資源簡介

第24講
排列組合與古典概型綜合
一、知識點
1.分類加法計數原理和分步乘法計數原理
分類加法計數原理
分步乘法計數原理
相同點
用來計算完成一件事的方法種類
分類完成，類類相加
分步完成，步步相乘
不同點
每類方案中的每一種方法都能獨立
每步依次完成才算完成這件事（每步
完成這件事
中的一種方法不能獨立完成這件事)
注意點
類類獨立，不重不漏
步步相依，步驟完整
2.常常見的一些排列問題及其解決方法
直接法
把符合條件的排列數直接列式計算
優先法
優先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素
插空法
排列的空當中
定序問題
對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
除法處理
間接法
正難則反，等價轉化的方法
3.排列與組合恒等式公式：
(1)排列公式：
@Ag=nm-1）(n-2)m-m+）=(n-m11
n!
②A=nAπ-.
③A=mAR-+Ag-1·
④m=n·(n-1)
⑤，n=九+1-1=
n+1
1
1
1
(m+1I(n+1)！=(m+1)!-(n+1!=n-(n+1)!
⑥n·nl=[(m+1)-1]n=(m+1)-n
(2)組合公式：
@Cg=4經=nn-1m-2)…(n-m+1）
2!
Am
m!
m!(n-m)
②CW=Cm-m.
③Cπ+=CW+CW+1.
④C0+C+C2+C++Cn=2"
⑤C+C+1十C+2+C+3十+C=C+1.
⑥kC=nCt-.
4.二項式定理
(1)二項式定a理：(a+b)=Ca+C%an-b++C%a"-rb++C%6(n∈N):
(2)二項式系數：展開式中各項的系數C(r=0,1,2,…,n);
(3)項數：共(n+1)項，是關于a與b的齊次多項式：
(4)通項：展開式中的第r+1項C%a”-b叫做二項式展開式的通項，用T+1=C%a”-b表示
5.二項式定理展開性質：
(1)二項式系數的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數相等，即C=C分，，C=C-1;
(2)二項式系數和：令a=b=1,則二項式系數的和為C9+C+C++C%+…+C=2”;
203
(3)奇數項的二項式系數和=偶數項的二項式系數和：
在二項式定理中，令a=1,b=-1,則C8-C+C-C++(-1)C%=(1-1)”=0,
從而得到：C8+C+C+C陪+=C+C++Cg+1+=受×2=2-
(4)二項式系數的最大項：如果二項式的冪指數”是偶數時，則中間一項的二項式系數C京取得最大
值如果二項式的冪指數n是奇數時，則中間兩項的二項式系數C,c歲同時取得最大值，
(5)系數的最大項：求(a+bx)”展開式中最大的項，一般采用待定系數法。設展開式中各項系數分別
為A,A,“,A+設第r十1項系數最大，應有{A+1之A,從而解出r來
A,+1≥A+2
6.題型歸納
【題型一】相鄰與不相鄰
【題型二】空座位型
【題型三】特殊元素（位置）優先排
【題型四】定序（書架插書）
【題型五】醫護平均分配
【題型六】先分組后排列型（球放盒子）
【題型七】染色型
【題型八】擋板法（相同元素球放盒子）
【題型九】走路口（最短路徑字母化法）
【題型十】機器人與跳棋
【題型十一】上臺階（斐波那契數列型）
【題型十二】父（母）、子配對
【題型十三】二項式定理
【題型一】相鄰與不相鄰
例1.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不
同的站法共有()
A.72種
B.108種
C.36種
D.144種
例2某班班會準備從含甲、乙、丙的7名學生中選取4人發言，要求甲、乙兩人至少有一個發言，且甲、乙
都發言時丙不能發言，則甲、乙兩人都發言且發言順序不相鄰的概率為()
A
B.6
c
3
D.28
204第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此線，
PF 4QF
+5=13,
所以，AB與AB交于原點，(5)正確
4V1Q時PF可
綜上所述，真命題的序號為：(1)(2)(3)(4)(5).
當且僅當|PF|=2QF列時等號成立，故PM+
故答案為：(1)(2)(3)(4)(5)
4到QW的最小值為13
故選：D
例6.【答案】D
【詳解】解：由題意得：F為△ABC的重心。故
例9.【答案】=8x
A=號×a店+Ad=號店+Ad
【詳解】解：設直線AB的傾斜角為銳角0，則直線
設點A,B,C的坐標分別為(1，)，(2，)，(，
CD的傾斜角為9+受
)拋物線y=8x,F為其焦點
由焦半徑公式得：AF=1-cOs0,BF=
.F(2,0).AF=(2-G,-),AB=(2-,-
),AC=(-1,s-h)
1+Cos,ICF=_
p
二
-cos(0+)
1+sin'
:=號（廟+A商2-4=號+w
|D=
p
).x1+x2+rg=6
1+cos(0+)
1-sin6'
·A+B劑+C=+x2十+6=12故選：
∴△ACP的面積為：Sac=AF1CF例=
D
D2
例7.【答案】±2W2
2(1-cos9)(1+sin0)
【詳解】方法一：設直線AB的傾斜角為日，則日∈
D"
2+2sin0-2cos0-2sin0cos
(0°，180).
3
因為線段AB的長是焦半徑AF例長的3倍，所以
(1-2sin0cos)+2(sin0-cos)+1
BF=2AF,故6≠90°，
p
當0E(0,60時，A=1+e1BP=
(sine-cos0)2+2(sin0-cos0)+1
C0s2,則B=1+cos日=2，解得cosB
p
(1+sin0-cos8)2'
AF 1-cos0
同理可得△BDF的面積為：SADF=
3,所以直線AB的斜率為2√2
p
同理可得當0∈(90,180)時，c0s8=-號，所以直
(1-sin+cost=sin0-cos0=
線AB的斜率為-2W2
V2sin(8-)e(-1,1),
綜上，直線AB的斜率為±2v2故答案為：±2W2
則△ACF與△BDF面積之和為：
p
方法二：因為，線段AB的長是焦半徑AF長的
(1+奶+
p-2p(1+t)
3倍，由定比分點比值知
(1-t)2(1-t2)2
A=2,所以0==號-分斜率對
再令x=t+1∈[1,2)，則△ACF與△BDF面積之
c0g9-1=8,k=±2V2
tan'a =
1
和為：
2p2(1+t)2px
2p2
0-2-形
x+生-4
例8.【答案】D
由雙勾函數的單調性可知，當x=1時，△ACF與
【解析】由題設，16=2p×2,則2p=8,故拋物線的
△BDF面積之和取到最小值，
標準方程：y2=8c,則焦點F(2,0),
即2p2=32,由于p>0,得p=4,因此，拋物線的方
由直線PQ過拋物線的焦點，則可+
程為y=8.故答案為：y=8x.
例10【答案】號
圓C2:(x-2)2+y2=1圓心為(2,0)，半徑1，
【詳解】方法一：AB三0gPF=7-cos0
PM+4QN=PF-1+4(QF-1)=PF
p2
+4Qr-5=2P+4Q(南+@)
1
ABA-五=號=號
AB吲
PF 4QF
2p
5=2×
+5≥
sin0
IQF可t
PF
方法二：拋物線y2=一2x的焦點F的坐標為
179

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