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第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第11講
解三角形范圍和最值問題
一、知識點
1.中線長定理：P=2(+)-c(L為c邊的中線)
2.角平分線定理：A二=(AD為△ABC的∠A的角平分線)
AC BC
3.張角定理：sin(a+2=sg+in
AD
AC
B
-(D為△ABC的BC邊上的一點，記∠BAD=C,∠CAD=
B)
4.題型歸納
【題型一】最值與范圍1：角與對邊
【題型二】最值與范圍2：角與鄰邊
【題型三】范圍與最值3：有角無邊型
【題型四】最值與范圍4：邊非對稱型
【題型五】中線長定理
【題型五】角平分線定理
【題型六】張角定理
【題型七】解雙三角形
【題型八】解四邊形
83
【題型一】最值與范圍1：角與對邊
例1.己知在△ABC中，a=2,∠A=
(1)求面積的最大值：
(2)求周長的最大值：
(3)若三角形為銳角三角形，求周長的取值范圍；
(4)求b+2c的取值范圍：
【題型二】最值與范圍2：角與鄰邊
例2.在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知asin A十C=bsinA.
2
(1)求角B:
(2)若△ABC為銳角三角形，且c=2,求△ABC面積的取值范圍.
84
例3.已知△ABC為銳角三角形，角A,B,C所對邊分別為a,b,c,△ABC滿足：sin2A≤sinB+sin2C
-sinBsinC.
(1)求角A的取值范圍：
(2)當角A取最大值時，若AB=√3，求△ABC的周長的取值范圍.
【題型三】范圍與最值3：有角無邊型
例4.在銳角三角形△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且2sinC-inB=acos2
sinB
bcosA
(1)求A:
(2)求&的取值范圍.
85
例5.記△ABc的內角AB,C的對邊分別為a,bc,已知7A=平03D
sin2B
)若C=三，求B:2)求抄的最小值
【題型四】最值與范圍4：邊非對稱型
例6.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊(a+b+c)(a+b-c)=3ab.
(1)求角C的值：
(2)若c=2,且△ABC為銳角三角形，求2a-b的范圍.
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【題型五】中線長定理
例7.已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=2b-2 acosC.
(1)求角A;
(2)若M為BC的中點，AM=V3,求△ABC面積的最大值，
例8.銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且。a
ccosB=tanB+tanC.
(1)求角C的大?。?br/>(2)若邊c=2,邊AB的中點為D,求中線CD長的取值范圍
87.bc≤2.
令f)=V6-2+V6+x(0則f'(@)=-6-2元+2W6+云
1
1
當f'(x)<0時，有-1
1
V6=2+2W6+元<0，解
得x>3,
∴f(x)在(0,2]上單調遞減，
“當x=2時取得最小值，f(2)=3W2,
.a+b+c≥3W2,即AABC的周長最小值為
32.
例20.【答案】3/2
故答案為：3√2，
【解答】解：由題意知△OO2O3為等邊三角形，設邊
例21.【答案】C
長為m,
【解答】解：如圖，
則3aoa,msin60°=9m2=9,解得Io,
D
O2l=m=√2：
設BC=a,AC=b,AB=c,如圖所示：
8
設AD=DC=AC=a,由托勒密定理知，AB·a
+a.BC=a.BD,
所以AB+BC=BD=4W2,
又因為∠ABD=LACD=背，∠CBD=∠CAD
在△O1AO2中，∠O1AB=∠O,BA=30°，
等，
由∠BAC=60°，所以∠O1AO2=120°，
所以S四邊形ABCD=SAABD十SABCD
在等腰A0A中，祭-部。
=AB-BD:si號+號BD.sin號
解得OA=后同理得0A=
=2AB+BC)BDsin號=83.
√3’
故選：C
在△O1AO2中，由余弦定理得O1O=O1A2+OA2
-2O1A·O3A·c0s120°，
例22.【答案】v5
即2=號+號-29(
【解答】解：設BC=t,BD=2t,∠ABD=B,
在△ABD中，由余弦定理可得
即b2+c2+bc=6,
AD2=AB2+BD2-2AB.BDcos0 =1+4t2
在△ABC中，由余弦定理知，
-4tcos0,
a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,
在△ABC中，由余弦定理可得
.a=v√(62+c2+bc)-2bc=√6-2bc,
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos(0+90),
又：(b+c)2=b2+e2+bc+bc=6+bc,
即為5=1+t+2tsin0,
∴.b+c=w6+bc,
可得sin8=4-2
.AABC的周長為a+b+c=√6-2bc+
2t,0√6+bc,
則os0=√-4=126-正
4
2t
又，b2+c2≥2bc,
設f(t)=1+4t2-4tcos0=1+4t2-4t:
.b2+c2+bc=6≥36c,
72
W12t-16-t
2t
即為f()=1+4-2v20-(6-,0導數為∫（周=8t-2×分×2-
V12e-16-'
由”(t)=0,解得t=√2，
檢驗可得0t>√2時，
f(t)遞增；
可得(t)的最小值為f(v2)=1+8-2W20-16
=5,
則AD的最小值為√5，
故答案為：√5.
另解：由推廣的托勒密定理可得四邊形ABCD
中，AC·BD≤AB·CD+AD·BC,
當且僅當四邊形ABCD為圓內接四邊形，取得等
號.
設BC=t,BD=2t,BD⊥BC,可得CD=√5t,
則2W5t≤W5t+ADt,
可得AD≥√5，
當且僅當四邊形ABCD為圓內接四邊形，AD取
得最小值√5.
故答案為：√5，
D
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