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第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第09講
三角函數中w的問題處理
一、知識點
1.正弦函數的圖像
正弦函數五點法作圖：五個點(0.0，（受，），(，0)，(，0），(2元，0)，
2.正弦函數的性質
(1)定義域：c∈R
(2)值域：y∈[-1,1]
(3)解析式：y=sin
(4)單調性：單增區間：[-受+2kx,受+2x],(k∈Z):單減區間：[受+2kx,3經+2kx],(k∈Z).
(5)奇偶性：奇函數
(6)周期性：T=2π（最小正周期）
(7)對稱軸：x=+否(k∈2)
(8)對稱中心：(kx,0)(k∈Z)
3.余弦函數的性質
(1)定義域：x∈R
(2)值域：ye[-1,1]
(3)解析式：y=cosx
(4)單調性：單增區間：[-π+2kπ，2kr],(k∈Z);單減區間：[2kx,元+2kx],(k∈Z).
(5)奇偶性：偶函數
(6)周期性：T=2π（最小正周期）
(7)對稱軸：x=kπ(k∈Z)
(8)對稱中心：(m+,0)(keZ)
4.正切函數的性質
(1)定義域：{le≠受+標ke2)
(2)值域：y∈R
(3)解析式y=tanc
(4)單調性：單增區間：(-受+i,號+，(k∈2)：單減區間：無
(5)奇偶性：奇函數
(6)周期性：T=π（最小正周期）
(7)對稱軸：無
(8)對稱中心：（簽0）k∈2)
5.題型歸納
【題型一】只有單調性求ω
【題型二】對稱軸和對稱中心求ω
題型三：極（最）值點求ω
【題型四】多結果分析型求w
【題型五】對稱軸分界綜合型求ω
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【題型一】只有單調性求ω
例1.己知函數f()=sin(oc+2p)-2 sin(oc+p)(o>0,p∈R)在(x,經)上單調遞增，則m的取值范圍
是()
A.(0,]
B.[33]
c[,]
D.(0,號]u[]
例2.設w>0,若函數fa)=2 sin在[-子]上單調遞增，則u的取值范圍是
例3.已知函數f(a)=20os(ar-3)(m>0,u∈z)在區間（號答）內單調，在區間(0，)內不單調，則ω的值
為一
例4.已知函數f四)=2sin@r(如>0)在區間[-受]上是增函數，且在區間[0，x]上存在唯一的o使得f(aW
=2,則ω的取值不可能為（)
A青
B號
c號
D.1
68
【題型二】對稱軸和對稱中心求仙
例5.已知向量=(sinm,co0m),6=(1,-1),函數f)=a·6,且u>受x∈R,若f(m)的任何一條對稱軸與x
軸交點的橫坐標都不屬于區間(3π，4π)，則ω的取值范圍是()
A[]u[器]
B.[3]u[貴]
c.(分五]u[貴]
D.(分]u[貴]
例6.已知函數f(x)=sinx+co3wx(u>0),x∈R,若函數f孔x)在區間(-w,ω)內單調遞增，且函數f(x)的圖象
關于直線x=ω對稱，則下列命題正確的是()
A.f(@)=1
B.f(-w)=-√2
C.f(x+ω)+f(x-0)=2
D.f(x+2元)=fx)
例7.已知函數f(x)=Asin(oc+),且f(號+=-f(號-)f(+=f(后-)，則實數w的值可能是
()
A.2
B.3
C.4
D.5
例8.函數f()=asinwx+bcosw=Asin(wx+p)(a,b∈R,A>0,ω>0，lp<)的-個對稱中心為(-石，0)，
且代)的一條對稱軸為：=看，當o取得最小值時，。=（)
A.1
B.√3
c
D
8所以f(x)的最大值為sinl+1,故C正確：
(受，受）上單調遞增：
對于D,f(%）-f()=in1+os1-1=
V②sin1+牙)-1>V2in證-1=0，又函數連
解g<0,可得-1續，故D錯誤；故選：BC
所以g)在[-1，-2）上單調遞減，在(，1
上單調遞減.
例16.【答案】BC
【詳解】對于A項，由已知可得，五(2c)=sin2x+
且g(-)=-82+萬=-豎，g(豎)
cos2z=V2sin(2x+零)，
￥2x(2)-x(要=-1，
因為0≤紅≤x,所以牙≤2紅+吾≤誓，
g(號)=2×要-×（要°=1,91）=
當2x+至=x或2x+吾=2x時，即z=或x
-頂=豎
=時，有(24)=0，
2
所以(2x)在區間[0，π]上有2個零點，故A項錯
所以，當：=要時，9同有最小值-1：當
誤；
蘭時，g因有最大值1
對于B項，將函數y=√2cos2x圖象上的所有點向
所以，(x)的值域為[-1,1]，故D項錯誤.
右平移個單位長度得到函數y=
故選：BC
2cos2(紅-）=V巨0s(2紅-)
=
例17.【答案】ACD
【詳解】因為f(x+π)=|sin(x十x)引+|cos(x+π)
√2sim(2x+牙)，故B項正確：
-sin2(x+)-1=|-sina +-cosxl-sin2x-
對于C項，由已知可得，f(e)=sinx+cosx=
1=fx),
(sinz)-2sin'cossi
所以(x)是以π為周期的函數，故A正確；
-7×1-924+1=4o84c+
又f(π-x)=lsin(π-x)川+lcos(x-x)川-sin2(π-
x)-1=sincl+lcosx+sin2x-1≠f(x),故B錯
所以，（回的周期T=冬=受，最大值為子+
誤；
是=1，故C項正確：
由A知只需考慮fx)在[0，π]上的最大值
對于D項，fa(x)=in8x十os3x=
0當x∈[0,5]時，f(x）=sinx+cosx-
(sina+cosz)(1-sinxcosx)
2sinccosx-1,
√2
cos
(x-哥(1-2in2z)
令t=sinx+cosz=V2sin(x+T),則t∈[1，
V萬c0s(e-吾1-2os(2z-5】=
√2]，且t=1+2 sin.cos,即2 sinxcos=t2-1,
則f(x)=-+t=u(),易知u()在區間[1，W2]上
V2cos(x-平)兒1-殼×2os(x-)+號】]=
單調遞減.所以f(x)的最大值為u(1)=0,最小值
32os(e-）-vcs(e-)
為（√2）=v2-2.
令t=60s(e-）,-1≤t<1,9間=32-
②當x∈[受]時，f(x）=sinx-cosx
2sinccos-1,
√2t,
3W2
令t=sinr-oosx=V2sin(c-T),則t∈[1，
則9()=
2
-32t2=
√2]，且t2=1-2 sinccosc,即2 sinccosa=1-t,
-3w2(+號t-要)，
則f(x)=t+t-2=u(),易知v(t)在區間[1，W2]
解g()=0,可得t=土
上單調遞增，所以f(x)的最大值為(v②)=√2，最
2
小值為(1)=0，
解g()>0,可得-2
綜上可知：函數f)的最大值為√2，最小值為√2
2
,所以g(t)在
-2,故C正確：
60

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