資源簡介

第04講
冪指對函數性質比較大小
一、知識點
1.指數冪運算性質：
(1)a'a3=a+3
(2)a'b=(ab)
(3)(a)=a9=(a);
2.對數的運算性質：
(1)l0g.(M.N)=log.M+log.N:(2)1og,M=alog.M:(3)logN=logN
logab
3.糖水不等式
1)直分數不等式：若00,則號<號+：
(2)一個重要的結論：
①對于正數a,b,c,d,bc≥ad,且a>c>d>1,則log b>logd:
②1og32<1og3<1ogs5<0g138;
4.指、對、冪大小比較的常用方法：
(1)底數相同，指數不同時，如a和a,利用指數函數y=a的單調性：
(2)指數相同，底數不同，如和利用冪函數y=x單調性比較大小；
(3)底數相同，真數不同，如logaT和logat2利用指數函數logx單調性比較大小；
(4)底數、指數、真數都不同，尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關
系的判定
5.題型歸納
【題型一】冪指對函數圖像與性質
【題型二】利用函數圖像交點比較大小
【題型三】0以及1分界型比較大小
【題型四】非特殊數為中間值比較大小
【題型五】利用均值不等式比較大小
【題型六】底為勾股數的比較大小
【題型7】冪指對同構
25
【題型一】冪指對函數圖像與性質
例1.(1)若a>b>0,0A.logacB.logaC.aD.cc
例2.（多選）若a>b>1,0A.amom
B.mC.logmaD.logm例3.（寶選）若6>c>昌，號A.blogaB.bcC.ba>ca
D.loga例4.已知a=1og63,b=1og4,c=1og105,則().
A.bB.cC.aD.a【題型二利用函數圖像交點比較大小
例5.已知正實數a,b,c滿足e+e2“=e+ec,b=log23+log86,c+log2c=2,則a,b,c的大小關系為
()
A.aB.aC.cD,c26
例6.已知x∈（合l)a=ln,6=(nxR,c=1nx則a,b,c的大小關系是（）
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.a>c>b
例7.若正實數a,b,c滿足a+2a=2,b+3=3,c+log4c=4,則正實數a,b,c之間的大小關系為()
A.bB.aC.aD.b例8.已知，購滿足（號）=1og4,(2)=1og9,(兮)產=1og則4，%，的大小關系為（）
A.T<B.2<C.1<<
D.2【題型三】0以及1分界型比較大小
例9.設a=1og,b=log2,c=4時，則a,b,c大小關系為（)
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.b>a>c
例10.設a=0.601,b=0.36,c=1og寫則a,b,c的大小關系為()
A.aB.bC.cD.c27第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此-g(-x)=-g(x),
f(x)=g(3一x)一2，是由(x)的圖像移動變化而
∴g(c)=g(-x),∴g(x)為偶函數，圖象關于y軸
來，故f(x)周期也為4，
對稱，
因為g(1)=-g(3),g(2)=g(4)=0,
.g'(+8)=-g'(-(c+4)=-g'(x+4)=
所以f(2)=g(1)-2,f(4)=g(-1)-2=g(-1+
-[-g(-x)]=g（(-)=g(c),
4)-2=g(3)-2,
g(x)是周期為8的周期函數，
所以f(2)+f(4)=g(1)-2+g(3)-2=-4,故B
g(8-x)=g(x-8)=g(x),C正確；
錯誤；
f(x)+g(x)=5,f(-2)+g(-2)=5,又g
f(c)=g(3-x)-2,fx)周期為4，f(1)=g(2)-
(-2)=g(2)=0,
2=-2,f(2)=g1)-2,f(3)=g(0)-2=-2,f(4)
∴.f(-2)=5,A正確；
=g(-1)-2=g(-1+4)-2=g(3)-2
令h(x)=g(x),則h(c+8)=h(x),∴.h'(x+8)
2023
故)f(k)=f(1)+f(2)+…+f(2023)=505×(
=h'(x),
又h(x)=5-f(x),h(c+8)=5-f(x+8),.-f
-8)+f(1)+f2)+f(3)=-4046+g(1),
由于g(1)的值未知，g(1)不一定為0，所以無法判
(x+8)=-f(x),
202
即f(x+8)=f(c),D正確；
斷∑f()的值為-4046，
=1
g(x+4)=-g(x),.g(x+4)+g(x)=0,
故D錯誤；
設F(c)=g(x+4)+g(x),則F(x)=g(x+4)+
故選：AC.
g(x)=0,.F(x)=C(C∈R),
又g(x)為奇函數，.F(-2)=g(2)+g(-2)=0,
例21.【答案】AC
∴.F(c)=0,
【解析】因為g(x+1)為奇函數，所以g(x+1)=
即g(c十4)=一9(x),B錯誤.
-g(-x+1),取x=0可得g(1)=0,A對，
故選：ACD,
因為f(x+2)-g(1-x)=2,所以f'(x+2)+g
(1-①)=0：
例20.【答案】AC
所以f(x)+g(3-x)=0,又f'(x)=g(x+1),9
【解析】因為f'()=g(x-1),則f(c)+a=g(c一
(x+1)+g(3-x)=0,
1)+b,
故g(2+)+g(2一x)=0,所以函數g(c)的圖象
因為g(x)-f(3-x)=2,所以g(c)=f(3-x)+2,
關于點(2,0)對稱，B錯，
用3-x去替x,所以有(x)=g(3-x)-2,所以
因為f(x)=g(x+1),所以[f(x)-g(+1)]'=0,
有g(3-x)-2+a=g(x-1)+b,
所以f(x)一9(x+1)=c,c為常數，
取=2代入得到g(1)-2+a=g(1)+b則a-
因為f(x+2)-g(1-x)=2,所以f(x)一
2=b,
g(3-)=2,
故g(3-x)=g(x-1),用+1換x,可得g(2-x)
所以g(x+1)-g(3-x)=2-c,取x=1可得c
=g(x),函數g(x)的圖象關于x=1對稱，故A正
=2,所以g(x+1)=g(3-x),
確；
g(c+2)在R上為奇函數，則g(x+2)過(0,0)，圖
又g(x+1)=-g(-x+1),所以9(3-x)=
像向右移動兩個單位得到9()過(2,0)，故g(x)圖
-g(-x+1),所以g(x)=-g(x-2),
像關于(2,0)對稱，g(2)=0;g(x+2)=-g(-x+
所以g(工十4)=-g(x+2)=g(x),故函數g()為
2),而g(2-c)=(),所以有g(x+2)=一g(x),則
周期為4的函數，
g(c)的周期T=4;
因為g(x+2)=-9(),所以g(3)=-g(1)=0,
又因為g(c)圖像關于(2,0)對稱，g(2)=0;函數
9(4)=-g(2),
9(x)的圖象關于x=1對稱，故
所以g(1)+g(2)+9(3)+g(4)=0,
2022
g(1)=-g(3),g(2)=g(4)=0,
所以∑9()=[g1)+9(2)+93)+g(4)]+
k=1
29網=9()+92)+…+9(2023)=9⑩+9(2
[g(5)+g(6)+g(7)+g(8)]
+g(3)=0,故C正確，
++[g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)]+
21

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