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第02講具體函數對稱性和周期性
一、知識點
1.由指對復合得到的常見奇偶性函數(a>0且a≠1)
(1)類雙曲正弦函數：y=a-a為奇函數；
(2)類雙曲余弦函數：y=a十u為偶函數；y=l1oga(a+1)一x為偶函數；
（3淡雙由正切番數9-合-為商爵數y=號為帝語數：
a2-1
(4)類雙曲正弦反函數：y=log(Vx2+1+x)為奇函數，y=log(W+1-)為奇函數；
(5)類雙曲正切反函數：y=10g8十為奇函數，y=1og名牛岳為奇函數為奇函數
2.周期性：對于任意的x有f()=f(x+T),則函數周期為T
(1)f(a+x)=f(b+x),T=6-a;
(2)f(a+x)=-f(b+x),T=2b-al:
③fa+=+高7=21a:
(④fa+)
1-fT=4lel:
1+f(x)
注意：以上結論c換成，結論發生改變，周期會變成原來的
3.題型歸納
【題型一】函數的奇偶性
【題型二】奇函數+M模型問題
【題型三】兩個函數的對稱性交點問題
【題型四】利用函數對稱性和單調性解不等式
【題型五】周期性
【題型六】類周期函數及應用
【題型七】函數對稱性研究
9
【題型一】函數的奇偶性
例1.若函數f(x)=1m(V+2a-)為偶函數，則a=（)
A.是
B號
C.1
D.2
例2若fa創=n0+22+b是奇函數，則a=一b=一
例3.若f(x)=ln(e+1)+ac是偶函數，則a=一：
例4.設函數f(x)=n2x+1-ln2x-1,則f(x)（)
A是偶函數，且在(，+∞)單調遞增
B.
是奇函數，且在（←號，）單調遞減
C.是偶函數，且在(-0，-)單調遞增
D.是奇函數，且在(-∞，-)單調遞減
【題型二】奇函數+M模型問題
例5.西數@=+開1的最大值為M,最小值為N,則M+N=（）
A.3
B.4
C.6
D.與m值有關
10
例6.已知函數f()=(x2-2x)sin(x-1)+x+1在區間[-1,3]的最大值為M,最小值為m,則M+m=
()
A.4
B.2
C.1
D.0
例7.函數f=lh+號+-2asin(c-1)+2x+a在0.2]上的最大值與最小值的和為8，則a的值為
()
A.-2
B.2
C.4
D.6
例8.已知函數f)=h(紅+1+)+子+4在[-8,8]上的最大值和最小值分別為M、m,則M+m=
()
A.8
B.6
C.4
D.2
例9.函數f)=②+1)+x2
一在[-2019,0)U(0,2019]上的最大值為M,最小值為N,則M+N=（)
x·2r
A.4038
B.4
C.2
D.0
例10.已知函數f(a=(2-2x)sin(c-1)+c二1在[-1,1U(1,3】上的最大值為M,最小值為N,則M+N=
()
A.1
B.2
○.3
D.4
11第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第02講
具體函數對稱性和周
當x∈(-o0,-2)時，f()=1n(-2x-1)-
期性
m1-2a）=lh3z+=1n(1+2n2）
例1.【答案B
:1=1+2z2在(-0，號）上單調遞減，f四
【解析】易得定義域為R,因為函數f(x)=x3
=ln4在定義域內單調遞增，
ln(x+2a-x)為偶函數，且y=x3為奇函數，故
根據復合函數單調性可知：f(@)在（一0，-號）上
g(x)=ln(√x2+2a-c)為奇函數.
單調遞減，D正確.
故g(-x)+g(x)=0,即1n(V(-x)2+2a+x)+
故選：D
ln(x2+2a-x)=0,ln(x2+2a-x=0,即2a=
例5.【答案】C
1,解得a=
【解折由慰意可知，)=片十開1=3-
mx
故選：B
例2.【答案】-子：ln4
3d+田+
mT
e+1
【解折】因為fe)=1m0+2己+6是奇函數，所
設g(x)=一
+眉器則四的定文減
e+1
以其定義域關于原點對稱，
為(-0，十∞)，
由a+2。≠0可得，2-2a+1-am)0,
所以g(-x)=-
3(e-1)
m(-e)
e +1
|-x+1
所以=20.1=-2，解得a=子，
3(e-1
mt
a
e+1
2+面=-96，
所以函數的定義域為(-0，-2)U(-2,2)U(2,
所以9(x)為奇函數，
+0),
所以g(x)max十g(x)min=0,
因為f(x)在x=0處有定義，即f0)=0,
所以f(x)ma+f(x)mn=M+N=g(e)ma十3+g(c)
所以1n子+b=0,解得6=n4.
min十3=6，
創3.【答案】0=-號
故選：C
例6.【答案】A
【解析】因為f(x)=ln(ez+l)+ac是偶函數，則
【解析】設t=x-1,則f(x)=(x2-2x)sin(x-1)+
f"(0)=0.
x+1=(t2-1)sint+t+2,t∈[-2,2]，記g(t)=
+1+a,因此f'(0)=3e
故f”()=3e
e3=+1
十a=
(t2-1)simt+t+2,則函數y=g(t)-2=(t2-1)
號+a=0,故a=-是
sint+t是奇函數，由己知y=g(t)一2的最大值為
M-2,最小值為m-2,所以M-2+(m-2)=0,
例4.【答案】D
即M+m=4,故選A.
【解析】由f()=ln2c+1-ln2c-1得f(x)定
例7.【答案B
義域為{中≠士}，關于坐標原點對稱，
【解折】因為f(e)=n+號+(e2-2)sin(e-1)
f(-x)In|1-2x In-2x-1|=In/2x-1-
+2x+a,
1n2ac+1=-f(x),
f(c)為定義域上的奇函數，可排除AC;
所以fe+1)=n2年號+(e-10ine+2x+2+
當xe(-2號)時，f()=n(2x+)-
令g()=f(c+1)-2-a=n2-0
x+2
+
1n(1-2x),
:y=n(2m+)在(-號)上單調遞增，y=
(x2-1)sinc+2x,
因為f(x)的定義域為[0,2]，
ln(1-2)在(-分）上單調遞減，
令x+1∈[0,2]，得：x∈[-1,1]，
“f)在（分）上單調遞增，排除B,
故g(x)的定義域為[-1,1]，關于原點對稱，

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