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第03講
抽象函數的對稱性和周期性
一、知識點
1.一個函數自身對稱性一一中心對稱
(1)若f()為奇函數，則f(x)函數圖象關于(0,0)對稱，則有f(x十a)=一f(一x一a);
(2)若f(x+a)為奇函數，則f(x)函數圖象關于(a,0)對稱，則f(x+a)=一f(-x+a);
(3)若f(x+a)=一f(-x-a),則f(x)函數圖象關于(0,0)對稱，則有f(x)為奇函數；
(4)若f(x+a)=-f(-x+a),則f(x)函數圖象關于(a,0)對稱，則有f(x+a)為奇函數：
(5)若fe+@)+f(-x+)=c,則f()函數圖象關于（色士，）對稱：
(6)若fe+d+(-x+b)=c,則fa)函數圖象x=士色軸對稱：
注意：以上結論換成c,依舊成立.記憶方式：自身對稱取中點，
2.一個函數自身對稱性一一軸對稱
(1)若f(x)為偶函數，則f(x)函數圖象關于x=0軸對稱，則有f(工+a)=f(-x-a);
(2)若f(x+a)=f(-x一a),則f(x)函數圖象關于x=0軸對稱，則有f()為偶函數；
(3)若f(x+a)為偶函數，則f(x)函數圖象關于x=a軸對稱，則有f(x十a)=f(-c十a):
(4)若f(x+a)=f(-x+a),則f(x)函數圖象關于x=a軸對稱，則有f(x+a)為偶函數：
(5)若f(c+a)=f(-x+b),則f(x)函數圖象關于r=十b軸對稱；
2
(6若fc+a)=f(-+創，則f)函數圖象（巴士，0）對稱：
注意：以上結論x換成c,依舊成立.記憶方式：自身對稱取中點。
3.函數周期性
(1)兩線對稱型：f(a+)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x),T=2b-al；
(2)兩點對稱型：f(a十x)+f(a-x)=0,f(b+x)+f(b-x)=0,T=2b-al;
(3)一點一線對稱型：f(a+)=f(a-x),f(b+x)+f(b-x)=0,T=4b-a:
注意：以上結論x換成ωw,依舊成立.記憶方式：兩次對稱必周期：
4.兩個函數相互對稱性一一中心對稱
(1)函數y=fz+)與y=-f6-)圖像關于(2,0）中心對稱：
(2)函數y=f代e+)與y=c-fb-)圖像關于（色22，號）中心對稱：
注意：以上結論①換成ωc,結論發生改變，記憶方式：相互對稱取相等
5.兩個函數相互對稱性—一軸對稱
（1)函數y=e+a)與y=f0-d)圖像關于c=b22軸對稱：
注意：以上結論x換成ωc,結論發生改變，記憶方式：相互對稱取相等，
6.題型歸納
【題型一】抽象函數
【題型二】一個函數兩次對稱引發的周期性
【題型三】兩個函數兩次對稱引發的周期性
【題型四】一個函數（含輔助函數導函數）兩次對稱引發的周期性
【題型五】兩個函數的相互對稱性
>第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此≤1，當且僅當x=合時，f()=1故A正確；
正確.
故選：ABC.
B:lf(e≤4等價于Isinzl≤43-+，
例28.【答案】ABD
設g(x)=E-sinx,x∈[0，+o),g(x)=1-cosx
≥0，
【解折】A:當太=0時，f回=去，則f)=
所以函數g(x)=x-sinx在x∈[0，+oo)時單調遞
一e-2=-e+2<0,所以f(紅)是R上的減函
增，
e2
e2
因此有g(x)≥g(0)=0-sin0=0,即x≥sinc,x
數，故A正確；
∈[0，+∞)，
B:當k=1時，fc)=出，令e=t>0,則
e2z+1
而設函數h(x)=lx-sin,h(-x)=-x-
y
sin(-z)=x-sinx =h(x),
=6+12+0+2
t+1
2+1
所以h(x)=lz一sinc是實數集上的偶函數，因
1
1
2
此有x≥sinx,
t+1)-2+子
2√(t+1)·t+1-2
即d≥sina,4l女2-e+≥4a×1=
1
2+1,當且僅當t=反-1時，取得
2w2-22
4,fcl≤l
-+
≤π≤4x,故B正確；
最大值，所以f)的最大值為1+2，故B正確，
2
C:因為f(合+)-f(號-)
c:f'回=-eet2e-1,令f'回=
(e2m+)2
sinx(分+)
sinx(分-)
-e(e+2e-=0,即e2r+2e-k=0,所以e“
(e2+)2
(合+x-)+1
(分--)+1
+2e=k,令h(x)=e2z+2e,則h(x)=2e2m+2e>
C0SπC-C0SπE=0,
0,所以h(x)在R上單調遞增，而x→-∞時，h(x)
x2+1
→0，x→+o時，h(x)→+o,所以k∈(0，+o)時，
所以曲線y=f()關于直線0=對稱，故C正
e24+2e2-k=0有一個根，故f(x)有1個極值點，
確；
∈(-o,0]時，e2+2e-k=0無解，故f(x)無極值
D:設曲線y=f(x)存在對稱點，設為(a,b),則有
點，故f(x)不可能有2個極值點，故C錯誤；
f(a+x)+f(a-x)=2b,
當x=0時，則有2f(a)=2b→f(a)=b,
D:若=-1則f=號=六取a=00
當x=a時，則有f2a)=2b→2f(a)=f(2a),
=分則9d=。六+合*0,9(-到+ga)=
即
sin2ax
=2sinaπ
(2a)2-2a+
5
a2-a+是
0,為奇函數，當≠一1時，由C結合函數的圖象、
單調性可得不存在實數a,b,使得g(x)=f(c十a)
2sinazcosar=2.sinar
-a+星
+b為奇函數，故D正確.故選：ABD.(此題D選項
(2ajP-2a+是
答案有誤，參照視頻)
因此有sinan=0,所以a為整數，b=f(a)=
例29.【答案】A
sinan
=0,
2-a+
【詳解】等差數列{an}的公差為2020，設d=2020.
函數f(x)=x-cosc,且fa1)+f(a2）+…+f(a2020
令x=號，fa+)+fa-)=0,
)=1010π，
則(a1十a2十…十a2020)+
而fa+》+fa-》=
sinr(a)
(a+-)}2+1
(c0sa1+C0s+…+c0sa2020）=1010π，
即1010(a1十a2020)+(cosa1十c0sa2++c0sa2020)
sinn(a-)
=1010元，①
(a--+1
a2+1
(a-1)2+1
對1≤i≤1010，i∈Z,由余弦的和角與差角公式化
簡可得
顯然f(a+)+(a-)=0不恒成立，故D不
cosai+coSa2021-i
F

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