資源簡介

第10講
三角恒等變換及解三角形
一、知識點
1.正弦定理：s品A=品B=C=2R(R為外接圓半徑)
2.余弦定理：
(1)c2=a2+62-2abcosC
COSA=8'+c2-a2
26c
(2)b2=a2+c2-2accosB
cosB=a'tc2-b2
2ac
(3)a2=b2+c2-2bccosA
cosC=a2+62-c2
2ab
3.射影定理：a=bcosC+ccosB
4.三角形面積公式：
(1)S=2ah:
(2)S=號absinC=-2 bein=號
2casinB:
(3)S=號r(a+b+c)(箕中r為內切圓半徑)：
(4)S=/p(p-a)(p-6)p-c)(p=j(a+b+c))
(5)正切面積公式：S=尋(a2+b-)tanC
5.S=之lz-xl(其中A2=(r),AC=(,)
6.正切恒等式：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
7.三角平方差公式：sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)
例8.題型歸納
【題型一】正弦定理
【題型二】余弦定理
【題型三】射影定理
【題型四】面積公式
【題型五】正切恒等式
【題型六】三角形平方差公式
【題型七】三角形中的倍角關系
【題型八】兩邊夾問題
【題型九】費馬點
【題型十】拿破侖三角形
【題型十一】托勒密定理及托勒密不等式
75
【題型一】正弦定理
例1.（多選）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列命題中，正確的是（)
A.在△ABC中，若sinA=sinB,則A=B
B.在△ABC中，若BC=√5，sinC=2sinA,則AB=2W5
C.在△ABC中，若sin2A=sin2B,則a=b
D.在△ABC中，=nB+SnC
6+c
例2.已知△ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,下列條件中只有一解的選項是（)
A.a=14,b=7,B=305
B.a=10,b=9,B=609
C.a=10,b=11,B=60°
1
D.a=1,c=z,C=40°
【題型二】余弦定理
例3.在△ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a2-b2=c2-√2bc且bcosC=asin B,則
△ABC是（)
A.等腰直角三角形B.等邊三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
76
【題型三】射影定理
例4.在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2+b2=c2+absinC,且asin BcosC+
csin BeA=6,則anA等于()
A.3
B.-3
c.3或-號
D.-3或號
【題型四】面積公式
例5.我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求
積”，它填補了我國傳統數學的一個空白·如果把這個方法寫成公式，就是S=
Vc02-(牛g門，其中a,b,c是三角形的三邊，3是三角形的面積.設某三角形的三邊
a=W2,b=W5,c=2,則該三角形的面積S=
例6.如圖，線段AB的長為8，點C在線段AB上，AC=2.點P為線段CB上任意一點，點A繞著點
C順時針旋轉，點B繞著點P逆時針旋轉.若它們恰重合于點D,則△CDP的面積的最大值為
D
8第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此所以f(=33sim(@號+p=3,
∴0=號(1+4)或w=號3+4，k∈Z
所以g+p=受+優∈Z列，p=受-警+x
f在[豎呂]上單調遞減，∴x-豎
12
(∈Z),
因為于任意的如∈R都有f(仁若+)+
-晉-)=0，所以(-吾+)=-f-看-，
.2今w
所以sin[(x-)w+]
≤2
-sim[-w(e+若)+9]，
①當w=
所以sin(ar-答+p）=si如n(or+答-9)小，
號(1+
4)時，取
所以wr-答+p=ur+答-9+2k(∈2)
k=0知仙=號
或ar-答+p+r+答-p=(∈2列，
此時fa)=im(號x+),當[豎，豎]時，
所以p=答+k(,e2)或2a=seZ列，
號x+需∈[受]滿足(a)在[8]上
即z=密e2列（合去）.所以g=賢+re
單調遞減，ω=
符合
2),
因為p=受-受+kk∈Z列，所以受-答+購
取k=1時，如=2，此時f()=sin(2x+),當x
x=答+&ke列，即u-=1+2-,
e[豎]時，2x+號∈（受）滿足()
令t=k1-k2,所以w=1+2t(t∈Z),f(x)在
在[豎品]上單調遞減，@=2符臺
(需告)上單詞，
當k≤-1時，0<0，舍去，當k≥2時，0>2也舍
去
所以登≤號=吾所以u≤2，而0=-1+2∈
②當0=號3+4樹時，取k=0知0=號
2),
當u=11,9=-否，所以fm=3sin(1ux-看)，函
此時fa)=m(骨r+》,當[豎豎]時，
數在（需牙）不單調，合去：
g+∈[豎器，此時)在[品]上
單調遞增，舍去
當u=9,0=受+mk∈2列，舍去；
當k≤-1時，w<0,舍去，當k≥1時，w>2也舍
當ω=7,9=吾，所以f(m)=3sin(7x+),函數
去
在（需資）不單調，舍去：
綜上：仙=號或2,8=號+2=號
故選：A
當ω=5,9=-看，所以f(e)=3sin(5x-晉)，函
例21.【答案】7
數在（船哥）單調，
【詳解】：f(回)≤（兒直線x=晉為f()圖
所以ω的最大值為5.
象的對稱軸
故答案為：5.
:f()+f(g-)=0,∴f(知)的對稱中心為
例20.【答案】A
【解折】由題意知：受x+看=子+？或豎+
(學0)，
12
吾=嬰+燈，k∈z
1+T=答-晉=登keN,
4
2π
“魯x=(會+妥或要=（是+
I=纖=keN,
u=2k+1,k∈N.
66

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