資源簡介

第05講
函數不等式構造比較大小
一、知識點
1.構造f()=n巫比較大小
此函數定義域為(0，+∞)，求導f(m)=1-n工，當x∈(0，e)時，f()>0,故f(）)為增函數，當x∈(e,+∞)
2
時，f(<0,故fa為減函數，當=e時，f)取得極大值為f(e)=日，且f④==22-號=
4
2
(2),此結論經常用來把函數轉化到同一邊進行比較
2.利用常見不等式比較大小
（1)常見的指數放縮：①e產+1，@e>e國當≤0時，e≤己元④當≤0時，6≤號：
②常見的對簧流組：01-臺n5-②≤專⑧當a1時，2Gn6號-》。
(3)常見三角函數的放縮：x∈(0，受)，sinr3.題型歸納
【題型一】構造f()=n立比較大小
【題型二】構造函數利用單調性比較大小
【題型三】指對不等式比較大小
【題型四】三角不等式比較大小
【題型五】基于無窮小變量構造不等式比較大小
【題型六】條件等式構造比較大小
33
【題型一】構造f()=正比較大小
1若a=豎，b=g,c=羅則()
A.aB.cC.cD.b例2.設x,y,z為正數，且2=3=5，則（)
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3則<5z<2x
D.3y<2x<5z
例3.設a=44,6=受c=合則()
e2
A.aB.aC.bD.b例4.下列命題為真命題的個數是（)
①1n34W2.
A.1
B.2
0.3
D,4
34
【題型二】構造函數利用單調性比較大小
例5.已知a=看b=2e=青6（其中e為自然常數，則ac的大小關系為(）
A.aB..bC.cD.c例6，設a=號e,8=號-ln2,e=g,則abe的大小關系是()
A.bB.cC.bD.a【題型三】指對不等式比較大小
例7.已知a=e,b=1+1,c=V11,則()
2
A.a>b>c
B.c>6>a
C.6>a>c
D.a>c>b
例8設a=品4b=ln1.04,c=e-1,則下列關系正確的是（)
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.c>b>a
35
例9.己知a=0.16,b=e.4-1,c=0.8-2ln1.4,則a,b,c的大小關系為（）
A.a>c>b
B.a>b>c
C.b>a>c
D.c>b>a
例10.若a=e2,b=1.2,c=ln3.2,則a,b,c的大小關系為（)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.c>b>a
例1.已知a=2e,b=e,c=品試比較a,6e的大小關系為(）
A.b>c>a
B.b>a>c
C.c>a>b
D.c>6>a
例12.已知a=0.2e1,b=2n1.1,c=0.19,則a,b,c的大小關系正確的是（)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
36第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此當6>1時，可得（號）°+（號）'<1,2+3*<5的，兩
5,兩邊同取以5為底的對數得
邊同取以5為底的對數得
a=logs(2+3)>1og5=b,對2+3>5°通過移
a=l0g5(2+3)<1og5=b,對2+3<5通過移
項得5-2<3，
項得5-2>3，
兩邊同取以3為底的對數得c=log(5-2)兩邊同取以3為底的對數得c=1og(5-2)>b,
所以c-a,所以c-b>c-a,
所以c>b>a,所以-b<-a,所以c-b且c-b<0,c-a<0,
故0b-cl,
且c-b>0,c-a>0,
故此時，a-c>lb-c,故C,D選項錯誤，
下面嚴格證明當0b=2時，a=log513,c=log321,c-b=log321-
當02=1og號∈（分），
=1,且其在R上單調遞減，可知
6-a=2-1og13=1og2第∈(0,2》e-b>b
(號)》°+（號）°1，則6-a=1og
-a,且c-b>0,c-a>0,故A錯誤，
0,則0<
下面嚴格證明當b>1時，0(號+(
下1，
5
=b-1ogs(2+3)=1og5（2+3)=1og5
根據函數函數()=（停）-（號）廣在R上單調遞
增，且h(1)=1,
(號+(g
則當0<<1時，0<(？廣-（號<1，
c-b=1ogs(50-2-b=1og[(號)°-（號）]
下面證明g之之0<功，
根據函數h()=(號)》F-(號)廣在R上單調遞增，
且h(1)=1,
要證7>
35
則當b>1時，有1<(3°-（號）°，
即證：15>(2+3)(5-2)，等價于證4+6>10，
:0<(號+(g<11g*
即證：（號）°+（停）八1，此式已證明。
對>“子左邊同除分子分母同除，右
下面證明<6>1
3
邊分子分母同除3°得
要證<
停*(>（得驢-(
即證：15<(2+3)(5-2，等價于證明4°+6<
10°，
則c-b=1og[(停)°-（號）]<1og[(停)°-（號）門
即證：（號廣+（停°<1，此式開頭已證明，
(》+(
<0
對<，左邊同除分于分母同感，右
故0邊分子分母同除3°得
16-cl
(號°+（號
<(停-(
當b=1時，a=logs5=1,c=1og33=1,則|a-c
=b-c,a-bl=b-cl,
綜上la-c≥lb-c,la-bl≤lb-c,
則0(層P+(嚴
log s
故選：B.
[()°-（號門例26.【答案】D
【解析】，lnc=alnb,lna=blnc且a、b、c均為不
故當b>1時，0等于1的正實數，
8-cl
則lnc與lnb同號，lnc與lna同號，從而lna、
當01,2+3>
lnb、lnc同號，

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