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第06講 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)思想及應(yīng)用--2024屆高三高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(PDF版,含答案)

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  1. 二一教育資源

第06講 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)思想及應(yīng)用--2024屆高三高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(PDF版,含答案)

資源簡介

第06講
導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)思想及應(yīng)用
一、知識點(diǎn)
1.常見的同構(gòu)函數(shù)圖像
八大同構(gòu)函數(shù)分別是:y=e,y=
是y=號y=la,gy=品2y=l2,y=e--1,y=x-ax
1我們通過基本的求導(dǎo)來看看這六大同構(gòu)函數(shù)的圖像,再分析單調(diào)區(qū)間及極值,以及它們之間的本質(zhì)聯(lián)系.
圖1
圖2
圖3
圖4
yx-l-ne
圖5
圖6
圖7
圖8
2.常見同構(gòu)方法
(1)ce*=e*tint;x+Inc=In(xe)
(2)e=e*-loz:-Inc=Ine
(3)x2e"=ext2Ins;+2lnc=In(2e")
=o-2ns o*
(4)e
’x2se2ar
3.題型歸納
【題型一】利用同構(gòu)解決等式問題
【題型二】利用同構(gòu)比較大小
【題型三】利用同構(gòu)求函數(shù)最值
【題型四】利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題
【題型五】利用同構(gòu)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題
41
【題型一】利用同構(gòu)解決等式問題
例1.在數(shù)學(xué)中,我們把僅有變量不同,而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式,相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程,相應(yīng)
的不等式稱為同構(gòu)不等式、若關(guān)于a的方程ae=e和關(guān)于b的方程b(1nb-2)=ea-(a,b,A∈R)可化為同
構(gòu)方程,則λ=
In(ab)=
例2.已知xg滿足2-e,lny=
-+2(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),則x2y=()
A.e
B.e3
C.e2
D.e
例3.已知ab∈R,ae+lna=0,bln(6+lnb-)=1,則()
A.abB.abC.bD.e=b【題型二】利用同構(gòu)比較大小
例4.已知a>1,b>1,則下列關(guān)系式不可能成立的是()
A.e1na≤ab
B.elna≥ab
C.ae≥blna
D.ae≤blna
例5.已知a,b,c∈(e,十o),a>c,clnbA.eatcinb>etclna>eatoInc
B.eatinc>eatcInb>etcIna
C.eatoInb>etInc>eIna
D.etcina>eatolnc>eatcinb
例6.己知e為自然對數(shù)的底數(shù),a,b均為大于1的實數(shù),若ae*1+bA.bB.6>e+
C.abD.ab>e
例7.已知正數(shù)a,b滿足等式a2-b=2(2lnb-lna),則下列不等式中可能成立的有()
A.a>b>號
B.C.a>b>1
D.b例8.若x,y∈(0,十∞),+lnx=e'+siny,則()
A.In(x-y)<0
B.In(y-c)>0
C.tD.y43第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應(yīng)用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉))∈[號,2],所以當(dāng)=
3
【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”,逐一驗證可得選項。
時滿足等式,但是x2+y2>1不成立,所
3
【解析】對于A選項,當(dāng)x∈(0,1)時,lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選:BC
對于B選項,y=6sin+2sina≥2w9=6,當(dāng)
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當(dāng)6sna=2水z即5n4=號時取=”,
所以|ab|≤2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=√2時取等,故
A錯誤;
故B正確。
對于C選項,y=3+32-≥2W3=6,當(dāng)且僅當(dāng)3
對于B,因為1a+l≤22,即la+bl≤2,
√2
=32,即c=1時取“=”,故C正確,
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(diǎn)(a,b)到直
對于D選項,y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2,
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上,半徑為2,故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立,故B正確;
當(dāng)且僅當(dāng)V+16=9云,即2=-7無解,故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2,所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確;
