資源簡介

第12講
向量共線定理與奔馳定理
一、知識點
1.平面向量共線定理
已知OA=1OB+uOC,若A+4=1,則A,B,C三點共線；反之亦然。
2.等和線
平面內(nèi)一組基底OA,O序及任一向量OP,OP=OA+uO(,4∈)，若點P在直線AB上或者
在平行于AB的直線上，則A+u=k(定值)，反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的
直線稱為等和線.
(1)當?shù)群途€恰為直線AB時，k=1;
B
(2)當?shù)群途€在O點和直線AB之間時，k∈(0,1)：
B
(3)當直線AB在點O和等和線之間時，k∈(1，十∞)：
(4)當?shù)群途€過O點時，k=0;
(⑤)若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k互為相反數(shù)：
3.奔馳定理
若O為△ABC內(nèi)任一點，且aOA+BO2+yOC=d,則S&BOC:SAAOC:SAAOB=a:B:y
4.三角形四心與奔馳定理的關(guān)系及證明
(1)0是△ABC的重心：Sa0c:SOOASA0=11:1臺OA+O2+OC=0.
(2)O是△ABC的內(nèi)心：SaBc:SACOA:SAAOB-=a:b:c一aOA+bOi+cOC=i.
(3)O是△ABC的外心：
SAB0C:SACOA:SAOB=sin2A:sin2B:sin2C+sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.
(4)O是△ABC的垂心：
SABOo:SACOA:SA4OB=tanA:tan B:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0.
證明如下：
①O是△ABC的重心則有SaB0 SCOASAD0s=11:1臺OA+O店+O元=0：
②0是△ABC的內(nèi)心則有Saoc=an,SaoA=bn,Sao8=之crr為△ABC內(nèi)切圓的半
徑)，所以SBOC:S.cO0 SAAOB=a:b:C:
③0是△ABC的外心，Sac=號O·sin∠C0B,由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可
得∠C0B=2∠A,所以Soc=號O·sin2A=分Rsin2A(R為△ABC外接圓的半徑)，同
理可得SaoA=合Rsin2B,SAAOB=合Rsin2C,所以SO8=sin2A:sin2B:sin2C
@O是△ABC的垂心，則有anA=光anB=品，所以BD:IAD=a,所以
STO+SA0G=-合1COBD:號1 COl-IADI=lBDl:AD|=tanA:tanB,同理可得SS=
tan B:tanC,SABoc:SMoc:SMAog=tanA:tan B:tanC,
5.題型歸納
【題型一】平面向量共線定理
【題型二】等和線
91第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應(yīng)用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內(nèi)=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導(dǎo)2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設(shè)-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此a,則得到周長
(2)根據(jù)SMABD+SAACD-=SaBC,得到b+c=bC,結(jié)
【詳解】(1)由余弦定理得ccosB+bcosC=c×
合基本不等式求得bC≥4，進而求得DB·DC=bc
aite-b+oxatb-c
二a
-1,即可求解、
2ac
2ab
【詳解】(1)在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=
所以sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+
∠CAD,∠ADB+∠ADC=π，
bsinB,
所以sin∠BAD=sin∠CAD,sinADB=
可化為asinA-csinB=csinC+bsinB,
sinZADC,
再由正弦定理得a2-cb=c2+b2,得c2+b2-a2=
由正弦定理，得
AB
BD
-bc,
sinZADB=sin∠BAD'
所以eoA=流2-子因為AE(0,所
AC
DC
2bc
sinZADC=sinZCAD'
以A=號x
兩式相除得總=咒可得BD=
(2)因為AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD
AB
AC
ABTAC BC,DC-ABTAC BC.
=5,
又由cOs∠ABD=cosLABC,根據(jù)余弦定理得
由8aMac-Sm+5ocn0-bcsi
2
3
2c
AB+BD-AD AB+BC AC
2AB·BD
2AB·BC
ADsin號+b~ADsin號，
所以AD-=AB+BD2-8器(AB+BC-AC9)=
得bc=b+c,
作AE⊥BC于E,
CAB+器AC2-BD(BC-BD
代入可得AD產(chǎn)=AH ACAR+AB AGAG2
-BD·DC
-AB-ACGG)-BDD
=AB·AC-BD·DC.
DE
(②由AD=1,A=號及3aAo+Sa0=Saa0,
則Sa4D
c·ADsin號
BD.AP
可得b+c=bc
SAACD
ADsin號
CD-AB
b
根據(jù)基本不等式得bc=b+c≥2Wbc,解得bc≥
B
4,當且僅當b=c=2時等號成立，
D0=2,
又由AD=1,AD=AB·AC-DB·DC,可得
由bc=b+c,解得
c=3
DB·DC=bc-1≥3，
1c=2b
b=
3
所以DB·DC的最小值是3，
由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccosA=3
所以a
例12.【答案】()）A=號2)證明見解析(3)4
3
=37
21
【詳解】(1)，a.cosB+b·cosA=2c·cosA,
故△ABC的周長為9+3W7
∴.sinAcosB+sinBcosA=2 sinCcosA,即sin(A
2
+B)=2sinCcosA,
例11.【答案】(1)證明見解析(2)3
.sinC=2 sinCcosA,則有cosA=號
2
【分析】(1)根據(jù)題意得到sin∠BAD=sin∠CAD,
,A∈(0，π)，
sin/ADB=sin∠ADC,由正弦定理得到
AB
BD AC
sin∠BAD'sinZAD0=
:A=哥：
2AD·兩式相除得到鋁=器進而得到
(2)證明：因為S4ABc=S△ABD十S△AD0,
BD=4ACBC,D0=AB4ACBC,根據(jù)
可得專AB·AC·i血BAC=方AB·AD·
余弦定理，并代入化簡，即可求解.
im∠BAD+號AD-AC.in∠DAC.
78

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