級月考）已知函數在處有極值，則的最小值為　　
A．2 B． C． D．4
（2023春 臨沂期中）函數在時有極大值0，則　　
A．7 B．6 C．5 D．4
（2023春 朝陽區校級月考）已知實數，，，成等比數列，且曲線的極大值點為，極大值為，則等于　　
A．2 B． C． D．1
（2023春 河南月考）函數的一個極值點是1，則的值　　
A．恒大于0 B．恒小于0 C．恒等于0 D．不確定
（2023春 北京期中）若函數恰好有兩個極值，則實數的取值范圍是　　
A． B．，
C．，， D．，，
（2023春 東光縣月考）若函數在上存在極值，則正整數的最小值為　　
A．4 B．5 C．6 D．7
（2023春 峨眉山市校級期中）已知函數有兩個極值點，求的范圍　　
A． B． C． D．
（2023春 東城區校級期中）設，若函數，有大于零的極值點，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
利用導數求函數最值問題
【要點講解】求函數f(x)在閉區間[a,b]內的最值的方法
(1)若所給的問題中不含有參數,則只需求f’(x),并求f’(x)=0在區間[a,b]內的根,再計算使導數等于零的根的函數值,把該函數值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
(2)若所給的問題中含有參數,則需求f’(x),通過對參數分類討論,判斷函數的單調性,從而得到函數f(x)的最值.
（2023春 江城區校級月考）函數在，上的最大值與最小值分別是　　
A．23，5 B．5，4 C．， D．5，
（2023春 朝陽區校級月考）函數的最小值為　　
A．1 B． C．0 D．
（2023 阿勒泰地區三模）函數在，上的最小值是　　
A． B． C．0 D．
（2023春 瀘縣校級期末）已知函數．求：
（1）曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）函數在區間，上的最值．
（2023春 涼山州期末）已知函數在時取得極值．
（1）求在，處的切線方程；
（2）求在區間，上的最大值與最小值．
（2023春 萊蕪區期中）已知函數．
（1）若函數在區間上不單調，求的取值范圍；
（2）令，當時，求在區間，上的最大值．
一．選擇題（共6小題）
1．（2023春 臨沂期中）已知函數，若對任意正數，，都有恒成立，則實數的取值范圍　　
A．， B． C．， D．，
2．（2023 池州模擬）已知函數，記，則下列結論正確的是　　
A．的值域為 B．的值域為，
C．為奇函數 D．為偶函數
3．（2023春 伊州區校級期中）已知是函數的極小值點，那么函數的極大值為　　
A．0 B．1 C．2 D．4
4．（2023春 崇明區期末）將函數，，的圖像繞點順時針旋轉角得到曲線，若曲線仍是一個函數的圖像，則的最大值為　　
A． B． C． D．
5．（2023 內江三模）已知函數和有相同的極大值，則　　
A．2 B．0 C． D．
6．（2023 湖北二模）設函數恰有兩個極值點，則實數的取值范圍是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
二．多選題（共2小題）
7．（2023 紅河州一模）已知函數，則下列說法正確的是　　
A．函數有兩個極值點
B．若關于的方程恰有1個解，則
C．函數的圖象與直線有且僅有一個交點
D．若，且，則無最值
8．（2023春 香洲區校級月考）對于函數，下列說法正確的有　　
A．在處取得極大值 B．在處取得最大值
C．有兩個不同零點 D．（2）（3）
三．填空題（共4小題）
9．（2023春 懷仁市期末）函數在區間上有最大值，則的取值范圍是 　　．
10．（2023 興慶區校級二模）在等比數列中，，是函數的極值點，則　　．
11．（2023春 青羊區校級期中）已知函數，，有以下四個命題：
①對，不等式恒成立；
②是函數的極值點；
③函數的圖象與軸及圍成的區域面積為；
④．
其中正確的命題有 　?。?br/>12．（2023 宜章縣二模）已知函數，若有且僅有兩個整數，滿足，則實數的取值范圍為 　?。?br/>四．解答題（共3小題）
13．（2023春 永昌縣校級期中）當時，函數取得極小值2．
（1）求實數，的值；
（2）求函數的最小值．
14．（2023春 泉州期末）已知函數．
（1）求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）證明：．
15．（2023春 曹縣校級月考）若函數．
（1）當時，求的極值；
（2）若在，恒成立，求的取值范圍．

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