故選:BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0,令
例2.【答案】BC
a=b=反,此時☆+內(nèi)=>1,
【解析】方法1:(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3(巴),解得-2≤+y<2,
故選:BC
另一方面,2+-1=y≤女,解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2,解得-3≤y≤1,所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導(dǎo)2]故選:BC,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時,等號成立,故A正確,
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2:因為b≤(告≤(a,be風(fēng),由
21
故B正確;
x2+y2-y=1可變形為,(c+y)2-1=3y≤
3(色告,解得-2≤+y≤2,當(dāng)且僅當(dāng)=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時,c+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時,x十y=
2,所以A錯誤,B正確:
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時,等號成立,故C不正確:
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=士1時取
2,
2
等號,所以C正確:因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時,等號
(e-》+子=1,設(shè)-號=os9,9y
成立,故D正確;故選:ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此例29.【答案】AD
若f(a)=f(b)=2.86,則1【解析】A.:e=
e
a+1=6+1=1.01>0÷a>
F(x)=f(x)-f(2e-x),1-1b>-1令f創(chuàng)=年e>-
則F'(m=n1+血②e--1=
In'x
In2(2e-x)
則了四產(chǎn)所以陽在10單商速
Ing.In2(2e-z)+In'c.In(2e-x)-In'-In2(2e-x)
In2c.In2(2e-x)
減,在(0,+o)上單調(diào)遞增,
且f(0)=0,故a>0,-1Incln(2e-c)[ln(2e-x)+Inz]-In'g-ln2(2e-x)
h(x)=lnf (x)-lnf (-x)=2x-In(x+1)+
In2z.In2(2e-x)
ln(-x+1),c∈(-1,1)
則)=2-++-+=2-2<0,
Inzln(2e-x).In(-22+2ex)-In'z-In2(2e-z)
ln2x·ln2(2e-x)
所以h(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,且h(0)=0
,當(dāng)x∈(1,e)時,-x2+2ex,b∈(-1,0).1nf(b)-lnf(-b)>0.f(b)
.Inxln (2e-z).In (-z2+2ex)-In 2x-In2
>f(-b)∴.f(a)>f(-b)
(2e-x)<2Inzln(2e-z)-In'x-In2(2e-x)=
.a>-b即a+b>0故選項A正確
-[lnc-In(2e-z)]2,
B.(1-c)e=(1-d)e=0.99>0∴c<1,d
.F(x)<0在(1,e)上恒成立,.F()在(1,e)上
<1令g(x)=(1-x)e(x<1)
單調(diào)遞減,.F(x)>F(e)=0,
則g(x)=-xe,所以g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞增,
即f()>f(2e-x),又1
在(0,1)上單調(diào)遞減,
f(2e-a),
且g(0)=1,故0f(a)=f(b),.f(b)>f(2e-a),
m(x)=Ing(c)-Ing(-z)=2x-In(x+1)+
b>e,2e-a>e,f(x)在(e,十o)上單調(diào)遞增,
ln(-x+1)=h(x),x∈(-1,1)
∴b>2e-a,即a+b>2e,A錯誤;
所以m(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,且m(0)=0
~g(a)=1nx+1,∴當(dāng)xe(0,是)時,g()<0:
,c∈(0,1).lng(c)-lng(-c)>0∴g(c)>
g(-c).g(d)>g(-c)
當(dāng)x∈(合+∞)時,g(m)>0:
∴.d<-c即c+d<0故選項B錯誤
:g(a)在(0,)上單調(diào)遞減,在(合+∞)上單調(diào)
c=或(w=a=盟>
遞增,且9(=9(合)=-名:
0.99,a∈(-1,0)
.g(-a)>g(d)又:g(z)在(-o,0)單調(diào)遞增
由clnc=dlnd=-0.35得:0.-a>da+d<0
設(shè)G)=9a)-9(g-,0故選項C錯誤
則C'()=x+1+n(層-)+1=
D.由C可知,g(-b)>g(c),-b∈(0,1)又
9()在(0,1)單調(diào)遞減.-b>c
n(2x-x)+2:
故選項D正確
當(dāng)0<<6時,-+名 ∈(0)G(a)<
1
故選:AD
0,
例30.【答案】BCD
G(a)在(0,合)上單調(diào)遞減,G()>c(合)
【解析】令f)=n(e>1),9e)=h,
f'()=1n-1,當(dāng)xe(1,e)時,f()<0:
=0,即ge)>g號-,
In'x
當(dāng)x∈(e,+o)時,f'(x)>0:
又0g(2-c),又go)=
∴f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,在(e,+o)上單調(diào)遞
gd,∴g④>g(2-c,
增,且f()mn=f(e)=i
d>日,名-e>日9g回)在(日,+四)上單調(diào)遞

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