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第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應(yīng)用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當(dāng)=
3
【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng)。
時(shí)滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，lnx<0,此時(shí)
以D錯(cuò)誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項(xiàng)，y=6sin+2sina≥2w9=6,當(dāng)
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因?yàn)?=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當(dāng)6sna=2水z即5n4=號時(shí)取=”，
所以|ab|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=√2時(shí)取等，故
A錯(cuò)誤；
故B正確。
對于C選項(xiàng)，y=3+32-≥2W3=6,當(dāng)且僅當(dāng)3
對于B,因?yàn)?a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時(shí)取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(diǎn)(a,b)到直
對于D選項(xiàng)，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因?yàn)閳A心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當(dāng)且僅當(dāng)V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因?yàn)閍b|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因?yàn)閍2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時(shí)☆+內(nèi)=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯(cuò)誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導(dǎo)2]故選：BC,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時(shí)，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因?yàn)閎≤（告≤(a,be風(fēng)，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時(shí)，c+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，x十y=
2,所以A錯(cuò)誤，B正確：
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時(shí)，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因?yàn)?Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=士1時(shí)取
2,
2
等號，所以C正確：因?yàn)閤2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時(shí)，等號
(e-》+子=1，設(shè)-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應(yīng)用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當(dāng)=
3
【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng)。
時(shí)滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，lnx<0,此時(shí)
以D錯(cuò)誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項(xiàng)，y=6sin+2sina≥2w9=6,當(dāng)
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因?yàn)?=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當(dāng)6sna=2水z即5n4=號時(shí)取=”，
所以|ab|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=√2時(shí)取等，故
A錯(cuò)誤；
故B正確。
對于C選項(xiàng)，y=3+32-≥2W3=6,當(dāng)且僅當(dāng)3
對于B,因?yàn)?a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時(shí)取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(diǎn)(a,b)到直
對于D選項(xiàng)，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因?yàn)閳A心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當(dāng)且僅當(dāng)V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因?yàn)閍b|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因?yàn)閍2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時(shí)☆+內(nèi)=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯(cuò)誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導(dǎo)2]故選：BC,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時(shí)，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因?yàn)閎≤（告≤(a,be風(fēng)，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時(shí)，c+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，x十y=
2,所以A錯(cuò)誤，B正確：
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時(shí)，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因?yàn)?Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=士1時(shí)取
2,
2
等號，所以C正確：因?yàn)閤2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時(shí)，等號
(e-》+子=1，設(shè)-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第01講三種重要不等式及其應(yīng)用
一、知識點(diǎn)
1.均值不等式
(1)二元均值不等式：0ab∈，②2生≥Va瓜，@當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.
(2)三元均值不等式：①ab,c∈R*,②a+b+c≥abc,③當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號成立.
3
(3)重要不等式鏈：①a,b∈R*,②√
Q+ba+b≥√b≥1,1’白a一u0的，等號成立.
2.柯西不等式
(1)二元柯西不等式：①(a2+b)(c2+d)≥(ac+bd)2;②當(dāng)且僅當(dāng)ad-bc=0時(shí)，等號成立.
(2)三元柯西不等式：①(a+a+a)(b+b好+b)≥(ab十a(chǎn)2b2十a(chǎn)b3)2;②當(dāng)且僅當(dāng)a=0(i=1,2,3),或存在實(shí)
數(shù)1，滿足b1=Aa1,b2=1a2,b3=a時(shí)，等號成立.
3.權(quán)方和不等式
①二元權(quán)方和不等式若a,6,>0,則受+a十當(dāng)且僅當(dāng)4三時(shí)，等號成立
+零+小實(shí)a
②多元東方南不等式者a0之m≥0，則+密+十
6,+b++6)0,當(dāng)且僅當(dāng)
a,=:時(shí)，等號成立.
4.題型歸納
【題型一】均值不等式使用及限制條件
【題型二】重要不等式鏈
【題型三】均值不等式求最值（湊和、湊積）
【題型四】均值不等式求最值（放縮成目標(biāo)代數(shù)式）
【題型五】均值不等式求最值（消元與換元）
【題型六】均值不等式求最值（兩次均值）
【題型七】柯西不等式求最值（根號最值、分式最值）
【題型八】權(quán)方和不等式求最值（分式最值）
7
【題型一】均值不等式使用及限制條件
例1.（多選）下列函數(shù)中最小值為6的是（)
Ay=ins+品
B.y=6sinx+
2sincl
C.y=35+32-z
D.y=-
2+25
x2+16
例2.（多選）若x,y滿足x2+2-y=1,則（)
A.x十y≤1
B.x+y≥-2
C.x2+2≤2
D.x2+y≥1
例3.（多選）若a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，則（)
A.lab>2
B.la+l≤2wW2
C.ogl+g
【題型二】重要不等式鏈
例4.（多選）已知a>0,b>0,且a+b=1,則（)
Aa2+b號
B.2大
C.log2a+log2b≥-2D.√a+Vb≤V2
例5.（多選）設(shè)正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列結(jié)論正確的是（)
A日+號有最小值4
B.V5有最小值號
C.√a+W6有最大值√2
D.a2+b有最小值號
例6.（多選)若6=2,6=3，則下列不等關(guān)系正確的有（)
A.Wa+1+vb+1<2
B+6>4
C.a+b>號
D6+茄)>2
【題型三】均值不等式求最值（湊和、湊積）
例7.已知x>0,y>0,且x+y=7,則(1+x)(2+y)的最大值為（)
A.36
B.25
C.16
D.9
例8.已知a>0,b>0,且滿足2a+b=ab,則a+b的最小值為（)
A.2
B.3
C.3+2W2
D.多+
3

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