資源簡介

第21講
解析幾何之橢圓性質綜合
一、知識點息
1.橢圓及其標準方程
(1)定義：平面內與兩定點乃，的距離的和等于常數2a(2a>|)的點的軌跡叫做橢圓，即點集
M={P PF+PE=2a,2a>F}:
(2)橢圓的標準方程：
@焦點在x獺上：需+芳=1a>6>0,
②焦點在y軸上：蘭
+心2
=1(a>b>0):
2.橢圓的幾何性質
知橢圓方程為名+多=1(@>b>0),則有以下性
(1)范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b;
(2)對稱性：對稱軸方程為x=0,y=0,對稱中心為O(0,0):
(3)頂點：A1(-a,0),A2(a,0),B(0,-b),B2(0,b),長軸長|A1A2l=2a,短軸長|BB2=2b:
(4)焦點和焦距：焦點(-c,0),F(c,0);焦距2c;(5)離心率：e=
0
3,焦點三角形面積結論
《1)焦點三角形面積：橢園+，
十=1焦點為A,B,P為橢圓上的點，∠RPB=,
則SaPg=btan號=clp
4.焦半徑與焦點弦
A是橢圓名+叉
+&=1(a>b>0)上一點，R、B是左、右焦點，∠ARB=a,AB過R,c是半焦距，則
(1)焦半徑：A=。b
ccosa-1-ecosa =6
ep
a+8o8=1+0ap=名-d表示焦
ep
準距)；
1
2a
(2)倒數定值：A+B麗=)：
(3)焦半徑比：1A=8,即1-CCoQ
Aep
=1+ecosa
→ecosa=A-1」
A+1
（4)焦點弦：AB到=a2-62c0sa
2ab2
2ep
1-e'cos'a
5.題型歸納
【題型一】第一定義與軌跡
【題型二】第一定義與最值
【題型三】第二定義與焦半徑坐標公式
【題型四】第二定義與焦半徑角參公式
【題型五】焦點弦與余弦定理
【題型六】焦點三角形面積
【題型七】第三定義與中點弦
【題型八】三角形四心與離心率
【題型九】蒙日圓
171
【題型一】第一定義與軌跡
例1如圖，盡，3分別為橢圓號+號=1的左右焦點，P為橢圓上的點，PT為△FPR的外角平分線，
T⊥PT,則|OT=()
A.1
B.2
C.√5
D.4
及是橢圓C:5+,=1的左、右焦點，點P在橢圓C上，P=6,過B作∠PF的角平
的垂線，垂足為M,則1OM1的長為()
A.1
B.2
C.3
D.4
例3.設圓x2++2x-15=0的圓心為A,直線L過點B(1,0)且與軸x不重合，1交圓A于C,D兩點，過
B作AC的平行線交AD于點E,則點E的軌跡方程為一；
例4.已知橢圓C:馬
多=1(@>b>0,C的上項點為A,兩個焦點為風，B,離心率為分過日
于A的直線與C交于D,E兩點，D=6,則△ADE的周長是一
172第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第20講
解析幾何之直線和圓
(臺-日月=0，顯然直線AB與CP的交點F滿足
綜合
此方程，又原點O也滿足此方程，故為所求的直線
OF的方程.
例1【答素】6r-50-9=0
例4.【答案】ABD
【詳解由AC邊上的高BH所在直線方程為x一
【詳解】選項A:將(0,0)代入直線l得3sin0+
2g-5=0可以知道kAC=-2,
又A隊5.1)，AC邊所在直線方程為2x+y-11=
cos0-5=0,即V0sin(0+)=5,其中cosp=
3w10
6
10
sine
聯立直線AC與直線CM方程得
2x+義-11=0
因為sin(0+p)∈[-1,1]，所以√10sin(0+p)=5
2-y-5=0
無解，選項A正確；
解得工二4
{g=3
選項B:設點P(o0),則點P到直線l的距離d=
順點C的坐標為C(4,3).設B隊，)，AB的中
cos0·o+sinf·y6+3sinf+cos9-5l
Vcos20 +sin20
點超為夢安)，
cos6·xo+sin·yo+3sin0+cos日-5，
由M在直線2x-y-5=0上，得2x0一0-1=0，
令m88=0解將-
(30=-3’
B在喜線x一2y-5=0上，得x0-20-5=0,
故當P點坐標為(-1，-3)時，點P到直線1的距離
聯立2-三0解得z,一所以頂點B的
(x6-206-5=0
（y0=-3
為定值5，選項B正確：
坐標為(-1，-3)，
選項C:由選項B可知直線l為圓P:(x+1)
于是直線BC的方程為6x一5y-9=0,
+(g+3)2=25的切線，
故答案為：6a-5y-9=0
例2.【答案】x-3y+1=0
【詳解】因為中線CE所在直線方程為3x十y-7
=0,所以可設C(a,-3a+7),E(b,-3b+7),(a<
,
由AC中點為D0,2),可得A(-a,3a-3),所以
ku=-36-3a+i0=-3+1
bta
a+6,AABC為等
腰直角三角形，CE為中線，
設點M(0-3)到切線的距離為d,
CE1ABk-3+a95=kU=方a+
所以d≥R-MPl,所以點M(O,-3)到直線l的最
b=3①，又CE=AB,D是AC的中點，，AC⊥
小值dmin=R-|P|=4,選項C錯誤；
DE,
選項D:由圖像可知隨直線1斜率由一0→0，
0ke=-1,-3a+5×-36+5=-1,化簡
△AOB的周長先減小，再增大，存在最小值，
h
得：20b=3(a+b}-5②，由①②解得a=1,b=2,
不妨在圓上取一點(3,0)作切線，記為：y一0=
所以點(2,1)，又因為k=號，所以直線AB方程
0二3紅-8)，即4如+3剛=12，
為到-1=紅-2，
所以A(3,0),B(0,4),△OAB的周長為3+4+
即所求方程為籠一3+1=0.故答案為：x一3y+
√32+4=12，選項D正確；
1=0
故選：ABD
例3【答案I(日-古z+(分-日加=0
例5.【答案】D
【詳解】直線：(a-2)x+(a+1)y+6=0,即a(x
【詳解本小題考查直線方程的求法.畫草圖，由
對稱住可霜塑（是-古z+(分一品加=0，
+)-2x+y+6=0,
事實上，由藏距式可得直線AB:名+蘭=1，直線
令仁v6=0架得侶品
ly=-2'
b
即直線：(a-2)+(a+1)y+6=0過定點A(2,
D:+多y=1.兩武相藏得（合-6z+
-2),
由過坐標原點O作直線：(a-2)x+(a+1)y+6
152

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