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第13講
向量數量積常見技巧方法
一、知識點
1.平面向量數量積的坐標表示
設向量a=(11),b=(x2y2),9=(a,b）,則：
(1)a·b=1x2十y12
(2)lal=√la=a·a=√+f:
(3)lbl=√lb2=√6b=V好+：
C1C2十1y2
(4)cos8=aI間=V+f/:】
(5)a⊥b當且僅當ab=1E2十y1y2=0.
2.向量數量積恒等式
(1)極化恒等式結論：
①麗d=麗+AC--C平行四邊形模式：
②A店.ACd=A2-M:(三角形模式)
③2AB+2AC=(AB+AC)2+(AB-A2(平行四邊形中對角線平方和等于四邊平方和)
(2)矩形結論：
①PA·PG=Pi.Pi:
(3)斯坦納定理（對角線定理）：（適用于平面向量也適用于空間向量）
@AC·D=AD+BC-(AF+cD
②cos(AC,BD)=
(AD+BC-(AB+CD
(空間翻折)：
2AC BD
3.題型型歸納
【題型一】平面向量數量積
【題型二】極化恒等式
【題型三】矩形向量結論
【題型四】斯坦納定理
【題型五】建系
【題型六】幾何意義
99
【題型一】平面向量數量積
例1.（多選)設a,,是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（)
A.若a+=a-,則à上
B.若|=，則（à+）⊥(a-
C.若ad=b·,則d-不與垂直
D.(6)a-(a·不與&垂直
例2.（多選）已知向量d,滿足位+2動=，3à+=這-，且=2，則(）
A.M=2
B.a+6=0
C.la-2=4
D.a.6=-4
例3.（多選）“圓冪定理”是平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定
理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖，己知圓O的半徑為2，點P是
圓O內的定點，且OP=√2，弦AC,BD均過點P,則下列說法正確的是（)
0
A.PA·Pd為定值
B.OA·O乙的取值范圍是[-2,0]
C.當AC⊥BD時，AB.C元為定值
D.AC⊥BD時，ACB的最大值為12
100
例4.（多選）如圖所示，設Ox,Oy是平面內相交成(8≠)角的兩條數軸，、可分別是與x,y軸正
方向同向的單位向量，則稱平面坐標系xOy為0斜坐標系，若O=x +y,則把有序數對(x,
)叫做向量O的斜坐標，記為O=(紅)，在0=晉的斜坐標系中，立=（分，），6=
(3,一1).則下列結論中，錯誤的是（)
y
A.a-i=(侵-3,9+)
B.|=1
C.aLB
D,方在在上的投影向量為(2W2+V月26+3
5
5
【題型二】極化恒等式
例5.四邊形ABCD為菱形，∠BAC=30°，AB=6,P是菱形ABCD所在平面的任意一點，則PA·
PG的最小值為一
例6.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，B,F是AD上的兩個三等分點、BACA=4,B.C麗=
-1,則B亟C死的值為一·
101第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此=cos∠BcosZOsin∠A:
在△ABC中，cosA=AB+AC-BC=
cos∠Acos∠Csin∠B:
2AB·AC
cos∠Acos∠Bsin∠C
2頭8-分則s咖A=-c萬=4g5,
9
=sin∠A.sinB.sinLC
cosLA'cos/B'cosLC
BC=2R=2A0,
sin
=tan∠A:tan∠B:tanZC
如圖，D、E、F分別為垂足，
所以
2x4⑤
=9P+92+23×3×號，易知
設AF=m,tan∠A=3t(t>0),則F℃=3mt,BF
9
=是m,AB=不m,AC=9r+1m
>0,所以1=20，
9
又AE:EC=,BE、BE
tan∠A'tanZG=5:3,放AB=
所以A+A=品放C正確，
號AC,BB=3~AB=gAC,
對于D選項，垂心為高線交點，設BE⊥AC,垂足
為邊AC上點E,則B,E,O共線，
由AB-F0=AC-BEe子m-3mt=
由C選項，因為Ad=1A正+uAC,A=4,
(9e+1mn,解得t=寫
所以A0·AC=A(Oi-OA·Ad+AC,
51
因為OB⊥AC,則A6·AG=-AOA·AG+1AC
由tan2LC=
c0S2萬一1=5→cos∠C=68效
1
2,即(1-)A6·Ad=A,
c∠A0B=-0s∠C-5,D對故選：ACD
因為A0=A應+⑦，所以(1-)(A應+Ed):
AC=AC,即(1-)A應.AC=1AC,
例22.【答案】ACD
因為SAac=AB:AC.sinA=-分AC-BE,所以
【解析】對于A選項，重心為中線交點，則OA+
OB+Od=i,即Ad=Oi+Od
BE=4V5
因為A0=1AB+LAC=1(O克-OA+
所以AB=√AB-B驅=√32-(=號，
-OA),
--20麗+1--0元，
則0=1-1-4
所以(1-)×號×3=A×3,解得A=0,
所以1-4=11-41，
入
所以+u=
號，故D正確：
故選：ACD
所以+4=號放A正確；
例23.【答案】ABC
對于B選項，內心為角平分線交點，則BC·OA+
【解析】有題意可知：OA=OB=OC=1.
AC.OB+AB.OC=0,
對于A:20A+30B+40d=0→20A=-30B
即40+30麗+30d=0,所以A0=0應+
-400,
00,
兩邊同時平方得到：4OA=9O}+16od
+2402.0d.
=3
由A選項，則1-元=2=子？1-A-:=4
解得O亦0心=-名，放A正確，
所以1+以=號故B箱誤：
對于B:20A+30B+40d=i→20A-20=
對于C選項，外心為垂直平分線交點，即△ABC的
-50B-400→2AB=50B+400,
外接圓圓心，
兩邊再平方得到：4A}2=25O+16oC
因為AB=AC=3,設D為邊BC的中點，
+400B.00,
所以A西=是（店+AC),Ad/歷，
結合A可得：到=.所以B正確，
所以入=4，
對于C:20A+30B+40C=0→3B6=20A+
因為A己=AB+4AC,所以Ad=A+2AC
40G.
2+22AB.Ad,
兩邊平方得到：9Bd2=4OA+16OC2
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