資源簡介

第08講
三角函數圖像與性質綜合
一、知識點
1.正弦函數的圖像：正弦函數五點法作圖：五個點(0,0)，（受，1），(x,0),(紅，0)，(2x,0),
2.正弦函數的性質
(1)定義域：x∈R
(2)值域：ye[-1,1]
(3)解析式：y=sinx
(④)單調性：單增區間：[-受+2，號+2]，(ke2D:單減區間：[受+2，受+2]，(ke2).
(5)奇偶性：奇函數
(6)周期性：T=2π（最小正周期）
(7)對稱軸：x=標+受(ke2刀
(8)對稱中心：(k元，0)(k∈Z)
3.余弦函數的性質
(1)定義域：x∈R
(2)值域：ye[-1,1]
(3)解析式：y=Cosx
(4)單調性：單增區間：[-π+2kx,2x],(k∈Z);單減區間：[2r,元+2kπ]，(k∈Z)
(5)奇偶性：偶函數
(6)周期性：T=2π（最小正周期）
(7)對稱軸：x=kr(k∈Z)
(8)對稱中心：(m+號，0)(keZ)
4.正切函數的性質
(1)定義域：{lr≠受+(ke2)
(2)值域：y∈R
(3)解析式y=tanx
(4)單調性：單增區間：(-+號+k標)，(k∈Z):單減區間：無
(5)奇偶性：奇函數
(6)周期性：T=π（最小正周期)
(7)對稱軸：無
(8)對稱中心：（停，0）k∈2)
5,題型歸納
【題型一】三角函數解析式
【題型二】三角函數圖像平移
【題型三】三角函數圖像與性質
【題型四】三角函數的綜合
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【題型一】三角函數解析式
例1.（多選）已知函數f(x)=Asin(ax+p)(A>0,w>0,-π法正確的是（)
2π
A.9
B.f)≤f(-)）
C.f(a)在[x,5]上單調遞增
D.f(x)在[0,2r]上有且僅有四個零點
例2.（多選）已知函數f(a)=2sin(wx+)(o>0,0號則()
3
A.函數y=f(x)在[2,4]上單調遞減
B.函數y=f(x)在[3,6]上的值域為[-1,1]
C.coo]=
D.曲線y=f(x)在=-1處的切線斜率為√
58
例3.（多選）已知函數f(c)=asinwr+cosc(a>0,w>0)的部分圖象如圖所示，其中|BC=2,且
△ABC的面積為2，則下列函數值恰好等于a的是()
B
A.f(號)
B.f()
C.f(1)
D.f(2)
例4.（多選)己知函數f(x)=sin(oz+p)(ω>0,0元一3
6
A.0=
3
B.f()在區間[-，-受]上單調遞增
C,將函數y=c0sx圖象上各點橫坐標變為原來的號（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移否
個單位長度，可得函數f(a)的圖象
D.函數y=4f(c)+√2x+S的零點個數為7
59第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此=奇等+n+1,整理得o-如24
工1
同時，存在C(,in）,,∈[2r,受)和D(,e
若總存在兩條不同的直線與函數y=f(x),y=
),x∈(-0,0)使得k=COST3-=e,且e≠e;
go)圖象均相切，則方程a2=如+4有兩個不
所以，直線CD即為異于直線AB的第二條曲線的
的
公切線；
同的實根，
綜上可知，直線1的條數有2條故選：B.
設h(x)=nx+4
x>味
例17.【答案】ABC
y=
0,則h’()=
【解析】如圖，因為y=ae與y=lnc-lna互為反
4·x-(4lnx+4)
1
函數，
x2
0
故兩函數的圖象關于直線y=x對稱，則l1,2關于
e
-4ln心，令h(x)=0得
y=x對稱，
x=1,
故a+B=受，sina=sin(受-B）=cosB,故A正
當x∈(0,1)時，h'(c)>0,h()單調遞增，x∈
確；
(1,+oo)時，h(x)<0,h()單調遞減，
由題意，，B均為銳角，tanc>0,tanB>0,
又h(c)=0可得x=1,則x→0時，h(e）)-0:
tana tang tana tan -a)tana+
色
x→十o時，h(x)→0，則函數h()的大致圖象如
1
tama≥2，
下：所以6之8<4解得0當且僅當tana=l,即a=B=平時取等號，故B
值范圍為(0,2)故選：B.
正確；
設I1與兩個函數圖象分別切于M,N兩點，
例16.
【答案】B
∠0QN=號，則
【解析】如圖所示
tang=3
=ae
0
2tan
即
lnx-lna
1-tan20
2
x中
士
是，解得an號
設直線l與曲線y=sinx,x∈(0,3π)的切點為A
號或-3（會去），
(c1,sinc),與曲線y=eF的切點為B(x2,e),直線
故kN
U的斜率k;
1+
所以，y=(sinx)'=cosx,即在點A(,sin)處的
tan(號+45）=
3
=2,
1
13
斜率為k=c0s1,
對于y=e,則y=e,令=e=2,解得x=ln2,
=(e'=e,即在點B(2,e)處的斜率為k=e,
所以切點為(1n2,2),
得k=c0sD=e;
所以曲線y=e的斜率為2的切線方程為y=2x
又因為cosc1∈[0,1]，e∈(0，十o),所以斜率k=
-2ln2+2,
c081=e∈(0,1]
故曲線y=ae=e+na的斜率為2的切線方程為y
由cosm∈(0,1得，e(0,)或∈[2x,):
=2(x+lna)-2ln2+2,
由e∈(0,1]得，2∈(-o,0):
同理可得y=lnc的斜率為2的切線方程為y=2x
因此，存在A(,sina,∈(0,5）和B(,e）,
-ln2-1,
故曲線y=lnx-lna的斜率為2的切線方程為y
∈(-0,0)使得k=c0sc1=e,
=2c-In2-1-Ina,
即此時直線AB即為兩條曲線的公切線：
所以-ln2-1-lna=2lna-2ln2+2,則lna3=
53

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