資源簡介

例23.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2,3臺加工的次品率均為5%；加
工出來的零件混放在一起，且第1,2,3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%.現從加
工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品的概率為()
A.0.0415
B.0.0515
C.0.0425
D.0.0525
例24.設某醫院倉庫中有10盒同樣規格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生
產的，且甲、乙、丙三廠生產該種X光片的次品率依次為高易，現從這10盒中任取一盒，再從
這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為()
A.0.08
B.0.1
C.0.15
D.0.2
【題型九】貝葉斯公式
例25.一道考題有4個答案，要求學生將其中的一個正確答案選擇出來、某考生知道正確答案的概率為
號，在亂猜時，4個答案都有機會被他途擇，若他答對了，則他確實知道正確答案的概率是（）
A號
B號
c圣
D是
219
例26.通信渠道中可傳輸的字符為AAAA,BBBB,CCC℃三者之一，傳輸三者的概率分別為0.3,0.4，
0.3.由于通道噪聲的干擾，正確地收到被傳輸字符的概率為0.6，收到其他字符的概率為0.2，假定字
符前后是否被歪曲互不影響.若收到的字符為ABCA,則傳輸的字符是AAAA的概率為一，
例27.設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2：1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01.今
有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為一
例28.已知在自然人群中，男性色盲患者出現的概率為7%，女性色盲患者出現的概率為0.5%.今從男女
人數相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，則此人是男性的概率是
220
第25講
條件概率與概率五大公式
一、知識點
1.條件概率定義
一般地，設A,B為兩個隨機事件，且PA>0,我們稱PBA)）=PAE為在事件A發生的條件下，
P(A)
事件B發生的條件概率，簡稱條件概率.特別地，當P(BA)=P(B)時，即A,B相互獨立，則P(AB)
=P(A)P(B)
2.條件概率的性質
設P(A)>0,全樣本空間定義為2，則
(1)P(2A)=1;
(2)如果B與C是兩個互斥事件，則P(BUC)川A)=P(BA)+P(CLA):
(3)設事件A和B互為對立事件，則P(B1A)=1-P(B|A):
3.全概率公式
一般地，設A1,A2,,An是一組兩兩互斥的事件，A1UA2U…UAn=D,且P(A)>0,i=1,2,…,
n則對任意的事件B∈Q,有PB)=2PAPB1A,我們陳上面的公式為全概率公式.
4.貝葉斯公式
設A1,A2,…,A是一組兩兩互斥的享件，AUA2UUAn=2,且P(A)>0,i=1,2,…,n,則對任
意事件BsQ,P國>0，有PA-P西二Pe1,=12.n我
P(B)
∑P(A)P(BIA)
們稱上面的公式為貝葉斯公式
5.概率的五大公式
(1)減法公式：P(A-B)=P(AB)=P(A)-P(AB):
(2)加法公式：P(A+B)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB);
(3)乘法公式：P(AB)=P(BLA)P(A)=P(AB)P(B):
(4)全概率公式：P(B)=∑P(A)P(B1A):
=1
(5)貝葉斯公式：P(A,B)=
P(A)P(BIA)
P(A )P(BIA):
P(B)
P(AP(BIAD)
5.題型歸納
【題型一】概率的加法、減法公式
【題型二】條件概率與乘法公式
【題型三】互斥事件和獨立事件
【題型四】對立事件與獨立事件
【題型五】概率公式的計算
【題型六】古典概型中的條件概率
【題型七】條件概率列表型
【題型八】全概率公式
【題型九】貝葉斯公式
211第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此對于C選項，由題意得：F號，0)，準線方程為心=
由()可得=十=o,故PQ上x軸，選項
2
,
A正確，
十c2
當直線1的斜率為0時，此時，直線與C只有1個
=受，放kae=ki8故DB∥AB,選
交點，不合題意，
項B正確；
故設直線z=號+mw,與y=2pr聯立得：v
根據題意，直線AB的斜率顯然存在，設為k,
-2pmy-p2=0,
則ABy=kc+1,kn=k=受w2k
故y1十y2=2p,y1y2=-p,
則g-其所以OO麗=6
故M(2k,k2),DEy=c-k2,P(2k,-1),
P到直線AB,DE的距離分別為d山=
|22+2
=君-12，
√1+2
2w1+,d=+1=V1+,
解得：p=4,C正確；
V1+k2
對于D選項，設AF=m,BF=n,
.d,=2d山2，故DE是△PAB的中位線，∴.SMAg
過點A作AQ⊥準線于點Q,過點B作BP⊥準
2SAPDE'
線于點P,
且SMADM=SAPDM,SAPDET=SaBE,根據題意可得M
是DE中點，∴.SAPDM=S△PDE
故SAADM=-SAPDM=SAPDE=SABE≠0，選項C錯
誤，D正確；
答案選：ABD
例23.【答案】BC
【解析】由題知，F(1,0),
設直線1為x=my+1,A(1,),B(x,y）,
因為以AB為直徑的圓M經過焦點F,所以AF⊥
BF,
聯立方程怎四+1。
則AB=√m+n2,由拋物線定義可知：
消去x得y2-4mx-4=0,
IMM-IAQI+BPL IAF+IBPI
所以h+y2=4m,y2=-4,
2
2
2
由基本不等式得：m2+n2≥2mm,
由拋物線的定義知1A=+號=+1，B=
則2(m2+n2)≥2mm+m2+m2=(m+n)2,
c2+1,
當且僅當m=n時，等號成立，
因為AC1=AF-1,|BD=|BF-1,
放√m+m≥m+n,即=√m2+n2三
所以|ACBD=(IAF-1)(IBF到-1)=x=
MN mtn
2
絲.=1，故A錯誤：
44
2m+n≥√2，D正確：
又AB|=E十x2+2
m+憶
故答案選：ACD
所以o=t+2=琴+要+2=
4
例22.【答案】ABD
(+y2)2-2h邊+2=4m+4≥4，故B正確：
4
【詳解】設A(1,),B(c2,),則=4,2=42：
又|OAOB到=V+V+5=V+4
由2=4g得y=苦=號，
Vx2+42=Vxix2+4C12(C+2+4):
故在A,B處的切線方程分別為：y一y=
由上述知Gx2=1,1十x9≥2Vx1=2,當1=x2
受@-y-助=受e-2,
1時等號成立，
即有：z0=2(y+),2c2=2(y+2)(*),
所以|OAOB≥5，故C正確：
設P(,o),切線PA,PB均過點P,
又AB·AF列=(+x2+2)(+1)=xi+x+3
則切點弦AB所在直線方程為：c=2(y十0)，
+x2+2,
又AB過點(0,1)，則=一1恒成立，即P在直線y
由上述知C12=1,
=-1上，
所以=1，
1
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